Folleto 4
1. Si una función f : IR→ IR es periódica, entonces es Verdad que: a) ∀T ∈ IR ∃x ∈ IR, f ( x − T ) = f (T ) b) ∀ x ∈ IR ∃T ∈ IR, f ( x − T ) = f ( x) c) ∃T ∈ IR ∀x ∈ IR, f ( x) + T = f ( x) d) ∃T ∈ IR ∀x ∈ IR, f ( x − T ) = f ( x) e) ∃T ∈ IR ∃x ∈ IR, f ( x + T ) = f ( x) 2. Si una función f : IR→ IR es inyectiva, entonces es Verdad que: a) ∃ x1 ∈ A ∃x2 ∈ A, [ x1 ≠ x2 ]
⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) b) ∀ x1 ∈ A ∀x2 ∈ A, f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ [ x1 = x2 ] c) ∀ x1 ∈ A ∀x2 ∈ A, [ x1 ≠ x2 ] ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) d) ∃ x1 ∈ A ∀x2 ∈ A, [ x1 ≠ x2 ] ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) e) ∃ x1 ∈ A ∃x2 ∈ A, [ x1 = x2 ] ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) 3. Si z 1 = ( x x1, y1) y z 2 = ( x x2, y2) son dos núeros cop!e"os. #ntonces, z 1 = z 2 si y só!o si: a) ( x1 = y2) ∧ ( y y1 = y2) b) ( x x1 = y2) ∨ ( y y1 = y2) c) ( x1 = y1) ∧ ( x x2 = y2) d) x1 = x2 e) ( x1 = x2) ⇒ ( y y1 = y2) $. Sea Re un con"unto referencia! y p( x x) un predicado. %a definición de con"unto so!ución de p( x x) es, a) & p( x x) = ' x ¬ p( x x) b) & p( x x) = ' x x x ∈ Re ∧ ¬ x ∈& p( x x) c) & p( x x) = ' x & p( x x) ⊆ Re d) & p( x x) = ' x x x ∈ Re ∨ ( p p( x x) ≡ 1) e) &p(*) = ' x/x ∈ Re ∨ ( p p( x x) ≡ 1) +. ado e! si-uiente enunciado: Si !a deanda decrece y !a epresa no reduce !a producción entonces !a pub!icidad debe increentarse/ 0on !as proposiciones atóicas: a: %a deanda decrece b: %a epresa reduce producción prod ucción c: %a pub!icidad debe increentarse
n enunciado equiva!ente e*presado en !en-ua"e fora! de dica proposición o!ecu!ar, es. a) ¬(a ∨ b) ∨ c b) c ∨ ¬(a ∧ ¬b) c) ¬(¬a ∨ b) ⇒ c d) ¬ c ∧ (¬a ∨ b) e) (a ∧ ¬b) ⇒ c . ados !os con"untos referencia!es: Re= '4, 1, Re = '53, 51, 4, 1, y e! predicado p( x, x, y). #s verdad que: a) ∀ y ∃x p( x, y ) b) ∃ x ∀y p ( x, y ) c) ∃ x ∀y ¬p ( x, y ) d) ∀ x ∀y p ( x, y ) e) ¬∃ y ∀x ¬p ( x, y ) 6. %a ne-ación de !a proposición: 7ara todo núero natura! n, n829/ es equiva!ente a !a proposición: a) b) c) d) e)
7ara 7ara a!-un a!-unos os núe núeros ros nat natura ura!es !es n, n 8 2 ;
. Si U , V y y W son son vectores en IR3 , y c∈ IR, entonces una de !as si-uientes proposiciones es a!sa. >dentif?que!a: a) U ×(V 8W ) = (U ×V )8 )8 (U ×W ) b) ( cU ) × V = c ( cU × V ) c) ( U + V ) × ( V −W ) d) U × V
= − ( V ×U )
= U × ( V −W )
e) Si todos !as proposiciones anteriores son verdaderas, arque esta opción.
@. Si A es una operación binaria, definida sobre e! con"unto de !os núeros rea!es, ta! que a A b = ab - (ab)2, entonces A es conutativa. a) Verdad rdader ero o
b) a!s a!so o
14. A es una operación binaria, definida sobre e! con"unto de !os núeros rea!es, ta! que a A b = ab - (ab)2, entonces A es asociativa. a) Verdad rdader ero o b) a!s a!so o
n enunciado equiva!ente e*presado en !en-ua"e fora! de dica proposición o!ecu!ar, es. a) ¬(a ∨ b) ∨ c b) c ∨ ¬(a ∧ ¬b) c) ¬(¬a ∨ b) ⇒ c d) ¬ c ∧ (¬a ∨ b) e) (a ∧ ¬b) ⇒ c . ados !os con"untos referencia!es: Re= '4, 1, Re = '53, 51, 4, 1, y e! predicado p( x, x, y). #s verdad que: a) ∀ y ∃x p( x, y ) b) ∃ x ∀y p ( x, y ) c) ∃ x ∀y ¬p ( x, y ) d) ∀ x ∀y p ( x, y ) e) ¬∃ y ∀x ¬p ( x, y ) 6. %a ne-ación de !a proposición: 7ara todo núero natura! n, n829/ es equiva!ente a !a proposición: a) b) c) d) e)
7ara 7ara a!-un a!-unos os núe núeros ros nat natura ura!es !es n, n 8 2 ;
. Si U , V y y W son son vectores en IR3 , y c∈ IR, entonces una de !as si-uientes proposiciones es a!sa. >dentif?que!a: a) U ×(V 8W ) = (U ×V )8 )8 (U ×W ) b) ( cU ) × V = c ( cU × V ) c) ( U + V ) × ( V −W ) d) U × V
= − ( V ×U )
= U × ( V −W )
e) Si todos !as proposiciones anteriores son verdaderas, arque esta opción.
