EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 5
1. Escribe en forma polar el resultado del cociente: 5
i 5 − i −8 1 1 ⇒ i 2 = 8 = = 1 i 1
i =i i
−8
=
i −1 i 2
=
( i − 1) ⋅ ( −i 2 )
( i 2 ) ⋅ ( −i 2 )
i −i
−8
.
i 2
2
=
2
+i
2 2
2. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es 5. Calcula ambos números. Si z = a+ bi ⇒ z = a− bi z + z = 6
⇒
z = 5
2a = 6 2
a +b
2
a = 3 ⇒ 2 2 = 5 a +b
a =3 ⇒ b = ±4 = 25
ɶ Los numeros bu scados son: 3 + 4i y 3 − 4i
3. La suma de dos números complejos es 3 + i y la parte real de uno de ellos es 2. Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro. Sea z = a+ bi y w = c+ di z + w = 3 + i
c =1 ⇒ b + d = 1 ⇒ b = 1 − d a 2 a 2 = =
( a + c) + i( b + d ) = 3 + i
⇒ a=2
a=2
a + c = 3
d = 2 z 2 + (1 - d )i 2 + d (1 − d ) 2 d d = 0 R e 0 2 0 ⇒ = = ⇒ − − = ⇒ 1 − d 2 w 1 + di d = −1 = 2 ⇒ b = −1 ⇒ 2 − i y 1 + 2i = −1 ⇒ b = 2 ⇒ 2 + 2i y 1 − i
Como Re Si d Si d
4. Calcula m y n para que se cumpla la igualdad:
Como
4m − 2i 3 + ni
4m − 2 i
= 6 − 2i .
3 + ni
= 6 − 2i ⇒ 4m − 2i = (6 − 2i) ⋅ (3 + ni ) ⇒
4m = 18 + 2 n 29 2 ⇒ m = ,n = 6 3 −2 = 6m − 6
5. Calcula las partes reales e imaginarias i maginarias de: a)
3 − 2i
b)
2 − 3i
e) (5 − i )(1 + 5i )
(1 + i )(1 − i ) 4 (1 + 2i ) 3
f) (1 + i )
4
Parte real
Parte imaginaria
12
5
13 52
13 36
125
125
1
-2 3
d)
14 0
7 2
e)
10
24
a) b) c)
c)
1 2+i 3
g) (2 + 5i )
−
2 1+ i 3
+
5 / 2 − i 3
3
d) (1 − i )(1 + i )i
2+i 3 h)
6i (2 − i )(1 − 2i ) 2 3+ i
Parte real
Parte imaginaria
f)
-4
0
g)
-142
-65
h)
3
-21
i)
0
-1
i) i
3459
6. Dados los números complejos z1 = 5 , z 2 = 2 15º y z 3 = 4i , calcula π
a) z 3 ⋅ z 2
b)
z1
( z 2 )
c)
2
3 z2
z1 ⋅
4
d ) z1 ⋅ z 2
z 3
e)
( z1 ) 3 z 2 ⋅ (z 3 )
2
f) z 3
z1 z 2
a) z3 ⋅ z2 = 8105º b) z1 = 545º = 5 ( z 2 )2 430º 4 15º z1 ⋅ z23 545 º ⋅ 845 º 40 90 º z1 = 545 º = = 100º c) z = 4 4 3 90 º 90 º z2 = 215 º ⇒ d) z1 ⋅ z2 =545 º ⋅ 215 º =1060º z3 = 490 º 3 e) z1 = 125135 º = 125135 º = 125 z2 ⋅ z32 215 º ⋅16180 º 32195º 32 300º f) z ⋅ z1 = 4 ⋅ 545º = 4 ⋅ 5 =10 120º 3 z2 90 º 215º 90 º 2 30º 3 − ki
7. Sea z = 3 − ki 1− i
=
1− i
π
. Calcula el valor de k para que arg( z ) =
3 − ki 1 + i ⋅
1− i 1+ i
3+ k
=
2
+i
4
3− k 2
3 − k arg(
3 − ki 1− i
)=
π
4
⇒
2 3 + k
= 1⇒
3 − k 3 + k
= 1 ⇒ 3 − k = 3 + k ⇒ k = 0
2 8. Sea z = 330º (3− ki) . Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro. 330º = 3 ⋅ ( cos 30º +i ⋅ sen 30º ) =
3 3 2
+i
3 2
3 3 3k −3 3k 9 3 3 3k + +i + ⇒ Igualando la parte real a 0 ⇒ + = 0 ⇒ k = − 3 2 2 2 2 2 2
330º ⋅ (3 − ki) =
9. Sea z =
k + i
2+i
. Calcula el valor de k para que z = 2 − i .
k +i
⇒ ( 2 − i) ⋅ ( 2 + i) = k + i ⇒ 5 = k + i Imposible 2+i No hay ningu ′n valor de k que lo cumpla.
