16.- Perforación de un cilindro El mecánico de la automotriz Lincoln está volviendo a perforar un cilindro de 6 pulgadas de profundidad para poner un pistón nuevo. La máquina está usando incremento el radio del cilindro una milésima de pulgada cada 3 minutos. Que tan rápido aumentara el volumen del cilindro cuando la perforación perforación diámetro mide 3800 pulgadas pulgadas
=ℎ =18 2r =18 221900 1900 0.0301 =23.62 17.-Pila de arena: la arena cae a la parte superior de una pila cónica desde una banda transportadora, a una razón de 10m3/seg, la altura de la pila siempre es tres octavos del diámetro de la base. ¿Qué tan rápido cambia (a) la altura, (b) el radio cuando la pila tiene 4m de altura? De su respuesta en centímetros por segundo
18) VACIADO DE UN DEPOSITO CONICO: Se está extrayendo agua de un deposito cónico de concreto de radio de 45m y altura de 6m, el agua sale a razón de 50m3/min. A.- ¿Qué tan rápido baja el nivel de líquido cuando el agua t iene 5m de profundidad? B.- ¿Qué tan rápido cambia el radio de la superficie de l agua en ese momento?
A)
=
= ℎ
= ?
= 7,5 ℎ
ℎ=5
= r= 7,5 h
= ℎ ==
==
= ℎ ∗
= 35 ∗ /
= =,
cm/min
m/min => 0.0113 m/min
B)
=1,13 /
=7,5 ℎ = 7,5 1,13 =, /
r= 7,5 (1,13)
19. vaciado de un deposito hemisférico de un deposoito de forma hemisférica con radio de 13m, ilustrado aquí de perfil el agua fluye a razón de 6m3/min responda las siguientes preguntas dado que el volumen de agua en el deposito hemisférico de radio R es V=(π/3)Y2(3R-y) cuando el agua tiene y metros de profundidad a) a que razón cambia el nivel de líquido cuando el agua tiene 8m de profundidad b) cual es el radio de la superficie del agua cuando esta tiene ym de profundidad c) a que razón cambia el radio R cuando el agua tiene 8m de profundidad
DATOS R=13m
V=(π/3)Y2(3R-y)
dy/dt=6m3/min
dv/dt= π /3[2Y(3R-Y)+Y2(-1)] dy/dt
V=(π/3)Y2(3R-y)
dy/dt= [π /3(6Ry-3Y2)]-1 dv/dt dy/dt= [π /3(6(13m)(8m)-3(8)2]-1 6m3/min dy/dt= 6m3/min/ 456,91m2 dy/dt= 0.o1313m/min
20.- Gotas de lluvia es una esfera perfecta y que, al condensarse, recoge humedad a una razón proporcional a su área superficial. Demuestre que en estas circunstancias el radio de la gota crece a una razón constante.
4 = 43 34=4 3=
21.-EL RADIO DE UN GLOBO INFLADO Se utiliza helio para inflar un globo esférico razón de 100
π ft³/min
A ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo en el instante en el que el radio mide 5 pies? B ¿Qué tan rápido aumenta el área superficial?
DATOS R= 5 ft dy/dt= 100π ft³/min V = (4/3) π r^3
Diferenciamos dV = (4/3) π (3 r^2 dr) dV = 4 π r^2 dr Dividimos por dt dV/dt = 4 π r^2 dr/dt Deducimos dr/dt = (1/(4*π*r^2)) * (dV/dt)
dS = 8 π r dr
Con los datos del problema
dS/dt = 8 π r dr/dt
(A) dr/dt = (1/(4*π*(5 ft)^2)) * (100 π ft^3/min) dr/dt = (1/( π*(4*25) ft^2) ) * (100 π ft^3/min) dr/dt = (1/( 100 π ft^2) ) * (100 π ft^3/min)
dr/dt = 1 ft/min (B) S = 4 π r^2
dS/dt = 8 π (5 ft) (1 ft/min) dS/dt = 40 π ft^2/min
22.- ARRASTRE DE UN BOTE: Se utiliza una cuerda para arrastrar un bote hacia el muelle. Un extremo de la cuerda está atado en la proa de la embarcación y el otro a un aro ubicado en el muelle, en un punto 6 a) ¿Que tan rápido se acerca el bote al muelle cuando la cuerda mide 10 pies? b) ¿A qué razón cambia el ángulo ᶿ en ese momento?
= 5 · ds = √ 2 536 5 · = √ ·2=2.5 / = =∙ = · = ∙ = =10; =8 = 6 8 ∙2= 203 / 10 ∙ 10 a)
b)
23.-Un globo y una bicicleta UN globo se eleva verticalmente desde una superficie plana, a una razón constante de 1 pie/seg. Justo cuando el globo está a 65 pies sobre dicha superficie, una bicicleta que se mueve a una velocidad constante de 17pies/seg pasa debajo de él. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia s(t)entre la bicicleta y el globo 3 segundos después?
