EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I Alvaro Cabrera Javier 4 de septiembre de 2014

Alvaro Cabrera Javier

2

CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Índice general 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

7

2. VECTORES EN EL PLANO

11

3. GEOMETRIA ANALITICA

19

4. LIMITES

53

5. DERIVADAS

83

6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

103

7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

111

8. INTEGRALES

117

9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

137


3


ÍNDICE GENERAL


4


PREFACE

INTRODUCCION Este solucionario está basado en el libro de APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO I de VICTOR CHUNGAR CASTRO, EDICION 1993.


5


INTRODUCCION


6


CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

Capítulo 1 NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de los Números Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son: Si, a, b, c 2 R: P1. a+b=b+a Conmutatividad de la suma. P2. (a + b) + c = a+ (b + c) Asociatividad de la suma. P3. a+0=a Existencia de neutro aditivo (0). P4. a + ( a) = 0 Existencia de opuesto ( a). P5. ab = ba Conmutatividad del producto. P6. (ab) c = a (bc) Asociatividad del producto. P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1). 1 P8. aa = 1 Existencia del inverso (a 6= 0). P9. a (b + c) = ab + ac Distributividad del producto. P10. a 2 R+ (a > 0) Tricotomía de los reales. a 2 R (a < 0) a=0 Si: a > 0, b > 0 ) a + b > 0 P11. Clausura de la suma y el producto. ab > 0 P12. 8a 9b=b > a Del supremo. 1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales: a) a + x = b =) x = b b) ( 1) a = c) a (b d)

a

a

c) = ab

ac

( a) = a

e) ab = 0 =) a = 0 ó b = 0 f ) (ab)

1

= a 1b

1

g) a + a = 2a h) a0 = 1, a 6= 0 2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades: a) a > b =) a

c>b c 1 1 b) 0 < a < b =) > a b 2 c) 0 < a < b =) a < b2

d) 0 < a < b =) ab > 0 p p e) b > 0, a2 < b () b
2

2

2

8abc

g) a + b = 1, c + d = 1 =) ac + bd Alvaro Cabrera Javier 7

1


h) x1 y1 + x2 y2

p p x21 + x22 y12 + y22 .

3. Resolver las siguientes Inecuaciones Lineales: a) 2x + 1 < 7 Solución. 2x + 1 2x 2x x

< < < <

7 7 6 3

1

b) 3x 2 4 Solución. 3x

c) 9

x<6

d) 8

3x

e) 5

2x > 7 3

2

3x 5 x

h) 2x + 6

5x

i) 3 < 2x

3<9

j) 5

3x + 2

k) 1 < 9 l)

1<8

4 6 2

2

f ) 1 + 3x > 4x g) 4x

2 3x x

3 8

2x < 5 3x < 5

m) 8 < 3x + 2 < 2 n) 9 < 5x + 4 < 1 4. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior: a) x2 5x + 4 < 0 Solución. x2 5x + 4 < 0 (x 4) (x 1) < 0 b) x2 5x + 6 > 0 Solución.


x2 5x + 6 > 0 (x 3) (x 2) > 0 8 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES c) x2

4<5

d) 4

x2 < 3

e) x2

3x

10 < 0

f ) x2 + x

12 > 0

g) 2x2

3x + 1 < 0

h) 3x2

7x + 2 < 0

i) x2

4x + 4

j ) x2

2x + 1 < 0

0

k) x2 + 9 < 0 l) x4

1<0

m) (x + 1)2

(x

1)2 < 4

2

2

n) (x2 + 1) < (x2

1)

ñ) x3

3x2

o) x4

13x2 + 36 < 0

p) x3

8x2 + 17x

10 > 0

q) x4

17x2 + 16

0

r) x3

6x2 + 12x

8<0

s) x4

x2 > 0

t) x5

5x3 + 4x > 0

u) x2 + 1 v) x

4

18x + 40 < 0

0 3

6x + 13x2

w) x3

x<0

x ) x4

10x3 + 35x2

y) x8

256 > 0

12x + 4 < 0 50x + 24 < 0

5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas a)

3 >1 x Solución. 3 > 1 x 3 x 3

1 > 0 x x

x Alvaro Cabrera Javier

9

3 x

> 0 < 0 CALCULO I - CHUNGARA

b)

4x 3 >2 2x 8 Solución.

4x

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p)

4x 3 2x 8 4x 3 2 2x 8 3 4x + 16 2x 8 13 2 (x 4)

> 2 > 0 > 0 > 0

4 <1 x 3x + 1 >4 2x 6 3 >1 x 2 x 2 x < x x 2 1 >1 x 1 x 1 x 3 < x 4 x 2 x 1 <1 x 2 9 >x 2 x 2 x 3 >1 x 5 1 2 + >2 x 2 x 1 3x 1 <2 x 4 x2 7x + 12 <0 x2 3x + 2 5x 1 <3 x 1 x2 7x + 12 <1 x2 3x + 2 3 2 4 + + >6 x x 1 x 2


10


CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO

Capítulo 2 VECTORES EN EL PLANO 1. Gra…car y hallar los módulos de los vectores: (6; 8); (3; 0); ( a; a) p 2. Si: A = (x; 4) =) jAj = 5; B = (y 2 ; y) =) jBj = 2. Hallar: x; y. Solución.

jAj = 5 =

p

x2 + 42

resolviendo x = 3. La segunda parte: jBj = ordenando

p

2=

q

(y 2 )2 + y 2

x4 + x2 2 = 0 p 1, y3 = i 2 y y4 =

resolviendo, y1 = 1, y2 =

3. Efectuar y gra…car: A + B; A

p i 2.

B; 2A + 3B. Si: A = (4; 3); B = (1; 2).

Solución. A + B = (5; 5) A B = (3; 1) 2A + 3B = (11; 12) 4. Si: A = (3; 1); B = (6; 5); C = (0; 2); efectuar: A + B + C; A 2A + B 3C; 3A 2B + 4C.

B + C;

Solución. A+B+C A B+C 2A + B 3C 3A 2B + 4C

= = = =

(3 + 6 + 0; 1 + 5 + 2) = (9; 8) (3 6 + 0; 1 5 + 2) = ( 3; 2) (2 (3) + 6 3 (0) ; 2 (1) + 5 3 (2)) = (12; 1) (3 (3) 2 (6) + 4 (0) ; 3 (1) 2 (5) + 4 (2)) = ( 3; 1)

5. Demostrar: A+(B + C) = (A + B)+C; A+( A) = 0; k (A + B) = kA+kB; (k + r) A = kA + rA. Solución. Sea los vectores: A = (ax ; ay ) B = (bx ; by ) C = (cx ; cy ) entonces A + (B + C) = (ax + (bx + cx ) ; ay + (by + cy )) = ((ax + bx ) + cx ; (ay + by ) + cy ) = (A + B) + C Alvaro Cabrera Javier 11 CALCULO I - CHUNGARA

6. Demostrar: A (B + C) = A B + A C; A B = jAj jBj cos . 7. Efectuar: A B, si: (a) A = (1; 3); B = (2; 4), (b) A = (3; 1); B = ( 2; 4), (c) A = (2; 1); B = (3; 6) y (d) A = (a1 ; a2 ); B = ( a2 ; a1 ). Solución. (a) A B = (1) (2) + (3) (4) = 14 (b) A B = (3) ( 2) + ( 1) (4) =

10

(c) A B = (2) (3) + ( 1) (6) = 0 son vectores perpendiculares.. (d) A B = (a1 ) ( a2 ) + (a2 ) (a1 ) = 0 son vectores perpendiculares. 8. Determinar si existe paralelismo (//), perpendicularidad (?) o ninguna de estas características entre los siguientes pares de vectores: (a) (3; 1) y ( 1; 3), (b) (2; 3) y ( 4; 6), (c) (4; 2) y (1; 2), (d) (2; 4) y (6; 4), (e) (3; 0) y (6; 4) y (f) (2; 6) y (0; 0). Solución. (a) (3; 1) ( 1; 3) = (3) ( 1) + (1) (3) = 0 Perpendiculares (b) (2; 3) ( 4; 6) = (2) ( 4) + ( 3) (6) =

26

(c) (4; 2) (1; 2) = (4) (1) + ( 2) (2) = 0 Perpendiculares (d) (2; 4) (6; 4) = (2) (6) + (4) (4) = 28 (e) (3; 0) (1; 0) = 3 (1) + (0) (0) = 3 (f) (2; 6) (0; 0) = (2) (0) + (6) (0) = 0 9. Hallar el ángulo entre los siguientes pares de vectores: (a) (6; 8); (4; 3), (b) (1; 1); (1; 0), (c) (3; 1); ( 2; 6). Alvaro Cabrera Javier 12 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO Solución. (a) Gra…cando: y 8

6

4

2

0 0

1.25

2.5

3.75

5

6.25 x

Aplicando la ecuación A B = jAj jBj cos sustituyendo 24 (6) (4) + (8) (3) p = cos = p 2 2 2 2 25 6 +8 4 +3 donde

= 16;26o

(b) Gra…cando: y

2

1

0 -2

-1

0

1

2 x

-1

-2

Aplicando la ecuación A B = jAj jBj cos sustituyendo p (1) (1) + (1) (0) 2 p cos = p = 2 12 + 12 12 + 02 = 45;00o donde Alvaro Cabrera Javier

13


(c) Gra…cando: y 8

6

4

2

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75 x

Aplicando la ecuación A B = jAj jBj cos sustituyendo cos = p donde

(3) ( 2) + (1) (6) q =0 32 + 12 ( 2)2 + 62

= 90;00o .

10. Hallar x para que sean paralelas y luego perpendiculares los vectores: (a) A = (x; 2); B = (3; 6); (b) A = (x; 8) y B = (2; x). Solución. (a) Condición de paralelismo p

(x) (3) + (2) (6) p x2 + 22 32 + 62

= 1

(3x + 12)2 = 9x2 + 72x + 144 9x2 + 72x + 144 45x2 180 36x2 + 72x 36 x2 2x + 1 (x 1)2 x

= = = = = =

p

x2 + 22

2

p

32 + 62

2

x2 + 4 (45) 0 0 j 36 0 0 1

Condición de perpendicularidad


p

(x) (3) + (2) (6) p = 0 =) x = 4 x2 + 22 32 + 62 14 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO (b) Condición de paralelismo p

(x) (2) + (8) (x) p x2 + 82 22 + x2

= 1 p

(10x)2 = 100x2 100x2 32x2 + 256 2 x2 16 x2 x

x4

= = = = = =

x2 + 82

2

p

22 + x2

2

x2 + 64 4 + x2 x4 + 68x2 + 256 0 0 16 4

condición de perpendicularidad p

(x) (2) + (8) (x) p = 0 =) x = 0 x2 + 82 22 + x2

11. Demostrar que: A es paralelo a B, si se cumple: a1 b2 tiene: A = (a1 ; a2 ); B = (b1 ; b2 ).

a2 b1 = 0; cuando se

Solución. Condición de paralelismo a b +a b p 1 1 p2 2 = 1 a21 + a22 b21 + b22 (a1 b1 + a2 b2 ) =

a21 b21 + 2a1 a2 b1 b2 + a22 b22 a21 b21 + 2a1 a2 b1 b2 + a22 b22 2a1 a2 b1 b2 2 2 a1 b2 2a1 a2 b1 b2 + a22 b21 (a1 b2 a2 b1 )2

= = = = =

q a21 + a22

2

q

2

b21 + b22

a21 + a22 b21 + b22 a21 b21 + a21 b22 + a22 b21 + a22 b22 a21 b22 + a22 b21 0 0

…nalmente a1 b 2

a2 b 1 = 0

12. A los vectores (2; 3); (5; 4) y ( 1; 1), determinar un vector perpendicular: Solución. 13. Efectuar la proyección ortogonal de A sobre B si: (a) A = (5; 10) y B = (2; 1), (b) A = (8; 2) y B = (1; 1). Solución. 14. Hallar las áreas del paralelogramo y triángulo conformado entre los siguientes pares de vectores: (a) (2; 4); (5; 3); (b) (3; 2); (1; 5) y (c) (0; 4); (3; 0). Solución. Alvaro Cabrera Javier

15


15. Hallar el área del triángulo, que se encuentra entre los siguientes trios de puntos: (a) (2; 1); (3; 4); (6; 2), (b) (1; 1); (4; 2); (2; 4), (c) (1; 2); (4; 5); (5; 1), (d) ( 1; 1); (1; 2); (3; 3). Solución. 16. Hallar el área del polígono que se encuentra situado entre los siguientes puntos (El polígono no es regular). (a) (2; 0); (7; 3); (1; 5) m; ( 2; 4); (0; 0), (b) (5; 0); (6; 2); (2; 5); ( 2; 3); (1; 1). Solución. 17. Demostrar: jAj = Solución.

18. Demostrar: jA + Bj Solución.

jAj + jBj

19. Hallar las ecuaciones de recta y gra…carlas, si cumplen con: (a) L para por P0 (2; 3) dirección: A = (1; 4). Solución. 20. Escribir en forma general las anteriores rectas: (a) 4x y 5 = 0, (b) 2x 3y = 0; 2x y 3 = 0; 2x + y 5 = 0. Solución. 21. Determinar si es verdadero (V) o falso (F), que los puntos: (1; 4); (2; 5); (0; 7); (1; 10) pertenecen a la recta: L = f(2; 1) + t ( 1; 3)g. Solución.

22. Hallar las rectas paralelas y perpendicular a: L dada, que pasan por P dado. (a) f(1; 3) + t (2; 4) ; P (6; 5)g, (b) Solución.

23. Hallar la distancia entre la recta: L y el punto externo: P e. (a) f(1; 2) + t (4; 3) ; P e (5; 8)g, (b) Solución. 24. Cuál es el punto P de la recta L, que está más cerca al punto P e dado: (a) L = f(2; 3) + t (6; 8) ; P e (6; 5)g, (b) Solución.

25. Hallar el ángulo entre las rectas: (a) L1 = f(3; 1) + t (2; 1)g; L2 = f(7; 6) + t (1; 3)g, (b) Solución. 26. Hallar el cuarto vértice del cuadrado ubicado entre los puntos: (a) (4; 1); (3; 6); (1; 3), (b) Solución. Alvaro Cabrera Javier

16


CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO 27. Si xA + yB = 0, donde: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B, demostrar que la igualdad se veri…ca cuando: x = y = 0. Solución. 28. Demostrar que cuando: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B. Si: x1 A + y1 B = x2 A + y2 B =) x1 = x2 ; y1 = y2 . Solución. 29. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo, se intersectan en sus puntos medios. Solución. 30. Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y posee la mitad de su longitud. Solución. 31. Demostrar que las medianas de un triángulo, se cortan en un punto (llamado baricentro), ubicado a un tercio de un lado y a dos tercios del vértice opuesto. Solución. 32. Demostrar que la diagonal de un paralelogramo, es dividida en tres partes iguales, por dos rectas, que partiendo de un vértice lateral, van a los puntos medios del lado opuesto. Solución. 33. Demostrar que la mediana de un triángulo isósceles, que va al lado distinto, el perpendicular a ese lado. Solución. 34. Demostrar que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo. Solución. 35. Demostrar que las diagonales de un rombo, se intersectan en sus puntos medios. Solución.


