DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Realice Realice un mapa mapa conceptua conceptuall de los métodos métodos iterativo iterativos s empleados empleados en la solución solución de ecuaciones diferenciales de valor inicial. 2. Plantee Plantee y solucione solucione dos ejercicios ejercicios sobre diferenc diferenciaci iación ón numérica numérica explicand explicando o paso a paso el procedimiento utilizado. 3. Solu Soluci cion one e el siu siuie ient nte e ejer ejerci cici cio o util utiliz izan ando do la Rel Rela a del del trap trapec ecio io!! la Rel Rela a de Simpson 1"3 y la Rela de Simpson 3"#. $ompare los resultados y %aa un pe&ue'o an(lisis. )*ividiendo en + intervalos, 1
x
∫ 2 x + 1 dx 0
Solución -eniendo en cuenta &ue n + $alculamos/ b−a ∆ X = n 1− 0 1 ∆ X = = 4 4 1 ∆ X = = 0,25 4 $on este valor obtenido construimos la siuiente tabla &ue es nuestra referencia para resolver cada uno de los métodos solicitados n
x n
0 0
1 0!2
2 0!
3 0!
4 1
f ( x n )
0
0!1
0!2
0!3
0!33
Regla del Trapecio 4a rela del trapecio se define por la siuiente ecuación/ b b−a I = f ( x ) dx ≅ [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + + 2 f ( x n −1 ) + f ( x n ) ] a 2n
∫
5%ora reemplazamo reemplazamos s con los valores valores obtenidos/ obtenidos/
1
x
b−a
∫ 2 x + 1 2n [ f ( x ) + 2 f ( x ) + 2 f ( x ) + 2 f ( x ) + f ( x )] 1− 0 x [ f ( 0 ) + 2 f ( 0,25) + 2 f ( 0,5 ) + 2 f ( 0,75 ) + f (1)] I = ∫ dx ≅ 2 x + 1 2( 4) I =
0
dx ≅
0
1
2
3
1
0
I =
1
x
∫ 2 x + 1 0
1
dx ≅
x
1− 0 2( 4)
[ 0 + 2( 0,167) + 2( 0,25) + 2( 0,3) + 0,33]
1
∫ 2 x + 1 dx ≅ 8 [ 0 + 0,334 + 0,5 + 0,6 + 0,33] x 1 I = ∫ dx ≅ [1,764] 2 x + 1 8 x 1,764 I = ∫ dx ≅ 2 x + 1 8 x I = ∫ dx ≅ 0,2205 2 x + 1 I =
0
1
0
1
0
1
0
Regla de Simpson 1/3 4a rela simple de Simpson 1"3 tiene la siuiente ecuación/
I =
b
∫ a
f ( x ) dx
≅
b−a 6
a + b + f ( b ) 2
f ( a ) + 4 f
Resolvemos con los valores obtenidos 1 x 1− 0 0 + 1 + f (1) ( ) + I = dx ≅ f 0 4 f 0 x 2 +1 6 2
∫ 1
x
1
∫ 2 x + 1 6 [ f ( 0) + 4 f ( 0,5) + f (1) ] x 1 I = ∫ dx ≅ [ 0 + 4( 0,25) + 0,33] 2 x + 1 6 x 1 I = ∫ dx ≅ [ 0 + 1 + 0,33] 2 x + 1 6 x 1 I = ∫ dx ≅ [1,33] 2 x + 1 6 x 1,33 I = ∫ dx ≅ 2 x + 1 6 x I = ∫ dx ≅ 0,2217 2 x + 1 I =
0
dx ≅
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Regla de Simpson 3/
4
4a rela simple de Simpson 3"# tiene la siuiente ecuación/
I =
b
∫ f ( x ) dx ≅ a
b−a 8
2a + b + 3 f a + 2b + f ( b ) f ( a ) + 3 f 3 3
Resolvemos con los valores obtenidos
2a + b + 3 f a + 2b + f ( b ) ( ) + 3 f a f ∫ a 8 3 3 1 1− 0 x 2( 0) + 1 + 3 f 0 + 2(1) + f (1) I = ∫ dx ≅ f f 0 + 3 ( ) 0 2 x + 1 8 3 3 1 1 x 1 2 I = ∫ dx ≅ f ( 0 ) + 3 f + 3 f + f (1) 0 2 x + 1 8 3 3 I =
b
1
f ( x ) dx
x
≅
b−a
1
∫ 2 x + 1 dx ≅ 8 [ 0 + 3( 0,2) + 3( 0,29) + 0,33] 1 x I = ∫ dx ≅ [ 0 + 0,6 + 0,86 + 0,33] 2 x + 1 8 1 x I = ∫ dx ≅ [1,79] 2 x + 1 8 1,79 x I = ∫ dx ≅ 2 x + 1 8 x I = ∫ dx ≅ 0,22375 2 x + 1 I =
0
1
0
1
0
1
0
1
0
5nalizando los valores obtenidos al desarrollar el ejercicio con cada uno de los métodos propuestos el método &ue m(s se acerca a la respuesta es el método del trapecio. +. Solucione el siuiente ejercicio utilizando la Rela del trapecio! la Rela de Simpson 1"3 y la Rela de Simpson 3"#. $ompare los resultados y %aa un pe&ue'o an(lisis. )*ividiendo en + intervalos, 4
∫ 0
Solución -eniendo en cuenta &ue n + $alculamos/
3
x e 2 dx
∆ X = ∆ X =
b−a n 4−0 4
=
4
∆ X = = 1 4
$on este valor obtenido construimos la siuiente tabla &ue es nuestra referencia para resolver cada uno de los métodos solicitados !
