Ejercicio, cuadripolos con solución
Análisis y Diseño de Circuitos (Universidad Carlos III de Madrid)
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´ COLECCION DE PROBLEM PROBLEMAS AS
˜ DE CIRCUITOS ANALISIS Y DISENO
R O D A R R O B Grados en Ingenier´ Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicacione Comunicacioness y Sistemas Audiovisuales Audiovisuales Universidad Carlos III de Madrid Problemas de Cuadripolos
Versi´ on de 25 de marzo de 2014 on
´ SOLUCION
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Versi´ on de 25 de marzo de 2014 on
´ SOLUCION
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1.
Considere Considere los cuadripolos cuadripolos A A y B de la figura 1, donde Y 1 y Y 2 son valores de admitancias. 2Y 2
Y 2 Y 1
Y 1
Y 1
Y 1
2Y 2 (a) Cuadripolo A Cuadripolo A..
(b) Cuadripolo B Cuadripolo B . Figura 1
R O D A R R O B
a) Calcule las matrices de impedancias [[Z Z A] y [Z B ], y las matrices de admitancias [[Y Y A] y [Y B ] de cada uno de los cuadripolos. b) Considere ahora los cuadripolos C y D de la figura 2, que consisten en conexiones de los cuadripolos A y B estudiados en el apartado apartado anterior. anterior. Caracter Caracter´´ıcelos ıcelos mediante mediante los par´ametros ametros de impedancia o admitancia, seg´un un la elecci´on on que sea m´as as adecuada.
A
A
A
B
(a) Cuadripolo C Cuadripolo C ..
(b) Cuadripolo D Cuadripolo D..
Figura 2
Respuesta :
a) Cuadripolo A Cuadripolo A es una secci´on on en Π sim´etrica: etr ica: [y A ] =
[z A ] = [y A ]−1 =
Y 1 + Y 2
Y 12
−Y 2
−Y 2
Y 1 + Y 2
Y 1 + Y 2 Y 2 1 + 2Y 2Y 1 Y 2 Y 2 Y 1 + Y 2
(1) (2)
El cuadripolo B puede analizarse por nudos, eligiendo el borne inferior del puerto de la izquierda izquierda como tensi´ tension ´on de referencia:
1
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I 1
2Y 2
V a
I 2
V b
+
+ Y 1
V 1
Y 1
−
V 2
−
2Y 2 V c
R O D A R R O B I 1 = (Y 1 + 2Y 2 )V a I 2 = I 2 =
−
Dado que V 1 = V a , y V 2 = V b
− 2Y 2 V
b
−2Y 2V + (Y 1 + 2Y 2 )V − Y 1V −Y 1V + (Y 1 + 2Y 2)V a
c
b
c
b
− V , entonces I 1 = (Y 1 + 2Y 2 )V 1 − 2Y 2 V I 2 = −2Y 2 V 1 + (Y 1 + 2Y 2 )V − Y 1 (V − V 2 ) −I 2 = −Y 1V + (Y 1 + 2Y 2)(V − V 2) c
b
b
b
b
b
y despejando V b de la u ´ ltima ecuaci´on, y sustituyendo en las otras dos, se obtiene el sistema de ecuaciones que define la matriz de admitancias del cuadripolo: I 1 I 2
=
Y 1 + Y 2
−Y 2
−Y 2
V 1
Y 1 + Y 2
V 2
Los cuadripolos A y B tienen por tanto matrices de admitancia e impendancia iguales: Y 1 + Y 2
[y A ] = [y B ] =
−Y 2
−Y 2
Y 1 + Y 2
(3)
[z A ] = [yA ]−1
[z B ] = [yB ]−1
[z A ] = [z B ] =
Y 1 + Y 2 Y 2 1 Y 12 + 2Y 1 Y 2 Y 2 Y 1 + Y 2
b) Para analizar conexiones en paralelo suele ser m´as c´omodo utilizar par´ ametros de admitancia, especialmente si se cumplen las condiciones de Brune. Cuadripolo C : en la figura 3 se comprueba que se cumplen las condiciones de Brune en la conexi´on en paralelo de la izquierda (y por tanto tambi´ en en la de la derecha por ser los cuadripolos que se conectan sim´etricos).
2
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Y 2 +
Y 1
Y 1
V ′ = 0
Y 2 Y 1
Y 1
R O D A R R O B Figura 3: Verificaci´on de las condiciones de Brune en el cuadripolo C .
La matriz de admitancias de esta asociaci´on de cuadripolos en paralelo donde se cumple las condiciones de Brune es la suma de las matrices de admitancia de cada cuadripolo: [y C ] = 2[y A ] =
2Y 1 + 2Y 2
−2Y 2
−2Y 2
(4)
2Y 1 + 2Y 2
Cuadripolo D: en la figura 4 se comprueba que no se cumplen las condiciones de Brune en la conexi´on en paralelo de la izquierda, debido a la corriente I ′ que necesariamente debe circular por la admitancia 2Y 2 de la rama inferior del cuadripolo B . Y 2
+
V g
Y 1
Y 1
+
V ′ =
2Y 2
−
Y 1
Y 1
−I ′ 21
Y 2
=
V g
− 2 = 0
I ′
2Y 2
Figura 4: Verificaci´ on de las condiciones de Brune en el cuadripolo D.
La matriz de admitancias del circuito mostrado en la figura 2(b) no es, por tanto, la suma de matrices de admitancias de los cuadripolos A y B, y debe realizarse un an´alisis completo del cuadripolo mostrado en la figura 5. Una alternativa a este an´alisis es percatarse que la admitancia 2Y 2 de la rama inferior del cuadripolo B queda cortocircuitada al realizar la conexi´on en paralelo, y por tanto el cuadripolo D es equivalente al mostrado en la figura 5, el cual, a su vez, puede describirse como la conexi´on en paralelo de dos c´ elulas en Π donde es evidente que se cumplen las 1 conexiones de Brune .
1
La conexi´on en paralelo de dos cuadripolos puestos a tierra siempre cumple las condiciones de Brune.
3
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Y 2
Y 2 Y 1
Y 1
Y 1
Y 1
2Y 2
2Y 2 Y 1
Y 1
Y 1
Y 1
R O D A R R O B 2Y 2
Figura 5: Cuadripolo D.
Figura 6: Cuadripolo equivalente al cuadripolo D.
La suma de las matrices de admitancia de los cuadripolos marcados con l´ınea discontinua en en la figura 6 proporciona la matriz de admitancias pedida:
[yD ] =
2.
Y 1 + Y 2
−Y 2
−Y 2
Y 1 + Y 2
+
Y 1 + 2Y 2
−2Y 2
−2Y 2
Y 1 + 2Y 2
=
2Y 1 + 3Y 2
−3Y 2
−3Y 2
2Y 1 + 3Y 2
Sea un cuadripolo resistivo Q de par´ametros de impedancia y admitancia conocidos al que se le conecta un transformador ideal de relaci´on n 1 : 1 en la puerta 1 y otro transformador ideal de relaci´ o n 1 : n 2 en la puerta 2, seg´un se muestra en la figura. Obtenga la matriz de par´ametros de impedancia y de admitancia del conjunto.
n1 : 1
1 : n 2
Q
Respuesta :
Sean V 1 , V 2 , I 1 e I 2 las tensiones y corrientes entrantes en los terminales del cuadripolo completo, y sean V 1Q , V 2Q , I 1Q e I 2Q las respectivas tensiones y corrientes del cuadripolo Q, relacionadas por su matriz de par´ametros de impedancia
Q
V 1
V 2Q
=
Z 11 Z 12 Z 21 Z 22
I 1Q I 2Q
4
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o a la inversa, por su matriz de par´ametros de admitancia
Q
I 1
I 2Q
=
Y 11 Y 12 Y 21 Y 22
V 1Q V 2Q
Las condiciones de tensiones y corrientes del primer transformador son V 1 Q
V 1 y las del segundo
I 1
= n 1 ,
Q
I 1
V 2Q 1 = , V 2 n2
=
1 n1
I 2Q = n 2 I 2
R O D A R R O B
La definici´on de la matriz de par´ametros de impedancia de Q da lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales: V 1Q = Z 11 I 1Q + Z 12 I 2Q
V 2Q = Z 21 I 1Q + Z 22 I 2Q
Las tensiones y corrientes se pueden sustituir utilizando las relaciones de los transformadores, con lo que el sistema queda V 1 = Z 11 n1 I 1 + Z 12 n2 I 2 n1 V 1 = Z 21 n1 I 1 + Z 22 n2 I 2 n2 o lo que es equivalente, multiplicando las ecuaciones por n 1 y n2 , respectivamente, V 1 = Z 11n21 I 1 + Z 12 n1 n2 I 2 V 1 = Z 21n1 n2 I 1 + Z 22 n22 I 2
de donde se pueden identificar los coeficientes de la matriz de par´ametros de impedancia de la red completa, Z 11 n21 Z 12 n1 n2 [Z ] = . Z 21 n1 n2 Z 12 n22 An´alogamente, la matriz de par´ ametros de admitancia de Q define otro sistema de dos ecuaciones lineales, I 1Q = Y 11V 1Q + Y 12 V 2Q I 2Q = Y 21V 1Q + Y 22 V 2Q
donde haciendo de nuevo las mismas sustituciones de tensiones y corrientes seg´un las relaciones de los transformadores resulta V 1 V 2 n1 I 1 = Y 11 + Y 12 n1 n2 V 1 V 2 n2 I 2 = Y 21 + Y 22 n1 n2 y dividiendo las ecuaciones por n 1 y n 2 , respectivamente, se llega a
V 1 V 2 + Y 1 2 n1 n2 n21 V 1 V 2 I 2 = Y 21 + Y 22 2 n1 n2 n2 I 1 = Y 11
5
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De nuevo, los coeficientes son los de la matriz de par´ametros de admitancia del cuadripolo completo, Y 11 Y 12 n1 n2 n21 [Y ] = . Y 21 Y 22 n1 n2 n22
3.
Sea la red en T puenteada de la figura.
R O D A R R O B Z 4
Z 1
Z 3
Z 2
Se pide:
a) Dibujar la red como la conexi´ on en paralelo de dos redes.
b) Calcular la matriz de par´ametros de admitancia de la red en T-puenteada. Respuesta :
a) La red en T puenteada del enunciado es la asociaci´o n paralelo de una red en T y una impedancia serie como se muestra en la Figura 1. Z 1
Z 3
Z 2
Z 4
Figura 1: Red en T puenteada como asociaci´on paralelo.
6
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b) Es f´acil comprobar que se cumplen las condiciones de Brune en la asociaci´on (v´ease la Figura 2) y, por tanto, la matriz de admitancia de la asociaci´on es la suma de las matrices de admitancia de cada uno de los circuitos asociados. Las matrices de admitancia de los circuitos (c´elula en T e impedancia serie) se indican en la Figura 3. Z 1
Z 3
Z 2
R O D A R R O B +
V = 0
Z 4
−
Figura 2: Verificaci´on de la condici´on de Brune por el puerto 1 (el resultado por el puerto 2 es id´entico)
[Y A ] =
−1
Z 1 + Z 2
Z 2
Z 2
Z 2 + Z 3
Z 1
[Y B ] =
Z 3
1 Z 4
− Z 1
− Z 1
1 Z 4
4
4
Z 4
Z 2
(a): C´elula en T.
(b): Impedancia serie.
Figura 3: Circuitos de la asociaci´on paralelo y sus matrices de admitancia.
En t´ erminos de las admitancias Y i = Z i−1 , las matrices de admitancia de los circuitos quedan:
[Y A ] =
Y 1 Y 3 + Y 1 Y 2 Y 1 + Y 2 + Y 3
−
Y 1 Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3
3 − Y 1 +Y Y 1Y 2 + Y 3
Y 1 Y 3 + Y 2 Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3
[Y B ] =
Y 4
−Y 4
−Y 4 Y 4
7
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con lo que la matriz de admitancias de la red en T puenteada es:
[Y ] red en T puenteada =
4.
Y 1 Y 3 + Y 1 Y 2 Y 4 + Y 1 + Y 2 + Y 3
−
Y 4
−
−Y 4 −
Y 1 Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3
Y 1 Y 3 Y 1 + Y 2 + Y 3
Y 1 Y 3 + Y 2 Y 3 Y 4 + Y 1 + Y 2 + Y 3
.
Sea la red de la figura.
R O D A R R O B C 1
C 1
R1
R1
R2
C 2
Se pide:
a) Dibujar la red como la conexi´ on en paralelo de dos redes.
b) Calcular la matriz de par´ametros de admitancia de la red completa. Respuesta :
a) La red de la figura del enunciado es la asociaci´ on paralelo de dos redes en T tal y como se aprecia en la Figura 1. R1
R1
C 2
C 1
C 1
R2
Figura 1: Red como asociaci´on paralelo de dos c´ elulas en T.
8
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b) Es f´acil comprobar que se cumplen las condiciones de Brune en la asociaci´on (v´ease la Figura 2) y, por tanto, la matriz de admitancia de la asociaci´on es la suma de las matrices de admitancia de cada uno de los circuitos asociados. El c´alculo de la matriz de admitancia de cada uno de los circuitos asociados se ha visto en otros ejercicios dado que se trata de redes en T. En la Figura 3 se indican dichas matrices de admitancia. R1
R1
C 2
R O D A R R O B C 1
+ V = 0
C 1
−
R2
Figura 2: Verificaci´on de la condici´on de Brune por el puerto 1 (el resultado por el puerto 2 es id´entico)
R1 +
A
[Y ] =
1 sC 2
1 sC 2
R2 +
−1
1 sC 2
[Y B ] =
R2
1 R1 + sC 2
R1
1 sC 1
R2
R2 +
C 1
R1
−1
1 sC 1
C 1
R2
C 2
(a): Red T A .
(b): Red T B
Figura 3: Circuitos de la asociaci´on paralelo y sus matrices de admitancia.
Realizando la operaci´ on de inversi´on de matrices indicada anteriormente, se obtiene:
A
[Y ] =
1 + R1 sC 2 2R1 + R21 sC 2
−
1 2R1 + R12 sC 2
− 2R +1R2sC 1
1
2
1 + R1 sC 2 2R1 + R12 sC 2
B
[Y ] =
sC 1 + R2 s2 C 12 2sC 1 R2 + 1
−
R2 s2 C 12 2sC 1 R2 + 1
−
R2 s2 C 12 2sC 1 R2 + 1
sC 1 + R2 s2 C 12 2sC 1 R2 + 1
9
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Con todo ello, la matriz de admitancias de la red del enunciado es:
[Y ] red completa =
5.
