Ejercicios Longitud de Arco

LONGITUD DE ARCO

1. Hallar la longitud de de arco de la curva C :  y

2

 4 x  x 2  comprendidos entre los dos puntos

que cortan al eje X. Solución::

 y 2  4 x  x 2 

y= 

4 x  x 2

Graficamos

dy dx



4  2 x 2 4 x   x 2 2



2   x

D

4 x   x 2

e r

2   x   dy     4 x   x 2   dx 

2

i v

2

2   x  4 x   xa2  4  4 x   x 2  dy   1    1 n4 x   x 2 4 x   x 2   dx  2

2

d

4

4

4

4 4 dx dx  dy  o dx    1   L 2   0 4 x   x 2 0 4 x   x 2 0   x 2  4 x  4 x   x 2   dx  : 4

 L  2

 0

4

dx

  x 2  2   4 2

 2 0

dx



4   x 2  2



2

  x  2  4  2 Arcsen  A rcsen  I    2   0

            Rp t    2            2  u :  Rpt    2     2  

 L  2 Arcsen  A rcsen(1)  2 Arcsen(1)  2

2.

Hallar la longitud de arco de la curva y=Ln(x), desde x= 3 hasta x = 8

Solución:

…

Graficamos y=Ln(x) Derivando: 2

dy 1 1  dy      2 dx  x  dx   x 2

1  x 2  1  dy  1    1 2   x  x 2  dx 

8

 L 



3

 x 2  1 dx   x 2

 x 2  1 dx   x

8



3

 x 2  1  xdx, u 2   x 2  1  udu  2  x

8



3

 x 3  u 2  3  1  u  2; x  8  u 2  8  1  u  3 3

 L 

 2

3 1 u2 1 1 du  u  1  3      udu du u  I   Ln   I 2 2 2 2 1 1 2 1    u2 1 u u u     2 2 3

u2

3





1  3  1  1  2  1   3   L  3  2   Ln    Ln   1   Ln u : Rpt  2  3  1  2  2  1   2 

3.

Hallar la longitud del arco de la parábola semicúbica 5 y circunferencia  x

2

2

 x 2 , comprendida dentro de la

 y2  6 Solución:

Graficamos  x

2

 y 2  6 ; 5 y 2  x 2

Derivando:

dy

5 y 3   x 2  2

dx



2 x

1

3

33 5

2

4 x 3  dy     93 25  dx  2

2

2

2

4 x 3 93 25 x 3  4 93 25 x 3  4  dy    1     L 2 dx 2 2  3 3 3 dx 3 3 9 25     0 9 x 25 9 25 x 5

 L  2

 0

93 25 x 3

2

3

3 5 x

4

1 3

dx

5

Hacemos u

2

 93 25 x

2

 4  udu  33 25 x

3

 x 

3

3

2

4.

3

dx

5  u 2  45  4  u  7, x  0  u  2 7

 L  2

1

udu 5 (3)3 25

Encuentre la longitud del arco de la c urva 9 y



2u 3 135



7

2 73  8

2

135

 I  

  134 u : Rpt  27

 4 x 3 del origen al punto (3,2

2

3)

Solución:

En la curva  y  

2 x

3

2

Derivando:

3

1 2

2

 dy        x 3(2) dx  dx  dy

2(3) x

En la expresión de la longitud de arco: L=

 a

5.

3

3

2

3 2 x  1 2 3 2(4) 2  2 16  2 14  dy    :  Rpt  1    dx   1   x dx   I   0 3 3 3 3  dx  0

b

Hallar la longitud del arco de la curva c uya ecuación es  y

3

  x 2 , comprendida entre los

puntos (0,0) y (8,4) Solución:

La ecuación:  y

  x

3

2

1

2

9 y  dy    Derivando:     dx 2 4  dx  dy

3 y

2

En la expresión de la longitud de arco:

b

 L 

 a

 L 

6.