2−i =
10. Sea
z= (3 − 6 )i(4 −
k)i. Calcula el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
(3 − 6i ) ⋅ ( 4 − ki ) = (12 − 6k ) + i (− 3k − 24) ⇒ Igualando la parte real a 0 ⇒ 12 − 6 k = 0 ⇒ k = 2 11. Escribe una ecuación de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es z = 2 − 3i . Sirven todas las de la forma:
(
)
a ⋅ z − ( 2 − 3i ) ⋅ ( z − b ) = 0, para cualquier a, b ∈ ℂ. 2 En particular, z = (2 − 3 )i z
12. Utilizando la Fórmula de Moivre halla las expresiones de sen 3 α y cos 3 α en función de sen α y cos α. Re ( (cos α + i ⋅ sen α ) Luego, cos 3α = cos
3
3
) = cos 3α y Im ((cos α + i ⋅ sen α ) ) = sen 3α
α
3
− 3 cos α ⋅ sen
2 α
3
y sen 3 α = - s en α + 3 cos
2
α ⋅ sen α
13. Recurriendo a la fórmula de Moivre, expresa sen 5 α y cos 5 α en función de sen α y cos α. Re ( (cos α + i ⋅ sen α ) 5 ) = cos 5α y Im ( (cos α + i ⋅ sen α ) 5 ) = sen 5α
Asi′, cos 5α = cos 5 α − 10 cos 3 α ⋅ sen 2α + 5 cos α ⋅ sen 4α y sen 5 α =5 cos 4 α ⋅ se n α − 10cos 2 α ⋅ sen 3α + sen 5α 1 14. Sea z = 3 − i . Calcular: a ) z b) c) z 4 d ) 4 z z
a) z = 3 + i b) 1 = 10º = 1 z 2 2 60º 300º c) z 4 = (2300º ) 4 = 16120º 3 − i = 2300º ⇒ 230º 2 120º 4 4 d) z = 16 16 =230+90k,k=0,1,2,3 ⇒ 2210º 2300º
z =
120+360k , k =0 ,1,2 ,3 ,3 4
15. Contesta verdadero o falso, justificando las respuestas: • Si se multiplican dos números complejos que no son reales, no se obtiene nunca un número real. • El cuadrado del conjugado de z es igual al conjugado del cuadrado de z. • Si dos números complejos tienen las mismas raíces cúbicas, entonces dichos números son iguales. • Un número complejo imaginario puro no tiene ninguna de sus raíces cúbicas imaginaria pura. Falso, p.ej. i ⋅ i = −1 Verdadero, porque z = a+ Verdadero, porque Falso, p.ej.
3
−i =
3
3
( z)2 = ( a− b)i 2 = ( bi ⇒ ( z2 ) = ( a2 − b2 ) + 2
2
2
a − b ) − 2 abi 2
2
abi= ( a − b ) − 2 abi
z1 = 3 z 2 ⇒ Elevando al cubo ⇒ z 1 = z 2
1270 º = 3 1 2 7070 3 6060 +
3
k
, k =0 ,1,2
190º = i = 190+120 k , k = 0,1, 2 ⇒ 1210 º 1 330º
16. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones: a) x 2 − 4 x + 13 = 0
2 b) x + 16 = 0 2
Las soluciones de x - 4 x + 13 = 0 son: 2+ 2+3i 3i,, 2-3i Lass so La solu luci cion ones es de x 2 + 16 = 0 son: 4i 4i,, -4 -4ii 17. Las raíces de una ecuación de segundo grado son x1 = 3 + 4i y x 2 = 3 − 4i . Halla la ecuación. ( z − (3 + 4i )) ⋅ ( z − (3 − 4i )) = 0 ⇒ z 2 − 6 z + 25 = 0 18. Expresa en forma binómica los siguientes complejos: a) 7 120º
