Apendice: tablas diversas Constantes Fundamentales
Velocidad de la luz en el vacío c0 Permitividad del vacío 0 = 1/µ0 c20 Constante de Planck h h ¯ = h/ = h/22π e me m p mn mu = 1u L, N A k R
Carga elemental Masa del electrón en reposo Masa del protón en reposo Masa del neutrón en reposo Constante de masa atómica Constante de Avogadro Constante de Boltzmann Constante de los gases Cero en la escala Celsius Radio de Bohr Energía Hartree Constante de Rydberg
a0 = 4π0 h ¯ 2 /me e2 E h = ¯h2 /me a20 R∞ = E = E h /2hc
299 792 458 ms−1 8.854187816 10−12 F m−1 6.6260755(40) 10 −34 J s 1.05457266 (63) 10 −34 J s 1.60217733(49) 10 −19 C 9.1093897 (54) 10 −31 kg 1.6726231 (10) 10 −27 kg 1.6749286 (10) 10 −27 kg 1.6605402 (10) 10 −27 kg 6.0221367 (36) 10 23 mol−1 1.380658 (12) 10 −23 J K−1 8.314510 (70) J K−1 mol−1 273.15 K 5.29177249 (24) 10 −11 m 4.3597482 (26) 10 −18 J 1.0973731534 (13) 10 7 m−1
Prefijos SI
10−1 10−2 10−3 10−6
deci d 10−9 centi c 10−12 mili m 10−15 micro µ 10−18
nano pico femto atto
n p f a
10 102 103 106
de d eca hecto kilo mega
d h k M
109 1012 1015 1018
giga tera peta exa
Factores de conversión
1 atm = 1.01325 105 N/m2 (Pa) 1 torr = 133.322 N/m 2 = 1/76 1/7600 atm atm 5 2 1 bar = 10 N/m = 0.98 0.9869 6923 23 atm atm 5 − 1 dina = 10 N 1 cal = 4.184 J
1 eV = 1.6022 022 10−19 J 1 Å= 10−10 m = 10−8 cm 1 l = 103 cm3 = 1 dm3 1 erg = 10−7 J 1 F = 1 C2 J−1 m−1
G T P E
Factores de conversión para unidades de energía
u.a. erg. eV cm −1 1 u.a. = 1 4.3592 10−11 27.210 2.1947 10 5 1 erg. = 2.2940 1010 1 6.2420 10 11 5.0348 10 15 1 eV = 3.6752 10−2 1.6021 10−12 1 8.0660 10 3 1 cm−1 = 4.5563 10−6 1.9862 10−16 1.2398 10 −4 1 1K= 3.1668 10−6 1.3804 10−16 8.6167 10 −5 6.9502 10 −1 1 kcal = 9.5982 1020 4.1840 1010 2.6116 10 22 2.1066 10 26 1 kcal/m kcal/mol ol = 1.5931 1.5931 10−3 6.9446 10−14 4.3348 10 −2 3.4964 10 2 1g= 2.0618 1031 8.9876 1020 5.6100 10 32 4.5251 10 36 K kcal kcal/mol g 5 21 2 − 1 u.a. = 3.1578 10 1.0419 10 6.2771 10 4.8502 10 −32 1 erg. = 7.2441 10 15 2.3901 10−11 1.4400 1013 1.1126 10 −21 1 eV = 1.1605 10 4 3.8290 10−23 2.3069 101 1.7825 10 −33 1 cm−1 = 1.4388 4.7471 10−27 2.8601 10−3 2.2099 10 −37 1K= 1 3.2993 10−27 1.9878 10−3 1.5359 10 −37 1 kcal = 3.3009 10 26 1 6.0249 1023 4.6553 10 −11 1 kcal/m kcal/mol ol = 5.0307 5.0307 10 2 1.6598 10−24 1 7.7268 10 −35 1g= 6.5107 10 36 2.1481 1010 1.2942 1034 1 Integrales
∞ − − − −∞∞ − 0
rn e
αr dr
=
n! αn+1
r 2 e
αr dr
=
−
r 4 e
αr dr
=
e
ax2
−∞∞ − −∞∞ − sen cos sen sen sen sen sen
dx
=
−
r2 α
+
2r α2
r4 α
+
4r3 α2
+
2 α3
+
− e
12r 12r2 α3
+
αr
24r 24r α4
+ C +
ax2
dx
= 0
x2n e
ax2
dx
=
(2n (2n)!π )!π 1/2 2 n!an+1/2
2 axdx
=
x2 4
θ dθ
=
− 13 cos3θ +
C
(k θ) dθ
=
sen [(k [(k −k )θ]
[(k [(k+k )θ] − sen2(k + 2(k+k )
2 (kθ) kθ ) dθ
=
θ 2
3 θ dθ
=
2θ
(kθ) kθ )
− e
αr
+ C
π1/2 a1/2
x2n+1 e
x
24 α5
2n+1
− 4xa sen(2ax (2ax)) − 8a1 cos(2ax cos(2ax)) + 2
2(k 2(k k )
−
− 41k sen(2kθ (2kθ)) + C − 13 (cos θ)( θ )(sen2 θ + 2) +
C
C
C, si k2 = k 2
Factores de conversión para unidades de energía
u.a. erg. eV cm −1 1 u.a. = 1 4.3592 10−11 27.210 2.1947 10 5 1 erg. = 2.2940 1010 1 6.2420 10 11 5.0348 10 15 1 eV = 3.6752 10−2 1.6021 10−12 1 8.0660 10 3 1 cm−1 = 4.5563 10−6 1.9862 10−16 1.2398 10 −4 1 1K= 3.1668 10−6 1.3804 10−16 8.6167 10 −5 6.9502 10 −1 1 kcal = 9.5982 1020 4.1840 1010 2.6116 10 22 2.1066 10 26 1 kcal/m kcal/mol ol = 1.5931 1.5931 10−3 6.9446 10−14 4.3348 10 −2 3.4964 10 2 1g= 2.0618 1031 8.9876 1020 5.6100 10 32 4.5251 10 36 K kcal kcal/mol g 5 21 2 − 1 u.a. = 3.1578 10 1.0419 10 6.2771 10 4.8502 10 −32 1 erg. = 7.2441 10 15 2.3901 10−11 1.4400 1013 1.1126 10 −21 1 eV = 1.1605 10 4 3.8290 10−23 2.3069 101 1.7825 10 −33 1 cm−1 = 1.4388 4.7471 10−27 2.8601 10−3 2.2099 10 −37 1K= 1 3.2993 10−27 1.9878 10−3 1.5359 10 −37 1 kcal = 3.3009 10 26 1 6.0249 1023 4.6553 10 −11 1 kcal/m kcal/mol ol = 5.0307 5.0307 10 2 1.6598 10−24 1 7.7268 10 −35 1g= 6.5107 10 36 2.1481 1010 1.2942 1034 1 Integrales
∞ − − − −∞∞ − 0
rn e
αr dr
=
n! αn+1
r 2 e
αr dr
=
−
r 4 e
αr dr
=
e
ax2
−∞∞ − −∞∞ − sen cos sen sen sen sen sen
dx
=
−
r2 α
+
2r α2
r4 α
+
4r3 α2
+
2 α3
+
− e
12r 12r2 α3
+
αr
24r 24r α4
+ C +
ax2
dx
= 0
x2n e
ax2
dx
=
(2n (2n)!π )!π 1/2 2 n!an+1/2
2 axdx
=
x2 4
θ dθ
=
− 13 cos3θ +
C
(k θ) dθ
=
sen [(k [(k −k )θ]
[(k [(k+k )θ] − sen2(k + 2(k+k )
2 (kθ) kθ ) dθ
=
θ 2
3 θ dθ
=
2θ
(kθ) kθ )
− e
αr
+ C
π1/2 a1/2
x2n+1 e
x
24 α5
2n+1
− 4xa sen(2ax (2ax)) − 8a1 cos(2ax cos(2ax)) + 2
2(k 2(k k )
−
− 41k sen(2kθ (2kθ)) + C − 13 (cos θ)( θ )(sen2 θ + 2) +
C
C
C, si k2 = k 2
Recordatorio Formulas elementales
ei ϕ
= cos ϕ cos ϕ + i sen ϕ cos ϕ cos ϕ − i sen ϕ
e−i ϕ =
Operadores
ˆz (ϕ) J ˆ2 (θ, ϕ) J
≡
≡ ˆz (ϕ) ≡ −ih¯ ∂ ∂ϕ ˆ2 (θ, ϕ)
≡ −h¯
−h¯ 2 ˆ∇2
=
2
1
sen
∂ sen θ ∂θ
−h¯ 2 r1 ∂r∂ 2
∂ ˆ2 θ ∂θ + sen1 2 θ J z
r2 ∂ ∂r +
1 ˆ2 r2
PROBLEMAS FISICA CUANTICA
TEMA 1
1.
