MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Establezca la veracidad o falsedad de cada uno de las l as proposiciones siguientes. Si es falsa escriba la proposición correcta: a. Cuando trabajamos con datos tabulados, podemos calcular una media aproximada suponiendo que cada valor en una clase es igual a su marca de clase.(F) b. La mediana es la mitad del número de datos. (F) c. La moda es la frecuencia máxima.(V) d. La moda se encuentra siempre en el punto más alto de la gráfica de una distribución de datos.(V) e. Después de agrupar un conjunto de datos en varias clases, podemos identificar la mediana de clase como aquella que posee el mayor número de observaciones.(V) 2. Establezca la veracidad o falsedad de cada uno de las l as proposiciones siguientes. Justifique su respuesta: a. Para un arreglo de datos con 50 observaciones, observaciones, la mediana será el valor de la vigésima quinta de la observación en el arreglo. (F) el número de observaciones observacione s es un número por la mediana es la semisuma de los dos valores centrales: Me
x25
x26
2
b. A partir de una muestra dada de n datos (cualesquiera), se construye una muestra nueva de manera que cada uno de los elementos es el cuadrado de cada dato de la muestra dada, entonces la mediana de la muestra nueva es siempre igual a la mediana al cuadrado de la muestra dada.
c.
Se cumple cuando el número de datos es impar Pero cuando el número de datos es par 1,2,3,4-----1,4,9,6
Si se multiplican por 2 todas las frecuencias absolutas, el valor de la media aritmética se duplica. n
x (
i 1. fiyi
n
n
)x
i 1.2 fiyi
n
2(
i 1 fiyi
n
)
Luego x-1=2x respuesta. d. Mientras mayor es el número de intervalo de clase elegidos para la formación formación de una distribución de frecuencias, menor es la exactitud de los estadígrafos estadígrafos que se calculan. calculan. (f) mayor es el número de intervalos hay menor perdida de información. Rta: es falsa debido a que se van agrupando los datos en intervalos la exactitud se va haciéndose mayor la diferencia, es decir varía mucho en ser exacto.
e. El promedio de las notas de n curso fue de 15.8. las 20 mujeres tuvieron un promedio de 14.5 y los varones 16.4. luego, el curso tiene 80 alumnos. Solución:
X=15.8
XM 14.5
xm 20
XM 16.4 X
yiM 290
X
1
n 20
16.4(n 20)
yi
N 80 15.8 X
X iM
X i f
n
15.8n 290 16.4(n 20) 15.8n 290 16.4n 328 38 16.4n 15.8n 38 0.6n 38
6
n 10 N 36.6 80
3. En un grupo de empresas pequeñas se sabe que ninguna tiene más de 10 obreros o menos de 8, que la mayoría tiene 10 obreros, pero el 30% tiene 9 obreros, y que una de cada 10 empresas tiene 8 obreros. ¿Cuál es el promedio de obreros por empresa? 4. El precio del pasaje urbano en el mes de mayo de 2014 fue de s/. 0.09, el 05 de junio se reajusto a s/. 0.11, y el 25 de junio nuevamente se reajusto la tarifa a s/. 0.15. calcular: a. El precio promedio en el mes de junio. Mes 1-mayo 1-4 junio 5-24 junio 25-30 junio
X
Precio-yi 0.09 0.09 0.11 0.15
Días-f i 30 4 20 6
i afiyi 3.46 0.12
yif i 0.36 2.2 0.9 3.46
Mes de junio
30dias 30 b. La variación porcentual de la tarifa de junio con respecto a mayo. Vp%=100(a/b)-100 a= precio de junio b=precio de mayo Vp%=100(1.33)-100 Vp=33% 5. Ocho proyectos mineros de cobre del estado tienen las siguientes reservas en millones de T.M. de mineral y % de cobre por T. M. (ley) determinar la ley promedio de los proyectos.
