Apuntes de la materia de Física II: Ejercicios resueltos de estática y
dinámica de fluidos.
Ejercicios originales resueltos para incluir en el tema estática de
fluidos, sección densidad de una mezcla de sustancias.
1. (*2) Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en la
suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2
lit. Si las densidades y masas de cada fluido son: ρ1 ' 1gr/cm3, m1 =
600 gr, ρ2 ' 0.8 gr/cm3 y m2 = 400 gr, considerando despreciable la
masa del aire en las burbujas, calcule:
a) El volumen total de las burbujas
b) La densidad de la mezcla.
Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los
volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.
Despejando VB, obtenemos
VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los
fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente
forma:
V1 =m1/ρ1 ' 600gr/1cm3 = 600 cm3;
V2 = m2/ρ2 ' 400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3
Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:
Solución inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la masa de la
mezcla entre el volumen de la misma.
2. Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y
densidades son X1 = 0.435, ρ1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, ρ2 = 0.85 gr/cm3
y X3 = 0.105, ρ3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el volumen de la mezcla
es VM = 766.27 cm3, calcular:
a) La densidad de la mezcla.
Solución: La densidad de la mezcla está dada por
Sustituyendo m = ρV, se obtiene
Ejemplo 5. Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones
desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y
masa de 12 Kg. Calcular:
a) La densidad de la aleación, ρL =?
b) El "quilataje" del oro en la aleación
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la
aleación.
Respuesta:
a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo,
, donde mM y VM son datos del problema con los que obtenemos la
densidad del lingote formado por oro y cobre.
b) Para obtener el "quilataje" necesitamos saber el porcentaje de masa de
oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuación 1.10,
desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de
los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del
componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos
al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos
hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en
la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos
que el porcentaje de oro está dado por:
Con las respectivas fracciones de volumen del oro y del
cobre en la aleación.
Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:
Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu:
Despejando la masa de oro, de la última ecuación:
Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %= 5.712Kg/12Kg =
47.6%.
es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates
serán:
, entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro
calculado son:
Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la
mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el
porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro.
Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principio de
Arquímedes
Ejemplo 1. (*3) El objeto metálico homogéneo, O, figura (1) ejercicio 9,
está suspendido mediante una cuerda de peso despreciable, de una balanza de
resorte B1 (Dinamómetro), que muestra una lectura de 7.25 kg., mientras
que la balanza B2 registra la masa de un líquido, L, (5Kg) y la del vaso
que lo contiene, V, (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentra
sumergido en el líquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientras que la B2
señala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m3. En la figura 3, el
objeto, O, se deja reposando en el fondo del vaso, y la balanza B2
registra la masa del vaso, la masa del líquido y la masa del objeto.
a. ¿Cuál es la fuerza de empuje del líquido sobre el objeto?
b. ¿Cuál es la densidad del líquido?
c. ¿Qué pasó con las fuerzas de empuje y la fuerza aparente del objeto
dentro del fluido, en la situación representada por la figura 3?
¿desaparecieron?
Solución inciso a) Para un objeto que no flota, se tiene que la fuerza de
flotación, FL, está dada por la diferencia entre el peso del objeto fuera
del fluido, WO, y el peso dentro del mismo (peso aparente), Wa:
Solución inciso b) Utilizando la fórmula para la fuerza de flotación que
proporciona el principio de Arquímedes, obtenemos:
De donde obtenemos la densidad del fluido, que todavía no conocemos, en el
que se encuentra el objeto sumergido.
El resultado sugiere que el líquido en el que se sumerge el objeto es
agua.
Solución inciso c) En la representación de la figura 3, la balanza B1 no
registra nada, mientras que la balanza B2 Registra el peso del fluido, el
peso del vaso y el peso del objeto, pero este último es igual al peso
aparente mas la fuerza de flotación: WO = WA + FF.
Ejemplo 2. (3*) Se construye una lancha rectangular formada por seis placas
de Aluminio, figura, con las siguientes dimensiones: ¼ pulgada de
espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y 0.70 cm de altura; la cual
tiene como armadura unas costillas de refuerzo, compuesta por barras,
también de aluminio, con dimensiones de ½ pulgada de espesor por 2
pulgadas de peralte y en total suman 40 m de longitud. Si se deposita una
masa de 3 toneladas dentro de la lancha, calcular:
a) La profundidad, Δh, que se mete la lancha en el agua.
Solución. La profundidad Δh que la lancha se introduce en el agua debido al
peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado, VFd = AΔh, cuyo
peso es la fuerza de flotación (Principio de Arquímedes). Las fuerzas que
intervienen con la lancha flotando son: La fuerza de flotación FF, el peso
del aluminio estructural de la lancha, WAl, y el peso adicional, Wm,
proporcionado por la masa de 3 toneladas, de tal forma que la fuerza de
flotación sea igual a la suma de las otras como requisito para que flote.
Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2= 29400 N,
WAl =mAlg
Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total del mismo
multiplicado por su densidad:
,
El volumen del aluminio es:
Entonces
Por tanto, la fuerza de flotación queda:
Por el Principio de Arquímedes, :
Finalmente,
Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinámica de fluidos,
ecuación de Bernoulli.
Ejemplo 1. (3*) (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra
una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un
tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a
través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B,
de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra
sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El
tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular:
a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza.
b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B.
c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.
Solución inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad de descarga de un
tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para
recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los
puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene:
Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A1, es mucho
mayor que el área de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la
ecuación de continuidad la velocidad de desplazamiento del nivel de líquido
en el tanque, v1, será mucho menor que la velocidad de descarga del fluido,
v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación de
Bernoulli se reduce a:
En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0.
Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:
Con Δh = h1 – h2.
Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando
Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura Δh a la cual se estabiliza el
nivel de fluido en el tanque.
Finalmente,
Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que
descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el
punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3,
obtenemos:
Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), la ecuación
anterior queda:
Despejando v3:
Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir
de la definición de gasto:
Q = V/t en m3/s.
Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el
de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es:
Ejemplo 2. (3*) Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada
por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El
Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia
de alturas del agua ΔH = 30 cm. Calcule:
a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?
Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está
representado por la ecuación de continuidad:
A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y
angosta de la tubería, respectivamente.
Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos
velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una
segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de
Bernoulli:
El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es
una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura.
Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 – P2 se calcula a
partir de la diferencia de alturas, ΔH que es dato, entre los dos tubos
manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi,
utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático,
P1 – P2 = ρgΔH, como es el caso de los dos tubos manométricos midiendo la
diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento
estacionario.
Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos:
, por lo que y la ecuación (2) queda:
Despejando v2 de la ecuación anterior:
Entonces el gasto, ecuación (1), será:
Ejemplo 3 (3*) Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito,
que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un
tubo que tiene una altura, Δh =8 cm, como se muestra en la figura. El
diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte
angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75
gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la
bomba, calcular:
a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, ΔP,
mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura Δh.
b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de
la bomba.
Solución inciso a) La altura Δh que sube el líquido desde el depósito está
directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte
ancha y estrecha de la bomba.
Donde ρI es la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,
Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para
subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno
puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de
vacío con la boca.
Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la
estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de
Bernoulli es:
Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las
contenga y esta es la ecuación de continuidad
Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:
Y
Despejando v2:
Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):
Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha
de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y se presenta
el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se
pulvericen.
Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en P1 y recopilar
información sobre el fenómeno de cavitación debido a la baja presión en un
tubo de Vénturi.
Ejercicios resueltos para incluir en el tema Fluidos Reales (laminares-
viscosos: Ecuación de Poiseuille).
Ejemplo 1 (2*) Por una tubería de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de diámetro
pasa aceite de motor. El aceite tiene una viscosidad η = 30x10-3 N.s/m2,
temperatura de 20°C y densidad de 0.8 gr/cm3, descargando a la atmósfera
con un gasto de 0.1ml/s. Para medir la caída de presión en la tubería se
colocan dos tubos manométricos separados una distancia de 30 cm como se
indica en la figura. Calcule:
a) El No. de Reynolds.
b) La caída de presión en cm de altura equivalentes entre los dos tubos
manométricos.
Solución inciso a): El No. de Reynolds.
Lo que muestra un flujo bajo régimen laminar.
La velocidad del flujo la obtenemos del gasto y el área de sección
transversal de la tubería:
v = Q/A = (0.1x10-6 m3/s)/(7.92x10-6m2) = 1.26x10-2m/s = 1.26 cm/s
Donde, A = πR2 = π(0.0015875m)2 = 7.92x10-6m2
Solución inciso b): La caída de presión entre los dos puntos de la tubería
está dada por
La diferencia de altura debida entre los dos tubos manométricos es,
entonces:
h = ΔP/ρg = (360Pa)/(800Kg/m3)(9.8m/s2) = 0.045 m = 4.5 cm
Ejemplo 2. (2*) Por una tubería lisa de 8" de diámetro continuo y una
longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 °C hasta una
altura de 30.9 m. La tubería descarga en un tanque abierto a la presión
atmosférica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule:
a) El tipo de régimen del fluido en la tubería
b) La caída de presión en la tubería
c) La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con el gasto
indicado
Solución inciso a) Para saber si el flujo de agua que corre por la tubería
es laminar, calculamos el No. de Reynolds.
,
Donde ρ es la densidad del agua, v la velocidad de descarga, D el diámetro
de la tubería y η la viscosidad del agua a 20°C.
Para conocer v aplicamos la ecuación del gasto:
A es el área de sección transversal de la tubería, por lo que la velocidad
de descarga es
, régimen no turbulento.
Solución inciso b) En este ejercicio se presentan dos caídas de presión:
la primera debida a la
viscosidad, el diámetro, el gasto y la longitud de la tubería,
representada por la ecuación de
Poiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entre la bomba
y el punto de descarga.
