Ejercicios de Transporte y Asignación
La FORD motors tiene tres fábricas (X, Y y Z) para ensamblar automóviles, y dispone de tres concesionarios habilitados para la venta (D, E y F). Las cantidades producidas por
A, B y C son 1.000, 5.000 y 4.000 unidades al mes respectivamente. La máxima cantidad que puede vender el concesionario D es 3000 unidades/al mes, E es 6000 unidades/mes y F es 7000 unidades/mes. Los costos de transporte de cada fábrica a cada concesionario están dados en la siguiente tabla:
Suministro
Demanda
D
E
F
A
3
12
6
B
9
3
6
C
12
15
6
Obtener una solución básica factible por el método de la esquina del noroeste.
Vamos a cubrir la demanda de la esquina noroeste.
Suministro
Demanda
D
E
F
A
1000
3
0
12
0
6
1000
B
9
3
6
5000
C
1
2
1
5
6
400
3000
60000
7000
Ahora con la nueva esquina noroeste.
Suministro
Demanda
D
E
F
A
1000
3
0
12
0
6
1000
B
2000
9
3
6
5000
C
0
1
2
1
5
6
4000
3000
60000
7000
Ahora con la nueva esquina noroeste.
Suministro
Demanda
D
E
F
A
1000
3
0
12
0
6
1000
B
2000
9
3000
3
0
6
5000
C
0
12
15
6
4000
3000
60000
7000
Ahora con la nueva esquina noroeste.
Suministro
Demanda
D
E
F
A
1000
3
0
12
0
6
1000
B
2000
9
3000
3
0
6
5000
C
0
12
3000
15
1000
6
4000
3000
60000
7000
La solución es:
3* 1000 + 9* 2000 + 3* 3000 + 15* 3000 + 5* 1000
= 3000 + 18000 + 9000 + 45000 + 5000
= 8000
Tres centrales de distribución tienen que dar electricidad a tres ciudades. La tabla de costo por transporte es la siguiente:
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
6
6
10
35
II
9
12
13
50
III
14
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
Plantee el problema como un modelo de programación
Z – 45 XA – 20 XB – 30 XC= 0
SA:
8XA + 6 XB+ 10 XC 35
9 XA + 12 XB + 13 XC 50
14 XA + 9 XB + 16 XC 40
(XA, XB, XC) 0
Obtener una solución básica factible por el método de la celda de menor costo.
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
8
6
10
35
II
9
12
13
50
III
14
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
La celda de menor costo es X12 = 6 saturando esa celda nos queda:
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
8
20
6
10
35
II
9
12
13
50
III
14
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
Ahora le toca a X11
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
15
8
20
6
0
10
35
II
9
12
13
50
III
14
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
Queda la primera fila saturada. Ahora le toca a X21
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
15
8
20
6
0
10
35
II
30
9
0
12
13
50
III
0
14
0
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
Ahora le toca a X23
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
15
8
20
6
0
10
35
II
30
9
0
12
20
13
50
III
0
14
0
9
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
Y por último, la toca a X33
Central
Ciudad
Suministro(MKw/h)
A
B
C
I
15
8
20
6
0
10
35
II
30
9
0
12
20
13
50
III
0
14
0
9
10
16
40
DEMANDA (MKw/h)
45
20
30
La solución es:
15* 8 + 6* 20 + 9* 30 + 13* 20 + 16* 10 = 120 + 120 + 270 + 260 + 160 = 1030
Considere el problema de transporte que se originan debido a un accidente. Existen tres ambulancias con distintas capacidades para trasladar heridos hacia cuatro Servicios de Urgencia. La siguiente tabla presenta la capacidad de las Ambulancias y los Servicios de Urgencia.
