EJERCICIOS 13.3 y 13.4 Walter Minchola Mendoza mayo del 2018
Resumen
En los ejercicios del 1 al 12 , calcule la masa y el centro de masa de la lamina si se considera la densidad superficial como se indica. la masa se mide en kilogramos y la densidad en metros
1. Una lamina tiene una forma de una regi´on on rectangular limitada por las rectas x=3 y y=2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto xy 2 kilogramo por metro cuadrado. ´ SOLUCION: n
M = = l´ım → o vi iA xy dA = xy dydx = xy | dx = xdx = dA = dydx = dx = xdx = x | = 12 xy dydx = xy | M x = l´ım → o v 1(uivi 1(uivi )iA xy dA = 4xdx = xdx = 2x | = 18 x y dydx = x y | dx = v1(uivi M y = l´ım → o 1(uivi )iA = x dx = dx = x | = 24 24 x x = = 2 y y = = 2
i=1
2
R
3 0
2 2 0 0
n i=1
2 3 0
3 8 2 0 3
1 1 0 3 2
2
n i=1
8 3 3 0 9
3 8 0 3 3 R
3 2 0
2
24 12
18 12
3 2 0 0 3 2
4 2 2 0 3 3 2 0 0
3 0
3
4 2 0
3 1 2 3 2 0 0 3
2 2
2. Una lamina tiene la forma de una regi´on on rectangular acotada x= 4 y y=5 y los ejes coordenados. la densidad superficial en cualquier punto es ( x2 + y) y ) kilogramo por metro cuadrado.
´ SOLUCION: 4 5 4 2 4 2 y )dA = dA = 0 0 (x2 +y)dydx = dydx = 2 (x (x y + 12 y2 ) 50 dx = dx = 0 (5x (5x2 + 25 ) xdA= = 2 )xdA R (x + y) 5 3 25 4 470 ( 3 x + 2 ) 0 = 3 4 5 4 2 y )dA = 2 M Y = (5x3 + 25 x )dx= dx= ( 34 x4 + 2 x) R (x + y) 0 0 (x +y )xdydx = 0 (5x 24 2 4 3 81 = x = 470 45 = 94 4 x ) 0 = 45 = x 2 y )dA= 2 Rightarrow M Rightarrow M x = dA= 04 05 (x2 +y)dydx= dydx= 04 ( 12 x2 y 2 + 13 y 3 ) 50 = 04 ( 25 R (x + y) 2 x + 125 125 1300 3 4 dx= 26 6 )dx= 6 x + 3 x 0 = 3 3 1300 130 y = 470 3 = 47
|
−
|
−
|
|
|
3. Una lamina tiene la forma de una region triangular cuyos lados son segmentos de los ejes coordenados y la recta x + 2y = 6.La densidad superficial superficial en cualquier cualquier 2 punto es y es y kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on on
1
3 6 2y 2 y dxdy = 0 0 3 (2y 3 21 y4) 0 = 54
(y )dA = −
3 2 6 2y 0 0 81 27 2 = 2
(6x − 2y dy = − | − | − dy (yy )dA = − y dxdy = yy | − M X = y − y | = − − ( 3 = (y )dA = − xy dxdy = y | − M Y = =2 (9y − 6y + y 3 0
2
3 4 2
=
2
R
2)
R
2 5 4 0 5
6 5
3 0 81 5 x
R
2
−
=
3 6 2y 3 0 0 1 5 243 10 ?10 3 6 2y 2 0 0
2
1
2 5
35 2
3
xy
35
4)dy
3 0
3 6 2y 0
3 1 2 0 2
3 0
3
2
(6y − 2y )dy= dy= 2 (3 − y) y dy
dy =
3 0
6 2y 0
2 2
1 2 81 M my = 27 5
4. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante limitada por la par´ abola y = x 2 , larectay = 1 y el eje y. La densidad superficial en cualquier punto es (x + y)kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on 2 y = x
1 2 1 0 ( 1 5 1 13 10 x ) 0 = 20
1 0
δ (x, y)dA x ) (x + y)dydx = (xy +
( 12 x +
R 1 2 xx
M Y = 1 1 0 2
− 41 x4 −
1 2 1 2y ) y
|
|
1 2 1 0 ( 1 5)dx = 41 x2 + 31 x3 2x
1 2x
−
R
2
4
1 5 5
1 2 1 0 ( 1 2 1 6 4x 12 x
R 1 6 1 3 x )dx = 3 x +
− 211 x7 |10= 4219
−
de (1) ,(2)y (3) 1 20 3 M M Y = 13 10 =
6 13
1 20 19 M M X = 13 42
190 272
x− = y− =
1 1 0 2
=
3 1 y 4 )dx= 2
( + x − x
1 0 1 6 1 3 12 x 0 = 10
1 2) 1y dx 2y
1 1 0 2
|1x dx = 01 ( 13 +
δ (x, y)xdA = x ) (x + y)xdydx = x(xy +
( x + x − x − − x− | δ (x, y)ydA x ) (x + y)ydydx = ( xy Mx = =
dx
2
+ 31 y3 )
|
5. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante acotada por una par´ abola x2 = 8y, y la recta y = 2y el eje y. La densidad superficial varia como la distancia desde la recta y = 1.