b) 2 π / 6
a) 7120º = 7 ⋅ ( cos 120º + i ⋅ sen 120º ) =
c) 3 3π / 4 −7
2
+i
7 3 2
b) 2 = 230º = 2 ⋅ ( cos 30º + i ⋅ se sen n 30º ) = 3 + i π
6
c) 33 = 3135 º = 3 ⋅ ( cos 135º +i ⋅ se sen n 135º ) =
−3 2
π
4
d) 5135º = 5 ⋅ ( cos 135º +i ⋅ sen 135º ) =
−5 2
2
2 +i
+i
5 2 2
3 2 2
d) 5135º
19. Determina las formas polar y trigonométrica de los números: c) −4 + 4 i
b) 3 − 3 3 i
a) −2 3 − 2 i
d) 7 + 7 i
sen n 210º ) a) − 2 3 − 2i = 4 210º = 4 ⋅ (c (cos 210º +i ⋅ se sen n 300º ) b) 3 − 3 3i = 6300º = 6 ⋅ (c ( cos 300º +i ⋅ se
(
c) − 4 + 4i = 4 2
(
d) 7 + 7i = 7 2
)
)
135º
45º
sen n 135º) = 4 2 ⋅ (cos 135º +i ⋅ se
= 7 2 ⋅ (cos 45º +i ⋅ sen 45 º )
20. Si z = 3 + 3i , halla halla el el númer número o compl complejo ejo que tiene tiene igu igual al módu módulo lo que que z y cuyo argumento es:
(
3+3i= 3 2
( ) b) ( 3 2 ) c) ( 3 2 ) a) 3 2
π
b) arg( z ) +
a) arg( z ) + π
)
c) 3ar 3arg( z )
4
45º
= −3 − 3i
225º
=3 2i
90º
135º
= −3 + 3i
21. Hallar los números complejos tales que z = z −1 . z = a+
a − bi =
z = a− bi bi ⇒ − 1 1 1 z = = = z a+ bi a − bi 2
a +b
2
2
a + b
⇔ a + b = 1 ⇒ a = 1− b 2
2
a − bi
2
2
2
⇒ a = ± 1 − b 2 , −1 ≤ b ≤ 1
22. Halla el módulo, el argumento y después la forma binómica de cada uno de los siguientes números complejos: a) 345º ⋅ 215º
b) 133º ⋅ 216º ⋅ 341º
e) 2106º :161º
f) ( 2 − i )
3 d) (225º ) ⋅ 315º
c) 6−21º :2 24 º
6
g) ( −2 + 2i )
10
4
h) (251º ) : (4 72 º )
2
a) 660º = 3 + 3 3 i b) 690º = 6i c) 3315º = d) 2490º
3 2
−
3 2
2 = 24i
i
2
e) 245º = 2 + 2 i
(
f)
3 324'73º
)
6
= 27148'41º = −23 + 14 '14 i 10
g)
(( 2 2 ) ) 135 º
= 32768270º = −32768 i
h) 16 204 º : 16144 º = 160 º =
1
+
2
3 2
i
23. Calcula el resultado de las siguientes operaciones, y escríbelos en todas las formas que conoces: a)
(1 + i )(1 − i )5 2− 2 3i
b)
2 1− 3 i
+
2 1+ 3 i
+
2 1+ i
45º 5 ( 2 )45 º ⋅ ( 4 2 )135 º ⇒ (1 − i ) = (4 2 ) ⇒ 315 º 135 º 4300º 2 − 2 3 i = 4300º
( 2) a) 1 − i = ( 2 ) 1+ i =
= 2 240º
2240º = 2 ⋅ (cos 240º +i ⋅ sen 240º ) = −1 − 3 i = (−1, 1, − 3 )
1+ 3 i 1− 3 i 1− i 1+ 3 i 1− 3 i 4 + 4 + 2 = 2 + 2 + 1 − i = 1 + 1 − i = 2 − i
b) 2
2 − i = (2, −1) 1) =
( 5)
=
sen n 333 ' 43º ) 5 ⋅ (cos 333 ' 43º +i ⋅ se
