EJERCICIOS METODO SIMPLEX 1. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintado y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. De esmalte para su pintado y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos. El empresario dispone semanalmente de 4.500 horas para ensamblaje, de 8.400 Kg. De esmalte y 20.000 horas para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1.700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos, 600 unidades. Se desea: a) Formular un modelo de programación lineal que indique cuántos congeladores deben fabricarse de cada tipo para que el beneficio sea máximo, teniendo en cuenta el estudio de demanda. b) Resolverlo mediante el método simplex. Interpretar la solución óptima incluyendo las variables de holgura. c) Determinar los precios sombra de las horas de ensamblaje y control de calidad. Al fabricante le ofrecen disponer de 200 horas más para ensamblaje con un costo adicional total de $750.000 pesos. ¿Debería aceptar la oferta?
Solución:
X1: No. De congeladores tipo A X2: No. De congeladores tipo B F.O. Z (max) = (52-30)X1 + (48-28)X2 S.A. 2.5 X1 + 3 X2 <= 4500 3 X1 + 6 X2 <= 8400
14 X1 + 10 X2 <= 20000 X1 + X2 <= 1700 X2 >= 600
El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 a son 765 unidades.
2. Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción una silla pasa por 4 departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada departamento tiene disponible 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas
14 X1 + 10 X2 <= 20000 X1 + X2 <= 1700 X2 >= 600
El empresario debe fabricar 882 unidades de congeladores tipo A y 764 unidades de congeladores tipo B para obtener una utilidad máxima de $ 34706 a son 765 unidades.
2. Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción una silla pasa por 4 departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada departamento tiene disponible 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas
respectivamente. Los requerimientos de producción y utilidades por silla se muestran en la siguiente tabla:
a) Plantea el modelo de programación lineal, definiendo las variables b) resuelva el problema por el método simplex, para determinar cuántas sillas normales y ergonómicas se deben producir para obtener mayor utilidad. c) Interprete todas las variables de holgura del problema.
SOLUCION X1: Silla normal y X2: Silla ergonómica F.O. Z(máx) : 15X1 + 20X2 S.A. 2X1 + 3X2 <= 1000 X1 + X2 <= 450 4X1 + 6X2 <= 2000 (¼)X1 + (1/2) X2 <= 1000 C.N.N X1, X2 >= 0
Se deben fabricar 350 sillas normales y 100 sillas ergonómicas para obtener una utilidad máxima de $7250
3. En un laboratorio se fabrican 4 productos P1, P2, P3, P4 que consumen un día por unidad en su proceso completo de producción, aunque se pueden producir varias unidades simultáneamente. El espacio (m2) en el almacén y la mano de obra (número de trabajadores) disponibles limitan la producción. La siguiente tabla contiene los datos relevantes del proceso de producción, así como los costos de fabricación y precios de venta (en miles de pesos).
a) Encontrar el plan de producción de beneficio máximo b) Interpretar los valores de los precios sombra
Solución
X1=p1 X3=P3 X2=P2 X4=P4 Z(MAX)=10X1+20X2+40X3+32X4 S.A 10X1+ 30X2+ 80X3+ 40X4 <900 2X1+ X2+ X3+ 3X4<80
4. En un laboratorio existen dos contadores de bacterias disponibles. El contador C1 puede ser manipulado por un estudiante que gana 400 ptas. por hora. En promedio es capaz de contar 5 muestras en una hora. El contador C2 es más rápido, pero también más sofisticado. Solo una persona bien preparada pero que gana 1000 Ptas. Por hora puede manipularlo. Con la misma precisión que C1 el contador C2 permite contar 10 muestras en una hora. Al laboratorio se le dan 1000 muestras para que se cuenten en un
periodo que no exceda las 80 horas ¿Cuántas horas deben usar cada contador para realizar la tarea con un coste mínimo? ¿Cuál es el dicho coste?
Solución: Sean X1 y X2 las horas utilizadas con el primer y segundo contador, respectivamente. Puesto que los dos contadores pueden estar trabajando simultáneamente tendremos dos restricciones X1 <= 80 y X2 <= 80, y el problema que resulta es: Minimizar Z= 400X1 + 1000X2 S A: X1 <= 80 X2 <= 80 6X1 + 10x2 = 1000 X1, X2 >= 0
El contador 1 debe utilizar 80 horas y el contador 2 utilizar 52 horas para obtener un coste mínimo de 84000.
