SOLUCIÓN EJERCICIOS KÚO 2.1.) Encuentre los polos y ceros de las siguientes funciones (incluyendo los ceros en el infinito, si existe alguno). Señale los polos finitos con x y los ceros finitos con O en el plano s.
.. 10 12 10 10 1010 2 2 0 → → 2 2 0 → 2 22 1 1 1010 0 110→ 0→ 0,0, 1 0 1 1 1 10 0 → 10 10
Para hallar los ceros se
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
I. II. III.
Hay 1 cero finito y 4 polos finitos. Como debe existir igual número número de polos que ceros, entonces entonces
existen 3 ceros en el infinito. Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 )
1 -
s 0.4 d n o c 0.2 e s ( s 0 i x A y r -0.2 a n i g a -0.4 m I
-0.6 -0.8 -1 - 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
10 133 2 2 .. 2 3 2 3 2 1 2 10 133 2 2 → 102 11 2 → 210 2 2 10 2 10 0 10 0 → 0, 2 0 Real Axis ( seconds -1)
El polinomio tanto:
Para hallar los ceros se
se puede factorizar como
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
. Por lo
I.
2 0 → 2, 2 2,
Hay 1 cero finito y 2 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros, entonces
existe 1 cero en el infinito. Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 1
)
0.4
-
d
s n o c
0.2 e s( si
0 x A yr
-0.2 a in g a mI
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
. 10 22 2 10 2 0 10 2 0 → 2, 2 3 2 0 0 →22 00→, −±−∗∗ −± → { 1 ∗ 1
0
-1
Real Axis (seconds )
Para hallar los ceros se
resuelven las raíces del numerador:
I.
Para hallar los polos se resuelven las
raíces del denominador:
I.
II.
Hay 1 cero finito y 3 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros, entonces
existen 2 ceros en el infinito.
Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 ) -1
0.4 s d n o
0.2 c e s( si
0 x A yr
-0.2 a in g a mI
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-1
. 10 1− 2
Real Axis (seconds )
− − 10 1 2 0 10 1 0→0→ 0 1 1 2 0 → 2 2
Para hallar los ceros se resuelven las raíces de l numerador. Sin embargo, el término
hace cero en el infinito. Además,
solo se
representa un retardo en el tiempo; por lo que no se
considera un término para hallar ceros. Por lo tanto, no existen ceros finitos. Para hallar los polos se resuelven las
I. II. III.
raíces del denominador:
No hay ceros finitos y existen 3 polos finitos. Como debe existir igual número de polos que ceros,
entonces existen 3 ceros en el infinito.
Pole-Zero Map 1 0.8 0.6 1
)
0.4
-
d
s c
o
n
0.2 si
s(
e
0 x ry
A
-0.2 a Im
a
g
in
-0.4 -0.6 -0.8 -1 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8 -1
Real Axis (seconds )
-0.6
-0.4
-0.2
0
2.2.) Encuentre las transformadas de Laplace de las siguientes funciones. Utilice los teoremas de las transformadas de Laplace si aplican. Se parte de la transformada del escalón unitario
⏞ 01 >< 00 ⇔ℒ ⏞ 1
A la cual se le aplica alguna de las siguientes propiedades:
I.
II.
III.
− − 5 → 5∗ ∗ → ⌋→+ 1→+ 51 { 51 } 51 5 ∗ → 55 Se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio para hallar
Se aplica la propiedad de diferenciación en e l dominio de para hallar
Se aplica la propiedad de linealidad para hallar
:
:
:
b.)
∗ 2 − ∗2 { − → sin ℎ1 sin 2−1 ⇔ℒ 211 ∗ 1 2 1 1 2 ∗ 2 ∗ 1 2 ∗ 1 1 sin ⇔ℒ 1 1 ℎ 2 si n 2 12 ∗ ⌋→ 12 ∗ 1 1→ 12 ∗ 4 11 2 4 ∗ ∗ 2 2 2 { 4} 4 − → 1 1 →+ 2 → + + 2 ∗−2 sin2 ⇔ℒ 2 4 − → 2 4→+ 22 4 2 ∗ → 24 4 2 cos2
Se aplica la propiedad de linealidad I.