AMBULANCIA
CAPACIDAD
1
2
3
3
7
5
SERVICIO DE URGENCIA
DEMANDA
1
2
3
4
4
3
4
4
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Ambulancia 1
2
2
2
1
Ambulancia 2
10
8
5
4
Ambulancia 3
7
6
6
8
Utilizando el Método de Vogel, encuentre la solución inicial. ¿ Es óptima? ¿ Existe solución alternativa?
En primer lugar vamos a trabajar con la siguiente tabla:
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Demanda
Penalización
Ambulancia 1
2
2
2
1
3
1
Ambulancia 2
10
8
5
4
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
8
5
1
Demanda
4
3
4
Penalización
5
4
3
MAX Z = 4 X1 + 3X2 + 4X3 + 4 X4
SA
2 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 1 X4
10 X1 + 8 X2 5 X3 + 4 X4
7 X1 + 6 X2 + 5 X3 + 8 X4
La penalización es la diferencia entre los dos menores valores, tanto de la fila como de la columna, luego tomamos la fila o columna que tenga mayor diferencia, en esta primera parte es la columna 1. El siguiente paso es escoger de ésta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor es "2" y que a esa celda de le pueden asignar como máximo 3 unidades.
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Demanda
Penalización
Ambulancia 1
3
0
0
0
3
1
Ambulancia 2
10
8
5
4
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
8
5
1
Demanda
4
3
4
4
Penalización
5
4
3
Podemos eliminar la fila saturada:
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
5
4
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
8
5
1
Demanda
1
3
4
4
Penalización
5
4
3
Nuevamente buscamos la diferencia entre los dos valores menores de fila y columna, quedando la tabla así:
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
5
4
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
8
5
1
Demanda
1
3
4
4
Penalización
3
2
1
4
Ahora la mayor diferencia está en la columna 4. El siguiente paso es escoger de ésta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor es "4" y que a esa celda de le pueden asignar como máximo 4 unidades. Saturando nos queda:
SU 1
SU 2
SU 3
SU 4
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
5
4
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
0
5
1
Demanda
1
3
4
0
Penalización
3
2
1
4
Se puede eliminar la columna saturada:
SU 1
SU 2
SU 3
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
5
7
1
Ambulancia 3
7
6
6
5
1
Demanda
1
3
4
Penalización
3
2
1
Volvemos a buscar la diferencia entre los dos menores valores:
SU 1
SU 2
SU 3
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
5
7
3
Ambulancia 3
7
6
6
5
1
Demanda
1
3
4
Penalización
3
2
1
La mayor diferencia está en dos partes. Tomamos una de las dos, en este caso la fila 1. El siguiente paso es escoger de ésta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, se puede observar como el menor es "5" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 4 unidades, saturando nos queda:
SU 1
SU 2
SU 3
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
4
3
3
Ambulancia 3
7
6
0
5
1
Demanda
1
3
0
Penalización
3
2
1
Se elimina la columna saturada:
SU 1
SU 2
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
3
2
Ambulancia 3
7
6
5
1
Demanda
1
3
Penalización
3
2
La mayor diferencia está en la columna 1, y el menor valor es 7, solo se le puede asignar 1 quedando así:
SU 1
SU 2
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
10
8
3
2
Ambulancia 3
7
6
4
1
Demanda
1
3
Penalización
3
2
Eliminamos la columna suturada:
SU 2
Demanda
Penalización
Ambulancia 2
8
3
2
Ambulancia 3
6
5
1
Demanda
3
Penalización
2
4. Un sistema de procesamiento compartido tiene seis ordenadores diferentes Oi; i = 1; : : : ; 6 y debe procesar seis tareas Tj ; j = 1; : : : ; 6 que pueden realizarse en cualquiera de los seis ordenadores, pero con la condición de que tendrán que completarse en el ordenador en el que se iniciaron. Los costes de procesamiento Cij de las tareas variaran según el ordenador, tal como se muestra en la tabla.