−
soluci´ on
ρ(x, y) = k(y + 1) n
K (V i + 1)iA M = l´ım → √ √ √ = k (y + 1)dA (y + 1)dxdy = k x(y + 1) | dy = k 8 (y 0
k
√
R 2 3/2 8( 5 x
+ 32 y 3/2 )
3 8 0 0 2 = k 0
|
i=1
2 0
√ 8( 8 √ 2 + 4 √ 2) = 176 k 3
3
0
8
15
n
M x = l´ım
v1K (V i + 1)iA
→0 i=1
2
2 0
3/2+y 1/2 dy =
√ =k (y + 1)dA = k (y
√
R
y3/2 )dy = k 8( 72 y 7/2 +
2 8y 2 + 1)dxdy= 0 0 2 5/2 2 544 0 = 35 5y
|
2 0
k x(y
2
√ 8y
+ y)
|0
√ 2 (y5/2 +
=k 8
0
n
v1K (V i + 1)iA
M y = l´ım
→0 i=1
√ = k x(y + 1)dA= k
2 8y 0 0 8y 1 2 56 ?2 y 0 = 3 k
R
1)dy= 4k 13 y3 + x− =
|
1 M M Y
=
√
15 56K 176K 3
=
√
2 1 2 8y 0 2 x (y + 1) 0
x(y + 1)dxdy= k
35 22
|
1 15 544K M M X = ?176K 35
y − =
=
dy= k
2 0
4y(y +
102 77
6. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la curva y = e 2 . Y la recta x = 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje x. soluci´ on
y = e x , x = 1,ρ(x, y) = ky x 1 ex 1 M = 0 0 kydydx= 0 ( 13 ky 2 e0 dx= 41 k(ex 1) ex 1 M Y = 0 kxydydx= 0 12 kxe 2x dx= ( 12 k( 12 xe2x 14 2x)) 10 = 21 k( 14 ex + 14 (x− )=
| ky dydx= ( ky ) | M x = =
2
4(e 9(e2
− −
1 ex 0 0 1 1
1 1 0 3
2
2
ex 0
−
−
|
2 2 3x)dx = 1 ke 3x 1 = 1 k(e2 0 9 9 0 3 (ke
dx=
|
e2+1 2(e2 1
− − 1)(y−)
7. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante acotada por la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 y los ejes coordenados . la densidad superficial varia conforme ala suma de las distancias a los dos lados rectos. soluci´ on ρ(x, y) = k(x + y) n
K (ui + v1)iA M = l´ım → √ − k(x + y)dy= x = k (xy + y ) |√ − dx= = k(x + y)dA= √ √ k (xy + y ) | − dx= k (x a − x + (a − x )dx= k( − (a − x ) + 0
a 0 1 2 2a x
R
a x2 y 2 0 0 a a2 x2 1 2 0 2 0 1 3 2 a = k ( 1 a3 9 0 2 6 x ) = 3 ka
− 61 ) |
i=1
2
2
−
1 2
a 0 2
2
1 2 2 1 3
0 2
a2 x2
2 3/2
n
v1K (ui + v1)iA M x = l´ım → √ − xy + y = k(xy + y )dA = (xy+y )dxdy = k 0
R
a x2 x2 0 0
2
3/2
i=1
a 1 0 2
2
x2 ) + 3(a21−x2 )dx suponer: y = asenθ,x = acosθ 4 Π/2 M x = k 14 a2 x2 21 x4 a0 + ka3 0 cosθ 4 dθ= k 14 a4 y− =
−
|
1 3 ka4 (2+Π) M M X = 2ka3 16
|
=
3a 32 (2 + Π)(x
− 81 a4 + ka3
√ −
a a2 x2 1 3 = k 0 ( 12 x(a2 0 3
2
3
+
|
3Π 16
=
1 4 16 ka (2 + Π)
− = y − = y = x
8. Una lamina tiene la forma de una regi´on limitada por el triangulo cuyos lados son 3
−