Varios
1. Starting from Planck’s law demonstrate Wien’s displacement law and Stefan-Boltzmann’s law. 2. Take the classical limit of the Planck’s law: what is the formula in the limit h
→ 0?.
3. Calculate the temperature range of a hot body for which the radiating maximun is in the visible
spectrum. 4. El oído humano es sensible a ondas sonoras con frecuencias comprendidas entre 15 Hz y 20 kHz.
La velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. Calcular las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias. 5. La línea más intensa del espectro del átomo de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Calcular
el correspondiente número de onda y la energía de la transición implicada en electronvoltios por fotón, y en kJ/mol. 6. La frecuencia umbral para la emisión fotoeléctrica del cobre es 1.1 s. £Cuál será la energía máxima
(en electronvoltios) de los fotoelectrones emitidos cuando la luz de frecuencia 1.5 s incide sobre una superficie de cobre?. 7. El potencial de extracción del sodio es 2.3 eV:
a) £cuál será la máxima longitud de onda de la luz, que producirá emisión de fotoelectrones en el sodio? y b) £cuál será la energía cinética máxima de los fotoelectrones si luz de 2000 Å incide sobre una superficie de sodio?. 8. La función trabajo del K es 2.2 eV y la del Ni 5.0 eV.
(a) Calcular las frecuencias y longitudes de onda umbral para estos dos metales. (b) £Dará lugar la luz ultravioleta de longitud de onda 400 nm al efecto fotoeléctrico en el K? £Y en el Ni? (c) Calcular la máxima energía cinética de los electrones emitidos en (b). 9. Cuando se ilumina una cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda y se miden
los potenciales que detienen los fotoelectrones, se obtienen los valores que se muestran en la siguiente tabla: λ(10−7 m) 3.66
V(V)
4.05 4.36 4.92 5.46 5.79 1.48 1.15 0.93 0.62 0.36 0.24
(1)
Representando el potencial en función de la frecuencia, determinar: (a) la frecuencia umbral, (b) el potencial de extracción del metal, y (c) la constante de Planck. 10. Cuando cierto metal se irradia con luz de frecuencia 3.0 1/s, los fotoelectrones emitidos tienen una
energía cinética doce veces mayor que los fotoelectrones emitidos cuando el mismo metal se irradia con luz de frecuencia 2.0 1/s, £Cuál será la frecuencia umbral del metal?.
11. En un tubo de rayos X donde los electrones se aceleran con un potencial de 5000 V, la mínima
longitud de onda de los rayos X producidos es 248 pm. Estimad el valor de la constante de Planck. 12. Calcular la frecuencia hacia la cual convergen todas las líneas espectrales de la serie de Lyman. £Cuál
será la longitud de onda y la energía de esta radiación?. 13. Calcular la longitud de onda en Angstrom y la frecuencia en s −1 de la primera línea de la serie de
Balmer.
14. Calcular el potencial de ionización del átomo de hidrógeno cuando el electrón ocupa la órbita con
número cuántico principal igual a 5. 15. Calcular la longitud de onda de De Broglie asociada a:
(a) un electrón con 15 keV de energía cinética, (b) un protón con 15 keV de energía cinética, (c) una molécula de H 2 0 a una velocidad de 1 m/s, y (d) un objeto de 1 kg a una velocidad de 1 m/s. (d) un objeto de 1 kg a una velocidad de 0.9 c (c: la velocidad de la luz). (e) El planeta tierra con su velocidad orbital alrededor del sol. 16. Qué diferencia de potencial hay que aplicarle a un electrón para que su longitud de onda sea de 5 Å. 17. Tenemos luz de 300 nm de longitud de onda. Determina la energía y el momento lineal de lo s fotones
que la componen. 18. Determina las energías y los radios de las órbitas de una partícula en un oscilador armónico cuya
energía es de la forma E =
1 1 mv2 + mω 2 r2 . 2 2
teniendo en cuenta la condición de estabilidad de Bohr: L = n¯h
en donde n es un número entero y ¯h la constante reducida de Planck. 19. Considera el experimento de la doble rendija con electrones. Obtén la distancia entre franjas en la pantalla en función de la separación a entre las rendijas, la distancia d de las rendijas a la pantalla y la longitud de onda λ del electrón. Si colocamos una fuente luminosa entre las rendijas, ¿cuál es su
frecuencia mínima para poder distinguir por qué rendija ha pasado el electrón? ¿Cuál es la condición para que la detección de la rendija destruya la interferencia?
2.
Radiación de Cuerpo Negro
20. Expresar la densidad de energa monocromática de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda λ. Ayuda: ρT (λ)dλ = ρT (ν )dν
−
1. Dibujar las dos funciones para T y 2T 2. Hallar los puntos de máxima intensidad. >Coinciden? >Por qué? 3. Chequear la Ley de desplazamiento de Wien: λmaxT = constante
21. Demostrar que la función de Planck satisface la Ley de desplazamiento de Wien Ayuda: la ecuación trascendental e−x + x/5 1 = 0 tiene como solución x = 4,97 (no hace falta
−
solucionarla.)
22. Hallar la densidad de energía total de la radiación de cuerpo negro en función de la temperatura.
>Qué ley de la termodinámica está satisfaciendo? 3 4 Ayuda: exx−1 dx = π15
23. Demostrar que el número de modos de oscilación por unidad de volumen en una cavidad cúbica es: dn =
8π 2 ν dν c3
(2)
24. Comprobar si la distribución de Wien cumple con
1. Ley de desplazamiento de Wien 2. Ley de Stefan–Boltzmann (RT = σT 4 ) 25. Hacer una grafica de la distribución de Wien, de Planck y de Rayleigh para varias temperaturas. >En
qué rango coinciden hasta un 5 %? 26. >Cuánto vale la constante de Planck? Comparar este valor con alguna acción de nuestra vida coti-
diana (por ejemplo, levantar una hormiga 1 centímetro durante 1 segundo) 27. >A qué longitud de onda emite la radiación cósmica de fondo ? >A qué temperatura equivale? 28. Una cavidad irradiante cuyo volumen es 1 cm 3 , se encuentra en equilibrio térmico a 1000 K. >Cuán-
tos fotones, aproximadamente, hay dentro de la cavidad? (a) 1010 (b) 1050 (c) 102 (d) 10−10 (e) ninguna de las anteriores 29. Suponiendo el problema anterior, >Cuál es, aproximadamente, la energía promedio de los fotones? (a) 1 eV (b) 1010 eV (c) 10−10 eV (d) 10 J (e) ninguna de las anteriores 30. Suponiendo el problema anterior, >En qué rango del espectro se encuentra esa emisión
(a) infrarrojo (b) ultravioleta (c) rayos Gamma (d) microondas (e) ninguna de las anteriores 31. Suponer que el Sol irradia como un cuerpo negro.
Datos: Radio del Sol: Rs = 7 × 1010 cm. Distancia Sol–Tierra: r = 1,5 × 1013 cm. Energía por unidad de área y tiempo que llega a la Tierra: W = 1,4 × 106 erg/(cm2 seg). 1. Hallar la temperatura en la superficie del Sol 2. >De qué color es el Sol? 3. Suponer que las nubes reflejan el 40 % de la radiación recibida por el Sol. >Cuál es la temperatura superficial de la Tierra? (Atención: W es el flujo perpendicular a la Tierra, hay que calcular el flujo promedio que llega a la Tierra). 4. Si la Tierra recibe constantemente energía, por qué no se calienta hasta derretirse? 32. Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura T = 2000 K. Si logramos absorber energía en
una banda de 100 Å, calcular la relación de la energía absorbida cuando la banda está centrada en 5000
Å (visible) y 50000 Å (infrarojo). Calcular la misma relación para una banda de 50 Å y una longitud de onda infraroja de 25000 Å. 33. Una cavidad radiante a 6000 K tiene una abertura de 10 mm de diámetro. Encontrar la potencia irradiada a través del agujero en el rango de longitudes de onda λ = 5500 5510 Å. Respuesta: 7,5 W.
−
≈
34. Para una temperatura T i determinada, la longitud de onda de máxima radiación λmax = 6500 Å. Se eleva la temperatura hasta T f , de modo tal que la radiancia a λ = 6500 Å se duplica. Calcular la longitud
de onda de máxima radiación para esta temperatura. Ayuda: RT (λ) = 4c ρT (λ) Respuesta: λmax = 5585 Å.