@. Si A es una operación binaria, definida sobre e! con"unto de !os núeros rea!es, ta! que a A b = ab - (ab)2, entonces A es conutativa. a) Verdad rdader ero o
b) a!s a!so o
14. A es una operación binaria, definida sobre e! con"unto de !os núeros rea!es, ta! que a A b = ab - (ab)2, entonces A es asociativa. a) Verdad rdader ero o b) a!s a!so o
#n referencia a un raBonaiento cuyas ipótesis son: H 1: &!-unos ateCticos son poetas. H 2: &!-unos poetas son aados por !as u"eres bonitas. 11. &!-unos ateCticos son aados por !as u"eres bonitas/, es una conc!usión que ace vC!ido e! raBonaiento. a) Verdadero b) a!so 12. &!-unos ateCticos no son aados por !as u"eres bonitas/, es una conc!usión que ace vC!ido e! raBonaiento. a) Verdadero b) a!so
#n !os si-uientes tres teas se dan dos cantidades, una en !a co!una & y otra en !a co!una D. Se pide que deterine !a re!ación entre !as dos cantidades de acuerdo a! -rCfico presentado y a !as opciones dadas. #n e! -rCfico ad"unto, AD y BE son son dos diCetros de !a circunferencia con centro en C .
A
B C
E
$4G D
na de !as proposiciones corresponde a !a re!ación p!anteada, identif?que!a:
Tema
13.
Columna A (∠0#)
Columna B (arco enor D)2
1$. 1+.
(arco enor &D) (∠D0)
(arco enor ) (∠0#)
a) b) c) d)
Opción
%a cantidad cantidad de !a co!una co!una & es ayor ayor que !a cantidad cantidad de !a co!una co!una D. D. %a cantidad de !a co!una D es ayor que !a cantidad de !a co!una co !una &. %a cantidad cantidad de !a co!una & es i-ua! i-ua! que !a cantidad cantidad de !a co!una co!una D. D. %a re!ación re!ación no se puede deterina deterinarr con !a inforació inforación n proporcionada. proporcionada.
1. &! reso!ver !a si-uiente ecuación: +( x x 5 1) E x(6 5 x) = x2, con Re = IR es Verdad que se obtiene: a) n so!o e!eento que satisface !a ecuación. b) os e!eentos rea!es y distintos que satisfacen satisfac en !a ecuación. c) os e!eentos rea!es e i-ua!es que satisfacen !a ecuación. d) %a ecuación no tiene so!ución.
16. Si una de !as ra?ces de! po!inoio p( x): x$ E ax2 E + x 8 b es y conoce que p(1) 8 14 = 4. #ntonces, e! residuo de dividir p( x) para ( x 5 3) es: 14 2$$ a) 124 b)1+4 c) 4 d) e) 3 3
1. Si en e! -rCfico ad"unto !as rectas Ly S so para!e!as, entonces !os va!ores de a y b ostrados son, respectivaente:
a) .$ y $. b) 14.+ y 6.+ 2 2 c) y 21 1+ 1$ 14 d) y 3 3 21 14 e) y 2 3
L
6 $
+
b
S
a
1 + x − 1 − x x 2 ÷ 1+ x − 1 1 − 1 ÷ ÷ 1 +÷x 1 − x 1 + x 1 − x
1@. &! sip!ificar !a e*presión a!-ebraica
se
obtiene: a) x
b)
x
2
c) 2 x
d) 3 x
e) x
24. ado e! rectCn-u!o #H, inscrito en e! triCn-u!o isósce!es &D0, con AB = BC . Si DE = 1 , GD = 2 y !a a!tura respecto a! vIrtice D tiene !on-itud 3. #ntonces, !a edida de! se-ento AD es: B
a)
1
2 b) 2 c) 2 E
F
d) e)
2 2 3 2
2 C !a re-!a de correspondencia de una función f : Guestra 21. na A deD!as si-uientes opciones (4, π ) ∪ (π , 2π ) → IR, de variab!e rea! cuyo -rCfico se ad"unta. >dentif?que!a:
y = f ( x)
b) c) d) e)
f(*) = sec (*) f(*) = csc(* 8 π) f(*) = sec(* 5 π2) f(*) = sec(*)2
22. Si a∈ IR y se conoce que e! sistea de ecuaciones !inea!es ax + 2 y + 3z = 1
x − y = 3
y + az = 1
#ntonces es verdad que: a) a = 53 ∨ a = 1 b) a = -1 ∨ a = 3 1 c) a = 2 ∨ a = 2 d) a = + ∨ a = + e) a= ∨ a = @ 23. na de !as si-uientes ecuaciones representa una parCbo!a cóncava acia arriba, cuyo vIrtice es V (2, 53) y con !ado recto de !on-itud i-ua! a $. >dentif?que!a: a) b) c) d) e)
x2 8 3 x E 2 y 8 @ = 4 x2 8 2 x E + y E 23 = 4 x2 8 + x E 2 y E 24 = 4 x2 8 6 x E 2 y E 2$ = 4 x2 E $ x E $ y E = 4