17



18


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA

Capítulo 3 GEOMETRIA ANALITICA 1. Hallar Distancias y Puntos Medios entre los Pares de Puntos: (2; 1) ; (6; 4) (0; 2) ; (4; 0)

(0; 3) ; (8; 9) (3a; 0) ; (0; 4a)

Solución. La distancia entre los puntos: d1 = d2 = d3 = d4 = Los puntos medios: 2+6 =4 2 0+8 =4 x2 = 2 0+4 x3 = =2 2 3a 3a + 0 = x4 = 2 2 x1 =

q (6 q (8 q (4 q (0

2)2 + (4

1)2 = 5

0)2 + (9

3)2 = 10 p 2)2 = 2 5

0)2 + (0 3a)2 + (4a

0)2 = 5a

1+4 5 = 2 2 3+9 ; y2 = =6 2 2+0 ; y3 = =1 2 0 + 4a ; y4 = = 2a 2 ; y1 =

5 2

=)

P1 4;

=)

P2 (4; 6)

=)

P3 (2; 1) 3a P4 ; 2a 2

=)

2. Hallar la coordenada: u, de manera que se cumpla: a) P1 (5; 2); P2 (1; u); d = 5 d= sustituyendo

q

(x2

5 =

x1 )2 + (y2

q (1

y1 )2

5)2 + (u

25 = 16 + (u q p (u 2)2 = 9 u 2 = 3

2)2

2)2

entonces: u1 = 5 y u2 = 1. p b) P1 (u; 1); P2 (2; u); d = 5


d=

q

(x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 19 CALCULO I - CHUNGARA

sustituyendo p 2u2 2u (u

q

5 =

(2

5 = 4 6u = 0 3) = 0

u)2 + (u

4u + u2 + u2

1)2 2u + 1

entonces: u1 = 0 y u2 = 3. c) P1 (6; 3); P2 (4; u); P (5; 4) Solución. El punto medio está dado por: y=

y1 + y2 2

sustituyendo: 4=

3+u =) u = 5 2

3. Hallar los Puntos que dividen al Segmento entre: P1 (2; 6) y P2 (8; 3) en tres partes iguales. Solución. De la fórmula x=

x1 + rx2 y1 + ry2 ;y= 1+r 1+r

Para el punto P , el problema es encontrar r. Según la relación P1 P =r P P2 de la grá…ca P1 P = a y P P2 = 2a, entonces r =

1 a = , sustituyendo: 2a 2

1 1 (8) 6 + (3) 2 2 = 4; y = =5 1 1 1+ 1+ 2 2

2+ x=

entonces P (4; 5) : Para el punto P 0 , según la relación P1 P 0 =r P 0 P2 de la grá…ca P1 P 0 = 2a y P 0 P2 = a, entonces r = x= entonces P 0 (6; 4). Alvaro Cabrera Javier

2a = 2, sustituyendo: a

2 + 2 (8) 6 + 2 (3) = 6; y = =4 1+2 1+2 20


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA 4. Demostrar que es Restángulo el Triángulo ubicado entre: A (1; 5); B (4; 4); C (3; 1). Demostrar que es Isosceles el Triángulo ubicado entre: A0 (1; 5); B 0 (6; 2); C 0 (5; 6). Solución. La solución consiste en de Pitágoras q (4 AB = q BC = (3 q AC = (3 p 2 5

todo triángulo rectángulo cumple la Ley

1)2 + (4

5)2 =

p

4)2 + (1

4)2 =

p

10 p 5)2 = 2 5

1)2 + (1 p

2

=

p

2

10

10

+

2

10

20 = 10 + 10 20 = 20 entonces el triángulo es rectángulo y también isosceles. Para el segundo caso el problema consiste en q (6 1)2 + (2 A0 B 0 = q 0 0 BC = (5 6)2 + (6 q (5 1)2 + (6 A0 C 0 =

que dos lados son iguales: 5)2 =

p

34

2)2 =

p

17

5)2 =

p

17

ya que dos lados con iguales el triángulo es isósceles, también es rectángulo. 5. Indicar si pertenece (V ) o nó (F ) a la recta: 3x + 4y puntos: (4; 3); ( 2; 9); (0; 6). 24 3x Solución. 4 Para: (4; 3) 3 (4) + 4 (3) 24 = 0 Para: ( 2; 9) 3 ( 2) + 4 (9) 24 = 0 Para: (0; 6) 3 (0) + 4 (6) 24 = 0

=) =) =)

24 = 0, los siguientes

0 = 0 (V ) 6 = 0 (F ) 0 = 0 (V )

y 10 8.75 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -3.75


-2.5

-1.25 -1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

7.5

8.75

10

11.25 x

21


6. Gra…car las siguientes rectas: 3x 2y+12 = 0; 2x+3y 12 = 0; 4x y 8 = 0; y 3 = 0. Solución. Para:

y

y6

-6

3x

-4

4

4

2

2

-2

2

x

2y + 12 = 0

y

6

-3

-2

2x + 3y

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

12 = 0

2

y

5 4

-1

1

2

-2

3

3

x

2 -4 1 -6 -4

-8

-2

2

4

-1

4x

y

8=0

y

x

3=0

7. Hallar los Puntos de Interesección de los siguientes Pares de Rectas: Solución.

y

y

8

6

6 4

4 2

2

-2

2

4

2x + y 8 = 0 =) P (3; 2) 3x 4y 1 = 0 Alvaro Cabrera Javier 22

6

x

-1

1

2

3

4

5

6

2x 3y 2 = 0 =) P (4; 2) 5x y 18 = 0 CALCULO I - CHUNGARA

7

x


y

4

2

-4

-2

2

4

x

-2

x + 3y 2x 6y

6=0 =) 6=0

8. Hallar las ecuaciones de recta, que poseen las siguientes características:

a) Pendiente: m = 3; pasa por: P (2; 1). Solución. Aplicando la condición punto pendiente: y y y

y1 = m (x

x1 )

1 = 3 (x 2) 1 = 3x 6

…nalmente: 3x

y

y

5=0

10

5

-1

1

2

3

4

5

x

-5

b) Pendiente: m =

1; pasa por: P (1; 4).

Solución. y

4=

(x

1)

simpli…cando: Alvaro Cabrera Javier

x+y 23

5=0 CALCULO I - CHUNGARA

y

6

4

2

-1

1

2

3

4

5

6

x

c) Pendiente: m = 0; pasa por: P (3; 2). Solución. y

2 = 0 (x

3)

simpli…cando: y=2

y

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

d) Pendiente: m = 1; pasa por: P (4; 6). Solución.

y aplicando

6 = 1 (x

4)

1 =0 1 y

6 1

=x

4 =) x

4=0

simpli…cando: Alvaro Cabrera Javier

24

x=4



y

5 4 3 2 1

-1

1

2

3

4

-1

5

x

e) Pendiente: m = 2; intersecta al eje y en: 3. Solución. Pasa por el punto (0; 3) y

3 = 2 (x

0)

…nalmente: 2x

y+3=0

y 6

4

2

-2

-1

1

2

x

1 f ) Pendiente: m = ; intersecta al eje x en: 1: 2 Solución. Pasa por el punto (1; 0) 1 y 0 = (x 1) 2 2y = x 1 …nalmente: x

y

2y

1=0

1.0

0.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

-0.5

-1.0


25


g) Pasa por los puntos: (2; 6); (8; 2). Solución. Aplicando la fórmula: y y

6 =

y

6 =

y1 = 2 8

y2 x2

y1 (x x1

6 (x 2

2)

18 =

2 (x 2) 3 2x + 4

2x + 3y

22 = 0

3y

x1 )

…nalmente:

y

10 8 6 4 2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

h) Pasa por los puntos: (3; 3); (6; 5). Solución. Aplicando la fórmula: y

y2 x2

y1 (x x1

x1 )

5 3 (x 3) 6 3 2 y 3 = (x 3) 3 3y 9 = 2x 6 3y + 3 = 0 y

2x

y1 =

y

3 =

6

4

2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

-2

i) Interscta a los ejes x, y en: 3; 4 respectivamente. Alvaro Cabrera Javier 26 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA Solución. Aplicando la forma canónica:

x y + =1 a b

x y + = 1 3 4 4x + 3y 12 = 0

y

6

4

2

-4

-2

2

4

6

8

x

-2

j ) Interscta a los ejes x, y en: 6; 2 respectivamente. x y Solución. Aplicando la forma canónica: + = 1 a b x y + = 1 6 2 x + 3y 6 = 0

y

3

2

1

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

-1

k) Interscta a los ejes x, y en:

2; 1 respectivamente.

Solución. Aplicando la forma canónica de la recta:


x y + =1 a b

x y + = 1 2 1 x 2y + 2 = 0 27 CALCULO I - CHUNGARA

y

3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-1

l) Intersecta al eje y en: 5, pasa por P (4; 2). Solución. Pasa por los puntos (0; 5) y P (4; 2) y 4y 3x + 4y

y

5 =

2 4

20 = 20 = 0

5 (x 0 3x

0)

6

4

2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

m) Intersecta al eje x en: 3, pasa por P (5; 4). Solución. Pasa por los puntos (3; 0) y P (5; 4) 4 0 (x 5 3 y = 2x 6 6 = 0

y 2x

0 =

y

y

3)

4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1 -2

2

3

4

5

6

7

x

-4 -6 -8


28


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA = 45o .

n) Pasa por P (4; 3) con inclinación de:

Solución. Pasa por el punto P (4; 3) y tiene pendiente m = 1 y y

x

3 = x 1 = 0

y

4

5 4 3 2 1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-2 -3 -4 -5

ñ) Pasa por P (3; 1) con inclinación de:

= 68;2o .

Solución. Pasa por el punto P (3; 1) y tiene pendiente m = 5 (x 3) 2 2y 2 = 5x 15 2y 13 = 0 y

5x

1 =

y -8

-6

5 2

-4

2

-2

2 -2

4

6

8

x

-4 -6 -8

9. Hallar el ángulo de inclinación de las rectas: a) 3x

2y

12 = 0.

Solución. m= Alvaro Cabrera Javier

A = B

3 3 = =) ( 2) 2 29

3 = tan 1 = 56;3o 2 CALCULO I - CHUNGARA

2

y -1

1

2

3

4

5

6

x

-2

-4

-6

b) 5x + 3y 17 = 0. Solución. A = B

m=

y

5 =) 3

= tan

1

1

2

3

2 =)

= tan

5 3

= 121o

6 4 2

-1

4

5

x

-2

c) 2x + y 4 = 0. Solución. m=

A = B

y

1

( 2) = 116;5o

6

4

2

-1

1

2

3

x

-2

d) 3x 4y + 12 = 0. Solución. m= Alvaro Cabrera Javier

A = B

3 =) 4 30

3 = tan 1 = 36;9o 4 CALCULO I - CHUNGARA


y

4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

= tan

1

3

4

5

x

-2 -4

e) 2x 6 = 0 Solución. m=

A = B

y

2 =) 0

(1) = 90o

4 2

-2

-1

1

2

3

= tan

1

4

5

x

-2 -4

. f ) 3y 7 = 0. Solución.

A = B

m=

0 =) 3

y

(0) = 0o

4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2

10. Hallar las Ecuaciones de Recta Paralela y Perpendicular a las siguientes Rectas que pasen por el Punto indicado: Alvaro Cabrera Javier 31 CALCULO I - CHUNGARA

a) 3x + 2y 6 = 0; P (3; 2). Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo: 3 2

m1 = m2 = por punto y pendiente y

2=

3 (x 2

3) =) 3x + 2y

13 = 0

La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad: m1 m2 = 1, sustituyendo 3 2 m2 = 1 =) m2 = 2 3 por punto y pendiente y

2 (x 3

2=

3) =) 2x

3y = 0

6

y

4

2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-2

b) x 2y 2 = 0; P (4; 3). Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo: m1 = m2 =

1 2

por punto y pendiente y

3=

1 (x 2

4) =) x

2y + 2 = 0

La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad: m1 m2 = 1, sustituyendo 1 m2 = 1 =) m2 = 2 2 por punto y pendiente Alvaro Cabrera Javier

y

3=

2 (x

4) =) 2x + y 11 = 0 32 CALCULO I - CHUNGARA


y

6

4

2

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-2

c) y

2 = 0; P (5; 3).

11. Hallar los Angulos de Intersección entre los siguientes Pares de Rectas: x 2y + 2 = 0 6x + 3y 15 = 0

2x y + 2 = 0. 2x + 3y 12 = 0.

x 2y + 2 = 0. Eje y.

12. Hallar las Distancias entre las Rectas y los Puntos indicados: 3x + 4y 2x + 3y

24 = 0; Pe (8; 5) 12 = 0; Pe (4; 5)

6x 8y + 8 = 0; Pe (2; 5) x 2y + 2 = 0; Pe (4; 3)

13. Hallar el Baricentro, Ortocentro e Incentro del triángulo ubicado entre los puntos: A (1; 4); B (6; 8); C (9; 2). 14. Determinar a que tipo de Cónica, pertenecen las siguientes Ecuaciones: a) 2x2 + 2y 2

4x

8y

12 = 0.

Solución. A = B = 2 signo iguales: Circunferencia.

y

6

4

2

-4

-2

2

4

6

x

-2

b) x2 + 4y 2 4 = 0. Alvaro Cabrera Javier

33


Solución. A = 1 y B = 4 signos iguales: Elipse.

1.5

y

1.0 0.5

-2

-1

1

2

x

-0.5 -1.0 -1.5

c) 4x2 + y 2

16x + 2y

18 = 0.


y 4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-2 -4 -6

d) x2 + y

2 = 0.

Solución. A = 1 y B = 0: Parábola.

y

-3

-2

2

-1

1

2

3

x

-2

-4

e) x2 y 2 6x + 8y Alvaro Cabrera Javier

12 = 0.

34


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.

y 10 8 6 4 2 -4

-2

2

4

6

8

10

x

-2

f ) x2

y2

4 = 0.

Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.

y

4 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -4

g) 7x2 + 7y 2

x

14y

11 = 0.

Solución. A = B = 7 signos iguales: Circunferencia.

y

3

2

1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-1

h) x2 + 2y 2 1 = 0. Alvaro Cabrera Javier

35



y

1.0

0.5

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

x

-0.5

-1.0

15. Hallar la Ecuación General de Circunferencia, que posee los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); Radio: 5. Solución. Dada la forma h)2 + (y

(x

k)2 = R2

sustituyendo los valores x2 + y 2 = 25

y 4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

-2

6

8

x

-4

b) Centro (2; 3); Radio: 4. Solución. Dada la forma de la circunferencia: (x

h)2 + (y

k)2 = R2

(x

2)2 + (y

3)2 = 16

sustituyendo

simpli…cando x2 + y 2 Alvaro Cabrera Javier

4x 36

6y + 13 = 16 CALCULO I - CHUNGARA


y

8 7 6 5 4 3 2 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

x

-2

c) Centro (2; 1); Para por el origen. Solución. Centro (2; 1) y pasa por el origen, quiere decir que el radio es la distancia entre el punto y el origen q (2 0)2 + (1 0)2 R = p R = 5 sustituyendo (x x2

2)2 + (y

p

1)2 =

2

5

4x + 4 + y 2 2y + 1 = 5 x2 4x + y 2 2y = 0

y

4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

-2 -4

d) Centro (3; 2); Diámetro: 8. Solución. Aplicando la forma (x (x

h)2 + (y

3)2 + (y

k)2 = R2 , entonces

2)2 = 42

e) Tiene un diámetro entre: ( 1; 2); (7; 8). Solución. El punto medio es el centro, entonces h= y el radio Alvaro Cabrera Javier

D=

1+7 2+8 = 3; k = =5 2 2 q ( 1 7)2 + (2 8)2 = 10 37 CALCULO I - CHUNGARA

entonces el radio es 5. La ecuación de la circunferencia 3)2 + (y

(x

5)2 = 52

f ) Tiene un diámetro entre: (2; 1); (5; 4). Solución. El punto medio es el centro, entonces 2+5 7 1+4 5 = ;k= = 2 2 2 2

h= y el radio D= entonces el radio es

q

(2

p 4)2 = 3 2

5)2 + (1

3p 2. La ecuación de la circunferencia 2 x

7 2

2

+ y

5 2

2

=

9 2

g) Centro: (3; 4); Tangente al Eje y. Solución. Como es tangente al eje y, entonces el radio es la abscisa del centro, luego (x 3)2 + (y 4)2 = 32 h) Centro: (3; 4); Tangente al eje x. Solución. Como es tangente al eje x, entonces el radio es la ordenada del centro, luego (x 3)2 + (y 4)2 = 42 16. Hallar el Centro y Radio de las siguientes circunferencias. a) x2 + y 2

36 = 0.

Solución. Es una circunferencia con centro en el origen y radio 6 x2 + y 2 = 62 b) x2 + y 2

2x

6y + 9 = 0.