los segmentos de los ejes coordinados y la recta 3x +2y = 18 .La densidad superficial varia como el producto de las distancias a los ejes coordinados. soluci´ on
y) = kxy ρ(x, − +kxydxdy = k − dx = ρ(x, y)dA= − +kx ydxdy = x + y | = 0− dx = k ( x 81x2)dx = ρ(x, y)xdA= − +kxy ydxdy = k y x |− Mx = (x y − 8y + 36y )dy = k( y − 2y + 12y ) | dx = k R
6 3/2x+9 0 0
9 0
1 2
6 3/2x+9 0 0 2
R 3
4 4
de (1)y(2) x − =
2
1 M M y =
1 2
6 0
1 2 2
2
6 3/2x+9 0 0 1 1 5 2 45 2 2187 12 243k . 5 k = 5
y
6 3/2x+y 0 0 3/2x+9
1 2
2
4
3
9 0
18 = c( 12 5 , 5
6 9 4 0 4
1 2
9 2 2 0 2187 5
− 27x3 +
3/2x+6
0
dx =
9. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la curva y = senxy el eje x desde x = 0 hasta x = π.La densidad superficial varia como la distancia desde el eje x. soluci´ on y = senx y [0, π) ,δ (x, y) = ky)
M R kydA= k 1 senx dx = 1 kπ 2 x) 0 4
|
π sen 0 0
π 1 2 senx 0 2y 0
ydydx = k
|
dx = 21 k
π 0
2
sen xdx =
1 1 2 k( 2 sex.cosx+
−
n
M = l´ım v1k(ui + v1)iA → k(y )dA= k y dydx= k y | dx = k sen xdx = k (1− = 0
2
R
sen2 x)senxdx =
i=1
π senx 2 0 0 1 1 (1 3 k(1 3
− − − 31 ) =
π 1 3 senx 0 0 3 1 16 9 k(y ) = 19π
−
1 3
π 0
3
1 3
π 0
x− = 21 π, y = senx, x = 21 π0x 10. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la curva y = y = x.La densidad superficial varia como la distancia como el eje y.
√ xy la recta
soluci´ on 1 y 0 y2 1 1 2 y 1 1 2 0 2 0 3 y2 1 28 k(x ) = x 15 x = 28 1 y M y = 0 y2 kx 2 dxdy =
1 1 2 y 0 2 y2 y 3 y2
1 1 4 2 0 2 1 1 6 3 0 3
1 1 5 1 3 1 0 2 5 3 1 1 7 1 4 3 7 4
1 15 1 0
kxdxdy = k | dy = k(y − y )dy = ( y − y ) | = k k | kx dy = kx | dy = M y = k(y − y )dy = k( y − y ) | = M =
−
−
−
1 1 5 0 2 k(y
− y3)dy = 21 k( 16 y6 − 41 y4) |10= 241 k(y−) = 2415 = 65
11. Una lamina tiene la forma de la region del primer cudrante acotado por por la circunferenciax2 + y2 = 4y la recta x + y = 2. L densidad superficial en cualquier punto esxy kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on
n
M = l´ım
(uiv1)iA
→0 i=1
√ − = (xy)dA= xydxdy = (4x − 2x )dx = − ( x − x ) | = 1 2
2 0
R
2
3
2 4 x2 0 2 x 1 4 3 2 3
1 4 2
√ − |−
2 1 4 x2 1 2 xy 2 x = 2 0 2 1 32 2 8) = 34 0 2( 3
−
4
2 0
2
(x(4−x )−x(2−x))dx =
n
(uiv1)iA M x = l´ım → √ − (x(4 − x ) − x(2 − x) )dx = = (xy )dA= xy dx = 0
i=1
2 1 4 x2 1 2 2 3 R 0 3 2 x 3 0 1 32 x2 )5/2 + 41 x(2 x)4 + 20 (2 x)5 ) 20 = 31 ( 32 5 + 20 1 y = M M x = 43 85 = 56 (x ) = y = y = x
