EJERCICIO 8. En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que con tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resol ver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello ell o se corre un experimento 2 con dos réplicas. A continuación, se aprecian los resultados obtenidos:
a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos. b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales. c) Interprete a detalle los efectos significativos. d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar? e) Verifique residuos, ¿qué considera destacado?
SOLUCIÓN MODELO ESTADÍSTICO ESTADÍSTICO = () () () () () () () () () () () () () ()
HIPÓTESIS
FACTOR A Ho: A =0 El ingrediente A no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: A ≠0 El ingrediente A si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
FACTOR B
Ho: B =0 El ingrediente i ngrediente B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: B ≠0 El ingrediente B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
FACTOR C
Ho: C =0 El ingrediente C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: C ≠0 El ingrediente C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
FACTOR DE ITERACION AB
Ho: AB =0 Los ingredientes A y B no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: AB ≠0 El ingrediente A y B si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. FACTOR DE ITERACION AC Ho: AC =0 Los ingredientes A y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: AC ≠0 El ingrediente A y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
FACTOR DE ITERACION BC Ho: BC =0 Los ingredientes B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate. H1: BC ≠0 El ingrediente B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
FACTOR DE ITERACION ABC Ho: ABC =0 Los ingredientes A, B y C no afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
H1: ABC ≠0 El ingrediente A, B y C si afecta a la viscosidad de la bebida del chocolate.
A
B
C
1
-
-
-
2
+
-
-
3
-
+
-
I
II
13,3
13,9
14,7
14,4
14,6 14,3
4
+
+
-
-
+
-
17,2 15,1
7
-
+
+
8
+
+
+
18,9
EFECTOS
17,1 19,2
AC
BC
ABC
(1)
+
+
+
-
a
-
-
+
+
b
-
+
-
+
ab
+
-
-
-
c
+
-
-
+
ac
-
+
-
-
bc
-
-
+
-
abc
+
+
+
+
29,5 28,4 34,1 30,6
+ 17,4
AB
29,1
+ 15,5
6
14,1
Yates
27,2
16,9
5
14,9
TOTAL
34,5 38,1
+++
EFECTO A = ̅ + ̅ − = ,+,+,+,
SCA=
( )
()()
,+,+,+, ,
=
SCB=
( )
++++ ()()
SCC=
( )
+++ ()()
,+,+,+,
SCAB=
SCBC=
()()
SCABC=
( )
SCT = ∑
()()
=
+++ ()()
=
+++ ()()
=
= 2,4806
,+,+,+,
..
+++
= 0,7875
EFECTO ABC = ̅ + ̅ − =
= 0,0875
+++
,+,+,+,
( )
,+,+,+,
=
= 0,0306
EFECTO BC = ̅ + ̅ − =
()()
()()
()()
= 0,5125
+++
,+,+,+,
( )
,+,+,+,
=
= 1,0506
EFECTO AC = ̅ + ̅ − =
SCAC=
+++
()()
()()
+++
,+,+,+,
( )
,+,+,+,
()()
= 33,3506
,+,+,+,
+++
= 2,8875
()()
EFECTO AB = ̅ + ̅ − = =
= 5,6406
()()
=
= 1,1875
EFECTO C = ̅ + ̅ − = ,+,+,+,
()()
= 0,1125
,+,+,+,
+++
=0,0506
EFECTO B = ̅+ ̅− = ,+,+,+,
+++ ()()
+++ ()()
=
= 1.2625
= 6,3756
= 13,3 14,7 ⋯ 1 9 , 2
,
= 49,4844
SCE = SCT - SCA - SCB – SCC-SCAB-SAC-SBC-SABC= 0,5050
a) ANOVA FV
SC
GL
CM
Fo
Fa
CD
A
0,0506
1
0,05062
0,80198
0,397
NS
B
5,6406
1
5,64062
89,3564
0,000
S
C
33,3506
1
33,3506
528,327
0,000
S
AB
1,0506
1
1,05062
16,6436
0,004
S
AC
0,0306
1
0,03062
0,48515
0,506
NS
BC
2,4806
1
2,48063
39,297
0,000
S
ABC
6,3756
1
6,37562
101
0,000
S
ERROR
0,5050
8
0,06313
TOTAL
49,4844
15
3,29896
b) CONCLUSIÓN: Los efectos significativos son los ingredientes B, C, AB, BC y ABC eso quiere decir que estos ingredientes si afectan a la viscosidad de la bebida.
c)
CONCLUSIÓN:
Con la ayuda de la gráfica de Daniele de normalidad podemos observar que los efectos no significativos son los ingredientes A y AC. d) Aplicando un ANOVA mejorado
FV
SC
GL
CM
Fo
Fa
CD
B
5,64062
1
5,64062
96,22
0,000
S
C
33,3506
1
33,3506
568.88
0,000
S
AB
1,05062
1
1,05062
17,92
0,002
S
BC
2,48063
1
2,48063
42,31
0,000
S
ABC
6,37562
1
6,37562
108,75
0,000
S
ERROR
0,5862
10
0,0586
TOTAL
49,4844
15
3,29896
CONCLUSIÓN: Considerando un ANOVA MEJORADO vemos que los efectos antes mencionados siguen siendo significativos, por lo tanto no hay un tratamiento para minimizar dichos efectos.