Determinar que ordenador se asignará a cada trabajo de modo que el coste total sea mínimo
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
8
4
10
2
1
6
O2
6
6
12
4
3
5
O3
2
4
8
1
1
6
O4
10
8
15
6
2
3
O5
5
7
20
4
4
1
O6
8
2
10
4
2
4
Restar el valor más pequeño de cada uno de los demás valores de la columna.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
8 - 2
4 - 2
10 - 8
2 - 1
1 - 1
6- 1
O2
6 - 2
6 - 2
12 - 8
4 - 1
3 - 1
5 - 1
O3
2 -2
4 - 2
8 - 8
1 - 1
1 - 1
6 - 1
O4
10 - 2
8 - 2
15 - 8
6 - 1
2 - 1
3 - 1
O5
5 - 2
7 - 2
20 - 8
4 - 1
4 - 1
1 - 1
O6
8 - 2
2 - 2
10 - 8
4 - 1
2 - 1
4 - 1
Quedando la tabla de la siguiente manera:
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
6
2
2
1
0
5
O2
4
4
4
3
2
4
O3
0
2
0
0
0
5
O4
8
6
7
5
1
2
O5
3
5
12
3
3
0
O6
6
0
2
3
1
3
Resta el valor más pequeño de cada renglón de los demás valore de ese renglón.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
6 – 0
2 – 0
2 – 0
1 – 0
0 – 0
5 – 0
O2
4 – 2
4 – 2
4 – 2
3 – 2
2 – 2
4 – 2
O3
0 – 0
2 – 0
0 – 0
0 – 0
0 – 0
5 – 0
O4
8 – 1
6 – 1
7 – 1
5 – 1
1 – 1
2 – 1
O5
3 – 0
5 – 0
12 – 0
3 – 0
3 – 0
0 – 0
O6
6 – 0
0 – 0
2 – 0
3– 0
1 – 0
3 – 0
Quedando la tabla de la siguiente manera:
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
6
2
2
1
0
5
O2
2
2
2
1
0
2
O3
0
2
0
0
0
5
O4
7
5
6
4
0
1
O5
3
5
12
3
3
0
O6
6
0
2
3
1
3
Se traza el mínimo número de líneas que puedan pasar a través de todos los ceros de la tabla. Las líneas diagonales no se permiten.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
6
2
2
1
0
5
O2
2
2
2
1
0
2
O3
0
2
0
0
0
5
O4
7
5
6
4
0
1
O5
3
5
12
3
3
0
O6
6
0
2
3
1
3
Después de trazar el número mínimo de líneas se hace la prueba optimalidad. Si en número de líneas es igual a n (número de rengoles o columnas), es la solución óptima. Si el numero es menor a n, se requiere continuar con el proceso hasta calcular la solución óptima. En la tabla, el número de líneas esde 4 y el de columnas 6, por lo tanto, hay que continuar con el procedimiento.
De los valores que no se tacharon, se selecciona el mínimo, en este ejemplo el mínimo es uno (1). Éste valor se debe restar a todos los valores que no están cruzados por ninguna línea. También se debe sumar esta cantidad a todos los valores situados en la intersección de líneas. Todos los demás valores (los que están cruzados únicamente por línea), permanecen inalterados.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
5
1
1
0
0
4
O2
1
1
1
0
0
1
O3
0
2
0
0
1
5
O4
6
4
5
3
0
0
O5
3
5
12
3
4
0
O6
6
0
2
3
2
3
Hay que trazar el número mínimo de líneas nuevamente a través de los ceros para verifiar si es la solución óptima.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
5
1
1
0
0
4
O2
1
1
1
0
0
1
O3
0
2
0
0
1
5
O4
6
4
5
3
0
0
O5
3
5
12
3
4
0
O6
6
0
2
3
2
3
En este caso hay 5 líneas y 6 columnas, por lo tanto hay que continuar con el procedimiento. En este caso 1, se resta este valor a todos los valores de la tabla no cruzados de la tabla y se suma a los valores de las casillas situadas en la intersección de líneas, los demás valores permanecen inalterados. Los resultados de la nueva tabla son:
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
4
0
0
0
0
4
O2
0
0
0
0
0
1
O3
0
2
0
1
2
6
O4
5
3
4
3
0
0
O5
2
4
11
3
4
0
O6
6
0
2
4
3
4
Hay que trazar el número mínimo de líneas nuevamente a través de los ceros para verificar si es la solución óptima.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
O1
4
0
0
0
0
4
O2
0
0
0
0
0
1
O3
0
2
0
1
2
6
O4
5
3
4
3
0
0
O5
2
4
11
3
4
0
O6
6
0
2
4
3
4
Se realiza la prueba de optimalidad, como el número de líneas es igual al número de renglones, el proceso termina. La solución se localia en la casilla que contiene cero.