De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, la caída de presión en la
tubería, ΔPP, debido a la viscosidad, η = 10-3 N.s/m2, la longitud, L = 1
Km, el gasto Q = 0.4x10-3 m3/s, y el diámetro de la misma D = 20 cm,
está dada por:
Por otro lado, la caída de presión debida exclusivamente a la altura que
tiene que vencer la bomba, es:
, que equivale a 3 atmósferas.
La caída de presión que tendrá que compensar la bomba
Estará dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:
Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un diámetro de 20 cm en
la tubería, la caída de presión debida a la viscosidad es despreciable para
agua.
Si aumentamos el gasto a valores más prácticos, digamos de 4 lt/s, la
velocidad aumenta a 0.127m/s y según el Reynolds el tipo de régimen sería
turbulento, Re = 25400. En conclusión la ecuación de Poiseuille tiene una
aplicación muy reducida y solo se emplea en casos especiales donde el flujo
es laminar, lo que generalmente implica gastos pequeños para tuberías que
no tienen diámetros grandes.
Solución inciso c) La presión de la bomba está dada por el producto de la
caída de presión por el gasto, es decir
Ejemplo 3. (3*) Un tubo capilar de 1 pie de largo y 1/64 pulgadas de
diámetro interno está conectado al fondo de un depósito cilíndrico, que
tiene una altura de 1 pie y diámetro de 6 pulgadas, lleno de agua, se
muestra en la figura adjunto. Calcular:
a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s, cm3/hr )
b) La rapidez de caída del nivel del agua en el depósito,
dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para la viscosidad del
agua.
c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en el capilar
cuando esta se agota en el depósito
(L1 = 0).
De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, el gasto de fluido a través del
área de sección transversal de un tubo cilíndrico de longitud L y radio R,
es:
Donde ΔP es la diferencia de presión entre los puntos separados por la
distancia L.
Solución inciso a).
El flujo de agua a través del capilar se debe a la presión ejercida por el
nivel de agua en el depósito más la presión de la columna de agua en el
propio capilar, dando lugar a la aplicación de la ecuación de Poiseville en
el depósito más la misma en el capilar, lo que se representa de la
siguiente forma:
1º. La presión de la columna de agua en el depósito sobre la parte
superior del capilar contribuye a que se genere un gasto dado por:
Con R el radio del capilar y L2 la longitud del mismo. Como puede
observarse en el problema, la diferencia de presiones es proporcionada por
la altura de la columna de fluido, ΔP = ρgL1 en este caso.
2º. La contribución al gasto en el capilar debida a la presión de su
propio peso, está dada por
De tal forma que el gasto total a través del capilar es:
Entonces,
Solución inciso b): Como , donde A es el área del depósito y dh1/dt
la rapidez con que se baja el nivel de líquido en el mismo.
La ecuación (4) queda:
Donde R es el radio del capilar y A1 el área del depósito, por lo que,
sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de agua en el depósito
para L1 = 12 pulgadas y L2 = 12 pulgadas,
queda:
Solución inciso c): Cuando el depósito se vacía, L1 = 0, y L2 = 12
pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de líquido en el capilar está dada
por:
Donde R es el radio del capilar y A2 su área de sección transversal.
-----------------------
V
B2
B1
O
(1)
L
B1
V
L
O
B2
(2)
V
B2
B1
L
O
(3)
Figura ejemplo 1. (1) Objeto colgando fuera de un vaso con líquido que
descansa sobre una balanza B2. La balanza B1 registra el peso real del
objeto, mientras que la B2 registra solo los pesos del líquido y del vaso.
(2) Mismo objeto suspendido de una cuerda dentro del líquido, la balanza B2
registra el peso del líquido, el peso del vaso y una tercera fuerza que
aparece al entrar el objeto en el fluido, mientras que la balanza B1
registra un peso disminuido del objeto. Figura (3) objeto reposando en el
fondo del vaso, B1 no registra nada, B2 registra los pesos del agua, del
vaso y el peso real del cuerpo.
Figura ejemplo 2: Esquema representando un lanchón de aluminio flotando en
agua, con una masa m = 3 toneladas.
m
Nivel del agua
Δh
Δh
1
2
3
h1
h2
h3
1
A
B
ΔH
Figura ejemplo 2
1
2
Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar.
AAire
Δh
Líquido
Aire
30 cm
Δh
Figura ejemplo 1. Distancia entre dos tubos manométricos y la diferencia de
alturas debido a la caída de presión de un fluido laminar viscoso.
0
0
0
Figura ejemplo 2, sección 5.4. Los manómetros indican la caída de presión
de un fluido viscoso, en los diversos tramos de la tubería, que descarga a
la atmósfera a una altura de 30.9 m.
1 Km
30.9m
Figura ejemplo 3. Depósito con capilar al fondo.
L1
L2
