INTERÉS SIMPLE ¿En qué tiempo se convertirá en $54,500 un capital de $50,000 colocado a una tasa de interés de 1.5% mensual?
i = 1.5% mensual c = 50,000 I = 4,500 t=? 4,500 6 = = 0.5 (50,000)(1.5) 12
𝑡=
¿A qué tasa de interés anual se coloca un capital de $4,000 para que se convierta en $4,315 en 200 días? i=? c = 4,000 I = 315 t = 200 días
𝑖=
315 315 = = 0.14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 (4,000)(0.547) 2191.78
C=? I = 1,200 i = 3% anual t = 12 meses
𝐶=
12,000 = 400,000 (0.03)(1)
C=? I = 1,235,425 i = 0.06% mensual t = 90 meses
𝐶=
1,235,425 1,235,425 = = 2,287,824.07 (0.006)(90) 0.54
C=? I = 125,340 i = 0.12 mensual t = 60 años
𝐶=
125,340 125,340 = = 1450.69 (1.44)(60) 86.4
¿Cuál fue el capital que colocado a una tasa de interés del 9% anual durante 180 días produjo un interés de $1,125? C=? i = 9% anual I = 1,125 t = 180 días
𝐶=
1,125 1125 = = 25,000 (0.025)(180) 0.045
Determinar el monto de un capital de $120,000 con una tasa de interés del 30% anual, durante 6 semestres, capitalizable mensualmente.
C = 120,000 I=? i = 30% = 2.5% mensual t = 6 semestres = 36 meses 𝑚 = 120,000 [1 + (0.025)(36)] = 228,000 Capital
Monto
Plazo
Tipo de interés
15,000
15,337.50
3 meses
9% anual
113,636.36
100,000
2 años
11% trimestral
23,800
25,000
2.4315 años
0.12% diario
2,000
3,200
32 meses
0.0250% bimestral
5,200
6,000
13.181 anual
6.5% semestral
𝑚 = 15,000 [1 + (0.0075)(3)] = $15,337.50
𝐶=
100,000 100,000 = = $113,636.36 (0.44)(2) 0.88
𝑡=
𝐼 25,000 25,000 875.35 = = = = 2.4315 𝑎ñ𝑜𝑠 (23,800)(0.1290) 𝐶. 𝑖 28.56 360
𝑖=
𝐼 3,200 3200 0.05 = = = = 0.0250 (2000)(32) 𝐶. 𝑖 64000 2
𝑡=
𝐼 6000 = (3200)(6) 𝐶. 𝑖
Se depositan $100,000 en un banco ganando una tasa de interés efectiva mensual del 0.5% durante un periodo de 30 días. Se desea conocer el monto de la operación. 𝑚 = 100,000[1 + (0.005)(1)] = 1.005(100,000) = $100,500
Se depositarán $20,000 durante un lapso de 45 dias, pudiendo negociar una tasa nominal anual del 0.10, calcular el monto tomando en cuenta el tiempo exacto. 𝑚 = 20,000[1 + (0.00027)(45)] = $ 20,246.57 Al cabo de 30 días se obtuvo un interés de $1,000 por un depósito a plazo fijo realizado a una tasa del 20% nominal anual. Se desea calcular el importe de la inversión inicial tomando en cuenta el tiempo exacto. 𝐶 =?
𝐶=
𝐼
= 𝑖.𝑡
1,000 (0.00055)(30)
=
1000 0.01644
= $60,827.25
𝑖 = 20% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐼 = $1,000 𝑡 = 30 𝑑í𝑎𝑠 Sabiendo que el monto de una aplicación financiera es igual a $300,000 y que se obtuvo una tasa de interés mensual del 1% durante un periodo de 12 meses, calcular el capital inicial de la operación. 𝐶 =?
