Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente d iferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor. En primer lugar, vamos a observar o bservar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas vs, la velocidad del emisor v emisor vE y la velocidad del observador v observador vO. Consideraremos que el emisor produce o ndas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en e l emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad vs=1, y el periodo de las ondas sea también la unidad, P =1, =1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, P=vsP .
El observador en reposo Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor. Recordaremos que en el estudio de las del movimiento ondulatorio o ndulatorio armónico, armónico, se estableció la relación entre longitud de onda y periodo, P=vsP .
El emisor está en reposo (vE=0) Se
dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias
separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda, P=vsP ,
siendo P el periodo o tiempo que tarda en pasar dos
frentes de onda consecutivos por la posición del observador. y
La longitud de onda o nda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, PE =PO=1.
Cuando
el emisor está en movimiento (v E
Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor v emisor vE sea menor que la velocidad de propagación de las ondas o ndas en el medio vs (vE <1). Si
el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.
y y
Observador
situado a la derecha de l emisor PO
PE Observador situado a la izquierda del
Como P=vP , o bien P=v/f , =v/f , hay una relación inversa entre longitud de onda P y la frecuencia f . y y
Observador
situado a la derecha de l emisor f emisor f O>f E de l emisor f emisor f O
Si
el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha de l emisor, será más agudo y el e l sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.
Cuando
el emisor está en movimiento (v E=vs)
Cuando la velocidad del emisor v emisor vE sea igual que la velocidad de propagación de las ondas o ndas en el medio vs (vE =1), =1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan e n la punta o morro del d el avión. avión.
Cuando
el emisor está en movimiento (v E>vs)
Cuando la velocidad del emisor vE sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio vs (vE >1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica ( la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua. La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.
En el instante t =0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad vs. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado vE ·t , En este instante, el frente de onda centrado en B tiene un radio vs·t . En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen =vs/vE. El cocientevE /vs.se denominanúmero de Mach.
Actividades Se
introduce y
y
Se
La velocidad del emisor, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad del emisor La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en v s=1.0
pulsa el botón titulado Empieza
Si
pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida en papel ut ilizando la regla y el compás. Pulsando varias veces en el botó n titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador, el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha.
El observador está en movimiento ( vE
introduce y
y
y
Se
La velocidad del emisor (positiva), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. emisor La velocidad del observador (positiva o negativa), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. observador La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en v s=1.0
pulsa el botón titulado Empieza
Podemos comprobar que el efecto Doppler se debe al movimiento relativo del observador con respecto al emisor, haciendo que el observador y el emisor se muevan con la misma velocidad y en la misma dirección. Medimos el tiempo que tarda en pasar por el emisor, dos frentes de ondas consecutivos, y lo comparamos con el periodo de las ondas emitidas (una unidad de tiempo). ¿Coinciden ambas cant idades?. Para medir dichos intervalos de tiempo, utilizar los botones Pausa/Continua y Paso.
Deducción
de la fórmula del efecto Doppler
partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el e fecto Doppler. A
En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P . En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las pos iciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión. La primera señal es recibida por el observador en el instante t . La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación vs·t=d+vO·t La segunda señal se emite en el instante P , y se recibe en el instante t¶ . En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza vE P . La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación d-vE ·P+vO·t¶=vs·(t¶-P ) Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P¶=t¶-t , de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.
Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.
Ejercicio:
Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve en la misma dirección pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonidoescuchadopor el conductor v E=25
m/s
v s=340
m/s
v O=-40
m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f '= 603 Hz v E=-25
m/s
v s=-340
m/s
v O=40
m/s
La frecuencia del sonido escuchado es f ' =603 Hz
Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda En el applet que viene a continuación, se muestra el procedimiento geométrico para dibujar con la regla y el co mpás los sucesivos frentes de onda, del sonido emitido por un vehículo en movimiento. y y
y
y
y
y
y
Se dibuja una línea horizontal proporcional a la velocidad v E del emisor . Con el mismo origen, se dibuja una línea vertical proporcional a la velocidad del sonido v s Se unen los extremos de ambas líneas, formando un triángulo rectángulo Se divide la línea horizontal en varias partes iguales, poniendo una marca en cada una de las divisiones Se traza una línea vertical desde la marca hasta su intersección con la hipotenusa del triángulo rectángulo . Con centro en la marca y radio igual a la longitud de dicha línea vertical, se traza una circunferencia Se procede de la misma manera con todas las marcas de la línea
horizontal . Cuando vE >vs la hipotenusa del triángulo no es la envolvente de los sucesivos frentes de onda . Nota:
Actividades Se
introduce y
Se
La velocidad del emisor v E proporcional a la velocidad
v s
del sonido
pulsa el botón titulado Empieza
Comienza una animación que muestra el procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de ondas del sonido emitido por un vehículo en movimiento.
