1 El servicio de parques nacionales esta recibiendo cotizaciones para talar árboles en tres
localidades de un bosque. Las localidades tienen areas de 10000, 20000 y 30000 hectáreas una empresa taladora puede cotizar para no mas del 50% de la superficie en todas las localidades. Cuatro empresas han presentado sus cotizaciones por hectárea, en unidades monetarias para las tres localidades de acuerdo a la siguiente tabla. Localidad 1 1404000 ----1755000 486000
2 1161000 1377000 ----567000
3 1539000 1336500 1917000 408000
Cuantas hectáreas deben asignarse a cada empresa para maximizar la suma total de ingresos? 2 Tres ciudades se abastecen de electricidad de tres centrales eléctricas con capacidad
de 25, 40 y 30 kilowatts (MW). Las demandas máximas de las tres ciudades se estiman en 30, 35 y 25 MW, el precio por MW se muestran en la siguiente tabla: VILLAVO BOGOTA MEDELLÍN 1 280 300 250 2 230 200 240 3 255 254 251 Durante el mes de agosto hay un aumento del 20% en la demanda de cada ciudad, que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red a una tasa elevada de 1000 por MW sin embargo la red no esta conectada con la ciudad tres. La empresa eléctrica desea determinar el plan más económico para la distribución y compra de la energía adicional. a-determine un plan óptimo de distribución de la empresa. 3 Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 5 y 8 millones de galones de
gasolina reparten a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones del combustible. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de tubería. El costo de transporte se calcula con base en la longitud de la tubería aproximadamente a $10 por galón por kilómetro recorrido. La tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está conectada al área de distribución 3. Formule el problema como un modelo de transporte. Resuelva el problema con TORA e interprete la solución.
Refinerías
1 2 3
áreas de distribución 1 2 3 193 290 ___ 483 161 129 322 402 193
4 supóngase en el problema 3, que la capacidad de la refinería 3 se reduce a 6 millones
de galones de gasolina. Asimismo, el área de distribución 1 debe recibir toda su demanda y cualquier escasez en las áreas 2 y 3 dará lugar a una penalización de $10000 por galón. Formule el problema como un modelo de transporte. Resuelva el problema con TORA e interprete la solución. 5 En el problema 3, supóngase que la demanda diaria en el área 3 disminuye a 4 millones
de galones, cualquier producción excedente en las refinerías 1 y 2 deberá desviarse a otras áreas de distribución por medio de camiones tanque. Los costos de transporte promedio resultantes por galón es $2500 desde la refinería 1 y $2700 desde la refinería 2. La refinería 3 puede desviar su gasolina excedente a otros procesos químicos dentro de la planta. Formule el problema como un modelo de transporte. Resuelva el problema con TORA e interprete la solución . Se envían automóviles en camión de tres centros de distribución a cinco distintos distribuidores. El costo de envió esta basado en la distancia recorrida entre las fuentes y destinos. El costo es independiente de si el camión hace el recorrido con una carga parcial o completa. La tabla que sigue hace un resumen de las distancias de recorrido entre los centros de distribución y los distribuidores y también las cifras mensuales de oferta y demanda calculadas en números de automóviles. Cada camión puede transportar un máximo de 18 vehículos. Dado que el costo de transporte por kilómetro recorrido por el camión es 22000 pesos, formule el problema como un modelo de transporte. 6.
Centros de distribución
1 2 3
Demanda
1 100 50 40
Distribuidores 2 3 4 150 200 140 70 60 65 90 100 150
5 35 80 130
100
200
140
150
160
Oferta 400 200 150
7. Considere el problema de asignar cuatro categorías diferentes de maquinas y cinco tipos de tareas. El numero de maquinas disponible en las cuatro categorías son 25, 30, 20 y 30. El número de trabajos en las cinco tareas son 20, 20, 30, 10 y 25. La categoría de maquina 4 no se puede asignar al tipo de tarea 4. Para los cotos unitarios dados, formule un modelo matemático para determinar la asignación optima de maquinas a tareas. Resuelva el problema con TORA e interprete la solución.