PROYECTO Cerro verde Tintaya Michiquillay Quc-laveco Antamina Tambo Grande Corocchuayco Berenguela
LEY(Xi) 1.10% de cobre 2.20% “ “ 0.60% “ “ 0.85% “ “ 1.42% “ “ 2.30% “ “ 3.00% “ “ 1.32%” “
Ley(xi)
reserva
1.10% 2.20% 0.60% 0.85% 1.42% 2.30% 3.00% 1.32%”
738 10 544 385 104 42 8 13.7
RESERVA(ni) 738 10 544 385 104 42 8 13.7
Xihi 811.8 22 327.25 327.25 147.68 96.6 24 18.084
x=1751.814=0.84% 1845.7
6. Un examen de estadística es rendido en tres grupos: A, B y C; en el grupo A fueron evaluados 50 estudiantes y obtuvieron en promedio de 11.6, en los grupos B y C, fueron evaluados 45 y 60 estudiantes respectivamente. Si los estudiantes del grupo B obtuvieron un promedio mayor que C en 0.6 con respecto al grupo C y la nota promedio del curso fue 12.1. hallar la nota promedio de las secciones B y C. Solución a) Le damos un orden orden numérico a toos los estudiantes 50+45+60=165 X1,X2XX3…X154,X155 X1,X2…X50 , X51,X52….X95 , X96 ,X97…X155 A
X A
11.6
si : X 6 X
B X 1
C
X 2 .... X 50
50
c.
X 1 11.6(50) 580 i 1
X C 0.6
12.1 155
b.
50
xbyc
i
51
nb nc
155
, X
i
x 1 i
na nb nc
155
i 12.1
51
155
155
155
50
155
i 51
i 1
i 1
i 51
xi
155
i 1 xi 1875.5
x1 x1 x1 1875.5 580 x1 1295.5
por lo tanto: Xb y c
1295.5 105
12.33
7. En una empresa comercial uno de los agentes de venta hizo 4 viajes durante un mes y los gastos en dólares se indican a continuación: Viaje N° 1
Duración en días
2 3 4
1/2 12
3
1 2
5
1 2
Gastos por día 100 150 200 120
Si el gerente afirma que el gasto medio diario es $ 161.1 y el gerente viajero afirma que el gasto medio diario es $ 142.5 ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué?
8. Una firma comercial tiene fama de “pagar bien” a sus empleados, ya que un empleado afirma que paga en promedio s/. 500.00 mensuales. Sin embargo, después se averiguó que la empresa solo tiene 6 empleados, 5 de los cuales ganan al mes s/. 200.00y el jefe de ellos s/. 2000.00. ¿paga bien la empresa? ¿Por qué? Solución No, porque es correcto sacar la media para datos muy dispersos ya que la media no representa el valor promedio de las muestras. 9. De la población {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} se construyen todas las muestras posibles de 2 elementos. Hallar: a. la distribución de frecuencias de las medidas de las muestras obtenidas. b. las medidas de tendencia central. ¿Qué relación hay entre la media de la distribución de frecuencias y la media de la población? 10. la población de un país creció en los últimos 5 años de 420000 a 4775000; halle: a. la tasa de crecimiento total en los 5 años; año
población
1
4200000
X=1.3
3%
2
420000 xx
X=1.3
3%
3
4200000XxXx
X=1.3
3%
4
4200000xXxXxX
X=1.3
3%
5
4775000
Si: 4775000=(((((4200000)X)x)X)=4200000X 4
Tasa de crecimiento v%
X=1.3
3%
X
4
4775000
4200000
X = 1.03 b. la tasa de crecimiento anual. Por formula: TC % × 100 1.03 × 100 = 103% - 100 = 3% 103 – 100 = 3% v anual Tasa de crecimiento en 5 años:
TC 5 años =
pdelaño5 pdelaño1
1.14
11. los salarios aumentaron en los últimos 4 años en 28%, 23% y 25%; halle: a. la tasa de crecimiento total en los 4 años; b. la media anual de crecimiento; c. la media geométrica anual de crecimiento. 12. en una industria se ha controlado el tiempo que tardan tres obreros en ensamblar un motor. Uno demora 6 horas, otro 8 horas y un tercero demora 5 horas. Halle el rendimiento de un obrero tipo que sirva de base para análisis financieros 13. Una empresa de transportes tiene tres automotores diferentes que emplean en el recorrido entre dos pueblos 16, 15 y 12 horas respectivamente. Halle el tiempo que emplearía un automotor tipo que sirva de base para un estudio de costos. 14. Durante cuatro años sucesivos un industrial compro petróleo para una caldera a 16, 18, 21 y 25 centavos por galón. ¿Cuál es el costo promedio por galón para un periodo de cuatro años cuando: a. Compra igual cantidad de petróleo por año? b. Cada año gasta igual cantidad de dinero? 15. El precio del metro cuadrado de terreno subió de 1988 a 1989 de s/. 200.00 a s/. 400.00 mientras que en el sector rural en el mismo lapso subió de s/. 8.00 a s/. 10.00. calcular el promedio de los aumentos de precios.