−
−
−
−
−
−
2 3/2
=
|
3
8 5
1 1 3 ( 5 (4
−
−
12. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la circunferencia x2 +y2 = 1y las rectas x = 1y y = 1.La densidad superficial en cualquier punto es xy kilogramo metro cuadrado. soluci´ on 1 0
1
1 2
1 0
1 0
2 2 1 y= 1 x2
2
(xy)dA= √ xydydx = xy − x ))dx = x dx = − − − (x , y ) = y = x − √ x ydydx = x y | M y = x(xy)dA= M =
1 2
2
R 1 3 0
1 8
1 0
R
x− =
1 4 M M y = 5
1 x2
1
2
1 x
4 = c( , 45 ) 5
−
1 2
2
|2y=√ 1−x = 2
√ −
1 2
dx =
1 0
x(1 − (1 − 1 2
1 0
4
x dx =
1 10
13. Una lamina tiene la forma de la region limitada por 4y = 3x, x = 4y el eje x;con respecto al eje x. soluci´ on n
vi iA 2
Ix = l´ım
→0 i=1
3/4x 4 3/4x 2 4 y dydx = k 0 ( 12 y3 ) 0 0 0
2
(xy )dA= k
= 4k
R
|
dx =
9k 64
4 0
3
x dx =
9k 1 4 4 64 ( 4 x ) 0 =
|
14. La lamina del ejercicio 13; con respecto ala recta x = 4. soluci´ on
4y = 3x, x = y, x = 4 4 3/4x k 0 0 (4 x)2 dydx = 43 k
4 (4 − x)2dx = 3 k 4 (16x − 8x2 + x3)dx − 4 0 0 = 43 k(8x2 − 38 x3 + 41 x4 ) |40 = 16k
15. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la circunferencia de radio a metros;con respecto a su centro. soluci´ on 2 2 x + y = a 2
2
2
2
2 R 2 3/2
2
(x + y )dA = kx dA + ky dA = 2 ky dA = √ √ (a − x ) dx − 8k y dydx = 8k y | − dx= cos xdθ= y = asenθ, x = acosθ Io = a2 x2
a
2
Ix =
R
R
a 1 3 a2 x2 0 0 3 8ka 4 3
8k 3
Π/2 0
4
a 0
2
R
kΠa4 2
16. Una lamina tiene la forma de la regi´o n limitada por la par´abola y 2 4 el eje x;con respecto al eje x. 5
− 4y y
soluci´ on 2 1 x2/4 0 0
ky dA= k − Ix = 2
R
1 6 16 x )dx 16 = 105 kkilogramo
y 2 dydx= 31
2
−
2
−x
3 1 0 2
y
|
4
= 32 k
2
−2 (1 −
3 2 3 4 4 x + 16 x
−
− m2
17. La lamina del ejercicio 16;con respecto al origen. soluci´ on n
Ix = l´ım
kvi + v1 iA 2
2
→0 i=1
2
x 2 (4 4 0 0 x2 x4 4 16
k(x + y dA= k − )dx= k 2 (x y+ y ) | = − − dx= 2k (x − + − )dx 2
R (4 x2 )3 192
2
2 0
=2k( 13 x + 41 x3
2
2
1 3 3
2
2
−x
(4 0
4
)dx= k
x6 192
2 4x2 x4 + 4
−
−2 (
k − 5−316 x6 − 7−1192 x7 |20= 2k( 23 + 2 − 56 − 212 ) = 96 35
18. Una lamina tiene la forma de la region acotada por un triangulo cuyos lados miden a metros , b metros y c metros;con respecto al lado de a metros. soluci´ on a y) h (h 1 8 = c (a + b + c) 1 8(8 a)(8 b)(8 c) 2 a.h = h h 2 Ia = 0 ky 2 dxdy = ak h 0 y (h 2k (8(8 a)(8 b)(8 c))3/2 3a2