35. Una esfera de Tungsteno (W) de 2.3 cm de diámetro, es calentada hasta una T i = 2000 K. A esta
temperatura, el W irradia aproximadamente un 30 % de la energía irradiada por un cuerpo negro (a T = T i ). 1. Si la esfera fuese un cuerpo negro, >a qué temperatura irradia esa cantidad de energía? (antes de hacer cuentas, a mayor temperatura, igual o menor . . . ?).
2. Si la esfera fuese un cuerpo negro, >qué diámetro debería tener para irradiar, a T = T i , la misma cantidad de energía? (antes de hacer cuentas, mayor diámetro, igual o menor . . . ?). 36. Suponiendo que E n = nhν
1. Hallar < E >=
n
−
E n e n
e
−
En kT
En kT
2. Siendo < E > la energía promedio por modo oscilatorio, hallar la distribución de Planck. 37. ( ∗∗ ) Partiendo de la hipótesis: d2 S = dU 2 dS = dU
− U (β α + U ) 1 T
1. Obtener U (T ) 2. Si U es la energía promedio por modo oscilatorio, demostrar que se obtiene la función distribución de Planck 3. >Qué significan α y β ? 4. Analizar los casos para β >> U y β << U 38. ( ∗∗ ) Derivación de la fórmula de Planck :
De la distribución de Wien: ∂ 2 S = ∂U 2
De la distribución de Rayleigh:
− βf1U
∂ 2 S = ∂U 2
− U k2
(3) (4)
Planck interpoló:
∂ 2 S = ∂U 2
− U (hf k + U ) ,
(5)
donde se pone β ≡ hk . Integrando la ecuación (5): 1 ∂S = = T ∂U
1 (recordar que − x(a+x) = − ln(x) a + De aquí podemos obtener U (f, T ):
∂ 2 S k U dU = ln(1 + ) ∂U 2 hf hf
U ln , hf
(6)
hf − ln(U )] = T 1 =⇒ ln(1 + hf )= U kT
(7)
−
ln(x+a) ). a
k [ln(U + hf ) hf
que a su vez, nos lleva a la distribución de Planck, ya que U =
y entonces ρ(f, T ) =
hf hf
e kT
− 1
(8)
,
8π 2 hf f hf . c3 e kT 1
(9)
−
39. ( ∗∗ ) Derivación de la Entropía
Integrando la ecuación (6): S =
∂S U U dU = k (1 + ) ln(1 + ) ∂U hf hf
−
U U ( )ln( ) hf hf
(10)
(recordar que ln(x) = −x + x ln(x) ). La expresión de Boltzmann para la entropía es:
S = k ln W
(11)
por lo tanto, para un ensamble de N osciladores idénticos (todos oscilan con la misma frecuencia f , tienen la misma energía U , y a temperatura T ), cuya entropía total es N S = N k ln W , resulta: U U ln W = N (1 + ) ln(1 + ) hf hf
−
U U ( )ln( ) . hf hf
(12)
40. ( ∗∗ ) Interpretación de la Entropía La interpretación de W es: >En cuántas formas distintas se pueden distribuir una energía total N U , si se tienen N osciladores? La forma de la ecuación (12) sugiere preguntarnos: >En cuántas formas se pueden distribuir N objetos si se tienen M cajas (todos idénticos)?. La respuesta es: W =
(N + M 1)! . M !(N 1)!
− −
Utilizando la fórmula de Stirling ln N ! ≈ N ln N − N , nos queda:
(13)
M M ln W = N (1 + ) ln(1 + ) N N
−
M M ( ) ln( ) . N N
Las ecuaciones (12) con (14) son equivalentes si se cumple que U M = hf N
o lo que es equivalente :
NU = Mhf.
(14)
(15)
Esto significa: La energía total de N osciladores idénticos a frecuencia f es NU , que es un número entero de cuantos hf .
3.
Efecto Fotoeléctrico y Efecto Compton
41. El fotón
1. >Cuánto vale la energía de un fotón de luz roja? ( λ = 650 nm)?. 2. >Cuánto vale su momento? 3. >Cuánto vale la longitud de onda de un fotón de 2.4 eV? 4. La intensidad mínima de luz que puede percibir el ojo humano es 10−10 W/m2 . Cuántos fotones por segundo entran en el ojo a esa intensidad? 42. Efecto Fotoeléctrico
1. Un haz de un láser, con una intensidad de 120 W/m 2 incide sobre una superficie de Sodio. Suponiendo que un electrón en esa superficie está confinado en un área de radio igual al radio del átomo de Sodio, >Cuánto tardará en emitirse el primer fotoelectrón? Datos: Función de trabajo de Na Φ = 2,3 eV, rN a = 1 Å. 1 eV = 1,6 × 10−19 J. 2. La función de trabajo del Tungsteno es Φ = 4,52 eV. a) >Cuál es la longitud de onda de corte? >En qué rango del espectro electromagnético está? b) Cuál es la máxima energía cinética de los fotoelectrones si λ = 198 nm? c) >Cuál es el potencial de frenado en ese caso?
3. El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con luz de longitud de onda λ = 4910 Å es 0,71V . Cuando se cambia la longitud de onda incidente, se encuentra que el potencial de frenado es 1,43V . Calcular la nueva longitud de onda y la función de trabajo del metal. Φ = 1,82 eV. Respuesta: λ = 3,82 × 10−7 m; 4. >Qué tan efectivo es un cuerpo negro a una temperatura de 500 K, para producir fotoelectrones en un metal cuya función de trabajo Φ = 0,214 eV ? 43. Un fotón de 60 keV incide sobre un electrón libre. Encontrar la máxima energía que puede tener el
fotón dispersado, y su longitud de onda. 44. Radiación de 1 Å hace dispersión Compton con una placa de Carbón. La radiación dispersada se
observa en una dirección perpendicular a la incidente.
1. >Cuánto vale la longitud de onda dispersada? 2. >Cuánto vale la energía cinética del electrón? 3. >A qué ángulo se dispersa el electrón? 45. Rayos X de 0.24 nm son dispersados (Compton) y se observa el rayo dispersado a 60 relativos al
rayo incidente. Encontrar: 1. la longitud de onda de los rayos X dispersados 2. la energía de los fotones dispersados 3. la energía cinética de los electrones dispersados 4. el ángulo de dispersión de los electrones. 46. Rayos X con longitud de onda λ y energía E son dispersados elásticamente por electrones libres (de masa m e ) que están inicialmente en reposo. Se observan fotones dispersados con una longitud de onda λ (y energía E ). La energía cinética máxima que pueden tener los electrónes K max es:
(a)
2E me c2 +2E
(b)
me c2 +2E 2E 2
(c) λ−hcλC
hc (d) λ− λ
(e) ninguna de las anteriores
47. Calcular el ángulo con que se dispersa un fotón de 20 MeV por un electrón libre, si pierde un 10 %
de su energía inicial Respuesta: 44.29 48. >Cuáles fueron los parámetros del experimento original de Compton?
4.