Para hallar
se expresa la función
como suma de exponenciales complejas
y se aplican las propiedades de linealidad y desplazamiento en el dominio :
Se aplica la propiedad de escalamiento en t iempo:
Se aplica la propiedad de diferenciación en e l dominio de para hallar
II.
III.
c.)
Para hallar
se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio :
Teniendo como base el resultado del ítem anterior:
Se aplica la propiedad de desplazamiento en el dominio :
Finalmente, se aplica la propiedad de linealidad:
d.)
:
Expresando en función de exponenciales complejas:
sin2 2−− ; cos−2 2−− − − sin2 cos2 ∗ ∗ 4 ∗ ∗ 4 sin2 cos2 sin4 h t si n ℎ 4 s i n 4 14 ∗ ⌋→ 14 ∗ 1 1→ 14 ∗ 16 11 4 16 gt ∑= − ó gt − − 2− 3⋯− ⇔1ℒ
Se aplica la propiedad de escalamiento en tiempo:
e.)
Expandiendo la serie se obtiene:
Sabiendo que la transformada de Laplace del impulso unitario es:
Aplicando la propiedad de linealidad y de desplazamiento en el tiempo se obtiene:
Gs 1 − ∗ − − ∗ − − ∗ − ⋯− ∗ − Gs =− ∗ − g t g t gst t
2.3.) Encuentre las transformadas de Laplace de las funciones mostradas en la Fig. 2P-3. Primero, escriba una expresión completa para Laplace. Sea
y después obtenga la transformada de
la descripción de la función en un período básico que después se retrasa
apropiadamente para obtener
. Obtenga la transformada de Laplace para obtener
.
a.) La expresión matemática para un período de
t
es:
gt 2 1 2 − − − 1 2 1 1 2 1 − − 2 − 11 − 11 − ∗ 1 − 1 − 1 −1− − − − 1 1 1 1 1 1− ∗ 1 −1− ∗ 1 −− 1 t gt 2 4 0.5 0.52 1 1 ℎ {1} 1 −. − −. − 2 4 2 2 4 2 2 1 2 −. − −. 2 1 1 −
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el dominio usando la transformada de Laplace del escalón unitario
El período de la señal es
Expresando
; por lo tanto, para hallar
, la propiedad de linealidad y , se obtiene:
se multiplica
por
:
, se obtiene:
b.) La expresión matemática para un período de
es:
Aplicando la propiedad de diferenciación en el dominio de : usando la transformada de Laplace del escalón unitario
, se obtiene:
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el dominio y la propiedad de linealidad, se obtiene:
El período de la señal es
; por lo tanto, para hallar
se multiplica
por
:
11 − 11 − ∗ 21 −. 1 − 1 −.1−. −. 1 −. ∗ 21 −.1 11 − ∗ 21 −. 1−.1 −. 2 1 1−. 1 0 ≤ < 1 20 0 12≤≤≥3<< 23 1 1 2 2 3 111 ⇔ℒ ℒ ℒ 2⇔ 2, 11 24 ⇔ − 2 ℒ − − 2 24 2 ⇔ 2 3, 3 3535 3 3 ⇔ℒ − − 1 1 1 − 1 − 4 − 1 − 5 − − − − − − 1 4 5 1 . Expresando
, se obtiene:
2.4.) Encuentre la transformada de Laplace de la siguiente función:
Una expresión para
en términos de escalones unitarios queda:
Aplicando la propiedad de linealidad, desplazamiento y diferenciación en el dominio
se
obtiene:
I.
II.
, corresponde a un desplazamiento en el dominio . Se resuelve para
, luego se desplaza en :
III.
puede ser expresado como
; por lo que la
expresión se convierte en:
IV.
puede ser expresado como
; por lo que la
expresión se convierte en:
V.
Aplicando la propiedad de linealidad se obtiene la expresión final:
5.) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.