Categoría de maquina
1 2 3 4
1 10 5 15 20
2 2 10 5 12
Tipo de tarea 3 3 15 14 13
4 15 2 7 -
5 9 4 15 8
8. La demanda de un producto perecedero en los próximos cuatro meses es de 500, 630,
200 y 230 toneladas, respectivamente. La capacidad de abastecimiento para los meses sucesivos del periodo de planeación es de 400, 300, 420 y 380 toneladas y los precios correspondientes por tonelada son 10000, 14000, 12000 y 15000 pesos, respectivamente. Como el articulo es perecedero, la compra corriente de un mes de un mes se debe consumir totalmente dentro de los tres mese siguientes a la compra (incluido el mes corriente). Se estima que el costo de almacenamiento por tonelada y mes es de 3000 pesos. De nuevo, la naturaleza del artículo no permite tener pedidos pendientes de surtir. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice tora e interprete la solución. 9. La demanda de un motor especial, pequeño, en los próximos 5 periodos es de 200,
150, 300, 250, y 400 unidades. El fabricante que surte los motores tiene capacidades diferentes de producción que se estiman en 180, 230, 430, 300 y 300 unidades para los cinco periodos. No se pueden surtir los pedidos con retraso, en caso necesario, el fabricante puede ocupar tiempo extra para cubrir la demanda. La capacidad por tiempo extra, en cada periodo, se estima igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad en los cinco periodos son 100.000, 96.000, 115.000, 102.000 y 105.000 pesos respectivamente. El costo del tiempo extra por motor es 50% mayor al costo de producción regular. Si se produce un motor ahora, para usarse en periodos posteriores, se tendrá un costo adicional de almacenamiento de 4.000 pesos por motor y periodo. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice tora para resolver el problema e interprete la solución. 10. Periódicamente se realiza un mantenimiento de prevención en motores de avión en
los cuales se debe reemplazar una pieza importante. La cantidad de aviones programados para los siguientes seis meses siguientes es de 25, 18, 35, 20, 23, 29, respectivamente. Como es acostumbrado todo el mantenimiento se realiza en los primeros días del mes. Una pieza usada se puede reemplazar por una nueva o repararla. La reparación de las piezas usadas se puede hacer en talleres internos, para luego ser usadas al principio del mes siguiente, o pueden enviarse a un taller externos, en donde se tendrá una demora de 4 meses (incluido el mes cuando tiene lugar el mantenimiento). El costo de reparación en el taller interno es de $250.000. En el taller central el costo es de solo $100.00. Una pieza reparada que no se use en el mismo mes en que se recibe, acarreara un costo adicional de almacenamiento de $15.0000 mensual. Las componentes nuevas se pueden comprar durante el primer mes del periodo de planeación a $510.000 cada una, con un incremento del precio del 5% cada 2 meses. Formule el problema como un modelo de transporte. Resuelva el problema con TORA e intérprete los resultados. 11. La aerolínea aires puede comprar su combustible para Boeing 737 a cualquiera de
los tres proveedores. Las necesidades de la aerolínea para el próximo mes, en cada uno de los tres aeropuertos a los que da servicio, son 60.000 galones en el aeropuerto 1, 120.000 galones en el aeropuerto 2 y 180.000 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios (en pesos por galón) que se dan en el siguiente cuadro:
Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3
aeropuerto 80 81 77
aeropuerto 79 81 80
Aeropuerto 80 85 82
Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante un mes específico. Estas capacidades son 300000 galones para el proveedor 1, 250.000 galones para el proveedor 2 y 150.000 galones para el proveedor 3. Determine una política de compra para que cubra los requerimientos de la aerolínea en cada aeropuerto a un costo total mínimo . 12. Un contratista tiene que transportar arena a tres sitios de construcción. Puede
comprar hasta 18 toneladas en una playa al norte de la ciudad y 14 toneladas en otra al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en los respectivos sitios de construcción 1, 2 y3. El precio de compra por tonelada en cada playa y los costos de transporte son los siguientes: Playa Norte Sur
Costo por tonelada Transportada Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 $ 30.000 $ 60.000 $ 50.000 $ 60.000 $ 30.000 $ 40.000