−
−
−
−
−
−
−
3
− y)dy= akh ( 13 y3 − 41 y4) |h0 = kab12 = 12ak ,8( 12 (ah)3= 2
19. La lamina del ejercicio 1. soluci´ on
a)
n
Ix = l´ım → o v1 v1vi iA xy dA = xy dydx= y | dx= xdx= x | = b) Iy = l´ım → o v1 v1vi iA x y dA = x y dydx= x y | = x dx= x | = 54 √ 2
2
i=1
R
2
3 2 0 0
3 1 3 2 0 0 5
4
32 5
3 0
16 2 3 0 5
144 5
n
2
2
i=1
R
3 2
c)M = 12r =
d)I 0 = I x + IY
3 2 3 2 3 1 3 3 2 0 0 0 0 3 1 1 1 144 12 2 M Ix = 12 5 = 5 = 5 414 = 144 5 + 34 = 5
8 3
3 0
2 4 3 0 3
3
15
20. La lamina del ejercicio 4. soluci´ on
√ y ( x +y a) ρ(1, y) = x +y I = (x+y)y dA= (x+y)y dxdy= )dy= ( y + y )dy= y + y |= 1 1 3 0 2
x 7/2
R 1 4 8
2
2 9/2 1 0 9
y 1 0 0 25 72
6
2
2 2 1 2 2 0
3/2
√ y
|0
√ x (x+ b).I = (x+y)x dA= (x+y)x dxdy= (xy+ y ) | dx= − x − x )dx= ( x + x − x − x )dx= x + x − x − x | = kg − m y
1 2
y 1 0 0 1 6 3 5 2
2
R
1 1 2 1 4 2 0 2 1 20 25 125 M I X = 13 72 = 234
3
c).r 2 = 5 r = 78 130m
2
1 4 4
1 0 1 6 6
1 2 1 2 x2 1 6 1 7 1 0 6 14
1 0
2
5 78
2
√
d).I 0 = I x + I Y =
25 5 72 78
=
263 kg 504
− m2
21. la lamina del ejercicio 9 soluci´ on
Y = senx, [0, π], ρ(x, y) = ky a).
n
I = l´ım v1V 1 (Kv1)iA → k(y )dA= k y dydx= k y dx= sen xdx= = 2
0
1 2(
i=1
π sex 3 π 1 4 sex 1 π 0 0 0 4 0 2 0 3 1 1 1 3 3 Π 4 ( 2 senxcosx + 2 x) 0 = 4 k 4 π = 32 kπ
3
R
0
− 14 sen3xcosx + −
b).
4
|
n
v1V 1 (Kv1)iA I = l´ım → k(x )dA= k yx dydx= x x y | dx= k x sen xdx= k (x − = x cos2x)dx= k( x − x sen2x − xcos2x + sen2x | = k( π − ) √ 2
y
0
i=1
π sex 1 π 1 2 2 2 sex 2 0 4 0 2 0 0 1 1 3 1 2 1 1 2 4 3 2 2 4 1 1 4 3kπ 1 c) r = M I x ; M = 4 πk= kπ 32 = 4 6 1 1 d) I x = I X + I Y = ( 12 32 π)K
1 2 1 4
2
R
π 0
π 2 2 0 1 3 12 π 3
1 4
π 0
−
22. La lamina del ejercicio 10. soluci´ on
√
y = x; y = x; ρ(x, y) = kx 1 y a)I x = 0 y2 kxy 2 dxdy= 21 k 1 55 k 1 y b)I y = 0 y2 kyx3 dxdy= 41 k 1 45 k
c)M =
2 15 k; r =
d)I 0 = I x + I y =
1 M I x = 16 315 k
1 0
2 2 y x
1 0
4
y y2
1 7
2
1 2 0
1 2
2
4
1 2
1 5 5
x y | dy= k y (y − y )dx= k( y − x dy= k y (y − y )dy= k( y − √ 15 35
=
1 2 0
1 4
4
8
1 4
1 5 5
1 7 1 7 y ) 0=
|
1 9 1 9 y ) 0=
|
23. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la parabola y = 2x x2 yelejex.Calculeelmomentodeinerciadelalaminaconrespectoalarectay = 4. La masa se mide en kilogramo y la distancia en metros.