2

4 4 9 y 9 y  4  dy  1  dy  dx   1  dy   4 4  dx  0 0

2(9 y  4)

1 3 4

2(9)(3)

0

 I  

( 40)

3

2

27

8



40 40  8 27

Hallar la longitud total del lazo de la curva 6 y

2



80 10  8 27



8 27

(10 10  1)u :  Rpt 

  x( x  2) 2 , si x ɛ [0,2]

Solución:

Graficamos

6 y 2   x( x  2) 2  y 

 x

( x  2)  6  Derivando :

 x

1 2 1   3  x 

3

1

 2 x

2

2

6

     x   dx 6 2     dy

1

2

1 2 1   1   3  x  dy   2   x      6 2  dx      2

2

1 2 1   3 x 1  x 3 x 1  x 3 x 1  x 1   3  x  dy   dy      1    1         x 2       8 2 6 8 2 6 8 2 6 6 2  dx   dx      2

1    3 x

Dos regiones:  L

 2 0

 L 

1

1

2

2

1 2     2 1   2 3  x  2  dx    x   x 2  dx      6 2 2 6 0        

2

7.

2

1

1 2

1

2 1 2   3 2 2 4 12 8 3 2 22 2  : Rpt    x  2 x 2  I 0    3 3 6   6



Calcular la longitud del arco de la parábola y=2



x desde x =0 hasta x =1.

Solución:

Derivamos la ecuación dada: y=2

2

dy   y 2   x   x       ; x  0, y  0, x  1, y  2 4 dx 2 dx 4      y 2

dy

 y

La longitud de la curva b

 L 

 a

 L 

8.

 y 4

2

2

2

2

 y 1  dy  1    dy   1  dy   1   y 2 dx 4 20  dx  0 1   y 2 

 y 4





2

 Ln  y  1   y 2  I  

Hallar la longitud total del arco de la parábola ay

2

0

1

1 5   Ln(2  5 ) : Rpt  2 2

  x 3 desde el origen hasta x=5ª.

Solución:

2

Derivamos y arreglamos la expresión dada: La

2

 dy  9 x     2ayy'  3 x 2  dx 2 a  dx  4a 3 x

dy

5a

 L 

 0

2

 dy  1    dx   dx 

8a   45  1    L  27   4  

3

2



9.

5a



longitud de la curva

  9 x  24a 1   9 x 4a    1 dx  4a

0

3

2

3(9)

5a

 I  0

 8a  343   335a :  Rpt   1    1  27    27   8

Hallar la longitud del arco de la curva x=

 y 2 4

1

  Ln( y ) desde y=1 hasta y=e. 2

Solución:

Derivamos la ecuación dada: x=

4

1

dy

2

dx

  Ln( y ) 



2

2

Arreglamos

 y 2

 y 2



1 2 y 2

2 2 1 1  y 1 1  dy    y 1    y  dy      2 1   1   2      4 2 4 y 4 2 4 y  dx   2 2 y   dx  2

2   y 1   1 1  dy   y    2    1    dx 4 2 4  y 2 2  y        

2

De donde: 2

2

e e   y 1     y 1    y 2 1    dy     dy   L     Ln( y) I  1 2 2  y 2 2  y 4 2         1 1 e2 1 1 1 e2 1 1 e2  1   Ln(e)    Ln(1)      L  :  Rpt  e

4

e

 dy  1    dy    dx  1 2

4

2

4

2

4

4

  x   desde el vértice A(0,a) hasta el punto B(b,h). a    

10. Hallar la longitud de la catenaria y=aCosh 

Solución:

dy   x    x   Senh   dx  a   a 

Derivamos la expresión dada: y=aCosh  2

 dy  2   x  2   x  Arreglando: 1     1  Senh    Cos h   dx   a   a  b

 L  De donde:

 0

2

b

b

 dy    x    x  b 2   x  1    dx   Cosh  dx   Cosh dx  aSenh  I   dx   a   a   a  a 0 0

 b   L  aSenh  :  Rpt   a 