Solución. Completando cuadrados perfectos

x2 Alvaro Cabrera Javier

x2 + y 2 2x 6y + 9 x2 2x + y 2 6y 2x + 1 + y 2 6y + 9 (x 1)2 + (y 3)2 38

= 0 = 9 = 9+1+9 = 1 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA tiene centro en el punto C (1; 3) y radio 1.

y

6

4

2

-6

-4

-2

2

4

6

x

c) x2 + y 2 + 6x 4y 12 = 0. Solución. Completando cuadrados perfectos x2 + y 2 + 6x 4y 12 x2 + 6x + y 2 4y x2 + 6x + 9 + y 2 4y + 4 (x + 3)2 + (y 2)2

= = = =

0 12 12 + 9 + 4 52

tiene centro en el punto C ( 3; 2) y radio 5

y

8 6 4 2

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2

4

6

8

x

-4

d) 2x2 + 2y 2 6x 14y 3 = 0. Solución. Completando cuadrados perfectos 2x2 + 2y 2 6x 14y 3 = 0 2x2 + 2y 2 6x 14y = 3 j 2 3 x2 3x + y 2 7y = 2 9 49 3 9 49 x2 3x + + y 2 7y + = + + 4 4 2 4 4 2 2 3 7 x + y = 42 2 2 Alvaro Cabrera Javier 39 CALCULO I - CHUNGARA

3 7 ; 2 2

tiene como centro el punto C

y

y radio 4

8 6 4 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

-2

17. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientes datos: a) Pasa por: (8; 6); Centro (0; 0). Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 donde D = 2h = 0, E = 2k = 0 y F = h2 + k 2 distancia del punto al centro R2 = (8 sustituyendo F =

0)2 + (6

R2 , el radio es la

0)2 = 100

100. Entonces la ecuación general x2 + y 2 y

100 = 0 12 10 8 6 4 2 0

-20

-17.5 -15

-12.5 -10

-7.5

-5

-2.5 -2

0

2.5

5

7.5

10

12.5 15

17.5 20 x

-4 -6 -8 -10 -12

b) Pasa por: (1; 3); (3; 7); (10; 6). Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia Alvaro Cabrera Javier

x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 40 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA sustituyendo los puntos: 8 (1; 3) : (1)2 + (3)2 + D (1) + E (3) + F = 0 =) D + 3E + F + 10 = 0 8 (3; 7) : (3)2 + (7)2 + D (3) + E (7) + F = 0 =) 3D + 7E + F + 58 = 0 8 (10; 6) : (10)2 + (6)2 + D (10) + E (6) + F = 0 =) 10D + 6E + F + 136 = 0 resolviendo el sistema: D =

6 y F = 20, la ecuación general

12, E =

x2 + y 2

12x

6y + 20 = 0

9

y

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2.5 -1.25 -1

0

1.25 2.5

3.75 5

6.25 7.5

8.75 10

11.25 x

-2 -3

c) Pasa por: (1; 7); (4; 6); (5; 1). Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 sustituyendo los puntos: 8 (1; 7) : (1)2 + (7)2 + D (1) + E (7) + F = 0 =) D + 7E + F + 50 = 0 8 (4; 6) : (4)2 + (6)2 + D (4) + E (6) + F = 0 =) 4D + 6E + F + 52 = 0 8 (5; 1) : (5)2 + ( 1)2 + D (5) + E ( 1) + F = 0 =) 5D E + F + 26 = 0 resolviendo el sistema: D =

2, E =

x2 + y 2

2x

4yF = 4y

20, la ecuación general

20 = 0

y 7.5

5

2.5

0 -7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10 x

-2.5


41


d) Centro: (2; 3); tangente a: 3x + 4y 43 = 0. Solución. D = 2h = 4, E = 2k = 6 y F = h2 + k 2

R2

3 (2) + 4 (3) 43 p =5 32 + 42

R=

sustituyendo F = 22 + 32 52 = 12, la ecuación general de la circunferencia: x2 + y 2 4x 6y 12 = 0 y 10

7.5

5

2.5

0 -5

0

5

10

15 x

-2.5

e) Centro: (3; 2); tangente a: 5x + 12y + 26 = 0. Solución. D = 2h = 6, E = 2k = 4 y F = h2 + k 2 R=

R2

5 (3) + 12 (2) + 26 p =5 52 + 122

sustituyendo F = 32 + 22 52 = 12, la ecuación general de la circunferencia: x2 + y 2 6x 4y 12 = 0 y

8 7 6 5 4 3 2 1 0

-7.5

-6.25 -5

-3.75 -2.5

-1.25 -1

0

1.25 2.5

3.75 5

6.25 7.5

8.75 10

11.25 x

-2 -3 -4

18. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientes datos: a) Pasa por: (8; 2); tangente a: 3x + 4y 41 = 0; en: (7; 5). Solución. Sea C (h; k), el centro entonces R= Alvaro Cabrera Javier

3h + 4k 41 p =) 3h + 4k + 5R = 41 32 + 42 42 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA también R2 = (h

7)2 + (k

5)2

R2 = (h

8)2 + (k + 2)2

…nalmente resolviendo el sistema: R = 5, h = 4 y k = 1, entonces D = 2h = 8, E = 2k = 2 y F = 42 + 12 52 = 8, la ecuación general de la circunferencia x2 + y 2 8x 2y 8 = 0 y

7 6 5 4 3 2 1 0

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-1

14 x

-2 -3 -4

b) Pasa por: ( 3; 2); (4; 1) tangente al eje x. Solución. Aplicando la distancia entre dos puntos R2 = (h + 3)2 + (k R2 = (h 4)2 + (k R = k

2)2 1)2

resolviendo el sistema se tiene dos soluciones: R = 145, h = 21 y k = 145 también: R = 5, h = 1, k = 5. Finalmente las ecuaciones: x2 + y 2 42x 290y + 441 = 0 x2 + y 2 2x 10y + 1 = 0

y

20

15

10

5 0 -12.5

0 -5

12.5

25

37.5 x

-10

c) Pasa por: (1; 4); (5; 2); centro sobre: x 2y + 9 = 0. Alvaro Cabrera Javier 43 CALCULO I - CHUNGARA

Solución. Se tiene las siguientes ecuaciones 1)2 + (k + 4)2 = R2 5)2 + (k 2)2 = R2 h 2k + 9 = 0 p resolviendo el sistema: R = 65; h = 3; k = 3, entonces la ecuación de la circunferencia F = 32 + 32 65 = 47 (h (h

x2 + y 2 + 6x

6y

47 = 0 y 10

7.5

5

2.5 0 -15

-10

-5

0

5

10 x

-2.5

-5

d) Pasa por: ( 2; 3); (4; 5); centro sobre el eje x. Solución. Sea la ecuación de la circunferencia que pasa por el eje x h)2 + y 2 = r2

(x sustituyendo los puntos

( 2 h)2 + 32 = r2 (4 h)2 + 52 = r2 250 7 250 y h = ;r = . La ecuació 9 3 9

7 Resolviendo el sistema: h = ; r2 = 3 de la circunferencia es: 2

7 3

x y

250 9

+ y2 = 6

4

2 0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 x

-2

-4

-6


44


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA e) Radio: 10 tangente a: 3x 4y 13 = 0 en: (7; 2) Solución. La distancia de un punto a una recta y la ecuación de la circunferencia, tenemos: 8 3h 4k 13 < 10 = 5 : (7 h)2 + (2 k)2 = 100 Resolviendo el sistema: h = 13 y k =

6. Entonces la ecuación es:

13)2 + (y + 6)2 = 102

(x y 5

-10

-5

0

0

5

10

15

x 25

20

-5

-10

-15

f ) Inscrita al triángulo de lados: 4x 3y 65 = 0; 7x 24y + 55 = 0; 3x + 4y = 5. Solución. Aplicando distancia de un punto a una recta: 8 4h 3k 65 > > d= > > 5 < 7h 24k + 55 d= > 25 > > > : d = 3h + 4k 5 5

Resolviendo el sistema: d = 10, h = 3 y k = 9. La ecuación buscada es: (x + 3)2 + (y + 9)2 = 102 5 -25

-12.5

0 0

y 12.5

x

-5

-10

-15

-20

-25


45


g) Circunscrita al triángulo de lados: x y + 2 = 0; 2x + 3y 1 = 0; 4x + y 17 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia x y+2=0 2x + 3y 1 = 0 El punto A ( 1; 1). Luego x y+2=0 4x + y 17 = 0 El punto B (3; 5) …nalmente 2x + 3y 1 = 0 4x + y 17 = 0 El punto C (5; 3).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 2 C +D+E =0 34 + 3C + 5D + E = 0 : 34 + 5C 3D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = la circunferencia

8 yE= 5

32 ,D= 5

5x2 + 5y 2

32x

8y

34 . La ecuación de 5

34 = 0

y 5

2.5

0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 x

-2.5

h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x + 2y 13 = 0; x + 2y 3 = 0; x + y 5 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia 3x + 2y x + 2y

13 = 0 3=0

3x + 2y x+y 46

13 = 0 5=0 CALCULO I - CHUNGARA

El punto A (5; 1). Luego


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA El punto B (3; 2) …nalmente x + 2y x+y

3=0 5=0

El punto C (7; 2).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 26 + 5C D + E = 0 13 + 3C + 2D + E = 0 : 53 + 7C 2D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = 17, D = 7 y E = 52. La ecuación de la circunferencia x2 + y 2 17x 7y + 52 = 0 y

10

7.5

5

2.5

0 -5

0

5

10

15 x

-2.5

i) Tangente a: 4x + 3y 40 = 0; centro en la intersección de: x + y = 4; x y = 2. Solución. Hallamos el centro x+y =4 x y=2 C (3; 1). Distancia de un punto a una recta 4 (3) + 3 (1) 5 r = 5

r =

40

entonces la circunferencia (x

3)2 + (y

1)2 = 52

19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos: a) Vértice: (0; 0); foco: (6; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 6. Sustituyendo Alvaro Cabrera Javier

h) = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y = 24x2 47 CALCULO I - CHUNGARA

y

25

20

15

10

5

0 -1

-0.5

0

0.5

1 x

b) Vértice: (0; 0); foco ( 2; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 2. Sustituyendo

k)2 = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y2 = 8x p 8x y = y 25

12.5

0 -62.5

-50

-37.5

-25

-12.5

0

x -12.5

-25

c) Vértice: (2; 4); foco (7; 4). Solución. Dada la forma (y k)2 = 4a (x y a = 7 2 = 5. Sustituyendo 4)2 = 10 (x

(y

-2

y

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

d) Vértice: (3; 1); foco (3; 5). Alvaro Cabrera Javier

h), donde V (h; k) = (2; 4)

2

3

4

5

2)

6

7

8

9

10 x

48


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA Solución. Dada la forma (y k) = 4a (x y a = 5 1 = 4. Sustituyendo y

y

h)2 , donde V (h; k) = (3; 1)

3)2 3)2 + 1 48x + 73

1 = 8 (x = 8 (x = 8x2

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5 x

e) Vértice: (3; 2); Directriz: x

1 = 0.

f ) Vértice: (2; 1); Latus rectum entre: (5; 5); (5; 7). g) Foco: (4; 3); Directriz: x + 2 = 0. 20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas: a) y 2

16x = 0.

b) y 2

8x

c) x2

24y = 0.

d) x2

4x

6y + 17 = 0. 12y + 64 = 0.

21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos: a) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 6); vértice: (0; 0). b) Eje paralelo al eje y; pasa por: (4; 1); vértice: (0; 0). c) Eje paralelo al eje x; pasa por: (5; 7); (5; 5); (2; 1). d) Eje paralelo al eje y; pasa por: (6; 2); (2; 1); ( 6; 5). e) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 5); (6; 1); vértice sobre: 2y

3x = 0.

f ) Latus rectum entre: (3; 3); (3; 2). 22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m de altura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre. 23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semiejes: 6; 2. Alvaro Cabrera Javier 49


b) Centro: (2; 1); semiejes: (4; 2). c) Vértices: ( 5; 0); focos ( 3; 0). d) Focos: ( 4; 0); excentricidad: e = 0;8. e) Vértices: ( 8; 0); e = 0;5. f ) Vértices: (0; 10); focos: (0; 8). g) Vértices: (0; 4); e = 0;25. h) Vértices: ( 1; 3), (9; 3); focos: (1; 3), (7; 3). 1 i) Vértices: (1; 2), (7; 2); e = . 3 2 j ) Focos: (3; 1); (7; 1); e = . 3 k) Vértices: (2; 1), (2; 5); focos: (2; 2), (2; 4). p 2 . l) Un foco: ( 1; 1); directriz: x = 0; e = 2 24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses: a) x2 + 9y 2

9 = 0.

b) x2 + 4y 2

2x

24y + 21 = 0.

c) 4x2 + 9y 2

36 = 0.

d) 9x2 + 4y 2

36x

8y

104 = 0.

25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos: a) Pasa por: (0; 1), (2; 0); Centro: (0; 0). b) Pasa por:

6;

29 , (2; 7), 5

5;

32 , (7; 4). 5

c) Pasa por: (1; 0), ( 1; 1), (2; 2), (0; 4). 26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro. 27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al eje x. b) Centro: (3; 2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x. c) Vértices: ( 5; 0); focos: ( 13; 0). 5 d) Vértices: ( 6; 0); Excentricidad: e = . 3 e) Focos: ( 4; 0); e = 2. f ) Vértices: (0; 3); focos: (0; 5). g) Vértices: (0; 2); e = 1;5. Alvaro Cabrera Javier

50


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA h) Vértices: (1; 3), (7; 3); focos: ( 1; 3), (9; 3). i) Vértices: (1; 2); (3; 2); focos: ( 1; 2), (5; 2). j ) Vértices: (2; 3); (6; 3); e = 3. k) Focos: (3; 4), (3; 2); e = 1;5. 28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas: a) 4x2

y2

b) 9x2

16y 2

c) 4x2

y 2 + 36 = 0.

d) 4x2

y2

16 = 0. 36x + 128y

796 = 0.

16x + 2y + 19 = 0.

29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Pasa por:

20 ; 4 ; (4; 0); centro: (0; 0). 3

28 52 ; 9 , ( 4; 1), ; 7 . 3 3 p p c) Pasa por: (2; 2), 2 2; 3 , 2 2; 1 , ( 2; 2). 7x d) Vértices: ( 6; 0); asíntotas: y = . 6 e) Centro: (0; 0); latus rectum: 36; c = 12; eje paralelo al eje y. b) Pasa por: (12; 1);

30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica. a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la intersección de las rectas: x + 2y 5 = 0; 2x y 5 = 0. b) Hallar la mínima distancia entre la recta: 3x + 4y 36 = 0; y la circunferencia: x2 + y 2 6x 2y + 6 = 0. Hallar también los puntos de la recta y circunferencia que determinan esa mínima distancia. c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: ( 1; 1); (8; 2) es tangente a la recta: 3x + 4y 41 = 0. d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la circunferencia x2 + y 2 4x 8y + 11 = 0. Su latus rectum entre (3; 2) y (3; 6). e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de la parábola: y 2 12x 2y + 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2. f ) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los 1 puntos de una circunferencia x2 + y 2 = R2 , en la relación: . 2 g) Un punto P se mueve de manera que el producto de pendientes de las dos rectas que unen al punto P con los puntos …jos ( 2; 1); (6; 5) es constante e igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. Alvaro Cabrera Javier 51 CALCULO I - CHUNGARA

h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; el semieje mayor es de 148;5 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar la máxima distancia entre la tierra y el sol. i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto …jo 3 8 (0; 6) sea de la correspondiente distancia a la recta y = 0. 2 3


52


CAPÍTULO 4. LIMITES

Capítulo 4 LIMITES Hallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales 9 x p x !9 3 x Solución.

1. l m

p 2 32 ( x) p lm x !9 3 x p p (3 x) (3 + x) p = lm x !9 3 x p p = l m 3 + x = 3 + 9 = 6==

9 x p = lm x !9 3 x

x !9

p

x 2 x !4 x 4 Solución.

2. l m

p

p

x 2 lm = x !4 x 4

2

p

x 2 p lm p 2 = lm p x !4 ( x) 22 x !4 ( x 2) ( x + 2) 1 1 1 = lm p =p = == x !4 x + 2 4 4+2

p

x+8 3 x !1 x 1 Solución. p x+8 3 = lm x !1 x 1

3. l m

x

p

p p 2 32 x+8 3 x+8+3 x+8 p p lm = lm x !1 x !1 (x (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 x 1 x+8 9 p p = lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 1 1 1 = lm p =p = == x !1 x + 8 + 3 6 9+3

x 2 x !2 x + 2 2 Solución.

4. l m p

p (x 2) x + 2 + 2 p lm p x !2 x+2 2 x+2+2 p p (x 2) x + 2 + 2 (x 2) x + 2 + 2 = lm = lm p 2 x !2 x !2 x+2 4 x+2 22 p p (x 2) x + 2 + 2 x+2+2 = lm = lm x !2 x !2 x 2 p = 4 + 2 = 4== Alvaro Cabrera Javier 53 CALCULO I - CHUNGARA x 2 lm p = x !2 x + 2 2

p

x+1 x !3 3 x Solución. p x+1 2 = lm x !3 3 x

5. l m

2

p x+1 2+ x+1 p lm x !3 (3 x) 2 + x + 1 p 2 22 x+1 4 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 (3 x) 2 + x + 1 x) 2 + x + 1 3 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 x) 2 + x + 1 2+ x+1 1 1 p = = == 4 2+ 3+1 2

p

x+7 3 x !2 x2 4 Solución. p x+7 3 lm = x !2 x2 4

6. l m

= = = = =

x

p x+7 3 x+7+3 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 p 2 32 x+7 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x+7 9 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x 2 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 1 1 p p = lm x !2 (x + 2) x+7+3 (2 + 2) 2 + 7 + 3 1 1 = == (4) (6) 24 p

p

x+6 x !3 x 3 Solución. p x x+6 lm = x !3 x 3

7. l m

p

p x+6 x+ x+6 p lm x !3 (x 3) x + x + 6 p 2 x2 x+6 x2 x 6 p p = lm = lm x !3 (x x !3 (x 3) x + x + 6 3) x + x + 6 (x 3) (x + 2) x+2 p p = lm = lm x !3 (x x !3 x + 3) x + x + 6 x+6 3+2 5 5 p = = = == 3+3 6 3+ 3+6 Alvaro Cabrera Javier 54 CALCULO I - CHUNGARA x

p

CAPÍTULO 4. LIMITES p

5x + 4 x !1 x 1 Solución. p 5x + 4 lm x !1 x 1

8. l m

3

3

= = = =

p

x+2 2 3x + 2 Solución. p x+2 2 lm 2 = x !2 x 3x + 2

9. l m

p

p 5x + 4 3 5x + 4 + 3 p lm x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 p 2 5x + 4 32 5x + 4 9 p p = lm lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5x 5 5 (x 1) p p lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5 5 5 5 =p lm p = == =p x !1 5x + 4 + 3 6 9+3 5 (1) + 4 + 3

x !2 x2

= = = =

2 10. l m x !3 1

lm

p

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

p x+2 2 x+2+2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 p 2 x+2 22 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x+2 4 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x 2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 1 1 1 p p = = == 4 1) x + 2 + 2 (2 1) 2 + 2 + 2

p x+1 p x 2

Solución. p 2 x+1 p lm = x !3 1 x 2

p p p 2 x+1 2+ x+1 1+ x 2 p p p lm x !3 1 x 2 1+ x 2 2+ x+1 h i p p 2 2 x+1 2 1+ x 2 i = lm h p p 2 x !3 2+ x+1 12 x 2 p p [4 x 1] 1 + x 2 [3 x] 1 + x 2 p p = lm = lm x !3 [1 x !3 [3 x + 2] 2 + x + 1 x] 2 + x + 1 p p 1+ x 2 1+ 3 2 1 p p = lm = = == x !3 2 + 2 x+1 2+ 3+1 Alvaro Cabrera Javier 55 CALCULO I - CHUNGARA

p x 1 1 11. l m p x !2 x + 7 3 Solución. p x 1 lm p x !2 x + 7

p

2x + 1 12. l m x !4 x Solución. p 2x + 1 lm x !4 x

p

p p p x 1 1 x 1+1 x+7+3 p p lm p x !2 x+7 3 x+7+3 x 1+1 i p h p 2 x 1 12 x+7+3 i p = lm h p 2 x !2 x+7 32 x 1+1 p p [x 2] x + 7 + 3 x+7+3 p = lm p = lm x !2 x !2 [x 2] x 1 + 1 x 1+1 p 2+7+3 6 = p = = 3== 2 2 1+1