1 + R1 sC 2 sC 1 + R2 s2 C 12 + 2sC 1 R2 + 1 2R1 + R12 sC 2
−
1 R2 s2 C 12 + 2R1 + R12 sC 2 2sC 1 R2 + 1
−
1 R2 s2 C 12 + 2R1 + R12 sC 2 2sC 1 R2 + 1
1 + R1 sC 2 sC 1 + R2 s2 C 12 + 2sC 1 R2 + 1 2R1 + R12 sC 2
Sea un cuadripolo Q del que se conocen sus par´ametros de impedancia [Z ] y admitancia [Y ]. Considere el cuadripolo Q ′ resultante de conectar al cuadripolo Q en su entrada y salida sendas impedancias en serie (v´ease la figura 1(a)), y el cuadripolo Q′′ resultante de conectar impedancias en paralelo (v´ ease la figura 1(b)).
R O D A R R O B Q′
Z A
Z B
Q
[Z ], [Y ]
(a): Impedancias en serie.
Q′′
Y A
Q
Y B
[Z ], [Y ]
(b): Impedancias en paralelo.
Figura 1: Cuadripolo Q con impedancias a su entrada/salida.
Se pide: a) Calcular los par´ ametros [Z ] o [Y ] (uno de ellos; el que estime oportuno) para el cuadripolo ′ Q de la figura 1(a). 10
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b) Lo mismo, para el cuadripolo Q ′′ de la figura 1(b). Respuesta :
a) De acuerdo con las tensiones en entrada y salida del cuadripolo definidas en la figura 2 y las corrientes I 1 = I 1′ , I 2 = I 2′ , definidas en sentido entrante al cuadripolo, se tiene: V 1′ = Z A I 1 + V 1 V 2′ = Z B I 2 + V 2
R O D A R R O B
Adem´ as, la relaci´on entre V 1 , V 2 y las corrientes es conocida dado que se conocen los par´ametros del cuadripolo Q,
V 1 = Z 11 I 1 + Z 12I 2 V 2 = Z 21 I 1 + Z 22I 2
Q′
−I 1 →
I 2 ← −
+
+
+
+
V 1′
V 1
V 2
V 2′
−
−
−
−
I 1′
Z A
−→
Q
[Z ], [Y ]
Z B
I 2′
←−
Figura 2: Cuadripolo con impedancias en serie (definici´on de tensiones y corrientes en juego). Por tanto, combinando las expresiones anteriores resulta
V 1′ = Z A I 1 + Z 11 I 1 + Z 12I 2
V 2′ = Z B I 2 + Z 21 I 1 + Z 22 I 2
y expresando el sistema de dos ecuaciones en forma matricial se puede despejar la matriz de par´ametros de admitancia, V 1′ V 2′
=
Z A + Z 11
Z 12
I 1
Z 21
Z B + Z 22
I 2
⇒
[Z ′ ] =
Z A + Z 11
Z 12
Z 21
Z B + Z 22
(1)
N´ otese c´omo los par´ ametros Z 21 y Z 12 de los cuadripolos Q y Q ′ son id´enticos. El resultado de a˜ nadir impedancias en serie se traduce simplemente en a˜nadir dichas impedancias de entrada y salida al Z 11 y Z 22 , respectivamente, del cuadripolo original. Una forma alternativa de llegar al resultado anterior para [Z ′ ] es considerando el circuito equivalente en T de un cuadripolo del que se conocen sus par´ametros [Z ]. Dicho circuito 11
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equivalente se muestra en la figura 3, donde se a˜nade el generador dependiente de tensi´on en el caso de que el cuadripolo no sea rec´ıproco.
−I 1 →
I 2 ← −
−I 1 →
+
+
+
V 2
V 1
−
−
Q
V 1
[Z ]
−
Z 11
− Z 12
Z 22
− Z 12
+
(Z 21 Z 12
− Z 12)I 1
R O D A R R O B
Si al circuito equivalente del cuadripolo Q de la figura 3 se le a˜ naden las impedancias serie Z A y Z B , se obtendr´a el circuito de la figura 4. A partir de dicha figura, es f´acil inferir el resultado mostrado en (1) para los par´ametros de impedancia del cuadripolo Q ′ .
Q
−I 1 →
Z A
Z 11
− Z 12
Z 22
+
− Z 12
+
(Z 21
V 1
Z 12
Z B
− Z 12)I 1
−
I 2 ← − +
V 2
−
Figura 4: Circuito equivalente en T del cuadripolo Q con impedancias serie
b) En el caso del cuadripolo Q′′ , las tensiones en los terminales son iguales que en el cuadripolo interno Q, la corriente a la entrada de Q ′′ es la suma de la que entra al cuadripolo Q y la que circula por Y A (de valor Y A V 1 ), mientras que la corriente a la salida de Q ′′ es la suma de la que entra a Q y la que circula por Y B (de valor Y B V 2 ). Esto da lugar a un an´alisis dual, del que resulta la matriz de par´ametros de admitancia [Y ′ ] =
Y A + Y 11
Y 12
Y 21
Y B + Y 22
con conclusiones an´alogas (duales) a las del apartado anterior.
6.
+ V 2
−
Figura 3: Circuito equivalente en T del cuadripolo Q
Q′
I 2 ← −
Considere los cuadripolos A, B y C de la figura 1. 12
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R1
R1
R1 /2
R2
R1 /2
R2 R1 /2
(a) Cuadripolo A.
R1 /2
(b) Cuadripolo B . R3
R O D A R R O B R4
R4
R3
(c) Cuadripolo C . Figura 1
a) Calcule las matrices de impedancias, [z A ], [z B ] y [z C ]; y las matrices de admitancias [y A ], [y B ], y [yC ], de cada uno de los cuadripolos. b) Caracterice la uni´on en paralelo de los cuadripolos A y C mediante los par´ametros de admitancia o impedancia, seg´ un la elecci´on que le parezca m´as adecuada. c) Caracterice la uni´on en paralelo de los cuadripolos B y C mediante los par´ ametros de admitancia o impedancia, seg´ un la elecci´on que le parezca m´as adecuada. d) Teniendo en cuenta los resultados anteriores, indique si los cuadripolos A y B son o no son equivalentes, o bajo qu´e condiciones lo ser´ıan. NOTA: Una
vez calculadas las expresiones pedidas en funci´on de R1 , R2 , R3 y R4 , no es necesario simplificarlas. Respuesta :
a) Cuadripolo A es una secci´on en T sim´etrica: [z A ] =
R1 + R2
R2
R2
R1 + R2
El cuadripolo B puede analizarse por mallas 2 : 2
Observese que no se est´a aplicando el m´etodo sistem´atico de an´alisis por mallas, pues no se han definido las corrientes de malla I 1 y I 2 en el mismo sentido. En consecuencia las ecuaciones de cada malla no son como las que se obtienen habitualmente cuando se aplica dicho m´etodo sistem´atico. Se ha hecho as´ı para que las corrientes de malla coincidan con las corrientes de entrada al cuadripolo. Obviamente, tambi´ en p odr´ıa haberse hecho aplicando el m´etodo sistem´atico y cambiado luego el signo a una de las corrientes.
13
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R1 /2
R1 /2
+
+ I 1
V 1
−
I 2
R2 R1 /2
V 2
−
R1 /2
R1 R 1 V 1 = I 1 + R2 (I 1 + I 2 ) + I 1 V 1 R1 + R2 R2 2 2 = R1 R 1 V 2 R2 R1 + R2 V 2 = I 2 + R2 (I 1 + I 2 ) + I 2 2 2 Los cuadripolos A y B tienen por tanto matrices de impedancia iguales:
⇒
I 1 I 2
R O D A R R O B [z A ] = [z B ] =
R1 + R2
R2
R2
R1 + R2
La matriz de admitancia de cada circuito se pueden obtener invirtiendo su matriz de impedancia: [y A ] = [z A ]−1
[yB ] = [z B ]−1
[y A ] = [y B ] =
R1 + R2 R2 1 R12 + 2R1 R2 R2 R1 + R2
−
−
El cuadripolo C es una celos´ıa sim´etrica. Podr´ıa plantearse igualmente un an´alisis de mallas, o un an´alisis de nudos. En la soluci´on ofrecida se calculan directamente los par´ametros de impedancia a partir de su definici´on: R3
+
I 1
V 1
R4
+
R4
V 2
−
+
I 1
R4
+ V 2
−
V 1
−
−
R3
R4
R3
R3
z11
z11
C C El c´alculo de z11 (igual a z22 por simetr´ıa), se reduce al c´alculo de la impedancia que muestra la uni´on en paralelo de las resistencias en serie R 4 + R3 y las resistencias en serie R3 + R4 : V 1 1 C C z11 = = (R4 + R3 ) = z 22 . I 1 I =0 2 2
C Para calcular z21 s´ olo hay que tener en cuenta que la corriente I 1 se divide en dos partes iguales en dicha uni´on en paralelo (por tener el mismo valor de impedancia ambas ramas). A partir de la ecuaci´on de una de las mallas que incluye la ca´ıda de tensi´on V 2 se obtiene entonces el siguiente resultado:
V 2 =
I 1 R 4 2
− I 21 R 3
14
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V 2 C z21 = I 1
I 1
=
2 R 4
I 2 =0
I 1
− 2 R3 = 1 (R − R ) = z . 4 3 12 I 1 2 C
Los par´ ametros de admitancia de la celos´ıa se pueden obtener de la inversi´on de la matriz de impedancias obtenida, o tambi´en de forma directa mediante un an´alisis dual al presentado:
1 R4 + R3 R4 R3 [z C ] = , 2 R4 R3 R4 + R3
[y C ] = [z C ]−1 =
−
−
2
R4 + R3
−R4 + R3
R O D A R R O B =
(R4 + R3
1 2
)2
)2
− (R4 − R3 −R4 + R3 1 −1 R−1 − R−1 R− 4 + R3 4 3 1 1 1 − − − R4 − R3 R4 + R3−1
R4 + R3
.
b) La uni´on en paralelo de cuadripolos se caracteriza c´omodamente mediante par´ametros de admitancia, ya que, si se cumplen las pruebas de Brune, se corresponden con la suma de las matrices de admitancia de cada cuadripolo. Al ser sim´etricos los cuadripolos A y C , solo es necesario hacer una de las pruebas de Brune: R1
R1
+
R2
+
V ′
R3
R4
−
R4
R3
En este esquema se puede apreciar que la ca´ıda de tensi´on V ′ coincide con la ca´ıda de tensi´ on en la resistencia R 3 situada en la parte inferior o la ca´ıda de tensi´on de la resistencia R4 situada en la parte de la derecha de la celos´ıa. Es evidente que en ese montaje las corrientes que atraviesan ambas resistencias no es nula, y por tanto: V ′ = 0,
lo que implica que no se cumplen las condiciones de Brune, y por tanto la matriz de admitancia buscada no se corresponde con la suma de las matrices de admitancias de los cuadripolos A y C . El montaje de ambos cuadripolos en paralelo puede verse en la siguiente figura, donde se puede observar como una de las resistencias de la celos´ıa queda cortocircuitada, y por tanto puede retirarse del an´alisis:
15
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R1
R1
R1
R1
R2
R2
R3
R3
R4
R4
R4
R4
R O D A R R O B R3
El cuadripolo resultante puede verse como la uni´on en paralelo de una secci´o n T y una secci´on Π, cuyas par´ametros de admitancia son: [y Π ] =
1 −1 R− 4 + R3
−R3−1
−R3−1
R4−1 + R3−1
.
Esta uni´on en paralelo s´ı cumple las pruebas de Brune: R1
R1
+
R2
+
V ′ = 0
R3
−
R4
R4
y por tanto
[y
||
A C
Π
A
] = [y ] + [y ] =
R4−1 + R3−1 +
−R3−1 −
R1 +R2 R21 +2R1 R2 R2 R21 +2R1 R2
−R3−1 −
R4−1 +
R2 R21 +2R1 R2 1 +R2 R3 1 + R2R+2 R1 R2 1
−
c) Al hacer la pruebas de Brune en la conexi´on en paralelo de los cuadripolos B y C se obtiene el siguiente circuito:
16
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R1 /2 V 1
R1 /2
R1 /2 V 1
+
+
R2 /2
2
R2 R1 /2
V 1
R2 /2
+
R2 /2
2
V
R3
R1 /2
′
R4
R4
R1 /2
R2 /2
R3
R4
R4
R3
R O D A R R O B R3
Las dos redes equilibradas de la figura tiene la propiedad de tener la misma tensi´on a lo largo del eje de simetr´ıa (l´ınea azul discontinua), por lo que V ′ = 0,
con lo que quedan verificadas las pruebas de Brune. Por tanto, los par´ametros de admitancia de la uni´on en paralelo de los cuadripolos B y C se corresponden con la suma de las matrices de admitancia de cada cuadripolo: 1 1 R− +R− 4 3
[y
||
B C
C
B
] = [y ] + [y ] =
2
1 1 R− R− 4 3
− 2
+
R1 +R2 R21 +2R1 R2
−
R2 R +2R1 R2 2 1
1 1 R− R− 4 3
−
2 R4 1 +R3 1 2 −
−
−
+
R2 R21 +2R1 R2 R1 +R2 R21 +2R1 R2
d) Los cuadripolos A y B tienen la misma matriz de impedancias (y, consecuentemente, de admitancias), por lo que son equivalentes siempre y cuando se comporten como cuadripolos, es decir, mientras que la corriente circulatoria sea nula (dicho de otro modo, que la corriente que entra por uno de los bornes de una puerta sea igual a la corriente que sale por el otro borne de la misma puerta.) Si no se cumple esta condici´on, entonces la sustituci´on del circuito A por el circuito B en un determinado montaje puede dar lugar a redes con comportamientos el´ectricos diferentes, como se ha visto en los apartados b) y c). En definitiva los circuitos A y B no son en general equivalentes, aunque s´ı que sean cuadripolos equivalentes cuando funcionan como tales.
7.
Realice las siguientes demostraciones asumiendo que dos cuadripolos son equivalentes cuando las matrices que los caracterizan son iguales. a) Demostrar que los cuadripolos mostrados en la figura 1 pueden ser equivalentes, especificando los valores de L1 , L 2 y L3 en funci´on de La , Lb y M para los que se cumple dicha equivalencia.
17
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V
′
L1
La
• M •
L2
Lb
L3
Figura 1: Equivalencia de bobinas acopladas. b) Demuestre que la equivalencia de los cuadripolos mostrados en la figura 2 puede darse siempre.
R O D A R R O B L1
La
• M •
• n : 1 •
Lb
L2
L3
Figura 2: Equivalencia del transformador real.