2$. ada !a función f , de variab!e rea!, ta! que f(*) = 3!o-2($ x 5 +), * 9
+
una de !as $ si-uientes opciones contiene !a re-!a de correspondencia de !a función inversa de f . >dentif?que!a:
−1 $ x −+ a) f ( x) = 3 , x ∈ IR
x 3 b) f −1 ( x ) = 2
++ $
, x ∈ IR
−1 $ x −+ + 3, x ∈ IR d) f ( x ) = 2
x
e) f −1 ( x) = 2
−
3
++
$
, x ∈ IR
2+. %a sua de !as dos cifras de un núero positivo es @. Si a! invertir e! orden de !as cifras se obtiene un se-undo núero que e*cede en @ a! cuCdrup!o de! núero ori-ina!, entonces e! núero ori-ina! es: a) 26
b) 3
c) +3
d) 3+
e) 1
2. %os va!ores de ∈ IR para !a recta: $ x E 3 y 8 = 4 sea tan-ente a !a circunferencia con ecuación: x2 8 y2 E 12 x E 2$ y 8 3 = 4 son: a) 62 y 5$ b) 562 y 5$ c) 62 y $ d) 1 y 5$ e) 562 y 1 26. #! Crea de !a superficie tota! de un prisa e*a-ona! re-u!ar cuyas aristas !atera!es iden $ 3 c. y ta! que !as aristas de !a base iden 2c. es: a) 4 3 c2 b) $ 3 c2 c) $ 3 c2 d) 26 3 c2 e) 3 3 c2 2. Si se define e! predicado p( x): 3 x82 8 @ x81 = 14, x ∈ IR. #ntonces e! con"unto so!ución & p( x) es: a) '514 b) '2 c)∅ d) '5@ e)'51 2@. Si se define e! predicado p( x): cos( x) = (2 E tan( x)) (1 8 sen( x)), x∈J4, 2π K, entonces & p( x) es: π 3π π $π , 2π a) , e) , $ $ 3 3
3π , 2π 2 3 π +π c) , 3 3 π 2π d) 4, , 3 3
b) 4,
34. ados !os con"untos finitos & = 'α, β, δ, ρ y D ='a, e, i, o, u. Si se definen !as si-uientes re!aciones: ! 1: A→ A, ! 1 = '(α, α), (β, β), (δ, δ), (ρ, ρ) ! 2: A→ A, ! 2 = '(α, a), (β, e), (δ, "), (ρ, o), (ρ, #) ! 3: B→ B, ! 3 = '(a, e), (e, "), (", $), (o, #)
#ntonces es Verdad que: a) ! 1 no es una función biyectiva b) ! 2 es una función c) ! 3 es una función d) ! 1∪ ! 2 es una función e) ! 1 es una función 31. Si a! unir !os focos de !a e!ipse cuya ecuación es: 6 x2 8 1 y2 E 32 y E @ = 4, se fora e! diCetro de una circunferencia. #ntonces !a ecuación de !a circunferencia es: a) x2 8 y2 E 2 y 8 14 = 4 b) x2 8 y2 E 2 y 8 = 4 c) x2 8 y2 E 2 y 5 = 4 d) x2 8 y2 E 2 y 8 1 = 4 e) x2 8 y2 E 2 y 5 14 = 4 Folleto 5 1. Su un raBonaiento es vC!ido entonces todas !as porciones que !o constituyen son verdaderas. a) Verdadero b) a!so
2. na de !as si-uientes foras proposiciona!es no es tauto!ó-ica. >dentif?que!a: a) p ∧ ( p ⇒ % ) ⇒ p
¬ p ∧ ( p ∨ % ) ⇒ % c) ( p ⇒ % ) ∧ ( % ⇒ ! ) ⇒ ( p ⇒ ! ) d) ( p ⇒ % ) ∧ ¬% ⇒ ¬p e) ( p ⇒ % ) ∧ % ⇒ p
b)
3. adas !as preisas: H 1: Si practicas a!-ún deporte entonces, -oBarCs de buena sa!ud y te sentirCs 0ontento. H 2: Si te !esionas entonces no te sentirCs contento. H 3: 7racticas a!-ún deporte.
eterine cua! de !as si-uientes proposiciones es una conc!usión que se puede inferir !ó-icaente a partir de e!!as. a) b) c) d) e)
$.
∀n ∈ I& ( p ( n ) ∨ % ( n ) ) ⇒ Ap ( n ) ∪ A% ( n ) = I& a) Verdadero
b) a!so
+. Sean !os referencia!es Re x='4, 1, 2 y Re y = '4, 2, $ y e! predicado p( x, y ): y = 2 x, entonces: ∀ x∃y, p ( x, y ) ⇒ ∀y∀x, p ( x, y ) a) Verdadero '(
b) a!so
&! entrevistar a 1444 estudiantes se obtuvieron !os si-uientes resu!tados: 44 practican fútbo! +44 practican bCsquet 1+4 no practican ni fútbo! ni bCsquet
#ntonces, e! porcenta"e de a!unos que practican fútbo! y bCsquet es: a) b) c) d) e)
+L 14L 2+L 3+L +4L
7. Sea A = '52, 51, 4,1, 2 y M !a operación binaria definida en A, ta! que a M b = Na E bN 5 2. #ntonces es FALSO que: a) 1 M 4= 51 b) (52 M 51) M 1 = 4 c) M es una operación conutativa *) ∀a, a M 4 = a e) ∃a, a # a = a ax − bx
x
a) Verdadero 3 @. #n e! desarro!!o de! binoio a 2 − ÷ a
b) a!so $
−
e! penú!tio tIrino es
a) Verdadero 14.