13. Se quiere aumentar el rendimiento de un proceso, y para ello se estudian tres factores con dos niveles cada uno. Se hacen tres repeticiones en cada tratamiento del diseño factorial 2 3 resultante. La variable de respuesta que se mide es rendimiento. Los datos son los siguientes:
a) ¿Cuáles efectos están activos? Hipótesis: X1 (A)
X2 (B)
X3 (C)
AB
AC
BC
ABC
Ho: Efecto.A=0 Efecto.B=0 Efecto.C=0 Efecto.AB=0 Efecto.AC=0 Efecto.BC=0 Efecto.ABC=0 Hi: Efecto.A≠0 Efecto.B≠0 Efecto.C≠0 Efecto.AB≠0 Efecto.AC≠0 Efecto.BC≠0 Efecto.ABC≠0
Análisis de Varianza Fuente
SC
GL
MC .
Fo
Valor p
Decisión
A
0,67
1
0,667
0,02
4,494
0,884
No Significativo
B
770,67
1
770,667
25,55
4,494
0,000
Significativo
C
280,17
1
280,167
9,29
4,494
0,008
Significativo
A*B
16,67
1
16,667
0,55
4,494
0,468
No Significativo
A*C
468,17
1
468,167
15,52
4,494
0,001
Significativo
B*C
48,17
1
48,167
1,60
4,494
0,224
No Significativo
Fα
28,17
1
28,167
Error
482,67
16
30,167
Total
2095,33
23
A*B*C
0,93
4,494
0,348
No Significativo
Gráfica de distribución F. df1=1. df2=16 0,9 0,8 0,7 0,6 d a d i 0,5 s n e 0,4 D
0,3 0,2 0,1
0,05 0,0
0
4,494
X
Conclusiones: Los efectos que se encuentran activos o que afectan directamente al rendimiento, identificados gracias a la tabla ANOVA son: El factor X2(B) El factor X3(C) El Efecto debido a la interacción entre X1 y X3 (Interacción AC)
X1 (A)
AB
ABC
Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta
Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta
Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta
DECISIÓN
DECISIÓN
DECISIÓN
Efecto.A=0
Efecto.AB=0
Efecto.ABC=0
X2 (B)
AC
Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza
Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza
DECISIÓN
DECISIÓN
Efecto.B≠0
Efecto.AC≠0
X3 (C)
BC
Hi: Se Acepta y Ho: Se Rechaza
Hi: Se Rechaza y Ho: Se Acepta
DECISIÓN
DECISIÓN
Efecto.C≠0
Efecto.BC=0
b) Si obtuvo una interacción importante, interprétela con detalle.
Gráfica de intervalos de rendimiento 95% IC para la media 60
50
o t n e i m 40 i d n e r 30
20 C A
-1
1
-1
-1
1 1
Las desviaciones estándar individuales se utilizaron para calcular los int ervalos.
Conclusión Como podemos observar en la gráfica de intervalos d rendimiento podemos
darnos cuenta que los tratamientos, A+C- y A+C+ son iguales ya que existe un traslape entre ellos
c) Determine las condiciones de operación que maximizan el rendimiento.
Conclusión: Considerando los efectos principales se establece el uso del factor X2 en su nivel
alto (B+) con un rendimiento del 46,5 y el factor X3 de igual manera (C+ ) con un rendimiento de 44,25, mientras que el efecto referido a X1(A) de berá considerarse en cualquier nivel ya que no afecta al rendimiento
Considerando los efectos interacción entre X1(A) y X3(C), se debe usar el
tratamiento con el factor X1 en el nivel bajo (A-) y el factor X3 en el nivel alto (C+) que nos entrega un rendimiento de 48,5. Debido a la interacción los factores X1 y X3 ya se encuentran establecido, a lo
que se suma el factor X2 con el nivel alto, resultando el tratamiento más idóneo: X1 A X2 B+ C+ X3
d) ¿Cuál es la respuesta esperada en el mejor tratamiento?
Para encontrar la respuesta esperado encontraremos la media correspondiente al tratamiento: X1 (A)
X2 (B)
X3 (C)
+ +
+ +
+ + +
REPLICAS I 40,0 60,0 39,0
II 37,0 50,0 41,0
III 36,0 54,0 47,0
̅ 37,667 54,667 42,333
El rendimiento esperado usando el tratamiento indicado (A-,B+,C+) es de 54.667.
e) Verifique los supuestos del modelo.
En este grafico podemos ver que los puntos o residuos están casi alineados
con la línea recta; por tato, decimos de que no hay problemas con los supuestos de normalidad. En esta grafica se puede ver que los puntos se distribuyen de manera aleatoria sobre la banda horizontal (sin ningún patrón claro y contundente); por lo tanto, cumple el supuesto de que los tratamientos tienen igual varianza.