333' 43º
24. Escribe en todas las formas que conoces las soluciones de la ecuaciones: a) x2 + i x + 2 = 0
b) x3 + 2 i x2 + 2 x = 0
c) z 2 − z +1 = 0
2 e) x + x + 1 = 0
2 f) x − 4 x + 13 = 0
g)
1+ i
i)
z
a) 2
b) 2
1
− i = (3 + 2 i )
3
j)
z − 3
= 1− i
2 z − i
k)
z
1+ i z
2i
+
+
z i
3 d) x + 3x = 0
2 h) x − 2 x + 2 = 0
= 2i
z + 1
4 − 2i
=3
l)
z
3 + 2i
+
z
4 − 2i
= 3+i
x= =i (0,1) = 190 º = cos 90º + ⋅ i se9n0º
n0º ) =x −2 = i(0, −2) = 2 270 º = 2 ⋅ (c (cos 270º + ⋅ i s2e7 x1+ = (−
1
= −x(1 +
3 ) = (0i, −1 + 3 ) = (− 1+ 3 )90 º = (− 1+ 3 ) ⋅ (cos 90º + ⋅
3 ) = (0i, −1 − 3 ) = (1 + 3 ) 270 º = (1+ 3 ) ⋅ (c (cos 270º + ⋅
i90 se ºn )
i 2s7e0nº )
x3 = 0 = (0, 0) = 00º = 0 ⋅ (cos 0º +i ⋅ sen 0º )
c)
2
d) 2
=x
1
=x
1
1
1
3
+
2
= i(
2 3
−
2
1 2
3
,
2
1
3
= (i , −
2
2
2
) = 160 º = cos 60º + ⋅ i s6e0nº
) = 1300 º = cos 300º + ⋅ i s3e0n0º
( 3) 3) = ( 3 )
=x 3 = (i0, 3 ) =
=x− 3 = (i0, −
3 ⋅ ( cos 90º + ⋅ i s9e0nº )
=
90º
= 270º
3 ⋅ ( cos 270º + ⋅
i 2 se7n0º )
x3 = 0 = (0, 0) = 00º = 0 ⋅ (cos 0º +i ⋅ sen 0º )
e)
2
f ) 2
1
=x−
=x−
1
1
1
3
+
2 −
2
2 3 2
= (i−
= (i−
1 2
1 2
( = (i2, −3) 3) = (
3
) = 1120 º = cos 120º + ⋅ i s1e2n0º
2 3
,−
= x2 + 3 = (i2, 3) =
=x2 − 3
,
2
) = 1240 º = cos 240º + ⋅ i s2e4n0º
) 13 ) 13
=
13 ⋅ ( cos 56 ' 31º + ⋅
=
e 13 ⋅ ( cos 303 ' 69º + ⋅ in s303'69º )
56'31º
303'69º
i 5s6 en' 31º )
−6 2 −6 2 2 2 g) = z + 10 10 ⋅ ( cos 161 ' 56º + ⋅ = i , = = 5 5 5 5 5 161'56º 5
h) 2
1
( 2) = (i1, −1) = ( 2 )
=x1 + = (i1,1) =
=x1 −
i) z =
19
315º
−
28
1145 1145
=
2 ⋅ ( cos 45º + ⋅ i s4e5nº )
=
n ) 2 ⋅ ( cos 315º + ⋅ i s3e15º
45º
i16s1 e'n56º )
1145 28 1145 19 sen n 304 '16º ) ,− 304 '16º +i ⋅ se = ⋅ ( cos 30 = 114 5 1145 1145 304'16º 1145
i=
4 3 se1n6 ' 87º , − = 1216'87º = cos 216 ' 87 º + ⋅ i 2 5 5 5 5 157 11 11 157 k) = 3 z+ = 3i, = = ⋅ ( cos 61 ' 39º + ⋅ 2 2 2 2 61'39º 4
j) = −z
l) z =
46
−
3
= i−
46 22 10 , 26 = 7 7 7 25'56º
22 22
+
7
i=
7
=
i 6s1e' n 39º )
10 sen n 25 ' 56º ) 26 ⋅ ( cos 25 25 ' 56º +i ⋅ se 7
25. Un cuadrado tiene sus vértices por encima del eje real. Si dos vértices consecutivos del cuadrado son z1 = 2 + i y z2 = 5 + 3i , halla los otros dos vértices. 3 + 6i y 4i 26. Un triángulo equilátero tiene dos de sus vértices en (0,0) y (4,1). Halla las coordenadas del tercer vértice sabiendo que está en el primer cuadrante.
