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EJERCICIOS GRUPO 1 En cada uno de los ejercicio del 1 al 12 calcular los valores reales de x e y ue cu!"len con la relaci#n dada$ 1$ x % yi & 2 ' (i 0$ + x % yi .2 & ( , *i 2$ (x ' 2yi & ) % *i$ )$ +x , yi.2 & , , )i ($ x % (y % +2x ' (y , -.i & / $ x2 , *y % + 2y , x.i & 2 , i *$ 2x ' y % +(y +(y,2x. ,2x.ii & 2 ' 2i $ x2 % y2 ' 2 % + x % (y ' 2 .i & / -$ +2x % y. % +(x , *y.i & +x , 2. % +2y , 0.i 1/$ +1 , i.x % +1 % i.y & 1,(i 11$ +2%(i.x2,+(,2i.y&2x,(y%10i 12$ +*x2 % (xy. % +2xy , (x 2.i & *y2 , 132 x 2 % +(xy , 2y2.i En cada uno de os ejercicios +del 1( al *-.4 e5ec6uar las o"eraciones indicadas y ex"resar el resul6ado en la 5or!a can#nica$ 1($ +1%i.%+(,2i. 21$ 1*$ +*,0i.%+2%i. +*,0i.%+2%i. 1 1 2 * − 1)a + − *a − ( − 2 10$ +2% − * .,+(, − - . 2 a 1)$ +(%2i.,+),*i. +(%2i.,+),*i. 22$ +1 + i .+1 − 2i .+1 + (i . 1 − * − − - + − 1) 2($ (3 − ι )(2 + ι )(7 − ι ) 1 2 − () − − *- + 2*$ +( + 2i.+( , 2i. . 1- +* , (i.+( + *i. 2/ 2
−a +
1 2
2
− *a −
1 (
− -a
2
20$ $ + − ( + − 2 − − 1.+ − ( + − 2 + − 1. 2)$ + − 1 + − 2 − − ( .+ − 1 + − 2 + − ( . 2 +1 − i . * 2$ +− 2-$ +
*1
+
2
2 2
( 2 2
+
2
(1 (i .
(
(2$ i.
)
(($
0
(/$
*/
(
−(
1+ i 1 + 2i
+
(*$ +
1 + 2i ( + *i
0
1
(0$
1 − 2i
( 2−i (−i
+1 + i .
1+ i
2i
*2$$
,1,
−i
−1
+1 + i . −2 − i −2
1 + 2i
.
−1
−2
($
2−i
1 − 2i
2−i
i( − 1
()$ +1 − i . ($
1− i
.+
i +(
2 + ()i ) + i
+
− 2)i ( − *i
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*($ +( − i ( .(
*-$ +
**$ +1 + i .( − +1 − i .(
1− i
*0$ +1 + i .( + +1 − i .(
1− i
.
2
i
n ∈ Z
i
1+
0/$
* n +1 *$ [ +1 + i . 3+1 − i . ]
*$ +
*
z = 1 +
) *)$ [ +1 + i . 3+1 − i .]
2
.
+
1+
i 1+ i
−*
01$ Ex"resar las si7uien6es "o6encias en la 5or!a can#nica8 a%9i a. 9. c.
i
-
i
10
i
22
5. i * n +1n ∈ Z + 7. i * n + (n ∈ Z + :. i1-/1
j.
+
1 2
±
( 2
i.
(
;.
+i − 1. 2 − + −i − 1. 2 + i * d. i * i. +*i + (i 2 + *i ( − i .( e. i10 02 Escri9a en la 5or!a can#nica 6odos auellos n
a. 9. c. d. e.
la "ar6e i!a7inaria de = sea cero$ La "ar6e i!a7inaria de 13= sea > La "ar6e i!a7inaria de = sea >$ La "ar6e i!a7inaria 13= sea 1$ La "ar6e i!a7inaria se = sea 1
0( Si z = 2 + (i4 :allar i!+
=,= (= + =
2
.$
0* $ ?allar los valores reales de x e y "ara los cuales8 a. [ + x − i . 3+( + i. ] + [ + y − 1. 3+( − i . ] = i 9. y 2 + iy 2 + ) + i = 2 x + ix c. (x-i)2 -( 2 y 00$ Pro9ar ue8 ( ( a. x − y 9.
