UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Laureate International Universities
FACULTAD DE INGENIERÍA Carrera de Ingeniería Civil “
EJERCICIO T3”
CURSO:
Calculo IV PRESENTADO POR:
GUTIERREZ ALFARO, José Luis. RIMARACHIN DIAS, Marvil. CULQUE CHAVEZ, Richard. LLANOS CALDERON, Willian. YZQUIERDO FUENTES, Elvis. DOCENTE:
Lic. ROJAS HUAMAN, Ever
CAJAMARCA - PERÚ
2015
INDICE RESUMEN ..................................................................................................................................... 3 KEY WORDS ................................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 5 OBJETIVOS: .................................................................................................................................. 6 OBJETIVO GENERAL: ................................................................................................................. 6 OBJETIVO ESPECIFICOS: ............................................................................................................ 6 MARCO TEÓRICO: ....................................................................................................................... 7
ELEMENTOS DE ARMADURA PLANA: ........................................................................................ 7 Funciones de MATLAB Usados: ................................................................................................. 8 PlaneTrussElementLength (x1, y1, x2, y2)............................................................................. 8 PlaneTrussElementStiffness (E, A, L, theta)........................................................................... 8 PlaneTrussAssemble (K, k, i, j) ............................................................................................... 9 PlaneTrussElementForce (E, A, L, theta, u) ........................................................................... 9 PlaneTrussElementStress (E, L, theta, u) ............................................................................. 10 PlaneTrussInclinedSupport (T, i, alfa).................................................................................. 10 EJERCICIO ................................................................................................................................ 11 SOLUCION:........................................................................................................................... 11 Paso 1 - discretizar el dominio: ....................................................................................... 11 Paso 2 - Escribiendo el Elemento Rigidez Matrices:........................................................ 11 Paso 3 - Montaje de la matriz de Global Rigidez: ............................................................ 12 Paso 4 - La aplicación de las condiciones de contorno: .................................................. 13 Paso 5 - Solución de las ecuaciones: ............................................................................... 14 Paso 6 - Post-procesamiento: ......................................................................................... 15 CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 17 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 17
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RESUMEN El Elemento Finito se ha desarrollado teniendo como referencia conceptos fundamentales como Análisis de fuerzas, esfuerzos y deformación unitaria, a través de la ley generalizada de Hooke así como la relación ente la deformación unitaria y los desplazamientos lineales y angulares. Por otro lado los problemas unidimensionales que trata sobre elementos sometidos a carga axial las que son discretizados para su evaluación por elementos
finitos
relaciona
la
matriz
de
deformación
unitaria
con
desplazamientos en coordenadas local ó global desarrollando la matriz de rigidez del
elemento así como el vector de fuerza de cuerpo como la fuerza de
tracción del elemento. En armaduras es necesario determinar la matriz de rigidez del elemento para armaduras planas y espaciales, luego la matriz de rigidez estructural de ensamble desarrolla el conjunto. Para problemas bidimensionales, mediante el triángulo de deformación unitaria constante determina la matriz de rigidez del elemento, el vector de fuerza del cuerpo y de tracción del elemento, con la matriz de ensamble calcula los esfuerzos generados.
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KEY WORDS
Armadura . Estructuras compuestas totalmente por miembros de dos fuerza. Las
armaduras constan generalmente de subelementos triangulares y están apoyadas de manera que impiden todo movimiento. Reticulado. Se
denomina si barra a toda chapa cuya dimensión trasversal sea
pequeña en relación a su longitud, de modo tal que pueda representarse por su eje. En consecuencia, una barra libre en el plano, posee tres grados de libertad. (Ochat, S/F.) Tirantes.
Es un elemento constructivo que está sometido principalmente a
esfuerzos de tracción.
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INTRODUCCIÓN El método del Elemento Finito es una herramienta poderosa para la solución de problemas de Ingeniería en general y particularmente para el análisis de esfuerzo y deformación de automóviles, aviones, barcos, edificios y estructuras de puentes en el campo de análisis estructural así como de mecánica de fluidos, transferencia de calor y otros campos de ingeniería. En este trabajo solamente se desarrollará los temas de competencia de Resistencia de materiales relacionados con la asignatura de Cálculo IV . Este trabajo de investigación tiene por objetivo determinar las fuerzas de deformación actuantes por medio del ELEMENTO FINITO, donde el elemento finito es una técnica de cálculo que basado en el método de rigidez utiliza el álgebra matricial, herramienta poderosa para aplicación computacional. Como el área de aplicación del elemento finito es amplio, en este caso se desarrolla el concepto del elemento finito que mediante la discretización convierte en matrices los problemas complejos de desarrollo integral y que son tratados sobre los contenidos de la asignatura de Resistencia de Materiales de la FIME ó denominados como Mecánica de Materiales, pero tratados de manera tradicional.