5. La compañía bluegrass farm., Lexington, Kentucky, está experimentando una ración especial para caballos de carreras. Los componentes disponibles para la ración son un peso común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y minerales. Los valores nutritivos por unidad de libra y los costes para los tres componentes alimenticios son los siguientes:
Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de la ración en 3 unidades del ingrediente A, en 6 unidades del ingrediente B y en 4 unidades del ingrediente C. para efectos de control de peso, el entrenador no desea que el alimento total diario de un caballo exceda las 6 libras. Plantear y resolver el problema para determinar cuál es la mezcla optima diaria de los tres componentes alimenticios.
Solución Sean X1, X2, X3 LAS LIBRAS DE LOS TRS COMPONENTES: pienso, avena y aditivo, respectivamente. El problema que resulta es Min Z=25X1+50X2+300X3 S.A 0.8X1 + 0.2X2>3 X1+1.5X2+3X3>6 0.1X1+0.6X2+2X3>4 X1+X2+X3<6 X1, X2, X3 >0
Para determinar la mezcla optima diaria se debe consumir 3.5135 libras de pienso ,0.9459libras de avena y 1.5405 libras de aditivo. Para obtener un costo mínimo de 597.2972
6. En su consumo diario de alimento, un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies. Una presa de la especie 1 suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C respectivamente; una presa de la especie 2 suministra 1, 2 y 4 unidades respectivamente de los alimentos A, B y C, capturar y digerir una presa de la especie 1 requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie 2 es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada
especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimentarias, haciendo un gasto minimo de energía?
Solución: Sean Xi el numero de presas de cada especie (i=1,2) Minimizar z=3X1 +2X2 Sujeto a 5X1 + X2 > 12 2X1 + 2X2 >12 X1 + 4X2 = 12 X1. X2 > 0
El animal rapaz necesita 4 presas de la especie 1 y 2 presas de la especie 2 para consumir un mínimo de 16 unidades de energía promedio.
7. Una familia dispone de una explotación agraria de 100 Ha de terreno cultivable y dispone de $4.000.000 ptas. Para invertir. Los miembros de la familia pueden producir un total de 3500 Horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y de 4000 horas hombre durante el resto del tiempo, el verano. Si no fuesen necesarias en la explotación familiar una parte de esas horas hombre se emplearan para trabajar en un campo vecino a razón de 500 ptas. La hora en invierno y de 600 en verano. En la explotación se pueden obtener ingresos produciendo tres tipos de cosecha Soja, Maíz y Avena y cuidando las vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesitan inversión (se autoabastecen), pero cada vaca exige un desembolso de $ 120.000 Ptas; y cada gallina les cuesta $800 Ptas. Para el pasto de las vacas se necesitan 1,5 Ha por cada vaca, 70 horas-hombre durante el invierno y 50 Horas-hombre durante el verano. Cada vaca produce un ingreso neto de $100.000 Ptas. Las gallinas se pueden pasear por cualquier lugar, no necesitando pues de un terreno propio, pero hay que dedicar 0,6 horas-hombre en invierno y 0,3 horas-hombre en verano para cada gallina, de cada una de ellas se obtiene un beneficio de 700 Ptas. Por la noche hay que recoger las gallinas y las vacas, para ello se disponen de un gallinero de 300 plazas y de un establo para treinta y dos vacas, si hubiera más morirían asfixiadas. La cosecha de Soja requiere 20 Horas-hombre de trabajo por Ha, en invierno y 5º en verano; la de maíz requiere 35 horas-hombre de trabajo por Ha en invierno y 75 en verano y la de avena requiere 10 horas-hombre de trabajo por Has en invierno y 40 en verano. El rendimiento neto que se obtiene, por cada Ha de la cosecha de Soja es de 51 Ptas, por cada Ha de la cosecha de maíz es de $ 79.000 Ptas, y por cada Ha de la cosecha de avena es de $ 32.000 Ptas. Como es lógico la familia quiere maximizar sus ingresos. Plantea el problema de programación lineal que corresponda.
