TRANSFORMADA Z A PARTIR DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS CONTROL II INFORME DE LABORATORIO VI David Santiago Melo Cod. 2006103033 Universidad Pedagógica Nacional Resumen: En Resumen: En el presente informe se procede a analizar el comportamiento de sistemas discretos, mediante el cálculo de ecuaciones en diferenc diferencias ias y su respectiva respectiva transformada Z e inversa así como su estabilidad, comparando la forma analítica es decir manualmente contemplando fracciones parciales y su equivalente equivalen te en Matlab.
INTRODUCCION Los Los sist sistem emas as se pued pueden en representar a partir de ecuaciones en el domino del tiempo continuo y discreto, para el primero se describe mediante ecuaciones diferenciales. Un sistema digital o discreto se entiende como un procesador diseñado diseñado para para que el sistema de control control logre las especifica especificacion ciones es requeridas requeridas.. Este Este sistem sistemaa trabaj trabajaa u opera opera en instan instantes tes de tiempo predeterminados, múltiplos del periodo de muestreo y es, por tanto, un sistema síncrono. La operatividad del sistema o su funcionamiento de procesado procesado queda queda caracteriz caracterizada ada plenamen plenamente te mediante su ecuación en diferencias.
Defini Definició ción n de un sistem sistema a por ecuaci ecuación ón en diferencias 1. Encontrar la expresión en forma cerrada de Y[n] usando el método de la transformada Z. Donde U[n] representa la función escalón. Yn− 56Yn −116Yn −2 =15nU [ n ] [1] Donde
Y [−1 ]=6 [2] y
Y [−2 ]= 25 [3]
Su tra transfor sform mada ada Z para cada secu ecuenci enciaa desplazada estará dada por: Z [ y n−1 ]=Y z z −1 y −1 [4] Zyn− 2=Y zz − 2Y −1 z −1 y −2 [5]
Y aplicando la transformada Z de anu[n] que esta dada por: Zanun =11 – za −1 [6] Luego Luego de esto esto se aplica aplicará rá sobre sobre la ecuac ecuación ión planteada inicialmente en ambos miembros para finalmente hallar su respectiva transformación. Yz −56Yzz −16 16 [ Y z z −2 6z − 125 ]
=
11− z −15
Y zz2 −56z 16 −5z2 z 256z2= z3z −15 Yzz3 −3130z2 13z −130 =116 z3 −76z2 15z
Y zz =116 z2 −76z 15z3− 3130z2 13z −130
Factoriza Factorizando ndo y operando operando el denomina denominador dor se encuentra la forma que se necesita en fracciones parciales. Y z z = A1z −12 A2z −13 A3z −15 A1 = z −12 ·Y zzz =12= 32
A2 = z −13 ·Y zzz =13=−23 A3 = z −15 · Y zzz zzz =15=1
Realizando este mismo método con Matlab se obtiene el siguiente código: n=[11/6 -7/6 1/5]; d=[1 -31/30 1/3 -1/30]; [R,P]=residue(n,d) R = P = 1.5000 0.5000 -0.6667 0.3333 1.0000 0.2000
Como se puede observar en concordancia a lo calc calcula ulado do los los valo valore ress coin coinci cide den n de mane manera ra exacta, razón por la cual que se pude decir que esta estass dos dos form formas as cond conduc ucen en a los los mism mismos os resultado resultados. s. Finalmente Finalmente se comparara compararan n las dos expresiones obtenidas de forma gráfica, siendo necesario para ello llevar la expresión en Z a su forma cerrada multiplicando ambos miembros por z y ree reemplaz plazaando los los valo valore ress de las las constantes A. Y z =321 – 12z −1− 231 – 3 z −1 11 – 5 z − 1
yn =32n 1− 23n 115n
Expresión fin final obtenida a partir de la transformada inversa de Z de la expresión. Escrito en código tanto la ecuación en diferencias como la expresión en forma cerrada quedarán: %Método iterativo - Usando Ecuación en diferencias
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y(1)=25; y(2)=6; N=30; u=[0 0 ones(1,N+1)]; ones(1,N+1)]; for n=1:N+1 y(n+2)=(1/5)^(n1)*u(n+2)+(5/6)*y(n+1)-(1/6)*y(n) end n=-2:N; subplot(2,1,1); stem(n,y); title('Método iterativo - Usando Ecuación en diferencias'); %Método iterativo - Expresión en forma cerrada for n=1:N+1 y(n)=3/(2^(n-2))-2/(3^(n-2))+1/(5^(n3)) end n=-2:N; subplot(2,1,2); stem(n,y,'r'); title('Método iterativo - Expresión en forma cerrada');
%Ceros Polos: %Graf Grafic ica a en el plano ano z de polos obtenidos: [numz,denz]=tfdata(Gdz,'v'); zplane(numz,denz) zgrid
Cero Ceros s
y
Figura 2 En esta gráfica observamos un polo sobre el círculo lo cual genera un sistema críticamente estable. Ceros = 0 0 Polos = 1.0000 0.2080 + 0.4059i 0.2080 - 0.4059i
Figura 1 Metodo iterativo usando ecuaciones en diferencias En la anterior gráfica se denota la comparación de la ecua ecuaci ción ón en dife difere renc ncia iass resp respec ecto to a la expresión en forma cerrada obtenida a partir de la trasformada Z.