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OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL:
Determinar las fuerzas actuantes en una armadura por medio del método de elementos finitos utilizando el software Matlab. OBJETIVO ESPECIFICOS:
1. Definir la matriz de rigidez global. 2. Calcular los desplazamientos en los nodos. 3. Calcular las reacciones en los nodos. 4. Calcular la tensión en cada elemento.
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MARCO TEÓRICO: ELEMENTOS DE ARMADURA PLANA: El elemento de armadura plana es un elemento finito bidimensional con tanto local como global coordenadas . Se caracteriza por funciones de forma lineales. El elemento de armazón plano tiene módulo de elasticidad E, área transversal A, y la longitud L. Cada elemento plano de cercha tiene dos nodos y está inclinada con un ángulo θ medido en sentido antihorario desde la eje X positivo global como se muestra en la Fig . 5.1 . Sea C = cos θ y S = sen θ .
En este caso la matriz de elemento de rigidez está dada por (ver [ 1 ] ) .
Está claro que el elemento de armazón plano tiene cuatro grados de libertad - de dos en dos cada nodo. En consecuencia, para una estructura con n nodos, la matriz de rigidez global K será de tamaño 2n × 2n ( ya que contamos con dos grados de libertad en cada nodo ) . los K matriz de rigidez global está montado por la realización de llamadas a la función de MATLAB PlaneTrussAssemble que está escrito específicamente para este propósito . Este proceso hará se ilustra en detalle en los ejemplos
Una vez obtenida la matriz de rigidez K mundial tenemos la siguiente estructura ecuación:
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Donde T es el vector global de desplazamiento nodal y F es la fuerza nodal mundial vector. En este paso las condiciones de contorno se aplican manualmente a los vectores U y F. A continuación, la matriz (5.2) se resuelve mediante la separación y eliminación de Gauss. Finalmente una vez que se encuentran los desplazamientos y reacciones desconocidas, la fuerza se obtiene para cada elemento de la siguiente manera:
Donde f es la fuerza en el elemento (un escalar) y u es el de 4 × 1 elemento de desplazamiento del vector. El elemento de tención se obtiene dividiendo la fuerza de elemento de por el área transversal A. Si hay un soporte inclinado en uno de los nodos de la cercha entonces la matriz de rigidez global necesita ser modificado mediante la siguiente ecuación:
Funciones de MATLAB Usados: Las seis funciones de MATLAB utilizados para el elemento de armazón plano son: - Esta función devuelve la longitud del elemento dadas las coordenadas del primer nodo (x1, y1) y las coordenadas del segundo nodo (x2, y2).
-
Esta función calcula la matriz de rigidez
elemento para cada elemento de armazón plano con módulo de elasticidad E, área transversal A, longitud L, y ángulo theta (en grados). Devuelve el 4 × 4 matriz de rigidez elemento k.
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-
Esta función ensambla la matriz k elemento de rigidez del
elemento de armazón plano que une los nodos i y j en la matriz de rigidez global K. Se devuelve el 2n × 2n matriz de rigidez global K cada vez que un elemento se ensambla.
-
Esta función calcula la fuerza de elemento
utilizando el módulo de elasticidad E, el área de sección transversal A, la longitud L, el ángulo theta (en grados), y el desplazamiento elemento del vector u. Devuelve la fuerza en el elemento como un escalar.
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- Esta función calcula la tensión elemento utilizando el módulo de elasticidad E, la longitud L , el ángulo theta (en grados), y el vector de elemento de desplazamiento u. Se devuelve la tencion del elemento como un escalar.
- Esta función calcula la matriz de transformación del soporte inclinado utilizando el número de nodo i del soporte inclinado y el ángulo de inclinación alfa (en grados). Se devuelve el 2n × 2n matriz de transformación.
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EJERCICIO Considere el entramado en el plano que se muestra en Fig. 5.3. Nos dan E = 210GPa y A = 1 × 10-4 m2,
Determinar: 1. la matriz de rigidez global para la estructura. 2. el desplazamiento horizontal en el nodo 2. 3. los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo 3. 4. Las reacciones en los nodos 1 y 2. 5. la tensión en cada elemento.
Paso 1 - discretizar el dominio: Este problema ya se discretiza. El dominio se subdivide en tres elementos y tres nodos. Las unidades utilizadas en los cálculos de MATLAB son kN y metro. Tabla 5.1 muestra la conectividad elemento para este ejercicio.