SOLUCION X1: Número de Ha dedicadas al cultivo de Soja X2: Número de Ha dedicadas al cultivo de Maíz X3: Número de Ha dedicadas al cultivo de Avena X4: Número de Vacas X5: Número de Gallinas
X6: Número de horas trabajadas en invierno X7: Número de horas trabajadas en verano F.O. Z(máx): 51000 X1 + 79000 X2 + 32000X3 + 100000X4 + 700X5 + 500 X6 + 600X7 S.A. X1 + X2 + X3 + 1.5X4 <= 100 . 120000X4 + 800X5 <= 4000000 . 20 X1 + 35X2 + 10X3 + 70X4 + 0.6X5 + X6 = 3500 50 X1 + 75X2 + 40X3 + 50X4 + 0.3X5 + X7 = 4000 X4 < = 32 X5 < = 300
Se deben cultivar solamente 31.2 Has de Maíz, y debe de tener 32 vacas en el establo y 200 gallinas en el gallinero, además de trabajar solamente 48 horas en el invierno y nada en el verano para obtener una máxima utilidad de $5.828.800 Ptas.
8. Un agricultor es propietario de 500 Ha. de tierras, adecuadas para cultivar trigo, avena o centeno. Por cada hectárea que cultive, necesita la mano de obra, incurre en los costes y obtiene los beneficios que se indican en la tabla siguiente:
Si el agricultor dispone de mano de obra capaz de proporcionar 5000 horas-hombre en el periodo de cultivo, y de 60000 euros. Para gastos de cultivo, se pide que: a) Encuentres las superficies de cultivo que maximicen los beneficios del agricultor.
SOLUCION X1: Número de Ha dedicadas al cultivo de Trigo X2: Número de Ha dedicadas al cultivo de Avena X3: Número de Ha dedicadas al cultivo de Centeno F.O. Z(máx) : 60X1 + 100 X2 + 80 X3 S.A. 6X1 + 8 X2 + 10 X3 <= 5000 100X1 + 150 X2 + 120 X3 <= 60000 X1 + X2 + X3 <= 500
El agricultor debe cultivar solamente 400 Has de Avena, para obtener un máximo beneficio de $ 40000
9. En una pequeña empresa se fabrican sólo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos uno de tipo B. Se quieren obtener unas ventas superiores a 600 euros, teniendo en cuenta que los precios a los que vende los artículos A y B son 300 y 100 euros, respectivamente. Zmax: 300 X1 + 100 X2 S.A.
X1 ≤ 3 X2 ≤ 1/3 X1+ X2 ≥ 600
CN (-)
X, Y ≥ 0
Para obtener unas ventas superiores a 600 euros, se deben fabricar 3 aparatos de tipo A y 3 aparatos de tipo B, para tener una máxima ganancia de 1200 euros.
10. Una refinería tiene disponibles dos crudos que tienen los rendimientos que se muestran en la tabla 1. Debido a limitaciones en el equipo y en el almacenamiento, la producción de gasolina, keroseno y fuel oil debe de estar limitada como se indica en la tabla mencionada. La refinería no tiene limitaciones en la producción de otros productos como gas oil. El beneficio de procesar el crudo 1 es de 1EUR/barril y de procesar el crudo 2 es de 0,7EUR/barril.
Averiguar cual debe de ser la alimentación optima de estos dos crudos a la refinería.
Zmax: (70 X1 + 6 X2 + 24 x3) + (31 X1 + 9 X2 + 60 x3)
S.A.
70 X1 + 31 X2 ≤ 6000 6 X1 + 9 X2
≤ 2400
24 X1 + 60 X2 ≤12000
70 X1 + 6 X2 + 24 x3 ≤ 100 31 X1 + 9 X2 + 60 x3 ≤ 100
CN (-)
X, Y ≥ 0
Para obtener una producción óptima de estos dos crudos la refinería debe producir 1.0417 cantidad de gasolina y 1.1285 cantidad de fuel oil, para tener este rendimiento se necesitan 200 EUR/barril.