Referencias Del apartado Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda Alt
R., Wiley S., A generalized wave diagram for moving sources. The Physics Teacher Vol 42, December 2004, pp. 526-527 En
esta página, estudiamos el efecto Doppler debido al sonido producido por un emisor
que se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad
v E> 0. El
reflector que se mueve en la misma dirección con velocidad mueve con velocidad
v O
sonido choca con un
v R . El
observador que se
mide la frecuencia f del sonido reflejado . Supondremos que las
velocidades del emisor, observador y reflector son menores que las del sonido
Estudiaremosespecialmente
y
El
dos situaciones:
observador en reposo en el origen
v S.
y
El
observador coincide con el emisor (caso de los murciélagos)
Siguiendo el mismo procedimiento de las páginas previas, vamos a deducir la relación entre la frecuencia del sonido emitido
f 0 y
la frecuencia
f del
sonido escuchado por el
observador .
Descripción
El
emisor produce un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia
f 0 y
longitud de
onda 0 =v s/f 0. y
y
y
En
el instante t =0, el emisor se encuentra en el origen O y emite la primera señal. En el instante t 1 llega al reflector, se refleja y es captada por el observador en el instante t¶ 1. En el instante P =1/f 0 se emite la segunda señal cuando el emisor se encuentra a una distancia v EP del origen, llega al reflector en el instante t 2 y el captada por el observador en el instante t¶ 2. El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P ¶= t¶ 2-t¶ 1.
Primera
señal
Supongamos el reflector en el instante inicial t =0, se encuentra a una distancia d del origen. Se emite la primera señal que viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t 1. v s·t 1=d+v R· t 1
La señal se refleja en el instante t 1 y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad
v s,
recorriendo un camino más pequeño debido a que el observador se ha
desplazado . La señal es captada por el observador O en el instante t¶ 1 d+v R ·t 1-v Ot¶ 1=v s(t¶ 1-t 1)
Despejamos t' 1 en el sistema de dos ecuaciones
Segunda
señal
La segunda señal, se emite en el instante
P ,
el emisor se encuentra a una distancia
v EP
del origen. La señal viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t 2. d-v EP v s·(t 2 P ) +v R· t 2=
La señal se refleja y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad es captada por el observador O en el instante t¶ 2 d-v 0t¶ v R ·t 2= v s·(t¶ 2 t 2) 2+
Despejamos t' 2 en el sistema de dos ecuaciones
Periodo P'
El
periodo
medido por el observador
P ¶ del
Sabiendo que
Ejemplo
movimiento ondulatorio armónico medido por O es
/P , f =1/P ¶ y f 0=1
La relación de frecuencias es
v s,
hasta que
La velocidad del sonido se ha fijado en
v s=1.0.
Emisor en reposo Cuando el emisor se encuentra en reposo tiene un periodo
P =1
, v E=0
y una longitud de onda
el movimiento ondulatorio armónico
=v s·P =1.
La onda llega al reflector y
cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor, tal como se aprecia en la figura
y
y
Si la velocidad del reflector v R=0.2 (se aleja), el emisor se encuentra en reposo , y el observador se encuentra en reposo v O=0, entonces f =(1v E=0 0.2)/(1+0.2)=2/3. La longitud de onda es =v s/f =1.5 (figura inferior) Si la velocidad del reflector v R=-0.2 (se acerca), el emisor se encuentra en reposo v E=0 , y el observador se encuentra en reposo v O=0, entonces f =(1+0.2)/(1-0.2)=3/2. La longitud de onda es =v s/f =2/3=0.67 (figura superior)
Emisor en movimiento Cuando el emisor se mueve con velocidad que llega al reflector tiene una frecuencia
, v E=0.2
el movimiento ondulatorio armónico
y una longitud de onda ¶ =4/5=0.8. En
la figura, se compara los sucesivos frentes de onda producidos por un emisor en
reposo y los producidos por un emisor en movimiento
En
esta figura, se compara los movimientos ondulatorios armónicos
La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor . Observador en movimiento Cuando el emisor y el observador coinciden emisor es (este sería el caso del murciélago)
v E=v O,
la frecuencia
f escuchada
por el
Como caso particular interesante, es aquel en el que la velocidad del emisor y del reflector coinciden
v E=v R ,
entonces
f=f 0.