Respuesta :
a) Ambos cuadripolos est´ an compuestos exclusivamente por elementos reactivos que no pueden disipar potencia y modelan un fen´omeno de almacenamiento de energ´ıa magnetoest´atica, por lo que la equivalencia es, en principio, posible. Para demostrarla calculamos las matrices de impedancias de ambos cuadripolos: Matriz de impedancias del cuadripolo de la izquierda en la figura 1, [ Z (1)]: Al analizar por mallas el circuito que forma el cuadripolo, M
V 1
I 1
La
I 2
Lb
V 2
se obtienen las siguientes ecuaciones:
V 1 = sL a I 1 + sM I 2 V 2 = sL b I 2 + sM I 1
a partir de las cuales la identificaci´on de los par´ametros de impedancia es inmediata: [Z (1) ] =
sLa sM sM
sLb
18
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(1)
Matriz de impedancias del cuadripolo de la derecha en la figura 1, [Z (2) ]: Al analizar por mallas el circuito que forma el cuadripolo, L1
V 1
L2
I 1
L3
I 2
V 2
R O D A R R O B se obtienen las siguientes ecuaciones:
V 1 = sL 1 I 1 + sL3 (I 2 + I 1 ) V 2 = sL 2 I 2 + sL3 (I 2 + I 1 )
a partir de las cuales la identificaci´on de los par´ametros de impedancia es pr´acticamente inmediata: s(L1 + L3 ) sL3 [Z (2)] = (2) sL3 s(L2 + L3 )
Para que ambos cuadripolos sean equivalentes basta con identificar t´ ermino a t´ ermino los elementos de las matrices mostradas en las ecuaciones (1) y (2): La = L 1 + L3 . Lb = L 2 + L3
L1 = L a L2 = L b
M = L 3
L3 = M
− M − M
(3)
Para que la equivalencia sea v´alida de derecha a izquierda, dados unos valores de inductancias L1 0, L2 0 y L3 0, debe cumplirse que las autoinductancias La y Lb sean positivas, y que el factor de acoplamiento entre ellas sea menor que la unidad. Dichas condiciones siempre se cumplen:
≥
≥
≥
La = L 1 + L3
≥ 0 L = L 2 + L3 ≥ 0 M k = √ = L L b
a
b
L3 L1 L2 + L1 L3 + L2 L3 + L23
≤1
De la misma forma, para que la equivalencia sea v´alida en sentido inverso, debe cumplirse que, dadas unas autoinductancias La y Lb positivas, y un factor de acoplamiento entre ellas menor que la unidad, las inductancias L1 , L2 y L3 deben ser positivas, lo cual, sin embargo, no siempre se cumple: L1 = L a L2 = L b
− M ≥ 0 ⇒ L ≥ k a
− M ≥ 0 ⇒ L
b
La Lb
≥ k
La Lb
⇒ k ≤
⇒ k ≤
La Lb Lb La
19
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En conclusi´on, los circuitos de la figura 1 pueden ser equivalentes si el factor de acoplamiento entre las bobinas L a y Lb cumple la siguiente condici´on: k =
√ LM L ≤ m´ın a
b
La , Lb
Lb La
en cuyo caso la relaci´on entre los valores de inductancia que caracterizan los elementos de ambos cuadripolos viene dada por la ecuaci´on (3). Obs´erverse que a´un en el caso de ser posible la equivalencia, dicha equivalencia s´olo es v´ alida si ambos circuitos est´ en funcionando como cuadripolos. En el circuito de la izquierda esto va a ser siempre cierto, dado que la corriente que entra por un borne en un puerto va a ser siempre igual a la que sale por el otro borne del mismo puerto. En el de la derecha, sin embargo, nada garantiza que vaya a ser as´ı para cualquier tipo de red a la que se conecte dicho cuadripolo (en este sentido, v´ease lo que ocurre al realizar montajes iguales con cuadripolos te´oricamente equivalentes en los problemas 6 y 1).
R O D A R R O B
b) Utilizando el resultado del problema 2, la matriz de impedancias del cuadripolo de la derecha en la figura 2 puede calcularse a partir de la matriz de impedancias del cuadripolo de la derecha en la figura 2 que se dio en la ecuaci´on (2): (2)
[Z ] =
sn2(L1 + L3 )
snL3
snL3
s(L2 + L3 )
(4)
Al identificar ahora los elementos de las matrices dadas en (4) y (1) se obtiene el siguiente resultado: La nM L = 1 n2 La = n 2 (L1 + L3 ) nLb M . Lb = L 2 + L3 (5) L2 = n M = nL 3 M L3 = n Donde el valor de n queda en principio como un valor arbitrario. Es inmediato comprobar que de las expresiones de la izquierda se deducen par´ametros de bobinas acopladas v´alidos (autoinductancias positivas y factor de acoplamiento menor que la unidad) a partir de valores positivos de L1 , L2 , L3 y n. Sin embargo, como en el caso anterior tenemos que verificar con mas cuidado la validez de las expresiones de la derecha:
− −
− nM ≥ 0 ⇒ L ≥ nk L L ⇒ k ≤ 1 L n2 n L √ nL − M k L L L L2 = ≥ 0 ⇒ L ≥ ⇒ k ≤ n n n L L1 =
La
a
b
a
a
b
a
b
b
b
b
a
y por tanto los circuitos de la figura 2 pueden ser equivalentes si el factor de acoplamiento entre las bobinas L a y L b cumple la siguiente condici´on: k =
√ LM L ≤ m´ın a
b
1 n
La ,n Lb
Lb La
(6)
Dado que el valor de n todav´ıa no ha sido especificado, se puede elegir de forma que esta condici´ on se verifique siempre. Si se elige 3 : n = 3
La Lb
No es la u ´ nica posibilidad.
20
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entonces la condici´on (6) queda reducida a k 1, que debe cumplirse en cualquier pareja de bobinas acopladas. Con esta elecci´on, la equivalencia entre los dos circuitos de la figura 2 queda establecida por las siguientes ecuaciones:
≤
.
La = n 2 (L1 + L3 )
L1 = L 2 = (1
Lb = L 2 + L3
L3 = kL b
k =
8.
L3 (L1 + L3 )(L2 + L3 )
n =
− k)L
b
(7)
La Lb
R O D A R R O B
Se dispone de un conjunto de cuadripolos Q de los que se sabe que son id´enticos y de tipo RLCM (compuestos por resistencias, bobinas, condensadores y bobinas acopladas). Se desea caracterizar Q en regimen permanente sinusoidal a una determinada pulsaci´on de trabajo. Para ello se miden en el laboratorio las impedancias que muestran los tres montajes mostrados en la figura 1, obteniendo los siguientes resultados:
√ − √ 75 3
Z 1 = j25 3 Z 2 = j
2 25 3 Z 3 = j 2
√
−
Determine:
a) Si el cuadripolo es rec´ıproco. b) Si el cuadripolo es sim´etrico.
c) Par´ ametros [z] (matriz de impedancias) del un cuadripolo compatible con las medidas obtenidas. d) Cuadripolo equivalente en “T” compatible con las medidas obtenidas. e) P´erdidas de transmisi´on del cuadripolo.
f) P´ erdidas de inserci´ on del cuadripolo, cuando se alimenta en uno de sus puertos con un generador real de impedancia interna Rg = 1Ω, y se carga en el otro puerto con una resistencia R L = 1 Ω.
Q
Q
Z 2
Z 3
Q
Q
Q
Z 1 Figura 1: Medidas de caracterizaci´on de cuadripolos.
Respuesta :
21
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a) Dado que el cuadripolo Q est´a formado por resistencias, bobinas, condensadores y bobinas acopladas, todos ellos elementos rec´ıprocos: El cuadripolo Q es rec´ıproco b) El cuadripolo Q ser´a sim´etrico si se comporta igual visto (medido) desde un lado que desde el otro. Esta caracter´ıstica la podemos comprobar observando si los valores de z11 y z22 coinciden4 . Para calcular z11 y z22 debemos tener presente la definci´on de los par´ametros de impedancia: V 1 z11 = I 1
R O D A R R O B V 2 I 2
z22 =
I 2 =0
I 1 =0
La medida de Z 1 , con el puerto 2 terminado en un abierto, coincide con las condiciones en las que se define z 11 , por lo que:
√
Z 1 = z 11
⇒ z11 = − j25
3
(1)
Por otra parte en la medida de Z 3 , los dos cuadripolos involucrados tienen el puerto 1 terminado en un circuito abierto, por lo que la impedancia que muestran cada uno de ellos en su puerto 2 es precisamente z 22 . Dado que estos puertos est´an conectados en paralelo: Z 3 =
√ ⇒ z22 = − j25 3
z22 2
(2)
Teniendo en cuenta que se cumple z 11 = z 22 , podemos concluir: El cuadripolo Q es sim´etrico
c) Teniendo en cuenta que z11 y z22 ya han sido calculados en las ecuaciones (1) y (2) solo falta por calcular z12 y z 21 . Adem´as, dado que el cuadripolo es rec´ıproco (v´ease apartado a), los dos valores que nos falta por calcular son iguales: z12 = z 21 . La u ´nica medida que no se ha utilizado todav´ıa, Z 2 , debe ser la que nos proporcione la informaci´ on necesaria para terminar de calcular la matriz de impedancias [z]. En esta medida los cuadripolos tienen el puerto 2 cortocircuitado, que es justamente la condici´on en la que se obtienen la matriz de admitancias [y]. En concreto: I 1 V 1
y11 =
V 2 =0
Dado que Z 2 es la impedancia que muestran dos cuadripolso Q conectados en paralelo cuando sus puertos 2 est´an cortocircuitados, entonces 1 = y 11 + y11 Z 2
⇒ y11 = j751√ 3
La matriz de admitancias es igual a la inversa de la matriz de impedancias: [Y ] = [Z ]−1
⇒
y11 y12 y21 y22
=
z11 z12 z21 z22
1
−
4
Igualmente podr´ıa comprobarse verificando si se cumple la condici´on y11 = y 22 con los parametros de admitancia, A = D con la matriz de transmisi´on, o Z 01 = Z 02 con las impedancias imagen.
22
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y por tanto: y11 =
z22 z11 z22
− z122
⇒ z12 =
±
z11 z22
− zy2211
Al sustituir los valores de z 11 , z 22 y y 11 se obtiene:
√
z12 = z 21 = j50 3
±
Las matrices de impedancia compatibles con las medidas obtenidas son, por tanto: [z] =
√ √ j25 3 j50 3 √ √ j50 3 − j25 3
(3)
√ √ j25 3 − j50 3 − j50√ 3 − j25√ 3
(4)
−
R O D A R R O B y
[z] =
−
d) El circuito equivalente en “T” de cualquier cuadripolo rec´ıproco caracterizado por su matriz de impedancias es el siguiente: Z A
Z B
Z C
donde es sencillo verificar las siguientes ecuaciones
z11 = Z A + Z C
z22 = Z B + Z C
z12 = z 21 = Z C
Despejando se obtiene los valores que deben tener las impedancias del equivalente en “T”, Z A = z 11
Z B
− z12 = z 22 − z12
Z C = z 12
Si se aplica este resultado a las ecuaciones (3) o (4), se obtienen uno de los siguientes resultados:
− j75√ 3
− j75√ 3
√
j25 3
√
√
j25 3
− j50√ 3
j50 3
23
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e) Al ser un cuadripolo reactivo puro (las impedancias que forman su circuito equivalente tiene valores imaginarios puros, con parte real nula) no puede disipar potencia en su interior, y por tanto P 1 = P 2 : P 1 P Tx = =1 P Tx = 0 dB P 2
⇒
No har´ıa falta razonar m´ as, pero, por motivos docentes, se comprueba este resultado analizando el siguiente circuito: I 1
Rg
I 2
+
+
R O D A R R O B P 1
V 1
E g
P 2
Q
−
V 2
RL
−
donde
1 P 1 = Re V 1 I 1 ∗ 2 1 P 2 = Re V 2 ( I 2 )∗ 2
{ } { − }
El an´alisis puede realizarse utilizando las matrices de impedancias dadas en las ecuaciones (3) o (4), o utilizando alguno de los equivalentes en “T” obtenidos en el apartado d). Si se opta por esta u ´ltima alternativa, debe an´alizarse el siguiente circuito: Z A
Rg
Z B
+
V 1
E g
P 1
I a
I b
Z C
+
P 2
V 2
−
RL
−
Al realizar el an´alisis por mallas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: E g 0
=
Rg + Z A + Z C
−Z
−Z
C
RL + Z B + Z C
C
I a
(5)
I b
cuya soluci´on es:
√ − − Z 2 E = (1 − √ √ ± j50 Z 3 √ I = E = E 2 (R + Z + Z )(R + Z + Z ) − Z (1 − j25 3)2 + 7500
RL + Z B + Z C I a = (Rg + Z A + Z C )(RL + Z B + Z C ) b
A
C
L
B
C
g
g
C
C
g
g
1 j25 3 E g j25 3)2 + 7500
C
Una vez analizado por mallas el circuito, todas las variables circuitales se pueden calcular
24
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de forma inmediata: I 1 = I a I 2 =
−I V 1 = E − I R b
g
√ 1 − j25 3 √ = 1− (1 − j25 3)2 + 7500 √ ± j50 3 √ = (1 − j25 3)2 + 7500 a
V 2 = I b RL
g
E g
La potencia entregada al cuadripolo por la izquierda es
√ 3 1 + j25√ 3 | | − 1 E 5625 j25 √ √ P 1 = Re {V 1 I 1 ∗ } = Re 2 2 5626 − j50 3 5626 + j50 3 √ | E |2 5625 + 1875 + j25 3(5625 − 1) = Re
R O D A R R O B g
2
g
2
56262 + 7500
| E |2 = g
2
7500 56262 + 7500
La potencia que el cuadripolo entrega por la derecha es
± j50√ 3√ ∓ j50√ 3√ 5626 − j50 3 5626 + j50 3 | E |2 =
2 { − } | | Re
E g 1 P 2 = Re V 2 ( I 2 )∗ = 2 2
g
2
7500 56262 + 7500
(6)
Como ya hab´ıa sido anticipado, P 1 = P 2 , y por tanto: P Tx =
P 1 =1 P 2
⇒ P Tx = 0 dB
(7)
f) Las p´erdidas de inserci´on se definen de acuerdo a la siguiente relaci´on de potencias: P I =
P 20 P 2
donde P 2 es la potencia que entrega el cuadripolo a la carga, y que ya ha sido calculada en el apartado anterior en la ecuac´on (6), mientras que P 20 es la potencia que llegar´ıa a la carga si se conectase directamente el generador a la carga quitando el cuadripolo, tal y como muestra el siguiente circuito: Rg
I 20
+
V 20
E g
P 20
RL
−
Teniendo en cuenta que R g = R L = 1 Ω, al conectar el generador directamente a la carga: E g V 20 = 2
⇒
| |2
E g 1 P 20 = V 20 2 RL = 2 8
| |
(8)
Relacionando esta ecuaci´on con (6) se obtienen las p´ erdidas de inserci´on: P 20 56262 + 7500 P I = = P 2 30000
≃ 1000 ⇒ P I ≃ 30 dB
25
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(9)
9.