Atomo de Bohr
49. Cálculos Básicos
1. Demostrar que el modelo de Bohr cumple con el teorema virial: E = K + U = U 2 . 2. Calcular la longitud de onda H α , H β y H γ , (serie Balmer, nlow = 2) para el H, Li 2+ y U91+ . 3. El tiempo de vida del primer estado excitado del H es t = 10−8 sec. >Cuántas vueltas da un electrón en ese estado, según el modelo de Bohr? 4. casos extremos: a) Supongamos al sistema Tierra–Sol como un sistema cuántico. Denominamos aT , nT y E T n ,
al radio, número orbital y energía de la órbita n, análogo al a0 , n y E n atómico. Señalar las respuestas correctas: (a) E T 1 >> E 1 (b) E T1 << E 1
b)
(c) E Tn ∝
1 n2T
(d) E Tn ∝ n2T (e) ninguna de las anteriores
En el caso de la órbita terrestre: c) Supongamos que el átomo de Hidrógeno se mantiene unido al núcleo sólo por la fuerza gravitatoria. En ese caso, el radio de la órbita n = 1 es:
(a) nT >> 1050
(b) nT << 1 (c) nT ∼ 1 (d) nT < 0 (e) ninguna de las anteriores
(a) r1 > 1020 m (b) r1 < 10 −20 m (c) r1 ∼ 1 m (e) ninguna de las anteriores 50. Espectro del Hidrógeno e Hidrogénicos
1. Hacer un diagrama del espectro de los 4 primeros niveles de energía del He + . 2. Calcular la energía de ionización del Hidrógeno utilizando el siguiente dato: la longitud de onda mas corta en la serie de Balmer es 3650 Å. 3. La longitud de onda mas corta en la serie de Paschen es 8201 Å. Encontrar las 3 longitudes de onda mas largas de esta serie. 4. El cociente entre las longitudes de onda mas larga en la serie de Lyman y Balmer es: (a)
5 27
(b)
1 3
(c)
4 9
(d)
3 2
(e) ninguna de las anteriores
5. Los números atómicos del Carbono y del Hierro son Z C = 6 y Z F e = 26. Sea E C (27 → 1) la energía de transición entre los niveles 27 y 1 en el C, y E F e (2 → 1) la energía entre los niveles 2 y 1 en el Fe. C (27→1) Definimos R ≡ E E F e (2→1) . Elegir la respuesta correcta: 6 2 (a) R < ( 27 )
6 2 (b) R > ( 27 (c) R = 1 (d) R = )
62 (272 1) 272 (42 1)
− −
(e) ninguna de las anteriores
51. ( ∗∗ ) Líneas de Pickering–Fowler :
Alfred Fowler, un espectroscopista alemán, encontró líneas espectrales, en una mezcla de H y He (algunas habían sido encontradas también en espectros estelares por Pickering): Encontrar informacion. ( El problema era que correspondían al espectro de H, pero para orbitales semi–enteros. La explicación que dió Bohr, es que su modelo también se podía usar, reemplazando en la fórmula para la constante de Rydberg e 2 por 2e2 , de manera de corregir la doble carga del núcleo. De este modo Bohr explicó que las nuevas líneas espectrales provenían del He. Fowler, que era un experimentalista muy preciso, podía medir las líneas espectrales con cinco figuras significativas. Por lo tanto, a pesar de las incertidumbres en los valores de e, m y h, la relación de la “constante de Rydberg. entre He y H se podía hallar con gran certeza. El valor encontrado por Fowler no era 4, sino 4.0016. >Si usted fuese Bohr, qué le respondería a Fowler?) 52. Correcciones al modelo de Bohr:
1. Determinar el cociente entre la masa del Deuterio y la del Hidrógeno, dadas las líneas espectrales me H α (6561.01 Å y 6562.8 Å, respectivamente). Datos: m = 5,446170232 × 10−4 . p 2. Calcular la velocidad que tiene un electrón en la órbita n = 1 y en la n = 1000. Repetir el cálculo para U91+ . 53. Principio de Correspondencia :
1. Según la física clásica, una partícula cargada que gira, emite una radiación cuya frecuencia es igual a su frecuencia angular. El principio de correspondencia de Bohr enuncia que los resultados de la física cuántica deben coincidir con los resultados clásicos para grandes dimensiones (o sea, cuando los resultados clásicos coinciden con los experimentales). Utilizar el modelo de Bohr para calcular la frecuencia de emisión en H, cuando un electrón pasa de una órbita n, a una (n − 1). a)
Graficar las diferencias entre los resultados cuánticos y clásicos, en función de n. >Se cumple el principio de correspondencia? b) Repetir el gráfico, pero ahora en función del radio atómico. c) Demostrar que ∆E n ≈ α2 (mc2 /n3 ) (α es la constante de estructura fina). d ) Suponer que sólo se pueden diferenciar niveles que estén separados por un ∆E > h/∆t , y que los tiempos de vida de los estados excitados son del orden de 10 −8 sec. >Cuál es el máximo n desde el cual se puede detectar la transición n → (n − 1)? >Cuál es el radio de éste átomo? 54. Regla de cuantificación de Wilson–Sommerfeld :
1. Verificar que el modelo de Bohr es consistente con esta regla: L = n¯h. 2. Verificar que usando esta regla para una partícula que oscila armónicamente con frecuencia ν , se obtiene la expresión de cuantificación de Planck E = nν . 3. (∗∗) Usando la regla de cuantificación de Wilson–Sommerfeld, calcular los niveles de energía de una pelota rebotando en un campo gravitatorio. Ayuda: Solucionar el problema para un potencial V (x):
( V a0 )x V 0
0 < x < a x>a
determinando las energías posibles para los casos E n < V 0 . El resultado deberá ser una función E n (n, V 0 /a), o sea, sólo depende de la pendiente del potencial, y no de los valores separados de V 0 y a .
5.
Ondas de Materia y Principio de Incertidumbre
55. Experimento de Davisson–Germer
La separación entre los planos de un cristal de Ni es de d = 2,15 Å. Se encontró un máximo en la dispersión de electrones a 50 respecto al plano incidente. 1. >Cuál es la longitud de onda correspondiente a los electrones? 2. Si los electrones estaban acelerados con una diferencia de potencial de 54 eV, >cuál es la longitud de onda de De Broglie correspondiente? 3. >Qué hubiese pasado si el voltaje aplicado era de 30 V? 56. Ordenar de menor a mayor las siguientes longitudes de onda de De Broglie:
1. un electrón acelerado con 1 V.
(a) a,b,c (b) a,c,b (c) b,c,a (d) b,a,c (e) ninguna de las anteriores 2. un sandwich de milanesa viajando a 2c 3. un electrón acelerado con 100 MV. 57. Límite Clásico
El límite clásico de la Teoría de la Relatividad se obtiene haciendo c → clásico de la teoría cuántica? En este caso:
∞. >Cómo se obtiene el límite
1. >Cuál sería el tamaño de un cuanto energético? 2. >Cuál sería la longitud de onda de De Broglie para un electrón? 3. >Cómo sería el principio de incertidumbre ? 58. Si se comprime un gas confinado en un recipiente, aumenta la temperatura y por lo tanto, las molé-
culas se mueven más rápido. >Esto está relacionado con el principio de incertidumbre? 59. >Qué voltaje necesita un microscopio electrónico para medir:
1. un virus de 12 nm de diámetro. 2. un átomo de 1.2 Å de diámetro. 3. un protón de 1.2 fm de diámetro. 60. Supongamos que queremos estudiar un núcleo de 14 fm de diámetro usando difracción de partículas.
>Qué energía cinética necesitamos si la partícula difractada es: 1. un electrón. 2. un protón. 3. una partícula alfa. 61. Un electrón está confinado en un átomo de 1 Å de diámetro.
1. >cuál es la incertidumbre en el momento del electrón? 2. >a qué energía corresponde? 3. >cuál es la mínima energía que podría tener si el diámetro fuera 5 veces mayor? 4. repetir el problema para un núcleo de 10 −14 m de diámetro.
TEMA 2. Metodos Matematicos.
6.
Matematicas Elementales
62. Matematicas elementales: ¿Cuánto vale el módulo de: (a) e−imϕ , (e) y eiax ?
−2, (b) 3 − 2i, (c) cos ϕ + i sen ϕ, (d) √ 63. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de: (a) (2 − i)3 , (b) e , (c) ( 2 + 2i) e− . πi
πi
2
2
64. Demuestra que (f g)∗ = f ∗ g ∗ donde f y g son cantidades complejas. 65. Comprueba que: (a) cos ϕ =
ei ϕ +e 2
iϕ
−
66. Considera el conjunto de funciones Φm (ϕ) =
ei ϕ e i ϕ , 2i 1 e i m ϕ , con m = 2π
, (b) sen ϕ =
−
−
√
0, 1, 2, . . ., y 0
± ±
≤ ϕ ≤ 2π.
si m =0 si m = 0 (b) (importante) Comprueba que ese conjunto de funciones es ortonormal, es decir: = 0 si m = m (todas la parejas de funciones son ortogonales) 2π ∗ 0 Φm (ϕ)Φm (ϕ)dϕ = = 1 si m = m (todas las funciones están normalizadas) 2π
(a) Comprueba que 0 Φm (ϕ)dϕ =
=0 = 2π
√
Repaso temas varios
67. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Tipos mas importantes. Metodos de
solucion mas importantes. 68. Transformadas de Fourier. Definicion y lista de propiedades mas importantes. 69. Funcion delta de dirac δ (x). Definicion y lista de propiedades mas importantes. 70. Matrices. Autovalores y autovectores. Definicion y lista de propiedades mas importantes. 71. Commutadores de matrices. Definicion y lista de propiedades mas importantes. Repaso de ondas
72. Dada la ecuación de onda: ∂ 2 E 1 ∂ 2 E = , ∂x 2 c2 ∂t 2
1. Encontrar una solución E (x, t) 2. Dado un x determinado, dibujar la solución en función de t . Si se obtiene una función periódica, determinar el período. 3. Dado un t determinado, dibujar la solución en función de x . Si se obtiene una función periódica, determinar la longitud de onda. 4. Dibujar la solución sobre un plano (x,t). >Calcular la velocidad con que avanza la onda. 73. Se construye una función sumando dos ondas armónicas Ψ(x, t) = Ψ1 (x, t) + Ψ 2 (x, t),
donde Ψ1 (x, t) = Aei(k1 x−ω1t) y Ψ2 (x, t) = Ae i(k2x−ω2 t) .
