Ejerccios de calculo II

CÁLCULO II

Producto Académico N° 03

Producto Académico N° 03 Carrera: Ing. de Sistemas e Informática INSTRUCCIONES 

Toda repuesta debe ser justificada en términos de los conceptos vistos en las video clases y en el material auto instructivo. El procedimiento en forma ordenada, con letra legi ble y res puesta pues ta s e tomará tomará en en cuenta para para la calific ación.

1. Encuentre el área de la región sombreada limitada por las curvas:

(03 puntos)

 =  2 ;  =      = 1 ;  = 1

.

Graficar funciones

Evaluar en función de Y. Datos:

1  1  = 

Límites de integración: Función de arriba:

Resolviendo Integral definida:

  =  = ∫−    2

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Función de abajo:

= 2

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 =∫−   +2   1    =  3 +2 1   1 1  −  =  3 +21  3 +21  =4.3851.299 

 =. 

2. Determina el volumen del sólido de revolución que se forma al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones

=+2 ; =4

, alrededor del eje

 x



2

(05 puntos) Hallar puntos de intersección de las funciones:

Reescribir las funciones

  =+2 =4

 =4 +2  +4+44=0 +4=0  =0=4 ; ;  =4 =4 



Método de Capas Cilíndricas

 =∫   2|Página

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=∫    Desarrollar Integral

=∫2− 24 +2  =2∫− 24  +4+4  =2∫− 2 4  =2∫− 2 8+ +4  =2∫−  +2 8    0  2  =2 + 4  4 3

Por teorema fundamental del cálculo:

=2044  + 243  44 =2[064+ 1283 64] =2[ 1283] =21283

=    =.  

4

= 4 ; =2

3. Encuentre el volumen del sólido de revolución generada al hacer girar la región sombreada limitada por las curvas alrededor del eje X. (04 puntos)

Puntos de Intersección

Reescribir Funciones

 =2 = 4

  4=2  6=0 223=0  == ;; = = 



Método de Capas Cilíndricas

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Integrar en función de Y

 =∫    =∫     Desarrollar Integral

 =∫ 2  2   4   =2∫  2   +4      =2∫2 2 +4      =2∫6 2    3   =22  2 

Por Teorema fundamental del calculo

 3  =223  2 0

=2[272]

= 

0

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= 2, =0 ℎ =2,

4. Hallar el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar el arco de la curva alrededor de la recta y = 2. (04 puntos)

Hallar puntos de Intersección Usamos los límites de nos da para x:

  = =2  =   =  =

Cuando

Cuando



Reescribir Función

 =2, =0 ℎ =2   = 

Hallar el área de la superficie de revolución usando:

   +( ′)  =∫ 

Integrando como integral indefinida:

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=2∫22  1 +2′  =2∫22+  1 + 

=∫  + ⋯

Realizar sustitución Trigonométrica en β

    =∫  +  = =tan   =  =sec   =  sec    =2∫ 1 +tan =2∫ 1 +   sec sec  =2∫ =∫   + ⋯ =2∫ sec  =2∫sec ⋯ −   − ∫  =    +  ∫    ∫  =| + |+ 1 ∫ = sectan + ∫sec  2 2 1 ln| + | + ∫ = sectan + 2 2 | l n   + | ∫ = sectan + 2 2 + =   + ;=

Realizar Cambio de Variable en α:

Reescribir Integral y simplificar

Reescribiendo la integral

Integrar δ con la siguiente integral conocida:

Integrando

Deshacer sustitución Trigonométrica donde:

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=2√ 2 +1 + ln√  2+1++   =            ++      + =  +  +

Deshacer cambio de variable donde:

Desarrollar Integral Definida:

=  +1+ln   +1+ 20 =  +1+ln   +1+  +1+ln  +1+ =57.7932.295 

=. 

5

5. La región encerrada por las curvas: , halle su volumen.

4 =44 ; +2=2

, gira alrededor de la recta

=

(04 puntos)

Hallando puntos de intersección

Reescribir Funciones en función de Y

4 =44 ; +2=2   =  + ; = 

 4  4 +1= 22   4 2 4 +1=2   4  2 +=0    8+16 +=0 2   2 8+16 +2=20 2  +=  = ;  = Limites

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Graficar Función y aplicar el método de Arandelas

 =∫  

 

=5 =5

  5

Resolver por método de Arandelas

    2 4 =∫5 2  5 4 +1       4 2 =∫5 2   4 +4   Resolver como integral indefinida

   4 8+ +16 =∫ 2   4   =∫8+4   416 +16 8|Página

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=[14 ∫8+ 161 ∫4 +16 ] Resolver segunda integral por cambio de variable:

∫4 +16  =4  ∫8+  = =8+ = ∫ +16    ∫ +32 +256  ∫  ∫ +32∫ +256∫1  3 +  + 32 +256+   + + 5 3  ++   +      + 4 1 1 324 =4    16  5 + 3 +2564   4  24 164 =+  80 3   4  24 164 8 =8+ 12 80 3 2       8+8 84 8+2 24 284 224 = 12  80  3 1684 12  80  3 1624 =[10243  645  1283 642503 + 25 + 163 +32] =[332815 181615] R esolver pri mera integr al con cambio de variable:

Reescribir la integral y simplificar:

R ees cri bir la integr al y res olver :

Resolver integral:

Des hacer cambio de variable:

Deshacer el cambio de variable:

Reemplazar las integrales ya resueltas y simplificar:

Resolver la integral definida

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=[5045]

=  

10 | P á g i n a