EJERCICIO Nº 3
Una compañía vende tres mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 40% de cacahuates un 30% de nueces, y un 30% de almendras, la mezcla regular contiene 30% de cacahuates un 40% de nueces y un 30% de almendras, mientras que la más cara contiene un 50% de cacahuates 25% de nueces y almendras. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuate, 1200 kilos de nueces y 1500 kilos de almendras de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $72 por cada kilo de la mezcla barata, $65 por cada kilo de la mezcla regular y de $24 por cada kilo de la mezcla más cara? . X1
→ Mezcla Barata
. X2
→ Mezcla Regular
. X3
→ Mezcla Cara
FUNCIÓN OBJETIVA Z ( máx )= 72 X +65 X +24 X 1
2
3
RESTRICCIONES 720 X 1 +540 X 2 +900 X 3 ≤1800 360 X 1 +480 X 2 +300 X 3 ≤ 1200 450 X 1 + 450 X 2 +375 X 3 ≤ 1500 X1 , X2 , X3≥ 0
VARIABLES DE HOLGURA 720 X 1 +540 X 2 +900 X 3 + S1=1800 360 X 1 +480 X 2 +300 X 3 +S 2=1200
450 X 1 + 450 X 2 +375 X 3 +S 3=1500 −72 X 1−65 X 2−24 X 3+ Z=0
TABLAS X1
X2
X3
S1
720
540
900
1
0
0
0
1800
. S2
360
480
300
0
1
0
0
1200
S3
450
450
375
0
0
1
0
1500
. Z
-72
-65
-24
0
0
0
1
0
.
.
S1
S2
S3
Z
B
Variable Entrante: X1 Variable Saliente: S1 X1
X2
X3
S1
5 4
1 720
X1
1
3 4
. S2
0
210
S3
0
. Z
0
.
.
225 2
-11
-150 375 2
66
S2
S3
Z
B
0
0
0
5 2
1 - 2
1
0
0
300
5 - 8
0
1
0
375
1 10
0
0
1
180
Variable Entrante: X2 Variable Saliente: S2
X1 .
X1
1
X2 0
X3
S1
25 14
1 315
S2 1 - 280 0
S3
Z
0
B
10 7
5 - 7
. X2
0
1
S3
0
0
1875 7
. Z
0
0
407 7
.
1 - 420
1 210 5 - 14
31 420
11 210
0
0
15 - 28
1
0
1
10 7 0
1500 7 1370 7
RESULTADOS . X1 =
10 7
→ 1,4285
. X2 =
10 7
→ 1,4285
. X3 = 0 . S1 = 0 . S2 = 0 . S3 =
1500 7
. Z (máx) =
1370 7
Z ( máx )= 72 X +65 X +24 X 1
→ 214,2857
2
→ 195,7142
3
Z ( máx )= 72(10 /7)+65(10/7 )+24 (0) Z ( máx )= 1370/ 7
RESPUESTA: La Compañía debe producir 1,4285kilos de la mezcla más barata y 1,4285kilos de la mezcla regular pero no debe producir de la mezcla más cara pues de esa manera obtendrá la máxima ganancia de $ 195,71 EJERCICIO Nº4
Una Compañía produce 3 tipos de galletas, de chocolate, vainilla y arequipe, utiliza tres máquinas para su fabricación, la maquina I, produce en 2 min una caja de galletas de chocolate, en 1 min una caja de galletas de vainilla y en 3 min una caja de galletas de arequipe, la maquina II, produce en 1min una caja de galletas de chocolate, 3 min una caja de galletas de vainilla, 2 min una caja de galletas de arequipe, la maquina III, produce en 2 min una caja de galletas de chocolate, 1min una caja de galletas de vainilla, 2 min una caja de galletas de arequipe. La compañía tiene una disponibilidad de 180 min para la maquina I, 300 min para la maquina II, 240 min para la maquina III diariamente. La ganancia que produce una caja de galletas de chocolate es de $6, las de vainilla $5 y las arequipe es de $4. ¿Cuál es la máxima ganancia? . X1
→ Caja de Galletas de Chocolate
. X2
→ Caja de Galletas de Vainilla
. X3
→ Caja de Galletas de Arequipe
FUNCIÓN OBJETIVA Z ( máx )= 6 X +5 X +4 X 1
2
3
RESTRICCIONES 2 X 1+ 1 X 2+3 X 3 ≤ 180 1 X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 ≤ 300 2 X 1+ 1 X 2+2 X 3 ≤ 240 X1 , X2 , X3≥ 0
VARIABLES DE HOLGURA
2 X 1+ 1 X 2+3 X 3+ S 1=180 1 X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 + S2=300 2 X 1+ 1 X 2+2 X 3 + S 3=240 −6 X 1−5 X 2−4 X 3+ Z=0
TABLAS X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z
B
S1
2
1
3
1
0
0
0
180
. S2
1
3
2
0
1
0
0
300
S3
2
1
2
0
0
1
0
240
-6
-5
-4
0
0
0
1
0
.
