Material para estudiantes de ingeniería. Breve explicación del pandeo y del método omega.
escuela de arquitectura UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CURSO ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS 3
GUIA DE EJERCICIOS Nº 2
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1er semestre 2006 Profesor: Luis Leiva Ayudante: Ana María Ortega
1) Determine la sobrecarga sobrecarga q máxima admisible (kg/m) (kg/m) que puede tener tener el marco de la figura considerando la resistencia de las 2 alternativas alternativas de pilares. Peso propio de la viga: 50 kg/m - Considere Considere la viga con apoyo apoyo simple simple Pilares: Alt 1) Madera: 150x150 mm Alt 2) Acero: Perfil Cajón 200x100x3.
Pino radiata. Grado G1 A 37-24 ES E = 2 100 000 Kg/cm2
SOLUCION Alt 1) Madera: 150x150 mm
Pino radiata. Grado G1
Radio de giro i = 15/ √ 12 = 4.33 cm Pino radiata Grado G1 Fadm = 56 kg/cm2 E = 90 000 kg/cm2 Propiedades de la sección: Area = 15x15 = 225 cm2 Radio de giro i = 15/ √ 12 = 4.33 cm Coeficiente de longitud efectiva de pandeo (tabla). K = 2.1
λ = 2.1 x 400 / 4.33 = 194
Carga P admisible Kλ = A - √ A2 – B2 B = 4 x E / 0.8 λ 2 F adm A = (0.8 B ( 1 + λ / 200 ) + 1) / 2 x 0.8 B = 4 x 90000 / (0.8 1942 x 56 (kg / cm2) = 0.214 A = (0.8 x 0.214 (1 + 194 2 /200) +1) / 2 x 0.8 = .835 Kλ = .835 √ .835 2 – 0.2142 = 0.139 F λ adm =0.139 x 56 = 7.8 (kg / cm2) P adm = F λ adm x Area = 7.8 x 225 = 1755 kg Alt 2. Pilar P1 ( acero) A1.- Carga P (Kg) crítica de pandeo de la columna Propiedades de la sección: Area: A = 20x10 – 19.4x9.4 = 18 cm2 Pandeo en torno al eje x: I x = (10x203 – 9.4x19.43)/12 = 947 cm4 ix = √Ix /A = √947/18 = 7.25 cm Lx = 400 cm KLx /ix = 2.1x400/7.25 = 47.13 Pandeo en torno al eje y: I y = (20x103 + 19.4x9.43)/12 = 324 cm4 Iy = √Iy /A = √324/18= 4.24 cm Ly = 400 cm KLy /iy = 2.1x400/4.24 = 198.11 La columna es mas esbelta en torno al eje y. Tabla de tensiones admisibles Acero A37-24: KLy /iy = 198.11 → F adm = 274 kg/cm2 Carga P admisible P adm = F adm x A = 274 x 18 = 4932kg.