1 = 3

x+5

4 p

x+5

4

= = = = =

p 3x x+8 p 13. l m x !1 2x x+3 Solución. p 3x x+8 p lm = x !1 2x x+3 =

= = = Alvaro Cabrera Javier

p

p p p 2x + 1 x+5 2x + 1 + x + 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 p p 2 2 2x + 1 x+5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 2x + 1 x 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 x 4 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 1 1 1 p lm p = == =p p x !4 2x + 1 + 6 x+5 2 (8) + 1 + 4 + 5

p p p 3x x + 8 3x + x + 8 2x + x + 3 p p p lm x !1 2x x + 3 2x + x + 3 3x + x + 8 h i p p 2 (3x)2 x+8 2x + x + 3 i lm h p p 2 x !1 x+3 3x + x + 8 (2x)2 p (9x2 x 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (4x2 x 3) 3x + x + 8 p (x 1) (9x + 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (x 1) (4x + 3) 3x + x + 8 p p (9x + 8) 2x + x + 3 (9 + 8) 2 + 1 + 3 34 p p lm = = == x !1 (4x + 3) 3x + 21 x+8 (4 + 3) 3 + 1 + 8 56 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES p

x2 + 5 3 x !2 x 2 Solución. p x2 + 5 3 lm = x !2 x 2

14. l m

lm

p

x2 + 5 (x p

x !2

2)

3 p

p

x2 + 5 + 3

x2 + 5 + 3

2

x2 + 5 32 x2 + 5 9 p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 x2 4 (x 2) (x + 2) p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 2+2 2 x+2 =p = == = lm p 2 2 x !2 x + 5 + 3 3 2 +5+3 p p 2x 1 x+4 p 15. l m p x !5 2x 6 x 1 Solución. p p p p p p 2x 1 x+4 2x 1 + x + 4 2x 6 + x 1 p p p p p = lm p x !5 2x 6 x 1 2x 6 + x 1 2x 1 + x + 4 p p p 2 p 2 2x 1 x+4 2x 6 + x 1 = lm p p p 2 2 p x !5 2x 6 x 1 2x 1 + x + 4 p p (2x 1 x 4) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (2x 6 x + 1) 2x 1 + x + 4 p p (x 5) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (x 5) 2x 1 + x + 4 p p p p 2 (5) 6 + 5 1 2x 6 + x 1 2+2 2 p = lm p =p = = == p x !5 2x 3+3 3 1+ x+4 2 (5) 1 + 5 + 4 1 x p 3 x !1 1 x Solución.

16. l m

lm

1

x !1 1

x p = 3 x

(1 lm

x !1

(1 (1

=

lm

x !1

(1 = = Alvaro Cabrera Javier

p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p p p 3 3 x) 1 + 3 x + x2 p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p 3 1 ( 3 x) p p 3 x) 1 + 3 x + x2

lm

x !1

lm1+

x !1

57

p 3

1p x 3 x + x2 = 3== CALCULO I - CHUNGARA

17. l m

x !1

p 5

x 1 x 1

Solución. p p p 5 5 x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 lm p p p p 5 5 5 x !1 (x 1) x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 p 5 15 ( 5 x) = lm p p p p 5 5 5 x !1 (x 1) x4 + x3 + x2 + 5 x + 1

p 5

p (5x

x 1 lm = x !1 x 1

= =

lm

x !1

(x

p 5

1)

lm p 5

p 5

1)

x 1 p p p 5 5 x4 + x3 + x2 + 5 x + 1 1 p 5

p 5

x4 + x3 + x2 + 1 1 = = 1+1+1+1+1 5

18. l m

x !4

1

x !1

p 5

x+1

p 3

x 3 4 x

Solución. q x 3 1 + x 3 + 3 (x 3)2 1 x 3 1 = lm lm q p x !4 x !4 4 x 3 (4 x) 1 + x 3 + 3 (x 3)2 =

=

=

=

p 1 5x p 19. l m 3 x !1 1 x Alvaro Cabrera Javier

p 3

p 3

p 3

lm

x !4

(4

1 x+3 q p 3 x) 1 + x 3 + 3 (x

(4

x !4

4 p x) 1 + 3 x 1

lm

1+

x

3 q 3 + 3 (x

x) 1 +

lm

x !4

p 3

3

x

(4

lm

x !4

p 3

13

p 3

x

3+

58

x

q

3+

3

q 3

(x

3)2

3)2

3)2 1

= (x

3)2

1+

p 3

4

3+

q 3

(4

3)2


1 = == 3

CAPÍTULO 4. LIMITES Solución.

1 !1 1

lm

x

p p p 5 3 x3 + x4 1 + 3 x + x2 lm p p p p p p p 3 5 5 5 x !1 (1 3 x) 1 + 3 x + x2 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p p 5 3 1 + 3 x + x2 15 ( 5 x) = lm p p p p 3 p 5 5 5 x !1 13 ( 3 x) 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p 3 (1 x) 1 + 3 x + x2 = lm p p p p 5 5 5 x !1 (1 x) 1 + 5 x + x2 + x3 + x4 p p 3 1+1+1 3 1 + 3 x + x2 = = == = lm p p p p 5 5 5 x !1 1+1+1+1+1 5 1 + 5 x + x2 + x3 + x4

p 5 x p = 3 x

p 3 x+1 20. l m p x !0 x + 1

(1

p 5

x) 1 +

p 5

p 5

x+

x2 +

p 5

1 1

Solución.

p 3 x+1 lm p x !0 x + 1

1 = 1

p 3 lm

x !0

p

x+1

1

x+1

1 p 3

q 3

p

(x + 1)2 +

x+1+1

p x+1+1 x+1+1 q p 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1

p 3

p 13 x+1+1 = lm q p p x !0 2 3 x+1 12 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 p (x + 1 1) x + 1 + 1 = lm q p x !0 (x + 1 1) 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 p p x+1+1 0+1+1 2 = lm q = q = == p p x !0 3 3 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 (0 + 1)2 + 3 0 + 1 + 1

p m x 1 21. l m p n x !1 x 1 Alvaro Cabrera Javier

59

x+1

3


Solución. p m 1 p m 2 p 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p m 1 p m 2 p 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p n 1 p n 2 p (x 1) ( n x) + ( n x) + ::: + n x + 1 = lm p m 1 p m 2 p x !1 (x 1) ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 p n 1 p n 2 p ( n x) + ( n x) + ::: + n x + 1 = lm p m 1 p m 2 p x !1 ( m x) + ( m x) + ::: + m x + 1 n = m

p m x lm p n x !1 x

1 = 1

p 3 x+7 22. l m p x !1 x + 3 Solución.

2 2 p 3

=

=

=

=

p (mx lm x !1 p (nx

p x + 7 (2) + 4 x+3+2 lm p p p p 2 x !1 3 x+3 2 x+3+2 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p p 3 3 x+7 23 x+3+2 lm p p p 2 2 x !1 3 22 x+3 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p (x 1) x + 3 + 2 lm p p 2 x !1 (x 1) 3 x + 7 + 3 x + 7 (2) + 4 p x+3+2 1 lm p = == p 2 3 3 x !1 3 x+7 + x + 7 (2) + 4

p x 23. l m p x !1 x

x+7

2

p 3

x+7

2

+

p 3

p 4 x p 3 x

Solución. hp i p 2 p p p p 3 2 3 4 4 4 x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) hp = lm p p p p p 2i 2 x !1 3 ( x x) ( x) + ( x) ( 3 x) + ( 3 x) p 4 p 4 hp 2 p p p 2i ( x) ( 4 x) ( x) + ( x) ( 3 x) + ( 3 x) hp i = lm p p p 2 p p p p 3 3 3 2 3 x !1 3 4 4 4 ( x) ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) ( x) + ( x) p 3 (x 1) ( x + 1) p = lm p 4 x !1 ( x 1) ( x + 1) p p 3 (x 1) ( x + 1) 3 3 = lm = l m x + 1 = == 4 x !1 x 1 4 x !1 2 Alvaro Cabrera Javier 60 CALCULO I - CHUNGARA p ( x

p 4

CAPÍTULO 4. LIMITES

24. l m

x !4

pp

x+7 x 4

3

Solución.

lm

x !4

pp

x+7 x 4

3

=

= =

25. l m

p

x !4

p x+ x x 4

lm

x !4

x+7

3 pp

pp

x+7+3

(x 4) x+7+3 2 pp x+7 32 = lm pp x !4 (x 4) x+7+3 p p ( x 2) ( x + 2) = lm pp p x !4 (x 4) x + 7 + 3 ( x + 2) =

1

pp

lm

x !4

(x

4)

l m pp x !4 pp

pp

x

4

p x + 7 + 3 ( x + 2)

1

p x + 7 + 3 ( x + 2) 1

4+7+3

p

= 4+2

1 == 24

3

Solución. = = =

= = =

p x2 x 26. l m p x !1 x 1 Alvaro Cabrera Javier

p p p x 3 x 1+ x 3+ x p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x p p 2 2 ( x) 1+ x 3 p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x p p 2 x 3 1 x 3+1 p p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x x 3+1 h p i 2 2 x 3 12 p p lm p x !4 (x 4) 1 + x 3 + x x 3+1 2 p p lm p x !4 1 + x 3+ x x 3+1 2 1 p = p p 4 1+ 4 3+ 4 4 3+1 1+

p

61


Solución. x2 lm p

x !1

p

x = 1

x

=

= = = =

p p x) (x2 + x) ( x + 1) p p 1) (x2 + x) ( x + 1) p 2 p 2 (x2 ) ( x) ( x + 1) lm p 2 p x !1 ( x) 12 (x2 + x) p x (x3 1) ( x + 1) p lm x !1 (x 1) (x2 + x) p x (x 1) (x2 + x + 1) ( x + 1) p lm x !1 (x 1) (x2 + x) p x (x2 + x + 1) ( x + 1) p lm x !1 x2 + x p (1) (12 + 1 + 1) 1 + 1 p =3 12 + 1 (x2 lm p x !1 ( x

p

p 3

7 + x3 2x x !1 x 1 Solución.

27. l m

lm

x !1

p 3

7 + x3 2x = x 1 =

=

=

=

p 3

7+

x3

lm

x !1

(x

lm

x !1

(x

1)

lm

x !1

h p 3

2

p 3

x3

+ 2x 7 + + 4x i p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 3

(2x)3 i p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 7 + x3

7 (1

7 + x3

2

x3 )

+ 2x

p 3

7 + x3 + 4x2

i

1)

(x

7 (1 x) (1 + x + x2 ) h p i p 2 1) 3 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2

7 (1 + x + x2 ) p 2 7 + x3 + 2x 3 7 + x3 + 4x2 7 (1 + 1 + 12 ) 7 = p p 2 2 3 3 4 7 + 13 + 2 (1) 7 + 13 + 4 (1)

lm p x !1 3

=

h p 3

p 3

7+

x3

(x

lm

x !1

1)

2x h p 3

h p 3

Hallar los siguientes límites 6 . +9 Solución.

1. l m

8x

x !1 4x

x


8x 6 =2 !1 4x + 9 62 CALCULO I - CHUNGARA

lm

2

i

CAPÍTULO 4. LIMITES x2 + 1 . x !1 x 1 Solución.

2. l m

x2 + 1 lm =1 x !1 x 1

6x3 + x + 3 . x !1 2x3 + x2 + 1 Solución.

3. l m

x

6x3 + x + 3 =3 !1 2x3 + x2 + 1

lm

x2 + 1 . x !1 x4 + 1 Solución.

4. l m

x

x2 + 1 =0 !1 x4 + 1

lm

p

x2 + 1 . x !1 x + 1 Solución.

5. l m

lm

p

x !1

x2 + 1 =1 x+1

(2x + 3)4 (3x + 2)3 6. l m . x !1 x7 + 1 Solución.

(2x + 3)4 (3x + 2)3 lm = 432 x !1 x7 + 1

p

p 1+ x 7. l m p . x !1 1+x Solución. lm

x !1

p

p 1+ x p =0 1+x

6

(2x2 + 1) 8. l m . x !1 (3x3 + 1)4 Solución.

6

(2x2 + 1) 64 lm = 4 3 x !1 (3x + 1) 81

(x + 1)m xn . x !1 xm (xn 1) Solución.

9. l m

x

Hallar los siguientes límites: Alvaro Cabrera Javier

(x + 1)m xn =1 !1 xm (xn 1)

lm

63


1. l m x2

9x.

x !1

Solución. l m x2

2. l m

p

x !1

x+1

p

x

1.

Solución. lm

3. l m

p

x !1

p

x !1

x2 + 1

9x = 1

x !1

p

x+1

x

1=

x.

Solución. lm

p

x !1

p

4. l m x x !1

p x2 + 1 + x x = lm x2 + 1 x p x !1 x2 + 1 + x 1 x2 + 1 x2 = lm p = lm p 2 2 x !1 x + 1 + x x !1 x + 1 + x 1 1 = p =0 = 1 1+1+1 p

x2 + 1

x + 1.

Solución. p

lm x

x !1

x+1 =

lm

x !1

p

x

x+1

1 1 1 1 2 2 1 x = lm rx x = =1 1 x !1 1 0 1 1 + + 2 x x x3 x4

x2 x 1 p = lm x !1 x + x+1 5. l m x2 x !1

p

p x+ x+1 p x+ x+1

x4 + 1.

Solución. lm x

2

x !1

6. l m

x !1

p 3

p

p 2 x + x4 + 1 p x4 + 1 = l m x x4 + 1 x !1 x2 + x4 + 1 x4 x4 1 1 1 p p = lm = lm = =0 2 4 2 4 x !1 x + 1 x + 1 x !1 x + x + 1

x+1

p

2

p 3

x.

Solución. lm

x !1

p 3

x+1

p 3

x = =


lm

x !1

p 3

p 3

x+1

lm h p x !1 3

x+1 64

p p 2i x + 1 ( 3 x) + ( 3 x) h p i p p p 2 2 3 3 3 3 x+1 + x + 1 ( x) + ( x)

h p 3

x

x+1

2

+

p 3

1

2

+

p 3

p 3

p 3

2

i=

1 =0 1

x + 1 ( x) + ( x) CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 7. l m ex+1

ex .

x !1

Solución. l m ex+1

ex =

x !1

8. l m 3x

2x .

x !1

Solución.

9. l m ln (x

1)

x !1

ln x.

Solución. l m ln (x

x !1

1)

ln x =

l m ln

x

x !1

= ln l m 1 x !1

1 x 1 =0 x

x2 . x !1 x+1 Solución.

10. l m x

x2 + x x2 x x2 = lm = lm =1 x !1 x + 1 x + 1 x !1 x + 1

lm x

x !1

1

11. l m

3 x3

x !1 x

1 Solución. 1

12. l m

x Solución. p

x !1

.

1 p . 1 x

x !1 1

13. l m

1

p 3

x

x.

Solución.

14. l m

x3

x !1 x

1 Solución.

15. l m

x3

x !1 x2

1

x2 .

x2 . x+1

Solución. Alvaro Cabrera Javier

65


2x .

16. l m 23x x !1

Solución. x3 x !1 1 x2 Solución.

17. l m

x.

n

m x !1 1 xm Solución.

18. l m

19. l m x

xn

1

.

sen x.

x !1

Solución. 20. l m ln 2x

ln x.

x !1

Solución. 21. l m sen x !1

p

x+1

sen

p

x.

Solución.

1 1 p . 2 x !0 x x Solución.