−
soluci´ on n
(4 − v1) (k(4 − y))iA I = l´ım → (4 − y) dA= k − dx= − ((4 − 2x + x ) − 256)dx = ((3 + (x − 1) ) − 256)dx =− 0
R 1 2 4 0
3
2 4
2 2x x2 0 0
2
0
i=1
1 4
2 0
7
2 4
2
w = x 1; dw = dx 2 I = 41 k 0 ((w 2 + 3)4 256)dw= −1 k( 1 9 + 12 w 7 + 54 w 5 + 36w3 4 7 5 9w
−
−
−1 k 2
1 0
8
6
4
2
(w + 12w + 54w +108w + 81 − 256)dw=
− 175w) |10= −21 k( 19 + 127 + 545 + 36 − 175) = 90,404 315 k
24. Una lamina homog´enea de k pulgadas por pie de densidad superficial tiene la forma de la regi´ on limitada por la curva x = y , el eje xy la recta x = adondea > 0.Calcule el momento de inercia de la lamina con respecto recta x = a.
√
soluci´ on a
x2
a
I = x)2 dA= 0 0 dydx= 0 k(a x)2 dA= k R k(a 1 k( 13 a2 x3 21 ax4 + 51 x3 ) a0 = k ( 13 a3 21 a5 + 32 a3 )= 30 ka 5
−
−
|
−
−
a 0
2 2
3
(a x − 2ax + x
4)dx =
25. Determine el area de la superficie cortada en el plano 2x + y + z = 4 por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 soluci´ on
z = f (x, y) = 4 2y y, f x (x, y) =
− −
√ 6= √ 6 dy = √ 6 1 1 0 0
2 0
−2, f y (x, y) = −1 σ = R
26. Calcule el ´a rea de la superficie cortada en el plano z planos x = 0, x = 2, y = 0yy = 4.
f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= 2 x
2 y
− 2x − y = 5 por los
soluci´ on
z = f (x, y) = 5 + 2y + y, f x (x, y) = 2, f y (x, y) = 1
√ 6= 8√ 6 σ = f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= 2 x
R
2 y
4 2 0 0
27. Obtenga el ´a rea de la porci´on de superficie del plano 36x + 16y + 9z = 144 cortando por los planos coordenados soluci´ on
x = 0, y = 0, y = 49 x + 9 z = f (x, y) = 16 4x 16 9 y, f x (x, y) =
− −
−4, f y (x, y) = −916 −9x
σ = f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= √ 1633 (− x + 9)dx 2 x
R
1 9 1 9
4
2 y
9
4 0 0
4
+9
16 +
256 81
+ 1dydx
√ 1633(−0 9 x24 + 9x) |4= √ 1633(−2 + 4) = 2√ 1633 0
8
28. Determine el area de la superficie cortada en el plano z = ax + by por los planos x=0,x=a,y=0 , y=b. donde a > 0 y b > 0. soluci´ on
x = 0, y = 0, x = a, y = b z = f (x, y) = ax + by, f x (x, y) = a, f y (x, y) = b
√ a + b + 1dxdy= a√ a + b + 1dy σ = f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= 2 x R a2 + b2 + 1
√
=a.b
2 y
b a 0 0
2
2
b 0
2
2
29. Determine el ´area de la superficie del primer octante cortada en el cilindro x2 + y 2 = 9 porelplanox = z. soluci´ on y 0; x2 + y 2
≥∂y
{ partialx
=
= 9, y =
√ 9−−xx
√ 9 − x2
2
8
∂z ∂x
= 0, σ =
yx R
2
+ yxdxdy= b
3 l´ım b
→3
x(9
0
− x2)−1/2dx
x)1/2 |b0 − − b→3 3 l´ım (−(9 − b2 )1/2 + 3) = 9 b→3 3 l´ım ( (9
30. Obtenga el area de superficie cortada en el cilindro x2 + y 2 = 25 por los planos x = 0, x = 1, z = 1, Z = 3 soluci´ on
√ −
y = f (x, y) = 25 x2 yx = 25−x x2 dz=0 σ =
− =2 1 3 0 1
x2 25 x2
1 0
10sen−
yx R
2
+ yx 2 + 1dA=
+ 1dx=dx
5 dx 25 x2 1 x 1 = 10sen 1 1 5 0 5
|
−
−
31. sea R la regi´on triangular del plano xy con v´ertices (0, 0, 0), (0, 4, 0)y(2, 4, 0). Determinen el ´area de superficies de la parte de la gr´afica de z 5x y 2 = 2 que se encuentra sobre R.