1. Un herrero dispone de 80 kg. de acero y 120 kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 120 euros y 90 euros para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 de aluminio, y para la de montaña 2 kg. De los dos metales.¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
SOLUCIÓN: Bicicleta\ metal
Acero
Aluminio
Precio
Paseo
1
3
120
Montaña
2
2
90
Disposición
80
120
Z(Max)= 120x+ 90y s.a 3x+2y ≤120 x+2y ≤ 80 x,y ≥ 0 Z(max):120x + 90y + 0h1+ 0h2 3x+2y+h1=120 X+2y+h2=80
cj
120
90
0
0
ci
VB
Bi
x
y
h1
h2
Өi
0
h1
120
3
2
1
0
40
0
h2
80
1
2
0
1
80
zj
0
0
0
0
cj-zj
120
90
0
0
Interacción 1 NF1=F1/3 40
1
2/3
1/3
0
NF2 =F2 – NF1 80
1
2
0
1
40 40
1 0
2/3 4/3
1/3 -1/3
0 1
cj
120
90
0
0
Ci
VB
Bi
x
Y
h1
h2
Өi
120
X
40
1
2/3
1/3
0
60
0
h2
40
0
4/3
-1/3
1
30
zj
4800
120
80
40
0
0
10
-40
0
cj-zj
C.E
Interacción 2 NF2=F2*3/4 30
0
1
-1/4
¾
2/3 2/3 0
1/3 -1/6 1/2
0 ½ -1/2
NF1=F1-(NF2*2/3) 40 20 20
1 0 1
cj
120
90
0
0
Ci
VB
Bi
x
y
h1
h2
120
X
20
1
0
½
-1/2
90
Y
30
0
1
-1/4
3/4
zj
5100
120
90
37.5
7.5
0
0
-37.5
-7.5
cj-zj
X=20 Y=30 Z=5100
Өi
2. Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fabrica esta dividida en dos secciones: montaje y acabado . Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:
El máximo número de horas de trabajo disponible es de 120 en montaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios. Si el beneficio es de 300 ¿ por cada nevera utilitaria, y de 400 ¿ por cada nevera de lujo, cuantas neveras deben fabricarse para obtener el máximo beneficio?
Solución Z(max)=300x+400y s.a: 3x+3y ≤ 120 3x + 6y ≤ 180 X,Y ≥ 0
300x +400y + 0h1 + 0h2 3x + 3y + h1 = 120 3x + 6y + h2 =180
cj
300
400
0
0
Ci
VB
Bi
X
Y
h1
h2
Өi
0
h1
120
3
3
1
0
40
0
h2
180
3
6
0
1
30
zj
0
0
0
0
0
300
400
0
0
cj-zj
Interacción 1 NF2=F2/6 30
1/2
1
0
1/6
NF4= F4 – NF1 * 3 120
3
3
1
0
90
3/2
3
0
½
30
3/2
0
1
-1/2
Ci
VB
0 400
h1 Y Zj
cj Bi
30 30 1200
cj-zj
300 X 3/2 ½ 200 100
400 Y 0 1 400 0
0 h1 1 0 0 0
0 h2 -1/2 1/6 200/3 -200/3
Өi
20 60
Interacción 2 NF1=F1* 2/3 20
1
0
2/3
-1/3
NF2=F2-(NF1*1/2) 30
½
1
0
1/6
10
½
0
1/3
-1/6
20
0
1
-1/3
1/3
cj
300
400
0
0
Ci
VB
Bi
X
Y
h1
h2
300
X
20
1
0
2/3
-1/3
400
Y
20
0
1
-1/3
1/3
zj
14000
300
400
200/3
100/3
0
0
-200/3
-100/3
cj-zj
X=20 Y=20 Z=14000
3. considere el siguiente modelo de programación lineal Z (max)= 5x1 + 20x2 + 25x3 s.a 2x1 + x2 ≤ 40 2x2 + x3 ≤ 30
3x1 -1/2x3 ≤ 15 X1, x2,x3, ≥ 0
5x1 + 20x2 +25x3 + 0 h1 +0h2 + 0h3 2x1 + x2 + h1 =40 2x2 + x3 + h2 =30 3x1 – 1/2x3 + h3 =15
5 X1 2 0 3 0 5
cj ci
0 0 0
VB h1
Bi
40 30 15 0
h2 h3 zj cj-zj
20 X2 1 2 0 0 20
25 X3 0 1 -1/2 0 25
0 h1 1 0 0 0 0
0 h2 0 1 0 0 0
0 h3 0 0 1 0 0
Өi
30
Interaccion 1 NF1=F1 – (F2 *0) 40
2
1
0
1
0
0
NF3= F3+(F2*1/2) 15
3
0
-1/2
0
0
1
15
0
1
½
0
½
0
30
3
1
0
0
½
1
cj
5
20
25
0
0
0
ci
VB
Bi
X1
X2
X3
h1
h2
h3
Өi
0
h1
40
2
1
0
1
0
0
20
25
X3
30
0
2
1
0
1
0
0
h3
30
3
1
0
0
½
1
10
750
zj cj-zj
0
50
25
0
25
0
5
-30
0
0
-25
0
Interacción 2 NF3= F3 / 3 10
1
1/3
0
0
1/6
1/3
40
2
1
0
1
0
0
20
2
2/3
0
0
1/3
2/3
20
0
1/3
0
1
-1/3
-2/3
NF1=F1-(NF3*2)
NF2 =F2 – (NF3 *0) 30
0
2
1
0
1
0
cj
5
20
25
0
0
0
ci
VB
Bi
X1
X2
X3
h1
h2
h3
0
h1
20
0
1/3
0
1
-1/3
-2/3
25
X3
30
0
2
1
0
1
0
0
X1
10
1
1/3
0
0
1/6
1/3
zj
800
5
155/3
25
20
155/6
5/3
0
-95/3
0
-20
-155/6
-5/3
cj-zj
X1=10 X2=0 X3=30 Z=800 4. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 12 unidades vitamina C cada día. Hay dos productos P1 y P2 que en cada frasco contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:
Si el precio de un bote de P1 es de 0,50 € y el de un bote P2 es de 0,80 €, ave rigua
cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio.
