EIXOS E ÁRVORES
Trabalho a ser apresentado à disciplina Elementos de Máquinas I.
Curso: Eng. Mecânica Período: 9º Professor: Dra. Vânia Velloso Aluna: Ariana de Fátima Silva
São João del Rei, 03 de novembro de 2012.
1. INTRODUÇÃO Eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte de outros componentes mecânicos e não transmitem potência. As árvores, além de suporte, transmitem potência. Geralmente, na prática, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes componentes. Os materiais mais utilizados na fabricação de eixos e árvores são (DIN 1611 e DIN17210): Aços-carbono: ABNT 1025 (St42,11) – 1035 (St50,11) e ABNT 1045 (St60,11) – 1060 (St70,11) Aço-liga: ABNT 4120 (20 Mn Cr 4) – 4130 (25 Mo Cr 4) – 6150 (50 Cr V 4) Os esforços atuantes em eixos e árvores são: Momento fletor; Momento torçor; Força cortante e força axial (estáticos e/ou cíclicos).
O caso mais comum encontrado para aplicação em árvore é quando esta é utilizada para transmissão de potência em regime: Torque constante: Tensão cisalhante média (τ m) Flexão alternada: Tensão normal alternada (σ a) com σ m = 0. O caso mais geral encontrado para aplicação de árvos é quando esta é utilizada para transmitir potência com esforços variáveis: Momento fletor: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. Momento torçor (T): Tensão cisalhante - τa e τm ≠ 0. Força axial: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. Os critérios de dimensionamento dos eixos e árvores são: Resistência - Deflexão lateral e angular velocidade crítica.
2.METODOLOGIA 2.1.Projeto de um eixo sujeito a esforço de flexão De acordo com CARVALHO (1984), em geral o esforço principal em um eixo é o de flexão. Sendo M o momento fletor e Z o módulo de resistência à flexão, encontra-se a tensão de flexão:
Para seção circular ou em coroa circular têm-se Seção circular: , onde D= diâmetro do eixo;
Seção em coroa circular:
, onde D=diâmetro externo e d=diâmetro interno.
Sendo assim, para fazer o dimensionamento de um eixo de seção constante basta: 1º) Fazer a escolha do material; 2º) Fixar a tensão admissivel do material; 3º) Calcular M (através do esquema de carregamento); 4º) Calcular Z 5º) Conhecendo o Z, calcular D. Para o caso de seção em coroa circular, uma relação entre D e d deverá ser estabelecida; 6º) Padronizar o diâmentro de acordo com tabelas.
O roteiro mostrado acima , apesar de simples, pode trazer alguma dificuldade ao fixar a tensão admissível. No entanto essa dificuldade pode ser resolvida seguindo outro roteiro de cálculo baseado nas indicações da ASME. Pelo código ASME, a espressão básica é modificada por um fator combinado de choque e fadiga, tabelado pela própria ASME. Assim:
Para essa fórmula, foram fixados os seguintes valores de acordo com as tabelas abaixo: Tabela 1-Valores do Fator Km
Tipo de Carga
Eixo Fixo Km 1,0 1,5 a 2,0 -
Gradualmente aplicada, constante (estática) Subitamente aplicada, pequeno choque Subitamente aplicada, grande choque
Eixo Giratório Km 1,5 1,5 a 2,0 2,0 a 3,0
Tabela 2-Tensões Admissíveis para o cálculo de eixos (ASME)
Material Aço não especificado Aço especificado
Tensão admissível (kgf/mm²) 11 60% do e ou 36% do r (Tomar o menor valor
Observação Havendo rasgo para chaveta, tomar 75% do valor indicado.
Utilizando essas tabelas, o roteiro para o dimensionamento de eixos se resume em: 1º) Fazer a escolha do material; 2º) Fixar a tensão admissivel do material de acordo com a tabela 2; 3º) Calcular K mM (através do esquema de carregamento e da tabela 1); 4º) Calcular Z e depois o D; 5º) Padronizar o diâmentro ; Um eixo é considerado curto quando a relação l/d ≤ 5, sendo l o comprimento do eixo e d o diâmetro. Com l/d ≥ 10, o eixo é considerado longo. Com 5 < l/d < 10 é a zonaa se transição.
