EFECTOS DE ESBELTEZ
Se define efecto de esbeltez en una columna como la reducción de la resistencia cuando es sometida a compresión axial axial o flexocompresión debido a que la la relación entre la longitud de la columna y sus dimensiones transversales es muy grande, produciéndose desplazamientos laterales o pandeo.
Por efecto de la carga axial y el momento la columna se desplaza lateralmente (flexión lateral), la excentricidad se incrementa a un valor e' = e + ∆e , en la que e = M / P y ∆e es la excentricidad adicional debido a la deflexión resultante. En la columna se genera un momento adicional ∆M = P ⋅ ∆e y el momento total al cual queda sometida será: M ' = M + ∆M , resultando máximo en la mitad de la altura del elemento. Es evidente que al exigirle un momento adicional disminuye su capacidad resistente a compresión.
Si una columna esbelta es diseñada sólo para resistir flexión por cargas actuantes (punto 1) del diagrama, el momento adicional por efecto de esbeltez incrementa el momento que debe soportar la columna. Este momento total M ' = M + ∆M por los dos efectos, disminuye su capacidad de resistir carga axial (punto 2). Para la carga actuante “P” sobre la columna se obseva que la sección no es capaz de resistir la combinación de carga y flexión P y M’ (punto 3), se produce una falla por esbeltez (reducción de la capacidad de resistir conpresión). Para evitar la falla por resistencia de la columna esbelta o larga se requiere aumentar la cantidad de acero y por lo tanto la cacidad nominal o resistente de la sección.
P
Reducción de la resistencia a compresión por efecto de esbeltez Diagrama de interacción de una columna diseñada para resistir momento por cargas actuantes
P P’
M ∆M
M
M’
El momento adicional ∆M = P ⋅ ∆e debido al incremento de excentricidad por pandeo lateral de la columna se designa como momento secundario o de segundo orden y el momento por cargas actuantes M = P ⋅ e se designa como momento primario o de primer orden. Para el estudio de columnas se clasifican en cortas cuando el momento secundario es despreciable y columnas largas cuando este momento, es decir el pandeo lateral, es considerable. Los momentos secundarios o de segundo orden se pueden generar en columnas cortas pertenecientes a pórticos desplazables lateralmente por efectos de fuerzas horizontales (sismo o viento). Los desplazamientos laterales pueden inducir momentos secundarios de gran magnitud dando origen a fallas del sistema estructural por inestabilidad geométrica (pandeo lateral). Momentos secundarios.
En columnas los momentos secundarios o de segundo orden se presentan en:
a) Columnas esbeltas sometidas a compresión axial o flexocompresión, en las cuales se incrementa la excentricidad de la carga axial actuante por deflexión lateral. b) En pórticos desplazables por efecto de fuerzas horizontales. H
∆ /2
∆
P
Momento secundario
L/2
Momento primario M = H⋅L
H L P
M Momento primario
Momento secundario P⋅∆ ∆M = 2
Tipos de fallas.
La falla de una columna corta puede ocurrir en cualquier punto a lo largo de la curva de interacción de resistencias, dependiendo de la combinación del momento y la carga axial aplicada. Se producirá alguna deformación y habrá una "falla del material" cuando una combinación particular de carga P y momento M = P (e + ∆) intersecte la curva de interacción de resistencias. Si la columna es muy esbelta, podría llegar a una deformación debida a carga axial P y momento Pe tal que la deformación aumente indefinidamente sin que aumente la carga P. Este tipo de falla se conoce como "falla de estabilidad," como se indica en la curva de interacción de resistencias.
El concepto básico del comportamiento de las columnas esbeltas rectas con carga axial concéntrica fue desarrollado originalmente por Euler, hace ya más de 200 años. El concepto establece que un elemento fallará por pandeo bajo la carga crítica Pc = π2EI/(Le)2, siendo EI la rigidez flexional de la sección transversal del elemento y Le la longitud efectiva, que es igual a KL u. Para las columnas cortas "robustas," el valor de la carga de pandeo será mayor que la resistencia al aplastamiento por compresión directa (correspondiente a la falla del material). En los elementos que son más esbeltos (es decir, elementos para los cuales el valor de KLu /r es más elevado), la falla puede ocurrir por pandeo (falla de estabilidad), con la carga de pandeo disminuyendo a medida que aumenta la esbeltez.
Como se puede observar, es imposible representar los efectos de la esbeltez y los momentos amplificados en una típica curva de interacción de resistencias. En consecuencia, se puede desarrollar una "familia" de diagramas de interacción de resistencias para columnas esbeltas con diferentes relaciones de esbeltez, como se ilustra en la figura. El diagrama de interacción de resistencias para KL u /r = 0 corresponde a las combinaciones de momento y carga axial donde la resistencia no se ve afectada por la esbeltez del elemento (resistencia de columna corta).