Precio por tonelada $ 100.000 $ 120.000
El contratista desea determinar cuanta arena transportar de cada playa a cada sitio de construcción de manera que se minimice el costo total de compra y de transporte de la arena. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice TORA para resolver el problema e interprete la solución. 14. La planta reforestadora de costa “Refocosta” producira tres tipos de madera, en la actualidad cuatro de sus plantas tienes exceso de capacidad de produccion. El costo unitario respectivo de fabricacion del primer tipo de madera sera $31, $29, $32 y $28 en las plantas 1,2,3 y 4. El costo unitario de fabricacion del segundo tipo de madera sera $45, $41, $46 y $43 en las plantas 1,2,3 y 4 y para el tercer tipo de madera sera de $46 y $42 en las plantas 1 y 2, pero las plantas 3 y 4 no pueden fabricar esta madera. Los pronosticos de ventas indican que la produccion diaria debe ser de 900, 1300 y 800 unidades de los tipos 1, 2, 3 respectivamente. Las plantas 1, 2, 3 y 4 tienen capacidades para producir 1000, 400, 600 y 1000 unidades diarias sin importar el producto o combinacion de productos. La gerencia desea asignar los nuevos tipos de madera a las plantas con el minimo costo total de fabricacion
Formule este problema como un problema de transporte Obtenga una solucion optima para este problema
15. Suponga que en Colombia, Mexico e Inglaterra producen todo el trigo, cebada y avena
en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 115 millones de acres a la produccion de este cereal, de igual manera se necesitan 50 millones de acres para cebada y 65 para avena. La cantidad total de tierra disponible en Colombia, Mexico e Inglaterra es 70, 100 y 50 millones de acres. El numero de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de trigo en los respectivos paises es 18, 13 y 16 horas, la producción de un acre de cebada requiere 12, 10 y 16 horas, la producción de un acre de avena requiere 10, 8 y 12 horas de mano de obra en Colombia, México e Inglaterra. El costo de mano de obra por hora en cada pais es $9, $7.80 y $10.10 para la producción de trigo, $ 8.20, $9 y $8.60 para la de cebada y $ 7, $7.80 y $6.60 para la de avena. El problema es asignar de la tierra en cada pais de manera que se cumpla con los requerimientos de alimentación en el mundo y se minimice el costo total de mano de obra. 16. Se dispone de 4 Camiones de carga para transportar aceite de palma desde las
plantas productoras a cuatro bodegas distintas ubicadas en lugares diferentes de la ciudad, bodegas numeradas de 1 a 4. Se puede utilizar cualquiera de los 4 camiones para hacer cualquiera de los 4 viajes, sin embargo, dada la diferencia entre los camiones y la capacidad de carga de los mismos, el costo de carga, envío y descarga para las distintas combinaciones de camiones y bodegas, varía mucho, los cuales se muestran en la tabla siguiente: Camiones Bodegas 1 2 3 4 1 $500.000 $400.000 $600.000 $700.000 2 $600.000 $600.000 $700.000 $500.000 3 $700.000 $500.000 $700.000 $600.000 4 $500.000 $400.000 $600.000 $600.000
El objetivo es asignar los camiones a las bodegas en correspondencia uno a uno de manera que se minimice el costo total de los cuatro envíos. a) Plantee el problema de transporte anterior construyendo la tabla de parámetros adecuada. b) Obtenga una solución óptima usando la regla de esquina noreste. c) Pruebe el anterior resultado en tora. d) Plantee el problema de asignación. 17. Reconsidere el ejercicio 14. Suponga que se revisaron los pronósticos de ventas y
disminuyeron a 240, 400 y 320 unidades diarias para los respectivos productos 1,2 y 3. Así cada planta ahora tiene capacidad para producir todo lo que se requiere de uno de ellos. La gerencia ha decidido que cada nuevo producto debe asignarse a una sola planta y que ninguna planta debe fabricar más de un producto (Así, se asignará un producto a tres de las plantas y dos plantas quedaran sin asignación). El objetivo al hacer estas asignaciones es minimizar el costo total de producción para estas cantidades de los tres productos. a) Formule el problema como un problema de asignación construyendo la tabla de costos apropiada. b) Obtenga una solución óptima.
c) Construya la tabla de parámetros para volver a formular el problema como uno de transporte. d) Solucione por método de aproximación de vogel. Tomando la siguiente tabla, formule una solución utilizando el modelo de transporte. 18.
