3 TA TALLER LLER DE CALCU CALCULO LO INTEGRAL
UNIVERSIDA UNIVERSIDAD D DEL MAGD MAGDALENA ALENA ´ ´ AREA ARE A DE MATEM MATEM ATICAS TALLER ALLER No 3 2016-1
Asiganatura: C´ alculo Integral .
Dependencia: Facultad De Ingenier´ıa
1) La gran gran pir´ pir´ amide de Gizeh tiene 750 pies de lado en su base cuadrada y 500 pies de altura. Calcular amide su volumen por integraci´on. on.
Figura 1: Pir´ amide amide de Gizeh
2) Determine Determine el volumen volumen del s´olido olido de revoluci´on on que se genera al hacer girar, alrededor de la recta on acotada por las graficas de x = y − y2 y x = y 2 − 3. on x = −4, la regi´ 3) Un s´olido olido tiene como base una elipse con ejes de longitudes 10 y 8. Hallar su volumen si toda secci´ on perpendicular al eje mayor es un tri´angulo on angulo rect´ angulo angulo is´osceles osceles con un cateto en el plano 640 3 de la base. Rta 3 u 4) Dise˜ Dise˜ nas un tanque auxiliar de gasolina que deber´a caber debajo del fuselaje de un helic´optero nas optero para extender su alcance. Despu´ es es de experimentar en tu mesa de dibujo, decides que la forma del tanque sea como la que resulta de hacer girar la curva y = 1 − x16 ,−4 ≤ x ≤ 4 , alrededor del eje x (las dimensiones est´an an en pies). 2
a) a) ¿Cu´antos antos pies c´ ubicos de gasolina le cabr´an ubicos an al tanque? (Redondea tu resultado al pie c´ubico ubico m´ as as cercano? cercano? b) b) Un pie c´ubico ubico equivale a 7 ,481 galones. Si el helic´optero optero rinde 2 millas por gal´ on, on, ¿cu´antas antas millas m´as as podr´ a volar el helic´optero optero con este tanque? (Redondea tu resultado a la milla m´as cercana). 1 5) Un bal´ bal´ on de rugby sigue la trayectoria y = 10 on afica. afica. ¿Cu´anto anto ha x(90 − x) yardas. Esbozar su gr´ recorrido horizontalmente? Calcular la longitud de arco de la trayectoria.
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6) Un ´atico tiene secciones rectangulares paralelas al suelo y secciones triangulares perpendiculares al suelo. El rect´angulo de la base mide 30 por 60 pies y los tri´angulos tienen 30 pies de base y 10 de altura. Calcular el volumen del ´atico. 7) La aguja de la torre de una iglesia mide 30 pies de altura y tiene secciones cuadradas, cuyo lado var´ıa linealmente desde 3 pies en la base hasta 6 pulgadas en lo alto. Calcular su volumen. 8) Un hormiguero tiene la forma generada por la regi´ on acotada por y = 1 − x2 y el eje x al girar en torno al eje y . Un investigador quita un cilindro centrado en el v´ ertice. ¿Qu´e radio debe tener el cilindro para eliminar el 10 % del hormiguero? 9) La posici´ on de una part´ıcula P (x, y) esta dada en el instante t por x = deduzca la distancia recorrida entra t = 0 y t = 3.