Consideración de los efectos de la esbeltez
Se establecen límites para la esbeltez tanto de pórticos indesplazables como para pórticos desplazables, incluyendo métodos de diseño permitidos para cada rango de esbeltez. Se establecen límites inferiores para la esbeltez, por debajo de los cuales los momentos de segundo orden se pueden despreciar y sólo es necesario considerar la carga axial y los momentos de primer orden para seleccionar la sección transversal y la armadura de las columnas (diseño de columnas cortas). Cuando las relaciones de esbeltez son moderadas se permite un análisis aproximado de los efectos de la esbeltez que se basa en un factor de amplificación de los momentos. Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden más exacto. La evaluación de los efectos de esbeltez se hará conforme a los requisitos y métodos de la Tabla 7. La longitud no soportada L u de un miembro comprimido se tomará como la distancia libre entre las losas de piso, vigas u otros miembros capaces de proporcionarle apoyo lateral en la dirección considerada. Donde haya capiteles o cartelas, la longitud no soportada se medirá hasta el extremo inferior del capitel o cartela en el plano considerado. Para miembros rectangulares comprimidos, el radio de giro r puede tomarse igual a 0.30 veces la dimensión total del miembros en la dirección en el cual se analiza la estabilidad, e igual a 0.25 veces el diámetro para miembros circulares comprimidos. Para otros tipos de secciones, el radio de giro puede calcularse considerando la sección total de concreto. Tabla 7. Evaluación de los efectos de esbeltez
RELACIÓN DE ESBELTEZ, KLu /r Estructura Estructuras no desplazable desplazable KLu/r > 100 KLu /r > 100 22 ≤ KLu /r ≤ 100 [ 34 -12(M1 /M2)] ≤ KLu /r ≤ 100 KLu /r < 22 KLu /r ≤ [ 34 -12(M1 /M2)]
MÉTODOS DE DISEÑO Método P-∆ Amplificación de Momentos. Se pueden despreciar los efectos de esbeltez
En la Tabla 7, M1 / M2 es la relación entre el menor y el mayor momento en los extremos de aquella porción del miembro no arriostrado en el plano de flexión bajo consideración.
Efectos de la esbeltez en elementos comprimidos Análisis de segundo orden
Cuando la relación de esbeltez de la columna es elevada se requiere un análisis de segundo orden o análisis P-∆ más exacto, que considere el comportamiento no lineal del material y la fisuración, así como los efectos de la curvatura y del desplazamiento lateral del elemento, la duración de las cargas, la contracción y la fluencia lenta, y la interacción con las fundaciones. En general, los resultados de un análisis de segundo orden permiten obtener valores más realistas para los momentos que los que se obtienen usando un análisis aproximado. En el caso de los pórticos desplazables, utilizando análisis de segundo orden generalmente se obtendrán diseños más económicos. Si por algún motivo no resulta práctico realizar un análisis más exacto, se permite considerar los efectos de la esbeltez mediante un método aproximado de amplificación de momentos. Sin embargo, se debe observar que para todos los elementos comprimidos en los cuales la relación de esbeltez (klu/r) es mayor que 100 para considerar los efectos de la esbeltez se debe utilizar un análisis de segundo orden. Momentos amplificados
Se usa el factor de amplificación de momentos δ para amplificar los momentos de primer orden y así tomar en cuenta el aumento de los momentos provocado por la curvatura y el desplazamiento lateral del elemento. El factor de amplificación de momentos δ depende de la relación entre la carga axial aplicada y la carga crítica o de pandeo de la columna, de la relación entre los momentos aplicados en los extremos de la columna, y de la geometría deformada de la columna. Propiedades de la sección para el análisis del pórtico utilizando momentos amplificados.
Las cargas axiales mayoradas (Pu), los momentos mayorados en los extremos de la columna (M1 y M2) y las deformaciones laterales de piso ∆o, se deberán calcular usando un análisis elástico de primer orden del pórtico, considerando la presencia de regiones fisuradas a lo largo del elemento. Adicionalmente se podrán utilizar las siguientes propiedades para los elementos de la estructura. Módulo de elasticidad Vigas Columnas Tabiques no Ec = 15100 f ' c fisurados Tabiques fisurados Placas y losas planas
Momento inercia∗ 0.35Ig 0.70Ig 0.70Ig 0.35Ig 0.25Ig
de Area
1.0Ag
∗ Dividir por (1 + βd ) cuando actúan cargas de larga duración o para verificar
estabilidad Para los análisis por carga de servicio multiplicar por 1.43 Radio de giro
En general el radio de giro, r, es Ig / A g . En particular, para los elementos de sección rectangular r se puede tomar igual a 0,30 por la dimensión en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad, mientras que para los elementos de sección circular se puede tomar igual a 0,25 por el diámetro de la sección.
