ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
1. Sean A , B y C tres eventos cualesquiera de un espacio muestral S, expresar cada una de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre A, B y C :
a) Ocurra por lo menos uno de los eventos AUBUC b) Ocurra todos los eventos
∩ ∩
c) Ocurra exactamente uno de los eventos ( A∩B’∩C’)U(A’∩B’∩C) d) No ocurra ninguno de los eventos (AUBUC)C
2. Cada uno de cuatro amigos elige una bebida al azar de la cafetería. Describa el espacio muestral del experimento si hay disponibles en tres sabores denominados por L, N, y f ¿Cuántos elementos tienes?
{ 1,1,1, 2,2,2, 3,3,3, 4,4, 4 } S= 12
3. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas, describa el espacio muestral en lanzar del número de caras obtenidas.
, ,, , ,, , , ,,,,,, 4. Un lote de N artículos contiene K defectuosos, describir el espacio muestral del número de artículos extraídos hasta obtener el ultimo defectuoso.
5. Desarrollar: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
Describa el espacio muestral del funcionamiento del siguiente sistema: A1
A2
A3
Donde Ai= 0; si está descompuesto i= 1, 2, 3 Rpta:
(Ω) = {(w1, w2, w3)/ wi = 0, 1, i = 1, 2, 3} n (Ω) = 28 elementos.
6. Describa los eventos A: “por lo menos una componente funciona “, y B: todo el sistema funciona”. ¿Son A y B mutuamente excluyentes?
A={(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1);(1,1,0);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,1)}
∅⇒
B = {(1, 1, 1)} A ∩ B = {(1, 1, 1)} ̸= = A y B no son mutuamente excluyentes
OJO: f = P(Ω) = 2Ω tiene 28 = 256 elementos.
7. En un edificio de 10 pisos entran al ascensor al primer piso 3 personas. Cada una baja al azar a Partir del segundo piso. ¿De cuántas maneras estas personas pueden bajar en pisos diferentes? S olución:
En este caso tenemos, variación con repetición cuando los dígitos no se repiten. Por lo tanto:
9×8×7504
Respuesta = 504.
8. Cierto producto se arma en tres etapas. En la primera hay 5 líneas de ensamblado, en la segunda 6, y en la tercera 4. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse circular el producto durante el proceso de ensamblado? S olución:
En este caso, sería de la siguiente forma:
5×6×4120 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
3
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Respuesta = 120
9. Una caja contiene 8 dulces de piña, 6 de naranja y 4 de fresa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de extraer al azar un dulce de cada sabor?. S olución:
Para la solución de este ejercicio, utilizamos la fórmula de combinaciones con repetición, que es la siguiente:
kn 1 !1! Aplicando, obtenemos lo siguiente:
192
Por lo tanto: Respuesta =192 10. Cinco alumnos forman cola en la ventanilla de la secretaría de la facultad. a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola? b) ¿De cuántas maneras si el más alto debe estar al comienzo? c) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo deben estar en extremos opuestos?. d) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo no deben estar juntos? S olución:
a) En este caso, si queremos obtener la cantidad máxima sería
5!120 b) Aquí tenemos un punto fijo entonces sería: 1! 5 1!4!24 c) Aquí tenemos dos puntos fijos:
2!23!212
d) Sería de la sgte. forma:
! 1!25!4!272
Respuestas a) 5! =120 b) 4! =24 c)3!2=12 d) 5! - 4!2=72
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11. Cierta marca de sierra eléctrica es calificada por especialistas, en cuanto a rendimiento, como: "Muy buena", (B l); o, "buena", (B2); o "regular", (B3), y en cuanto al precio, como "cara", (Cl), o "barata"; (C2). ¿De cuántas maneras es calificada la sierra eléctrica por los especialistas? S olución:
En el rendimiento tenemos: B1, B2 Y B3 que son 3 clasificaciones. En el precio tenemos C1 Y C2 que son 2 clasificaciones. Entonces:
3×26
Respuesta = 6
12. Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15, de los cuales 10 son del modelo A y 5 del modelo B. ¿De cuántas maneras puede vender 4 de los automóviles, a) Si los 4 son del mismo modelo?. b) Si dos son del modelo A?. c) Si al menos uno es del modelo B?. S olución:
a) En este caso es una combinación simple, por lo tanto sería:
b) Similar al anterior:
c) Otra combinación simple:
=k −k Respuestas a) b) c) = k −k
∑
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13 .- Suponga que una urna contiene 10 fichas de color blando . 10 de color r ojo .10 de color amarillo y 10 de color negro las fichas del mismo color van numeradas de 1 a 10 .Un experimento consiste en extraer al azar una de las fichas dela urna .Dado los eventos A : “color blanco “ B “ número menor que “ 4 y C “ numero de par “ determinar el número muéstrales de los siguientes eventos compuestos
∩ , ∩ , ∩ ∩ , ∩ ,∩ ∩∩, ∩ ∩ , ∩ ∩ , ∩ ∩ , ∪ ∪
14.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 6 libros de matemática , 2 de historia y 4 de lógica si los libros de la misma materia deben estar juntos y si
a) no se distingue entre los libros dela misma materia? S olución:
12! ,. 6!×2!×4! 13.860 ,.
a) se distingue entre los libros de la misma materia? S olución:
6!×2!×43!207.360
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15.- De 8 hombres y 7 mujeres ¿cuantos comités de 10 miembros se puede formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres? S olución:
8! 7! 8! 7! 8! 7! 5!8 5¡ 5!7 5¡ 4!8 4¡ 6!8 6¡ 3!8 3¡ 7!8 7¡ . 1772
16.- ¿cuantas parejas se puede elegir de 4 hombres y 6 mujeres si cierto varón rehúsa tener como pareja a dos delas mujeres? Datos
4 hombres 6 mujeres
S olución:
! ! ¡ 4! ( 3! )( 6! ) 1!4 1¡ 1!3 1¡ 1!6 1¡ 22
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17.- seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y dos mujeres determine el número de casos. S olución:
6¡
! ! ¡ 6¡ (4!66! 4¡ 2!66! 2¡) 6¡ = 162.00
18 .- ¿Cuántas sumas diferentes de dinero se pueden formar con cuatro monedas cada una de distintos valor? S olución:
5101051 31
19.- Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de visiprecidentes de ventas de manu facturas y de finanzas, Hallar en números de formas distintas de efectuar los ascensos?
