PRACTICA DIRIGIDA N°1 NOCIONES ESTADÍSTICAS. POBLACIÓN, MUESTRA Y CLASIFICACIÓN DE VARIABLES
1. Cuatro focos de marca A dejaron de funcionar después de 1100, 980, 900, 1020 horas de uso continuo. Cinco focos de marca B dejaron de funcionar después de 960, 1050, 1065, 845 y 980 horas de uso contÍnuo. Se llega a las siguientes conclusiones: La duración promedio de los cuatro focos marca A es de 1000 horas, mientras que la duración promedio de los cinco focos marca B es de 980 horas. a) La duración promedio de todos los focos marca A es mayor que todos los focos marca B. b) La diferencia entre los dos promedios es de 20 horas. c) La diferencia entre los dos promedios es demasiado pequeño para llegar a la conclusión de que los focos de marca A son mejores que los focos marca B. d) SI se selecciona y prueba otro foco marca A, probablemente durará más que el promedio de los focos marca B. ¿Cuáles de las conclusiones provienen de la Estadística Descriptiva y cuáles de la Estadística Inferencial? ¿Por qué? RESPUESTA: El inciso a) y b) pertenecen a Estadística Descriptiva, pues describe a las variables diferenciándolos entre ellas.El inciso c) y d) pertenecen a Estadística Inferencial, porque llegan a una toma de decisión basándose en la muestra.
2. SURVEY DATA, es una empresa dedicada a sondeos de opinión de opinión por muestreo. Recientemente, la empresa realizó un estudio para determinar indicadores de aceptación, según nivel socioeconómico. En la encuesta aplicada a los residentes del mencionado distrito se incluyó las siguientes preguntas: a) b) c) d) e)
¿Trabaja actualmente? Si:……. No:…….. ¿Cuál es su ingreso promedio mensual?..........(en nuevos soles) ¿Cómo calificaría usted la gestión actual del alcalde? Buena (b)…………. Regular (r)……………… Mala (m)………… ¿Cuántas personas residen en su vivienda?....................
DESARROLLO: A. Clasifique las respuestas a estas preguntas según el tipo de variable al que pertenecen a) Variable cualitativa b) Variable cuantitativa c) Variable cualitativa d) Variable cuantitativa
B. ¿Cuál es la unidad de análisis? Residentes del distrito 3. Se tiene la vida útil (en meses) de 48 baterías similares de automóvil de la marca Power. El fabricante garantiza que sus baterías duran en promedio 2.5 años. Identifique: POBLACIÓN: vida útil (en meses) de baterías de automóvil de la marca Power. MUESTRA: vida útil (en meses) de 48 baterías similares de automóvil de la marca Power. UNIDAD DE ANÁLISIS: baterías de automóvil VARIABLE: vida útil (en meses) de la batería de automóvil. TIPO DE VARIABLE: variable cuantitativa. UN ESTADÍSTICO: el promedio de vida útil de 48 baterías de automóvil es de 30 meses. 4) La entidad gubernamental realizó un estudio para determinar algunos indicadores socioeconómicos de los inmigrantes peruanos en Estados Unidos. El estudio se llevó a cabo aplicando encuestas a una de 4000 personas; algunos de los resultados fueron: a. el monto enviado a sus familiares en el Perú, es promedio US$ 550 al mes, b. noventa de las 400 personas encuestadas no han visitado el Perú desde que se fueron, 200 han venido al país una vez y 110 han venido 2 veces o más veces. Identifique: POBLACION: Inmigrantes peruanos en EEUU MUESTRA: 400 personas UNIDAD DE ANALISIS: inmigrantes peruanos VARIABLE: monto enviado de sus familiares y Número de visitas al Perú TIPO DE VARIABLE: cuantitativa continua UN PARAMETRO: indicadores socioeconómicos UN ESTADISTICO: Promedio $550 monto enviado al mes a los familiares de Perú. 90 no han visitado al Perú desde que se fueron 200 han venido al país una vez 110 han venido 2 veces o más han venido al país. 5) De manera experimental, una tienda de departamentos envió encartes con las ofertas a 2000 clientes que tienen la tarjeta de crédito de la empresa y encontró que el 60% de ellos aprovecharon las ofertas. Identifique: POBLACION: clientes que tienen tarjeta de crédito de la empresa MUESTRA: 2000 clientes UNIDAD DE ANALISIS: clientes de la empresa VARIABLE: clientes que aprovecharon las ofertas TIPO D EVARIABLE: cuantitativa continua
UN ESTADISTICO: 60% de los clientes aprovechas las ofertas 6) Sobre la base de una muestra de 60 alumnos se llegó a determinar que el tiempo de espera en el centro médico es de 15 minutos en promedio. Identifique: POBLACION: Alumnos en el centro medico MUESTRA: 60 alumnos UNIDAD DE ANALISIS: tiempo de espera VARIABLE(S): tiempo de espera de un centro medico TIPO DE VARIABLE: cuantitativa UN ESTADISTICO: promedio tiempo de espera 15 minutos
7. La oficina de gestión de calidad de una universidad privada está realizando un estudio para conocer, según el criterio de los profesores, qué tan importante es la aplicación de un modelo de planeamiento de largo plazo en la mejora de la calidad en las instituciones de educación superior. De los 200 profesores consultados, el 30% lo consideró poco importante, el 50% importante y el 20% muy importante. IDENTIFIQUE: POBLACIÓN: plana docente de la universidad privada MUESTRA: 200 profesores UNIDAD DE ANÁLISIS: aplicación de un modelo de planeamiento de largo plazo VARIABLE: nivel de importancia del modelo de planeamiento TIPO DE VARIABLE: variable cuantitativa discreta UN ESTADÍSTICO: el 30% de los profesores lo consideró poco importante
8. los alumnos de una sección fueron separados en 10 grupos con cuatro alumnos en cada uno de ellos, a continuación se entregó cuatro problemas a cada grupo y luego de media hora se registró el número de problemas resueltos en cada grupo.