(
17
)
74'03º
= (1'13,3'96 )
27. Una raíz cuarta de un número complejo es −1 + i . Calcula dicho número y sus restantes raíces cuartas. z = −1 + i⇒ z= (−1 + )i = 4 4
4
4
4 = 4180º = 4
( 4) 4
= 1 80 80 º +3 60 60 k
4
, k = 0 ,1, 2 ,3
(
( ( 2) = 45+ 90 90k , k = 0 ,1,2,3 ( (
) 2) 2) 2) 2
45º
= 1+ i
135º
225º
315 º
= −1 + i = −1 − i = 1− i
28. Calcula las raíces cúbicas de: a)
a)
b)
5
(1 + i ) ⋅ (1 − i )4 (1 + 2 i )
3
3
45 º 315 º 3 ( 5 ) 63'43º
i −1
2 ( )
=
3
2i
c)
3
d)
3
(2 2 )
135º
260 º
i −1
2i
( 2) ( 2)
135º
=
3
c)
=
=
( 2)
−2 + 2i
1 + 3i
4
3
90º
= Idem b)
−8
2i
⋅
( 2) 3
b)
i −i
75 º
3
145º
4 10 25 34'71º
115º = 1135º 1 255º
( 6 2 ) 25º 6 = ( 2 ) 145º ( 6 2 ) 265º
d)
3 = 3 3
i
−3
−i
4
e)
2i 4 25 4 25 4 25
3+i −1 + i
11'57º
10
131'57º
10
251'57º
10
f)
1− i 3 −i
g)
1+ i 2 −i
( 6 2 ) 85º 230º 6 e) 3 = 3 ( 2) = ( 2 ) 255º 205º ( 2 )135º ( 6 2 ) 325º 2 3 2 115º 2) ( 2 3 2 315º 3 =3 = f) 2 2330º 2 345º 235º 2 3 2 355º 2 6 5 23'86º ( 2 )45º 2 6 2 = 3 = g) 3 ( 5 )333'43º 5 71'57º 5 143'86º 6 2 5 263'86º 29. Halla todos los números complejos de módulo unidad tales que sus raíces cuartas están situadas en las bisectrices de los ejes real e imaginario. z = a+ bi a + b = 1 ⇒ a + b = 1
z = 1 ⇒
2
2
2
2
2 ⇒ 2a
a = b
Bisectrices
a = −b
2 2
2
+
2
i,
2
−
2
2 2
i, −
2
2
−
2
2
2
i, −
=1⇒ a = ±
+
2
2 2
2 2
i
30. Una raíz cúbica de un número complejo es 1 + i . Halla dicho número complejo y sus otras dos raíces cúbicas. 3
3
(
z = 1 + i⇒ z= (1 + i) = −2 + 2i = 2 2 3
(
z = 3 2 2
)
135 º
=
( 2)
13 5º 5º + 36 0º 0ºk 3
= , k = 0 ,1, 2
(
)
135º
( 2 ) 45º 2) = ( 2 ) 45 º+ 120 ºk , k = 0 ,1, 2 165º ( 2 ) 285º
31. Halla el número complejo cuyas raíces cúbicas tienen módulo 1 y están situadas en los vértices de un triángulo: a) que tiene un vértice sobre la parte positiva del eje real. b) que tiene un vértice sobre la parte negativa del eje imaginario. c) que no tiene tiene ningún ningún vértice sobre los ejes. ejes. 3
a) 3 z = 10 º ⇒ z = (10 º ) = 10 º = 1 3
b) 3 z = 1270 º ⇒ z = (1270 º ) = 190 º = i c) 3 z = 1 º , α ≠ 90º k , k ∈ ℤ ⇒ z = (1 α
º
α
)
3
= 13α º , α ≠ 90º k , k ∈ ℤ
32. De un pentágono regular centrado en el origen conocemos un vértice que es el punto (1,− 3 ) . Calcula los restantes vértices.
2372º = (1'96,0'42) 284º = (0'21,1'99) ⇒ 2156 º = (−1' 1'8 83,0'81 ,0'81)) 2 = (−1' 34, −1' 49 49) 228º 2300º = (1, − 3)
(1, − 3 ) = 2300 º
33. Calcula: a)
e)
a)
5
i 5 − i −8 b) 2i
32 −i
3
5
2 − 2i
320º
4
f)
=
5
1270º
3290º
1+ i c) 2 − i
5
1− i g) 3 + i
3i
d) 4
218º 2 90º = 2162º 2 234º 2306º 5
i -1 ( 2 )135 b) = i 2 ( 2 )90 5
5
= (145º ) = 1225º
1 + i ( 2 )45 c) = i − 2 ( 5) 333'43
5
5
d)
3
( 2300º ) ⋅ ( 2210º ) =
e)
3
(2 2 )
f)
4
= =
2 = 5 71'56º
( 3 4 ) 50º 3 4 ( 150º ) = ( 3 4 )170º ( 3 4 ) 290º
( 2)
105 º +120 ºk , k = 0 ,1, 2
315º
(16 )120º
−8 + 8
5
230 º +90 ºk , k = 0,1,2,3
( 2) 315º g) 230º
4
230º h) ( 2 ) 135º
4
2 = 2 285º =
(( 2 ) ) 255º
4
1 4 60º
=
4
=
4300º
5
4 10 125 357'83º
=
3
(1 − 3i ) ⋅ (− 3 − i )
3 + i h) −1+ i
4