Longitud sin apoyo lateral y longitud efectiva de elementos comprimidos
La longitud sin apoyo lateral (o longitud no soportada) L u de una columna, definida es la distancia libre entre apoyos laterales. La longitud L u puede ser diferente para el pandeo respecto de cada uno de los ejes principales de la sección transversal de la columna. La ecuación básica de Euler para la carga crítica de pandeo se puede expresar como Pc = π2EI/(Le)2, siendo le la longitud efectiva KL u. Las ecuaciones básicas para el diseño de columnas esbeltas fueron desarrolladas para extremos articulados y, por lo tanto, se deben modificar para considerar los efectos de las condiciones de vínculo. La longitud efectiva de la columna, KLu, y no la longitud real sin apoyo lateral Lu, es la que se utiliza para estimar las resistencias de sistema no desplazable o desplazable. La longitud no soportada Lu de un miembro comprimido se tomará como la distancia libre entre las losas de piso, vigas u otros miembros capaces de proporcionarle apoyo lateral en la dirección considerada. Donde haya capiteles o cartelas, la longitud no soportada se medirá hasta el extremo inferior del capitel o cartela en el plano considerado.
Para obtener el factor K de longitud efectiva de miembros a compresión se puede utilizar los Nomogramas de Jackson y Moreland. o el método alternativo que se presenta un método alternativo para calcular los factores de longitud efectiva para los elementos comprimidos en pórticos no desplazables y desplazables. Método analítico para el factor K
Para los elementos comprimidos en pórticos no desplazables, se puede tomar como límite superior para el factor de longitud efectiva el menor de los valores dados por las siguientes expresiones:
0.7 + 0.05(ψ A + ψ B ) ≤ 1.0 K= donde ψ mín es el menor valor de ψ A y ψ B + ⋅ Ψ ≤ 0 . 85 0 . 05 1 . 0 min ψ A y ψ B son los valores de ψ en los extremos de la columna
. Para los elementos comprimidos restringidos en ambos extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como: 20 - ψ 1 + ψ ψ A + ψ B 20 donde ψ = 2 Para ψ ≥ 2, K = 0.9 1 + ψ Para ψ < 2, K =
Para los elementos comprimidos articulados en uno de sus extremos, en pórticos desplazables, el factor de longitud efectiva se puede tomar como: K = 2.0 + 0.3 ⋅ ψ
donde ψ es la relación entre rigideces de la columna y la viga en el extremo restringido.
Nomogramas de Jackson y Moreland para el factor K.
Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos desplazables
Factores de longitud efectiva para elementos comprimidos en pórticos no desplazables
Al determinar el factor de longitud efectiva, k, usando los nomogramas o las ecuaciones, las rigideces (EI) de las vigas (o de las losas) y de las columnas se deben calcular en base a los valores dados en la tabla de propiedades de las secciones. Pórticos no desplazables y pórticos desplazables.
En las estructuras reales rara vez existen condiciones totalmente no desplazables o desplazables. Esto no se puede determinar fácilmente mediante inspección, se presentan dos maneras posibles para determinar si un pórtico es no desplazable o desplazable. Una columna de una estructura se puede considerar no desplazable si los momentos de segundo orden en los extremos de la columna no son superiores a 5 por ciento de los momentos de primer orden en dichos extremos.
También se permite asumir que un entrepiso de una estructura es no desplazable si: Pu ⋅ ∆o ≤ 0.05 Q = ∑ Vu ⋅ Lc
donde Σ Pu =Carga vertical total en el entrepiso considerado. Se calcula con los factores de mayoración de la combinación de solicitaciones que incluye cargas laterales y para la cual Σ Pu es máxima. Vu = Corte total del entrepiso considerado debido a las cargas laterales no sísmicas. Lc = Longitud del miembro comprimido medida centro a centro de las juntas ∆o = (∆ei - ∆ei-1); donde ∆ei representa el desplazamiento lateral del nivel i obtenido de un análisis de primer orden para el corte Vu. Método de amplificación de momentos Cuando kL/r ≤ 100, los miembros comprimidos (columnas o muros), así como las
vigas que le sirven de soporte lateral u otros miembros de apoyo, también se pueden evaluar de acuerdo con los procedimientos aproximados de análisis que se presentan a continuación. En miembros comprimidos solicitados a flexión en ambos ejes principales, el momento alrededor de cada eje se amplificará separadamente basado en las condiciones de restricción correspondientes al eje considerado. Método de amplificación de momento para pórticos no desplazables
Los miembros comprimidos de pórticos no desplazables o arriostrados contra el desplazamiento en su plano serán diseñados para carga axial Pu y el momento amplificado Mc calculados según la fórmula, alrededor de cada eje separadamente, como sigue: Mc = δns ⋅ M2 M2 = valor mayor entre Mu,inf y Mu,sup h en cm. ≥ Pu ⋅ ( 1.5 + 0.03h ) ; Cm δns = ≥ 1.0 Pu 1− 0.75Pc Pc =
π2EI
( KLu ) 2
Cuando K se determina usando los nomogramas o las ecuaciones en los cálculos se deben usar los valores de E e I de la tabla de propiedades de las secciones.