22. l m

1 lm 2 x !0 x

p 1 x x2 p = lm p x x !0 x2 x

cambio de variables u2 = x p x x2 u u4 1 0 1 u3 p = l m = lm = l m =1 x !0 x2 x u !0 u4 u u !0 u4 0 1

23. l m

6 x2

x !3 x

3 Solución. lm

1

x !3 x

24. l m

x !1 1

9

3 p

6 3

x

.

x2

9

x+3 6 x = lm 2 2 !3 x x !3 x 9

= lm x

3 1 1 = lm = 9 x !3 x + 3 6

2 p . 1 3x

Solución. Hallar los siguientes Límites Exponenciales y Logarítmicos: Alvaro Cabrera Javier 66 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 3

1. l m (1 + x) x x !0

Solución. 3

3

1

l m (1 + x) x = l m

x !0

= e3

l m (1 + x) x

x !0

x !0

1

2. l m (1 + x) 2x x !0

Solución. l m (1 +

x !0

1 x) 2x

=

l m (1 +

x !0

1 2

1 x) x

1

= e2

1

3. l m (1 + 2x) x x !0

Solución. 1

2

1

l m (1 + 2x) x =

x !0

= e2

l m (1 + 2x) 2x

x !0

1

4. l m (1 x !0

x) x

Solución.

1 x

1

l m (1

x !0

x) x = l m (1 + ( x)) x !0

=e

1

2

5. l m (1 + 3x) x x !0

Solución.

2

6

l m (1 + 3x) x = l m (1 + 3x) 3x = e6

x !0

x !0

1

6. l m (1 x !0

8x) 4x

Solución.

1

l m (1

x !0

7. l m

x !1

1 1+ x

8x) 4x = l m (1 + ( 8x)) x !0

lm

x !1

8. l m

x !1

=e

2

3x

Solución. Aplicando un cambio de variable u =

2 1+ x

2 8x

1 1+ x

3x

1 x

3 = l m (1 + u) u = e3 u !0

x

Solución. Aplicando el cambio de variable u = lm


x !1

2 1+ x

x

2 x 2

= l m (1 + u) u = e2 67

u !0


9. l m

1

x !1

6x

1 3x

Solución. Aplicando el cambio de variable u =

lm

x !1

x !0

6x

= l m (1 + ( u)) u !0

2 u

=e

2

1 x

1 + 7x 1 + 2x

10. l m

1

1 3x

1 3x

Solución. lm

x !0

1 + 7x 1 + 2x

1 x

1

l m (1 + 7x) x

=

x !0

1

=

l m (1 + 2x) x

e7 = e5 e2

x !0 1

11. l m (x

1) x

x !2

2

Solución. 1

l m (x

x !2

1) x

x !0

= l m (1 x !2

1+x

1) x

1 x !2

Solución. lm

7x

2)) x

2

=e

1 x

3+x 3 x

x !0

13. l m

= l m (1 + (x

2

1 x

3+x 3 x

12. l m

1 2

1

x Solución.

x !0

lm

7x

x !0

5x 1 x !0 3x 1 Solución.

1 x

14. l m

5x !0 3x

1 1

lm

x

15. l m

2x

2

x

x Solución.

x !0

lm


x !0

2x

68

2 x

x


CAPÍTULO 4. LIMITES 8x 4x x !0 6x 3x Solución.

16. l m

8x !0 6x

4x 3x

xx lm x !a x

aa a

xa lm x !a x

ax a

lm

x

x x aa x !a x a Solución.

17. l m

x a ax 18. l m x !a x a Solución.

ln (1 x) x !0 x Solución.

19. l m

ln (1 x) !0 x

lm

x

1+x 1 x Solución.

20. l m

1

x !0 x

ln

lm

1

x !0 x

x e x !e ln x 1 Solución.

ln

1+x 1 x

21. l m

x e !e ln x 1

lm

x

Hallar los siguientes Límites Trigonométricos: sen x 8x Solución

1. l m

x !0

sen x 1 sen x 1 1 = lm = (1) = !0 8x 8 x !0 x 8 8

lm

x

sen 7x x !0 x Solución.

2. l m

sen 7x sen 7x =7lm =7=7 !0 x !0 7x x

lm

x

sen 8x 4x Solución.

3. l m

x !0

2 sen 8x sen 8x sen 8x = lm =2lm =2 x !0 4x x !0 8x 2 x !0 4x Alvaro Cabrera Javier 69 CALCULO I - CHUNGARA lm

4. l m

6x

x !0 sen 2x

Solución.

lm

6x

x !0 sen 2x

=

1 1 1 = = =3 1 1 sen 2x sen 2x lm lm x !0 6x 3 x !0 2x 3

sen 12x x !0 sen 2x Solución.

5. l m

sen 12x lm = x !0 sen 2x

sen 12x lm x !0 sen 2x

1 sen 12x 12x = l m 12x 1 x !0 sen 2x 12x 12x

sen 12x 12x = 6 1 sen 2x lm 6 x !0 2x lm

=

x !0

x sen 7x x !0 x sen 3x Solución.

6. l m

lm

x

x !0 x

sen 7x = sen 3x

x lm

x !0

x 1

=

lm

x !0

1

x sen 7x x x = lm x sen 3x x !0 x x sen 7x 7lm 1 x !0 7x = sen 3x 1 3lm x !0 3x

1 1

7 sen 7x 7x 3 sen 3x 3x

7 =3 3

tan 3x x !0 x Solución.

7. l m

sen 3x tan 3x 1 sen 3x lm = l m cos 3x = l m 3lm =3 x !0 x !0 x !0 cos 3x x !0 3x x x 8. l m

tan 8x

x !0 tan 4x

Solución.

sen 8x sen 8x tan 8x cos 4x lm = l m cos 8x = l m 2 l m 8x = 2 x !0 cos 8x x !0 tan 4x x !0 sen 4x x !0 sen 4x cos 4x 4x Alvaro Cabrera Javier 70 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES sen 9x

9. l m

x !0 sen 6x

sen 5x sen 4x

Solución.

sen 9x lm x !0 sen 6x

1 sen 9x (sen 9x sen 5x) lm x = lm x x !0 1 x !0 sen 6x (sen 6x sen 4x) x x 9 sen 9x 5 sen 5x 9 5 9x 5x = = lm =2 4 sen 4x x !0 6 sen 6x 6 4 6x 4x

sen 5x = sen 4x

sen 5x x sen 4x x

sen2 x !0 1 cos x

10. l m x

Solución.

sen2 x 1 = lm !0 1 cos x x !0 1

lm

x

11. l m x !

3

cos2 x (1 = lm x !0 cos x

cos x) (1 + cos x) = l m (1 + cos x) = 2 x !0 1 cos x

2 cos x 1 3x

2 cos x 1 1 = 3x x ! 3 Alvaro Cabrera Javier Solución. l m

1 71

0 = . 0 CALCULO I - CHUNGARA

Primera forma: Si u =

u

3x =) x =

2 cos x 1 = lm 3x x ! 3

2 cos lm

= =

=

=

=

=

u 3

3

1

u

u !0

u u + 2 sen sen 3 3 3 3 lm u !0 u u p u cos + 3 sen 1 3 3 lm u !0 u u u 1 p3 cos sen 3 3 lm + lm u !0 u 3 u !0 u 3 u u cos 1 cos + 1 p3 3 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 u p 1 cos2 3 1 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 p sen u sen u 3 lm + u u !0 u 3 cos + 1 3 p p 0 3 3 1 + = 2 3 3 2 cos

=

3

cos

1

sen x

3 1 2 cos x x ! 3 Alvaro Cabrera Javier 12. l m

72


CAPÍTULO 4. LIMITES sen x Solución. l m x !

1

3

sen

3 = 2 cos x

3

1

3 1 2

2

sen x lm x !

3

3 2 cos x

1

= =

2 cos u

3 sen u

2 cos u cos 2 sen u cos 3 3 sen u p lm u !0 1 cos u 3 sen u sen u u p lm u !0 1 cos u 3 sen u u u 1 1 cos u p lm 3 u !0 u 1 1 cos u 1 + cos u p lm 3 u !0 u 1 + cos u 1 p sen u sen u lm 3 u !0 u 1 + cos u p 3 3

=

=

=

=

=

= sen x !1 1 x

1

lm

u !0

3

sen u

lm

u !0

0 = . Si u = x 0

1

13. l m x

sen x 0 = . Si u = 1 !1 1 x 0

Solución. l m x

lm

sen (

u !0

u)

=

u

lm

sen cos u

u !0

sen u lm u !0 u

= = x + cos x x !1 x + sen x Solución.

x cos sen u u

14. l m

x

15. l m x !

4

x + cos x !1 x + sen x

lm

cos x sen x cos 2x

Solución.

cos x sen x cos 2x ! 4 73 CALCULO I - CHUNGARA

lm x


1

cos x x2 Solución.

16. l m

x !0

lm

x !0

1

cos x = x2

cos x 1 + cos x x !0 x2 1 + cos x 2 sen x 1 = lm 2 x !0 x 1 + cos x 1 = 2 lm

1

2

(1

17. l m x !

sen x) 3 cos x

2 Solución.

2

(1

lm x !

1 x !0 sen x Solución.

sen x) 3 cos x

2

1 tan x

18. l m

1 tan x

1 sen x

lm

x !0

sen x x x ! cos 2 Solución.

19. l m

lm

x !

cos x

20. l m

sen x x cos 2

cos 2x x2

x !0

Solución.

cos x

lm

x !0

21. l m x !

4

cos 2x x2

sen x cos x tan x 1

Solución. lm x !

4

sen x cos x tan x 1

sen x p x !1 1 x Solución.

22. l m

lm


sen x p x

x !1 1

74


CAPÍTULO 4. LIMITES 23. l m x2 1

cos

x !1

1 x

Solución. l m x2 1

cos

x !1

1 x

cos mx cos nx !0 x2

24. l m x

Solución. Utilizando la identidad cos A cos B = 2 sen

lm

x !0

cos mx cos nx = x2

2 sen lm

p

1

25. l m

mx

A

B 2

nx 2

m+n lm 2 x !0

m2

sen x x

m+n 2 m+n 2

m

n 2

sen x lm

x !0

x

n2 2

cos x

x2

x !0

Solución. lm

1

26. l m 2

2

p

cos x

x2

x !0

x !

sen

sen

x2

x !0

= 2

=

mx + nx 2

A+B 2

x tan x

Solución. lm x !

27. l m

arcsen x

2

2

x tan x

arctan x x3

x !0

Solución. lm

arcsen x

arctan x x3

x !0

Hallar los siguientes Límites de Funciones Especiales (Evaluar previamente el Límite Lateral Derecha, luego el izquierdo). 1. l m

1

x !3 x

3 Solución. lm


x !3 x

75

1 3 CALCULO I - CHUNGARA

m 2 m n 2

n

2. l m jx x !2

2j

Solución. l m jx

2j

x !2

3. l m kxk x !3

Solución. l m kxk

x !3

4. l m fxg x !1

Solución. l m fxg

x !1 1

5. l m e x x !0

Solución.

1

l m ex

x !0

6. l m sgn (x) x !2

jxj

Solución. jxj

l m sgn (x)

x !2

jx 2j x 2 Solución.

7. l m

x !2

jx !2 x

2j 2

lm

x

8. l m

x

jxj

x Solución. x !0

lm

x !0

jxj kxk x !0 fxg x Solución.

x x

jxj

9. l m

jxj kxk !0 fxg x

lm

x

Hallar los siguientes Límites de Funciones de distinta naturaleza: p 3 1+x 1 1. l m p x !0 1 + x 1 Solución. p 3 1+x 1 lm p x !0 1 + x 1 Alvaro Cabrera Javier 76 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES 3)2 (x 1)4 x !2 x3 3x2 + 4 Solución.

2. l m

(2x

lm

(2x

x !2

(xm + 1)n (xn 1)m 3. l m x !1 x2mn 1 Solución.

4. l m

x !0

ex

2

3)2 (x 1)4 x3 3x2 + 4

(xm + 1)n (xn 1)m lm x !1 x2mn 1

cos x x2

Solución. lm

x !0

5. l m

2

cos x x2

esen x

esen 3x

x !0

ex

x

Solución. lm

x !0

(1 + mx)n (1 + nx) x !0 x2 Solución.

esen x

esen 3x x

6. l m

(1 + mx)n (1 + nx) !0 x2

lm

x

2x 2 x !0 tan x Solución.

x

7. l m

2x 2 lm x !0 tan x

p p x 2 3x+2 p 8. l m p 3 x !6 x + 3 x + 21 Solución.

x + x2 + x3 + x4 x !1 x 1 Solución.

9. l m

p p x 2 3x+2 p lm p 3 x !6 x + 3 x + 21 4

x + x2 + x3 + x4 4 !1 x 1 77 CALCULO I - CHUNGARA

lm

x


x

10. l m

x !1

x2

x2 + 2 x2 1

Solución. lm

x !1

11. l m

x !0

x2

x2 + 2 x2 1

1 x2

1 + x4x 1 + x2x

Solución. lm

x !0

x + x2 + ::: + xn 12. l m x !1 x 1 Solución.

1 x2

1 + x4x 1 + x2x

n

x + x2 + ::: + xn !1 x 1

n

lm

x

13. l m

ln (cos 4x)

x !0 ln (cos 2x)

Solución.

ln (cos 4x) !0 ln (cos 2x)

lm

x 1

14. l m (cos x) sen x x !0

Solución.

1

l m (cos x) sen x

x !0

15. l m (1 + sen x)cot x x !0

Solución. l m (1 + sen x)cot x

x !0

ln (1 + 4x ) !1 ln (1 + 2x )

16. l m x

Solución. x

cos x 17. l m x !0 cos 3x Solución.

ln (1 + 4x ) !1 ln (1 + 2x )

lm

1 x2

cos x !0 cos 3x 78

lm

x


1 x2


CAPÍTULO 4. LIMITES 18. l m (tan x + cos x)csc x x !0

Solución. l m (tan x + cos x)csc x

x !0 1

19. l m x e x x !1

1

Solución. 1

1

l m x ex

x !1

20. l m

x !1

1 + x4x 1 + x2x

1 x2

Solución. 1 + x4x 1 + x2x

lm

x !1

sen x x !0 x Solución.

21. l m

1 x2

sen x x sen x

sen x x

lm

x !0

ln x x !1 log x Solución.

sen x x sen x

22. l m

ln x !1 log x

lm

x

23. l m x !

4

cos x sen x sen 4x

Solución. lm x !

24. l m x [ln (x + a) x !1

4

cos x sen x sen 4x

ln x]

Solución. l m x [ln (x + a)

x !1

25. l m x sen x !1

ln x]

1 x

Solución. l m x sen


x !1

79

1 x


1

26. l m (sen x) tan x x !0

Solución.

1

l m (sen x) tan x

x !0

x2 x !1 x2 Solución.

2x + 1 4x + 2

27. l m

x

x2 x2

2x + 1 4x + 2

l m jx

1j

lm

x !1

28. l m jx

x

1j

x !2

Solución. x !2 a

x

ax aa 29. l m a x !a x ax Solución.

a

ax lm x !a xa

2x arcsen x x !0 2x + arctan x Solución.

x

aa ax

30. l m

2x arcsen x !0 2x + arctan x

lm

x

kxk x !2 x Solución.

31. l m

kxk !2 x

lm

x

ln (cos x) x !0 x Solución.

32. l m

ln (cos x) !0 x

lm

x 3

33. l m x 2 x !1

p

x3 + 1

p

x3

1

Solución.

3

l m x2

x !1

p

x3 + 1

p

x3

1

34. l m (sgn (x))2 x !0

Solución. l m (sgn (x))2


x !0

80


CAPÍTULO 4. LIMITES jxj kxk x !1 sgn (x) fxg Solución.

35. l m

jxj kxk !1 sgn (x) fxg

lm

x

sgn (x) + kxk x !0 jxj + fxg Solución.

36. l m

sgn (x) + kxk !0 jxj + fxg

lm

x

Determinar si son continuas (C) o No Continuas (NC) las siguientes Funciones, indicar además los Puntos de Discontinuidad si los hubiera. 1. f = 3x + 1 Solución. 2. f = 5x2

2

Solución. 3. f =

1

x 3 Solución.

4. f = ex Solución. 5. f = cos x Solución. 6. f = tan x Solución. 7. f =

2 x x2

x 1 x>1

Solución. 8. f =

4 x

x 1

x 2 x>2

Solución. 9. f =

2x + 1 3

x 6= 2 x=2

Solución. 10. f =

4 x2 x+2


x<1 x 1 81


11. f = jx

1j

Solución.

jx 3j x 3 Solución.

12. f =

13. f = x + kxk Solución.