−
26 a+
.
b) a!so
∀n ∈ I& , 2 + $ + + ... + 2n = n(n + 1) a) Verdadero
b) a!so
11. na pob!ación de bacterias crece de ta! anera que cada d?a ay e! dob!e de !as que ab?a e! d?a anterior. Si en e! d?a dieB se encontraron 142$ bacterias, entonces en e! prier d?a ab?an: a) $ bacterias b) bacterias c) 1 bacteria d) 2 bacterias e) 3 bacterias 12.
N x N −$, N x N≤ Sea una función f : IR→ IR ta! que f ( x ) = , N x N> 2
na de !as si-uientes proposiciones es a!sa. >dentif?que!a: a) b) c) d) e)
f es par J4,2K ⊆ !+ f ∃ x∈ IR, f ( x) = 5 + ∀ x1 , x2 ∈ ( −∞, 4K,J x1 f es acotada
< x2 ⇒
f ( x1 ) ≥ f ( x2 )K
13. ada una función f : IR → IR, ta! que f ( x) = x2 8 bx 8 1, b ∈ IR na de !as si-uientes proporciones es a!sa. >dentif?que!a: a)
( b < $ ) ⇒ (∀x ∈ IR, 2
f ( x ) ≠ 4)
b 2 b) 2 − ÷ ∈ !+ f $ c) ∃b ∈ IR , f es par b d) f es creciente en − , ∞÷ 2 e) ∃b ∈ IR , f es sobreyectiva 1$. adas !as funciones f y + de IR en IR ta!es que x 2 , x ≤ 4 , entonces es Verdad que: f ( x) = 2 x + +, + ( x ) = − > +, 4 x
a) ∀ x, +$f ( x ) > 4 + b) ∀ x ∈ −∞, − ÷ , ( +$f ) ( x ) > 4 2 c) +$f es creciente en todo su doinio + d) ∀ x ∈ − , ∞÷ , ( +$f ) ( x ) = 4 2
+ > 4 ÷ 2
e) +$f −
1+. adas !as funciones f y + de IR en IR, ta!es que f ( x) = µ( x2 5 1), + ( x) = x 8 2, entonces es Verdad que: a) ∀ x ∈ ( 1, ∞ ) , b) ( f+ ) ( −1)
( f+ ) ( x) = x + 3
=1
c) ∀ x ∈ ( −1, 1) ,
( f+ ) ( x) = 4 d) ∀ x > 1, ( f+ ) ( x ) = − x − 2 e) ( f+ ) es acotada
2 x , x ≤ 1 , entonces es a!so que. ta! que f ( x) = − + > − 1, 1 x x −
1. ada !a función f : IR→ IR,
a) f 51 (2) = 5 1 b) f -1 es estrictaente decreciente en todo su doinio. −1 c) ∀ x > 1, ( f ( x ) = − !o- 2 x ) −1 d) ∀ x < 2, ( f ( x )
e) ∃ x, ( f ( x )
=
= 1 − x)
f −1 ( x ) )
16. %a función f : IR→ IR, ta! que f ( x) = sen(N xN) 8 3 es par. a) Verdadero b) a!so 1. Sean Re = J4, πK y e! predicado p(*): cos2(*) = cos(2*), entonces, & (& p( x)) es 2. a) Verdadero b) a!so 1@. Sea Re = J4, 2πK y e! predicado p( x): cos(2 x) 8 sen2( x) = 3(sen( x) 8 1) #ntonces es Verdad que: a) & p( x) = ∅ 3π b) Ap ( x ) = 2 c) & (& p( x))= 2
24. Si U y V son vectores de i-ua! nora, entonces NNUV NN = 2NNU NN a) Verdadero 21.
b) a!so
Sea L !a recta que contiene !os puntos ($, 4) y (4, 2). #ntonces es Verdad que: a) %a pendiente de L es enor que 51 b) L es orto-ona! a !a recta y = * c) %a distancia de L a! ori-en es enor que 2 d) L es para!e!a a !a recta y = 52 x e) (2, 2) ∈ L
22. Se cubre e! piso de un cuarto con $ ba!dosas idInticas. 0ada ba!dosa es un cuadrado ne-ro en donde se a pintado un cuadrado b!anco cuyos vIrtices son !os puntos edios de cada !ado de dica ba!dosa. #ntonces, e! porcenta"e tota! de piso ne-ro es: a) b) c) d) e)
$+L +4L ++L 4L +L
23. Sea V x e! vo!uen de! só!ido que se -enera a! rotar !a re-ión sobreada a!rededor de! e"e y V y e! vo!uen de! só!ido que se -enera a! rotar !a isa re-ión a!rededor de! e"e . . #ntonces es Verdad que: a) V x = 2V y V y b) V x = 2 c) V x = $V y d) V x = V y V y e) V x = $
y
2a
a
x
2$. #! vo!uen de! ci!indro recto inscrito en un cubo cuyo !ado tiene !on-itud a es
π a
2
3
.
N
a) Verdadero
b) a!so
2+. Oespecto a! si-uiente sistea de ecuaciones !inea!es − x + 3 y + ( − 3) z = 4
x − 2 y + 3z = 1 2 x − ( + 1) y + z = 4
Si = 3, entonces e! sistea tiene infinitas so!uciones. a) Verdadero b) a!so
Si !os pares ordenados ( x1, y1) y ( x2, y2) son so!uciones de! sistea de ecuaciones no !o-( x 2 ) − !o-( y ) = 4 !inea!es , deterine e! va!or de verdad de !as si-uientes x − y + 2 = 4 proposiciones: 2. x1 5 y2 = 5 2
26. x2 8 y2 = 1 a) Verdadero
b) a!so
1 2 n 2 n ∀ ∈ = , n I& A , entonces ÷ 4 n÷ . 4 1
2. Si A =
a) Verdadero
cos θ Sea !a atriB A = enθ
b) a!so
− enθ ÷ . eterine e! va!or de verdad de !as si-uientes cos θ
proposiciones: 2@.