Cálculo de la carga q adm
Reacciones: Momento c/r al punto A: RB x8 = qx9x4.5+2000x4 RB = 5.06 q +1000 (kg) RA + RB = 2000 + qx9 RA = 2000 + qx9 - RB = 2000 + 9q –(5.06 q +1000) RA = 3.94 q +1000 (kg) RB es la reacción mayor→ mayor carga sobre el pilar derecho sobrecarga q máxima admisible (kg/m) Alt 1) Madera: 150x150 mm Padm = 1755 kg Padm = P max 1755 = 5.06 q +1000 q = 149.2 kg/m // Alt 2) Acero: Perfil Cajón 200x100x3. Padm = P max 4932= 5.06 q +1000 q = 707.1 kg/m //
Padm =4932kg
2) Las estructuras de la figura tienen: - Pilares P1 en acero Acero A 37-24 ES E = 2 100 000 Kg/cm2 - Pilares P2 en madera - pino radiata. Grado GS Para cada pilar calcule: 1.- Carga P (Kg) crítica de pandeo de la columna 2.- Carga P (Kg) admisible que puede soportar la columna Considere extremos articulados: K =1 3 λ = KL / i i = √ I / A I = bh / 12
SOLUCIÓN A. Pilar P1 ( acero) A1.- Carga P (Kg) crítica de pandeo de la columna Propiedades de la sección: Area: A = 20x30 – 19x26 = 106 cm2 Pandeo en torno al eje x: I x = (20x303 – 19x263)/12 = 17171 cm4 ix = √Ix /A = √17171/106 = 12.73 cm Lx = 600 cm Tensión crítica de pandeo F cr = π2 E/(KLx /ix)2 = π2 2100000 /(1x600/12.73)2 = 9230 kg/cm2 Carga P (Kg) crítica de pandeo P cr = F cr x Α = 9230 x 106 = 988961 kg. Pandeo en torno al eje y: I y = (2x203 + 26x13 +2x 203)/12 = 2669 cm4 Iy = √Ix /A = √2669/106 = 5.02cm
Lx = 300 cm Tensión crítica de pandeo F cr = π2 E/(KLy /iy)2 = π2 2100000 /(1x300/5.02)2 = 5803 kg/cm2 Carga P (Kg) crítica de pandeo P cr = F cr x A = 5803 x 106 = 615162 kg. La carga P crítica de pandeo de la columna es el menor valor, es decir 615,2 Ton. A2.- Carga P admisible que puede soportar la columna Pandeo en torno al eje x: KLx /ix = π2 2100000 /(1x600/12.73)= 47.13 Pandeo en torno al eje y: KLy /iy = π2 2100000 /(1x300/5.02)= 59.76 (esbeltez mayor) La columna es mas esbelta en torno al eje y. Tabla de tensiones admisibles Acero A37-24: KLy /iy = 59.76 → F adm = 1177 kg/cm2 Carga P admisible P adm = F adm x A = 1177 x 106 = 124762 kg.
B. Pilar P2 ( madera) B1.- Carga P crítica de pandeo de la columna Pino radiata Grado GS Fadm = 83 kg/cm2 E = 105 000 kg/cm2 Propiedades de la sección: Area = 12x20 = 240 cm2 i x = 20 / √12 = 5. 77 cm iy = 12 / √12 = 3.46 cm λ y= 1 x 300 / 3.46 = λ x= 1 x 600 / 5.77 =
86.6 103.9
se considera la mayor esbeltez
Tensión crítica de pandeo F cr = π2 E/(KLx /ix)2 = π2 105000 /(103.9)2 = 96 kg/cm2
Carga P (Kg) crítica de pandeo P cr = F cr x Α =9 6 x 240 = 23029 kg. B2.- Carga P admisible Kλ = A - √ A2 – B2 B = 4 x E / 0.8 λ 2 F adm A = 0.8 B ( 1 + λ / 200 ) + 1 / 2 x 0.8 B = 4 x 105000 / 0.8 103.9 2 x 83 (kg / cm2) = 0.586 A = (0.8 x 0.586 (1 + 103.9 /200) +1) / 2 x 0.8 = 1.07 Kλ = 1.07 √ 1.07 2 – 0.586 Kλ = 0.322 F λ adm =0.322 x 83 = 26.74 (kg / cm 2) P adm = F λ adm x Area = 26.74 x 240 = 6418 kg