2. Obtener polos y ceros y ubicarlos ubicarlos mediante mediante el plano z. Determinando la función de transferencia Gz =0.792z2z −1 z2− 0.416z 0.208 [14] El código sería:
3. A continuación se presenta una ecuación en diferencias para la cual se tiene t iene que encontrar su serie, después de esto hallar la transformada z mediante el método manual y finalmente hallar la inversa de Z %Método Manual x(1)=0; x(2)=1; N=30; for k=1:N-1 x(k+2)=x(k+1)+x(k) end n=0:N; subplot(2,1,2); stem(n,x,'r'); title('Metodo Manual'); grid %Metodo Matlab
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stem(n,y,'b'); title('Metodo1 title('Metodo1 Matlab'); grid
Número de muestras tomadas para la inversa de Z = 30 Transformada z buscada: Gz=zz2-z-1
Figura 3
Trans ransfo form rmad ada a Z inve invers rsa a por por medi medio o de fracciones parciales Encuentre la transformada inversa Z utilizando el método de expansión en fracciones parciales y con el Matlab Xz = z −10,5 – z −11 – 0,5z − 11 – 0,8z −1 Para este caso se multiplicará en razón de z2 , para encontrar una expresión en términos de Z, es así que: Xzz =0, 5 z – 2zz – 0,5z – 0, 8
Xz = A A1z 1z – 0,5 A2z – 0,8 A3z A1 = z – 0, 5 · X zzz = 0,5=5
A2 = z – 0,8 ·X zzz =0,8=−2,5 A3 = z·Y zzz = 0= 2,5
Xz =51 – 0,5z −1− 2,51 – 0,8z −1 −2, 5
Al analizarlo por código se obtiene que: num=[0 .5 -1]; %Expresion en forma de potencias en Z den=[1 -1.3 .4]; [R,P,K]=residuez(num,den) R = -2.5000 5.000 P = 0.8000 0.5000 K = -2.5
xk =5 · 0,5k −2,5 · 0,8k − 2,5 · δk Finalmente se verifica el resultado obtenido por medio de su código en Matlab. N=30; delta=[1 zeros(1,N)] %Método iterativo - Expresión en forma cerrada for k=1:N+1 x(k)=5*(0.5)^(k-1)-2.5*(0.8)^(k-1)2.5*delta(k); end k=0:N; subplot(2,1,1); stem(k,x); title('Metodo title('Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada'); %Método Matlab num=[0 .5 -1]; den=[1 -1.3 .4]; n=0:1:N; x=[1 zeros(1,N)]; y=filter(num,den,x); subplot(2,1,2); stem(n,y,'r'); title('Método Matlab');
A contin continuac uación ión se presen presenta ta una ecuaci ecuación ón en diferencias para la cual se tiene t iene que encontrar su serie, después de esto hallar la transformada z mediante el método manual y finalmente hallar la inversa de Z %Mètodo Manual x(1)=0; x(2)=1; N=30; for k=1:N-1 x(k+2)=x(k+1)+x(k) end n=0:N; subplot(2,1,2); stem(n,x,'r'); title('Metodo Manual'); grid %Metodo Matlab num=[0 1 0]; den=[1 -1 -1]; n=0:1:N; x=[1 zeros(1,N)]; y=filter(num,den,x); subplot(2,1,1); stem(n,y,'b'); title('Metodo Matlab'); grid
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%Metodo %Metodo Iterativ Iterativoo- Expresio Expresion n en forma forma cerrada for k=1:N+1 x(k)=-(k-1)/(2^(k-1))-3/(2^(k-1)) +4 end k=0:N; subplot(2,1,2); stem(k,x,'r'); title('M title('Metod etodo o iterativ iterativoo- Expresio Expresion n en Forma Cerrada');
Gz=zz2-z-1
CONCLUSIONES
Encontrar la expresión en forma cerrada usando el método de la transformada z por medio del método iterativo en forma cerrada y en forma de diferencia n=[0 11/6 -7/6 1/5] d=[1 -31/30 1/3 -1/30] [r,p,k]=residue(n,d) %Metodo iterativo diferencias y(1)=25; y(2)=6; N=30; u=[0 0 ones(1,N+1)]; ones(1,N+1)]; for n=1:N+1
Ecuaciòn
de
y(n+2)=(1/5)^(n1)*u(n+2)+(5/6)*y(n+1)-(1/6)*y(n) end n=-2:N; subplot(2,1,1); stem(n,y); title( title('Me 'Metod todo o itera iterativ tivoo- Ecuaci Ecuacion on de Diferencias') %Metodo %Metodo Iterativ Iterativoo- Expresio Expresion n en Forma Forma Cerrada for n=1:N+1 y(n)=3/(2^(n-2))-2/(3^(n-2))+1/ (5^(n-3)) end %Me %Metodo todo itera terati tivo voEcua Ecuaci cion ones es Diferencia x(1)=1; x(2)=2; N=30; u=[ones(1,N+3)]; for k=1:N-1 x(k+2)=u(k+2)+x(k+1)-0.25*x(k);
de
[1] Cualquiera de los métodos empleados para solucionar este tipo de ecuaciones debería llevar a la misma respuesta, pero habrá casos en los que que solo solo se pued puedaa utili utiliza zarr uno uno de ello elloss para para llegar a una respuesta eficiente. [2]El método Iterativo mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez. [3] El método método de forma forma cerra cerrada da resuel resuelve ve un prob proble lema ma dado dado en térm términ inos os de func funcio ione ness y oper operac acio ione ness mate matemá máti tica cass eleg elegid idas as de un conjunto limitado. La calificación de una forma cerrada es algo arbitraria, ya que depende en gran gran mane manera ra del del conj conjun unto to de oper operac acio ione ness y funciones predefinidas. Uno de ellas puede ser mediante Fracciones parciales.