− −
soluci´ on
y = 2x, x = 0, y = 4, z = f (x, y) = 2 + 5x + y 2 ; f x = 5, f y (1, y) = 2y
f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= /2 25 + 4y dxdy y(4y + 26) dy= (4y + 26) = x 4y + 26 | dy σ =
2 x
R
4 0
2
√
26 26) =
4 π 0 0
2 y
π/2 0
1 2
4 0
√ 10 − 13√ 26)
1 12 (135
2
2
1 24
1/2
2
3/2
|40=
1 24 (90
√ 90 −
32. calcular el ´area de la superficie del primer octante cortada en el cono x2 + y2 = z 2 por el plano x + y = 4 soluci´ on x2 + y 2 = z 2
, x + y = 4 f (x, y) = x + y 2
2
√ xx+y f y (x, y) = √ y ;f x2 (x, y) + f y2 (x, y) + 1 = x +y dA = 8√ 2 σ = f x (x, y) =
2
2
2
2
x2 x2 +y 2
+
y2 + x2 y 2
1=2 =
1 4 (4)(4)
=8
n
33. Obtenga el ´a rea de la porci´on de la superficie del cilindro x2 + y 2 = z 2 que esta dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4 soluci´ on
z = f (x, y) =
√ 4 − x2; f (x, y) = √ −x
; f (x, y) = 0 − σ = 8 f (x, y) + f (x, y) + 1dxdy= 8 − 16 dx = 32 R
2 x
x
4 x2
y
2 y
R
2 0
9
x2 4 x2
√ − + 1dA = 16
2 4 x2 0 0
√ 41−x
2
dydx=
34. Termine el ´area de la porci´on de superficie del cono x2 + y 2 = z 2 que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = 2x soluci´ on 2 2 x + y =
2
2
2x , de (x − 1) + y = 1 f (x, y) = x + y , f (x, y) + f (x, y) + 1 = 2 √ 2dA = 4√ 2 π = 2√ 2π σ = 2
2 x 1 2
2
R R
2 y
35. Calcule el ´area de la porci´on de superficie del cono x2 + y 2 = z 2 ubicada entre el cilindro y 2 = xy y el plano x y = 2
−
soluci´ on
f (x, y) = x2 + y 2 , f x2 (x, y) + f y2 (x, y) + 1 = 2 2 2+y 2 σ = 2 R 2dA = 2 −1 y2 2dxdy 2 2 −1 (2 + y 1 3 2 8 ( 2 + 21 + 21 )) = 9 2 3 y ) −1 = 2 2((4 + 2 3)
|
√
√ − −−
√
√
√
− y2)dy = 2√ 2(2y + 21 y2 −
36. Obtenga el ´area de la porci´on del plano x = z que esta entre los planos y = 0 y y = 6 y dentro del hiperboloide 9 x2 4y 2 + 16z 2 = 144.