16. El Ministerio de Agricultura en su informe anual, publicó el siguiente histograma. En el texto decía que correspondía a los ingresos netos de 1990 de una muestra de 5 cooperativas agrarias (en miles de soles). Hallar:
0.20 0.18 0.15 0.10 0.04 0.024 0.008 0.0025 2
4
6
8
12
22
32
48
a. El ingreso medio de las cooperativas b. El ingreso mediano c. El ingreso modal d. El número de cooperativas que tiene un ingreso en [Mo, x
17. En una distribución de frecuencias de 7 intervalos de clase de amplitud constante, se conoce: n1
1
7
hi
i 5
c
10
ui 7
N 2 16
N 4
70
o
t
55
4 11
Hallar. La media, mediana y moda de la distribución. Solución:
Ii
Yi
fi
Fi
25
1
35
hi
Hi
di
Yi
1
-30
25
15
16
-20
525
45
a=24
40
-10
1080
55
b=30
70
0
160
65
a=24
94
10
1560
75
15
109
20
1125
85
1
total
110
30
n= 110
650
1). h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 4 11
h1 + h2 + h3 + h4 +
1 2
4 11
= 1 h1 + h2 + h3 + h4 +
( n1 n2 n3 n4 ) =
7 11
+
7 11
70 1
(70) =
n
7 11
n = 110
Si 70 + a + 15 +1 = 110 a = 24
Calculamos la
X
n
yi f i X =
i 1
X
n
=
6050 110
55
Calculamos la mediana:
n Me l inf c( 2
Fi 1 ) fi
Me = 55 Calculamos la moda:
Mo lin c(
Mo yi
c
2
85
1 1 2
c(
)
6 66
) 55
n
1
n
n
2
n
n
3
n
7
n
4
n
11
18. A continuación se presenta una distribución simétrica referente a los ingresos diarios (s/.), de 100 trabajadores de una empresa, y en la que se conoce: H6 – H2 = 0.72, H5 – H3 = 0.45, H4 + H6 =1.57,
"
X 5
X 2" = (k – 4)c, Moda = 19, X = 12, ´
1
"
X i : Límite superior del iésimo intervalo. ´
X i : Límite inferior del iesimo intervalo.
a. Si la gerencia fija un sueldo mínimo de s/. 15.00, ¿Qué porcentaje de trabajadores se beneficiaría con esa medida? Ii
hi
Hi
[ 12 - 17
0.08
0.08
[ 17 – 22
0.12
0.20
[22 – 27
0.08
0.28
[27 – 32
0.44
0.72
[32 – 37
0.08
0.80
[37 – 42
0.12
0.92
[42 – 47
0.08
1.00
total
1.00
17 12 15 12
0.08 h
, h 0.084 % 48
b. Hallar los ingresos mínimo del 20% de los de mayor ingreso.