.
. Z
Variable Entrante: X1 Variable Saliente: S1
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z
B
X1
1
1 2
3 2
1 2
0
0
0
90
. S2
0
5 2
1 2
1 - 2
1
0
0
210
S3
0
0
-1
-1
0
1
0
60
. Z
0
-2
5
3
0
0
1
540
.
.
Variable Entrante: X2 Variable Saliente: S2
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Z
B
X1
1
0
7 5
3 5
1 - 5
0
0
48
. X2
0
1
1 5
1 - 5
2 5
0
0
84
S3
0
0
1
0
60
. Z
0
0
0
1
708
.
.
-1 27 5
-1 13 5
0 4 5
RESULTADOS . X 1 =48 . X 2 =84 . X3 = 0 . S1 = 0 . S2 = 0 . S 3 = 60 . Z (máx) = 708 Z ( máx )= 6 X +5 X +4 X 1
2
3
Z ( máx )= 6 (48)+5 (84)+ 4(0) Z ( máx )= $ 708,00
RESPUESTA: La Compañía debe producir 48 cajas de galletas de chocolate y 84 cajas de galletas de vainilla además no deben producir cajas de galletas de arequipe para obtener una máxima ganancia de $708,00, Adicional A esto tendrá un sobrante de 60min en la Maquina III Ejercicio 5
Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación. Variable Chatarra de Aluminio A - x Chatarra de Aluminio B – y Función Objetiva z ( min )=100 x+80 y
Restricciones x 1 Aluminio 2 Aluminio 3 Silicio 4 Silicio 5 Carbón 6 Carbón 7 Total a producir(1000
0.06x 0.06x 0.03x 0.03x 0.04x 0.04x
y +0.03y +0.03y +0.06y +0.06y +0.03y +0.03y
x
+y
≥0.03 ≤0.06 ≥0.03 ≤0.05 ≥0.03 ≤0.07 =1
ton) x y Puntos:
≥0 ≥0
x 0
y 1
0.5
0
x 0 1
2
1
0
6 x 0
y 3/7
4/7
0
x 0
1
1
0
x 0
2 x 0
y 5/6
75/3
0
1
y
3 0.5 0
4
5 x 0
y 1
3/4
0
Gráfico
Vértices. A= (0.33; 0.67) Z (min)=100*0.3333+80*0.6667 = 86.66667 Respuesta: La mezcla óptima de chatarras que debe utilizar la empresa es de 0.3333 de A y 0.6667 de B para minimizar su costo a $86.66667
Ejercicio 6 OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde 0.2 barriles de diesel, 0.25 barriles de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día). Variables Iraq – x Dubai – y Función Objetiva z ( min )=x+ y
Restricciones A Diesel Gasolina Lubricantes Combustibles
x 0.40x 0.20x 0.25x 0.10x 0.15x
y -0.60y +0.10y +0.60y +0.15y +0.10y
≥0 ≥14000 ≥30000 ≥10000 ≥8000
X
≥0 ≥0
Y Puntos: x 1
y 2/3
3/2
1
1
2
3
x 0
y 140000
x 0
y 50000
7000 0
0
120000
0
4
5
x
y
0
200000/3
10000 0
0
Gráfico:
x 0 1600 00/3
y 800 000 0
Vértices:
A= () B=(55000;30000) C=() D=()
Z(min) = x + y Z(min)= Z(min)= Z(min)= Z(min)=
Ejercicio 7 Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina P, 50 unidades de vitamina Q y 49 unidades de vitamina R. Cada onza del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina P, 10 unidades de vitamina Q y 7 unidades de vitamina R; cada onza del alimento B proporciona 10 unidades de P 5 unidades de Q y 7 unidades de R. El alimento