Zmin: 0.5 X + 0.8 Y
S.A
4X+
Y
≥ 4
X+6Y
≥ 6
4X+6Y
≥ 12
CN (-) X, Y ≥ 0
Zmin: 0.5X + 0.8Y + 0S 1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3
S.A
4X + X+ 4X +
Y - S1 6Y 6Y
+ - S2
A1
=4 + A2
- S3
=6 + A3 = 12
Cj
0.5
0.8
0
0
0
+M
+M
+M
Ci
VB
Bi
X
Y
S1
S2
S3
A1
A2
A3
+M
A1
4
4
1
-1
0
0
1
0
0
4
+M
A2 A3
6
1
6
0
-1
0
0
1
0
1
12
4
6
0
0
-1
0
0
1
2
Zj
22M
9M
13M
-M
-M
-M
M
M
M
0.59M
0.813M
-M
M
M
0
0
0
+M
Cj Zj
C.E
INTERACCION 1
NF2 =
1
1/6
1
0
-1/6
0
0
1/6
0
1 1 0
-1 0 -1
0 -1/6 1/6
0 0 0
1 0 1
0 1/6 -1/6
0 0 0
6 6
0 0
0 -1
-1 0
0 0
0 1
1 0
NF1= F1 – NF2
4 1 3
4 1/6 23/6
NF3= F3 – (NF2*6)
12 6
4 1
6
3
0
0
1
-1
0
-1
1
Cj
0.5
0.8
0
0
0
+M
+M
+ M
Ci
VB
Bi
X
Y
S1
S2
S3
A1
A2
A3
+M
A1
3
23/6
0
-1
1/6
0
1
-1/6
0
0.7826
0.8
Y
1
1/6
1
0
-1/6
0
0
1/6
0
6
+M
A3
6
3
0
0
1
-1
0
-1
1
2
Zj
0.8+9M
2/15+41/6M
0.8
-M
-M
M
2/5-7/6M
M
11/3041/6M
0
M
2/15+7/6M 2/15-7/6M
M
0
-2/5+13/6M
0
Cj Zj
C.E
INTERACCION 2
NF1= F1/23/6
18/23
1
0
-6/23
1/23
0
-6/23
-1/23
0
1 0 1
0 -1/23 1/23
-1/6 1/38 -4/23
0 0 0
0 1/23 -1/23
1/6 -1/38 4/23
0 0 0
NF2= F2 – (NF1*1/6)
1 3/23 20/23
1/6 1/6 0
NF3= F3 – (NF1*3)
6 54/23 84/23
3 3 0
0 0 0
0 -18/23 18/23
1 3/23 20/23
-1 0 -1
0 18/23 -18/23
-1 -3/23 -20/23
1 0 1
Cj
0.5
0.8
0
0
0
+M
+M
+M
Ci
VB
Bi
X
Y
S1
S2
S3
A1
A2
A3
0.5
X
18/23
1
0
-6/23
1/23
0
6/23
-1/23
0
18
0.8
Y
20/23
0
1
1/23
-4/23
0
-1/23
4/23
0
~
+M
A3
84/23
0
0
18/23
20/23
-1
-18/23
-20/23
1
4.2
Zj
25/23+84 /23M
0.5
0.8
-11/115+ 18/23M
-27/23020/230
-M
11/11518/23M
27/23020/23M
M
0
0
11/11518/23M
2/157/6M
M
-11/115+ 41/23M