Tarea 1 2 3 4 A 8 6 5 7 B 6 5 3 4 asignados C 7 8 4 6 D 6 7 5 6 19. El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las olimpiadas juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir que nadador asignar a cada uno de los cuatro estilos, los 5 mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes. Tipo de nado Carlos cristina David Antonio José Dorso 37,7 32,9 33,8 37 35,4 Pecho 43,4 33,1 42,2 34,7 41,8 Mariposa 33,3 28,5 38,9 30,4 33,6 Libre 29,2 26,2 29,6 28,5 31,1 El entrenador quiere determinar cómo asignar los cuatro nadadores a los cuatro estilos de nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes. Solucione el problema utilizando modelo de transporte. 20. Una empresa que fabrica condones tiene tres plantas y cuatro clientes, las plantas
respectivas podrán producir 60, 80 y 40 unidades, para el próximo mes la empresa se ha comprometido a vender 40u al cliente 1, 60u al cliente 2 y al menos 20u para el cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean comprar tantas unidades como sea posible de las restantes, la utilidad neta asociada con el envió de una unidad de una planta a un cliente está dada en la siguiente tabla. Cliente planta
1 2 3
1 $ 800 $ 500 $ 600
2 $ 700 $ 200 $ 400
3 $ 500 $ 100 $ 300
4 $ 200 $ 300 $ 500
El gerente desea saber cuántas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuantas unidades conviene mandar de cada planta a cada cliente para maximizar utilidades.
Formule el problema como un problema de transporte.
21. La compañía Colgate ha acordado con su mayor cliente abastecer con una crema
especial durante cada una de las tres semanas siguientes aun cuando producirla va a requerir horas extras de mano de obra, los datos de producción solo los siguientes. costo de producción producción producción por máxima máxima unidad, tiempo Semana tiempo normal tiempo extra normal 1 20 20 $ 3.000 2 30 20 $ 5.000 3 10 20 $ 4.000 El costo por unidad producida con tiempo extra a la semana es $ 1.000 más que en las horas normales. El costo de almacenamiento es $ 500 por unidad cada semana que se guarda. Existe ya un inventario de 20 cremas pero la compañía no desea quedarse con ninguno después de las tres semanas. El cliente tiene una demanda de 30u para la semana 1, 20u para la semana 2 y 10u para la semana 3. La gerencia desea saber cuántas unidades debe producir cada semana para maximizar ganancias.
Formule el problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada.
22. Almacenes éxito cuenta con 4 bodegas en la ciudad de Bogotá, esta suerte a cuatro
almacenes ubicados en cada uno de los puntos cardinales. El costo de envió a cada uno de los almacenes se describe en la siguiente tabla: Bodega
Bodega1 Bodega2 Bodega3 Bodega4
Costo de envió a cada almacén en miles de pesos
Norte 500 200 300 200
Sur 600 900 400 100
Oriente 400 100 200 300
Occidente 200 300 100 200
Las bodegas respectivas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20, y 10 envíos por cada 3 meses. Los almacenes deben recibir envíos por cada 3 meses como se muestra en la tabla: Norte Sur Oriente Occidente 20 10 10 20 La junta directiva de almacenes éxito, desea determinar el mejor plan de envíos para surtir los almacenes cada 3 meses, para minimizar costos de envió. Formule el problema como un modelo de transporte y utilice TORA para hallar la solución.
23. La compañía contratista suramericana de eléctricos, debe planear el sistema de
alimentación energética de un bloque de apartamentos que será construido en la ciudad de Tunja. Según las investigaciones, se conoce que la necesidad energética en un hogar es distribuida en las siguientes categorías: electrodomésticos de uso común, calentadores de agua y calefactores de ambiente. El estudio indica además, que el consumo de energía diario en cada bloque de apartamentos es como se muestra en la siguiente tabla: Categoría Electrodomésticos uso común Calentadores de agua Calefactores de ambiente
Consumo kWh 2000 1000 3000
Se tienen 3 fuentes posibles de energía, estas son: electricidad, gas natural y paneles solares q serian instalados en el techo, como este espacio es limitado se podrían instalar un número reducido de celdas que alcanzarían a producir como máximo 3000 kWh. El consumo de los electrodomésticos de uso común se puede satisfacer solo comprando la energía eléctrica (a un costo de $150 kWh). Las otras dos categorías de consumo se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes. Los costos unitarios se muestran en la siguiente tabla: Calentadores de agua Calefactores de ambiente
Electricidad 350 300
Gas natural 250 230
Celdas solares 100 110
El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con las necesidades de energía. Formule el problema como un modelo de transporte, resuelva por TORA e interprete los resultados arrojados. 24. La compañía John Deere tiene dos planes que producen combinadas que se mandan
a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en millones de pesos) por unidad para todas las combinaciones de planta y centro de distribución son los siguientes: 1 160
Centro de distribución 2 140
3 80
Planta A 120 160 100 B Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte. Formule este problema, como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada.