−
+
i)2
( xy
1 + x 2 + ix x − i 1 + x
2
=
*(
= −14
(-1 )i- 2 y 2 -x
si x
= +−1 +
(i . 3 24 y
=
+−1 − (i . 3 2
= i 4 ∀ x ∈ R
0)$ ?allar el valor de la ex"resi#n indicada "ara el valor dado$ 2 z 2 − ( z + 2@ z = +( 3 *. + + 3 *.i a.
,2,
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9.
2
2 z
−
* z + (@
z
=
+1 −
−
2.3 2
2
z − z + 24 z = * − 0i c. 0$ Ae!os6rar ue el n
(i
es una raB= de la ecuaci#n
* ( 2 2 x − x + 12 x − x − = /
0$ Ae!os6rar ue el n
1−
(i
6a!9in es una raB= de la ecuaci#n
0-$ Ae!os6rar ue cada uno de los n
1 2
+
( 2
i y −
1 2
−
( 2
i
son una raB= c<9ica de la unidad$ )/$ Ae!os6rar ue cualuiera de las dos raBces c<9icas co!"lejas de la unidad4 !encionadas en el ejercicio 0-4 es i7ual al cuadrado de la o6ra$ )1$ Por 5ac6ori=aci#n4 o96ener las cua6ro raBces de la ecuaci#n x * − 1) = / )2$ Ae!os6rar ue el n
a .+−
b.
=
ab i 4
−
a +−
−
b.
=
ab$
)$ O96ener de5iniciones "ara la su!a4 di5erencia4 "roduc6o y cocien6e de dos n
,(,
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9. Si
2
z
=
2 + z .
en6onces = es # un n
c. El "roduc6o z 1 z 2 es i!a7inario "uro si y solo si d.
+ − z 1 .
e.
z 1
5.
+
= − + z 2 .
− z 2 =
1 z 1
.
=
z 1
−
+ z 1 .
z 2
z 1
es i!a7inario "uro$
7.
+
:. i.
Re+ z w
z 2
1
z 1
z 2
.=
z 1 z 2
I!+ z w
+ −
z w.
=
.
z w
z w
=
+
z w
z w
−
z w
*$ ?allar el conjun6o de los n
0$ Ae!os6rar ue8 a. z 1 z 2 + z 1 z 2
=
2 Re+ z 1 z 2 .
4 su78
9.
z 1 z 2 Re+ . + Re+ . =1 z 1 + z 2 z 1 + z 2
c.
z 1 z 2 I!+ . + I!+ .=/ z 1 + z 2 z 1 + z 2
d.
2
2
Re+ z . = Re+ z . =
1 2
−1
z =
5.
c. z = z 2 d. z − z = ( + 2i
z
z + z
=
2 Re+ z .
2 2
2
+ z + z . = x − y
2
EJERCICIOS GRUPO 2 1$ Calcular el !#dulo del n
(i
2$ Ex"resar los si7uien6es n
0+0
(i
,*,
:. − * − * i. cos,isen j. ±*i
*
−
*
(i
(i
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d. e. −
0
−
0
5.
−*i
( +i
4
(i
($ Re"resen6ar z 1 = 1 + i 4
z 2 =
z (
= 1+
(i
7. −12 + 0i :. 2 ( − 2i i. 0 , (i 4 en su 5or!a
6ri7ono!6rica4 y lue7o :allar el n
2+2
$ $ -$
(i
)$ (−(
(
−
−
2+
1/$ 11$ 12$
i
2i
2 −
2 *
−
−
2
*
2i (i
(i
,
(i
1($ Ae!os6rar ue un n +cos (/F % i sen (/F. d. 2+cos 2/F % i sen2/F. $+cos 1//F % i sen1//F. e. ( +cos 1*/F % i sen 1*/F. $)+cos 22/F % i sen22/F. 5. 7.
j.
(+cos1(/F +isen1(/F . 2+cos /F +isen/F .
)+cos 22/ F +isen 22/F . (+cos */F +isen */ F .
:. i.
*+cos /F +isen/F . 2+cos 0/F +isen0/F .
0+cos1(0F +isen1(0F . cos *0F + isen *0F
+cos F + isen F .+cos 2(F + isen 2(F . +cos 00F + isen00F .
1)$ Pasando a su 5or!a "olar4 evaluar8 a.
+* + *i .+− ( +−
(
−
+
(i .
9.
i.
+1 + i .+− ( +1 − i .+ (
+
+
i.
i.
1$Los si7uien6es n
,0,
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c. 0cos /F % i sen ,/F d. 2 +sen (/F % i cos(/F.