Q
4
32 5(
0.80 0.80 0.92 0.80
)Q
4
32
19. La distribución de establecimientos industriales, según su producción mensual (en millones de soles) es la siguiente: Se pide determinar: 1. Los cuartiles de la distribución 2. La media aritmética de la distribución
% de establecimientos 39 19 14 12 9 4 2 1
[produccion menos de 5 5 - 10 10 -25 25- 50 50 - 100 100 -250 250 - 500 500 a más
Hallamos el cuartil 1 Localizamos posición:
j (n 1)
4
101
4
25.25
En el intervalo: [ 0 – 5
Q
1
0 5(
25 39
) 320
Hallamos el tercer cuartil 3 Posición: 3/100/4 = 75 Intervalos: [ 25 – 50
Q
3
3 25 5( ) Q 26.25 3 12
20. Unos días de haber dado un examen de estadística, María se dirige a la oficina de su profesor para preguntar por su calificación. El profesor no se encuentra en ese momento, pero sobre su escritorio se observa el histograma que se muestra a continuación. 15
10
7.5
5
35
50
60
80
95 100
notas
Ii
Yi
hi
fi
f iyi
Fi
Hi
Pi
[35 -50]
42.5
0.11
5
212.5
5
0.11
11
[50 – 60]
55
0.21
10
550
15
0.32
21
[60 – 80]
70
0.16
7.5
525
22.5
0.48
16
[80 – 95]
87.5
0.31
15
1312.5
37.5
0.79
31
[95- 100
97.5
0.21
10
975
47.5
1
21
1.00
47.5
Total
100%
Los alumnos que tienen calificaciones igual al 95 percentil o más, son alumnos excelentes. María es una alumna excelente. a. en que intervalo estará su nota y cuántos alumnos acompañan a María en este grupo.
b. Hallar la nota promedio.
P 95
X
c.
95(
47.5
) 45.12 100 3575 75.2 47.5
Por debajo de que puntaje estará el 60% de las calificaciones. RTA: esta entre [ 60 – 80
21. Luego del aumento de pecios en los artículos de primera necesidad, se decide hacer un estudio sobre el gasto que tiene cierto grupo de personas en un supermercado, obteniendo los siguientes resultados: Los gastos van de s/. 22.00 a s/. 27.00diarios, el 20% de las personas gasta s/. 23.50 o menos y el 40% gasta más de s/. 24.75, en una distribución “totalmente simétrica” Con 5 intervalos de clase de igual amplitud. a. Reconstruir la distribución de frecuencias relativas. b. Grafique el histograma y el polígono de frecuencias. c. Determine el porcentaje aproximado de personas que tiene un gasto en el intervalo [Mo, 26.75 22. Una compañía proveedora industrial tiene registros del costo de procesamiento de una orden de compra (en soles). En los últimos 5 años, el costo ha mostrado la siguiente tendencia: 55.00, 58.00, 61.00, 65.00, 66.00. ¿Cuál ha sido, durante este periodo, el porcentaje promedio de incremento de costo de procesamiento? Si esa tasa promedio permanece inalterada más de 3 años, ¿Cuánto costará a la industria procesar un orden de compra en ese tiempo?
Solución año
costo
Tasa de cambio
1
58.00
58/55 =1.05
2
58.00
61/58 = 1.05
3
61.00
65/61=1.07
4
65.00
66/65=1.02
5
66.00
Año= 6
69.00
1.05
Hallamos la tasa de cambio promedio con la fórmula de media geométrica
G
=
n
x 1 .x 2 .x 3 ....., x n
G
=
n= 4
1.05 ´ 1.05 ´ 1.07 ´ 1.02
=
1.05
Costo para el año 6 = 66 × 1.05 = 69.3 s/. Porcentaje de incremento = variación porcentual = 100(1.05) – 100 = 5 %
23. Un investigador recibe las siguientes respuestas a un enunciado en una encuesta de evaluación, discrepa ligeramente, discrepa un poco, concuerda, concuerda fuertemente. ¿Cuál es la mediana de las 5 respuestas? 24. Se ha analizado las notas de probabilidad y estadística de 2 secciones, y se ha obtenido lo siguiente: la nota modal de la sección A es 15, la nota media 12.8 y la mediana 13.5; En la clase B la nota modal es 11, la nota media 14 y la mediana 13.5. a. Bosquejar una curva que represente la información dada para cada sección. b. ¿sería posible que en la sección A, más de la mitad de los estudiantes obtenga más que la nota media? c. ¿sería posible que en la sección B, más de la mitad de los estudiantes obtenga menos que la nota media? 25. La siguiente información corresponde al tiempo (horas) que permanecieron almacenados 50 productos antes de su distribución en el mercado: H5 =1.00 X4 =90 n1 =5 H2 =0.34 n3 =25. Además Me = 66.4 y
x
=65.6.