En relaci´ on con los conceptos de potencias en cuadripolos, se pide: a) Demostrar que las p´ erdidas de inserci´on equivalen a las p´erdidas de transmisi´o n en un cuadripolo rec´ıproco y sim´etrico cargado con su impedancia imagen. b) Razonar que las p´erdidas de transmisi´on en un cuadripolo LC son nulas. Respuesta :
a) Las potencias involucradas en la definici´ on de p´ erdidas de transmisi´on y p´erdidas de inserci´ on, indicadas en las figuras 1 y 2, son:
R O D A R R O B
P 20 : Potencia entregada a la carga por el generador real (con impedancia interna) cuando se conectan ambos directamente entre si. P 2 : Potencia entregada a la carga cuando se inserta el cuadripolo entre el generador real y la carga. (Tambi´en puede verse como la potencia que entrega el cuadripolo a su salida en el montaje de la figura 1). P 1 : Potencia entregada por el generador real cuando se inserta el cuadripolo entre este y la carga. (Tambi´ en puede verse como la potencia que es entregada a la entrada del cuadripolo en el montaje de la figura 1).
La diferencia de potencias P 1 -P 2 es necesariamente la potencia disipada (o generada, si resulta negativa) en el interior del cuadripolo. Si el cuadripolo es reactivo, como en el segundo apartado de este ejercicio, entonces esta diferencia es necesariamente nula. Z g
E g
P 1
Z o
P 2
γ
Z L = Z o
Z 1 = Z o
Figura 1: Balance de potencias con el cuadripolo insertado. Z g
P 20
E g
Z L = Z o
Figura 2: Balance de potencias con el cuadripolo extra´ıdo.
Las p´erdidas de inserci´on, LI , y las p´ erdidas de transmisi´on, P Tx , se definen entonces de la siguiente manera: P 20 LI = P 2 P 1 LTx = P 2 26
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Por definici´on, un cuadripolo sim´ etrico cargado a la salida con su impedancia imagen Z o muestra una impedancia a su entrada de igual valor que la impedancia imagen. Por tanto, desde el punto de vista del generador, el circuito de la figura 1 es equivalente al circuito de la figura 2, puesto que Z 1 = Z o = Z L , con lo que la potencia entregada por el generador es igual en ambos casos, y en consecuencia
⇒ P P 220 = P P 12 ⇒ LI = LTx
P 20 = P 1
q.e.d.
b) Los elementos reactivos de un cuadripolo LC no pueden disipar ni generar potencia, por lo que en r´ egimen permanente sinusoidal la suma total de potencia media entregada al cuadripolo debe ser nula. Dicho de otro modo, la potencia media entregada al cuadripolo en la puerta 1, P 1 , debe ser igual a la potencia media que entrega el cuadripolo a la carga en la puerta 2, P 2 . Por lo tanto
R O D A R R O B ⇒ LTx = P P 12 = 1 = 0 dB
P 1 = P 2
q.e.d.
10.
Dados los circuitos de la figura 1, determinar: a) Par´ ametros imagen del cuadripolo Q.
b) Par´ ametros imagen de la asociaci´on serie-paralelo mostrada en la figura 1(b) (recuadro en l´ınea discontinua). c) P´ erdidas de inserci´on y transmisi´on de la asociaci´on serie-paralelo en el montaje de la a a figura 1(b) teniendo en cuenta que, llamando Z 01 y Z 02 a las impedancias imagen del cuadripolo Q, se verifican las siguientes relaciones: a Z 02 Z r = 2 a Z g = 2Z 01
27
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Q R
R
(a) Cuadripolo Q.
R O D A R R O B 1:1
Q
Z g
Z r
E g
Q
(b) Conexi´on serie-paralelo doblemente cargada. Figura 1
Respuesta :
a) Calculamos las impedancias imagen a partir de las impedancias que muestra cada puerto del cuadripolo cuando el otro puerto se deja en abierto o se cortocircuita: a Z sc ,1 = R
a Z oc ,1 = 2R R a Z sc ,2 = 2 a Z oc,2 = R
√ √ 2
a Z 01 =
Z sc,1 Z oc,1 = R 2
a Z 02 =
Z sc,1 Z oc,1 = R
2
La constante de propagaci´on γ se puede calcular a partir de su tangente hiperb´olica: tanh(γ a ) =
a Z sc ,1
a Z oc ,1
=
a Z sc ,2
a Z oc ,2
=
±
√ 2 2
28
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El cuadrado de la funci´on de propagaci´ on puede calcularse entonces con la siguiente expresi´on √ 2 a 1 1 + tanh(γ ) a √ 22 = 3 2 2 e2γ = = a 1 tanh(γ ) 1
± ∓
−
± √
2
La funci´on de propagaci´ on establece la relaci´on entre la tensi´on (o corriente) en el lado por el que se suministra potencia al cuadripolo y la tensi´on (o corriente) en el lado del cuadripolo del que sale potencia; siempre y cuando el cuadripolo est´e cargado con las correspondientes impedancias imagen. Concretamente, se tiene V 1 = ne γ (1) V 2 I 1 1 = eγ (2) I 2 n donde Z 01 n = (3) Z 02
R O D A R R O B
Cuando las impedancias imagen tienen parte real no nula (como es el caso) el balance de potencias en un cuadripolo pasivo implica necesariamente que la funci´on de propagaci´on tiene que ser mayor o igual que la unidad (necesariamente entra al cuadripolo m´as potencia que la que sale) dado que es ´esta la que proporciona la relaci´on de potencias entre los puertos 1 y 2. Esto se comprueba sin m´as que calculando las potencias dadas por V 1 , I 1 y V 2 , I 2 a partir de las expresiones anteriores, 1 ∗ Re neγ V 2 n1 eγ I 2 P 1 2 Re V 1 I 1 LTx = = 1 = ∗ P 2 Re V 2 I 2 ∗ Re V I 2 2 2
y teniendo en cuenta que γ, n
{ {
} }
∈ R, se obtiene LTx = |e |2 = e 2 √ 2 γ
Por lo tanto:
{
e
γ a
∗
}
γ
(4)
(5)
=3+2 2
En definitiva
a
eγ =
√
3+2 2
≃ 2.414 ⇒
√
γ a = ln
3+2 2
≃ 0.881
b) El transformador ideal en la conexi´ on serie-paralelo asegura que ambos cuadripolos siguen funcionando como tales (no hay corriente circulatoria). Por lo tanto las impedancias que se ven en cada puerto del nuevo cuadripolo pueden hallarse f´acilmente a partir de los resultados del apartado anterior (se utiliza el super´ındice para referirse a las impedancias y dem´as par´ ametros de la asociaci´on de la figura 1(b)): b a a Z sc ,1 = Z sc,1 + Z sc,1 = 2R
b a a Z oc ,1 = Z sc,1 + Z sc,1 = 4R
R 4 R a y Z oc ,2 = 2
b a a Z sc ,2 = paralelo de Z sc,2 y Z sc,2 =
b a Z oc ,2 = paralelo de Z oc,2
√ √ 2
b a Z 01 = 2Z 01 = 2R 2 b Z 02 =
a Z 02 = R 2 4
29
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(6) (7)
Es inmediato comprobar que la relaci´on de impedancias en corto y en abierto desde un mismo puerto son iguales en el cuadripolo Q y en la combinaci´on serie-paralelo: a b Z sc Z sc ,1 ,1 = b a Z oc,1 Z oc,1
por lo que la funci´on de propagaci´on en la combinaci´on serie-paralelo es id´ entica a la del cuadripolo Q: b
eγ = eγ =
√
3+2 2
≃ 2.414 ⇒ γ =
γ b = ln
√
3+2 2
≃ 0.881 ∈ R
R O D A R R O B
c) Teniendo en cuenta las ecuaciones (6) y (7), las condiciones que pone el enunciado implican que en el circuito de la figura 1(b) est´a cargado a cada lado con las respectivas impedancias imagen, lo que implica que la funci´on de propagaci´on establece la relaci´on de tensiones y corrientes a un lado y otro del cuadripolo. Por otro lado, atendiendo a (4), (5), se obtiene
√
LTx = eγ 2 = e 2γ = 3 + 2 2
| |
≃ 5.8284 = 7.656dB
Por otra parte:
1 1 P 20 = Re V 20 I 20∗ = Re 2 2
{
=
}
Z r E g Z r + Z g
E g Z r + Z g
∗
=
b Z 02 b b 2 02 + Z 01 )
1 E g 2
1 E g 2
| |2 |Z Re +{Z Z }|2 r
r
g
| |2 (Z
b y, dado que el cuadripolo muestra una impedancia Z 01 = Z g al generador real de tensi´on:
1 1 P 1 = Re V 1 I 1 ∗ = Re 2 2
{
}
Z g E g Z g + Z g
E g Z g + Z g
∗
| E |2 = g
8Z g
| E |2 = g 8Z b
01
si se tiene en cuenta que P 1 = L TxP 2 , entonces las p´erdidas de inserci´on, L I , vienen dadas por la siguiente expresi´on: LI =
11.
P 20 P 20 4Z b Z b = L Tx = e 2γ b 02 01 b 2 P 2 P 1 (Z 02 + Z 01 )
≃ 2.3026 = 3.6222 dB
Se dispone de tres cuadrip olos id´enticos y sim´ etricos, de los que se sabe que est´an compuestos u ´nicamente por bobinas y condensadores y que su impedancia caracter´ıstica es Z 0 = 600 Ω. Si se conectan como muestra la figura 1, calcule:
a) El valor de R para que exista adaptaci´on de impedancias cuando los cuadripolos Q 2 y Q 3 est´an terminados en cargas resistivas R L = 600 Ω, y el cuadripolo Q 1 est´a conectado a un generador de tensi´on de impedancia interna resistiva R S = 600 Ω. b) Las p´erdidas de inserci´on del cuadripolo Q 2 . 30
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c) Las p´ erdidas de transmisi´on entre la puerta de entrada al cuadripolo Q1 y la carga del cuadripolo Q 2 . R
RS V S
R
Q1
Q2
RL
R O D A R R O B R
Q3
RL
Figura 1: Circuito completo
Respuesta :
a) Existe adaptaci´ on de impedancias cuando desde todas las puertas de todos los cuadripolos se observan impedancias de valor Z 0 . Como el problema tiene simetr´ıa rotacional (los cuadripolos son iguales y sim´etricos, y desde todos ellos se ve el mismo nivel de impedancias), s´ olo nos preocupamos de garantizar la adaptaci´on del cuadripolo Q 1 . Dado que RS = RL = Z 0 tanto la entrada de Q1 como las salidas de Q2 y Q3 est´an adaptadas. S´ olo falta garantizar que la impedancia de carga del cuadripolo Q 1 sea tambi´en Z = Z 0 (que implicar´a, por la simetr´ıa del circuito, que las impedancias que se ven desde las entradas de Q 2 y Q 3 tambi´en tienen valor Z 0 ). Dicha impedancia es f´acil de calcular seg´ un la figura 2, donde se ha tenido en cuenta que la impedancia que muestran los cuadripolos Q 2 y Q 3 a su entrada es igual a Z 0 por estar cargados con su impedancia caracter´ıstica: Z
R
R
Z
Q2
R
R
Z 0
R
Z 0
R
Q3
Z 0
Z 0
Figura 2: Impedancia vista a la derecha de Q 1 . As´ı, la impedancia vista es la conexi´on en serie de R y dos impedancias R + Z 0 conectadas 31
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en paralelo,
1 3 1 Z = R + (R + Z 0 ) = R + Z 0 2 2 2 de donde, exigiendo Z = Z 0 obtenemos Z 0 =
3 1 R + Z 0 2 2
y sustituyendo Z 0 = 600 Ω, R =
⇒
1 600 3
⇒
R =
1 Z 0 3
R = 200 Ω
R O D A R R O B
b) Para calcular las p´erdidas de inserci´on relativas a Q 2 usamos la notaci´on mostrada en los circuitos de las figuras 3 y 4. R
RS
P 1
V S
Q1
R
P 2
P 3
Q2
P 4
Z 0
R
Q3
Z 0
Figura 3: C´alculo de P 4 .
R
RS
V S
R
P 40
Q1
Z 0
R
Q3
Z 0
Figura 4: C´ alculo de P 40 (equivalente al circuito de la figura 3 para el c´alculo de P 3 ).
Como Q 2 es reactivo, tenemos que P 3 = P 4 , luego: P 40 P 40 = P 4 P 3
Ahora bien, dado RL = Z 0 , la impedancia vista a la entrada de Q2 es Z 3 = Z 0 y los circuitos para medir P 3 y P 40 son equivalentes, por lo que necesariamente P 3 = P 40 . Esta
32
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igualdad implica que no hay p´erdidas de inserci´on, esto es: P 40 = 1 = 0 dB P 4 c) Para calcular las p´erdidas de transmisi´on entre la entrada de Q 1 y la carga de Q 2 , se utiliza otra vez la notaci´on mostrada en la figura 3: P 1 P 1 P 2 P 3 = P 4 P 2 P 3 P 4 De nuevo, por ser Q 1 y Q 2 reactivos, P 1 = P 2 y P 3 = P 4 , y entonces
R O D A R R O B P 1 P 2 = , P 4 P 3
que se corresponde con las p´ erdidas de transmisi´ on del cuadripolo constituido por Q3 terminado con Z 0 y la T de resistencias R. Este circuito no es puramente reactivo, por lo que es capaz de disipar potencia y producir p´erdidas de transmisi´ on. Dicho cuadripolo estar´ a situado entre los cuadripolos Q1 y Q2 , tal y como muestra la figura 5, donde el cuadripolo Q3 , de impedancia caracter´ıstica Z 0 y cargado con una impedancia de valor Z 0 , se ha sustituido por la impedancia que muestra a su entrada, que por definici´on de par´ametros imagen es Z 0 .
V S
T
R
RS
P 1
P 2
Q1
R
P 3
R
Q2
P 40
Z 0
Z 0
Figura 5: P´erdidas de transmisi´ on del cuadripolo T .