𝐶=
𝐼
= 𝑖.𝑡
300,000 (1%)(12)
=
300,000 0.12
= $ 2,500,000
𝑖 = 1% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝐼 = $300,000 𝑡 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de $10,000, calcular el capital inicial sabiendo que la tasa de interés pactado fue del 0.22. 𝐶 =? 𝑖 = 0.22 𝐼 = $10,000 𝑡 = 30 𝑑í𝑎𝑠
𝐶=
𝐼
= 𝑖.𝑡
10,000 (0.22)
= $ 45,454.54545
El día 1 de enero del 2016 de depositaran en una institución bancaria $10,000 retirando el dinero el día 20 de febrero del 2016 negociando una tasa nominal del 8%, calcular el valor final de la inversión en el momento en que se retiró. 𝐶 = $10,000 𝑖 = 8% 𝑡 = 50 𝑑í𝑎𝑠
8
= 10,000 [(365) (50)] = $ 10,095.89041
En un régimen simple de interés se depositó un capital de $10,000 al 5% para 30 días por un lapso de 6 meses. Se desea saber el valor final de la operación final. 𝐶 = $10,000 𝑖 = 5% 𝑚= 𝑡 = 30 𝑑í𝑎𝑠
𝑚 = 10000 [1 + (0.05)(6)] = $13,000
DESCUENTO RACIONAL Calcular el descuento por anticipar un capital de 50000 ptos por 4 meses a un tipo de descuento del 12% a) aplicando el descuento racional. 𝐷 = (50,000)(0.12)(1 + 0.12 × 0.333) 𝐷 = 19,212 𝑝𝑡𝑜𝑠. b) Aplicando el descuento comercial 𝑑 = 𝐶𝑂 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡 𝐷 = 2000000 ∗ 0.12 ∗ 0.333 𝑑 = 19 980 𝑝𝑡𝑜𝑠 INTERÉS SIMPLE Una persona contrae dos obligaciones de $10,000 y de $500 que serán pagados la primera dentro de 3 meses y la segunda dentro de 9 meses. El deudor propone al acreedor pagar la deuda en la forma siguiente $8000 dentro de 6 meses de haber contraído las obligaciones y el saldo dentro de 1 año ¿Cuánto tendrá que pagar al final del año para liquidar la deuda? 10,000 (1 + 9 ∗ (1 + 6 ∗
0.12
0.12
12
12
) + 15,000 (1 + 3
) = $8,000
0.12 )+𝑥 12
𝑥 = $17,870 Se depositan $100,000 en un banco ganando una tasa de interés efectivo mensual del 0.5% durante un periodo de 30 días. Se desea conocer el monto de la operación. 𝑀 =𝐼+𝑖∗𝑡 (100,000)(0.5)(30) = $1500000
Calcular el valor actual de una letra de cambio suscrita por $2,500 a 180 días de plazo, si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa de interés del 18% anual. 2500
𝑚 = $2500
𝐷𝑟 = 2500 −
𝑖 = 18% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝐷𝑟 = 2500 −
𝑡 = 60 𝑑í𝑎𝑠 = 0.166666666
2500 − 2427.1841466 = $72.8158534
1+(0.18)(0.16666666) 2500 1.03
𝐷𝑟 = 2500 − 72.8158534 = $2,427.1841466
Calcule el descuento racional de una letra de cambio suscrito por $1800 el 02 de mayo a 180 días de plazo si se descuenta el 02 de agosto del mismo año a una tasa de interés de 2% mensual. 𝑚 = $1800 𝑖 = 2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑡 = 88 𝑑í𝑎𝑠 = 2.838709677
𝐷𝑟 = 1800 −
1800 1+(0.02)(2.893150685) 1800
𝐷𝑟 = 1800 − 1.057863614 1800 − 1701.543561 = $98.456439
Calcular el descuento racional de una letra de cambio de $7500 suscrito el día de hoy a 210 días de plazo con una base de interés del 1.8% mensual desde su suscripción si es descontado 60 días antes de su vencimiento a una tasa del 1.9% mensual. 7500 = 6888.5184 0.088768232
Calcule el descuento racional de un pagaré de $850 suscrito a 180 días, si fue descontado 30 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 12% anual. 850
𝑡 = 180 𝑑í𝑎𝑠
$850 − 1+(1 𝑚𝑒𝑠)(0.01%) =
𝑖=
850 − 841.5841
𝐶 = 5850
𝐷𝑟 = $8.4159
850 1.01
𝐷𝑟 =? 𝑡 𝑑𝑒𝑠 = 30 𝑑í𝑎𝑠 𝑖 𝑑𝑒𝑠 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
Cuál es el descuento bancario bursátil de una letra de cambio de $250 suscrito el 21 de marzo a 120 días de plazo si fue descontado el 03 de junio del mismo año. 𝑚 = $250 𝑡 = 74 𝑑í𝑎𝑠
22111-
31= 30= 31= 03=
10 30 31 3 74
Calcule el valor efectivo de un pagare de $800 suscrito a 120 días de plazo si se descuenta el día de hoy a una tasa de descuento del 18% anual. 𝑡 = 60 𝑑í𝑎𝑠 = 0.16 𝑎ñ𝑜𝑠 850
800
$800 − 1+(0.18)(0.32876767123) =
1.01 800
𝑖 = 18% anual
850 − 1.059178082
𝑚 = 800
= $44.69736148
𝐷𝑟 = 23.30 𝑉𝐴 = 776.70
Un pagaré de $2700 suscrito el 18 de abril a 150 días de plazo con una tasa de interés del 4.5 % anual desde su suscripción, es descontado el 05 de junio del mismo año a una tasa de descuento del 12% anual. Calcular el descuento bancario y el valor efectivo a la fecha de descuento.