A
cuesta
5
pesos/kilogramo
y
el
alimento
B
cuesta
8
pesos/kilogramo. Encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas. Alimento A x Alimento B y Z (MIN)= 5x + 8y
x 0
xy 07
yy 4
7
0 10
0
x Restricciones: 0 10 Vitamina P 5
0 4x + 10y ≥40
Vitamina Q
10x + 5y ≥50
Vitamina R
7x + 7y ≥ 49 x≥0 y≥0
1) 4x+10y=40
2)10x+5y=50
3)7x+7y=49
Vértices A= (0,10) B= (3,4) C= (5,2) D= (10,0)
Resolviendo el sistema de ecuaciones: Vértice B 2 ¿10 x +5 y=50
(7)
3 ¿ 7 x +7 y =49
(-5)
70x+35y=350
x=3
-35x-35y=245 35x = 105
y=4
28x+70y = 280
x=5
Vértice C 1¿ 4 x+ 10 y=40
(7)
3 ¿ 7 x +7 y =49
(-4)
-28x-28y = -196
y=2
42y = 84 Punto
Coordenadas
Z(MIN) = 5x + 8y
(0,10)
50
(3, 4)
47
(5, 2)
41
(10,0)
80
A B C
RESPUESTA: La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento B, a un costo de 41 pesos.
D
8(2) = 25 + 16 = 41 pesos
Z(MIN) = 5x + 8y = 5(5) +
Ejercicio 8 En su consumo diario promedio de alimento, un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento A, 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. Estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies. Una presa de la especie I suministra 5,2 y 1 unidades de los alimentos A,B,C respectivamente; una presa de la especie II suministra 1,2 y 4 unidades de los alimentos A,B,C respectivamente. Capturar y digerir una pieza de la especie I requiere 3 unidades de energía en promedio, mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie II es de 2 unidades. ¿Cuántas presas de cada especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimenticias, haciendo un gasto mínimo de energía? Especie I x Especie II y Z(MIN)= 3x + 2y
x 0
y 3
12
0
Restricciones: Alimento A
5x + y ≥ 10
Alimento B
2x + 2y ≥ 12
Alimento C
x + 4y ≥ 12 x≥0 y≥0
1) 5x+y=10
2)2x+2y=12 x 0
yy 10
2
0
x 0
6
6
0
3)x+4y=12
Vértices A= (0,10) B= (1,5) C= (4,2) D= (12,0)
Resolviendo el sistema de ecuaciones: Vértice B 1¿ 5 x + y=10
(-2)
2 ¿2 x +2 y =12
-10x-2y = -20
x=1
2x+2y = 12 8x = 8 x=1
y=5
Vértice C 2 ¿2 x +2 y =12 3 ¿ x+ 4 y=12
2x+2y = 12 (-2)
-2x-8y = -24
x=4 y=2
-6y = -12 y=2 Punto
Coordenadas
Z(MIN) = 3x + 2y
(0,10)
20
(1, 5)
13
(4, 2)
16
(12,0)
36
A B C
RESPUESTA: Deberá comer 1 presa de la especie I y 5 presas de la especie II haciendp un gasto mínimo de energía de 13 unidades.
D
2(5) = 3 + 10 = 13
Z(MIN) = 3x + 2y = 3(1) +
