Estadística Aplicada Para los Negocios Introducción a las probabilidades y probabilidad condicional EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El éxito de un proyecto de inversión depende del trabajo de un Ingeniero de Software, un administrador y un contador. Se sabe que la probabilidad de que el Ingeniero de Software falle en su labor es de 2%, la probabilidad de que el administrador falle es de 5% y la probabilidad de que el contador falle es de 7%. Para que el proyecto sea exitoso, ninguno de los 3 debe fallar. Asuma que las labores de los tres integrantes son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga éxito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto proyecto no tenga éxito? 2. Los colaboradores de una empresa en el área de calidad se distribuyen así: son 17 chicas (M) y 13 chicos (H) y también se sabe que hay ha y 3 chicas y 4 chicos zurdos (Z). a) Halle la probabilidad de que sea zurdo sabiendo que es chico. b) Halle la probabilidad de que sea chico sabiendo que es zurdo c) Halle la probabilidad de que sea chico o z urdo. d) ¿Que sea Chico y sea Zurdo son eventos independientes? 3. Hay una probabilidad del 10% de que usted viajará a Disney y se encuentre con su primo. Existe una probabilidad del 90% de que se encuentre con su primo en un día cualquiera. Halle la probabilidad de que haya viajado a Disney, dado que se encontró con su primo:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un economista graduado de la UTP estudia la situación de empleo en dicha ciudad: Si la población total es de 8000 personas, En un pueblo, existen 4000 mujeres y 4000 hombres. Se saben que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están está n sin trabajo. a. Halle la probabilidad de que sea hombre o empleado. b. Si se elige al azar una persona Hombre. ¿Cuál es la probabilidad de de que la persona escogida escogida sea desempleada?:
2. En una oficina hay 100 máquinas calculadoras, algunas de ellas son eléctr icas E mientras que otras otr as son manuales M. De ellas unas son nuevas N y otras usadas U. El número de máquinas por categoría está dada en la siguiente tabla:
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Estadística Descriptiva
Una persona entra a la oficina y escoge una máquina al azar, descubre que es nueva. ¿Cuál es la probabilidad que sea eléctrica? 3. Se ha realizado una encuesta para determinar la adicción de alguna droga en diferentes profesionales. La encuesta se aplicó a 900 profesionales a los que se les preguntó si consumen alguna droga, los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Si se selecciona al azar a un profesional, halle la probabilidad que el profesional seleccionado: a. Sea un contador o un abogado b. Sea médico y si consuma droga c. No sea ingeniero y si consuma droga d. No consuma droga o sea abogado 4. Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las características del peso y a la insidencia del peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al az ar sea hipertensa? b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. ¿Cuál es la probabilidad que también sea hipertensa? c) Una persona elegida al azar no es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga peso normal? 5. Se encuestó a 500 alumnos universitarios sobre cultura musical. 474 no identifican el Concierto para piano y Orquesta de Grieg, 471 no identifican la Sinfonía N° 7 de Beethoven y 450 no identifican ninguna de estas obras.Calcule la probabilidad de que un estudiante universitario identifique las dos obras maestras en mención. 6. Para un estudio sobre cultura general se encuestó a 500 estudiantes encontrándose que: 20 habían leído “Ficciones” de Borges; 24 habían leído “El libro de Arena” de Borges y 464 no habían leído estas dos obras geniales. Si se selecciona un estudiante al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad que haya leído ambos libros? b. ¿Cuál es la probabilidad que haya leído “Ficciones” pero no “El Libro de Arena” 7. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Si se extraen al azar y sin reemplazo 4 bolas de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola sea de color blanco? 8. Si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o una niña, en una familia que tiene tres hijos, ¿Cuál es la probabilidad de que 2
Estadística Descriptiva
a. ¿existan dos mujeres y un hombre? b. ¿existan por lo menos dos mujeres? c. ¿existan al menos un hombre? 9. Se tiene un grupo con 6 ingenieros, 4 economistas y 2 matemáticos ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar sin restitución 6 personas, existan 3 ingenieros, 2 economistas y 1 matemático?
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Estadística Descriptiva
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un viaje organizado a Machu Picchu para 120 estudiantes, 48 de los que van saben hablar castellano, 36 saben hablar quechua, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los estudiantes al azar a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable quechua, sabiendo que habla castellano? c) ¿Que hable castellano y que no hable quechua son eventos independientes? Solución:
Hablan Quechua
No Hablan Quechua total
12
36
48
No Hablan Castellano 24
48
72
total
84
120
Hablan Castellano
36
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante hable alguno de los dos idiomas?
P(C) = 48/120 Q = {hablan quechua} , P(Q) = 36/120 ( ∪ ) = () + () − ( ∩) 36 + 48 − 12 = 0.6 ( ∪ ) = 120 120 120
C = {Hablan castellano} ,
Piden:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable quechua, sabiendo que habla castellano?
(|)=0.25
(| ) = ((∩)) = 12/120 48/120
c) ¿Que hable castellano y que no hable quechua son eventos independientes?