x n
0 0
1 1
2 2
3 3
4 +
f ( x n )
0
!36
6!31
10!
11!3
Regla del Trapecio 4a rela del trapecio se define por la siuiente ecuación/ b b−a I = f ( x ) dx ≅ [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + + 2 f ( x n −1 ) + f ( x n ) ] a 2n
∫
5%ora reemplazamos con los valores obtenidos/ 4 b−a 2 [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + 2 f ( x3 ) + f ( x4 ) ] I = 3 x e dx ≅ 0 2n 4 4−0 2 [ f ( 0) + 2 f (1) + 2 f ( 2 ) + 2 f ( 3) + f ( 4) ] I = 3 x e dx ≅ 0 2( 4)
∫ ∫ 4
∫ I = ∫ I = ∫ I = ∫ I = ∫ I =
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
0
3
x e dx ≅ 2
4 8
[ 0 + 2( 7,39) + 2( 9,31) + 2(10,66) + 11,73]
x e dx ≅
1
x e dx ≅
1
x e 2 dx ≅
66,45
2
2
2 2
[ 0 + 14,78 + 10,62 + 21,32 + 11,73] [ 66,45] 2
x e 2 dx ≅ 33,225
Regla de Simpson 1/3 4a rela simple de Simpson 1"3 tiene la siuiente ecuación/
I =
b
∫ f ( x) dx ≅ a
b−a
a + b + f ( b ) f ( a ) + 4 f 2
6
Resolvemos con los valores obtenidos
a + b + f ( b ) ∫ a 6 2 4 4−0 0 + 4 + f ( 4) I = ∫ 3 x e 2 dx ≅ f ( 0 ) + 4 f 0 6 2 I =
b
4
∫ I = ∫ I = ∫ I = ∫ I = ∫ I = ∫ I =
f ( x ) dx
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
0
3
≅
x e 2 dx ≅ x e 2 dx ≅ x e 2 dx ≅ x e 2 dx ≅ x e 2 dx ≅
b−a
f ( a ) + 4 f
4 6 4 6 4 6 4 6
[ f ( 0) + 4 f ( 2) + f ( 4) ] [ 0 + 4( 9,31) + 11,73] [ 0 + 37,24 + 11,73] [ 48,97]
195,88 6
x e 2 dx ≅ 32,65
Regla de Simpson 3/ 4a rela simple de Simpson 3"# tiene la siuiente ecuación/
I =
b
∫ a
f ( x ) dx
≅
b−a 8
2a + b + 3 f a + 2b + f ( b ) 3 3
f ( a ) + 3 f
Resolvemos con los valores obtenidos
b
I =
∫
I =
4
∫
I =
4
a
3
0
4
∫ I = ∫ I = ∫ I =
3
0
∫
3
0
4
3
0
4
3
0
4
∫ I = ∫ I =
3
0
4
0
2a + b + 3 f a + 2b + f ( b ) f ( a ) + 3 f 8 3 3 4−0 2( 0) + 4 + 3 f 0 + 2( 4) + f ( 4) x ( ) x e dx ≅ f f + 0 3 8 3 3 4 4 8 x e x dx ≅ f ( 0 ) + 3 f + 3 f + f ( 4) 8 3 3
f ( x ) dx ≅
3
b−a
x e dx ≅
1
x e x dx ≅
1
x
x e x dx ≅ x e dx ≅ x
2 2 1 2
[ 0 + 3( 8,13) + 3(10,25) + 11,73] [ 0 + 24,39 + 30,75 + 11,73] [ 66,87]
66,87 2
x e x dx ≅ 33,43
5nalizando los valores obtenidos al desarrollar el ejercicio con cada uno de los métodos propuestos el método &ue m(s se acerca a la respuesta es el método Simpson 1"3. . Solucione el siuiente ejercicio utilizando la interación de Romber. 7sando sementos de lonitud 1! 1"3! 1". 1
∫ 0
6.
2
e x dx