EI =
0.2 ⋅ Ec ⋅ Ig + Es ⋅ Is (1 + βd )
ó de manera simplificada: 0.4 ⋅ Ec ⋅ Ig EI = 1 + βd En las columnas de concreto armado solicitadas por cargas de larga duración, la fluencia lenta transfiere parte de la carga del concreto a la armadura, aumentando así las tensiones en el acero. En las columnas poco armadas esta transferencia de carga puede provocar que el acero llegue a fluencia de forma prematura, provocando una pérdida en el valor efectivo de EI. Esto se toma en cuenta dividiendo EI por (1 + ßd). Para los pórticos indesplazables ßd se define de la siguiente manera: βd =
C arg a axial permanente mayorada Carga axial total mayorada
En los miembros comprimidos no solicitados por cargas transversales entre sus apoyos en el plano de flexión, Cm = 0,6 + 0.4 (M1 / M2) ≥ 0,4 para curvatura simple Cm = 0,6 - 0.4 (M1 / M2) ≥ 0,4 para curvatura doble
M1 / M2 es la relación entre el menor y el mayor momento en los extremos de aquella porción del miembro no arriostrado en el plano de flexión bajo consideración. El término M1 / M2 es positivo si la columna se deforma con curvatura simple, y negativo si el elemento se deforma con curvatura doble. Para miembros comprimidos solicitados por una carga distribuida o una serie de cargas puntuales entre los apoyos, Cm = 1. Método de amplificación de momento para pórticos desplazables
Los miembros comprimidos de pórticos desplazables o no arriostrados en su plano contra el desplazamiento serán diseñados para la carga axial mayorada y los siguientes momentos amplificados M1 y M2 definidos en las fórmulas: M 1= M1ns + δ s ⋅ M1s M 2 = M2ns + δ s ⋅ M2s Los momentos δsM1s y δsM2s se deben calcular usando uno de los métodos siguientes: a) Análisis de segundo orden (P - ∆) b) Análisis de segundo orden aproximado, si 22 ≤ KLu /r ≤ 100 Ms δ s ⋅ Ms = ≥ M s con: 1.0 ≤ δs ≤ 1.5 (1 − Q ) donde: Pu ⋅ ∆o Q = ∑ Vu ⋅ Lc c) Método aproximado, 22 ≤ KLu /r ≤ 100 Ms δ sMs = ≥ Ms P 1− ∑ u 0.75∑ Pc donde ΣPu es la suma de las cargas verticales en el entrepiso. ΣPc es la suma de todas las cargas críticas de las columnas que resisten el desplazamiento. Pc = EI =
π2EI
( KL u ) 2
.
(0.2 ⋅ Ec ⋅ Ig + Es ⋅ Is ) (1 + βd )
ó de manera simplificada: EI =
0.4 ⋅ Ec ⋅ Ig 1 + βd
Los miembros individuales comprimidos cuya relación de esbeltez sea mayor que la establecida por la fórmula siguiente:
Lu > r
35 Pu f'c ⋅ A g
Se diseñarán para la carga axial mayorada P u y el momento Mc Mc = δns ⋅ M2 M2 = valor mayor entre Mu,inf y Mu,sup h en cm. ≥ Pu ⋅ ( 1.5 + 0.03h ) ; Cm ⋅ (M 2ns + δ sM 2s ) Mc = Pu 1− 0.75Pc
Se debe verificar la posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral bajo cargas gravitatorias: a) Cuando δsMs se ha obtenido de un análisis de segundo orden(P- ∆), la relación entre el desplazamiento lateral de segundo orden y el desplazamiento lateral del análisis de primer orden, para la combinación 1,2 CP + 1,6 CV, mas la carga horizontal (viento o sismo) aplicada a la estructura, no excederá de 2,5. b) Cuando δsMs se ha obtenido de un análisis de segundo orden aproximado, el valor de Q no excederá de 0,60, ΣPu calculado para la combinación 1,2 CP + 1,6 CV más la carga horizontal (viento o sismo) aplicada a la estructura. c) Cuando δsMs se ha obtenido por el método aproximado, δs será positivo y no excederá de 2,5. En este caso, ΣPu y ΣPc serán calculadas para la combinación 1,2 CP + 1,6 CV En los tres casos βd se deberá tomar como: βd =
C arg a axial permanente mayorada Carga axial total mayorada