Las p´erdidas de transmisi´on del cuadripolo T en la figura 5 se pueden calcular caracteriz´ andolo mediante sus par´ametros imagen. Como es sim´ etrico, s´olo tenemos que calcular T T Z oc y Z sc : 5 Z 0 3 R(R + Z 0 ) 1 4 3 T Z sc = R + = Z 0 + Z 0 = Z 0 R + R + Z 0 3 15 5 5 3 T Z T = Z 0T = Z oc Z 0 Z 0 = Z 0 sc 3 5
T Z oc = R + R + Z 0 =
·
Luego el cuadripolo T est´a adaptado, al igual que lo est´an Q1 y Q2 en la figura 5, y por lo tanto V 2 2 T = e 2γ V 3 donde T
tanh γ =
Z sc = Z oc
3 5 Z 0 5 3 Z 0
3 = , 5
33
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y por tanto T
e2γ =
1 + tanh γ = 4. 1 tanh γ
−
Teniendo en cuenta que el cuadripolo T ve a su salida la misma impedancia Z 0 que muestra a su entrada, por estar toda la cadena de cuadripolos en la figura 5 adaptada se verifica P 1 P 2 = = P 4 P 3
1 2
2
|V 2| Re 2 1 2 |V 3 | Re
1
Z 0
1
Z 0
V 2 = V 3
2
T
= e 2γ = 4
En conclusi´on, las p´erdidas de transmisi´on son
R O D A R R O B P 1 =4 P 4
12.
≃ 6 dB
Sea un cuadripolo constituido por la conexi´on en cascada de dos cuadripolos LC id´ enticos Qa y Qb caracterizados por sus par´ametros [F ]. Dicho cuadripolo es terminado en uno de sus puertos por una resistencia RL , y alimentado por el otro puerto con un generador real de tensi´on tal y como se muestra en la figura 1. En funci´on de los par´ametros [F ] (A, B , C y D) y de los valores Rg y R L , se pide: a) Calcular el circuito equivalente de Th´ evenin a la izquierda de los puntos p- p′ . b) Calcular el circuito equivalente de Th´ evenin a la derecha de los puntos p- p′ .
c) Vali´endose de los anteriores resultados, hallar la relaci´ on P m´ax /P 2 , siendo P m´ax la potencia m´axima entregada por el generador (tambi´ en denominada potencia disponible del generador) y P 2 la potencia disipada en la carga R L . d) Demuestre que, dado que el cuadripolo es LC (sin p´erdidas), la potencia disponible (la m´axima que se puede obtener) del generador del circuito equivalente de Thevenin a la izquierda de los puntos p- p′ es la misma que la del generador real de tensi´on formado por E g , R g . Rg
E g
p
Qa
Qb
p′
RL
Figura 1: Montaje de dos cuadripolos en cascada.
Respuesta :
a) El circuito a la izquierda de los puntos p en la Figura 2.
− p′, y su equivalente de Thevenin, se muestran
34
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I 1
I 2
Rg
p +
p
+ [F ]
V 1
E g
a Z Th
a V Th
V 2
−
−
p′
p′
Figura 2: circuito a la izquierda de los puntos p
− p′
El cuadripolo viene caracterizado por sus par´ametros [F ] (ABCD) de modo que se tiene:
R O D A R R O B V 1 = AV 2 + BI 2
(1)
I 1 = C V 2 + DI 2
y por otro lado:
E g = R g I 1 + V 1 ,
a Para calcular V Th dejamos el dipolo p p′ en circuito abierto, es decir, hacemos I 2 = 0 en a las expresiones. De ese modo, se tiene que V 2 = V Th , por lo que las expresiones anteriores quedan como sigue:
−
a V 1 = AV Th
a I 1 = C V Th
E g = R g I 1 + V 1 ,
a de donde se obtiene V Th :
a V Th =
E g CRg + A
(2)
a La impedancia Z Th es la impedancia vista a la izquierda de los puntos p p′ . Se calcula a anulando los generadores independientes, es decir, V Th y E g en los circuitos de la derecha e izquierda, respectivamente. V´ ease la Figura 3.
−
Rg
I 1
I 1′
I 2
+
I 2′
p
+
[F ]
V 1
−
V 2
−
p′
a Z Th
Figura 3: Impedancia a la izquierda de los puntos p
− p′
En este caso, interesa expresar V 2 , I 2 en funci´o n de V 1 , I 1 . Para ello se emplea la inversa de la matriz [F ]: B 1 D [F ]−1 = F C A
| | −
−
35
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Dado que el cuadripolo es necesariamente rec´ıproco (por ser un cuadripolo LC), se tiene F = AD BC = 1, por lo que nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
| |
−
V 2 = DV 1 I 2 =
− BI 1
−CV 1 + AI 1
Por otro lado, con los sentidos de las corrientes I 1′ , I 2′ dados en la figura 3, se tiene I 1′ = I 1 , I 2′ = I 2 , por lo que los par´ametros de transmisi´on del cuadripolo visto de derecha a izquierda quedan de la siguiente forma:
−
−
V 2 = DV 1 + BI 1′ I ′ = C V 1 + AI ′
⇒
V 2
=
I 2′
D B
V 1
(3)
I 1′
R O D A R R O B 2
1
C
A
N´ otese que las expresiones anteriores corresponden a intercambiar A por D en las expresiones de (1). N´otese que de haber sido un circuito RLC, se hubiera dado igualmente la condici´ on de reciprocidad F = 1.
| |
a A partir de la ecuaci´on (3) la impedancia Z Th se puede calcular f´acilmente:
D V + C V 2 DV 1 + BI 1′ DR g + B I Z Th = ′ = = = I 2 CV 1 + AI 1′ CRg + A C V +A I 1 ′
a
1
(4)
1 ′
1
b) A la derecha de los puntos p
− p′ no hay generadores independientes, por lo que b V Th = 0
y por tanto se da la siguiente equivalencia p
I 1
I 2
+
+
[F ]
V 1
p′
−
I 1 p +
V 2
V 1
RL
−
−
b Z Th
p′
Figura 4: Impedancia a la derecha de los puntos p
− p′
donde solo debe calcularse la impedancia que muestra el cuadripolo cuando es cargado a su derecha con la resistencia RL : A V V 1 AV 2 + BI 2 ARL + B I + B Z Th = = = V = I 1 CV 2 + DI 2 CRL + D C I + D 2
b
2
2
(5)
2
c) La potencia m´axima que puede entregar el generador es aquella que proporciona cuando se carga ´este con una resistencia de valor R g (adaptaci´ on conjugada de impedancias para impedancias reales), y por tanto:
1 Rg Eg P m´ax = E g 2 Rg + Rg Rg + Rg
∗ ⇒
P ma´x =
|E |2 g
8Rg
(6)
En el enunciado se asegura que los cuadripolos son LC, esto es, formados por bobinas y condensadores que no pueden generar ni disipar ning´ un tipo de potencia. En consecuencia 36
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la potencia que proporciona el generador a la izquierda del primer cuadripolo debe ser igual a la que proporciona este cuadripolo al segundo, y a su vez la que proporciona este u ´ ltimo a la carga RL . Es decir, seg´un la figura 5 P 1 = P ab = P 2 Rg
p P 1
E g
P ab
[F ]
P 2
[F ]
RL
p′
R O D A R R O B Figura 5: An´alisis de potencias
Utilizando los resultados de los dos primeros apartados, el c´alculo de P ab en la figura 5 es equivalente al de la figura 5. I ab
a Z Th
+
a V Th
V ab
−
p
P ab p′
b Z Th
Figura 6: An´ alisis de potencias con los equivalentes a la izquierda y derecha de los puntos ′ p p .
−
Esta equivalencia no ser´ıa u ´ til para calcular la potencia disipada en RL directamente, ya que al aplicar la equivalencia dicho elemento ha desaparecido, sin embargo nos aprovechamos del hecho de que P ab = P 2 : P 2 = P ab =
a 2 b Re Z Th 1 1 1 V Th b V ab I ab ∗ = I ab 2 Re Z Th = a b 2 2 2 2 Z Th + Z Th
| | |
| |
(7)
|
Por lo tanto
E g 2 1 P 2 = 2 CRg + A 2
|
| |
|
1
DRg +B CR g +A
+
ARL +B CR L +D
2
Re
(ARL + B) (CRL + D)∗ (CRL + D) (CRL + D)∗
(8)
con lo que nos queda: P 2 =
|E |2 g
2
Re (ARL + B)(CRL + D)∗ CRg + A CRL + D (DRg + B)(CRL + D) + (ARL + B)(CRg + A) 2
|
||
||
{
}
(9)
|
y finalmente P m´ax 1 Re (ARL + B)(CRL + D)∗ = P 2 4Rg CRg + A CRL + D (DRg + B)(CRL + D) + (ARL + B)(CRg + A) 2
|
||
||
{
}
37
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|
d) Lo que se pide demostrar en este apartado es gen´ericamente:
|E |2 = |V Th|2 8R 8 Re {Z Th } g
(10)
g
donde E g , R g son los par´ametros de un generador real dado, y el equivalente de Thevenin se refiere al del conjunto generador y un cuadripolo LC cualesquiera. En este caso, el equivalente de Thevenin es a la izquierda de los puntos p p′ y que ha sido denotado con el super´ındice “a” en los apartados anteriores.
−
En el apartado a del ejercicio ya se obtuvo V Th y Z Th (v´ eanse las expresiones (2), (4)). A partir de ellas, se puede escribir:
R O D A R R O B |E |2 g
|V Th| = |CR + A|2 DR + B 8 Re {Z Th} 8 Re 2
g
g
CRg + A
=
|E |2 g
8 Re (DRg + B)(CRg + A)∗
{
}
de donde se concluye que para que se cumpla (10) debe darse que Re (DRg + B)(CRg + A)∗ = R g
{
}
(11)
En general, la igualdad (11) no se cumple para par´ametros ABCD arbitrarios. La clave de la demostraci´on reside en que el cuadripolo es sin p´erdidas por ser LC. En ese caso, y dado que los par´ametros Z e Y de un cuadripolo sin p´ erdidas son imaginarios puros, se tiene: Z 11 A = A es real Z 21 1 B = B es imaginario puro Y 21 (12) 1 C = C es imaginario puro Z 21 Y 11 D = D es real Y 21
→ → → →
−
−
De este modo, el t´ ermino a la izquierda de la igualdad (11) puede desarrollarse como sigue: Re (DRg + B)(CRg + A)∗ = Re (DRg + B)( CRg + A)
{
= Re
}
{
−
−DCR2 + ADR − CBR + BA g
g
g
}
= Re (AD
{
− BC )R } (13) g
donde se ha tenido en cuenta que DC y BA son imaginarios puros. Por otro lado, en un cuadripolo rec´ıproco se cumple AD BC = 1 por lo que finalmente se demuestra la igualdad (11) y, por tanto, la igualdad (10).
−
N´ o tese que si bien la m´axima potencia que se puede obtener de un generador no se ve alterada por la inserci´on de un cuadripolo LC (el cuadripolo Qa en este caso), el valor de la impedancia para la que se consigue esa m´axima potencia s´ı cambia. Es decir, la a impedancia vista a la salida del cuadripolo Q a , Z Th , es en general diferente de R g .
13.
Los valores de las reactancias de los elementos del cuadripolo en T de la figura 1 a la frecuencia de funcionamiento son X 1 = 50 Ω, X 2 = 80 Ω, B 1 = 0.01 Ω−1 , donde X 1 es la reactancia de un 38
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condensador, X 2 la reactancia de un inductor y B1 la susceptancia de un condensador (n´otese que el par´ametro B 1 es de admitancia, no de impedancia).
− jX 1
1
jX 2
T reactiva
Rg
jB 1
2
RL
E g 1
Figura 1: C´elula en T reactiva.
2
′
′
Figura 2: C´elula cargada.
R O D A R R O B Se pide:
a) Obtener los valores deben tener la resistencias de carga RL y la resistencia de generador Rg en el circuito de la figura 2 para que haya adaptaci´on de impedancias. b) En las condiciones del apartado anterior (adaptaci´ on de impedancias), obtener la potencia suministrada por el generador y la potencia entregada a la carga. c) En las mismas condiciones que en los apartados anteriores, calcular las p´ erdidas de inserci´ on del cuadripolo. Comente el resultado obtenido. Respuesta :
a) Podemos resolver este apartado:
Calculando Z 1 (impedancia que muestra el cuadripolo en el puerto 1 cuando el puerto 2 est´a cargado con R L ) y forzando Z 1 = R g . Otra alternativa, quiz´as m´as sencilla, es decir que, puesto que las impedancias imagen son resistivas, la adaptaci´on coincide con la adaptaci´on conjugada as´ı que bastar´ıa con hacer R g = Z o1 y RL = Z o2 seg´ un el esquema adjunto: 1 1 X 1 B1 + 1 = j(X 1 + ) = j = j150Ω jB 1 B1 B1 1 jX 2 j(X 1 X 2 B1 + X 2 X 1 ) jB 1 = jX 1 + = = j350Ω 1 1 X 2 B1 jX 2 + jB 1 1 1 X 2 B1 = jX 2 + = j = j20 Ω jB 1 B1 1 jX 1 X 1 X 2 B1 + X 2 X 1 140 jB 1 = jX 2 + = j = j Ω 1 1 + X 1 B1 3 jX 1 + jB 1
Z oc = jX 1 + 1
Z sc
1
Z oc
2
Z sc
2
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
− −
−
de donde Z o1 = Z o2 =
Z oc Z sc = 1
1
Z oc Z sc = 2
2
−
(X 1 B1 + 1)(X 1 X 2 B1 + X 2 B1 (1 X 2 B1 )
− X 1) ;
Z o1 = 229.13 Ω = R g
(1
− X 1) ;
Z o2 = 30.55 Ω = R L
−
X 2 B1 )(X 1 X 2 B1 + X 2 B1 (1 + X 1 B1 ) 39
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Y se comprueba que, aunque la c´elula en T sea reactiva, sus impedancias imagen son resistivas. N´otese que esta afirmaci´on no es v´alida para cualquier circuito reactivo. b) En primer lugar hacemos algunas observaciones: El cuadripolo es no disipativo, as´ı que no hay p´erdidas de transmisi´on, y la potencia entregada a la entrada del cuadripolo P 1 , es igual que la que el cuadripolo entrega a su salida, P 2 , luego: P 1 =1 P 2
→ 0 dB
R O D A R R O B
Adem´as se ha forzado en el primer apartado la adaptaci´on conjugada, por lo que Z 1 = R g = Z o1 , si se tiene en cuenta que la impedancia del generador es real. De este modo, la potencia entregada al cuadripolo (y a la carga) es la m´axima (o disponible del generador): P 2 = P 1 = P max =
|E |2 = |E |2 = 5, 4554 10−4|E |2 W g
g
8Rg
8Z o1
g
c) Las p´ erdidas de inserci´on se calculan comparando la potencia entregada a la carga sin y con la presencia del cuadripolo (v´ ease la Figura 3): P´erdidas de inserci´on =
donde
(1)
1 1 E g 2 1 2 P 20 = I 20 RL = RL = E g 2 2 2 (Rg + RL ) 2
| |
| |
y
P 20 P 2
Z 02 | |2 (Z 01 + Z 02 )2
E g 2 E g 2 E g 2 E g 2 1 P 2 = P 1 = Re Z 1 = = = = P max 2 Rg + Z 1 2 8 Re Z 1 8Z 01 8Rg
|
| |
|
{ }
| | | | | | { }
(2)
(3)
siendo P 2 = P 1 por ser las p´erdidas de transmisi´on nulas y Rg = Z 01, RL = Z 02 como se indica en el enunciado. De este modo, la definici´on de las p´erdidas de inserci´on (1) conduce al resultado siguiente: P´erdidas de inserci´on =
P 20 4Z 01 Z 02 = = 0.415 P 2 (Z 01 + Z 02)2
→ −3.82 dB
40
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(4)
P 20 Rg I 20
E g
RL
(a): Generador y carga conectados directamente. P 1
P 2
1
2
R O D A R R O B T reactiva
Rg
RL
E g
1
2
′
′
Z 2
Z 1
(b): Inserci´ on de cuadripolo entre generador y carga. Figura 3: C´alculo de las p´erdidas de inserci´on
N´ otese que las perdidas de inserci´on (en dB) son negativas, es decir, se tiene una ganancia de inserci´on positiva. Y todo ello, trat´andose de un cuadripolo pasivo. No hay ninguna contradicci´ on en ello dado que las p´erdidas/ganancias de inserci´on se miden comparando potencias en dos circuitos diferentes: uno sin el cuadripolo y otro con el cuadripolo insertado entre generador y carga. Lo que ocurre es que la presencia del cuadripolo entre generador y carga puede hacer (como es en este caso) que el generador “vea” una impedancia tal que produzca una reflexi´on menor (incluso nula) que cuando se conectan generador y carga directamente.. En el caso concreto de este ejercicio, y dado que R g = R L , se tiene que P 20 < P max cuando se conecta el generador y carga directamente (v´ease la Figura 3(a)). Cuando se inserta el cuadripolo entre generador y carga (v´ease la Figura 3(b)) lo que se tiene es que la impedancia que presenta el cuadripolo al generador es Z 1 = Rg y por tanto P 1 = P max . Dado que el cuadripolo en LC las p´erdidas de transmisi´on son nulas y, por tanto, P 2 = P 1 = P max . De este modo, se consigue que la potencia que llega a la carga sea mayor cuando se inserta el cuadripolo y ello es lo que da lugar a ganancia, en vez de p´erdidas, de inserci´on.