34.
31.
∃θ ∈ IR, det( A) ≠ 1 a) Verdadero
b) a!so
a) Verdadero
b) a!so
a) Verdadero
b) a!so
∀θ ∈ IR, A2 = 2 A ∀θ ∈ IR, AT A = I 2 2 ×
32. Si !os puntos 0 1(4, 1), 0 2(2, 1) y 0 3(1, 2) pertenecen a una circunferencia, entonces e! radio de esta circunferencia tiene !on-itud i-ua! a: a) 2 b) 1 1 c) 2 3 d) 2 2 e) 3 Si z 1, z 2 ∈0 y sus con"u-ados son z1 , z 2 respectivaente, deterine e! va!or de verdad de !as si-uientes proposiciones: 33. z1 + z 2
3$. z1 z1
= z1 + z 2 a) Verdadero
b) a!so
a) Verdadero
b) a!so
= z 12
3+. Sea f una función po!inóica con re-!a de correspondencia f ( x) = x2 8 ax 8 b . Si a!
a) Verdadero
b) a!so
Folleto 6
1.
∀ x, y ∈ IR − '4, J x 1 + y 1 = ( x + y 1 ∧ x ≠ − y)K −
−
−
a) Verdadero
b) a!so
2. Si !as ipótesis de un raBonaiento son: H 1: Foda función continua es inte-rab!e. H 2: Foda función acotada es inte-rab!e. H 3: &!-unas funciones acotadas son continuas. #ntonces una conc!usión para que e! raBonaiento sea vC!ido es: a) b) c) d) e)
Foda función continua es acotada. &!-unas funciones continuas no son acotadas.
3. Si Oe = '1, 2, 3, $, + y !os con"untos A y B cup!en !as si-uientes condiciones: A ∩ BC = '1, 2 ( A ∪ B)C = '$, + A ∩ B ≠ ∅ #ntonces & ( B -A) es: a) 1
b) 3
$. %a fora proposiciona!
c) $
( p → % ) ∧ ( p → ! ) ⇔ a) Verdadero
d) 2
e) 4
p → ( % ∨! ) es Fauto!ó-ica.
b) a!so
+. Si f : IR→ IR es una función inversib!e ta! que (a, b) ∈ f y (a, b) ∈ f 51, entonces a = b a) Verdadero b) a!so . Si Re = IR y p( x): s-n(N xN 5 2) = 51 #ntonces & p( x) es: a) (51, 1) b) '51, 1 c) (52, 2)
δ) ∅
1(
Si Re = IR y p(*): 2!o- * = 1 8 !o- x −
@
÷
14
, entonces !a Sua de !os
e!eentos de! con"unto de verdad &p(*) es: a) $ b) @ c) 1 d) 14 e)
x 2 + 3 y 2 = x + 3 y ∧ ( x ≠ − y) . ∀ x, y ∈ IR − '4 x + y a) Verdadero
b ) a!so
Si f y + son funciones de IR en IR cuyas re-!as de correspondencia son:
N x N +2, f ( x ) = § x ¨ ,
x ≤1 x >1
y
1, x > 4 + ( x ) = 2 x + x, x ≤ 4
#ntonces deterine e! va!or de verdad de !as proposiciones indicadas en !as pre-untas @ y 14. @. f (1)g+ (3) = a) Verdadero
b ) a!so
a) Verdadero
b ) a!so
+ ÷÷ = 1 2
14. + f
11. Si f es una función de J51, 3K en IR ta! que f ( x) = x Nx 5 2N, entonces e! -rCfico de f es:
a) Verdadero
12.Si f es una función de J5π , f es:
π K
b ) a!so
en IR ta! que f ( x) = sen ( x 8 π ), entonces e! -rCfico de
a) Verdadero
b ) a!so
13. Si f es una función de J53, 1) en IR ta! que f ( x) = !n(1 5 x), entonces e! -rCfico de f es.
a) Verdadero
b ) a!so
1$.Si Re= J4, 2π K y p( x): sen(2 x) E 2cos( x) = 4, entonces !a Sua de !os e!eentos de! con"unto de verdad & p( x) es: +π a) 2 2π b) 3 c) 2π
e)
+π 3
1+. %a proyección esca!ar de! vector (2 A5 B) sobre e! vector D, donde !os vectores A = (1, 1, 1) y B = (4, 51, 1) es: a) 1 b) 2 c) − 2 1 d) − 2 1 e) 2 1. %a ecuación de !a circunferencia con centro en (1, 51) y que es tan-ente a !a recta de ecuación y = x E 1 es: a) 2 x2 8 2 y2 E $ x 8 $ y 8 13 = 4 b) 2 x2 8 2 y2 E $ x 8 $ y 8 + = 4 c) 2 x2 8 2 y2 E $ x 8 $ y 5 + = 4 d) x2 8 y2 E 2 x 8 2 y 8 1 = 4 e) 2 x2 8 2 y2 E $ x 8 $ y 8 3 = 4
16. &! sip!ificar !a si-uiente e*presión (1 8 ")144 " se obtiene: a) 22+(1 5 ") b) 22+(1 8 ") c) 22+ d) 52+4" e) 2+4" 1. Si Re = C y p( z ): z 3 = 51, entonces !a Sua de !os e!eentos de & p( z ) es: a)
1
2 b) 1 c) 4 d) 52 1 e) − 2 1@. Si e! po!inoio p( x) = x3 E 2x2 8 nx es divisib!e para ( x 8 2)( x 5 1), e! va!or 2 n es: a) 12 b) 5 c) 1
e) 51
1 4 1 24. A = 4 −1 − 2 −3 ÷ AB es 1÷ : 1÷
4
÷ 1÷ 4÷
1 −3 y B = 4 1 4 4
2
÷
4÷ , entonces !a se-unda co!una de !a atriB +÷
a) Verdadero
b ) a!so
21. Si A, By C son atrices de n×n, donde C es una atriB inversib!e y A = C -1D0, entonces det( A) = det( B) a) Verdadero b ) a!so a
b
c
22. Si * +
e
f
3
"
= $ , entonces
c
b − 2a
3 f
3e − *
"
3 − 2+
−a −3* es i-ua! a: −+
a) 5$ b) $ c) 12 d) 512 e) 52$ 0onsidere para !as pre-untas 23 y 2$ e! con"unto Re = IR3 y e! si-uiente sistea de ecuaciones !inea!es:
−2 y + α z = 1 p ( x, y, z ) : x − 3 y + z = 2 x + y = 1 23.%a atriB de coeficientes tiene 3 fi!as y $ co!unas. a) Verdadero 2$. #! sistea tiene So!ución única, si só!o si α ≠ a) Verdadero
b ) a!so
1 2 b ) a!so
2+. n va!or rea! * para que !a sucesión 3, x, $ sea -eoItrica, es 12: a) Verdadero
b ) a!so
0on respecto a !a re-ión R definida por R = '( x, y)∈ IR2 y2 E 2y ≤ x ≤ 2 5 y
2. %a representación de R en e! p!ano cartesiano es:
a) Verdadero b ) a!so
26. (1, 2) ∈ R a) Verdadero
b ) a!so
2. 0on respecto a! -rCfico ad"unto se conoce que 2 ( ∠4BC )
= 2 ( ∠BC4 ) =
π
3
. #ntonces e! Crea de
!a superficie sobreada es i-ua! a:
a) b)
d) e)
π + $ 3 ÷ 24π 3 c) (1π 5 ) $π 3 π
3
+ $ 3 ÷
2@. 0on respecto a !a fi-ura ad"unta, se conoce que e! vo!uen de! cono de radio de !a base 3! es i-ua! 26π . #ntonces e! vo!uen de! cono de a!tura 3 y radio de !a base ! es: a) @π#3 b) 3π#3 c) d)
π
@ π
#
3
#3
3 e) π#3 34. #n e! -rCfico ad"unto se uestra una circunferencia C . #! vo!uen de! só!ido que se -enera a! rotar
a) b) c)
1π 3 $π 3 2π 3
d) π e)
π
3
Folleto 7
5( Si el volumen de una esfera es 27 veces el volumen de otra, entonces el radio de la primera esfera es el triple de la segunda.
a) Verdadero
b ) a!so
2. El área lateral de un cono de 3cm. de radio y altura de cm. es igual a 12 cm 2
a) Verdadero
b ) a!so
3. #! -rCfico ad"unto, e! vo!uen coprendido entre e! ci!indro y e! cono es 2πa3.
a) Verdadero
b ) a!so
$. %a ecuación x2 8 y2 52 x 8 $ y E $ = 4, define una circunferencia con centro 0(1, 52) y radio r = + en e! p!ano cartesiano a) Verdadero b ) a!so +. %a distancia de! ori-en de coordenadas asta e! punto de cruce de !as rectas L1: y = 3 x E L2: y = 2 x E 14 es 244 unidades. a) Verdadero b ) a!so . %a ecuación de !a recta que contiene a !os puntos (52, 3) y (1, 52) es L: + x 8 3 y 8 1 = 4 a) Verdadero b ) a!so 6. Si !a re-ión de! -rCfico corresponde a !a itad de un c?rcu!o, entonces e! Crea de !a re-ión sobreada es (2π 5 1)a2.
a) Verdadero
b ) a!so
. %a función f ( x) = x+ 8 tan , es una función ipar: a) Verdadero
b ) a!so
@. 7ara !a función f : IR→ IR cuya re-!a de correspondencia es: −$ , x < −2 f ( x) = 2 − x , x ≥ −2 #s verdad que
f ( −3) f (1)
= −$ a) Verdadero
b) a!so