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20. ¿De cuantas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos si el mayor debe recibir 4 y los menores 2 cada uno? S olución:
70 ×6 ×1420 21. Dados los conjuntos A de 4 elementos y B de 8 elementos, ¿Cuántos conjuntos de 6 elementos se pueden formar si cada conjunto debe contener:
a) Solo un elemento de A? S olución:
4× 56 224 b) Cuando menos un elemento de A? S olución:
224 ×420×224×28 896 22. Calcule el número de formas diferentes en que se pueden hacer: i) Una selección, ii) Un ordenamiento con 4 letras de las palabras: S olución:
a) Cloroformo o=4 r=2 i) Selección combinación 3 iguales y 1 una diferente 2 iguales y 2 iguales 2 iguales y 2 diferentes 4 diferentes
6 2 60 15 6+2+60+15 = 83
ii)
Un ordenamiento:
! 10! 75600 !! 4!2! ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
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b) Eliminación i=3 n=2 i) Selección combinación 3 iguales y 1 una diferente 2 iguales y 2 iguales 2 iguales y 2 diferentes 4 diferentes
5 2 63 70 5+2+63+70=140
ii)
Un ordenamiento:
! 4! 2 !! 3!2! 23. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen. ¿De cuántas manera diferentes puede escoger las cinco: S olución:
a) Sin ninguna restricciones?
21 b) Si las dos primeras son obligatorias?
10 c) Si debe contestar 3 de las 4 primeras?
4 × 3 12 24. Un estudiante planea matricularse en los cursos A, B, y C. Los horarios de A son a las 8, 11 y 15 horas. Los de B son a las 8, 10 y 15 horas y los de C a las10, 12 y 15 horas. Si las clases son de una hora, ¿cuántos horarios distintos puede preparar en los 3 cursos de manera que no haya cruces?
S olución:
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1 0
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HORARIO
B
C
A
10-15
10-12
8-11-15
C
B
10-12-15
8-10-15
A
C
B
8-11-15
10-12-15
8-10-15
C
A
10-12-15
8-11-15
A
B
C
8-11-15
8-10-15
10-12-15
B
C
8-10-15
10-12-15
Solución ABC:2 ACB:3BAC:4 BCA:4CAB:1 Total 14
25. De cuantas formas pueden instalarse en línea 5 focos blancos y 6 focos rojossi deben colocarse S olución:
a) Alternativamente
b) Los blancos juntos
× 5!×6!86400 × 7!×5!6048800
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1 1
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26. Un microbús tiene 29 asientos para pasajeros, distribuidos en 6 filas de 4 asientos, de cada uno, con un pasillo en el medio y al final 5 asientos juntos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse 25 pasajeros de modo tal, que los 14 asientos que dan a las ventanillas y los asientos del fondo queden ocupados? S olución:
× 27. De un conjunto de n objetos numerados de 1 al n ( ala ves ¿en cuántos casos ?
≥ 4 ) . se seleccionan k objetos
S olución:
a) Todos son menores de que m (
≥4
1 ≤ ≤ ? )
puede ser 4
ckm− !! ¡ c− 3! 44! 3¡ ckm− 4
1≤≤ 1≤≤4 ⟹1≤2≤4 2
b) Solo 3 son mayores a m (
≥ 3)
− cm+n = ckm+n !! ¡ ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
1 2
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24! c− 1!4 1¡ c− 3.666
Respuestas
a ckm−
ckm+n
28. Se tiene 40 fichas. Donde hay 4 de color rojo. Si se reparan estas fichas entre 4 niños, de manera que a cada uno toque 10 fichas ¿en cuántos casos a cada uno toca una ficha roja? Caso 1: son 40 fichas menos 4 de que son color rojo 4 de obtienes 36
S olución:
RESPUESTA
1 101 9
∆ 4!×36! 9¡
∆ 4!×36! 9¡ ∆5.1486 ×10
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29. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres se divide al azar en 5 grupos de 3 personas cada una. Calcular el número de maneras en que cada grupo contenga un nombre
Datos 5 hombres 10 mujeres S olución:
(C51 C102) (C41 C82) (C31 C62) (C21 C42) (C11 C22)
30. Se tiene n objetos iguales numerados de 1 a n, n > 3 {1,..., n}
CASO 1 Seis 2-subconjuntos:
{1,}, {,3} ,{ . }
b) Si se permuta lso n objetos ¿de cuantas maneras k (k
! 36!
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c) Si se tiene 3 cajas en las cuales se distribuyen los objetos ¿de cuantas maneras diferentes se puede distribuir a fin de que solo una caja quede vacía?
1 , > 3 Caso 2 : y el numero de objetos < Caso 1 : nos dice que es
S olución:
{1,} {,1 }, 2 2! <
31 . Se distribuye K bolas numeras de 1 a K en cajas alineadas ¿de cuantas maneras K cajas vecinas contienen una sola bola cada una? Datos
K bolas 1ª k enumerados
<
S olución:
1 !"
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