Se pide: a. reconstruir el cuadro. Ii
ni
hi
Hi
[29.28; 41.28]
5
0.10
0.10
[41.28; 53.28 ]
12
0.24
0.34
[53.28; 65.28 ]
25
0.50
0,84
[65.28; 77.28 ]
3
0.11
0.95
[77.28; 89.28
5
0.05
1.00
total
50
1.00
b. Calcule e interprete los deciles pares.
D
1
D
1
= 29.28 + 12(
0.10 - 0.10 0.34 - 0.10
)
= 29.28
26. La media de los salarios pagados en un mes a los empleados de una empresa ascendió a s/. 380.00. la media de los salarios pagados a los hombres y a las mujeres fueron, respectivamente, de s/. 390.00 y s/. 373.00. determine los porcentajes de hombres y mujeres empleados de dicha empresa. Solución: Promedio salario de los empleados = 380 Promedio salario de hombres = 390 Promedio salario de las mujeres = 373 Promedio varones y mujeres = 763
En varones:
763 ® 100% x
390 ®
= 51%
x
En mujeres:
763 ® 100%
= 49%
373 ® y 27. Una persona viaja 4 días. Diariamente recorre 200 km. Pero maneja el primero y el ultimo día a 50 km/h, el segundo a 55 km/h y el tercer día a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad media durante el viaje?
28. una ama de casa ha ido comprando durante 4 años arroz a distintos precios: el primer año a s/. 1.2 el kg, el segundo a s/. 1.4 el kg, el tercer año a s/. 1.6 el kg y el cuarto año a s/. 1.7 el kg. Halle el costo medio del kg de arroz durante los 4 años, suponiendo: a. que el número de kilos consumidos al año por el ama de casa es constante. b. Que la cantidad de dinero gastado al año es constante. 29. Los sueldos mensuales de los trabajadores de una empresa se distribuye como sigue. Se pide: a. El sueldo medio por trabajador. b. La mediana de la distribución los sueldos y explicar su significado. c. La nota de la distribución.
Sueldo ($) 100 – 200 200 – 300 300 – 500 500 - 700
N° de trabajadores 40 30 20 10
30. Para una muestra de 45 municipios se tiene la siguiente distribución de presupuestos anuales: En todos los municipios dedican C1 % del presupuesto a festejos y el C2 % a transporte. a. Obtener el presupuesto mínimo que tendrá que dedicar un municipio a festejos para estar considerado entre el 50% de los que mayores partidas dedican a este fin. b. ¿Qué presupuesto dedica la mayoría de municipio de transporte? c. ¿Cómo afectará a los resultados de los apartados anteriores una subvención a los dos municipios de 2 millones de nuevo soles? Presupuesto (millones de soles) 0 -50 50 -110 110 – 180 180 – 250
N° de municipios 8 12 15 10
31. La siguiente distribución muestra las edades de los trabajadores de una fábrica. Por política de la empresa, la gerencia decide despedir al 10% de trabajadores más jóvenes y el 20% de los trabajadores de mayor edad; después de esta reducción, ¿Cuál es la edad mediana de los trabajadores de la empresa?
edad 18 -23 23 -28 28- 33 33 – 38 38 – 43 43 – 48 48 - 53
N° de trabajadores 8 15 20 25 18 8 6
Solución:
EDAD
N° DE TRABAJADORES
Fi
[18; 23 ]
8
8
[23; 28 ]
15
23
[28; 33 ]
20
43
[33; 38 ]
25
68
[38; 43 ]
18
86
[43; 48 ]
8
94
[48; 53
6
100
total
100
33
33.5
43
X
38 - 35.5
=
38 - 33
68 -
x
38
68 ®
68 - 43
2.5 5
Ii
Yi
fi
Fi
[18; 23 ]
20.5
8
8
[23; 28 ]
25.5
15
23
[28; 33 ]
30.5
20
43
=
68 25
x
®
x
= 55.5 Personas
[33; 38 ]
35.5
25
68
[38; 43 ]
40.5
18
86
[43; 48 ]
45.5
8
94
n
[48; 53
50.5
6
100
Me = l inf + w( 2
total
100
Me Me = 34.6 Promedio de edades.
= 33 + 5(
- Fi - 1 ) fi
50 - 37 25
)