14. Si una función f : IR→ IR es ipar, entonces f es acotada: a) Verdadero b) a!so 11. Si Re = IR y p( x): x2 E 1 9 4, entonces & p( x) = ' xN xN ≥ 1 a) Verdadero b) a!so 12. #s 7osib!e deterinar e! tIrino que contiene x514 en e! desarro!!o a!-ebraico de! binoio ( x53 E x52)14: a) Verdadero b) a!so 13. Sea f : A→ B una función definida entre un par de con"untos no vac?os & y D. Si & ( A) 9 & ( B),
Si Q es una operación binaria definida en IR con !a si-uiente re-!a: a7b = (ab)2
#ntonces, esta operación binaria #s 0onutativa: a) Verdadero
b) a!so
1+. Si A y B son con"untos cua!esquiera que estCn contenidos en un con"unto referencia y x representa a!-ún e!eento, entonces se cup!e que: Re C x ∈ ( A ∩ B) ≡ x ∈ J(Oe− A) ∪ (Oe− B)K a) Verdadero b) a!so 1. Si !a ne-ación de !a disyunción entre proposiciones es Verdadera, entonces !a enunciación ipotItica entre e!!as tabiIn es Verdadera: a) Verdadero b) a!so 16. #! vo!uen de! só!ido de revo!ución que se -enera a! rotar !a re-ión sobreada a!rededor de! e"e xxR es:
22
$$π 3 b) 12π 22π c) 3 π d) 3 12π e) 3 a)
1. Si !a ecuación de !a circunferencia ostrada es x2 E x 8 y2 = 4, entonces !a ecuación de !a parCbo!a cuyo vIrtice es tan-ente a e!!a, es:
a) x2 E $ x E + y 8 33 = 4 b) x2 E x E y 8 33 = 4 c) x2 E + x E y 8 33 = 4 d) x2 E 3 x E y 8 33 = 4 e) x2 E 6 x E 2 y 8 33 = 4
1@. Si uno de !os diCetros de !a circunferencia se encuentra desde e! punto (4, 1) asta e! punto (3, 53), entonces !a ecuación de !a circunferencia es: 2
2 3 a) x − ÷ + ( y + 1) = 2+ 2 2 3 2+ 2 b) x + ÷ + ( y + 1) = $ 2 2 3 2+ 2 c) x − ÷ + ( y + 1) = $ 2 2 2 d) ( x + 3 ) + ( y − 1) = 2+ 2 2 e) ( x − 3 ) + ( y + 1) = 2+
23
24. ado !os triCn-u!os ABC y CDE , e! va!or de !a !on-itud AB , sabiendo que AC = $c., DC = 4c. y DE = 4 c. es:
a) 3 b) 2 c) $ d) 1 e) 2.$
21. ado e! -rCfico de una función de variab!e rea!:
#ntonces su re-!a de correspondencia es: , x≤4 x a) f ( x) = 2 − 2(1 − x )2, 4 < x ≤ 2 x − 3 , x>2 , x≤4 − x 2 b) f ( x) = (1 − x) + 2, 4 < x ≤ 2 x + 3 , x>2 , x≤4 − x 2 c) f ( x) = ( x − 1) − 2, 4 < x ≤ 2 x − 3 , x>2 , x≤ 4 − x 2 d) f ( x) = 2( x − 1) + 2, 4 < x ≤ 2 x − 1 , x>2
2$
e)
, x f ( x) = 2(1 − x) 2 − 2, x − 3 ,
x≤4
4 < x≤ 2 x>2
α se ide en sentido contrario a !as aneci!!as de! re!o" y su !ado terina! contiene a! punto ( − +, 2 ) , entonces e! va!or de sen 2α es: 22. Si e! Cn-u!o
a) b)
−
24
@ 24 @
c)
−
$ +
d)
−
2 +
e)
@ @
$ + @
23. ado e! con"unto referencia! Re = ' x x es un núero par de un so!o d?-ito. #ntonces es Verdad que: a) b) c) d) e)
∃ x( x + 2 = +) ∀ x( x > 2) ∃ x( x + 1 ≤ 3) ∀ x( x + 2 < 14) ∃ x( x + 3 > 11)
2$. Sea e! con"unto & = 'a, 'a, '1, 2. na de !as si-uientes proposiciones es Verdadera: a) & ( A)=2$ b) & ( A) × & ( 0 ( A)) = 2$ c) & ( 0 (7( A))) = 1 d) ' A∈ 0 ( A) e) & ( A) ≥$
2+
Folleto 8 51(
Si V U = W U , entonces V = W a) Verdadero
1. U × (V × W ) = (U × V ) × W a) Verdadero
b) a!so
b) a!so
1@. Si NN U NN= NN V NN entonces (U V ) ⋅ (U - V ) = 4 a) Verdadero b) a!so 24. Si = 2V entonces (U × V ) ⋅ W = 8 a) Verdadero
b) a!so
31. #n !a fi-ura ad"unta, se tiene que: 3 1 AD = 2c2., EC = c2. y EF = c2. 2 2
#ntonces !a !on-itud de! se-ento DF es en c.: 1 a) 3 2 b) 3 1 c) $ d) 1 3 e) 2
2
32. #n !a fi-ura ad"unta, e! radio de !a circunferencia es 1 y !a edida de! Cn-u!o D&0 es π
12
radianes. #ntonces e! Crea de !a re-ión sobreada es:
a) b) c) d) e)
2
π
3π + π
−
π
12
−
3 2 3
3π 12
33. #n !a fi-ura ostrada !as tres circunferencias tiene radio 1 y son tan-entes entre s?. Si !os vIrtices de! triCn-u!o &D0 son centros de dicas circunferencias, entonces e! Crea de !a re-ión sobreada es:
a) b)
3 $ 3 2
c)
−
d)
−
e)
π
−
− 3
2 3 3 3−
π
$
+ +
π
2 π
$
π
2
26
3$. #n !a fi-ura ad"unta se tiene una circunferencia con centro en 4 y radio ! , cuerdas AB y CD son para!e!as. Si !a cuerda AB =
! 2
2
unidades, entonces !a distancia que
separa !as 2 cuerdas es: & a)
! 6
2 b) ! 6 c) ! d)
0
6
D
2 6!