27/230+4 3/23M
0
Cj Zj
C.E
INTERACCION 3
NF3= F3*23/20
21/15
0
NF1= F1-(NF3*1/23)
0
9/10
1
-23/20
-9/10
-1
23/20
18/23 21/115 3/5
1 0 1
0 0 0
-6/23 9/230 -3/10
1/23 1/23 0
0 -1/20 1/20
6/23 -9/230 3/10
-1/23 -1/23 0
0 1/20 -1/20
1 0 1
1/23 18/115 1/5
-4/23 4/23 0
0 -1/5 -1/5
-1/23 -18/115 -1/5
4/23 -4/23 0
0 1/5 1/5
NF2= F2 (NF3*4/23)
20/23 84/115 8/5
0 0 0
Cj
0.5
0.8
0
0
0
+M
+M
+M
Ci
VB
Bi
X
Y
S1
S2
S3
A1
A2
A3
0.5
X
3/5
1
0
-3/10
0
1/20
3/10
0
-1/20
~
0.8
Y
8/5
0
1
1/5
0
-1/5
-1/5
0
1/5
8
0
S2
21/5
0
0
9/10
1
-23/20
-9/10
-1
23/20
2.59
Zj
79/50
0.8
0.8
1/100
0
-27/200
-1/100
0
27/200
0
0
-1/100
0
27/200
1/100
-M
-27/200
Cj Zj
C.E
INTERACCION 4
NF3=F3*10/9
14/3
0
NF1= F1+ (NF3*3/10)
0
1
10/9
-23/18
-1
-10/9
23/18
3/5 7/5 2
1 0 1
0 0 0
-3/10 3/10 0
0 1/3 1/3
1/20 -23/60 -1/3
3/10 -3/10 0
0 -1/3 -1/3
-1/20 23/60 1/3
1 0 1
1/5 1/5 0
0 2/9 -2/9
-1/5 -23/90 1/18
-1/5 -1/5 0
0 -2/9 2/9
1/5 23/90 -1/18
NF2= F2- (NF3*1/5)
8/5 14/15 2/3
0 0 0
Cj
0.5
0.8
0
0
0
+M
+M
+M
Ci
VB
Bi
X
Y
S1
S2
S3
A1
A2
A3
0.5
X
2
1
0
0
1/3
-1/3
0
-1/3
1/3
0.8
Y
2/3
0
1
0
-2/9
1/18
0
2/9
-1/18
0
S1
14/3
0
0
1
10/9
-23/18
-1
-10/9
23/18
Zj
23/15
0.5
0.8
0
-1/90
-11/90
0
1/90
11/90
0
0
0
1/90
11/90
M
-1/90
-11/90
Cj Zj
X= 2 Y=2/3 Z=23/15
5. RESUELVA: Z (MAX) : S.A.
3X 4Y 4X 2Y 16 3X 6Y 18
2X 5Y 30 7X 2Y 56
3X 4Y 0h₁ 0h₂ S S₄ MA₃ MA₄
Z (MAX) :
2X 5Y h₁ 7X 2Y
= 30
h₂
4X 2Y
=56
S
3X 6Y
Cj Ci 0
VB
0 -M -M
h₂
Bi 30
h₁
A₁ A₂ Zj
56 16 18 -34M
Cj Zj
A₃ S₄
3 X 2 7 4 3 -7M 3+7M
4 Y 5 2 2 6 -8M
=16
A₄
0
0
h₁
h₂
1 0 0 0 0
4+8M 0 C.E.
