Ejercicios − N − n σ V Y = N − 1 n
2
1. Liste todas las posibles muestras irrestrictas aleatorias de tamaño n = 2 que pueden seleccionarse de la población 0, 1, 2, 3, 4. Calcule la 2 de la población y la V (y) de la media muestral y Luego, demuestre por cálculo directos que ,! ,1!.# ,2!1 ,$!1.# ,"!2 1,!.# 1,1!1 1,2!1.# 1,$!2 1,"!2
2,!1 2,1!1.# 2,2!2 2,$!2.# 2,"!$ $,!1.# $,1!2 $,2!2.# $,$!$ $,"!$.#
%&' − N − n σ V Y = N − 1 n
2
n =2 N =25 ´ =1.96 Y 2
σ =1.08
´ )= V ( ( Y
( )
25−2 1.08 25
´ )=0.52 V ( ( Y
2
",!2.# ",1!2.# ",2!$ ",$!$.# ","!"
2.
*ara las muestras irrestrictas aleatorias generales en el +ercicio 1, calcule la s 2 de cada muestra. %emuestre num-ricamente que
E ( s
2
)=
N N − 1
σ
2
%&'
n =2 N =25 ´ =1.96 Y 2
σ =1.08 E ( S )= 2
25 25 −1
E ( S )=1.13 2
1.08
$. uponga que usted a a estimar el n/mero de conglomerados de male0a de cierto tipo en un campo. Cuál es la población, y que usara como unidades de muestreo3 Cómo construira un marco3 Cómo seleccionara una muestra irrestricta aleatoria3 i la unidad de muestreo es un área, tal una yarda cuadrada, a4ecta el tamaño seleccionado para la unidad de muestreo a la precisión de los resultados3 5u- consideración tomara en cuenta su elección del tamaño de la unidad de muestreo3 6pta. 1. La población de una muestra conglomerada se diide en n elementos en arios grupos, de tal manera que cada uno sea representatio, usara como unidades de muestreo lmites naturales de cada elemento de grupo. 2. +l marco no se construira obteniendo la población completa de male0a del campo $. e seleccionara7 a. +speci4icar claramente los e8tractos. b. &segurarse de que las muestras seleccionadas sean independientes. c. eleccionar una muestra mediante la t-cnica correspondiente. ". 9o a4ecta el tamaño porque no muestra un grupo de elementos de la población en determinado grupo de male0a. #. e tomara en cuenta la consideración de seleccionar aleatoriamente un cierto n/mero de male0a e inestigar despu-s todos los elementos re4erentes a los elegidos.
#. Las autoridades de un parque estatal están interesadas en la participación de personas que acampan y que consideran que el espacio del área disponible para acampar en un terreno en particular es adecuado. Las autoridades decidieron tomar una muestra irrestricta aleatoria de n=30 de los primeros N=300 grupos acampados que isitan el campo. ea yi = 0 si el e4e del i:-simo grupo muestreado considera que el espacio del área disponible para acampar no es adecuado, y yi = 1 si considera que es adecuado ( i = 1, 2, …….. 30). ;se los datos de la tabla adunta para estimar p, la proporción es adecuado. +stable0ca un limite para el error de estimación. *ersona
∑ y
i
= 2#
i =1
p=
25 30
=0.83
^
√ √
pq N −n
p=± Z
∝
2
p=± 1.96 ^
p=± 0.13 ^
n
√
N
0.83 × 0.17 30
√
300 −30 300
>. ;se los datos del eercicio # para determinar el tamaño de muestra requerido para estimar con un lmite para el error de estimación de magnitud E = 0.05. %&'
N =300 Z 1− =1.96 ∝
p=0.83 q =0.17 e =0.05 2
n=
N × Z 1− × p×q ∝
2
2
e ( N −1 ) + Z 1− × p× q ∝
2
n=
300 × 1.96 × 0.83 × 0.17 2
2
0.05 ( 300−1 ) + 1.96 × 0.83 × 0.17
n =126.10 n =127
p
?. ;na muestra irrestricta aleatoria de n = 100 medidores de agua es controlada dentro de una comunidad para estimar el promedio de consumo de agua diario por casa, durante un periodo estacional seco. La media y la arian0a mu-strales 4ueron y ! 12.# y 2 !12#2. i suponemos que @ay N = 10,000 casas dentro de la comunidad, estime , el promedio de consumo diario erdadero, y estable0ca un lmite para el error de estimación. %&'
n =100 N =10,000 y ´ =12.5 2
S =1252 μ=? e =? Promedio
μ= y ´= ^
∑ y i n
μ=12.5 ^
Varianza estimada de
2
´ y
( )
S N − n ´ )= V ( y n N ^
V ( y ´ )=
(
1252 10,000 −100
^
100
10,000
V ( y ´ )=12.3948 ^
)
Lmite de! error de estimaci"n
1.96 √ 12.3948 6.90
A. ;sando los datos del +ercicio ?, estime el n/mero total de galones de agua, ', usado diariamente durante el periodo seco. +stable0ca un lmite para el error de estimación α ! .1. %&'
n =100 N =10,000 ´ =12.5 y 2
S =1252 Estimar e! tota! po#!aciona!
