Taller
1. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de: a) f ( x ) =
1 , x −1
n=4,
c = - 2 = xi
Rta: siguiendo la serie de Taylor se hallan las cuatro derivadas para formar el polinomio de la siguiente manera: f ( x) ≅ f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi )( xi +1 − xi ) +
f ′′( xi )( xi +1 − xi ) 2 f ′′′( xi )( xi +1 − xi ) 3 f ′ v ( xi )( xi +1 − xi ) 4 + + 2! 3! 4 !
xi = −2 f ( xi ) =
1 1 =− ; xi − 1 3
f ′′′( xi ) = −6
f ′( xi ) = −
1 2 =− ; 4 27 ( xi − 1)
1 1 =− ; 2 9 ( xi − 1)
f ′ v ( xi ) = 24
f ′′( xi ) = 2
1 2 =− ; 3 27 ( xi − 1)
1 8 =− 5 81 ( xi − 1)
Ahora formando el polinomio tenemos: f ( xi +1 ) =
1 1 1 2 ( xi +1 − 2) 2 2 ( xi +1 − 2) 3 8 ( xi +1 − 2) 4 = − − ( xi +1 − 2) − − − xi +1 3 9 27 2! 27 3! 81 4!
Simplifica ndo
f ( xi +1 ) =
1
=−
xi +1 − 1
1 1 1 1 1 − ( xi +1 + 2) − ( xi +1 + 2 ) 2 − ( xi +1 + 2)3 − ( xi +1 + 2) 4 3 9 27 81 243
xi+1=x f ( xi + 1 ) = −
1 1 1 1 1 − ( x + 2) − ( x + 2) 2 − ( x + 2)3 − ( x + 2) 4 3 9 27 81 243
b) f ( x) = In( x 3 ) ,
n=4,
c = 1 = xi
Rta: Al igual que el punto anterior se determinan las cuatro derivaras de la función: xi = 1 3
f ( xi ) = In ( xi ) = 0; f ′v ( xi ) = −
18 = − 18 4 xi
f ′( xi ) =
3 = 3; xi
f ′′( xi ) = −
3 = − 3; 2 xi
f ′′′( xi ) =
6 = 6; 3 xi
Ahora formando el polinomio tenemos: 4 3( xi +1 − 1) 2 6 ( xi +1 − 1) 3 18 ( xi +1 − 1) f ( xi +1 ) = In ( xi +1 ) = 0 + 3( xi +1 − 1) − + − 2! 3! 4!
f ( xi +1 ) = In ( xi +1 ) = 3( xi +1 − 1) −
Simplifica ndo
3( xi + 1 − 1) 2 3( xi +1 − 1) 4 + ( xi +1 − 1) 3 − 2 4
xi + 1 = x In ( xi +1 ) = 3( x − 1) −
3( x − 1) 2 3( x − 1) 4 + ( x − 1) 3 − 2 4
2. Para f(x) = arccos (x) a) Escribir el polinomio de Mclaurin P3(x) para f(x). Rta: El polinomio de Mclaurin consiste en la serie de Taylor centrada en cero (xi=0), además P3(x) significa que se trunca en la tercera derivada. f ( x) ≅ P3 ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi )( xi +1 − xi ) + f ( x) ≅ P3 ( xi +1 ) = f (0) + f ′(0)( xi +1 ) +
f ′′( xi )( xi +1 − xi ) 2 f ′′′( xi )( xi +1 − xi ) 3 + 2! 3!
f ′′(0)( xi +1 ) 2 f ′′′(0)( xi +1 )3 + 2! 3!
Serie de Taylor
Serie de de Mclaurin
( xi = 0)
xi = 0
Entonces
f ( xi ) = arccos(xi ) =
π 2
f ′( xi ) = −
;
1 1 − xi
2
= −1;
f ′′( xi ) =
1 2 −3 (1 − xi ) 2 (−2 xi ) = 0; 2
3 1 2 5 2 −3 f ′′′( xi ) = − (1 − xi ) 2 (−2 xi )(−2 xi ) − 2− (1 − xi ) 2 = −1 2 4 Ahora
reemplazamos
P3 ( xi +1 ) =
π 2
− 1 • ( xi +1 ) +
el
polinomio de Mclaurin
0 • ( xi +1 ) 2 1 • ( xi +1 )3 − 2! 3!
Simplificando
f ( x) ≅ P3 ( xi +1 ) =
π 2
−x−
x3 6
b) Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes). Rta: ahora reemplazando los valores en la función f(x) y en la función aproximada hallada anteriormente P3(x) se llena la tabla. Como tenemos la función podemos calcular el error verdadero:
ε=
Valorverdadero − Valoraproximado Valorverdadero
* 100
x
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
f(x)
2,4189
2,0944
1,8235
1,5708
1,31811
1,0472
0,7227
P3(x)
2,3911
2,0916
1,8234
1,5708
1,3182
1,0499
0,7505
%E
1,15
0,134
0,00548
0
0,00683
0,257
3,846
c) Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados. Graficando la función y la función aproximada tenemos:
3. Dado que y(x) es la solución de
, y(0)=3 entonces el valor
de y(0,2) usando el polinomio de Taylor evaluado en x=0 es: Rta: usando la serie de Taylor se tiene: y( x i +1 ) = y( x i ) + y ′( x i )h +
y ′′( x i )h 2 y n ( x i )h n + .. + n! 2 !