1. Encontrar la nueva función, en forma de una onda armónica, multiplicada por una amplitud variable. 2. Suponer que k1 ≈ k2 y ω1 ≈ ω2 . Simplificar aún mas la expresión obtenida. 3. Dibujar Ψ(x, t) en las distintas formas vistas en el ejercicio anterior. 4. Determinar a qué velocidad se desplaza la onda obtenida. 74. Construir un paquete de ondas con tres ondas armónicas. Aumentar sucesivamente el número de
ondas, y explorar los resultados (usar ordenador). Conceptos Básicos de Probabilidad:
75. En una sala hay 14 personas cuyas edades son las siguientes:
1 persona tiene 14 años 1 persona tiene 15 años 3 personas tienen 16 años 2 personas tienen 22 años 2 personas tienen 24 años 5 personas tienen 25 años 1. Dibujar un histograma de los datos 2. >Cuál es la probabilidad de que una persona tenga 15 años? 3. >Cuál es la probabilidad de obtener 14 o 15 años? 4. >Cuál es la edad mas probable? 5. >Cuál es el promedio de edad? 6. >Cuál es el promedio del cuadrado de las edades? 7. >Cuál es la standard deviation de esta distribución? 76. Considerar las primeras 25 cifras significativas de π .
1. >Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de los 10 dígitos? 2. >Cuál es el dígito mas probable? 3. >Cuál es el promedio? 4. >Cuál es la standard deviation de esta distribución? 77. La aguja de un velocímetro roto está libre de dar cualquier valor, indicando cualquier ángulo entre 0 y π
1. Calcular la densidad de probabilidad ρ(θ) 2. Graficar ρ(θ) en función de θ entre −2π y
3π 2
3. Calcular < θ >, < θ2 > y σ . 4. Calcular < sin(θ) > , < cos(θ) > y < cos 2(θ) > .
78. Considerar el problema anterior, pero ahora interesados en la proyección que hace la aguja con el eje x.
1. Calcular la densidad de probabilidad ρ(x) 2. Graficar ρ(x) en función de x entre −2r y 2r (r es el largo de la aguja). 3. Calcular < x >, < x2 > y σ . 79. Se tira una aguja de largo l aleatoriamente en una hoja con renglones separados por una distancia l .
>Cuál es la probabilidad que la aguja cruce una línea? 2
80. Considerar una distribución Gaussiana: ρ(x) = Ae −λ(x−a) .
1. Graficar ρ(x) en función de x 2. Encontrar A 3. Calcular < x >, < x2 > y σ . 81. Valores Propios:
Determinar cuáles de los siguientes funciones son funciones propias del operador pˆx (en la representación ˆ (partícula libre). x) y cuáles son autofunciones del operador H 1. ψ(x) = Asin(kx) 2. ψ(x) = Aeikx + Be −ikx 2
3. ψ(x) = Aeax 4. ψ(x) = Aeax
Operadores Hermíticos :
82. Señalar cuáles de los siguientes operadores son Hermíticos:
1. xˆ d 2. pˆx = −i¯h dx
ˆ = − ¯h2 d22 3. T 2m dx ˆ = S ˆ + J ˆ 4. W
ˆ y J ˆ son Hermíticos) (S
ˆ = S ˆ + iJ ˆ 5. W
83. Demostrar que los valores propios de un operador Hermítico son reales. 84. Demostrar que las funciones propias de un operador Hermítico (no degenerado) son ortogonales. ˆ y S ˆ. 85. Supongamos que u j es un grupo completo de autofunciones de dos operadores lineales W ˆ , ˆ Demostrar que [W S ] = 0
{ }
86. Verificar las siguientes propiedades
1. [ˆr, sˆ] = −[ˆs, rˆ]
ˆ t] = [ˆ 2. [ˆr, s + r, sˆ] + [ˆ r, tˆ] st] = [ˆ r, sˆ]t + s[ˆr, tˆ] 3. [ˆr, ˆ ˆ tˆ] = [ˆ r, tˆ]s + r[ˆs, tˆ] 4. [rs, 2 d ˆ 87. Evaluar los siguientes operadores ( p ˆx = i ˆ x), donde V es una funcion arbitraria. ) dx , H = pˆx + V (ˆ
ˆd ] 1. [ˆx, dx d ˆ2 2. [ ˆ dx , x ]
3. [ˆx, pˆx ] 4. [ˆz, pˆx] ˆ x] 5. [H, ˆ ˆ p] 6. [H, ˆ Transformación de Fourier:
88. Calcular la transformada de Fourier de una función Lorentziana: f (x) =
α 1 (α > 0). π α2 + x2
89. La transformada de Fourier de una función Gaussiana: f (x) =
√
1
2πσ 2
e
x2
−
2σ2
.
es F (k) = e −
k2 σ 2 2
Calcular el producto σx σk 90. ¿Qu condicin han de verificar dos operadores hermticos para que su producto tambin sea hermtico? Prueba que si A y B son hermticos, tambin lo es (A + B)n . Prueba que si A es hermtico, A2 es positivo.
91. La exponencial de un operador se define a travs de la relacin e
iH
=
∞
(iH )n . n! n=0
Demuestra que si H es hermtico, e iH es el hermtico conjugado de e −iH . Demuestra que si H es hermtico, e iH es unitario. Recuerda que un operador U es unitario si verifica U U + = U + U = 1. (Ayuda: utiliza la definicin de exponencial dada anteriormente, realiza el producto U U + y calcula cada trmino de la serie resultante.) 92. Demuestra que la matriz de transformacin S correspondiente a un cambio de base es unitaria, es
decir, verifica S † S = SS † = I
93. Dados dos operadores hermticos A y B , encuentra la relacin que existe entre las funciones propias del operador A en el espacio formado por las funciones propias del operador B y las funciones propias del operador B en el espacio formado por las funciones propias del operador A. 94. Aplica el resultado del problema anterior a los operadores : x, i∂ x .
−
95. Demuestra lo siguiente: (a) Si A y B son hermticos, tambin es hermtico el operador i[A, B]. (b) [AB,C ] = A[B, C ] + [A, C ]B . (c) [A, [B, C ]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. 96. Tenemos un espacio tridimensional y una base ortonormal
{|1, |2, |3}. Sea el vector:
|ψ = √ 12 |1 + 2i |2 − 12 |3. ¿Est normalizado este vector? Calcula la matriz del operador proyeccin en dicho vector y verifica que es hermtica. 97. En un espacio vectorial bidimensional, considera el operador cuya matriz, en una base ortonormal 1 , 2 , viene dada por 0 i σy = . i 0
{| | }
−
(a) ¿Es σy hermtico? (b) Calcula sus autovalores y autovectores. (c) Determina las matrices que representan a los operadores de proyeccin en cada uno de los autovectores. (d) Demuestra que los autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalidad y de cierre. 98. Repite el ejercicio anterior para la matriz M =
√
2 i 2 i 2 3
− √
.
99. Repite el ejercicio anterior para la matriz Ly =
1 2i
√ 2 0 √ 2 0 −√ 2 0
√ − 0
2
0
definida en un espacio tridimensional y representada en una base ortonormal {|1, |2, |3}. 100. La traza de un operador se define como
Tr A =
un A un
n
| |
en donde los vectores |un forman una base. Prueba que esta definicin: a) es independiente de la base elegida. b) Tr AB = Tr BA . Tenemos dos estados |u y |v cualesquiera. Demuestra que se verifica Tr (|uv |) = v |u.
(Para ello, puedes elegir una base asociada a un observable y encontrar las expresiones para la anterior traza y producto escalar. Ambos resultados son independientes de la base elegida.) 101. Sea K un operador definido por K = φ ψ , en donde φ y ψ son dos vectores del espacio de
| |
| |
estados. (a) ¿Bajo qu condiciones es K hermtico? (b) Calcula K 2 . ¿Bajo qu condiciones es K un proyector? (c) Demuestra que K puede ser escrito de la forma K = λP 1 P 2 donde λ es una constante y P 1 y P 2 operadores de proyeccin. 102. Sea un espacio vectorial tridimensional en el que definimos una base ortonormal esta base los operadores H y B estn definidos por H = ¯hω0
1 0 0
0 1 0
−
0 0 1
−
B = b
1 0 0 0 0 1 0 1 0
{|1, |2, |3}. En
siendo ω0 y b constantes reales positivas. (a) ¿Son H y B hermticos? (b) Demuestra que ambos operadores conmutan. Encuentra una base de autovectores comunes a H y B . (c) Halla las matrices de H y B en dicha base evaluando directamente los elementos de matriz y a travs de la matriz S de cambio de base. (d) ¿Cules de los siguientes conjuntos de operadores forman un conjunto completo de observables: {H }, {B}, {H, B}, {H 2, B}?