5. ,cos */F , i sen */F 7. ,2+cos 10F % i sen 10F. :. , ( +sen 20F , i cos 20F
e. ,)cos */F % i sen*/F
1$ Calcular y ex"resar el resul6ado en 5or!a 6ri7ono!6rica8 a. +1 + i .12 9. +1 − i . c. +1, ( i.0 2 2
+
2 2
1
5. + −
i.10
+
1
2
i.20 7. +
2
( 2
−
1 2
d. +,1%i.-
0/ i . :. +
(
e. +
,i.
1-$ Keri5icar las si7uien6es i7ualdades8 a.
+
9. +
−1 + i
2
−1+ i
(
2
c. +
( +i 2
(
)
. ++
.0 + +
.) + +
−1− i (
2
−1− i
i−
(
2 (
2
)
. =2
. 0 = −1
. = −2
2/$ U6ili=ando la 5#r!ula de Moivre4 calcular8 a. (+cos *0F % i sen *0F. ) d. +cos 3* % i sen 3* . 1/ 9. 2+cos 10F % i sen 10F.* c. +cos(/F % i sen (/F .
7. 2+cos )/F % i sen )/F. )
e. +cos 10/F % i sen 10/F. 5. +, cos 3* % i sen 3*.
21$ Pro9ar ue8 a. +cos )/F , i sen )/F. )&1 9. 2+cos *0F % i sen *0F.* & ,1) c. ( +cos *0F % i sen *0F. )& , 2i d.
2
+cos 0)F10 % i sen 0)F 10. & 1)i$
22$ Ex"resar en 5or!a car6esiana$ 2
a. + 9.
+1 + i . + ( + i . 2 − 2i
.
c.
(i . * + − ( + i .
+( −
+( + (i .
+− 2 −
(
(i . + 10 −
+− ( +
d. +
)
2+
)i . )
(
+
i
2−
0i .
.)
(
2($ E5ec6uar los si7uien6es cDlculos4 y ex"resar en 5or!a car6esiana8 a. +
1− i 1+ i
.
9. +
1+ i 1− i
.
)
c.
+1 + i . +1 − i.
2*$ ?allar los n
,),
n
n−2
+
n ∈ Z
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a. con su cuadrado 9. con su cu9o 20$ ?allar los n
su
2)$ Aos n
-$ +1,i.,( 1/$ +, 11$ +, 12$ +
( 2 ( 2 −
−
+
2 2
1 2 1 2 −
i
i. .2 2
.12
En cada uno de los ejercicios 1( ' 14 calcular la "o6encia indicada usando +a. el 6eore!a del 9ino!io@ +9. el 6eore!a de Ae Moivre$ 1($ +1, ( i.( 10$ + ( ,i. 1$ +,1% ( i.0 1*$ +,1%i.*
1)$ +
1 2
+
( 2
i
.
1$ +,1,
(
.)
En cada uno de los ejercicios 1- ' (14 calcular las raBces ue se indican y re"resen6arlas 7rD5ica!en6e$ 1-$ Las raBces c<9icas de ,2$ 2/$ Las 6res raBces c<9icas de +cos )/F % i sen )/F.$ 21$ Las raBces c<9icas de ,2 %2i 22$ Las cua6ro raBces cuar6as de , , ( i 2($ Las cua6ro raBces cuar6as de ,* 2*$ Las cua6ro raBces cuar6as de * , * ( i$ 20$ Las cinco raBces uin6as de (2
,,
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2)$ 2$ 2$ 2-$ (/$ (1$
Las cinco raBces uin6as de ,1) , 1) ( i$ Las seis raBces sex6as de 2i Las seis raBces sex6as de 1 % ( i$ Las oc:o raBces oc6avas de ,12 % 12 ( i Las oc:o raBces oc6avas de ' > , ( 32 i Las nueve raBces novenas de 'i
En cada uno de los ejercicios (2 ' *1 calcular 6odas las raBces de la ecuaci#n dada usando el 6eore!a de Ae Moivre y 6a!9in al7e9raica!en6e$ (2$ x(%&/ ()$ x* ' 1) & / */$ ix( % 1 & / (($ x12 ' 1& / ($ x( ' 2 & / *1$ x * % 1)i & / (*$ x) ' )* & / ($ x * & ,1 (0$ x* ' 1 & / (-$ x ) % 1 & / *2$ Calcular8 a. +cos )/F % i sen )/F.23(
9. * +cos (//F % i sen (//F.,13 2
,,