y(0,2) = y(0) + y ′(0)(0,2) +
x i = 0,
h = ( x i +1 − xi ) = 0,2 − 0 = 0,2
y ′′(0)(0,2) 2 y ′′′(0)(0,2) 3 y ' v (0)(0,2) 4 y v (0)(0,2) 5 + + + 2 ! 3! 4 ! 5 !
y(0) = 3 y ′( xi ) = y 3 + 2 y ′(0) = 33 + 2 = 29 dy y ′′( xi ) = 3 y 2 = 3 y 2 ( y 3 + 2) dx 2 ′ ′ y (0) = 3(3) ((3) 3 + 2) = 783 dy y ′′′( xi ) = 6 y = 6 y ( y 3 + 2) dx y ′′′(0) = 6(3)((3) 3 + 2) = 522 dy y' v ( xi ) = 6 = 6( y 3 + 2) dx y' v ( xi ) = 6((3) 3 + 2) = 174 sustituyendo
yv = 0
y (0,2) = 3 + 29 * (0,2) +
783 * (0,2) 2 522 * (0,2) 3 174 * (0,2) 4 0 * (0,2) 5 + + + = 25,17 2 6 24 120
4. A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia finita regresiva y diferencia finita centrada. Rta: Para la diferencia finita regresiva: f ( x) ≅ f ( x i −1 ) = f ( x i ) − f ′( x i )( x i − x i −1 ) +
f ′′( x i )( x i − x i −1 ) 2 f ′′′( x i )( x i − x i −1 ) 3 f ′ v ( x i )( x i − x i −1 ) n − + .. + 2 ! 3 ! n!
ahora truncando la serie en primera derivada f ( x i −1 ) = f ( x i ) − f ′( x i )( x i − x i −1 ) + (Oh 2 )
ahora
despejando
f ′( x i )
f ( x i ) − f ( x i −1 ) f ( x i ) − f ( x i −1 ) (Oh 2 ) entonces f ( x i ) − f ( x i −1 ) = + → f ′( x i ) = + (Oh) ( x i − x i −1 ) h h h Para la diferencia finita centrada: f ′( x i ) =
La diferencia finita centrada resulta de la resta de la diferencia finita progresiva f(xi+1) y la diferencia finita regresiva f(xi-1), entonces:
f ( x i +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi )h +
f ′′( xi )h 2 f ′′′( x i )h 3 f ′ v ( xi )h n + + .. + 2 ! 3! n!
− f ( x i −1 ) = − f ( x i ) + f ′( xi )h − f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) = 2 f ′( xi )h +
f ′′( xi )h 2 f ′′′( xi )h 3 f ′ v ( x i )h n + + .. + 2 ! 3! n! 2 f ′′′( xi )h + .... 3!
ahora truncando la serie en primera derivada f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) = 2 f ′( xi )h + (Oh 3 ) ahora
despejando
f ′( x i )
f ( x i +1 ) − f ( x i −1 ) (Oh 3 ) + 2h 2h f ( x i +1 ) − f ( x i −1 ) + (Oh 2 ) f ′( x i ) = 2h f ′( x i ) =
entonces
5. Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función f(X)=sen(x) en x0=π/4 con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x1=π/6. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta que el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 5 cifras significativas. Rta: Conociendo la función se puede determinar el valor real f(π/4)=0,7071068 aproximando la función con la serie de Taylor se tiene: Tolerancia: xi +1 =
π 4
;
ε s ≤ (0,5 x10 2− n )% = (0,5 x10 2−5 )% = 0,0005% xi =
π 6
1 f ( x i ) = sen ( xi ) = ; 2
f ′( x i ) = cos ( x i ) =
3 ; 2
3 1 f ′ v ( x i ) = sen ( x i ) = 2 2 1 f ( 6 ) ( x i ) = − sen ( xi ) = − 2 El paso h=xi+1-xi= (π/4- π/6)= π/12, f ′′′( x i ) = − cos ( xi ) = −
1 f ′′( xi ) = − sen ( xi ) = − ; 2 f v ( x i ) = cos ( x i ) =
3 2
Aproximación de orden cero n=0: π π 1 f ≅ sen = = 0,5 4 6 2
Hallando el error relativo porcentual y el error verdadero se tiene:
εt =
Valorverdadero − Valorexp erimental Valorverdadero
*100% =
0,70710678 − 0,5 *100% = 29,29% 0,70710678
Para el primer orden de aproximación, adicionando la primera derivada: π π π π f ≅ sen + cos = 0,7267249 3 6 6 12
εt =
0,70710678 − 0,7267249 * 100% = 2,8% 0,70710678
εa =
Valornuevo − Valoranterior 0,7267249 − 0,5 * 100% = * 100% = 31,2% Valornuevo 0,7267249
Para el segundo orden de aproximación: 2
π π sen π π π π 6 12 = 0,70905902 f ≅ sen + cos − 2 3 6 6 12
Adicionando términos sucesivamente hasta que se cumpla que Ea ≤ Es Oder n
fn(x)
0
Sen x
1
Cos x
2
-Sen x
3
-Cos x
4
Sen x
5
Cos x
6
Sen x
f(π/3)
єt(%)
Єa(%)
0,5
29,29
0,72672492
2,77
31,2
0,70959019
0,351
2,4
0,70700028
0,015
0,37
0,70709814
0,0012
0,014
0,70710702
3,4E-05
0,0013
0,7071068
2,0E-06
0,00003
---