14.
Considere la c´ elula en T de la Figura 1. Tres c´ elulas id´ enticas a la de dicha figura se conectan en cascada entre un generador y una carga, como en la Figura 2. Asuma que el circuito se halla en r´egimen permanente sinusoidal.
41
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L
L
C
Figura 1: C´elula en T reactiva.
Z G
I 1
R O D A R R O B I L
+
E G
Q1
Q2
V 3
Q3
Z L
−
Figura 2: Cadena de cuadripolos: todos los cuadripolos son id´ enticos a la c´ elula en T de la figura 1.
a) Calcule los par´ametros imagen de la c´ elula en T de la figura 1.
b) Si Z G = Z L = Z 0 , ¿cu´ales son las p´ erdidas de inserci´o n de Q2 , el cuadripolo de enmedio? N´otese que Q1 , Q2 y Q3 son iguales a la c´ elula en T de la figura 1. Demuestre el resultado.
A partir del siguiente apartado considere los siguientes datos: 1 , ωC L = 25 µH, C = 10nF, ωL =
E G = 10 V.
c) ¿Cu´al es la frecuencia de funcionamiento? Calcule ahora los valores num´ericos de los par´ametros imagen teniendo en cuenta los datos proporcionados. d) Halle el voltaje en el puerto de entrada de Q 3 , V 3 , y la potencia activa en la carga Z L .
e) Encuentre la fase de I L , la corriente por la carga, con respecto a la corriente de entrada I 1 en el puerto de entrada de Q 1 . Respuesta :
a) Dado que el circuito es sim´ etrico, n = 1 y Z 0 = Z 01 = Z 02. Para calcular Z 0 pueden usarse las mediciones en cortocircuito y en circuito abierto como se detalla en las figuras de abajo:
42
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L
L
L
L
C
C
Z sc
Z oc
Figura 3: C´ elula en T en corto a la salida.
Figura 4: C´elula en T en abierto a la salida.
Definamos
R O D A R R O B Z L = jωL = jX L 1 Z C = = jX C jωC
−
con X L = ωL y X C =
1
ωC
Z oc = j(X L
. Entonces
− X )
Z sc = jX L +
C
X L2 + 2X L X C X L X C X L (2X C X L ) = = j(X L X C ) j(X L X C ) j(X L X C )
−
−
− −
−
de donde la impedancia caracter´ıstica es
Z sc Z oc =
Z 0 =
X L (2X C
− X )
(1)
L
y la tangente de la constante de propagaci´on: Z sc = Z oc
tanh γ =
X L (2X C X L ) X L X C
X L (2X C X L ) = j ( 1)(X L X C )2
− −
−
−
−
y por tanto
X L (2X C X L ) X L X C
γ = arctanh j
−
−
X L (2X C X L ) X L X C
⇒ γ = jβ, β = arctan
−
−
(2)
Otra alternativa es hallar los par´ametros F y usar las siguientes expresiones, Z 0 =
AB CD
eγ =
√
AD +
√
BC .
que en este caso, al ser sim´etrico el circuito analizado, A = D, se simplifican: Z 0 =
B C
γ
e = A +
√
BC
b) Considere la siguiente convenci´ on de nombres para las tensiones, corrientes, impedancias y potencias:
43
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Z G
I 1
I 2 +
E G
P 1
I 3 +
Q1
V 1
+
Q2
V 2
P 2
−
P 3
−
Z 1
I 4
V 3
Q3
−
Z 2
I L
+
V 4
P 4
−
Z 3
Z 4
Figura 5: Convenci´on de nombres de tensiones, corrientes, impedancias y potencias.
R O D A R R O B
Dado que los cuadripolos son todos LC (reactivos) no consumen potencia, las potencias a su entrada y a su salida son las mismas, por lo que las p´ erdidas de transmisi´on son nulas, P 1 = P 2 = P 3 = P 4
⇒ L
T
=
P 2 = 1 = 0 dB P 3
Sin embargo, son las p´ erdidas de inserci´on las que pide el enunciado. Para calcularlas hay que comparar la potencia P 3 que sale del cuadripolo Q 2 hacia Q 3 , en el circuito de la figura 5, con la potencia P 30 que llega hasta Q 3 cuando extraemos del circuito el cuadripolo Q2 : Z G
I 1
I 30
I 4
+
E G
V 1
+
Q1
P 30
V 30
−
−
+
Q3
V 4
I L
Z L
−
Z 30
Figura 6: Circuito sin Q 2 .
Dado que, seg´ un el enunciado, todos los cuadripolos est´an adaptados (las impedancias que ven en cada una de sus puertas es justamente el valor de su impedancia imagen), las impedancias que se ven a la entrada de cada cuadripolo, tanto en el circuito de la figura 5 como en el de la figura 6 son todas iguales a la impedancia imagen Z 0 , y por tanto: Z 2 = Z 3 = Z 30 = Z L = Z 0
Si a la salida de Q1 se ve la misma impedancia con Q2 insertado que con Q2 quitado, entonces ambos circuitos son equivalentes para Q 1 , y por tanto: V 2 = V 30 I 2 = I 30
⇒ P 2 = P 30
por lo que las p´erdidas de inserci´on resultan, en este caso (cuadripolo rec´ıproco y sim´etrico cargado con su impedancia imagen), ser iguales a las de transmisi´on: P 2 = P 30
⇒ L
I
=
P 30 P 2 = = L T P 3 P 3
44
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Z L
por lo que las p´ erdidas de inserci´on son id´ enticas a las de transmisi´on y, por tanto, nulas. LI = 0 dB c) Si se cumple ωL = entonces
1 ω2 = LC
⇒ ω =
de donde la frecuencia es
1 ωC
1 =2 25 µH 10nF
× 106 rad/s
R O D A R R O B ω 2 106 f = = = 318.3KHz 2π 2π
×
Por otro lado,
X L = ωL =
1 = X C = 50 Ω ωC
y sustituyendo en la ecuaci´on (1) y (2)
Z 0 = 50 Ω
γ = j arctan
∞ = j π2
d) Como los cuadripolos est´an adaptados la impedancia a la entrada de Q 1 es Z 0 = Z G , por lo que la tensi´on de entrada en Q 1 es V 1 =
Z 0 1 E G = E G Z 0 + Z G 2
Similarmente, como cada uno de los cuadripolos est´a adaptado a la salida, tenemos que, siguiendo la definici´ on de tensiones dada en la figura 5 V 1 = V 2 eγ V 2 = V 3 eγ V 3 = V 4 eγ
de donde obtenemos
1 V 3 = V 2 e−γ = V 1 e−2γ = E G e−2γ 2
⇒
V 3 = 5e jπ =
−5V
y,
1 E G e−3γ 2 donde V L el voltaje en la carga. La potencia en Z L es V L = V 4 = V 3 e−γ =
1 1 P L = Re V L I L ∗ = V L 2 Re 2 2 1 100 P L = = 250mW 2 4 50
{
}
| |
1 Z L
=
1 E G 2 2 4Z 0
| |
×
N´ otese que, como no hay p´ erdidas de inserci´on o transmisi´on, seg´ u n el apartado b), la potencia que llega a la carga se puede medir en la entrada de cualquiera de los cuadripolos. 45
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e) Para las corrientes en circuitos adaptados a la salida tenemos, siguiendo la definici´o n de corrientes dada en la figura 5 I 1 = I 2 eγ I 2 = I 3 eγ I 3 = I 4 eγ I 4 = I L de donde se obtiene: I 1 = I L e3γ
⇒ I I 1 = e−3 L
γ
= e − j
3π 2
por lo que el desfase de I L con respecto a I 1 es:
R O D A R R O B − j 3π2
15.
En el presente ejercicio se analiza mediante la matriz de transmisi´on (par´ ametros F o matriz ABCD) la funci´on de transferencia de un tipo de circuitos com´unmente denominados “en escalera”. Para ello realice los siguientes pasos: a) Calcule los par´ametros F (matriz ABCD) del cuadripolo mostrado en la figura 1, donde Z es el valor de la impedancia del elemento. b) Calcule los par´ametros F (matriz ABCD) del cuadripolos mostrado en la figura 2, donde Y es el valor de la admitancia del elemento. c) Suponga que conoce los par´ametros ABCD que caracterizan al cuadripolo de la figura 3. En el montaje mostrado en esa figura, calcule las p´erdidas de inserci´on de dicho cuadripolo. d) Utilice los resultados anteriores para calcular las p´ erdidas de inserci´on del filtro mostrado en la figura 4. e) Si en el filtro que se acaba de analizar se verifica C f = 2Lf , ¿qu´e tipo de filtro se obtiene? Se˜ nale el orden, el tipo de aproximaci´on y el ancho de banda a 3 dB del filtro 5 .
Z
Y
Figura 1: Impedancia serie.
Figura 2: Admitancia paralelo.
Rg
V g
[F ] =
A
B
C
D
RL
Figura 3: Cuadripolo doblemente cargado. 5
Este apartado corresponde al tema de filtros anal´ogicos
46
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1Ω Lf
Lf C f
V g
1Ω
Figura 4: Filtro.