=18
0 1 0 0 0
0 S₁ 0 0 -1 0 M
0 S₂ 0 0 0 -1 M
-M A₁ 0 0 1 0 -M
-M A₂ 0 0 0 1 -M
0
-M
-M
0
0
6 28 8 3
F.S
INTERACCION 1
NF =
3
½
1
0
0
0
0
0
0
0
0
NF₁= F₁ (NF 5) 30 15
2 2.5
5 5
1 0
0 0
0 0
15
-0.5
0
1
0
0
NF2= F2
(NF4
0
56 6 50
7 1 6
2 2 0
0 0 0
1 0 1
0 0 0
0 0 0
0 -1/3 1/3
0 1/3 -1/3
2 2 0
0 0 0
0 0 0
-1 0 -1
1 0 1
0 -1/3 1/3
0 1/3 -1/3
NF3= F3 – (NF4 2) 16 6 10
4 1 3 Cj
Ci 0
VB
0 -M 4
h₂
Bi 15
h₁
50 10 3 12
A3 Y Zj
Cj Zj
3 X -1/2 6 3 1/2 2-3M
4 Y 0 0 0 1 4
1+3M
0
0
0
h₁
h₂
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 S3 0 0 -1 0 +M
0
0
-M
0 S4 5/6 1/3 1/3 -1/6 -2/31/3M 2/3+1/3M
-M A3 0 0 1 0 -M
-M A4 -5/6 -1/3 -1/3 1/6 2/3+1/3M
0
-2/34/3M
8.333 3.333 6
INTERACCION 2
NF3= 10/3
1
0
0
0
-1/3
1/3
1/9
-1/9
1 0 1
0 0 0
0 -1/6 -1/6
0 1/6 1/6
5/6 1/18 8/9
-5/6 -1/18 -8/9
NF1=F1 + (NF3 × ½)
15 5/3 50/3
-1/2 1/2 0
0 0 0
NF2=F2 – (NF3×6)
50 20 30
6 6 0
0 0 0
0 0 0
1 0 1
0 -2 2
0 2 -2
1/3 2/3 -1/3
-1/3 -2/3 1/3
0 0 0
0 0 0
0 -1/6 1/6
0 1/6 -1/6
-1/6 1/18 -2/9
1/6 -1/18 2/9
NF4=F4 – (NF3×1/2)
3 5/3 4/3
1/2 0.5 0
1 0 1 3 X
4 Y
0
0 h₂
0 S3
0 S4
-M A3
-M A4
h₁
Ci
VB
Cj Bi
0
h₁
50/3
0
0
1
0
-1/6
8/9
1/6
-8/9
18.75
0 3
h₂
30 10/3
0 1
0 0
0 0
1 0
2 -1/3
-1/3 1/9
-2 1/3
1/3 -1/9
30
4
Y Zj
4/3
0
1
0
0
1/6
-2/9
-1/6
2/9
46/3
3
4
0
0
-1/3
-5/9
1/3
5/9
0
0
0
0
1/3
5/9
-1/3+M
-5/9-M
x
Cj Zj
INTERACCION 3 NF1=F1×9/8 75/4
0
0
9/8
0
-3/16
1
3/16
-1
0 0 0
0 3/8 3/8
1 0 1
2 -1/16 3/16
-1/3 1/3 0
-2 1/16 -31/16
1/3 -1/3 0
0 0
0 1/8
0 0
-1/3 -1/48
1/9 1/9
1/3 1/48
-1/9 -1/9
NF2=F2 + (NF1×1/3) 30 25/4 145/4
0 0 0
NF3=F3 – (NF1×1/9) 10/3 25/12
1 0
5/4
1
0
-1/8
0
-5/16
0
5/16
0
1 0 1
0 1/4 1/4
0 0 0
1/6 1/24 1/8
-2/9 2/9 0
-1/6 1/24 -1/8
2/9 -2/9 0
NF4=F4 + (NF1×2/9) 4/3 25/6 11/2
0 0 0 3 X
4 Y
0
0 h₂
0 S3
0 S4
-M A3
-M A4
h₁
Ci
VB
Cj Bi
0
54
75/4
0
0
9/8
0
-3/16
1
3/16
-1
0 X
h₂
0 1
0 0
3/8 -1/8
1 0
31/16 -5/16
0 0
-31/16 5/16
0 0
18.7
3
145/4 5/4
Y
4 Zj
11/2 103/4
0 3
1 4
¼ 5/8
0 0
1/8 -7/16
0 0
-1/8 7/16
0 0
44
0
0
-5/8
0
7/16
0
-7/16
0
Cj Zj
INTERACCION 4 NF2=F2×16/31 580/31
0
0
6/31
16/31
1
0
-1
0
0 0 0
9/8 9/248 36/31
0 3/31 3/31
-3/16 3/16 0
1 0 1
3/16 -3/16 0
-1 0 -1
0 0 0
-1/8 15/248 -2/31
0 5/31 5/31
-5/16 5/16 0
0 0 0
5/16 -5/16 0
0 0 0
NF1=F1 + (NF2×3/16) 75/4 435/124 690/31
0 0 0
NF3=F3 + (NF2×5/16) 5/4 725/124 220/31
1 0 1