2.2. Projeto de uma árvore 2.2.1. Árvore sujeita a esforço simples de torção Vimos que :
Para eixo circular: Para seção anular (coroa circular):
Sendo assim, pode-se aplicar o roteiro mostrado anteriormente para eixos para fazer o dimensionamento. Pelo mesmo motivo justificado para o cálculo de eixos, a ASME indicou outro método exposto a seguir:
onde Kt é o fator combinado de choque e fadiga, relacionado com o momento de torção. A tensão admissível também foi fixada pela ASME. As tabelas a seguir fornecem os valores que devem ser utilizados.
Tipo de Carga
Tabela 3-Valores de Kt
Árvore Fixa Kt 1,0 1,5 a 2,0 -
Gradualmente aplicada, constante (estática) Subitamente aplicada, pequeno choque Subitamente aplicada, grande choque
Árvore Giratória Kt 1,0 1,0 a 1,5 1,5 a 3,0
Tabela 4- Tensões Admissíveis para o cálculo de árvores (ASME)
Material Aço não especificado Aço especificado
Tensão admissível (kgf/mm²) 5,6 30% do e ou 18% do r (Tomar o menor valor
Observação Havendo rasgo para chaveta, tomar 75% do valor indicado.
2.2.2.Árvore sujeita a esforços combinados de torção e flexão Este é um dos casos mais comuns utilizados na engenharia. O dimensionamento é realizado dentro dos Critérios de Resistência. Para o caso de materiais dúcteis ( aços, por exemplo) as teorias devem ser aplicadas dentro daqueles critérios de resistência, são a Teoria da energia de distorção e a teoria da maior tensão de cisalhamento. Cada uma dessas teorias levam ao estabelecimento de um esforço ideal, equivalente, na peça aos esforços reais que sobre ela atuam. Pela teoria da maior tensão de cisalhamento, o momento de torção, T i , ideal, corresponde aos momentos de flexão M, e torção T, que atuam na peça:
√
Considerando as indicações da ASME, empregaremos os fatores Km e Kt , o que nos dá um momento de torção equivalente: Agora,
e segue-se o roteiro para o cálculo da árvore. Os valores de T e M deverão atuar na mesma seção.
2.2.3.Árvore sujeitas a esforços variáveis O dimensionamento apresentado nos ítens anteriores não levaram em conta, explicitamente, variações dos momentos aplicados. Será apresentado a seguir, um formulário específico, para alguns casos.
2.2.3.1.Árvore sujeita a torção variável. Conhecemos Tm e Tv, consequentemente, m e v, calculados por
Onde Kf’ é o fator de concentração de tensões, prático, relacionado com a torção. Os demais símbolos já são
conhecidos.
2.2.3.2.Árvore sujeita a esforços combinados de torção e flexão variáveis.
√ ( )
Conhecemos: Torção: Tm, Tv, m e v sendo
Onde
Flexão: Mn, Mv, m e v sendo
ou
,
(tomar o menos valor).
2.2.3.3.Árvore sujeita a torção constante e flexão alternada
Conhecemos: Torção: T (constante); Flexão: Mm=0 (condições de “alternada”) e Mv:
√
Considerando o que foi estudado anteriormente, em qualquer um dos casos acima, devemos ter: 1,25 ≤(FS)≤2,5
As expressões acima permitem, calculando (FS), verificar o dimensionamento feito por qualquer outro processo. 3.EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3.1) A árvore de acionamento de uma máquina é fabricada em aço SAE 3150 temperado e revenido a 550ºC. Sabendo-se que a deformação angular máxima que ela deverá sofrer ao transmitir a potência de 10CV a 2000RPM é de 0,25º/m, pede-se: a) Determinar o diâmetro partindo da deformação angular máxima; b) Determinar o valor da tensão ao atuar o momento de torção máximo; c) Comentaro resultado; Solução: a) Partindo da fórmula pode-se determinar uma expressão para o diâmetro da árvore, considerando-se aço, θadm= 0,25º/m, potência em CV e rotação em RPM. A expressão a que se chega é:
Então,
Considerando a tabela de padronização, indica-se: D=36mm. b) O momento de torção, em função da potência e da rotação dadas, é calculado pela expressão:
A tensão, atendendo à orientação da ASME para dimensionamento de árvores de transmissão, será determinada pela relação:
O fator combinado de choque e fadiga K t , considerando-se condições médias de atuação da carga, será determinado pela Tab.3: Kt=1,5 Então:
Observações: 1º)Deve-se observar que, no dimensionamento, o material só influi através do módulo de elasticidade à torção, implícito na relação:
2º)O valor da tensão atuante numa árvore dimensionada tendo em vista o ângulo de deformação é, em geral baixo, considerando-se a resitência do material. Entretanto, o cálculo deverá ser feito pela resitência para se comparar o diâmetro resultante com o obtido no cálculo pela deformação.