Hallar el valor de A para que las siguientes funciones sean continuas: 1. f =

2x A

2. f =

x ln (x A

x 6= 3 x=3

1

2)

8 < x3 1 3. f = : Ax 1 8 < 3 x A 4. f = : 1 + x2


x 6= 3 x=3

x 6= 1

x=1

x<1 x=1 x>1

82


CAPÍTULO 5. DERIVADAS

Capítulo 5 DERIVADAS Por de…nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1. f (x) = 5x2 + 7 Solución.

lm

f (x +

x !0

x) x

f (x)

= = = =

x)2 + 7 (5x2 + 7) lm x !0 x 5x2 + 10x x + 5 x2 + 7 5x2 7 lm x !0 x 2 10x x + 5 x 5 x (5x + x) lm = lm x !0 x !0 x x l m 5 (5x + x) = 10x== 5 (x +

x !0

2. f (x) = 5x3 + 1 Solución.

lm

f (x +

x !0

x) x

f (x)

= = = = =

x)3 + 1 (5x3 + 1) x !0 x 3 2 5x + 15x x + 15x x2 + 5 x3 + 1 lm x !0 x 2 2 15x x + 15x x + 5 x3 lm x !0 x 5 x (3x2 + 3x x + x2 ) lm x !0 x 2 5 l m 3x + 3x x + x2 = 15x2 == 5 (x +

lm

5x3

x !0

3. f (x) = 1 Solución. lm

x !0

p 4. f (x) = 3 x Alvaro Cabrera Javier

f (x +

x) x

f (x)

= lm

x !0

83

1

1 =0 x


1

Solución. p 3 =

x+

x

p 3

x

q

lm

x !0

3

p 3

=

lm

q x 3 (x +

=

lm

q x 3 (x +

=

lm q

x !0

x !0

x !0

3

(x +

q 3

x

(x +

(x +

x)2 +

x)2 + p 3

x+

p 3

x+

p p 3 x 3 x + x2

p p 3 x 3 x + x2

p 3 3 x ( 3 x) p p p 3 x)2 + 3 x + x 3 x + x2

x+

x+

x x p p p 3 x)2 + 3 x + x 3 x + x2

1 p x)2 + 3 x +

p 3

x x+

p 3

x2

= p 3

x2

1 p p 3 3 + x2 + x2

1 p 3 3 x2

=

1 x+2 Solución.

5. f (x) =

f (x +

lm

x !0

x) x

f (x)

=

= =

6. f (x) =

p

1 1 lm x+ x+2 x+2 x !0 x x+2 x x 2 (x + x + 2) (x + 2) lm x !0 x 1 1 == = lm x !0 (x + x + 2) (x + 2) (x + 2)2

x+7

Solución. =

lm

=

lm

=

lm

=

x !0

x !0

x !0

p

p p p x+7 x+ x+7+ x+7 p p x x+ x+7+ x+7 p p 2 2 x+ x+7 x+7 p p x x+ x+7+ x+7 x+ x+7 x 7 1 p p p = lm p x !0 x + x x+ x+7+ x+7 x+7+ x+7 x+

x+7

1 p == 2 x+7

Por de…nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones: Alvaro Cabrera Javier 84 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 5. DERIVADAS 1. f (x) = 3x . Solución. lm

f (x +

x) x

f (x)

f (x +

x) x

f (x)

f (x +

x) x

f (x)

f (x +

x) x

f (x)

f (x +

x) x

f (x)

f (x +

x) x

f (x)

x !0

=

2. f (x) = log x. Solución. lm

x !0

=

3. f (x) = cosh x. Solución. lm

x !0

=

4. f (x) = tan x. Solución. lm

x !0

=

5. f (x) = sec x. Solución. lm

x !0

=

6. f (x) = g 1 . Solución. lm

x !0

=

Derivar: 1. f (x) = 3x + x3 + 3x + 3. Solución. f 0 (x) = 2. f (x) = 2 ln x + x ln 2. Solución. f 0 (x) = 3. f (x) = 5 cos x + x cos 5. Solución. f 0 (x) = p

1 x+ p . x Solución.

4. f (x) =


f 0 (x) = 85


Derivar (por la regla del producto) 1. f (x) = x3 sen x. Solución. f 0 (x) = 2. f (x) = x6 ln x. Solución. f 0 (x) = 3. f (x) = x2 7x . Solución. f 0 (x) = 4. f (x) = ex cos x. Solución. f 0 (x) = 5. x3 ex cos x. Solución. f 0 (x) = Derivar (por la regla del cociente) cos x . x5 Solución.

1. f (x) =

f 0 (x) = x5 + 1 2. f (x) = 3 . x 1 Solución. f 0 (x) = x2 . ln x Solución.

3. f (x) =

f 0 (x) = 2x 1 4. f (x) = x . 2 +1 Solución. f 0 (x) = Derivar (por la regla de la cadena). 1. f (x) = sen (x2 + 1). Solución. Alvaro Cabrera Javier

f 0 (x) = 86


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 7

2. f (x) = (x3 + 1) . Solución. f 0 (x) = 3. f (x) =

p 3

1 + x6 .

Solución. f 0 (x) = 4. f (x) = ln (1 + x4 ). Solución. f 0 (x) = 5. f (x) = sen (1 + x2 ex ). Solución. f 0 (x) = 6. f (x) = etan x . Solución. f 0 (x) = Derivar: 1. f (x) = arcsen

x2 1 . x2

Solución. f 0 (x) = 2. f (x) = arcsen p

x . 1 + x2

Solución. f 0 (x) = 1 tan3 x + tan x + x. 3 Solución.

3. f (x) =

f 0 (x) = 4. f (x) = ln x +

p

a2 + x 2 .

Solución. f 0 (x) = 5. f (x) =

p

a2

x x2 + a arcsen . 2


f 0 (x) = 87


1 sen3 x. 3

6. f (x) = sen x Solución.

f 0 (x) = xp 2 a 2 Solución.

7. f (x) =

1 x x2 + a2 arcsen . 2 a f 0 (x) =

xp 2 x 2 Solución.

8. f (x) =

p 1 2 a ln x + x2 2

a2

a2 .

f 0 (x) = 9. f (x) = ln

p

1 + ex

1

ln

p

1 + ex + 1 .

Solución. f 0 (x) = p 1 x 2 + a2 + x . 10. f (x) = ln p 2 x 2 + a2 x Solución. f 0 (x) = 1 x2 2x + 1 ln 2 . 3 x +x+1 Solución.

11. f (x) =

f 0 (x) = 1 x ln tan 2 2 Solución.

1 cos x . 2 sen2 x

12. f (x) =

f 0 (x) = m ln (x2 2 Solución.

13. f (x) =

a2 ) +

n ln 2a

x a . x+a f 0 (x) =

Hallar el valor de la derivada de las funciones, en los puntos indicados: 1. f (x) = x2

6x + 3; x = 5..

Solución. f 0 (x) = x 1 ; x = 0.. x+1 Solución.

2. f (x) =


f 0 (x) = 88


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 3. f (x) = ex sen x; x = 0.. Solución. f 0 (x) = 4. f (x) = x3 cos x; x = 0.. Solución. f 0 (x) = x3 ; x = 1.. 3

5. f (x) = x3 ln x Solución.

f 0 (x) = x2 ; x = e.. ln x Solución.

6. f (x) =

f 0 (x) = x ; x = 0.. 1 + x2 Solución.

7. f (x) = p

f 0 (x) = 8. f (x) = tan x

x; x =

2

..

Solución. f 0 (x) = Hallar la derivada en x = a. 1. f (x) =

p 5

x; a = 0..

Solución. f 0 (x) = 2. f (x) = jx

2j; a = 2..

Solución. f 0 (x) =

3. f (x) =

1

x 3 Solución.

; a = 4.. f 0 (x) =

4. f (x) = kxk; a = 3.. Solución.

f 0 (x) = Indicar: Alvaro Cabrera Javier

89


1. Una función no derivable en: x = 2. 2. Indicar una función de…nida para todo x; no derivable en x impar. 3. Indicar una función continua para todo x; no derivable en x entero. Hallar la segunda derivada en las funciones indicadas: 1. f (x) = x3

1.

Solución. f 0 (x) = f 00 (x) = 2. f (x) = x5 ln x. Solución. f 0 (x) = f 00 (x) = x2 1 . x2 + 1 Solución.

3. f (x) =

f 0 (x) = f 00 (x) = sen x + 1 . sen x 1 Solución.

4. f (x) =

f 0 (x) = f 00 (x) = p xp 2 a2 x + a2 + ln x + x2 + a2 . 2 2 Solución.

5. f (x) =

f 0 (x) = f 00 (x) = Hallar la derivada enésima de: 1. f (x) = e3x . 2. f (x) = sen 2x. Alvaro Cabrera Javier

90


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 3. f (x) = 4. f (x) =

1+x . 1 x 5x x2

23 . 9x + 20

5. f (x) = log x. Demostrar la fórmula de Leibnitz: n

(uv) =

n X

n k

k=0

uk v n

k

Derivar (implícitamente) las siguientes funciones implícitas: 1. y 4 + x3 + y 2 + x = 0. Solución. Derivando: 4y 3 y 0 + 3x2 + 2yy 0 + 1 = 0 y 0 4y 3 + 2y + 3x2 + 1 = 0 3x2 + 1 4y 3 + 2y

y0 = 2. 3x5

y 3 = x2

2y 4 .

Solución. Derivando: 15x4 3y 2 y 0 = 2x 8y 3 y 0 y 0 8y 3 3y 2 = 2x 15x4 2x 15x4 y0 = 8y 3 3y 2 3. x3 y 5 + y 2

x4 = 0.

Solución. Derivando: 3x2 y 5 + 5x3 y 4 y 0 + 2yy 0 y 0 5x3 y 4 + 2y + 3x2 y 5

4x3 = 0 4x3 = 0 x2 (4x 3y 5 ) y0 = y (5x3 y 3 + 2)

4. 2x2 y 4 + 3x6 y 2 = 1. Solución. Derivando: 4xy 4 + 8x2 y 3 y 0 + 18x5 y 2 + 6x6 yy 0 = 0 y 0 8x2 y 3 + 6x6 y + 4xy 4 + 18x5 y 2 = 0 2y (2y 2 + 9x4 ) x (8y 2 + 7x4 ) CALCULO I - CHUNGARA

y0 = Alvaro Cabrera Javier

91

5.

x2 y 4 = 1. x3 + y 6 Solución. Derivando: x2

y 4 = x3 + y 6 2x 4y 3 y 0 = 3x2 + 6y 5 y 0 y 0 6y 5 + 4y 3 = 3x2 2x 3x2 2x x (3x 2) y0 = = 3 5 3 6y + 4y 2y (3y 2 + 2) 6.

x2 + 1 = 1. y2 + 1 Solución. Derivando: x2 + 1 = y 2 + 1 x2 = y 2 2x = 2yy 0 x y0 = y

7. exy + 1 = x2 Solución. Derivando: exy (y + xy 0 ) = 2x exy y + exy xy 0 = 2x 2x y0 =

yexy xexy

8. sen (x2 y 3 + 1) = x. Solución. Derivando: cos x2 y 3 + 1 2xy 3 + 3x2 y 2 y 0 2xy 3 cos x2 y 3 + 1 + 3x2 y 2 y 0 cos x2 y 3 + 1 y

0

= 1 = 1 1 =

2xy 3 cos (x2 y 3 + 1) 3x2 y 2 cos (x2 y 3 + 1)

Hallar la derivada implícita indicada: 1. x4 + y 2 = 1, y 00 . Solución. Derivando dos veces: 2x3 + y y 0 = 0 6x2 + y 0 y 0 + y y 00 = 0 y 00 = Alvaro Cabrera Javier

92

6x2 y 2 + 4x6 y3 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 5. DERIVADAS 2. ex + ey = 1, y 00 . Solución. Derivando dos veces

ex + ey

ex + ey y 0 ex + ey y 0 y 0 + y 00 ey ex ex + ey y 00 y y e e e2x ex + y + ey y 00 e ex+y + e2x + e2y y 00

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0

despejando y 00 =

ex+y + e2x = e2y

ex

y

+ e2(x

y)

=

ex

y

1 + ex

y

3. x5 + y 5 + x2 + y 2 = 1, y 00 . Solución. 4. x6 + y 6 + x4 + y 4 = 1, y 0 (0; 1), y 00 (1; 1). Solución. 5. xy

1 = 0, y 0 .

Solución.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en las curvas y puntos dados: 1. y = x2

6x + 11; P (2; 1).

Solución. p 2. y = 2 x

4 + 3; P (2; 2).

Solución. 3. y =

x2 + 6x

5; P (5; 9).

Solución.

Determinar las rectas tangentes y rectas normales a las curvas de las funciones, en los puntos indicados: 1. y = 6x x2 ; P (4; 8). Alvaro Cabrera Javier

93


2. y = x3

3x2 + 3x + 2; P (2; 4).

3. y = ex 1 ; P (1; 1). 4. y = sen 2x; P

4

;1 .

Hallar los ángulos de inclinación de las curvas dadas en los puntos indicados: 1. y = x2

4x + 6; P (3; 3).

2. y = ex 2 ; P (3; e). 3. y = 4. y =

x2

2 ; P (1; 1). +1

ln x ; P (1; 0). x

5. y = x2 6. y =

4x + 5; P (2; 1). 1

x

2

; x = 2.

Hallar los ángulos de intersección entre las curvas de las funciones: 1. y = x2

6x + 10

15 + 6x 2. y = 4 3. y = x2 4. y = x

x2

4 2

5. y = 2x 6. y =

1 2x

7. y = sen x 8. y = sen 2x 9. y = x2 p 10. y = x Hallar el valor c que veri…ca el teorema del valor medio (teorema de Lagrange) en las funciones indicadas y sus respectivos intervalos: 1. y = 1 + 4x 2. y = x2

x2 ; 0

x

6x + 10; 2

3. y = sen x; 0 x Alvaro Cabrera Javier

x 3 4

3 5

94


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 4. y =

x x2

5. y = x2

1 ;1 4 2x

x 3;

3 1

x

3

Responder: 1. ¿Toda función continua cumple con el Teorema del valor medio? 2. ¿Toda función continua es derivable? 3. ¿Es igual la expresión d2 y = dx2

dy dx

2

?

4. ¿Las rectas tangentes siempre se intersectan con las normales? Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones: 1. f (x) = x2

6x + 10

Solución. Derivando: f 0 (x) = 2x 2x

6

6 = 0 =) x = 3

reemplazando en f (3) = 32

6 (3) + 10 = 1

un punto crítico es P (3; 1). Gra…cando: y

5

3.75

2.5

1.25

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

2. f (x) = x2

4 y 20

15

10

5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x


95


3. f (x) = x3

6x2 + 9x + 1

y

20

10

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

-10

-20

4. f (x) = 1

x2

-5

-2.5

y

0

0

x 5

2.5

-5

-10

-15

-20

5. f (x) = x4

8x2 + 18

y

25

20

15

10

5

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x


96


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 6. f (x) = x3 + 1 y 100

50

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-50

-100

7. f (x) = x2 e

x

y 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

8. f (x) = ex

2

4

y 1.25e+9

1e+9

7.5e+8

5e+8

2.5e+8

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

9. f (x) = ln (1 + 6x

x2 )

10. f (x) = ln (ex 1 x + 1) Alvaro Cabrera Javier

97


p

11. f (x) =

x

5 if x > 5

y

5

3.75

2.5

1.25

7.5

10

12.5

15

17.5

20 x

12. f (x) =

p 5

x

1+1

y 2

1.5

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

13. f (x) =

1 x

4 y

50

25

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-25


98


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 14. f (x) =

jxj x y

1

0.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-0.5

-1

Hallar los máximos y mínimos en las siguientes funciones:

1. f (x) = x2

10x + 27 y

100

75

50

25

-5

0

5

10

15 x

2. f (x) = x3

3x2

9x + 30 y 75

50

25 0 -2.5

0 -25

2.5

5 x

-50

-75


99


3. f (x) = x4

2x2 + 4 y

15

12.5

10

7.5

5

2.5 0 -2

-1

0

1

2 x

x2 )

4. f (x) = ln (9 5. f (x) = x3 e

x

6. f (x) = jx 2j + 3 p 7. f (x) = 3 x 4 + 1 Hallar los intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad respectivamente de las siguientes funciones: 1. f (x) = x2

8x + 1

2. f (x) = x3

6x2 + 9x + 12

3. f (x) = x4

2x2 + 4

4. f (x) = ln ( x2 + 6x

8)

Gra…car, analizando sus características las siguientes funciones: 1. f (x) = x2

12x + 38

2. f (x) = 8x

x2

3. f (x) = x3

6x2 + 9x + 1

4. f (x) = x3

12x

5. f (x) = x4

2x2 + 3

6. f (x) = 3x5

25x3 + 60x

7. f (x) = ln (1 + 6x 8. f (x) =

x2 )

ln x x2 x

9. f (x) = 15xe 3 Alvaro Cabrera Javier

100


CAPÍTULO 5. DERIVADAS 10. f (x) = e4 11. f (x) = jx

x2

1j + jx

12. f (x) = jx2

3j

4x + 3j

Demostrar: 1. Si f (x) = 3x2

5x + 1; demostrar que se cumple: y 00 + xy 0

2. Si f (x) = e2x

1, demostrar que se cumple: y 00 + y 0

3. Si f (x) = esen x , demostrar que se cumple: y 00

2y

6y

6 = 0.

cos xy 0 =

y sen x

5x = 4.

Hallar las derivadas indicadas: 1. f (x 2. f

2) = 2x3 + 7x; f 0 (x) =?

x+1 3

= 4x2

2x + 1; f 0 (x) =?

3. f (2x + 1) = e4x+1 ; f 0 (x) =? 4. f (4x

1) = 8x2

6x + 1; f 0 (3x + 1) =?