A
19- 30= 12
M 1-
31= 31
J
1-
30= 30
J
1-
31= 31
A
1-
31= 31
S
1-
15= 15 150
𝐷𝑟 =? 𝐶 = 2700 𝑡 = 150 𝑑í𝑎𝑠 𝑖 = 4.5 % 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑑 = 102 𝑑í𝑎𝑠 𝑖𝑑 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝐼 = (2700)(0.410958904)(45%) 𝐼 = (2700)(0.018750000) = 49.9315064 𝑀 = 2700 + 49.9315064 = 2749.93151 274.93 𝐷𝑟 = 274.93 − 1+(0.12)(0.28333333) 𝐷𝑟 = 2750.625 − 2660.1789 = 90.446100
Una empresa solicita un préstamo de $10,000 a un banco a 180 dias del plazo. Calcule el valor efectivo que recibe y el descuento bancario que le hacen, si el banco aplica una tasa de descuento del 16% anual. 𝑡 = 180 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑀 = 10,000 𝑖 = 16% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐷𝑟 =
10000−10000 1+(0.0004)(180)
10000 − 9261.69 = 731.33
DESCUENTO BANCARIO 𝐷𝑏 = (2749.93151)(0.12)(0.283333333)
𝐷𝑏 =? 𝑀 = 2749.93151
= 93.49767123
𝑑 = 12% 𝑡 = 102 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝐷𝑏 =?
𝐷𝑏 = (100,000)(0.16)(0.5)
𝑀 = 10,000
= 800
𝑑 = 16% 𝑡 = 180 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝐷𝑏 = (6355.068493)(0.0005)(90)
𝐷𝑏 =? 𝑀 = 6,355.068493
= 285.9780822
𝑑 = 1.5% 𝑡 = 90 𝑑𝑖𝑎𝑠 ECUACIÓN DE VALOR CON INTERÉS SIMPLE Una empresa tiene 4 deudas u obligaciones la primera es de $7000 con vencimiento en 90 días a una tasa de interés del 1% mensual desde su suscripción, la segunda es de $12000 con vencimiento en 150 días sin intereses, la tercera de $15000 con vencimiento a 210 días de plazo y con una tasa de interés del 2% mensual desde su suscripción y la cuarta de $20000 a 300 días sin intereses. La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento en 180 días, con una tasa del 18% anual. Calcule el valor del nuevo documento que consolidaría las 4 deudas. M1= 7000 a 90 días M2= 12000 a 150 días M3= 15000 a 210 días M4= 20000 a 300 días
Nuevo plazo= 180 días
T1
180-90= 90
Tasa del 18% anual
T2
180-150=30
T3
180-210=30 180-300=120
𝑥 = 7210(0.18)(0.250) + 12000(0.18)(0.83) +
17100 20000 + 1 + (0.18)(0.83) 1 + (0.18)(0.33)
𝑥 = 7534.45 + 12180 + 16847.29064 + 1886792453 = 55429.66517 En el problema anterior considera la tasa de descuento del 1.75% mensual para el cálculo del nuevo documento. 7210[1 + (0.0175)(0.25)] + 12000[1 + (0.0175)(0.0833)] + +
17100 1 + (0.0175)(0.0833)
20000 = 7241.54375 + 12017.5 1 + (0.0175)(0.333)
Una persona ha firmado tres documentos el primero de $500 a 3 meses de plazo con una tasa de interés del 1” mensual, el segundo de $9000 a 120 días de plazo a una tasa del 1% mensual y el tercero de $12000 a 180 días de plazo a una tasa del 18% anual. La persona desea reemplazar los tres documentos por uno solo pagadero al final del año ¿Cuál será el valor de ese documento si se considera una tasa de interés del 2% mensual?
M1= 5000 a 3 meses M2= 9000 a 120 días M3= 12000 a 180 días
Nuevo plazo= 1 año Tasa=24 % anual
T1
360-90= 270
T2
360-120=240
T3
360-180=180
𝑥 = 5150(0.24)(0.75) + 9540(0.24)(0.666666667) + 13080(0.24)(0.5) 𝑥 = 6077 + 11066.40 + 14649.6 = 31786
El propietario de un edificio en venta recibe 3 ofertas, a)500000 de contado y $1000000 a 1 año, plazo b) $4000 de contado y dos letras de $600000 y $500000 con vencimiento en 6 y 9 meses respectivamente; c)$300000 de contado, una letra de $700000 en tres meses y otra letra de $500000 en 9 meses. Calcular cual oferta le conviene al propietario y cual al comprador. Considerar una tasa del 18% anual. a) 500,000 +1,180,000= 1,680,000 b) 400,000+(600000)(9%) + (500000)(13.5%) = 1,621,500 c) 300000 + (700000)(4.5) + (500000)(13.5) = 1,599,000 Conviene al propietario la oferta a) y al comprador la oferta c).