S2=h2+x2
= ℎ + = = 851 [681 +5117] = 11
24. Preparación
de café el café esta pasado a través de un filtro cónico hasta una cafetera cilíndrica a una razón de 10pulg3/min a. ¿qué tan rápido sube el nivel de líquido en la cafetera cuando el café del cono tiene 5 pulg de profundidad?
A)
= = ℎ ∗
= ℎ
==
= ¿ ℎ=5 = 7,5 ℎ
= r= 7,5 h
= 35 ∗
= ℎ ==
/ = =,
pulg²/min
25. Gasto cardiaco A finales de la década de 1860, Adolf Fick, profesor de fisiología de la Facultad de Medicina de Würzberg, Alemania, desarrolló uno de los métodos que usamos hoy en día para medir cuánta sangre bombea el corazón por minuto. El gasto cardiaco que realiza su organismo al momento de leer esta frase es probablemente de más o menos 7 L min. En reposo, el gasto puede ser un poco menor, aproximadamente de 6 L min. Si usted fuera un corredor de maratón, su gasto cardiaco durante la competencia podría llegar a 30 L min. El gasto cardiaco puede calcularse con la fórmula
=
⁄ ⁄ =233 = 9756=41.⁄ ⁄ ⁄ = 233 41⁄ ≈5. 6 8 ⁄ 6 donde Q es la cantidad de mililitros de que se exhala en un minuto y D es la diferencia entre la concentración de ( ) en la sangre bombeada a los pulmones y la concentración de en la sangre que regresa de los pulmones. Con Y
bastante cercano a los que casi todas las personas tienen en condición basal (es decir, en reposo). (Datos cortesía del Dr. J. Kenneth Herd, del Quillan College of Medicine, East Tennessee State University.) Suponga que cuando Q = 233 y D = 41, también sabemos que D está decreciendo a una razón de 2 unidades por minuto, pero Q permanece sin cambios. ¿Qué está pasando con el gasto cardiaco?
Solución:
Aumentado sobre 0.2772
=− =− − = = ⁄ ⁄
/ / /
=
26.- Costo, ingresos y utilidades Una compañía puede fabricar artículos a un costo de miles de dólares, un ingreso por ventas de miles de dólares y utilidades de miles de dólares. Encuentre , y , para los siguientes valores de de
/ a)=
b)=
y
=3 12+15
=32 122+150.1=, 3 , =9 =90.1=0.9, =0. 9 0. 3 =0, 6 =3 1245− =31,5 121,5451,5−0,05=1.5625, =70 =700,05=3.5, =3. 5 1.5625=5.0625.
27) Movimiento a lo largo de una parábola. Una partícula se mueve a lo largo de la parábola y=x2 en el primer cuadrante, de manera que sus coordenadas x (medidas en metros) crecen a una razón estable de 10 m/s. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación Ɵ que une la partícula con el origen cuando x=3m?
=10/ tan= tan= = = = = 101 ∗10 =1 /
28. Movimiento a lo largo de otra parábola Una partícula se mueve de derecha a izquierda a lo largo de la parábola , de manera que sus coordenadas x (medidas en metros) decrecen a razón de 8 m seg. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de inclinación u de la recta que une la part ícula con el origen cuando x = –4?
=/ tan = / tan = 1 ( )1 1 2 . = . = √ −√ − tan = − = − = cos = √ 25 = 45 = 44162( 45 ) 8= 25 / ϴ
ϴ
ϴ
x
ϴ
ϴ
)(
ϴ
ϴ
ϴ
29. Las coordenadas de una particula en el plano métrico xy son son fuciones diferenciales del tiempo con dx/dt= -1m/seg y dy/dt = -5m/seg. Que tan rápido cambia la distancia entre la particua y el orige cuando pasa por el punto (5, 12) H2 = x2 + y2 H= (25+144)0.5=13 2h(dh/dt)= 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) 13(dh/dt) = 5(-1) + 12(-5) dh/dt= -5m/seg
30) Movimiento de una sombra. Un hombre de 6 pies de alto camina a razón de 5 pies/seg hacia un farol cuya luz está a 16 pies del piso. ¿A qué razón se mueve la punta de su sombra? ¿a qué razón cambia la longitud de su sombra cuando está a 10 pies de la base del farol?
=+ 35
a)
L=s+x
= + = 35 + = 85 = 85 ∗5=8 / = 35 = 35 5=3/ b)