TEMA 3. Postulados. Ec. Schrodinger. 103. Indica si las siguientes funciones son aceptables como funciones de onda en los intervalos que se
especifican: (a) (c) (e)
e−x sen x tan x
0 x 4π x 4π x
≤ ≤∞ − ≤ ≤ 4π − ≤ ≤ 4π
(b) (d) (f)
e−|x|
−∞ ≤ x ≤ ∞ −1 ≤ x ≤ 1 0≤x≤∞
arc sen x
ex
104. Demostrar que las funciones A sin( nπ a x) forman una base completa entre 0 y a
Dibujar la función y(x) =
30 (a a5
− x)x expandiendola en sólo un término de la base, en 2 y en 4.
105. Un paquete de ondas est definido por
ψ(x) =
en donde g(k) viene dado por g(k) =
Encuentra: (a) La forma de la funcin ψ(x). (b) El valor de C para el que se verifica
∞ −∞
g(k)eikx dk
0 k< G C k < G 0 k>G
∞ |
||
−
ψ(x) 2 dx = 1.
|
−∞
(c) Un criterio intuitivo de anchura de ψ(x) y de g(k). Calcula el producto ∆x∆k de dichas anchuras y verifica si depende o no de G. 106. Repite el problema anterior para la funcin: g(k) =
C . k2 + G2
107. Tenemos un paquete de ondas gaussiano ψ(x) =
∞
2
−∞
e−(k−k0 )
/2σ 2 i(kx ωt)
−
e
dk
en donde σ es la anchura del paquete en k. Encuentra la evolucin temporal del valor medio y la desviacin estndar de dicho paquete suponiendo que ω est dada por ω(k) = ω(k0 ) + vg (k
− k0) + 12 ag (k − k0)2
108. Tenemos la funcin de onda ψ(x) =
α π
1/4
2
e−αx
/2
Demuestra que est normalizada. Calcula ∆x
≡ x2 − x2.
.
Obtn la funcin de onda correspondiente en el espacio de momentos y calcula a partir de ella ∆ p
Determina el producto ∆x∆ p.
≡ − p2
p 2 .
109. Considera las funciones φ(θ) de la variable angular θ restringida al intervalo π < θ < π . Si las funciones de onda satisfacen la condicin φ(π) = φ( π), prueba que el operador momento angular
−
−
definido como L =
¯h d i dθ
es hermtico. 110. Calcula el conmutador entre el operador posicin x y el operador momento lineal p = 111. Obtn el conmutador [X, P 2 ] a partir del conmutador entre los operadores X y P :
−i¯h∂/∂x.
[X, P ] = i¯h.
112. Prueba que el operador paridad, definido como P ψ(x) = ψ( x),
−
es hermtico y que cualquier funcin propia suya asociada al autovalor 1 es ortogonal a cualquier funcin propia asociada al autovalor −1. 113. Funciones de onda. Postulados.
1. Si la función de onda se puede escribir como Ψ = i ai ψi , >significa que tenemos un conglomerado de sistemas en el cual una parte está en el estado ψ1 , otra en ψ2 , etc.?
2. Si la función de onda se puede escribir como Ψ = estado ψi con probabilidad ai ?
i ai ψi ,
>significa que el sistema está en el
ˆ i = E i ψi . >Eso significa que los ψ i son los únicos estados 3. Sean infinitos estados ψi tales que Hψ posibles del sistema?
4. >Un vector estado cuántico, describe un conjunto de sistemas clásicos? 5. >Un vector estado cuántico, describe un sistema único promediado sobre un tiempo determinado? ˆ i = q i ψi . >Cómo se expresa el valor medio de Q ˆ en 6. Se tiene un operador Qˆ y sus autovalores Qψ función de los q i ?
7. Supongamos que se mide una cantidad Q en varios sistemas idénticos. >El valor medio es el resultado que tiene mayor probabilidad de ser obtenido en éstas mediciones? 8. Se mide Q en un estado Ψ y da como resultado q j . Si se repite la medición inmediatamente despues, >qué valor obtendremos? 114. Comprueba que si cierta función de onda Ψ 1 (x, t) es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de una partícula que se mueve a lo largo del eje x, y c es una constante cualquiera, entonces c Ψ1 (x, t) es también una solución de dicha ecuación.
115. Comprueba que si cierta función de onda ψ 1 (x) es una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de una partícula que se mueve a lo largo del eje x, a la que corresponde el autovalor E 1 , y c es una constante cualquiera, entonces c ψ1 (x) es también una solución de dicha ecuación y le corresponde el mismo autovalor E 1 . 116. Demuestra que el valor esperado del momento es igual a cero siempre que la funcin de onda del
sistema sea real. 117. Determina la corriente asociada al estado ψ(x) = Ae ipx/¯h + Be −ipx/¯h .
Repite el clculo para el estado ψ(x) = Ae −ρ|x| ,
en donde ρ es real y A es una constante compleja. 118. Obtn las funciones propias del hamiltoniano y las autoenergas de una partcula libre sujeta
a la condicin de contorno ψ(0) = ψ(L).
119. Tenemos una partcula en el estado fundamental de un pozo cuadrado infinito de anchura 2a. Encuentra la densidad de probabilidad de que su momento lineal valga p. 120. Inicialmente se tiene una partcula confinada de manera uniforme en la mitad izquierda de un pozo cuadrado infinito de anchura 2a. Obtn la funcin de onda para un tiempo cualquiera t. ¿Cul
es la probabilidad de encontrar la partcula en el estado fundamental al realizar una medida de su energa? 121. Una partcula se mueve en un pozo cuadrado infinito de anchura 2a = π . Determina su funcin de onda sabiendo que en unidades atmicas (¯h = 1 y m = 1/2) se verifica: a) para t = 0 la probabilidad de que su energa sea 1 es 1/3 y la de que sea 4 es 2/3; b) ψ(x, 0) es real; c) en t = 0 es ms probable
hallar la partcula en la mitad izquierda del pozo que en la derecha. Calcula la desviacin estndar de la energa de la partcula. 122. Se tiene una partcula de masa m en un pozo cuadrado infinito de anchura 2a. Inicialmente su funcin de onda es superposicin lineal de los estados ligados ψn y ψ m con amplitudes α n y α m, respectivamente. Prueba que X t oscila armnicamente y calcula los parmetros de su movimiento.
123. Considera un pozo cuadrado infinito de anchura 2a y centrado en el origen. En l se encuentra
una partcula cuya funcin de onda (dentro del pozo) en el instante inicial viene dada por: ψ(x, 0) = C sin(2πx/a) + 3i cos(πx/(2a)) .
{
}
(a) Normaliza la funcin de onda. (b) Calcula ψ(x, t). (c) ¿Cul es el valor esperado de la energa? (d) ¿Cul es el valor esperado de la posicin? 124. Sea una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x. (a) Comprueba que la función de onda (sin normalizar) ψk+ (x) = e ikx corresponde a un estado estacioh ¯ nario de dicha partícula, con energía (cinética) E = 2m k 2 . Escribe la función de onda dependiente de t, Ψk+ (x, t), que se corresponde con ψ k+ (x).
125. Sea una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x. (a) Comprueba que la función de onda (sin normalizar) ψk− (x) = e−ikx , también corresponde a un h ¯ estado estacionario de dicha partícula, con la misma energía E = 2m k 2 . Escribe la función de onda dependiente de t, Ψk− (x, t), que se corresponde con ψk− (x). 126. [Viene del problema anterior.]