Respuesta :
R O D A R R O B
a) El c´alculo es pr´acticamente inmediato y se puede realizar de diferentes formas. Por ejemplo, mediante el siguiente an´alisis de mallas: I 1
I 2
Z
V 1
V 2
I x
V 1
− V 2 = I Z x
donde las corrientes I 1 y I 2 se han definido de acuerdo a la definici´on de los par´ametros ABCD, y se verifica I 1 = I 2 = I x De estas dos ecuaciones se despejan V 1 y I 1 , obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales, V 1 =V 2 +ZI 2 I 1 =
I 2
cuya matriz es la matriz ABCD pedida:
1 Z
[F Z ] =
0
(1)
1
b) Se puede realizar un desarrollo an´algo al efectuado en el apartado anterior. Esta vez se alimenta el cuadripolo a analizar mediante sendos generadores de corriente I 1 e I 2 con los sentidos adecuados y se realiza un an´alisis de nudos: V 1
V x
I 1
Y
V 2
I 2
47
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I 1
− I 2 = V = V Y x
donde V 1 = V = V 2 = V = V x De estas dos ecuacions se despejan V 1 y I 1 , obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales, V 1 = V 2 I 1 =Y = Y V 2 +I 2 cuya matriz es la matriz ABCD matriz ABCD pedida: pedida:
R O D A R R O B [F Y ] =
1
0
(2)
Y 1
c) Las p´ erdidas erdidas de inserci´on on son la relaci´on on que hay entre la potencia que llega a la carga cuando ´esta esta se conecta directamente d irectamente al generador, a la que denominamos P 20 20 , y la potencia que le llega a la misma cuando se conecta conecta al generador generador a trav´ trav´es es del cuadripolo, que denominamos P denominamos P 2 . Empezamos por el c´alculo alculo de esta ´ultima. ultima. Para ello se realiza un an´alisis alisis de las mallas que se definen a cada lado del cuadripolo: Rg
+
V g
I 1
A [F ] F ] = C
V 1
−
V g
B D
+
V 2
RL
I 2
−
− V 1 = R = R I 1
(3) (4)
g
V 2 = R = R L I 2
A estas dos ecuaciones hay que a˜nadir nadir las que establecen los par´ametros ABCD ametros ABCD del del cuadripolo: V 1 = AV = AV 2 + BI 2
(5)
I 1 = C = C V 2 + DI 2
(6)
De este sistema de cuatro ecuaciones se puede despejar el valor de I 2 I 2 =
V g RL A + B + Rg RL C + + Rg D
(7)
Una vez conocida la corriente que circula por la resistencia RL, es sencillo calcular la potencia que disipa: P 2 =
1 RL I 2 2
| |2 = 2|R
LA
|V |2 R g
L
+ B + Rg RL C + + Rg D
|2
(8)
Cuando Cuando se conect conectaa la carga carga directa directamen mente te al genera generador dor la corrie corrient ntee que circula circula por la resistencia es, 48
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Rg I 20 20
V g
I 20 20 =
RL
V g Rg + RL
(9)
y la potencia que disipa entonces es
R O D A R R O B 1 P 20 20 = RL I 20 20 2
| |
2
=
|V |2R g
L
2(R 2(Rg + RL )2
(10)
La relaci´ on on entre la expresi´on on (10) y la expresi´on on (8) ( 8) constituyen con stituyen las p´erdidas erdid as de inserci´ inserc i´on: on: P 20 1 20 = RL A + B + Rg RL C + + Rg D P 2 (Rg + RL )2
|
|
2
(11)
d) Se puede aplicar directamen directamente te la expresi´ expresi´on on (11) hallada en el apartado anterior si se conocen los par´ametros ABCD ametros ABCD del del cuadripolo que definen las bobinas L f y el condensador C f f . Dicho cuadripolo puede analizarse con los resultados de los apartados a y b si se tiene en cuenta que es una conexi´on on en cascada de cuadripolos del tipo mostrado en la figura 1 o del tipo mostrado en la figura 2, Lf
Lf
Lf
Lf
C f f
C f f
Teniendo en cuenta que la matriz ABCD de ABCD de la conexi´on on en cascada de cuadripolos es la multiplicaci´ on matricial de las matrices ABCD on matrices ABCD de de cada cuadripolo, la matriz de transmisi´ on del filtro completo es: on A B
C D
= [F Lf ][F ][F C f f ][F ][F Lf ]
donde, aplicando (1),
[F Lf ] =
1 jωL jω Lf
0
1
(12)
(13)
y aplicando (2),
[F C f ] =
1
0
jωC jω C f f 1
49
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Al desarrollar estas expresiones se obtiene:
− − A B
C D
= = =
1 jωL jω Lf
0
1
1
0
jωC jω C f f 1
ω 2 Lf C f jω Lf f jωL
1
jωC jω C f f
1
0
1
1 jωL jω Lf
0
1
ω 2 Lf C f jω (2L Lf f jω(2
1
jωC jω C f f
1
1 jωL jω Lf
− ω2L2 C ) f
− ω2L C f
f f
f f
(14)
R O D A R R O B Para hallar las p´erdidas erdidas de inserci´on on basta ahora con aplicar ester resultado a (11), P 20 1 20 2 = 2(1 ω 2 Lf C f + jωC C f jω(2 (2L Lf ω2 Lf C f f ) + jω f + jω f ) P 2 4 1 2 2 2 2 = 4(1 ω2 Lf C f 2Lf ω 2 Lf C f f ) + ω (C f f + 2L f ) 4 1 2 2 = 4 + 4ω 4 ω4 Lf C f 8ω 2 Lf C f f 4
− −
− −
−
2 4 2 + ω 2 C f 2 + 4ω 2 Lf + ω 6 Lf C f + 4ω 4ω2 C f f Lf
=
4 C 2 Lf f
4
6
ω +
− 2ω4L2 C 2 − 4ω4L3 C
2 C (C 2Lf f f f f
4
2
f
f
f
− 2L ) ω4 + (C ( C − 2L )2 2 ω +1 f
f f
f
f f
(15)
4
e) Al sustituir C sustituir C f on (15) se obtiene la siguiente funci´on on on de transferencia transferencia:: f = 2Lf en la ecuaci´ P 20 20 6 6 = 1 + Lf ω , P 2
(16)
Esta funci´on on de transferencia se corresponde con la de un filtro paso bajo, de orden 3, con los 3 ceros de atenuaci´on on en ω = 0 y los 3 polos de atenuaci´on en ω . Es por tanto una aproximaci´ on de Butterworth de orden 3. on
→ ∞
Para calcular el ancho de banda a 3 dB hay que calcular la pulsaci´on on en la que la expresi´on on (16) se duplica con respecto a su valor en ω = 0, P 20 20 P 2
=2
ω=ω3 dB
⇒ L6 ω36 dB = 1 f
(17)
y por tanto
ω3 dB =
1 Lf
(18)
Nota: De
ah´ ah´ı que el prototi prototipo po paso paso bajo de Butter Butterwo worth rth de orden orden 3 tenga tenga los valo alores res g0 = g = g 4 = 1, g1 = g = g 3 = 1, y g y g 2 = 2.
16.
Sea un cuadripolo Q rec´ rec´ıproco caracterizado por sus par´ ametros ametros [F [F ]] (par´ ametros ABCD ametros ABCD)) alimentado por un generador real de tensi´on on alterna (con una tensi´on on en vac´ vac´ıo de amplitud amplit ud igual i gual a E g y una impedancia interna resistiva de valor R valor R g ) y cargado en el otro puerto por una resistencia RL , tal y como se muestra en la figura 1. 50
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2
1 Q Rg F =
E g
RL
A B
C D
1′
2′
Figura 1: Cuadripolo doblemente cargado
R O D A R R O B Se pide:
a) La expresi´on de la potencia m´axima que es capaz de entregar el generador real de tensi´on, P m´ax , en r´egimen permanente sinusoidal. Esta potencia m´axima es la denominada potencia disponible del generador. b) Calcular el circuito equivalente de Th´ evenin a la izquierda del plano 2
− 2′.
c) Vali´ endose de los resultados anteriores, calcular la relaci´ on entre la potencia m´axima capaz de entregar el generador (potencia disponible del generador), y la potencia entregada a RL : P m´ax /P 2 . d) Suponiendo que Rg = R L = 1 y E g = cos(t), calcular las p´erdidas de inserci´on y transmisi´ on en decibelios cuando el cuadripolo Q est´a formado por la siguiente escalera reactiva: 2H
1F
1F
Respuesta :
a) Si la impedancia interna del generador real es puramente resistiva, es la que proporciona dicho generador cuando se le carga con una resistencia del mismo valor que su resistencia interna6 : E g 2 P ma´x = 8Rg
| |
6
Es sencillo demostrar este resultado. Cuando un generador real de impedancia interna Z g = Rg + j X g est´ a cargado por una impedancia Z L = R L + jX L , Z g
I
+ V g
V
P L Z L
−
51
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b) La tensi´on de Th´evenin es igual a la que se obtiene entre los puntos 2 dejan en circuito abierto: 1
− 2′ cuando ´estos se 2
+
Rg
I 1 F =
E g
A B
C D
1′
V 2 = V Th
− 2′
R O D A R R O B El an´alisis de este circuito puede realizarse a partir de la definici´on de par´ametros F : 0 ✒ V 1 = AV Th + B I 2 0 ✒ I 1 = C V Th + D I 2,
(1) (2)
y de la ecuaci´on de la malla I 1 :
E g = R g I 1 + V 1
(3)
Al sustituir (1) y (2) en (3) se obtiene:
E g = R g CV Th + AV Th
⇒
V Th =
E g CRg + A
Por otra parte, la impedancia de Th´ evenin es la que muestra el circuito cuando se anula el generador E g :
entonces:
P L =
=
|E g |2 1 1 1 1 Re {V I } = Re {Z L II } = | I |2 Re {Z L } = Re {Z L } 2 2 2 2 |Z g + Z L |2 ∗
∗
|E g |2 RL 2 (Rg + RL )2 + ( X g + X L )2
Es evidente que para maximizar P L debe ocurrir, por un parte, que X g + X L = 0, de forma que:
|E g |2 RL 2 (Rg + RL )2
X g = − X L ⇒ P L =
En estas condiciones,
|E g |2 Rg − RL dP L = = 0 ⇒ R g = R L 2 (Rg + RL )3 dRL
por lo que la impedancia que maximiza la transferencia de potencia del generador a la carga es RL = Rg X L = − X g
⇒ Z L = Z g
∗
y la potencia que se consigue con esta impedancia de carga es P L,max =
|E g |2 |E g |2 Rg = 2 (Rg + Rg )2 8Rg
52
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1
I 2′ =
2
−I 2
+
Rg
I 1 F =
V 2
A B
−
C D
1′
2′
R O D A R R O B Ahora los par´ ametros F del cuadripolo establecen la siguiente realaci´on:
− BI 2′ I 1 = C V 2 + DI 2 = C V 2 − DI 2′ ,
V 1 = AV 2 + BI 2 = AV 2
(4) (5)
y la ecuaci´on de la malla I 1 es:
0 = R g I 1 + V 1
(6)
Al sustituir (4) y (5) en (6) se obtiene: Rg (CV 2
− DI 2′ ) + AV 2 − BI 2′ = 0 ⇒
Z Th =
V 2 DR g + B = I 2′ CRg + A
c) Se sustituye generador real y cuadripolo Q por su equivalente de Th´evenin: I 2
Z Th
V Th
V 2
2
P 2
RL
2′
1 1 V Th P 2 = Re V 2 I 2∗ = I 2 2 RL = 2 2 RL + Z Th
{
}
| |
2
RL 2
Teniendo en cuenta los resultados de los anteriores apartados: P m´ax E g 2 RL + Z Th = P 2 4Rg RL V Th
| |
2
=
1 ARL + B + CRg RL + DRg 4Rg RL
|
|2
Observaci´ on:
Esta relaci´on coincide con las p´ erdidas de inserci´on cuando R g = R L , pues en ese caso P 20 = P m´ax .
d) Un circuito en escalera puede puede verse como la concatenaci´on de tres cuadripolos elementales del tipo admitancia paralelo o impedancia serie: L C
L C
C
53
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C
En r´ egimen permanente sinusoidal, la matriz [F ] del condensador en paralelo es 7 : [F C ] =
1
,
,
0
jωC 1
mientras que la de la bobina serie es 8 : [F L ] =
1 jωL 0
1
y, por tanto, los par´ ametros [F ] de la escalera reactiva vienen dados por la siguiente expresi´on: [F ] = [F C ][F L ][F C ].
R O D A R R O B
Al sustituir los valores dados en el enunciado, C = 1 F, L = 2 H y ω = 1 rad/s, se obtiene: [F ] =
− 1 0
1 2 j
1 0
j 1
0
j 1
1
=
1
0
2 j
−1
Aplicando ahora el resultado del apartado anterior, con Rg = R L = 1 Ω y E g = 1 V, se obtienen las siguientes p´erdidas de inserci´on9 :
| |
P 20 P m´ax 1 = = A + B + C + D 2 = 2 P 2 P 2 4
|
|
≃ 3 dB
La escalera reactiva no disipa ninguna potencia, por lo que no hay p´erdidas de transmisi´on: P 1 = 1 = 0 dB P 2
17.
El circuito de la figura 1 se encuentra en r´ egimen permanente sinusoidal. Los cuadripolos Q1 y Q2 son sim´etricos y est´an caracterizados por los siguientes par´ametros imagen: Q1 : Z 0 = 3 Ω, γ = jπ
Q2 : Z 0 = 2 Ω, γ = 2 + jπ/2
El cuadripolo Q 3 consiste en el circuito mostrado en la figura 2, donde Q3 : Z 1 = j Ω, Z 2 = j5 Ω
−
Los valores del resto de elementos del circuito son los siguientes: E g =
−6 V, R
g
= 3 Ω, RL = 5/2 Ω, I g = 1 A, R = ?
El objetivo del ejercicio es calcular el valor que debe tener R para que la potencia suministrada por el generador I g sea nula y realizar un an´alisis de potencias en esas condiciones. Para ello realice los siguiente apartados: 7
V´ ease el apartado b) del problema 15. V´ ease el apartado a) del problema 15. 9 N´ otese que, dado que R g = R L , entonces P 20 = P ma´x 8
54
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a) Caracterice el cuadripolo Q 3 mediante su matriz de par´ametros F . b) Bas´andose en la matriz calculada en el apartado anterior, determine la impedancia que muestra el circuito a la derecha de los nodos C C ′ .
−
c) Determine ahora la impedancia que muestra el circuito a la derecha de los nodos B
− B ′.
d) Calcule el equivalente de Th´ evenin de la parte del circuito situado a la izquierda de los ′ nodos A A .
−
e) Utilizando los resultados obtenidos calcule el valor de la resistencia R para que el potencia aportada por el generador de corriente I g sea nula.
R O D A R R O B
f) Calcule la potencia suministrada por el generador E g a la entrada (lado izquierdo) del cuadripolo Q 1 y la potencia disipada en resistencia RL .
g) Calcule en decibelios las p´ erdidas de transmisi´ on y las p´ erdidas de inserci´o n desde la entrada (lado izquierdo) de Q 1 hasta la salida (lado derecho) de Q 3 . Rg
R
A
E g
I g
Q1
A′
B
C
Q2
B′
RL
Q3
C ′
Figura 1: Circuito.
Q3
Z 1
Z 2
Figura 2: Cuadripolo Q 3 .
Respuesta :
Para realizar el ejercicio se definen las siguientes tensiones y corrientes en el circuito de la figura 1:
E g
Rg I 1
I A
V 1
A V A
Q1
R
I g
A′
I B
I C
B V B
C V C
B′
Q2
I L
Q3
V L RL
C ′
a) Existen varias formas de calcular [F ]. Se propone en esta soluci´on descomponer el circuito en dos cuadripolos en cascada: 55
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Z 1
Z 1
Z 2
Z 2
La matriz de transmisi´o n de Q3 ser´a entonces el resultado de multiplicar matricialmente las matrices de transmisi´on del cuadripolo formado por una impedancia en serie Z 1 y el cuadripolo formado por una impedancia en paralelo Z 2 : [F ] =
1 Z 1
1
0
0
1
Z 2
1
1+
=
Z 1 Z 2
Z 1
=
4 5
− j
R O D A R R O B 1
1
1
Z 2
− j 15
1
Obs´ervese que [F ] = 1, como corresponde a todo cuadripolo rec´ıproco.
| |
b) Sea
[F ] =
A3 B3
C 3 D3
la matriz de transmisi´on del cuadripolo Q 3 que ha sido calculada en el apartado anterior. Entonces V C = A 3 V L + B3 I L I C = C 3 V L + D3 I L
donde, adem´as, debe cumplirse
V L = R L I L
La impedancia que muestra la entrada de Q 3 es entonces, Z C =
V C A3 V L + B3 I L A3 RL I L + B3 I L = = I C C 3 V L + D3 I L C 3 RL I L + D3 I L
Al sustituir valores se obtiene el siguiente resultado: Z C =
45 j 52 15 j 5 2 + 1
−
−
Al simplificar:
Z C = 2
c) Denominamos Z 0Q y γ 0Q a los par´ ametros imagen de Q 2 . 2
2
Dado que Z C coincide con el valor de impedancia imagen de Q 2 entonces: Z 0Q = Z C 2
⇒
Z B = Z 0Q = 2 2
d) Denominamos Z 0Q y γ 0Q a los par´ ametros imagen de Q 1 . 1
1
Dado que R g coincide con el valor de impedancia imagen de Q 1 , Z 0Q = R g 1
⇒
Z Th = Z 0Q = 3 1
56
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Por otra parte, para hallar la tensi´on en A A′ cuando estos terminales est´an en abierto (V A = V Th si I A = 0), se plantean la siguientes ecuaciones,
−
0 ❃ V 1 = A 1 V Th + B1 ✚ I ✚ A 0 ❃ I 1 = C 1 V Th + D1 ✚ I ✚ , A donde
A1 B1 C 1 D1
=
Q1
Q1
cosh(γ ) 1
Q1
Z 0
(1)
Q1
Z 0 sinh(γ )
sinh(γ Q )
cosh(γ Q )
1
1
R O D A R R O B es la matriz de transmisi´on del cuadripolo Q1 .