1 (2t + 3
3
3) , 2
y =
t2 2
+ t
10) Hallar el volumen de un s´olido de base eliptica de ejes mayor y menor iguales a 10 y 8, respectivamente , sabiendo que la secci´on determinada en el por un plano perpendicular al eje mayor es un tri´angulo rectangulo isosceles con una cateto en el plano de la base. Rta : 640 u3 3 11) Hallar el volumen del s´ olido engendrado por un circulo cuyos extremos de un diametro se apoyan 2 en las p´arabolas y + 8x = 64 y y 2 + 16x = 64, cuando se desplaza paralelamente al plano xz . π 3 Rta : 256 u 15 12) Se necesita dise˜ nar una sart´en para comida china que tendr´ a la forma de un taz´on semiesf´erico con asas. Un poco de experimentaci´on en casa te convence de que puedes lograr uno con capacidad de 3 L si lo haces con 9 cm de profundidad y con un radio de 16 cm. Para estar seguro, te imaginas la sart´en como un s´olido de revoluci´on, como el que se muestra aqu´ı, y calculas su volumen mediante la integral definida. ¿Qu´ e volumen obtienes realmente, redondeando al centimetro c´ ubico m´as cercano? Tu compa˜ n´ıa decide lanzar una versi´on de lujo de la exitosa sart´en china. Se piensa cubrir el interior con esmalte blanco y el exterior con esmalte azul. Cada esmalte se aplicar´a en una capa de 0,5mm de espesor antes de hornearlo. El departamento de manufactura desea saber cu´anto esmalte debe tener disponible para una producci´on de 5000 sartenes. ¿Qu´e les informar´as? (Desprecia los desperdicios y el material no usado, y da tu respuesta en litros. Recuerda que 1 cc = 1ml, as´ı que 1L = 1000cc)
Figura 2: Sarten
Trabajo El trabajo W realizado por una fuerza a lo largo de un espacio s, en linea recta es W = F.s unidades. Lastimosamente las fuerzas no sulelen ser constantes por lo tanto. W = l´ım
n→∞
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Σni=1 F (ci )∆x =
2 de 4
b
F (x)dx
a
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13) Un motor de autom´ ovil ejerce una fuerza de 800 x(1 − x) libras cuando el autom´ovil est´a en la posici´on x millas, con 0 ≤ x ≤ 1. Calcular el trabajo realizado. Rta:704,000f t − lb Fuerza Hidrost´ atica: La fuerza ejercida por el agua sobre una placa rectangular horizontal sumergida en ella (la fuerza hidrost´atica) es simplemente el peso del agua situada por encima de la placa. Es igual al producto del volumen de agua sobre la placa por la densidad del agua lb 62, 4 pies Si el ´area de la placa es A pies2 y est´a d pies por debajo del nivel de la superficie la fuerza sobre la placa es F = 62, 4.A.d. 3
Una presa tiene la forma de un trapecio de 60 pies de altura. La anchura en su parte superior es 100 pies y en el fondo 40 pies . Hallar la fuerza hidrost ´tica m´ xima que la presa deber´a soportar. Calcular la fuerza hidrost´ atica si una sequ´ıa hace descender el nivel del agua 10 pies.
Figura 3: presa
60
F =
62, 4
0
x
. (100 − x) dx = 6,739,200lb
Densidad de peso prof undidad
50
F =
.
0
62, 4
.
x
Densidad de peso prof undidad
anchura
. (90 − x) dx = 4,420,000lb anchura
14) En un acuario hay una ventana circular de observaci´ on de radio 5 pies. El centro de la ventana est´ a 40 pies bajo el nivel de la superficie del agua. Calcular la fuerza hidrost´atica sobre esa ventana. 15) Halle una formula para el n-esimo termino de la sucesi´ on. 1 2 2 2 2 3 2 4 , , , , ,... 9 12 15 18 21 0, 3, 8, 15, 24 . . . 1 8 27 64 125 , , , , ,... 25 125 625 3125 15625
1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . 1, −4, 9, −16, 25, . . . 1,
−1
1 −1 1 , ,... 4 9 16 25 , ,
16) Hallar los limites de las siguientes sucesiones:
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1 ( −1)n 1 , , ..., ,... a) 1, 2 3 n −1
−
b)
2 4 6 2n , , , ..., ,... 1 3 5 2n − 1
17) Halle las sumas de las siguientes series. a)
1 3 5 , , ,... 2 22 23
∞
c)
n=1 ∞
b)
n=1
∞
2n + 1 2 n (n + 1)2
d)
n=1
6 n2 + 5n + 6 8 n(n + 1)(n + 2)
INDICACIONES: Entregarlo el dia del examen final a lo m´as en grupo de cinco estudiantes. Por favor tener en cuenta una buena presentaci´on del taller. 0.1.
BIBLIOGRAFIA
Calculo diferencial e integral(Ayres Frank) Calculo 4.ed (Robert T Smith) Calculo de una variable (Tomas George)
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