Sea una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x, a la que se va a medir su momento lineal (cantidad de movimiento). (a) Si se va a hacer una sola medida individual, di si se va a obtener con toda certeza un valor dado o si, por el contrario, hay varios valores que se pueden obtener, cuando la partícula está: (a.1) en el estado estacionario ψk+ (x); (a.2) en el estado estacionario ψk− (x); (a.3) en el estado estacionario ψk (x); (a.4) en el estado no estacionario Ψa (x, t). Di el valor o los valores que se pueden obtener en cada caso. (b) Si se va a hacer una medida colectiva (que puede ser, o bien una única medida realizada sobre un número elevado de partículas que están todas en el mismo estado, o bien un número elevado de medidas realizadas sobre una sola partícula que se halla cada vez en el mismo estado) di cuanto vale el promedio de todos los valores individuales que se van a obtener, es decir el valor promedio o valor esperado, en los casos (a.1) a (a.4) anteriores. 127. Sea una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x. (a) Comprueba que la función de onda ψk (x) = C + ψk+ (x) + C − ψk− (x), corresponde a un estado h ¯ k 2 . Escribe la función de onda dependiente de t , estacionario de dicha partícula con energía E = 2m Ψk (x, t), que se corresponde con ψk (x). (b) Cuando la partícula está en el estado estacionario Ψ k+ (x, t): (1) comprueba que la probabilidad de encontrarla en un intervalo de tamaño infinitesimal en torno a un punto x 1 es independiente del tiempo; (2) comprueba que las probabilidades de encontrarla, en un instante dado t1 , en un intervalo diferencial en torno a un punto x1 y en un intervalo diferencial en torno a un punto x2 distinto, son iguales. 128. Sea una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x. 2 2 (a) Si la función de onda Ψa (x, t) = 8 ex et describe un estado de dicha partícula libre, comprueba que
no se trata de un estado estacionario de la misma. (b) Cuando la partícula está en el estado no estacionario Ψ a (x, t): (1) ¿su energía tiene un valor bien definido?; (2) ¿la densidad de probabilidad de encontrarla en un punto x1 cambia con el tiempo?; (3) ¿en un instante dado t 1 , son iguales las densidades de probabilidad de encontrarla en el punto x 1 y en el punto x2 ? 129. Una onda que se propaga a lo largo del eje x de izquierda a derecha, con longitud de onda λ y x frecuencia ν , está descrita por la función Ψ(x, t) = Aei 2π(+ λ −νt) . Comprueba que:
(a) Esa función (de onda) es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de una
partícula libre y, por tanto, describe un estado estacionario de la misma. (b) La relación de De Broglie entre la longitud de onda asociada a una partícula y su momento lineal está contenida en la ecuación de Schrödinger. (c) Esa función también es solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y el hecho de que la energía de una partícula con una onda asociada de frecuencia ν sea E = hν también está contenido en la ecuación de Schrödinger. 130. Sea una partícula en una caja monodimensional de longitud a, que se encuentra en un estado estacionario de número cuántico n. x (a) Expresa en función de n la probabilidad de encontrarla en los siguientes intervalos: (a.1) 0 a/2, (a.2) 0 x a/4, (a.3) a/4 x a/2. (b) Evalúa dichas probabilidades en los casos n = 1, n = 2 y n = 3.
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
131. Comprueba que las funciones de onda de dos estados estacionarios distintos, ψn y ψn , de una
partícula en una caja monodimensional son ortogonales.
132. (a) Describe que le ocurre a la energía en el punto cero de una partícula en una caja monodimensional, así como a la separación entre dos niveles consecutivos n y n + 1, cuando el tamaño de la caja
se reduce y cuando el tamaño de la caja se aumenta. (b) En el caso particular de un electrón en una caja monodimensional que tenga una energía en el punto cero de 0.01 eV, ¿en qué se convierte ésta si la longitud de la caja se hace 1000 veces mayor? (c) Calcula la energía en el punto cero y la diferencia de energía entre dos niveles consecutivos n y n + 1 , en el límite a → ∞ (límite macroscópico o límite clásico). 133. Una partícula en una caja monodimensional de longitud a se encuentra en un estado no estacionario, Ψ(x, t), tal que, en un instante dado t = 0, Ψ(x, t = 0) = ψ(x) =
630 a9
1/2
x2 (a
− x)2 ,
(0
≤ x ≤ a).
(a) Si en ese instante se mide la posición de la partícula, x, ¿qué resultados podrían obtenerse? (b) Si dicha medida se hace simultáneamente en un número muy grande de sistemas (que están todos en
el mismo estado) ¿cuál es la media de los valores de x obtenidos en todos los sistemas? (b) Contesta las cuestiones (a) y (b) en el caso de que la propiedad medida sea la energía de la partícula. 134. Repite el problema anterior en el caso de que la partícula se encuentre en el estado estacionario
cuya función de onda independiente del tiempo viene dada por ψ(x) =
2 a
1/2
sen
3πx , a
(0
≤ x ≤ a).
135. Sea una partícula en una caja monodimensional de longitud a , que se encuentra en un estado estacionario ψ n (x). (a) ¿Cuál sería el resultado de una medida individual de su momento lineal? Relaciona
la respuesta con el “principio"de indeterminación de Heisenberg. (b) ¿Y el resultado de una medida colectiva? 136. (a) ¿La incertidumbre o indeterminación en mecánica cuántica significa que si se conoce el estado
de un sistema en un momento dado no puede conocerse en otro momento posterior? (b) ¿El “principio"de indeterminación de Heisenberg es un principio que se acepta independientemente de otros principios de la mecánica cuántica? (c) ¿La cuantización de los niveles de energía de una partícula en una caja es una consecuencia de las condiciones de contorno que deben imponerse a las soluciones de la ecuación de Schrödinger para que describan una partícula confinada en el recinto de la caja? (d) ¿Una función de onda debe estar normalizada para que cumpla la ecuación de Schrödinger? ¿Debe estar normalizada para que sea una función de onda fisicamente aceptable? (e) Nos disponemos a medir la x y la p x de una partícula en una caja monodimensional cuando está en su estado estacionario de n = 3. ¿Cuánto vale la imprecisión en el conocimiento de x? ¿Y de px ? ¿Y el producto de ambas? (f) El hecho de que la energía del estado fundamental de una partícula en una caja monodimensional no sea 0 es una manifestación de la relación de incertidumbre o indeterminación señalada por Heisenberg. ¿Por qué? (g) ¿La existencia de degeneración sistemática en un sistema es una conse cuencia de la existencia de simetría en el mismo? Si es así, pon un ejemplo.
137. Calcula el producto de las indeterminaciones asociadas con las medidas simultneas de dos operadores A y B en funcin de su conmutador [A, B]. Supn primero que los valores esperados de los
operadores son cero y considera la norma del estado ψ(x) = (A + iλB)φ(x)
siendo λ un real cualquiera. Despus generaliza el resultado al caso en que los valores esperados de los operadores son distintos de cero. 138. Calcula el coeficiente de transmisin de un pozo cuadrado simtrico. ¿Para qu energas no
se produce onda reflejada? 139. Encuentra el estado fundamental del pozo cuadrado que se representa en la figura adjunta. ¿Qu
condicin se ha de verificar para que dicho estado sea ligado? V =
∞ x = a
V = 0
−|V 0| 140. Resuelve el problema de una barrera cuadrada de anchura a y altura V 0 para energas menores que V 0 . Considera el lmite en que a tiende a cero y V 0 a infinito mantenindose constante el producto 2aV 0 λ. Comprueba que en dicho lmite la funcin de onda en las dos partes de la barrera es continua, φ1 = φ 2 , mientras que su derivada es discontinua y satisface:
≡
dφ1 dx
− dφdx2 = − 2m λφ1 . ¯h2
141. Calcula la energa del nivel fundamental de un doble pozo de potencial, simtrico de profundidad V 0 , de separacin entre las barreras a y de anchura de cada una de ellas tambin igual a a.
−
142. Qu relacin se debe de verificar entre la anchura y la profundidad de un pozo cuadrado para
que la probabilidad de encontrar a la partcula dentro y fuera del pozo en el estado fundamental sea la misma. 143. Encuentra la ecuacin que determina la energa del primer nivel excitado de un potencial formado por dos funciones delta de intensidad λ separadas una distancia a . ¿Cundo est dicho
estado ligado?
−| |
144. Calcula el coeficiente de transmisin a travs de un potencial formado por dos funciones delta de intensidad V separadas una distancia a. ¿Cundo no se produce onda reflejada?
| |
145. Tenemos un potencial unidimensional con tres potenciales delta de intensidad λ situados en a, 0 y a, respectivamente. Encuentra la ecuacin que determina la energa del estado fundamental.
−| |
−
146. Tenemos un potencial unidimensional con un escaln de altura V 0 y una funcin delta de intensidad λ situada justo en el escaln. ¿Existe siempre un estado ligado? Cuando existe, calcula su
−
funcin de onda en el espacio de momentos. 147. Halla la longitud de onda de la luz emitida cuando una partícula de 1,0 monodimensional de 30 nm pasa del nivel n = 2 al nivel n = 1.