La casilla de la columna 1 renglón 2, será la primera tarea que realizar en el Ordenador 2.
En la columna 2 último renglón, donde se realizará la senda tarea en el ordenador 6.
En la tercera columna renglón 3, donde se realizará la tarea 3 en el ordenador 3.
En la columa 4, renglón 1, se realizará la tarea 4 en el ordenador 1.
En la columna 5 renglón 1, se realizará la tarea 5 en el ordenador 1.
En la columna 6 renglón 2, se realizará la tarea 6 en el ordenador 5.
El gobierno venezolano desea instalar 4 fábricas: una de papel, otra de vidrio, computadoras y teléfonos celulares. Se ha tomado la decisión de invertir en una fábrica para Aragua, Monagas, Bolívar y Barinas, para lo cual es necesario conocer el tipo de fábrica en cada una de estas ciudades. La matriz que se muestra a continuación muestra las utilidades netas mensuales en miles de $. Haga la asignación óptima (Nota: Resuelva como un problema de asignación caso maximización).
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
27
13
15
28
Vidrio
35
22
10
22
Computadoras
12
30
40
32
Teléfonos Celulares
15
26
14
28
Para pasar los datos de la tabla a minimización se selecciona el máximo valor de la tabla y resta a todos los valores de la tabla.
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
40 - 27
40 - 13
40 - 15
40 - 28
Vidrio
40 - 35
40 - 22
40 - 10
40 - 22
Computadoras
40 - 12
40 - 30
40 - 40
40 - 32
Teléfonos Celulares
40 - 15
40 - 26
40 - 14
40 - 28
Quedando así:
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
13
27
25
12
Vidrio
5
18
30
18
Computadoras
28
10
0
8
Teléfonos Celulares
25
14
26
12
Restar el valor más pequeño de cada uno de los demás valores de la columna.
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
8
17
25
4
Vidrio
0
8
30
10
Computadoras
23
0
0
0
Teléfonos Celulares
20
4
26
4
Restar el valor más pequeño de cada renglón de los demás valores de ese renglón.
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
4
13
21
0
Vidrio
0
8
30
10
Computadoras
23
0
0
0
Teléfonos Celulares
16
0
22
0
Se traza el mínimo número de líneas que puedan pasar a través de todos los ceros de la tabla. Las líneas diagonales no se permiten.
Ciudad
Fábrica
Aragua
Monagas
Bolívar
Barinas
Papel
4
13
21
0
Vidrio
0
8
30
10
Computadoras
23
0
0
0
Teléfonos Celulares
16
0
22
0
Se realiza la prueba de optimalidad, como el número de líneas es igual al número de renglones, el proceso termina. La solución se localia en la casilla que contiene cero.
La casilla de la columna 1 renglón 2, será la primera fábrica que se le asignara al estado Aragua.
En la columna 2 último renglón 3, será la primera fábrica que se le asignara al estado Monagas.
En la casilla de la columna 3 renglón 3, será la primera fábrica que se le asignara al estado Bolívar.
En la columa 4, renglón 3, será la primera fábrica que se le asignara al estado Barinas.