INTERÉS COMPUESTO Calcular el monto a interés compuesto de un capital de $8,000 calculado durante 10 años a una tasa de interés del 12% anual. C = 8,000 i = 0.12 m=1 n = 10
𝐼=
0.12 = 0.12 1
𝑛 = 1𝑥10 = 10 𝑀 = 8,000 (1 + 0.12)10 𝑀 = $24,846.78567 I=C.t.i 1 (8000) (1) (0.12) = 960 2 (8960) (1) (0.12) = 1,075.2 3 (10,035.2) (1) (0.12) = 1,204.224 4 (11,239.424) (1) (0.12) = 1,348.93088 5 (12,588.5488) (1) (0.12) = 1,510.578586 6 (14,098.73347) (1) (0.12) = 1,691.848016 7 (15,790.58149) (1) (0.12) = 1,894.869778 8 (17,685.45127) (1) (0.12) = 2,122.254152 9 (19,807.70542) (1) (0.12) = 2,376.924651 10 (22,184.63007) (1) (0.12) = 2,662.155608 = 24,846.78568
Obtiene un préstamo de $5,000 con una tasa de interés del 6% semestral, capitalizable trimestralmente. Calcule el interés compuesto y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento. 𝑉𝑓 = 5,000 (1 + 0.03)48 = 20,661.25 𝐼 = 20,661.25 − 5,000 = 15,661.25 Una persona colocó un capital de $3,000 en una cuenta de ahorros al 6% de interés anual capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final de 8.5 años? 3,000 (1 + 0.015)34 = 4,976.989118 Calcule el valor de un pagaré al día de hoy, cuyo valor al término de 9 años y 6 meses será de $8,000, considerando una tasa de interés del 13% anual capitalizable trimestralmente. t = 38 trimestres i = 0.0325 trim M = 8,100
𝐶=
8,100 8,100 = = 2,402.49 (1 + 0.0325)38 3.37149
Calcule el monto compuesto que acumulará un capital de $3,500 durante 6 años y 9 meses al 16% con capitalización continua. C = 3,500 t = 6 y 9m i = 16% Capitalización continua
3,500 (1 + 0.16)6.75 = 9,531.46 Calcule el monto y el interés compuesto que producirá un capital de $48,000,000 colocado a una tasa de interés del 18% con capitalización continua durante 15 años y 6 meses. 𝑀 = 48,000,000 (1 + 0.18)15.5 = 624,327,335.7 624,327,335.7 − 48,000,000 = 576,327,335.7 A que tasa anual se debe colocar un capital de $2,500 para que produzca un monto de $5,520 en 10 años.
𝑖 [
5,520 1/10 ] − 1 = [2.208]0.1 − 1 = 0.08243021558 − 1 = 8.243021558 2,500
Calcular en qué tiempo en meses aumentará en 0.75 veces más un capital de $6,000 considerando una tasa de interés del 17% anual. 10,500 log 6,000 0.243038048 𝑡= = = 39.96𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 3.35 𝑎ñ𝑜𝑠 log(1 + 0.17) 0.006080782 a) Un millón a tres años al 18 % anual capitalizable semestralmente b) $5,000,000 a 4 años y 6 meses 12% capitalizable trimestralmente. c) $3,000,000 a 6 años 9 meses al 15% capitalizable trimestralmente. 𝑉𝑓 = 1,000,000 (1 + 0.09)6 + 5,000,000 (1 + 0.12)4.5 + 3,000,000 (1 + 0.0375)27 = (1,677,100.111) + (8,326,281.819) + (8,105,878.693) = 18,109,260.623
a) Una obligación de $10,000 a 36 meses, i=2% bimestral, capitalizable mensualmente. b) $12,000 a 180 días, i=3% mensual, capitalizable semestralmente. c) $25,000 a 14 bimestres, i= 12% anual, capitalizable mensualmente. Deseo reemplazarlo con un solo documento a un año a 3% bimestral capitalizable bimestralmente. 𝑉𝑓 = 10,000 (1 + 0.01)36 + 12,000(1 + 0.06)3 + 25,000(1 + 0.06)4.6666 = (14,307.68784) + (14,292.192) + (32,812.10152) = 61,411.98136 6 − 18 = −12 6−3=3 6 − 14 = −8 𝐶𝑂 = 14,307.68784 (1 + 0.03)−12 + 14,292.192 1 + 0.03)3 + 32,812.10152(1 + 0.03)−8 = 10,035.12438 + 15,617.46409 + 25,902.17594 = 51,554.76441