−
soluci´ on
x = z,y = 0 y y = 6 , 9x2 4y2 + 16z 2 = 144 2 = f (x, y) = x , x = 52 b2 + 36 , f x (x, y) = 1, f y (x, y) = 0
√ −
√ σ = f (x, y) + f (x, y) + 1dA= 2 y + dydx= 2 2 x y + dy= √ 2 √ b + 36dy= √ 2(y 36 + y +36ln(y+ 36 + y ) | = √ 2(36√ 2+36ln(6+ 2 x
R 6 0
4 5
6 2 0 a
2 y
2
6 0
36 5
2
2 2 5 √ √ √ 6 2) − 36ln6)= 72 (2 + 2ln(1 + 2)
2
6 0
2 a
2
36 5
2 5
5
37. se gira el segmento de recta del original al punto (a, b) alrededor del eje x . Determine el ´area de la superficie del cono generado. soluci´ on
(0, 0), y = f (x) = ab x, f (x) =
b a
√
σ = 2π f (x) (f (x)) + 1dx= 2π x a 0
a b 0 a
2
√ √ πa a2 + b2 ; σ = 2π 1 b a2 + b2
b1 +1 2πb a2 +b2 dx= 2 a a2
2
a 0
xdx=
√
2πb a2 +b2 x2 a 2 0= a2
|
38. Deduzca una formula para calcular el ´a rea de la superficie de una esfera al girar una semicircunferencia alrededor de su di´ametro. soluci´ on 2 2 x +y = y 2 , y = f (x)
√ r 2π b 0
2
2
− x2 r x−x 2
2
√ −
− a √ − −
= r 2 x2 , f (x, y) = x 0 r2 x2 ; σ = 2π b + 1dx= 2π a rdx = 2πr(b a) 2πrh; b = 2r, 4πr 2
a 0
f (x) (f (x)) + 1dx 2
39. Calcular el ´area de la superficie de revoluci´o n generada al girar el arco de la catenaria y = acosh( xa desde x = 0 hasta x = a alrededor del eje y. soluci´ on
σx = 2π yds; σy = xds; y = acosh( σ y = 2π x 1 + y dx= 2π x 1 + senh π2 x.coseh dx = 2π(ax.senh −acosh ) | = 2π(a senh1 − a cos1 + a ) a 0 π2a2 (1
b a
b 0
x a
− e−1)
a 0
x a
x a
x a
a 0
a 0
2
2
2
2
40. Determine el ´area de la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar alre10
2π a dx=
dedor del eje x la catenaria del ejercicio 39. soluci´ on
y = acosh xa ; z = 0; z = a ; f (x) = acosh xa ; f (x) = senh xa ; ((f (x))2 + 1) = senh2 xa + 1= cosh2 xa = cosh xa a a 1 2x 2 σ = π2 0 acosb xa .cosh xa dx= xa 0 (1 + cosh 2x a dx = π2(x + 2 asenh a 0 = π2(1 + 1 2 2 asenh )
|
41. El lazo de una curva de una curva 18y 2 = x(6 Obtenga el ´area de revoluci´on generada.
− x)2 se gira alrededor del eje x.
soluci´ on
√ √ 1 2 1/2 3/2 y ≥ 0 = x(6 − y = f (x) = 2(6x − x ; f (x) = 6 6 (3x−1/2 − 32 x2 ) = 1 −1/2 3 1/2 2 6 6 1 √ 1/2 3/2 2 ρ = 2π 0 f (x) ((f (x)) + 1)dx= 2π 0 6 6(6x −x = 1 + 18 (3x − 2 ) dx √ √ 6 6 6 = π3 2 0 x1/2 (6−x) 12 2 (x −21 + 21 x1/2 )2 dx = π3 0 x1/2 (x−1/2 + 12 x1/2 dx = π3 0 (6+ 2x − 21 x2 )dx= π3 (6x + x2 − 61 x3 ) |60 = π3 (36) = 12π 18y 2
1 6
x)2
42.calcule el ´area de la superficie de revoluci´on generada al girar el arco de la curva y = lnx desde x = 1 hasta x = 2 alrededor del eje y. soluci´ on ln2
ln2
√
y = lnx;x = e y ; σ = 0 x 1 + (dx/dy)2 dy = π2 0 1 + e2y ey ; ey = tanyey dy b sec2 udu ; b = 2 ; b = 5 ; σ = 2π π/4 secu(sec2 udu) = π(secu.tanu+ln(secu.tanu)) 6π/4
√ √ √ √ √ = π(2 5 − 2 + ln( 5 + 2) − ln( 2 + 1))
|
43. Una lamina homog´enea de k pulgadas por pie cuadrado de densidad superficial tiene la forma de la regi´on limitada por un triangulo is´osceles cuya base mide b pies de longitud y su altura h pies de longitud . Determine el radio de giro de la lamina con respecto ala recta de la simetr´ıa. soluci´ on bx/bh h bx/2h 2 h 1 bx 2 (h, 2 b); (h; 12 b; y = (0, 0) b = 2h I x = k y dydx 2k 0 13 y3 0 R y dA = 2k 0 0 h bx/2h kb3 1 1 bx2 h 1 h 3 ; M = k dx = 12h 3 ( 4b4 ) 0 = 48 khb R dA = 2k 0 0 dydx = 2k( 4h 0 = 2 khb 1 2 kb2 1 ; r = M I x = kb/h 6b2 /144 = 12 b 6 48 =
−
|
√
∈
11
√
|
|