× 10−27 g en una caja
148. Calcula la energía en electronvoltios (eV) de los niveles n = 1, 2 y 3 de un electrón en una caja de potencial monodimensional de longitud a = 560 pm. ¿Cuánto valen la longitud de onda (λ, en nm) y el número de onda (ν , en cm−1 ) del fotón emitido al pasar de n = 2 a n = 1. 149. Si la posición de un electrón en un momento dado se mide con una precisión de
±0,001 Å, ¿cuál
es la máxima precisión con la que se puede medir su momento lineal (cantidad de movimiento) en ese mismo momento? 150. Las funciones de onda independientes del tiempo de los estados estacionarios de una partícula en una caja de dos dimensiones de lados a y b son: ψnx ,ny (x, y) =
4 ab
1/2
sen
nx πx n πy sen y , a b
nx = 1, 2, . . . ; ny = 1, 2, . . .
(a) Comprueba que están normalizadas. (b) Escribe la función de onda dependiente del tiempo del estado estacionario nx = 2, ny = 7.
151. Sea una partícula en una caja cúbica de lado a . (a) ¿Cuántos estados hay en el rango de energía comprendido entre 0 y 16h2 /8ma2 ? (b) ¿Cuántos niveles hay en ese rango y cuál es la degeneración de
cada uno? 152. Para una partícula en una caja tridimensional de lados a, b y c con a = b = c, haz una tabla de nx , ny , nz , las energías y las degeneraciones de los niveles con números cuánticos en el rango de 1 a 5 (Toma a2/b2 = 2).
153. Considera un sistema fsico en un espacio tridimensional que representamos mediante una base ortonormal 1 , 2 , 3 . En esta base el operador Hamiltoniano H y el observable A estn definidos
por
{| | | }
H = ¯hω0
1 0 0 0 2 0 0 0 2
A = a
0 1 0 1 0 0 0 0 1
siendo ω0 y a constantes reales positivas. El sistema se halla en el instante t = 0 en el estado
|ψ(0) = √ 12 |1 + 12 |2 + 12 |3. (a) En t = 0 se mide la energa del sistema. ¿Qu valores y con qu probabilidades se pueden encontrar? Calcula el valor medio de la energa H en dicho estado y la desviacin estndar ∆H . (b) En vez de medir la energa, se mide A en t = 0. ¿Qu resultados pueden salir y con qu probabilidades? ¿Cul es el estado justo despus de la medida? (c) Calcula |ψ(t) en funcin del tiempo si no se realiza ninguna medida. (d) Determina A(t).
154. Tenemos dos tomos iguales separados una cierta distancia. En determinadas condiciones podemos suponer que el estado de inters es una combinacin lineal de los estados 1 y 2 correspondien-
| |
tes a un nivel de ambos tomos. Considerando una base formada por estos dos estados, el hamiltoniano viene representado por: H =
h
−
−h
en donde es la energa de un tomo aislado y h la energa de transferencia. Encuentra los valores y vectores propios de H .
155. Tenemos un determinado potencial V (X ) entre a y a. Para x <
−
de Scrödinger es de la forma
−a la solucin de la ecuacin
Aeikx + Be −ikx
y para x > a es de la forma Ceikx + De−ikx .
La matriz de scattering relaciona las ondas entrantes con las salientes
C B
=
S 11 S 12 S 21 S 22
A D
.
Utiliza la conservacin del flujo para demostrar que
|S 11|2 + |S 21|2 = 1 |S 12|2 + |S 22|2 = 1
∗ + S 21 S ∗ = 0 S 11 S 12 22 ¿De qu tipo es la matriz S ? 156. Demuestra que la matriz de scattering de un pozo cuadrado entre 0 y a de profundidad
−V 0
satisface las condiciones del ejercicio anterior. Calcula la matriz de scattering de un potencial delta de intensidad λ.
TEMA 4. Oscilador Armonico 157. Operadores Creación y Aniquilación
1. Sean ˆa y ˆa† los operadores de creación y aniquilación. Comprobar que [ˆa, (ˆ a† )n ] = n(ˆ a† )n−1
2. Comprobar si estos operadores son Hermíticos 3. Normalizar los estados |n (producidos por la aplicación sucesiva de ˆa† a |0) 4. Escribir la representación matricial de estos operadores 158. Espectro de potenciales similares al del oscilador armónico
1. Calcular las energías de un electrón sujeto a un potencial 1 2 V (x) = V 0 + κˆ x 2 a)
Se sabe que la diferencia entre E 4 − E 5 = 10 eV, y que V 0 = 2 eV. Calcular E 3 b) Calcular cuánto varía la energía de E 1 si se multiplica la constante κ por 9. 2. Calcular el espectro de una partícula que se mueve en un potencial 1 2 V (x) = κˆ x + bˆ x 2
159. Comparación con caso clásico
1. Un oscilador armónico consiste en una masa de 1 gr oscilando a una frecuencia de 1 Hz. La masa pasa a través de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 cm/s. Calcular el número cuántico asociado a la energía de este sistema. Calcular la distancia entre los distintos ceros de su función de onda. 160. Estados estacionarios del oscilador armónico
1. Calcular xˆ y pˆ, para un estado |n ˆ = T ˆ = E 2. Mostrar que V 2
3. Calcular n + η |xˆ2 |n para η =1,2,3,4 4. Calcular n + η | pˆ2 |n para η =1,2,3,4 5. Calcular el cociente (para η = 0, ±2)
n + η|T ˆ|n n + η|V ˆ |n 161. Estados coherentes
1. Considerar un estado coherente |α que es una combinación lineal de autoestados del Hamiltoniano de un oscilador armónico unidimensional con frecuencia ω
| α|2 ∞ αn |α = exp(− 2 ) √ n! |n
n=0
a)
Normalizar |α b) Calcular la probabilidad de encontrar E = 5¯h2ω en este estado a|α = α|α c) Comprobar que ˆ ˆ|α ( usar (iii) ) d ) Calcular el elemento de matriz α|x 162. Otras combinaciones de estados estacionarios del oscilador armónico
1. Construir la combinación Ψ = c0 |0 + c1|1 tal que Ψ|xˆ|Ψ sea máximo ˆ en Ψ 2. Calcular el valor medio de p ˆ y P
3. Repetir el problema para una combinación lineal cualquiera de estados con la misma paridad 163. Evolución temporal
1. Sea |Ψn (x, 0) = |n. Calcular |Ψn (x, t). 1 2. Sea |Ψ(x, t) = √ [|Ψ0 (x, t) + |Ψ1 (x, t)]. Calcular xˆ en Ψ(x, t). 2
3. Repetir el problema con la misma combinación, pero ahora entre Ψ1 y Ψ3 164. Principio de Correspondencia
En clase demostramos que la probabilidad de encontrar una partícula clásica está dada por P (x) =
1 π
1
− x20
x2
.
1. Comparar esta probabilidad con el caso cuántico
2. Repetir el problema, en el espacio de los momentos 165. Un oscilador armónico de frecuencia angular ω se encuentra en el instante inicial en el estado
|ψ = |φ0 − i|φ1, en donde |φ0 corresponde al estado fundamental y |φ1 al primer estado excitado del oscilador armónico. Encuentra en el instante inicial los valores esperados de: (a) la posición (b) el momento lineal (c) la energía potencial (d) la energía cinética.
Calcula la incertidumbre en la posición, el momento lineal y la energía. 166. Determina la evolución temporal del sistema del ejercicio anterior, y calcula el valor esperado de
la posición y del momento lineal en función del tiempo. 167. Calcula la probabilidad de encontrar un oscilador armónico en la zona clásicamente permitida
cuando está en el estado fundamental y cuando está en el primer estado excitado. 168. Determina los niveles de energía de una partícula de masa m sujeta a un potencial de la forma V (x) =
∞
mω 2 x2
x < 0 x > 0
169. Tenemos un Hamiltoniano de la forma H =
P 2 + λX n , 2m
en donde P es el operador momento lineal y X el operador posición. Calcula el conmutador [XP,H ].
¿Cuál es la evolución temporal del valor esperado del operador XP en un estado estacionario? A partir del resultado anterior deduce el teorema de Virial para el Hamiltoniano considerado. Este teorema relaciona el valor esperado de la energía cinética con el de la energía potencial cuando el sistema está en un estado estacionario. 170. Encuentra la función de onda del segundo y el tercer estado excitado de un oscilador armónico a
partir de la relación 1 un (x) = n!
1/4
mω ¯hπ
√ −
¯h d 2mω dx
mω x 2¯ h
n
e−mωx
2
/2¯ h
en donde un (x) es la función de onda del enésimo estado excitado. 171. Un oscilador armónico se encuentra inicialmente en el estado
|ψ =
∞
n=0
cn φn
|
en donde |φi son los vectores propios del hamiltoniano. Demuestra que el valor medio de la posición evoluciona con el tiempo de acuerdo a
h X (t) = 2¯ mω ∞ √ n|c ||c | cos(ωt + φ
n=1
siendo φn la fase de cn .
n
n 1
−
n 1
−
− φn )