Actividades Se introduce y
y
y y
La velocidad del emisor v E (positiva), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. emisor La velocidad del reflector v R (positiva o negativa), actuando en la barra de desplazamiento titulada V. reflector . La velocidad del sonido se ha fijado en v s=1.0 La frecuencia se ha fijado en f 0=1
Se pulsa el botón titulado Empieza En
la parte superior izquierda del applet, se proporciona el dato de la frecuencia
sonido escuchado por un observador en reposo
f del
v O=0.
Observador en reposo Se mide el periodo de la onda respecto del observador en reposo con el contador de tiempo en la parte superior izquierda del applet del siguiente modo: Cuando un nodo pasa por una marca se anota el tiempo t utilizando la combinación de botones
Pausa/Paso,
cuando el siguiente nodo pasa por la misma marca se ha
completado medio periodo, cuando el siguiente nodo pasa por la marca elegida se anota el tiempo t¶ , la diferencia es el periodo
P =t¶-t
de la onda medida por un
observador en reposo . Se mide la longitud de onda por el observador en reposo, con la regla horizontal
utilizando la combinación de botones
Pausa/Paso
Observador coincide con el emisor Cuando el emisor y el observador coinciden (los murciélagos)
v O=v E,
podemos medir el
periodo y la frecuencia de la onda reflejada del siguiente modo: Cuando un nodo pasa por la posición del emisor (círculo de color rojo) se anota el tiempo t utilizando la combinación de botones
Pausa/Paso,
cuando el siguiente nodo
pasa por la misma marca se ha completado medio periodo, cuando el siguiente nodo pasa por el emisor se anota el tiempo t¶ , la diferencia es el periodo
P =t¶-t
de la onda
medida por un observador que coincide con el emisor .
Referencias Perrine J. O.,
En
The
Doppler and echo Doppler effect . Am. J. Phys. 12 (1944), pp. 23-28
la página anterior, se ha estudiado el efecto Doppler de una fuente de sonido que se mueve haci
del mismo a largo de un camino rectilíneo . En
esta página, se simula una experiencia con
sonido que se mueve en una trayectoria velocidad angular constante fijo situado a una distancia
. El
R del
sonido es r
eje de rotació
figura.
El observador no está situado en la dirección del movimiento rectilíne En la página anterior, hemos estudiado el caso de un emisor que se mueve a lo largo de una recta con velocidad está situado en un punto de dicha recta. Consideremos una situación algo más compleja. Supongamos que el observador está a una distancia R de la dire
emisor, tal como se indica en la figura.
y
En
el instante t el emisor emite la primera señal que puede corresponder a un máximo de una observador la escucha en el instante t 1. Si en el instante t la distancia entre el emisor y el obse
t 1=t+d 1/v s
siendo v s la velocidad del sonido . y
En
el instante t+P se emite la segunda señal . El observador la escucha en el instante t 2. Si en distancia entre el emisor y el observador es d 2, tendremos que
t 2= t+P +d 2/ v s
siendo
P el
periodo de la onda armónica
Para el observador, el periodo
P ¶ de
la onda armónica será la diferencia de los tiempos de llegada de
La relación entre d 2 y d 1 se puede deducir resolviendo el triángulo de la fi
Obtenemos una expresión más simplificada, si consideramos la siguiente aproximación, el lado d
menor que cualquiera de los otros dos lados de longitud d 1 o d 2. Despreciamos el cociente al cuadrado frente a la unidad, y efectuamos el desarrollo en serie
tenemosque
El
periodo
P ¶ de
la onda armónica medido por el observador, valdrá
La frecuencia es la inversa del periodo f ¶ =1/ P¶
Fórmula Esta
aproximada
fórmula se puede obtener de forma directa si partimos de la fórmula del efecto Doppler par
observador en reposo
v O=0
situado en la trayectoria del emisor en movimiento rectilíneo con velocida
Cuando el observador no está en la dirección del movimiento rectilíneo del emisor, trazamos una lí emisor y el observador en el instante t , y proyectamos la velocidad
v E del
emisor a lo largo de dicha r
En
dicho instante, el emisor se acerca al observador con u
como puede apreciarse en la figura . Sustituimos
v E por v E·sen
fórmula.
El emisor describe un movimiento circular Supongamos
ahora que el emisor describe una trayectoria circular de radio R con velocidad angular constante. está situado a una distancia R del centro de la trayectoria circular, en el origen de ángulos, tal como se muestra e
El
y
En
el instante t el emisor emite la primera corresponder a un máximo de una onda ar escucha en el instante t 1. Si en el instante emisor y el observador es d 1, tendremos t 1=t+d 1/v s
y
En
el instante t+P se emite la segunda señ escucha en el instante t 2. Si en el instante emisor y el observador es d 2, tendremos q t 2= t+P +d 2/ v s
periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es
En
t 2- t 1=P +(d 2- d 1)/v s P ¶=
el triángulo isósceles de la figura, se puede calcular
radio R y el ángulo
t .
d 1=2R·sen(t /2) De modo similar se calcula d 2.