Paso 2 - Escribiendo el Elemento Rigidez Matrices: El elemento de tres matrices de rigidez k1, k2, k3 y se obtienen al hacer llamadas a la función PlaneTrussElementStiffness MATLAB. Cada matriz tiene un tamaño de 4 × 4.
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Paso 3 - Montaje de la matriz de Global Rigidez: Dado que la estructura tiene tres nodos , el tamaño de la matriz de rigidez global es 6 × 6. Por lo tanto , para obtener K que primero configurar una matriz cero del tamaño de 6 × 6 luego hacer tres llamadas a la función PlaneTrussAssemble MATLAB ya que tenemos tres elementos en la estructura. Cada llamada a la función reunirá a un elemento. Los siguientes son los comandos de MATLAB :
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Paso 4 - La aplicación de las condiciones de contorno: La matriz (5.2) para esta estructura se obtiene como sigue usando la matriz de rigidez global obtenida en el paso anterior:
Las condiciones de contorno para este problema se dan como:
Inserción de las condiciones anteriores en (5.5) se obtiene: 13
Paso 5 - Solución de las ecuaciones: Resolviendo el sistema de ecuaciones en (5.7) se realizará por reparto (manualmente) y la eliminación de Gauss (con MATLAB). Partición que Primero (5.7) mediante la extracción de la submatriz en la fila 3 y la columna 3, fila 3 y las columnas 5 y 6, filas 5 y 6 y la columna 3, y las filas 5 y 6 y columnas 5 y 6. Por lo tanto se obtiene:
Se obtiene la solución del sistema anterior usando MATLAB como sigue. Tenga en cuenta que el operador barra invertida "\" se utiliza para la eliminación de Gauss.
Ahora está claro que el desplazamiento horizontal en el nodo 2 es 0,0011 m, y los desplazamientos horizontales y verticales en el nodo 3 son 0.0020m y -0.0016m, respectivamente.
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Paso 6 - Post-procesamiento: En este paso, se obtienen las reacciones en los nodos 1 y 2, y la tensión en cada elemento usando MATLAB como sigue. Primero creamos el nodo de desplazamiento vectorial global U, entonces calculamos la fuerza nodal vector global F.
Por lo tanto las reacciones horizontales y verticales en el nodo 1 son fuerzas de 5 kN (Dirigido a la izquierda) y 1,25 kN (dirigidos hacia arriba). La reacción vertical en el nodo 2 es una fuerza de 8.75N (dirigida hacia arriba). Obviamente equilibrio de fuerzas se satisface para este problema. Siguiente que les pondremos en el elemento nodal vectores desplazamiento U1, U2, U3 y luego se calcula el elemento de tención sigma1, sigma2 y sigma3 haciendo llamadas a la función PlaneTrussElementStress MATLAB.
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Por lo tanto está claro que el estrés en los elementos 1, 2, y 3 son 58.3333MPa (tracción), 15.023MPa (compresión), y 105.16MPa (compresión), respectivamente.
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CONCLUSIONES Los resultados obtenidos en este trabajo se consideran satisfactorios porque se cumple con el objetivo deseado de desarrollar las técnicas modernas del Elemento Finito referentes a los temas del Syllabus de Cálculo IV en un libro que en nuestro medio es escaso y se publican generalmente en inglés por lo que se recurrió en muchos casos a su traducción, por lo que será de mucha utilidad para el proceso de enseñanza aprendizaje en el tiempo mas breve. El País se encuentra en proceso desarrollo debido a la gran minería y debe priorizar la industrialización inmediata para salir del subdesarrollo y la dependencia tecnológica. Para esto se necesita personal técnico bien capacitado e incentivado y el área metal mecánica juega un papel muy importante para la instalación de fábricas, centros comerciales, por la que el dominio de Elemento Finito es vital durante el diseño tanto para el ingeniero Mecánico y otras especialidades.
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BIBLIOGRAFÍA Daviinshi F. (2012). Conceptos básicos de estructuras. 04 de julio del 2015, de Prezi
Sitio
web:
https://prezi.com/x_oovbql6qsa/conceptos-basicos-de-
estructuras/ Mercedes L. (2012). Análisis estructural. 05 de julio del 2015, de Blogger Sitio web: http://ingenieroluismercedes.blogspot.com/p/analisis-estructural_26.html Harry Parker. (1972). Diseño simplificado de armaduras para techo para arquitectos y constructores: México D.F.: Limusa-Wiley. Ochat, S/F. Reticulados. 05 de julio del 2015, de UNC Sitio web: http://capacitacion.proed.unc.edu.ar/pluginfile.php/5207/mod_resource/content /1/Reticulados.pdf
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