De la ecuaci´on de la malla situada a la izquierda de Q 1 se obtiene E g = R g I 1 + V 1
Sustiyendo en esta ecuaci´on los valores de V 1 y I 1 dados en (1) se obtiene la ecuaci´on E g = R g C 1 V Th + A1 V Th
de la que se despeja el resultado deseado: V Th =
E g = C 1 Rg + A1
1
Q1
Z 0
E g sinh(γ Q )Rg + cosh(γ Q ) 1
1
N´ otese que sinh(γ Q ) = sinh( jπ) = j sin π = 0 y que cosh(γ Q ) = cosh( jπ) = cos π = Al sustituir valores se obtiene: V Th = E g = 6 V 1
1
−1.
−
e) Para que la potencia que proporcione I g sea nula, debe ocurrir que la tensi´on en bornas de dicho generador, V Ig , sea nula. Utilizando el equivalente de Th´ evenin en los terminales ′ A A y la impedancia Z B calculados en apartados anteriores, se obtiene el siguiente circuito equivalente:
−
Z Th
V Th
I A
R
+ V Ig
− I
B
A V A
I g
A′
B V B
Z B
B′
Dicho circuito tiene una u ´ nica malla con corriente
I A = I B = I g
La ecuaci´on de malla queda entonces de la siguiente forma:
0 ❃ V Th = Z ThI g + RI g + ✚ V ✚ Ig + Z B I g de donde se puede despejar el valor de R. Al sustituir valores, 6=3+R+2
⇒
R = 1 Ω
57
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f) Llamamos P 1 y P L a las potencias que pide respectivamente el enunciado. Ambas potencias pueden calcularse con la tensi´on y corriente que hay a la entrada de Q1 y a la salida de Q3 respectivamente: 1 P 1 = Re V 1 I 1 ∗ 2 1 P L = Re V L I L ∗ 2
{ {
} }
Adem´ as, teniendo en cuenta que el cuadripolo Q3 es puramente reactivo y no disipa potencia en su interior, la potencia que entrega a la carga RL debe ser igual a la potencia que recibe por la izquierda: 1 P L = P C = Re V C I C ∗ 2
R O D A R R O B {
}
Del circuito equivalente mostrado en el apartado anterior con V Ig = 0 se obtienen inmediatamente las siguientes tensiones y corrientes, I A = I g
= 1A
V A = I g (R + Z B ) = 5 V I B = I g = 1A
V B = I g Z B
= 2V
Con los par´ametros imagen de Q1 se pueden deducir entonces la tensi´on V 1 y la corriente I 1 : V 1 = A 1 V A + B1 I A
I 1 = C 1 V B + D1 I A ,
donde
A1 B1
C 1 D1
Z 0Q sinh(γ Q )
cosh(γ Q )
1
1
=
1
sinh(γ Q )
=
cosh(γ Q )
1
Q1
Z 0
1
1
−1 0
0
−1
es nuevamente la matriz de transmisi´on del cuadripolo Q 1 . Por lo tanto V 1 =
−V = −5 V I 1 = −I = −1 A 1 P 1 = Re {V 1 I 1 } = 2.5 Watt 2 A
A
Los par´ ametros imagen del cuadripolo Q 2 relacionan V B y I B con V C y I C de la siguiente forma: cosh(γ Q )V C + Z 0Q sinh(γ Q )I C
V B = I B =
2
2
1
Q2
Z 0
sinh(γ Q )V C + 2
2
cosh(γ Q )I C 2
Despejando los valores de V C y I C se obtiene: cosh(γ Q )V B
V C = I C =
2
−
1 Q2
Z 0
sinh(γ Q )V B + 2
Q2
Q2
− Z 0 sinh(γ
)I B
cosh(γ Q )I B 2
58
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Al sustituir valores, se obtiene
− 2 sinh(2 + jπ/2) = j2(sinh(2) − cosh(2)) = − j2e−2 = − sinh(2 + jπ/2) + cosh(2 + jπ/2) = j(− cosh(2) + sinh(2)) = − je −2 1 1 P = P = Re {V I ∗ } = 4 Watt ≃ 0.0183 Watt 2 e
V C = 2cosh(2 + jπ/2) I C
L
g)
C
C C
P´ e rdidas de transmisi´ on: P Tx (dB) = 10 log10
P 1 P L
≃ 21.35 dB
R O D A R R O B P´erdidas de inserci´on:
P I (dB) = 10 log10
18.
RL 1 2 P L0 2 E g (Rg +RL ) = 10log10 P L P L
2
≃ 19.10 dB
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas argumentando su respuesta y corrigiendo la afirmaci´ on en caso de que la considere falsa. La respuesta no se evaluar´a sin esta justificaci´ on. a) En un cuadripolo rec´ıproco y sim´etrico cargado con su impedancia imagen las p´erdidas de inserci´ on son mayores que las p´erdidas de transmisi´on. b) En un cuadripolo formado por bobinas y condensadores ideales las p´erdidas de inserci´ on son 0 dB. c) Sea un cuadripolo pasivo y rec´ıproco de impedancias imagen Z 1 en el puerto 1, y Z 2 en el puerto 2. Si alimentamos el puerto 1 con un generador de impedancia interna Z g = Z 1 , entonces la carga en el puerto 2 que consigue m´axima transferencia de potencia a la carga (en el puerto 2) es Z L = Z 2 ∗ . d) En cualquier cuadripolo pasivo las p´erdidas de transmisi´on son mayores o iguales que 0 dB. e) En cualquier cuadripolo pasivo las p´erdidas de inserci´on son mayores o iguales que 0 dB. Respuesta :
a) Falso.
Un cuadripolo rec´ıproco y sim´etrico cargado con su impedancia imagen muestra una impedancia a su entrada igual a la impedancia imagen, que en este caso es igual a la impedancia de carga. Por ello el generador no nota ninguna diferencia cuando el cuadripolo est´a situado entre ´el y la carga y cuando se quita el cuadripolo y se conecta directamente a la carga10 . En consecuencia, el c´alculo de la potencia entregada por el generador en cada una de esas situaciones, llamadas durante el curso P 1 y P 20 respectivamente, da un resultado
10
V´ ease el apartado a) del problema 9
59
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id´entico, y por tanto las p´erdidas de inserci´on, definidas como P 20 /P 2 y las p´erdidas de transmisi´ on, definidas como P 1 /P 2 son iguales (P 2 es la potencia que disipa la carga cuando el cuadripolo est´a presente entre el generador la propia carga). Sentencia correcta: En un cuadripolo rec´ıproco y sim´etrico cargado con su impedancia imagen las p´erdidas de inserci´ on son iguales a las p´erdidas de transmisi´on. b) Falso. El cuadripolo, aunque sea un circuito sin p´ erdidas, muestra en general una impedancia a la entrada diferente de la impedancia con la que se carga su salida. Las condiciones de adaptaci´ on del generador cuando se calcula P 20 y P 2 son por tanto diferentes, y en consecuencia ser´an diferentes los valores de estas potencias, por lo que su relaci´on no ser´a, en general, 1 (0 dB).
R O D A R R O B Posibles sentencias correctas:
En un cuadripolo formado por bobinas y condensadores ideales las p´ erdidas de inserci´ on pueden tener cualquier valor.
o mejor a´ un:
En un cuadripolo formado por bobinas y condensadores ideales las p´erdidas de transmisi´ on son 0 dB. La potencia media que un generador entrega a un cuadripolo en uno de sus puertos ( P 1 ), por el principio de conservaci´on de energ´ıa, tiene que divirse en potencia que disipa internamente el cuadripolo (P d ) y potencia que se entrega a la carga conectada en el otro puerto (P 2 ). Dado que en un cuadripolo formado por bobinas y condensadores no hay elementos capaces de disipar potencia en t´ermino medio, debe cumplirse necesariamente que P d =0, por lo que P 2 = P 1 , y por tanto la relaci´on entre ambas potencias (p´erdidas de transmisi´ on) es igual a la unidad (0 dB).
c) Verdadero.
Teniendo en cuenta la definici´on de impedancias imagen, el circuito visto desde Z L tiene un equivalente de Thevenin con una impedancia Z Th = Z 2 : Z Th = Z 2
Z 1
E g
Z 1 , Z 2
V Th
γ
Para obtener la m´ axima potencia de dicho equivalente de Thevenin es necesario que haya adaptaci´ on conjugada de impedancias a su salida, por lo que Z L = Z Th∗ = Z 2 ∗ , tal y como afirma la sentencia que se quer´ıa demostrar.
d) Verdadero.
Tal y como se expuso en el ´ultimo p´arrafo del apartado b), el principio de conservaci´on de energ´ıa implica que la potencia que un generador entrega a un cuadripolo en el puerto 1 (P 1 ) debe ser igual a la potencia disipada internamente por el cuadripolo pasivo ( P d ) m´as la potencia que entrega el cuadripolo a una carga en el puerto 2 ( P 2 ). La relaci´on que
60
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define las p´erdidas de transmisi´on puede desarrollarse entonces de la siguiente forma: P 1 P 2 + P d P = = 1 + d > 1 P 2 P 2 P 2
⇒ P P 12 > 0 dB
donde se ha tenido en cuenta que en un cuadripolo pasivo debe cumplirse P d > 0, que la resistencia s´olo puede disipar potencia (P 2 > 0) y que por tanto el generador debe suministrarla (P 1 > 0). e) Falso. Por las mismas razones que las indicadas en el apartado b), las diferentes condiciones de adaptaci´ on que pueden darse cuando se conecta la carga directamente al generador, y cuando se conecta a trav´ es de un cuadripolo pasivo, puede hacer que la potencia que llega a la carga sea mayor en este ´ultimo caso.
R O D A R R O B
A pesar que parte de la potencia se disipe en el interior del cuadripolo, el insertar un cuadripolo de adaptaci´ on puede conseguir que el generador aporte m´a s potencia y en consecuencia llegue m´as potencia a la carga. El apartado d) muestra una versi´on correcta del enunciado de este apartado.
19.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas argumentando su respuesta y corrigiendo la afirmaci´ on en caso de que la considere falsa. La respuesta no se evaluar´a sin esta justificaci´ on. a) En r´egimen permanente sinusoidal la potencia instant´ anea p(t) entregada a un dipolo RLC (formado por resistencias, bobinas y condensadores) es siempre positiva. b) Dado un cuadripolo rec´ıproco caracterizado por sus par´ametros ABCD (matriz [F ]); si A y D son reales, y B y C son imaginarios puros, entonces el cuadripolo es sin p´erdidas (no puede disipar potencia en su interior.) c) Sea un cuadripolo rec´ıproco de impedancias imagen Z 01 en el puerto 1, y Z 02 en el puerto 2. Si alimentamos el puerto 1 con un generador de impedancia interna Z g = Z 01 , entonces la impedancia que puesta en el puerto 2 m´as potencia llegar´ıa a disipar ser´ıa Z L = Z 02. d) En cualquier cuadripolo pasivo las p´erdidas de transmisi´on son mayores o iguales que 0 dB. e) Si en un cuadripolo rec´ıproco y pasivo, alimentado en un puerto por un generador de tensi´ on de impedancia interna real Rg que proporciona V g voltios en vac´ıo, y cargado en el otro puerto por una resistencia RL , definimos la siguiente funci´on de transferencia: H (s) = 2
Rg V L (s) RL V g
donde V L es la tensi´on en la resistencia RL , entonces podemos asegurar que
|H ( jω)|2 ≤ 1 ∀ ω ∈ R f) En el dise˜no de un filtro, dadas unas especificiaciones de selectividad y discriminaci´on, la aproximaci´ on de Butterworth siempre consigue cumplirlas con un menor n´umero de elementos que la aproximaci´on de Chebychev. 61
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Respuesta :
a) Falso. Si bien la potencia media que consume el dipolo siempre debe ser mayor o igual que cero, la potencia instant´anea puede tomar valores tanto positivos como negativos debido a la potencia que pueden liberar los condensadores o las bobinas en sus ciclos de descarga. Este efecto puede comprobarse observando la evoluci´on temporal de la multiplicaci´o n de dos sinusoides con un desfase arbitrario φ < π/2 (dado que un dipolo RLC tendr´a una impedancia con parte real siempre positiva y un parte imaginaria postiva o negativa):
| |
A [cos(φ) + cos(2ωt + φ)] 2
R O D A R R O B p(t) = v(t)i(t) = A cos(ωt + φ)cos(ωt) =
Es evidente que siempre que φ = 0 la funci´on p(t) tomar´ a tanto valores positivos como negativos.
Sentencia correcta:
En r´egimen permanente sinusoidal la potencia media entregada a un dipolo RLC (formado por resistencias, bobinas y condensadores) es siempre positiva.
b) Verdadero.
Basta con comprobar que la potencia media que se entrega al cuadripolo en el puerto 1, P 1 , es igual a la que este proporciona en el puerto 2, P 2 . Si as´ı ocurre, por el principio de conservaci´on de la energ´ıa, no puede perderse nada de p otencia media en el interior del cuadripolo. La potencia que entregamos al cuadripolo en el puerto 1 es:
1 1 P 1 = Re V 1 I 1 ∗ = Re (AV 2 + BI 2 )(CV 2 + DI 2 )∗ = 2 2 1 Re AC ∗ V 2 2 + Re AD∗ V 2 I 2 ∗ + Re BC ∗ I 2 V 2 ∗ + Re BD ∗ I 2 2
{
} { { | |} {
}
}
{
}
{
| |2 }
Dado que A,D, V 2 2 y I 2 las siguientes ecuaciones:
| | | |2 son n´umeros reales, y C y D son imaginarios puros se verfican { | |2 } = 0 Re{BD ∗ |I 2 |2 } = 0
Re AC ∗ V 2
D∗ = D C ∗ =
−C
y por tanto
1 P 1 = (AD Re V 2 I 2 ∗ 2
{
} − BC Re{I 2V 2 ∗}) = (AD − BC )P 2
donde P 2 es la potencia que entrega el cuadripolo por el puerto 2. El enunciado asegura que el cuadripolo es rec´ıproco, por lo que
|[F ]| = AD − BC = 1 quedando el resultado que demuestra la afirmaci´on del enunciado: P 2 = P 1 62
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