Para ello, se utiliza la siguiente pro piedad de la transformada de Laplace:
a.)
5 4 −; 54 21
Aplicando la propiedad de derivación en el dominio del tiempo:
5 4 21 21 5 4 : 2 41 1 1/64 1/22 1/31 ℒ−() 16 − 12 − 13 − 2 3 , 0 1, 0 0
Agrupando términos y despejando
se obtiene:
Expandiendo en fracciones simples, mediante el comando residue en MATLAB:
b.)
Aplicando la propiedad de derivación en el dominio del tiempo:
0 0 23 1 1 2 3 1 21 3 2 1 3
Reemplazando las condiciones iniciales:
Agrupando términos en (2) se obtiene:
31 23 1 4 3 2 3 1 3 5 1 3 1 3 3 3 32 32 31 32 3 31 3 2 3 1 32 211 1/2 5/22 12 ℒ−( ) 12 52 − 2− 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 13 2 13 2 1 321 1 5 2 12 ℒ−( ) 5− 2− . Reemplazando
de (1) en (3) se obtiene:
Agrupando términos en (4) se obtiene:
Despejando
de (5) y reorganizando se obtiene:
Expandiendo en fracciones simples se obtiene:
Para hallar
se utiliza la expresión (1)
Expandiendo en fracciones simples se obtiene:
6.) Encuentre las transformadas de Laplace inversas de las siguientes funciones. Primero,
obtenga las expansión en fracciones parciales de
, después utilice la tabla de
transformadas de Laplace. Utilice cualquier programa de computadora que tenga disponible para la expansión en fracciones parciales:
a.)
b.)
++ → + + / /+ /+ 1 16 21 3= 0203 1 12 13=− 223 1 13 12=− 332 ℒ−() 16 12 − 13 − ++ + + + /+ −/+ + 10 52 110 =− 31 10 5 103=− 13 10 52 103=− 310 =− 13 ℒ−() 52 − 52 − 5− +++ − 100 42 1 210022 1
Utilizando la propiedad de linealidad y desplazamiento en el dominio :
c.)
Se trabaja con la expresión sin el término exponencial y al final la respuesta se desplaza en tiempo.
La expansión en fracciones simples queda:
2 2 1 2 10002 100 4 1 = 0 40 1 50 100 24 =− 10012 11 4 20 10012 2=− 155 10012 2= 155 ℒ−() [5020− 155− 15 5] 155− 155 5( −)15( −) − − sin2 2 ; cos2 2 − − ( ) ( − − 5( )15( ) 10 2 30 2 ) 5( −)15( −) 10sin2 30cos2 5020− 10sin2 30cos2 − [5020−+ 10sin(2 1) 30cos(2 1)] 1
Las constantes se determinan como:
Al aplicar la transformada inversa se obtiene:
Organizando las exponenciales complejas
Sabiendo que
Reorganizando las expresiones
Por lo tanto:
Para agregar el término
se desplaza en el tiempo
y se obtiene
:
d.)
+ − − , 0.0.55 √ √ 77⁄⁄22 ++ 1 1 2 12= 020 02 2 1= 0.50.567 2 1= 0.50.567 1 0.50.567.−√ ⁄ 0.50.567.+√ ⁄ 1 . 0.50.567−√ ⁄ 0.50.567√ ⁄ 0.50.567−0.√5 67⁄ −√0. ⁄50. 567√ ⁄0.√ ⁄5−√ ⁄ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ − − √ √ √ √ 0.0.5567si67 n(√ 7⁄22) cos√7 ⁄2 2 [10.567. sin(√ 7⁄2 ) . cos(√ 7⁄2 )] + 1 ℒ 12 ℒ 1 1 12 − =
Las constantes se determinan como:
Al aplicar la transformada inversa se obtiene:
Organizando las exponenciales complejas
Por lo tanto,
e.)
Utilizando la propiedad de derivación en el dominio :
Utilizando la propiedad de desplazamiento en el dominio :
f.)