3.2) O eixo apresentação pela figura abaixo é rotativo, torneado em aço AISI V 1030, laminado a frio e a carga de 1000kgf é constante e sempre na vertical. a) Calcular “X” de modo que a tensão mas seções “C” e “D” seja igual à tensão na seção de momento fletor
máximo, aumentada de 50%. b) Calcular a segurança.
Solução:
a) O momento fletor máximo atua deaixo da carga, no meio do vão, uma vez que a peça é bi-apoiada e a carga se situa no meio do vão) e vale: Mmáx.= 500x25=12500 kgf.cm A tensão nas seções C e D deve ser igual à tensão máxima aumentada de 50%, então:
Que é a tensão nas seções C e D.
Por outro lado:
Z3,5=4,21 cm³
De acordo com a Fig. 1: Kt ≈ 1,5 (r/d=0,143 e D/d -1,43):
Figura 1- Árvores com diâmetros escalonados e raios de adoçamentos.
De acordo com a Fig. 2 : q ≈ 1.
Figura 2- Indice de sensibilidade x raio do filete
Sendo assim, Kf = Kt =1,5. Então:
Daí: x ≈ 86mm
b) O fator de segurança pode ser calculado pela expressão:
No presente caso, temos:
A Tab.IV do Apêndice dá para o aço AISI 1030, laminado a frio:
= 53kgf/mm² = 5300 kgf/cm²; e = 45 kgf/mm² = 4500 kgf/cm²; r
Para determinar o valor de
n,
tem-se as correções:
n)corr.=
0,5
r
xaxb
Onde: a= correção decorrente do tamanho da peça = 0,85; b= correção decorrente do acabamento= 0,88;
n)corr.=
0,5 x 5300 x 0,85 x 0,88 ≈ 1,3
3.3) Uma árvore de aço ( com r=56 kgf/mm² e e=36 kgf/mm²), de seção transversal circular cheia, deve transmitir 50 CV a 600 RPM, sendo a carga constante e gradualmente aplicada. a) Calcular o diâmetro, D, da árvore; b) Admitindo, agora, a aplicação de um momento fletor de 3500 kgf.cm, calcular a velocidade (RPM), em que a árvore deve trabalhar para transmitir a mesma potência do ítem anterior, com a mesma segurança. Solução: a) Momento de torção que atua na árvore : Da fórmula da potência, vem: com T = kgf.cm, n=RPM e P=CV. Daí,
Tensão decorrente da torção:
; 30% de 3600 kgf/cm² = 1080 kgf/cm²; 18% de 5600 = 1008 kgf/cm²; Então: adm =1008 kgf/cm²
Calculo do diâmetro D
Valor de Kt ( Tab.3): Kt=1,00;
Daí: Então, D = 3,13 cm. Sendo assim, a tabela de padronização indica: D=36 mm.
b) Calculo da nova rotação da árvore: Neste ítem, a árvore está sujeita a esforços combinados de torção e flexão:
adm=
Para que a segurança seja a mesma do ítem anterior, a tensão neste caso deverá ser igual, i sto é, devemos ter: Te= adm x Z’ = Kt= 1 (visto na letra “a” e K m= 1,5; M=3500 kgf.cm (dado); adm = 1000 kgf/cm² ; Z’= 9,16 cm³;
Daí,
1000 x 9,16=
9160= aplicado à árvore, neste caso.
-> que é o momento torçor máximo que pode ser
Como a condição é “transmitir a mesma potência do ítem anterior, com a mesma segurança” – e como a segurança foi mantida por se ter feito adm =Te/Z’, para transmitir a mesma potência com T diferente,
devemos ter nova RPM. Assim a fórmula da potência fica:
4.REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
CARVALHO, J.R., MORAIS, P. Órgãos de máquinas: dimensionamento. 3ºed. Rio de Janeiro: LTCLivros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1984.