5. f (5x + 2) = 23x 1 ; f 0 (10x + 2) =? 6. f (x) = x2

6x + 6; f 0 (x) = f (x)

7. f (x) = sen x; f 0 (x) = f (x)


101



102


CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 6 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. Hallar dos número (x; u) de producto p máximo; sabiendo que la suma del primero más el doble del segundo es de 24. Solución. p = xu x + 2u = 24

(1) (2)

resolviendo: p = (24 derivando:

dp = 24 du

y

x = 24

2u2

2u) u = 24u

4u = 0 =) u = 6 2 (6) =) x = 12

Resp. u = 6, x = 12 y p = 72. 2. Hallar dos números (x; u) de producto igual a 64, de manera tal que su suma s sea mínima. Solución. xu = 64 p=x+u

(1) (2)

(1) en (2): p= derivando:

64 + 1 = 0 =) u = u2

dp = du

y

64 +u u

64 =) x = 8 8 y p = +16. x=

Resp. u =

8, x =

8

8

3. Hallar el valor del área A máxima del rectángulo inscrito en un triángulo equilátero de lado igual a 4. Solución. El grá…co del problema: C

D

A


E

B

G

F

103

H


4. Hallar dos números (x; u) de suma igual a 20 de manera tal que la suma s de sus cuadrados sea mínima. Solución. x + u = 20 s = x2 + u2

(1) (2)

(1) en (2) x)2

s = x2 + (20 derivando:

ds = 2x + 2 (20 dx

x) ( 1)

igualando a cero x

20 + x = 0 =) x = 10; u = 10

5. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo, que posee la super…cie conocida s. Solución. El volumen máximo: V = r2 h, donde la super…cie está dada por: s

2 r2 2 r

1 rs 2

2 r3

s = 2 r2 + 2 rh =) h = sustituyendo en el volumen V = r2

s

2 r2 2 r

=

derivando el volumen con respecto al radio 1 dV = s dr 2

6 r

la altura s h=

2

= 0 =) r =

s 2 r 6 s 2 6

r

s 6

r s =2 6

6. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo, que puede inscribirse en un cono de radio basal: R = 9 y altura h = 12. 12 y 4 Solución. De la grá…ca = =) y = r. 9 r 3 y r

12 h

9


104


CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS donde h = 12

y = 12

4 r, sustituyendo en el volumen del cilindro 3 4 r 3

V = r2 h = r2 12 derivando

dV = dr

12r2

=

4 3 r 3

4r2 = 0

24r

donde r = 6 y h = 4. 7. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de área lateral máxima que se puede inscribir en una esfera de radio R = 8. r 2 h h2 Solución. De la …gura 82 = r2 + =) r = 64 4 4

8

h/2

r

El área lateral está dado por: r

A = 2 rh = 2

64h2

h4 4

derivando con respecto a h h3 )

dA (128h = r dh 64h2 y el radio r=

h4 4

r

64

p = 0 =) h = 8 2

p 128 =4 2 4

8. El material que se usa para fabricar las tapas y los fondos de los envases de cierta bebida de forma cilíndrica, cuesta el doble que el material usado para los lados. Hallar la razón de la altura h al radio r; para que el costo de producción de los envases sea mínimo, si su volumen es …jo. Solución. ****


C = 2 r2 p1 + 2 rhp2 p1 = 2p2 105 CALCULO I - CHUNGARA

entonces C = 4 r2 + 2 rh p2 dC h = 4 r2 + 2 rh = 0 =) = dp2 r

2

9. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados, ya está cubierto por una cadena de cerros, dispone para ello de 500 m de malla olímpica, hallar el área A máxima que se puede cercar. Solución. A = ab 2a + b = 500 entonces A = 500a 2a2 dA = 500 4a = 0 da donde a = 125 m y b = 250 m. A = (125) (250) = 31250 m2 10. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre: y = 4 x2 con el eje de abcisas. Solución. A = xy y = 4 x2

(1) (2)

A = x 4 x2 = 4x x3 Derivando: dA =4 dx

p 2 3 3x2 = 0 =) x = 3

y y=4 p 16 3 Resp. El área es: A = . 3

4 8 = 3 3

11. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre y = e con el eje de abcisas.

x2


A = xy 2 y=e x 106

(1) (2)


CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (2) en (1): x2

A = xe derivando:

dA =e dx

x2

+ xe

x2

( 2x)

igulando a cero: e

x2

entonces:

1

2x

2

= 0 =) x =

p

2 2

1 1 y=e 2 = p e

1 Resp. El área A = 2

r

2 . e

12. Hallar la mínima distancia D del origen a la parábola: y =

p

x + 1.

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D = donde (x1 ; y1 ) = (0; 0) el origen p D = x2 + y 2

q

(x2

sustituyendo la ecuación de la parábola p D = x2 + x + 1 derivando

donde x =

dD 1 = p (2x + 1) = 0 2 dx 2 x +x+1 1 . La distancia mínima es: 2 r p 3 1 1 D= +1= 2 4 2

: 13. Hallar la mínima distancia D entre el punto P (1; 2) a la recta 3x + 4y = 5. Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = 5 3x (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (1; 2) y (x2 ; y2 ) = x; , 4 sustituyendo: 2 5 3x D2 = (x 1)2 + 2 4 4 derivando: dD 2 = 2 (x dx Alvaro Cabrera Javier

1) + 2 107

5

3x 4

3 2 =0 4 CALCULO I - CHUNGARA

x1 )2 + (y2

y1 )2 ,

donde x =

7 , entonces la mínima distancia es 25 D2 =

2

7 25

1

5 4

+

21 100

2

2

=

36 25

6 donde D = . 5 14. Hallar las coordenadas del punto (x; y) que pertenece a la parábola: y = 2x2 ; que está más cercano al punto P (9; 0). Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (9; 0) y (x2 ; y2 ) = (x; 2x2 ), sustituyendo: D2 = (x = (x

9)2 + 2x2

0

2

9)2 + 4x4

derivando:

2dD = 2 (x 9) + 16x3 = 0 dx donde la solución real es: x = 1 y y = 2.

15. Hallar la mínima distancia D entre la parábola: y =

p

6x al punto (3; 2).

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 = y2 (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 , donde (x1 ; y1 ) = (3; 2) y (x2 ; y2 ) = ; y , susti6 tuyendo: 2 y2 2 D = 3 + (y 2)2 6 derivando: 2dD y2 = 2 3 dx 6 y3 = 4=0 9 donde y =

p 3

y + 2 (y 3

2)

36 = 3: 301 9, sustituyendo en la ecuación de la distancia: !2 2 (3;3019) D2 = 3 + ((3;3019) 2)2 6

donde la distancia mínima es: D = 1;759. 16. Hallar el punto de la elipse: vértice: (0; b).

x2 y2 + = 1; que tenga máxima distancia al a2 b2


108


CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS x2 y 2 17. Hallar el punto (x; y) de la elipse: 2 + 2 = 1; cuya tangente, forma con los a b ejes coordenados del primer cuadrante un triángulo de área mínima. Solución. 18. Hallar las dimensiones (a; a; b) de un triángulo isósceles, de área máxima, que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio R; si el vértice opuesto, al lado b, debe estar en el centro de la base. Solución. 19. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo de base cuadrada, de manera que su volumen V sea máximo. Solución. 20. A un río de ancho A se le construye en ángulo recto un canal de ancho B; cual es la longitud L máxima de los barcos, para que puedan doblar por este canal. Solución.


109



110


CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

Capítulo 7 EXTREMOS DE UNA FUNCION 1 Example 1 y = x + x 1. Dominio: y =x+

x2 + 1 1 = x x

– –∞

+ +∞

0

Dom f (x) : ( 1; 0) [ (0; +1) Análisis de simetría: f ( x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y. f ( x) = f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de coordenadas). En otro caso no es simétrica. f ( x) =

x+

1 = x

f (x)

es par.

2. Continuidad: La función es continua en ( 1; 0) o (0; +1) porque es la suma de las funciones 1 continuas x y . La función es discontinua en x = 0 porque no existe f (0). x Clasi…cación de la discontinuidad: 9 x2 + 1 = l m f (x) = l m+ = +1 > x !0+ x !0 x Divergente x2 + 1 > ; l m f (x) = l m = 1 x !0 x !0 x 3. Asíntotas. a) Asíntotas verticales. La recta x = 0 es asíntota vertical. b) Asíntotas oblícuas. y = mx + b, a la derecha: m = b =

x

x

x2 + 1 lm =1 !+1 x2 x2 + 1 lm x !+1 x

= lm

x !+1

1 x

=0

la asíntota a la derecha es: y = x. A la izquierda: m = b = Alvaro Cabrera Javier

x

x

x2 + 1 =1 ! 1 x2 x2 + 1 lm x ! 1 x 111 lm

1 = lm =0 x !+1 x CALCULO I - CHUNGARA

la asíntota a la izquierda es: y = x. 4. Construcción de un esquema. 5. Cálculo de los puntos críticos. Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos: f (x) = x + f 0 (x) = 1

1 x 1 x2 1 (x + 1) (x = = 2 2 x x x2

1)

puntos críticos de primera especie. a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no existe en x = 0 pero no es punto crítico, porque x = 0 no pertenece al dominio de f. b) f 0 (x) = 0 + –∞

– –1

0

k=1

( 1; 1) ( 1; 0) (0; 1) (1; +1)

la la la la

función función función función

– k=2

es es es es

+ +∞

1 k=1

estrictamente estrictamente estrictamente estrictamente

creciente. decreciente. monótona decreciente. creciente.

En x = 1 hay un punto de máximo local. Máximo local en f ( 1) = ( 1) +

1 = ( 1)

2 =) P1 ( 1; 2)

En x = 1 hay un punto de mínimo local en f (1) = 1 +

1 = 2 =) P2 (1; 2) 1

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in‡exión. Condición necesaria de puntos de in‡exión. f 0 (x) = 1 x 2 f 00 (x) = 3 x

2

Puntos extremos de segunda especie: a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no existe en x = 0, pero no es punto crítico de segunda especie porque no pertenece al dominio de f . b) Puntos donde la segunda derivada se anula


2 f 00 (x) = 3 112 x


CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION –

+

–∞

+∞

0

7. Trazado del grá…co de la función: y

10

5

0 -15

-10

-5

0

5

10

15 x

-5

-10

Example 2 y = p 1. Dominio:

x2 x2 1 y=p +

–∞

x2 x2 =p x2 1 (x + 1) (x –1

0

1) + +∞

1

Dom f (x) : ( 1; 0) [ (0; +1) Análisis de simetría: f ( x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y. f ( x) = f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de coordenadas). En otro caso no es simétrica. ( x)2 = f (x) f ( x) = q 2 ( x) 1

es simétrica con respecto a y.

2. Continuidad: Clasi…cación de la discontinuidad: l m f (x) =

x ! 1

l m f (x) =

x !+1

x

x

x2 lm p = +1 ! 1 x2 1 x2 lm p = +1 !+1 x2 1

9 > > = > > ;

Divergente

La función es continua en ( 1; 1), imaginaria ( 1; 1) y continua en (1; +1). La función es discontinua en x = 1 porque no existe f ( 1). 3. Asíntotas. Alvaro Cabrera Javier 113 CALCULO I - CHUNGARA

a) Asíntotas verticales. La recta x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales. b) Asíntotas oblícuas. y = mx + b, a la derecha: lm p

m =

x !+1

b =

lm

x x2 x2

x !+1

=1 1 p x x2 1 p x2 1

=0

la asíntota a la derecha es: y = x. A la izquierda: m = b =

x

lm p

x ! 1

x2

lm

p

x ! 1

1

=

1

x2 +x x2 1

= lm

x !+1

1 x

=0

la asíntota a la izquierda es: y = x. 4. Construcción de un esquema. 5. Cálculo de los puntos críticos. Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos: x2 x2 1 p 2x x2 1

f (x) = p f 0 (x) =

p

x2 2

2x 2 p = 2 x x

x3 x2 1

1

=

2 (x2 1) x2 p x x2 1

2

x x2 2 p = 1 x x2 1

puntos críticos de primera especie. a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no existe en x = 1 pero no es punto crítico, porque x = 1 no pertenece al dominio de f y x = 0 no existe la derivada. b) f 0 (x) =p0 En x = + 2 hay un punto de máximo local. Máximo local en p 2 p p 2 f 2 =q p = 2 =) P1 2; 2 2 2 1 p En x = 2 hay un punto de mínimo local en p 2 p 2 f (1) = q p = 2 =) P2 2; 2 2 2 1 – –∞


+

–1.41 –1

– 0 114

1

+ +∞ 1.41 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION p 2 1; p p2; 1 1; p 2 2; +1

la la la la

función función función función

es es es es

estrictamente estrictamente estrictamente estrictamente

decreciente. creciente. decreciente. creciente.

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in‡exión. Condición necesaria de puntos de in‡exión. f 0 (x) =

00

x2 2 p x x2 1 p 2x2 x2 1

p

x2

f (x) =

1+ p

x x2

1

x

x2 (x2 1) p x3 + x2 x p 2x2 x2 1 x2 1 = x2 (x2 1) 2x4 2x2 x3 x2 + x p = x2 (x2 1) x2 1 2x3 x2 3x + 1 p = x (x2 1) x2 1

Puntos extremos de segunda especie: a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no existe en x = 1. b) Puntos donde la segunda derivada se anula f 00 (x) =

2x3 x2 3x + 1 p x (x2 1) x2 1

–

+

–∞

+∞

0

7. Trazado del grá…co de la función: y

x 1

–1


115



116


CAPÍTULO 8. INTEGRALES

Capítulo 8 INTEGRALES Hallar las siguientes integrales inmediatas. Z 1. (x9 + 9x + 9x + 9) dx. Solución. Z

2.

Z

p 9

x+

x9 + 9x + 9x + 9 dx = 1 9 x + + 9 x x 9

Solución. Z p 9

1 10 9x 9 x + + x2 + 9x + c== 10 ln 9 2

dx.

1 9 x x+ 9 + + x x 9

Z

dx =

9 10 x9 10

= 3.

Z

x2 1 dx. x+1 Solución.

Z

Z p

x2 1 dx = x+1

p x+ 3x 4. dx. x Solución. Z p

x+ x

p 3

x

Z

=

Z

Z

1

x 1

6.

1 2

+

9 x + x 9

dx

1 1 + 9 ln x + x2 + c 8 8x 18

1

x2 x

= 2x 2 5.

9

1 1) dx = x2 2

(x

dx =

1

x9 + x

1

+ x3 x

+x

3 x 2

x + c==

2 3

5 3

2

dx

dx

+ c==

Z

6x2 dx. x 1 Solución.

Z

Z

Z 6x2 1 dx = 6 x+1+ dx x 1 x 1 = 3x2 + 6x + 6 ln (x 1) + c==

(ex 3x ) dx.

Solución.

Z

x x

(e 3 ) dx =


Z

(3e)x (3e)x (3e) dx = = + c== ln 3e ln 3 + 1 117 CALCULO I - CHUNGARA x

7.

Z

x

1 n n dx.

Solución. Z

1 n x n dx

= =

x

1 n +1 n

1 n +1 n 1 nx n + c

+c

Aplicando el Método de Sustitución, calcular las siguientes integrales: Z 1. (2x 5)7 dx. Solución. u = 2x 5 =) du = 2dx Z Z 1 1 7 (2x u7 dx = (2x 5) dx = 2 16

2.

Z

5)8 + c

8

45x4 (1 + x5 ) dx.

Solución. u = 1 + x5 =) du = 5x4 dx Z Z 4 5 8 45x 1 + x dx = 9 u8 du = u9 + c = 1 + x5

3.

Z

p

Z

p

9

+c

10x dx. 3 + 5x2 Solución. u = 3 + 5x2 =) du = 10xdx Z Z 10x du p p dx = u 3 + 5x2 Z 1 = u 2 du p p u + c = 2 3 + 5x2 + c =

2x3 dx. 1 + x4 Solución. u = 1 + x4 =) du = 4x3 dx Z Z du 2x3 1 p p dx = 4 2 u 1+x Z 1 1 = u 2 du 2 p p = u + c = 1 + x4 + c Alvaro Cabrera Javier 118 CALCULO I - CHUNGARA 4.

CAPÍTULO 8. INTEGRALES 5.

Z

ex + 1 dx. ex 1 Solución.

Z

ex + 1 dx = ex 1 = =

si u = 1

e

x

=) du = e x dx

Z

Z

Z

Z

1+

2 ex

dx + 2 dx + 2

Z

Z

dx

1 1 ex e 1

e: 1 e

x x

dx

x

e

x

dx

Z

du u = x + 2 ln juj + c = x + 2 ln 1 e x + c =

Z

dx + 2

e2x dx. ex + 1 Solución. u = ex + 1 =) du = ex dx Z Z e2x ex ex p p dx = dx ex + 1 ex + 1 Z Z 1 1 (u 1) du p = = u 2 u 2 du u 1 2 3 u 2 2u 2 + c = 3 3 1 2 x = (e + 1) 2 2 (ex + 1) 2 + c 3 Z 6 sen x dx. 7. 5 2 cos x Solución. u = 5 2 cos x =) du = 2 sen xdx Z Z 6 sen x du dx = 3 5 2 cos x u = 3 ln juj + c = 3 ln j5 2 cos xj + c Z ln x 8. dx. x dx Solución. u = ln x =) du = x Z Z ln x 1 dx = udu = u2 + c x 2 2 ln x = +c 2 Alvaro Cabrera Javier 119 CALCULO I - CHUNGARA 6.

p

9.

