EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación situación problema planteada planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.
Problema: Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una ( 1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque.
a. b. c. d.
28 minutos 35 minutos 30 minutos 41 minutos
30 segundos 50 segundos 20 segundos 40 segundos
PROP PROPOS OSIC ICII N ENU ENUNC NCIA IADO DO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZ N O EXPLICACI N
= √
La velocidad a la que el tanque sale del agua es
= = √ = √ = √ 2 2
Como consecuencia tenemos
de
esta
ecuación
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= ∫
= = ∗ = = = = √ 2 2 1 = = 16 16 4 = 8 8 8 = (24 1 ) 2√ 2.2.32 ∫8 = ∫ ∫ 721 16 2 = 1 1 + 1 ∫ 3 5 72 = 163 ∗ 4 25 ∗ 45 = 448 15 = 448 15 ≈ 2150
Esta es la formulación de la ley de Torricelli para un tanque desaguando. Método de volumen por secciones transversales
Por consiguiente
Del triángulo rectángulo de la figura vemos que
Y la gravedad en pies/ es 32 pies/ nuestra ecuación obtenemos
de
Solucionamos las integrales
Ahora con la condición condición inicial inicial y(0)=1 y(0)=1 tenemos
La tina esta vaciada, cuando y=0
35 minutos y 50 segundos
PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a
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resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación problema: Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente. Si desde un principio hay 50 Miligramos (mm) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original, se solicita hallar: a. Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t. b. La masa después de 5 horas.
EJER EJERCI CICI CIO O Y SOL SOLUC UCII N PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Solución planteada:
El enunciado dice que el material
Sea
radioactivo se desintegra inversamente, por
La ecuación corresponde a:
lo tanto la ecuación seria:
; = + Transponiendo términos se tiene;
= + Aplicando propiedades propiedades algebraicas algebraicas tenemos:
= ∫ ∫ ∫
= Transponiendo términos se tiene:
= Ahora integramos: integramos:
ln = + +
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Aplicando la ley de logaritmos logaritmos y Aplicando propiedades especiales especiales de las Aplicando integrales contemplamos que exponenciales para cancelar el ln.
= −
= −
Por lo tanto ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t
= 0; se tiene: = 50; por ende, 50 = Ahora bien, bien, cuando cuando = 2 Se tiene = 40; debido a que corresponde al Cuando
porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%.Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así:
40 = −− 45 = 40 Aplicando Aplicando propiedades propiedades trigonométricas trigonométricas obtenemos:
2 2 = | |45 40| 45 = 240
= 0; se tiene: = 50; por ende, 50 = Pasadas las dos horas = ,el material Cuando
radioactivo disminuyo en un 10%
= 5050 – 10 10%% = Entonces,
= − = − Aplicamos las propiedades propiedades logarítmica logarítmicas s
2 = | |45 50|
Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:
= 0,0526803 Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.
45 = 250 Obtenemos el valor de la constante
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Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es:
5 = 45−,− Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación. Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a:
5 = 40,5 40,5
= 50 = 50−, Ahora transcurrid transcurridos os = horas 5 = 50 = 50−, Da como resultado
5 = 38,4216 Es decir que la masa que resulta después de 5 horas, corresponde a;
= , Nota: las modificaciones que se realizaron a la solución planteada, están en color rojo.