25. Resuelva de nuevo el problema 24 si cualquier centro de distribución puede recibir
cualquier cantidad entre 10 y 30 combinadas por semana para reducir más el costo total de envió, siempre que el envió total a los tres centros sea igual a 60 combinadas por semana. 26. La compañía de plásticos vaniplast debe producir una cantidad suficiente de dos artículos para cumplir con los contratos para los próximos tres meses. Los dos productos comparten las mismas instalaciones de producción y cada unidad de ambos requiere la misma capacidad de producción. Las capacidades de producción y almacenamiento disponibles cambian cada mes, por lo tanto puede valer la pena producir más de alguno o ambos artículos en ciertos meses y almacenarlos hasta que se necesiten. Para cada uno de los tres meses, la segunda columna de la siguiente tabla da el número máximo de unidades de los dos artículos combinados que se pueden producir en horas normales y en horas extras. Para cada producto las columnas subsecuentes dan el número de unidades necesarias para la venta contratada, el costo en pesos por unidad en horas extras y normales y el costo de almacenar unidades adicionales que se guardaran para el siguiente mes, para tal caso las unidades de los dos productos se separaron por una diagonal con el valor del articulo 1 a la izquierda y el valor del articulo dos a la derecha. ARTICULO1 /ARTICULO2 COSTO COSTO PRODUCCIÓN UNITARIO DE UNITARIO COMBINADA PRODUCCIÓN ALMACÉN MÁXIMA (MILES $) (MILES $) MES HN VENTAS HN HE HE 1 10 3 5/3 15/16 18/20 ½ 2 8 2 3/5 17/15 20/18 2/5 3 10 3 4/4 19/17 22/22 El gerente de producción quiere desarrollar un programa para el numero de unidades de cada producto que debe fabricarse en horas normales y en horas extras, usando toda la capacidad de producción de actividad normal para los tres meses, la idea es minimizar tanto el costo de producción como el costo de almacenaje, cumpliendo con las ventas para cada mes. Ojo no existe inventario final ni tampoco inicial después de los tres meses. Obtenga una solución óptima para este problema resolviéndolo con tora. 27.Considere que la empresa BIG-COLA tiene el siguiente problema de transporte según como se muestra en la siguiente tabla. 4 2 3 D1 D2 D3 4 A1 6 3 5 3 A2 4 M 7 2 A3 3 4 3 Donde A1, A2, A3 son aéreas de distribución de bebidas y D1, D2, D3 son los destinos con sus respectivos costos.
Resuelva este problema por los modelos de transporte, programación lineal y compruebe los resultados con el método grafico. Nota el modelo de transporte por cualquiera de los tres algoritmos ESQUINA NOROESTE, COSTO MÍNIMO y VOGUEL. 28. Fedearroz tiene tres plantas que fabrican ‘arroz’, las cuales se deben enviarse a tres centros de distribución del país. La planta de Yopal produce 15000 toneladas mensualmente, la planta de Villavicencio produce 10000 cargas mensualmente y la planta de tame (Arauca) produce 25000 cargas mensualmente. Los centros de distribución necesitan recibir 7000, 8500 y 6500 cargas al mes respectivamente. La distancia en Km desde cada planta a los respectivos centros de distribución. (Tabla.1) Si el costo de flete es de $550/1Km. ¿Cuántas cargas deben enviarse de cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo de transporte? Formule este problema como un modelo de transporte. Utilice Tora y Cruce de Arroyo para resolver e interpretar el problema.
Plantas
Oferta
Centros de Distribución 7000
Demanda 15000
yopal
10000 villavicencio 25000
tame
8500 Alfombras
6500
Alfombras s.a V/cio
Colombia (Bgta)
Almacén del Sol (Caquetá)
80,28
15,39
414,41
764,30
703,84
1126,20
200
310
150
Tabla.1