+.(++)++ 2 1 1.382 1.5 3. 6180 1. 5 3.618 1.382
Aplicando la fórmula cuadrática se obtiene (comando roots en MATLAB):
La expansión en fracciones parciales queda:
Las constantes son evaluadas en MATLAB mediante el comando residue A = 0.2667;
B = 9.3333; C = -1.2223;
La transformada de Laplace inversa queda:
D = -8.3777
−. −. −.
SOLUCIÓN TALLER PREPARATORIO 1. Defina, grafique y describa la transformada de Laplace para las funciones.
> 0 0 <> 00 → ∫ − → −| 1 − − − − → ∫ ∫ ∫ −+ + 1 ℜ >0 ℜ > 0 0− ≠ 0 1 − sin 2 ⇔ℒ 21 1 1 21 sin ⇔ℒ 21 21 2 sin ⇔ℒ − cos 2 ⇔ℒ 12 1 1 21 cos ⇔ℒ 12 12 2 cos ⇔ℒ − sinh 2 ⇔ℒ 12 1 1 12
a.) Escalón. Sea Es válida si
.
b.) Escalón unitario. El mismo caso anterior, con
. Se simboliza Sea
c.) Exponencial. Sea
, Existe solo si
d.) Escalar. Es el impulso unitario
e.) Seno. Se calcula a partir de la exponencial.
f.) Coseno. Se calcula a partir de la exponencial.
g.) Seno hiperbólico. Se calcula a partir de la exponencial.
;
.
sinh ⇔ℒ 12 12 2 sinh ⇔ℒ − cosℎ 2 ⇔ℒ 12 1 1 12 cos ⇔ℒ 12 12 2 cosh ⇔ℒ
h.) Coseno hiperbólico. Se calcula a partir de la exponencial
2. Solo utilizando las funciones del tema anterior elabore una tabla de transformadas de Laplace, para resolver los siguientes ejercicios. a.) b.)
2 sin ¿qué es
?
Se utiliza la propiedad de división por t de la transformada de Laplace:
∫ + 4 ∫ + 1 + + 2∗ + 4 1⌋ + 0 + + 2 1 I.
II.
=
III.
IV.
c.)
se aplica la siguiente propiedad (diferenciación en e l dominio ):
→ ! 8− 8 6 48 / / 8 − 2− 1 2 1 2 2 2 2 44 2 2 2 8 4 2 8 4 − cosh + ⇔ℒ ℒ − =+ → ++− ⇔ + → + ++++ −. . .+−− ++.+ − [+0.5 0.5 0.7−5−−+− 0.7−5 −−] − 0.75 −0+.75 −−[0 .75(− )( )] 0.75 0.75− 1.5 sin 0.50. 5 1.5 si n − → ∫ + −⌋ −∞−−− 2 − → sℒin ++ 2 2 + +− +− ++ ++ ++ 0; 0.25; 0; 0.25 I.
II.
d.)
puede ser expresado como
de esta forma:
Usando la transformada de Laplace de la función exponencial se obtiene:
e.) f.)
3. Hallar la transformada inversa de: a.)
b.)
c.)
d.)
; Sea
; considerando el desarrollo del literal b.) del punto 2.) se establece que:
; En MATLAB se obtiene:
212 0.125 10.25 [ 0.20.52∗5∗−∗−− [(0.−25 ∗)]−+] 0.25∗ ∗− 2−( 2−) 0.5 ∗ ∗ sin
El término al cuadrado corresponde a una multiplicación :
4. Defina apropiadamente los conceptos de polos y ceros de una función de variable compleja. Los
polos de una función racional corresponden a las raíces del denominador y representan
las constantes de tiempo de la respuesta en el tiempo. Los ceros son las raíces del numerador.
5. ¿Qué son las ecuaciones de estado?
El estado de un sistema hace referencia a los valores pasado, presente y futuro de las
variables. Las variables de estado son el conjunto mínimo de variables que permiten describir el comportamiento futuro a partir del valor inicial y el conocimiento de la entrada. Las ecuaciones de estado, corresponden a la relación matemática entre los estados; normalmente expresada como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