Z

xex

2

1

dx.

Solución. u = x2

1 =) du = 2xdx Z

10.

Z

xe

x2 1

Z 1 eu du dx = 2 1 u = e +c 2 1 x2 1 = e +c 2

esen x cos xdx.

Solución. u = sen x =) du = cos xdx Z

11.

Z

sen x

e

cos xdx =

Z

= eu + c = esen x + c

tan x ln (cos x) dx.

Solución. u = ln (cos x) =) du = Z

sen x dx cos x

tan x ln (cos x) dx = = =

12.

Z

Z

udu

1 2 u +c 2 1 2 ln jcos xj + c 2

p cos x p dx. 2 x

Solución. u =

p

dx x =) du = p 2 x Z

Z

eu du

1 p 13. dx. 1+ x+1 Alvaro Cabrera Javier

p Z cos x p dx = cos udu 2 x = sen u + c p = sen x + c

120


CAPÍTULO 8. INTEGRALES Solución. u = 1 + Z

p

dx x + 1 =) du = p 2 x+1

1 p dx = 1+ x+1 = = = =

14.

Z

p

dx x+1

p

x

1

p 2 x + 1du u Z u 1 2 du u Z 1 1 2 du u 2u 2 ln u + c p p ln 1 + x + 1 2 1+ x+1

Z

2

+c

.

Solución. Z

p

dx x+1

p

x

1

= =

Z Z

p

p p

x+1+

x+1

p

2

x 1 dx p 2 x 1

p x + 1 + x 1 dx x+1 x+1 p p x + 1 + x 1 dx

Z 1 = 2 3 1 = (x + 1) 2 + (x 3

15.

Z

4x3 dx. 1 + x8

Z

sen x dx. 1 + cos2 x

3

1) 2 + c

Solución. u = x4 =) du = 4x3 dx Z Z 4x3 4 du dx = 1 + x8 4 1 + u2 = arctan x4 + c 16.

Solución. u = cos x =) du = sen xdx Z Z sen x du dx = 2 1 + cos x 1 + u2 = arctan u + c = arctan cos x + c Aplicando el Método de Integración por Partes, calcular: Alvaro Cabrera Javier 121 CALCULO I - CHUNGARA

1.

Z

x cos 3xdx.

Solución. u=x

=) du = dx 1 dv = cos 3xdx =) v = sen 3x 3 Z

2.

Z

x sen 3x x cos 3xdx = 3 x sen 3x + = 3

Z 1 sen 3xdx 3 1 cos 3x + c 9

xe5x dx.

Solución. u=x

=) du = dx e5x dv = e5x dx =) v = 5 Z

3.

Z

xe5x xe dx = 5 xe5x = 5 5x

Z 1 e5x dx 5 e5x +c 25

x sec2 xdx.

Solución. u=x =) du = dx 2 dv = sec dx =) v = tan x Z

4.

Z

x3 sen xdx.

Z

p

Z

4x arcsen xdx.

2

x sec xdx = x tan x = x tan x

Z

tan xdx

ln jcos xj + c

Solución.

5.

x ln xdx.

Solución.

6.

Solución.


122



Z

x3 arctan xdx.

Z

e2x cos 3xdx.

Z

cosm xdx.

Z

xm sen xdx.

Z

81x8 ln xdx.

Z

2x3 ex dx.

Z

x2 ex sen xdx.

Solución.

8.

Solución.

9.

Solución.

10.

Solución.

11.

Solución.

12.

2

Solución.

13.

Solución. Aplicando el método de expresiones cuadráticas, integrar: Z 6 dx. 1. 5x2 + 1 Solución.

2.

3.

Z

4dx . + 4x + 20 Solución. Z

x2

x+3 dx. + 6x + 1 Solución. x2


123


4.

Z

(x3 + 2x) dx . x4 + 4x2 + 1 Solución.

5.

Z

6.

Z

5x2 + 12x + 26 dx. x2 + 6x + 34 Solución. x2 x + 1 . x2 + x + 1 Solución.

7.

Z

8.

Z

cos x dx. 1 + sen2 x Solución. 2x dx. 1 + 4x Solución.

Aplicando el Método de las Integrales trigonométricas, calcular: Z 1. sen6 x cos xdx. Solución.

2.

Z

sen4 cos3 xdx.

Z

sen3 x cos2 xdx.

Z

sen5 x cos3 xdx.

Z

sen4 x cos2 xdx.

Solución.

3.

Solución.

4.

Solución.

5.

Solución.


124



Z

cos4 xdx.

Z

sen 3x cos 5xdx.

Z

sen

Z

cos x cos2 2xdx.

Solución.

7.

Solución.

8.

9.

2x x cos dx. 3 3 Solución.

Solución.

10.

Z

sen3 x 4 cos 3

dx.

x Solución.

11.

Z

tan x sec2 xdx.

Z

tan2 x sec4 xdx.

Z

tan3 xdx.

Z

sec7 xdx.

Z

cot6 xdx.

Solución.

12.

Solución.

13.

Solución.

14.

Solución.

15.


125


16.

Z

sec x csc3 xdx.

Solución.

Aplicando el Método de Sustitución Trigonométrica, integrar: Z dx p . 1. x2 22 x2 Solución.

2.

Z

3.

Z

x3 dx . a2 x 2 Solución. p

dx . 22 + x2 Solución. x2

4.

Z p

5.

Z

p

6.

Z

p

7.

Z

p

8.

Z

p

x2 1 dx. x Solución.

x2

a2 dx.

Solución. x2 dx . x 2 a2 Solución. 1 dx. 4x x2 Solución. 54dx . + 4x + 13)2 Solución. (x2

Aplicando el Método de las Fracciones Parciales, integrar: Alvaro Cabrera Javier 126 CALCULO I - CHUNGARA


Z

3x

9 dx. 5x + 4 Solución. x2

x x2

A B 3 = + 5x + 4 x 4 x 1 Ax A + Bx 4B = (x 4) (x 1) (A + B) x (A + 4B) = (x 4) (x 1)

1 2 donde A + B = 1 y A + 4B = 3, resolviendo este sistema: A = y B = , 3 3 sustituyendo 2 1 + 3 (x 4) 3 (x 1) Z

2.

3x x2

Z Z 9 1 1 dx = 2 dx + dx 5x + 4 x 4 x 1 = 2 ln jx 4j + ln jx 1j + C

Z

5x 2 dx. x2 4 Solución. Aplicando fracciones parciales 5x x2

2 5x 2 = 4 (x + 2) (x 2) A B = + x+2 x 2 Ax 2A + Bx + 2B = (x + 2) (x 2) (A + B) x 2 (A B) = (x + 2) (x 2)

luego A+B =5 A B=1 La solución es: [A = 3; B = 2], entonces Z Z 5x 2 3 2 dx = + dx 2 x 4 x+2 x 2 Z Z 1 1 = 3 dx + 2 dx x+2 x 2 = 3 ln jx + 2j + 2 ln jx 2j + C Z

x2 3. dx. x2 3x + 2 Alvaro Cabrera Javier

127


Solución. Dividiendo: x2 x2

entonces x2

+3x 3x

x2 2 1 2

3x + 2

3x 2 x2 =1+ 2 3x + 2 x 3x + 2

Aplicando fracciones parciales 3x x2

2 A B = + 3x + 2 x 2 x 1 (A + B) x (A + 2B) = (x 2) (x 1)

luego: A+B =3 A + 2B = 2 La solución es: A = 4 y B = Z

4.

Z

1 x2

4

x2

1, entonces

x2 dx = 3x + 2

Z

1+

4

1

dx x 2 x 1 Z Z Z 1 1 = dx + 4 dx dx x 2 x 1 = x + 4 ln jx 2j ln jx 1j + C

dx.

Solución. Aplicando fracciones parciales: 1 x2

A B + 4 x+2 x 2 (A + B) x + 2 (B A) = (x + 2) (x 2) =

luego A+B =0 2 (B A) = 1 1 1 y B = , entonces 4 4 Z Z 1 1 1 dx = 2 x 4 4 x 2 1 = ln jx 2j 4 Alvaro Cabrera Javier 128 La solución es: A =

Z 1 1 dx 4 x+2 1 ln jx + 2j + C 4 CALCULO I - CHUNGARA


Z

x2 + 2 dx. x3 + 4x2 + x 6 Solución. Aplicando Ru¢ ni 1

+4 1 5 2 3

1 1 2 1 entonces: x3 + 4x2 + x parciales x2 + 2 x3 + 4x2 + x

6 = (x

6 6 0

1) (x + 2) (x + 3). Aplicando fracciones

B C + 6 x 1 x+2 x+3 A (x + 2) (x + 3) + B (x 1) (x + 3) + C (x 1) (x + 2) = (x 1) (x + 2) (x + 3) 2 (A + B + C) x + (5A + 2B + C) x + (6A 3B 2C) = (x 1) (x + 2) (x + 3)

donde:

=

A

+1 5 6 6 0

+

8 <

A+B+C =1 5A + 2B + C = 0 : 6A 3B 2C = 2

11 1 La solución es: A = , B = 2 y C = , entonces: 4 4 Z Z Z Z x2 + 2 1 1 11 1 1 dx = 2 dx + dx x3 + 4x2 + x 6 4 x 1 x+2 4 x+3 1 11 = ln jx 1j 2 ln jx + 2j + ln jx + 3j + C 4 4 Z 2x2 + 41x 91 6. dx. x3 2x2 11x + 12 Solución. Z Z Z Z 2x2 + 41x 91 1 1 1 dx = 4 dx 7 dx + 5 dx 3 2 x 2x 11x + 12 x 1 x+3 x 4 = 4 ln jx 1j 7 ln jx + 3j + 5 ln jx 4j + C 7.

Z

x2 + 6x + 2 dx. x3 + 2x2 + x Solución. Z

4x2 + 7x + 30 8. dx. (x + 3) (x2 + 4x + 8) Solución. Alvaro Cabrera Javier

129


9.

10.

Z

x2 + 3x 3 dx. x3 x2 Solución. Z

3x4 + 5x3 2x + 2 dx. (x2 + 1)2 (x 1)

Solución.

11.

Z

12.

Z

2x2 + 3x + 8 dx. x3 + 4x Solución. (x4 2x2 + 1) dx . (x + 1) (x2 1)2

Solución.

13.

Z

1 dx. x (x + 1)2

Solución.

14.

Z

15.

Z

x4

dx. x4 1 Solución.

1 dx. x6 + 1 Solución.

Aplicando el Método de las Racionales Trigonométricas, integrar: 1.

Z

2.

Z

dx . 2 + 3 cos x Solución. 2 sen x dx. 2 + cos x Solución.


130



4.

Z

dx . 2 sen x Solución. Z

dx . 4 cos x + 3 sen x + 5 Solución.

5.

Z

6.

Z

1 + cot x dx. 1 cot x Solución. dx . 3 2 sen x + cos x Solución.

Aplicando la Sustitución Inversa y otras sustituciones, integrar: Z 1 p dx. 1. 8x x2 Solución.

2.

Z

3.

Z

4.

Z

5.

dx 1 4x Solución. p

x2

dx x 2x Solución. p

x2

.

1

.

(x 3) dx p . x2 6x + 1 Solución. Z

dx . x + 8x + 1 Solución. p

x2

Z

x5 dx p 6. . 1 x2 Solución. Alvaro Cabrera Javier

131


Aplicando el Método de las Integrales Binómicas, calcular: Z dx 1. p p 10 . x ( 4 x + 1) Solución.

2.

Z

dx p . 3 x3 2 x3 Solución.

3.

Z

4.

Z

dx p . 1 + x2 Solución. x4

p x 1 + x2 dx.

Solución.

Aplicando alguno de los Métodos de Integración, calcular: Z p 1. x7 1 + x4 dx. Solución.

2.

Z

dx . x 2 + 3x Solución.

3.

Z

4.

Z

5.

p

dx p x2 x x2 Solución.

1

.

dx . + x2 Solución. x4

Z

x2 5x + 9 dx. x2 5x + 6 Solución.


132



Z r

x 1

x

dx.

Solución.

7.

Z

e3x (x3

Z

e

2x2 + 5) dx.

Solución.

8.

p 3

x

dx.

Solución.

9.

Z

10.

Z

ex dx e2x + 4ex Solución.

5

.

earcsen x dx.

Solución.

11.

Z

12.

Z

ln x 1 dx. ln2 x Solución. ln x dx. x3 Solución.

13.

Z

14.

Z

arcsen x dx. x2 Solución.

sen

p

xdx.

Solución.

15.

Z

x + sen x dx. 1 + cos x Solución.


133


16.

Z

17.

Z

dx . 1 + tan x Solución. dx . 1 + sen x + cos x Solución.

18.

Z

19.

Z

20.

Z

21.

Z

22.

dx . 1 + cos2 x Solución. dx p (x 1) 6x Solución.

5

.

dx p . (x + 2) x2 + 2x Solución. dx . x 1 + x3 Solución. Z

p

dx x2

(2 + Solución.

23.

x2

Z

p

5 x3 ) 3

.

tan xdx.

Solución.

Usando la de…nición de la Integral De…nida, calcular: 1.

Z

3

8xdx. 1

Solución.

Z3

8xdx = 4 x2

3 1

= 4 32

12 = 32==

1


134



Z

5

6x2 dx. 0

Solución.

Z5

5 0

6x2 dx = 2 x3

= 2 53

03 = 150==

0

Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow), integrar: Z 2 9x3 dx. 1. 0

Solución.

Z2

9 4 x 4

2 0

=

(6x + 3) dx = 3x2 + 3x

5 0

=3

9x3 dx =

9 4 2 4

04 = 36==

0

2.

Z

5

(6x + 3) dx. 2

Solución. Z5

52 + 5

(5

0) = 75==

2

3.

Z

3

(6x2

2x + 1) dx.

1

Solución. Z3

6x2

2x + 1 dx = 3x3

x2 + x

3 1

1

= 3 (3)3 = 72== 4.

Z

3

32 + 3

3 (1)3

12 + 1

tan xdx.

0

Solución. Z3

tan xdx =

ln cos xj03 = 1 + cos

3

0

5.

Z

1

xex dx. 0

Solución.

Z1

xex dx

0


135


6.

Z

2

2 ( x + 1) dx. 2 0 x + 3x + 2 Solución.

Z2

2 ( x + 1) dx x2 + 3x + 2

0

7.

Z

1

p x 1 + x2 dx.

0

Solución.

Z1

p x 1 + x2 dx

0

8.

Z

e

x2 ln xdx. 1

Solución.

Ze

x2 ln xdx

1


136


CAPÍTULO 9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

Capítulo 9 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 1. Resolver las siguientes diferenciales: dy dx dy b) dx dy c) dx dy d) dx a)

= 9x2

P (1; 5)

= 8x

P (2; 8)

= ex

P (0; 0)

= 8x2 + 1

P (0; 0)

2. Hallar las ecuaciones de las Curvas, que poseen la Pendiente: m y pasan por el punto indicado. a) m = 2x (0; 1) b) m = 4 2x (2; 4) c) m = 2x 6 (7; 9) bx d) m = p (a; 0) 2 a a x2 3. Hallar las Areas comprendidas entre las Funciones e Intervalos indicados: a) b) c) d) e)

y y y y y

= x2 ; 0 x 2 = 4 x2 ; 0 x 2 = x2 4x + 5; 0 x = x3 + 1; 0 x 1 = 2x ; 0 x 2

f ) y = cos x; 0

x

3

2

4. Hallar las áreas comprendidas entre las curvas de: a) y = x2 ; y = x + 2 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = x2 y =x+2 cuya solución es: [x = [ 1; 2]. Z 2 A = (x + 2) 1

1; y = 1] ; [x = 2; y = 4]. Entonces los límites son

x

2

dx =

Z

1 2 2 1 3 = x 1 + 2 [x]2 1 x 2 3 3 3 9 = +6 3= +3= 2 2 2 Alvaro Cabrera Javier 137

2

xdx + 2 1 2 1

1 = [4 2

Z

2

dx 1

Z

2

1] + 2 [2 + 1]

x2 dx 1

1 [8 + 1] 3


: b) y = x2 4; y = 3 2x2 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = x2 4 y = 3 2x2 El intervalor está en: x =

1p 1p 21; 21 3 3

c) y = 9 x2 ; y = x + 3 Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema: y = 9 x2 y =x+3 El intervalor esta en: [ 3; 2] d) y = ex ; y = e x ; 0 x 2 Solución. La grá…ca de las funciones: 1 ;y=0 1 + x2 Solución. La grá…ca de las funciones

e) y =

f ) y (x) = e x sen x; 0 Solución. g) y = x2 ; y = Solución.

p

x

x

h) y = x2 ; y = x3 Solución. i) y 2 + 8x = 16; y 2 Solución.

3; x = 0; y = ex

j ) y = e2x k) x

2=3

+y

24x = 48

2=3

1

2=3

=a x2 2 l) y = x ; y = ; y = 2x 2 x2 y 2 m) 2 = 1; x = 2a a b2 n) x2 y 2 = 16 ñ) x2 = 12 (y Alvaro Cabrera Javier

1) 138


EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I

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