2 e) ! 2
3+. Sean !os vectores A = 2 V 1 8 + V 2 y B = αV 1 8 3V 2, (α ∈ IR), donde V 1 y V 2 son vectores unitarios y !a edida de! Cn-u!o que foran entre s? es
π
3
. Si A y B son vectores
orto-ona!es, entonces e! va!or de α es: a) 2 b) 52 c) 4 d) 1 e) 5$
Folleto 9 56(
%as rectas que tienen coo vectores nora!es a n1 y n2 son para!e!as si y so!o si n1
⋅ n2 = 4 a) Verdadero
b) a!so
1+. Si % es una recta que contiene a !os puntos (a, 4) y (4, b) ta! que a ; b entonces !a pendiente L es ne-ativa. a) Verdadero b) a!so 21. Si Re = IR y p(*): + x E +5 x = 2, entonces un e!eento de! con"unto & p( x) es: a) 1 + 2 b) 2
( ) (1 + 2 ) ( 1 − 2 )
c) !o- + 1 + 2 d) !o- +
2
e) !o- + ( 2 ) 22. Si Oe = y
p( x) : 4 ≤ !o- 1 (3 x + 3) < 1 3
− 2 , + ∞ 3 ÷ − + , − 2 3
b) (51, 8∞)
a) J4, 1K
, entonces & p( x) es: c)
d)
− 2 , +∞ 3
e)
23. Si se tiene e! po!inoio p( x)= 2 x$ E x2 8x y e! residuo que se obtiene a! dividir p( x) por ( x 5 2) es 2, entonces e! va!or de es: a) 511
b)
2 1
2@. Si ∈ IR P A = a) 9 1
−
6 2
c) 513
d)52
e)
21 2
1 −
es una atriB no inversib!e entonces es Verdad que: − ÷ b) 9 4 c) = 1 d) ∈ I& e) ; 4
x − 2 y + z = a 0on respecto a! sistea de ecuaciones !inea!es: Re = IR3 y p( x, y, z ) : 3 x + y − 2 z , −2 x − 3 y + 3z = c ca!ifique coo Verdadera o a!sa cada una de !as proposiciones dadas en !os nuera!es de! 34 a! 33. 34. %a representación atricia! de! sistea de ecuaciones !inea!es dado es: 1 −2 1 a
3 1 −2 −2 − 3 3
÷ ÷ c
b÷
a) Verdadero
b) a!so
31. #! sistea es consistente si y so!o si !os núeros rea!es a, b y c satisfacen !a condición c = a 9 b( a) Verdadero b) a!so
2@
32. Si a = b = c = 4 entonces & p( x, y, z ) =
3: +:÷ : ∈ IR ÷ 6: ÷
a) Verdadero
b) a!so
33. 7ara cua!quier núero rea! de a, b y c e! sistea no tiene so!ución única. a) Verdadero b) a!so 3$. Si !as rectas L1: 5 x 8 y E 1 = 4 y L1: 2 x 52 y 8 = 4 distan entre si entonces e! producto de !os va!ores de es:
2 unidades,
a) 53 b) 2$ c) 512 d) 12 e) 3 a1
b1
c1
36. Si a2 a3
b2
c2
b3
c3
a3
= 2 , entonces e! va!or de −3a2 a1 + a3
b3
2c3
−3b2 b1 + b3
−c2 2c1 + 2c3
es:
a) 5 b) c) $ d) 512 e) 12 Si L1 y L2 son rectas ta!es que L1 ⊥ L2, L1 fora un Cn-u!o con e! e"e T positivo que ide 124G y abas rectas se intersecan en e! punto (2, 1). #ntonces ca!ifique cada una de !as proposiciones de !os nuera!es 3 a! $1 coo Verdaderas o a!sas. 3. %a pendiente de !a recta L2 es 3 a) Verdadero
b) a!so
3@. %a recta y + 3 x − 1 = 4 es para!e!a a !a recta L1 a) Verdadero
b) a!so
3 y + x + 2 = 4 es para!e!a a !a recta L2 a) Verdadero b) a!so $1. #! producto punto entre !os vectores nora!es a L1 y L2 es i-ua! a 1. $4. %a recta
a) Verdadero
b) a!so
34
Folleto 10
a
b
c
1. Si 2 n
p
x
y
= 2 , entonces
z
a
b
c
22
2n
2p
− x − y − z c
a
b
p
2
n
z
x
y
a) Verdadero
1 4 ÷, 2 −1
2. Si A =
=$
b) a!so
entonces A2 = I 2×2 a) Verdadero
b) a!so
3. 7ara e! si-uiente sistea de no !inea! de ecuaciones, en e! cua! x, y ∈ IR
x3 y 2 = 144 2 x y 3 = e n sistea #quiva!ente es:
3!o- x + 2 !o- y = 2 2 !n x − 3!n y = 1 a) Verdadero
$. Sea R = '( x, y)∈ IR2U x ≤ y ≤ x + 2 #ntonces !a re-ión R representada por:
b) a!so
∧ 4 ≤ y ≤ 2
31
a) Verdadero f ( −1)
. f (1)
+
f ( −$) 1 f ÷ 3
b) a!so
= −11 a) Verdadero
b) a!so
1. 7ara e! si-uiente sistea !inea! de ecuaciones ax − $ y + z = 4
2 x − 2 y − az = 4 x + 2 y − 2 z = 4
Fen-a >nfinitas So!uciones, !os va!ores de a ∈ IR son: a) 51 y 5+ b) 1 y 5+ c) 1 y + d) 2 y 5+ e) 51 y + 1@. #! po!inoio p( x) de -rado que tiene a !os núeros rea!es 4 y 3 coo ra?ces de u!tip!icidad 2 y a !os núeros rea!es 51 y 2 coo ra?ces de u!tip!icidad 1, cup!e con una de !as si-uientes condiciones: a) p(1) = b) p(52) = 144 c) p(144) ; 4 1 d) p ÷ < 4 2
3 > 4 ÷ 2
e) p
22. #! va!or de !a si-uientes Sua de tIrinos: 1 1 1 1 1+ + + 3 + + ... es: $ 2 2 2 a)
2
b)
2 +1
c)
2 −1
d) 2 − 2 e) 2 + 2
32