Esta
fórmula se puede simplificar, si consideramos que
P es
pequeño y por tanto, podamos escribir
La frecuencia es la inversa del periodo f ¶ =1/ P¶
Fórmulaaproximada
El
emisor describe una trayectoria circular de
angular constante, su posición angular en velocidad es
R ,
tangente a la trayectoria, tal
v E es
la proyección de la velocidad
figura. La velocidad
que une el emisor y el observador (flecha azul)
En
el triángulo isósceles formado por los dos radios y la línea que une el emisor y el observador, el á
Como v E= ·cos(/2- )= R ·cos(t /2) R La fórmula que describe el efecto Doppler que se produce en esta situación es
y y
Cuando Cuando
t <
el emisor se aleja del observador f ' el emisor se acerca del observador f '>f
y
Cuando
t =2
Cuando t = la línea que une el emisor y el observador y la proyección de la velocidad del emisor sobre el diámet del sonido que escucha el observador es la misma que la sonido f ' =f
se produce una discontinuidad . La frecuencia f ¶ pasa de un máximo (el emisor se ace
a un mínimo, (el emisor se aleja del observador)
En
la figura, se representa la frecuencia f ¶ en función de
Vamos a comparar la fórmula exacta y la aproximada
t .
Supongamos como en la simulación que
v s=1, R =1,
Calculamos la frecuencia
suponiendo que el que emite la fuente tiene una frecuencia R
t =2
0.1
3.64
3.64
4.00
4.00
4.44
4.44
0.3
3.08
3.08
4.00
4.02
5.71
5.71
0.5
2.67
2.67
4.00
4.06
8.00
7.99
0.7
2.35
2.35
4.00
4.13
13.33
13.29
0.9
2.11
2.11
4.00
4.21
40.00
39.25
1. 2. 3. 4. y y
del sonido qu
f =4.
t =
t =0
f '
La primera columna es la velocidad R del emisor, inferior a la velocidad del sonido v s=1 La segunda columna, calcula la mínima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición de aleja. La tercera columna, calcula la frecuencia intermedia, cuando el emisor no se aleja ni se acerca La cuarta columna, calcula la máxima frecuencia, cuando el emisor situado en la posición del acerca. La columnas sombreadas corresponden a las frecuencias f ¶ calculadas mediante la fórmula ap La columnas sin sombrear corresponden a las frecuencias f ¶ calculadas mediante la fórmula e
Observamos que apenas hay diferencias en los valores calculados de la frecuencia f ¶ por ambas fórm Estas
diferencias se hacen cada vez más pronunciadas cuando la frecuencia
f es
más pequeña, la v
más grande, y el emisor se aleja del observador (máxima frecuencia) .
Actividades Se introduce y
y y y
La velocidad angular de rotación , un número comprendido entre 0 y 1, en el control de edici emisor El radio de la circunferencia que describe la fuente de sonido se ha fijado en la unidad, R =1. La velocidad del sonido se ha fijado en la unidad, v s=1 La frecuencia del sonido que emite la fuente se ha fijado en f =4, o el periodo en P =1/f =0.25 uni
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa el movimiento de la fuente de sonido representada por un pequeño círculo de colo trayectoria circular con velocidad angular constante .
El
micrófono está representado por un pequ
inmóvil. La fuente de sonido describe un MAS de la forma = 0·cos(8t ), emitiendo ondas circulares cuyos por circunferencias de color rojo . La intersección del movimiento ondulatorio armónico con la línea que une el emisor y el observador inferior del applet . Esta
representación nos permite relacionar la velocidad
que une el emisor y el observador), con la frecuencia
v E (proyección f ¶
de la velocidad de la fuente
del sonido que escucha el observador .
vectores la velocidad de la fuente (color negro) y su proyección (color rojo) . La señal de frecuencia f ¶ producida en la posición que ocupa el emisor tarda un determinado tiemp igual a la distancia emisor -observador dividido por la velocidad del sonido . En
la parte derecha del applet, se representa la frecuencia f ¶ en función de y y
Cuando Cuando
t =(2k +1),
t ,
posición angular de la
k =0, 1, 2, 3« la frecuencia f ¶ =f =4. t =2k , k =0, 1, 2, 3«la frecuencia f ¶ pasa de forma discontinua de un máximo a un m
Ejemplo: Si introducimos =0.5 y
La máxima frecuencia del sonido que escucha el observador es
y
La mínima frecuencia que escucha es
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