P(C) = 48/120 NQ = { no hablan quechua} , P(NQ) = 84/120 Si son independientes debería cumplir: ( ∩) = ()() 36 ≠ 48 ൬ 84 ൰ 120 120 120 C = {Hablan castellano} ,
Por lo tanto, No son independientes
2. La probabilidad de que un alumno de la UTP llamado José asista a la biblioteca es 0,4 y que la probabilidad de que su compañera Valeria asista a la biblioteca es 0.5. La probabilidad de que José asista a la biblioteca cuando Valeria lo hace es 0.7: a) Halle la probabilidad de que Valeria asista a la biblioteca dado que José lo hace. b) Halle la probabilidad de que al menos uno de los amigos asista a la biblioteca. c) ¿Los amigos asistan a la biblioteca juntos son eventos independientes? Demuestre. 4
Estadística Descriptiva
Solución a) Datos:
= { } → ( ) =0.4 = { } () =0.5
Piden: Valeria asista a la biblioteca dado que José lo hace
∩) = ( ∩) (|) = (() 0.4
( |) = 0.7 dato Entonces:
∩ ) → 0.7 = ( ∩ ) = 0.7 → ( ∩ ) = 0.35 ( |) = (() 0.5 Reemplazando: ( ∩) = 0.35 = 0.875 0.4 0.4 Solución b) Piden…Al menos uno de los amigos asista a la biblioteca
( ∪ ) = ( ) + () − ( ∩ ) ( ∪ ) = 0.4+ 0.5− 0.35 → ( ∪ ) = 0.55
La probabilidad de que al menos uno de los amigos asista a la biblioteca es 0.55. Solución c)
→ ( ∩ ) = ( )() 0.35 ≠ 0.4(0.5)
Por esto, se demuestra que no son independientes 3. De dos sucesos A y B sabemos que:
P[A'] = 0.48
P[A
∪ B] = 0.82
P[B] = 0.42
a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Cuánto vale P[A / B]? Solución:
Propiedad: a) P [ A'] = 1- P [ A] = 0,48 P [ A] = 0.52 Reemplazando: P [ A B] = P [ A] + P [ B] - P [ A B] 0.82 = 0.52 + 0.42 - P [ A
∪
P [ A
∩
∩ B]
∩ B] = 0.12
P B 0, 52 0, 42 0, 2184 P A B 0,12 P A
P A B P A P B
No son independientes. b) P A / B
P A B
P B
0,12 0,42
0, 29
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Estadística Descriptiva
Los siguientes ejercicios sirven para entender de forma introductoria las técnicas de conteo. 1. ¿Cuando se aplica a la regla de la adición y multiplicación? Regla de la adición Caso: Compra de un disco externo Un Ingeniero de Sistemas desea comprar un disco duro externo de marca Toshiba. Dicho dispositivo es vendido en 5 tiendas de cómputo en Lince , 10 tiendas de computo en San Isidro y 12 tiendas de computo en Miraflores. ¿De cuántas maneras el Ingeniero de Sistemas puede comprar el disco externo? Solución: Por el principio de adición: N° maneras = N° tiendas (Lince) + N° tiendas (San Isidro) + N° tiendas (Miraflores) N° maneras = 5 + 10 + 12 = 27 Regla de la multiplicación Caso: Selección de personal Para el desarrollo de un sistema de información el Ministerio de la Producción ha realizado una convocatoria de personal y para ello requiere 2 analistas de sistemas. Luego de una serie de etapas en el proceso de selección han quedado 5 postulantes. ¿De cuántas maneras diferentes estos postulantes pueden ubicarse en el primer y segundo puesto de orden de mérito? Teniendo en cuenta que los dos primeros lugares serán aceptados para dicho proyecto. Solución: 1. El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cinco postulantes. 2. El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros cuatro postulantes restantes. 3. Por la regla de la multiplicación, se observa que el evento para ocupar el primer lugar puede darse de 5 maneras y el segundo lugar de 4 maneras distintas. N° total de maneras = 5 x 4 = 20
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Existen 20 maneras en que los postulantes pueden ubicarse en el primer y segundo puesto de orden de mérito.
2. ¿La empresa ASESOR ONE, realiza servicios de consultoría a empresas que han implementado sistemas ERP. Para ello cuenta con un equipo de trabajo formado por 8 colaboradores, los cuales son especialistas en dicho tema. Si la empresa solo enviará un equipo de 2 consultores. ¿Cuántos grupos posibles podrían realizar la consultoría? Solución: solo nos interesa formar agrupaciones de 2 colaboradores
= ( −!)!!
= (8 −8!2)!2! = 28 3. En una carrera de atletismo de 100 metros planos participan 8 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? Solución: Se busca las diferentes ternas (k=3) que se pueden formar con los 8 atletas que participan en la carrera de 100 metros planos (n=8).
83 = (8 −8!3)! = 336 6
Estadística Descriptiva
336 ó 4. ¿Cuántas placas para automóviles pueden fabricarse si cada placa consta de tres letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (Considerar 26 letras del alfabeto y dígitos de 0 a 9) Solución:
Solución: 1. El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de la s 26 letras. 2. El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25 letr as que restan. 3. El tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 24 letras que rest an. 4. El cuarto casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10 dígitos (del 0 al 9) 4. El quinto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes. 5. El sexto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos restantes. 6. Por la regla de multiplicación: Número de placas = 26x25x24x10x9x8 = 11 232 000 placas
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Estadística Descriptiva
