¿Cuánto tiempo tarda el agua en salir por el agujero en el fondo del tanque? Considere el tanque con agujero de la figura 2.12, que se drena a través de un pequeño agujero redondo. La ley de Torricelli establece que cuando la superficie del agua está a una altura , el agua se drena con la velocidad que tendría si cayera de manera libre desde una altura (ignorando varias formas de fricción)
a) Muestre que la ecuación diferencial de la gravedad estándar conduce a la conclusión de que un objeto que cae desde una altura aterrizara con una velocidad de . Sabemos que Por lo tanto Integrando
Siendo la constante de integración. Evaluando en 0
0
0
Como el objeto cae, entonces la velocidad en el instante cero es cero, por lo tanto: 0 Entonces: Determinado la altura, sabemos que , entonces: Integrando
Como en
0 sabemos que 0
La ecuación queda
Despejando
1 2
0, entonces: 1 0 2 y sustituyendo en la ecuación anterior: 1 0 2 1 2
como deseamos terminar la velocidad cuando Despejando el tiempo de
1 2 , por lo tanto: 1 0 0 2
:
2 b) Sean el área de la sección transversal del agua en el tanque a la altura y el área del agujero de drenado. La razón con que el agua sale del tanque en el instante se puede expresar como el área de la sección transversal a la altura por la razón de cambio de la altura del agua. En forma alternativa, la razón con la que el agua sale por el agujero se puede expresar como el área del agujero por la velocidad del agua drenada. Iguale estas expresiones e inserte la ley de Torricelli para deducir la ecuación diferencial: Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el líquido sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “ ” del orificio de salida por la velocidad del agua drenada, esto es: Si denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura , aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene por Derivando respecto de y aplicando el teorema fundamental del cálculo: Por lo tanto: Sustituyendo la velocidad determinada en el inciso anterior 2
c) El tanque cónico de la figura 2.12 tiene un radio de cuando se llena hasta una profundidad inicial de .un pequeño agujero redondo en el fondo tiene un diámetro de . Determine y y luego resuelva la ecuación diferencial en ,describiendo así en forma explícita la altura del agua en este tanque en función del tiempo. NOTA: Se trabajará valores adimensionales. Para expresar en función de se debe visualizar el tanque no como un sólido sino como una figura plana, así:
Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vértice del cono coincida con el origen del sistema de coordenadas, entonces se tiene la figura simétrica respecto al eje , tal y como se muestra:
Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanza de triángulos se tiene entonces la siguiente relación de proporción: 0.3 3 0.5 5 Por lo tanto: 3 5 La sección transversal queda de la siguiente forma> 3 9 5 25 El área del orificio es: 0.005 25 10 Sustituyendo: 9 2 25 10 25 9 2 25 10 25 Reescribiendo
9 25 9 25 9 25
Integrando
9 25 . 18 125 18 125
2
25 10
.
0.5 0.5
25 10
2
25 10
2
25 10
2
25 10
2
25 10
2
1 2 5760 1 2 5760
0.5
1 2 5760
0.5
d) Use su solución de (c) para predecir el tiempo que tardara el tanque en vaciarse completamente. Para el caso cuando el tanque este vacío corresponde a
0
1 2 5760 1 2 5760 5760
5760
0.5 2
0, entonces: 0.5 0.5
0.5 2 9.81
229.87 El tanque tardara 229.87 en vaciarse. e) ¿Qué se vaciará más rápido, el tanque con un agujero o un tanque cónico invertido con las mismas dimensiones, que se drena a través de un agujero del mismo tamaño? Por intuición se podría decir que se vaciara primero el tanque cónico. Corroboremos la hipótesis. Para un tanque cilíndrico es una constante, entonces
2 2 2 .
2√ 2 √
√0.5
√
2
.
2
√0.5
2
2
√0.5 Hacienda
2
0 0 0
√0.5
2
√0.5
2
2
2 2
√0.5 2
2
√0.5 0.005 2 9.81 2 0.3 1149.39 De acuerdo a este resultado y del inciso anterior se puede corroborar la hipótesis. f) Busque un tanque de agua y calcule el tiempo que tarde en vaciarse (Puede pedir prestado un embudo de su laboratorio de química o usar una hielera grande). El tanque que debe ser lo bastante grande como para tardar varios minutos en vaciarse, y el agujero de drenado debe ser lo bastante grande como para que e agua fluya con libertad. La parte superior del tanque debe estar abierta (de modo que el agua no “succione”). Repita los pasos c) y d) para su tanque y compare la predicción de la ley de Torricelli con sus resultados experimentales.