´ t = N y ^
t =10,000 × 12.5=125,000 ^
Varianza estimada de! tota! po#!aciona! 2
( )
S N −n V ( t )=V ( N y ) = N n N 2
^
^
^
^
V ( t )=10,000 ^
2
(
1252 10,000 −100
^
100
100
)
V ( t ) =1,239,480,000 ^
^
Lmite de error de estimaci"n para e! tota! po#!aciona!
2.58 √ 1,239,480,000 90,832.12
=. Los encargados de administrar los recursos de los terrenos dedicados a la ca0a silestre están interesados en el tamaño de las poblaciones de enado y de coneo en los meses de inierno en un bosque en particular. Como una estimación del tamaño de la población, los administradores proponen usar el n/mero promedio de grupos densos de coneos de enados por parcelas de $ pies por lado. %e acuerdo con una 4otogra4a a-rea, el bosque 4ue diidido en N = 10,000 cuadros de $ pies por lado. ;na muestra irrestricta aleatoria de n = 500 parcelas 4ue seleccionada, y se obseró el n/mero de grupos densos de coneos y de enados, los resultados de este estudio se resumen en la tabla adunta. +stime 1 y 2, el n/mero promedio de grupos densos de enados y coneos, respectiamente, por parcelas de $ pies por lado, estable0ca los lmites para los errores de estimación. α ! .1 Venados $onejos # Varian0a muestral ! .=? VEN%&'
%&'
n =500 N =10,000 ´ =2.30 y 2
S =0.65 ∝
=0.01
Z 1− =2.58 ∝
Promedio
μ= y ´=
∑ y i
^
n
μ=¿ 2.$ ^
Varianza estimada de
2
´ y
( )
S N − n ´ )= V ( y n N ^
V ( y ´ )=
(
0.65 10,000 −500
^
500
10,000
)
V ( y ´ )=0.001235 ^
Lmite de! error de estimaci"n
2.58 √ 0.001235 0.09
$'NE('
%&'
n =500
N =10,000 y ´ = 4.52 2
S =0.97 ∝
=0.01
Z 1− =2.58 ∝
Promedio
´= μ= y ^
∑ y i n
μ=¿ ".#2 ^
Varianza estimada de
2
y ´
( )
S N − n ´ )= V ( y n N ^
V ( y ´ )=
(
0.97 10,000 −500
^
500
10,000
)
´ ) =0.001843 V ( y ^
Lmite de! error de estimaci"n
2.58 √ 0.001843 0.11
1. ;na muestra irrestricta aleatoria de n = 40 estudiantes de un colegio 4ue entreistada para determinar la proporción de estudiantes que está a 4aor del cambio del sistema semestral al trimestral. Veinticinco de los estudiantes respondieron a4irmatiamente. +stime la proporción de estudiantes del colegio que está a 4aor del cambio (suponga que N = 2000). +stable0ca un lmite para el error de estimación. α ! .# %&'
n =40 N =2,000 ∝
=0.05
p=
25 40
= 0.625
q =0.375
p± Z ^
∝
2
p± 1.96 ^
√
√ √
pq N −n n N
0.625 × 0.375 40
p± 0.15 ^
√
2,000 −40 2,000