3) (propuesto) Las estructuras de la figura tienen: Acero A 37-24 ES E = 2 100 000 Kg/cm2 - Pilares P1 en acero - Pilares P2 en madera - pino radiata. Grado G1 Para cada pilar calcule: 1.- Carga P (Kg) crítica de pandeo de la columna 2.- Carga P (Kg) admisible que puede soportar la columna Considere extremos articulados: K =1 3 λ = KL / i i = √ I / A I = bh / 12
Respuesta A. Pilar P1 ( acero) A1.- Carga P (Kg) crítica de pandeo de la columna : 381 087 kg A2.- Carga P admisible que puede soportar la columna: 99416 kg B. Pilar P2 ( madera) B1.- Carga P crítica de pandeo de la columna : 32841 kg B2.- Carga P admisible 8837 kg
4) La estructura de la figura tiene: - Pilares P1 en madera (en eje c) - Pilares P2 en acero (en ejes A y B) - Losa de hormigón de 15 cms de Espesor - Sobrelosa de hormigón de 3 cms Espesor - Viga V1 IPE 300 (42,2 Kg/m) - Viga V2 IPE 220 (26,2 Kg/m)
- Acero A 37-24 ES E = 2 100 000 Kg/cm2 - Madera: pino radiata. Grado G1 compresión paralela a las fibras F adm = 83 Kg/cm2 E = 105 000 Kg/cm2 - γ γ Hormigón = 2500 kg/m3
Calcular: a- Carga P (Kg) admisible que puede soportar P1 b- Carga P (Kg) admisible que puede soportar P2 c- Sobrecarga admisible q (Kg/cm2) que puede tener el edificio considerando la carga admisible de los pilares
λ = KL / i
i = √ I
/ A I = bh3 / 12
SOLUCIÓN a.- Carga admisible para P1 P adm = Area x F λ adm λ = KL / i i = h
Kλ = A - √ A2 – B2 B = 4 x E / 0.8 λ 2 F adm A = 0.8 B ( 1 + λ / 200 ) + 1 / 2 x 0.8 B = 4 x 90000 (kg / cm2) / 0.8 145.52 x 56 (kg / cm2) = 0.38 A = 0.8 x 0.38 (1 + 145.5 /200) +1 / 2 x 0.8 = 0.95 Kλ = 0.95 √ 0.952 – 0.382 Kλ = 0.23 F λ adm =0.23 x 56 (kg / cm2) F λ adm = 12.7 (kg / cm2) P adm = 12.7 (kg / cm2) x 300 (cm2) = 3810 kg b.- Carga admisible para P2 P adm = F adm x A Área =
2
15 – 14.4
17.64 cm2
2 =
λ = KL / i ix = √ I
/A
I = 15 x 153 / 12 - ( 14.4 x 14.43 / 12 ) I = 635.57 cm4
I = √ 635.57 cm4 / 17 cm2 = 6.1cm
λ = 2.1 x 300 cm /6.1 cm =
103 .27
, con este resultado, buscar en la tabla Fadm Para este caso se aproxima a λ = 104, lo que da un Fadm = 866, por lo tanto P adm = 866 kg / cm2 x 17 .64 cm2 = 15 276.24 kg c- Sobrecarga admisible q (Kg/cm2) que puede tener el edificio considerando la carga admisible de los pilares: -P1: 1.-Peso propio de losa + sobrelosa: 0.18 m x 2500 kg /m 3 = 450 kg /m2 Area tributaria = 1 m x 4 m = 4m2 2.-Peso de las vigas (se consideran por metro lineal) V2 = 26.2 Kg/m x 4 m = 104.8 kg V1 = 42.2 Kg/m x 1 m = 42.2 kg Peso propio total = 1947 kg P adm = 1947 Kg + peso sobrecarga = 3810 kg peso sobrecarga = 1863 Kg q sobrecarga = peso sc / área tributaria = 1863 kg / 4m2 = 465 .75 kg /m2 -P2 Area tributaria = 3.5 m x 4 m = 14m2 Peso propio de la losa = 450 kg /m2 x 14m2= 6300 kg V2 = 26.2 Kg/m x 4m = 104.8 kg V1 = 42.2 Kg/m x 3.5 m = 147.7 kg Peso propio total = 6552.5 kg P adm = 6552.5 kg + peso sobrecarga = 15 276.24 kg peso sobrecarga = 8723.74 Kg q sobrecarga = peso sc / área tributaria = 8723.74 kg / 14m2 = 623.12 kg /m2 conclusión: para efectos de diseño se considera el menor