IDENTIFIQUE: POBLACIÓN: MUESTRA: UNIDAD DE ANÁLISIS: VARIABLE: TIPO DE VARIABLE: UN ESTADÍSTICO:
estudiantes del colegio 40 alumnos de la sección problemas n° de problemas resueltos variable cuantitativa discreta 5 grupos de alumnos desarrollaron 3 problemas
9. utilice los términos que aparecen en la siguiente tabla, para asociarlos a las definiciones que aparecen a continuación: a. Muestra b. Población c. Variable d. Estadístico e. Variable cualitativa nominal f. Datos g. Variable cuantitativa continua h. Estadística i. Parámetro j. Unidad de análisis k. Estadística Inferencial l. Variable cualitativa ordinal m. Estadística descriptiva n. Variable cuantitativa discreta Es una característica definida de la población que puede tomar diferentes valores Conjunto de la población que se obtiene con criterios de aleatoriedad
(c ) ( a)
Medida descriptiva que resume información de una característica de la población Número de alumnos por sección matriculados en el curso de metodología Grado académico de los docentes de la Facultad de Administración Método que generaliza resultados para una población analizando una parte de ella Valor que resulta de resumir los datos de una muestra
(i )
(d )
Tiempo empleado para ensamblar una computadora
(g )
(n ) ( l) (k )
10. A continuación, determine 3 variables que se puedan investigar en cada una de las siguientes imágenes, e indique el tipo de variable al que corresponde:
VARIABLE categoría de empresa: micro, pequeña, mediana, gran empresa volumen de venta capital: pública, privada , mixta
VARIABLE Estado civil: soltero, casado, divorciado. sexo talla
TIPO DE VARIABLE cualitativa ordinal cuantitativa continua cualitativa ordinal
profesión: arquitecto, civil experiencia laboral: 1, 2, 3, años
TIPO DE VARIABLE cualitativa cualitativa cuantitativa TIPO DE VARIABLE cualitativa nominal cualitativa ordinal
ingreso mensual: s/
cuantitativa
VARIABLE
PRACTICA DIRIGIDA N°2 ANALISIS ESTADISTICO UNIDIMENCIONAL: CUADRO DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS 1. Se realizó una encuesta en algunos hogares del distrito de Víctor Larco, acerca de la preferencia de medios de noticias, obteniéndose los siguientes resultados: 1: periódico
2: televisión
3: radio 1 2 2 3
2 3 3 2
3 2 1 1
3 3 3 3
3 2 2 3
1 1 3 2
3 3 2 2
2 2 3 3
3 2 3 3
2 3 1 1
a) Identificar: población, muestra, unidad de estudio, variable y tipo de variable. Población: distrito de Víctor Larco. Muestra: 40 hogares. Unidad de estudio: preferencia de medios de noticias. Variable: medio de noticias. Tipo de variable: cualitativa nominal. b) Clasificar los datos en una tabla de distribución de frecuencias. TABLA N° 01 DISTRIBUCION DE PREFERENCIAS DE MEDIOS DE NOTICIAS EN EL DISTRITO DE VICTOR LARCO Medio de noticias 1 2 3 total
fi
hi
pi
Fi
Hi
7 14 19 40
0.175 0.350 0.475 1.000
17.5% 35.0% 47.5% 100%
7 21 40
0.175 0.525 1.000
c) Realizar un análisis estadístico. f1 = 7 hogares del distrito de Víctor Larco prefieren leer periódico. f2 = 14 hogares del distrito de Víctor Larco prefieren ver televisión. f3 = 19hogares del distrito de Víctor Larco prefieren escuchar radio. F3 = 40hogares del distrito de Víctor Larco prefieren escuchar radio. F4 = el 47.5% de loshogares del distrito de Víctor Larco prefieren escuchar radio.
2. Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de los gastos semanales en dólares de 20 ingenieros que se alojaron en el Hotel “Los Delfines” de la ciudad de Lima en Febrero del 2012. 400 630
500 640
550 650
600 700
680 740
750 750
780 800
850 750
1000 890
850 950
La información fue obtenida de los registros de consumo de clientes de dicho Hotel. a) Construya un cuadro de distribución de frecuencias con todas sus partes, sugeridos en clase, presentándolos luego en forma completa. DESARROLO construcción de la distribución de frecuencias Pasos: 1. Determinamos el rango de la variación de los datos: R = 1000 - 400.
R = Xmax - Xmin.
R = 600.
2. Determinamos el N° de intervalos: K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K = 1 + 3.3log (20).
K= 5.2933.
3. Determinamos la amplitud del intervalo: A = R/K
A = 600/6
A = 100
4. Determinamos los extremos de los intervalos: Los extremos de los intervalos son 400 y 1000. TABLA N° 02 DISTRIBUCION DE LOS GASTOS SEMANALES DE 20 INGENIEROS ALOJADOS EN EL HOTEL “LOS DELFINES” - LIMA EN FEBRERO 2012 Ii [400;500> [500;600> [600;700> [700;800> [800;900> [900;1000> total
fi 1 2 5 6 4 2 20
hi 0.050 0.100 0.250 0.300 0.200 0.100 1.00
pi 5% 10% 25% 30% 20% 10% 100%
Fi 1 3 8 14 18 20
Hi 0.05 0.15 0.40 0.70 0.90 1.00
b) Interpretar f2; F2; h2 %, y H2% f2= 2 ingenieros gastaron entre [400; 500> $ semanales. F2= 3 ingenieros gastaron entre[400; 500> $ semanales. h2 = 10% de los ingenieros gastaron entre [400; 500> $ semanales.
K= 6.
H2 = 15% de los ingenieros gastaron entre [400; 500> $ semanales. 3. En un centro de computación el número de veces que el sistema se detiene, por saturación d este, diariamente, fue recolectando por un periodo de 26 días. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 5 0 6 3
6 0
4 6
4 2
5 3
4 2
0 6
1 0
1 0
4 4
4 6
1 3
a) Construya un cuadro estadístico de distribución de frecuencias del n° de paradas por día. TABLA N° 03 DISTRIBUCION DEL NÚMERO DE VECES QUE EL SISTEMA SE DETIENE EN UN CENTRO DE COMPUTACION Ii 0 1 2 3 4 5 6 total
fi 5 3 2 3 6 2 5 26
hi 0.192 0.115 0.077 0.116 0.231 0.077 0.192 1.00
pi 19.2% 11.5% 7.7% 11.6% 23.1% 7.7% 19.2% 100%
Fi 5 8 10 13 19 21 26
Hi 0.192 0.307 0.384 0.500 0.731 0.808 1.000
b) ¿En cuántos días el sistema se detuvo por lo menos 3 veces? En 13 días el sistema se detuvo por lo menos 3 veces c) ¿En cuántos días el sistema se detuvo a lo sumo 1 vez? En 8 días el sistema se detuvo a lo sumo 1 vez d) ¿En cuántos días el sistema se detuvo 2 veces o más, pero menos de 5? En 19 días el sistema se detuvo 2 veces o más, pero menos de 5
4) La corrosión del acero de refuerzo es un problema serio en estructuras de concreto localizadas en ambientes afectados por condiciones climáticos severas. Por esa razón, los investigadores han estado estudiando el uso de barras de refuerzo hechas de un material compuesto. Se realizó un estudio para desarrollar indicaciones para adherir barras de refuerzo reforzadas con fibra de vidrio a concreto. Considérense las siguientes 48 observaciones de fuerza adhesiva medida: 11.5 12.1 9.9
9.3
7.8
16.2 6.6
3.4
13.4 17.1
9.3
5.6
18.7 17.4 20.2 25.1 24.9 10.7 15.2 8.5
20.5 18.6
23.9
23.8
20.6 16.4 20.6 25.5 13.8 12.6 13.1 8.9
8.2
10.7
14.2
7.6
25.2 23.5 21.1 19.5 5.2
3.7
3.6
3.6
3.6
4.8
4.1
3.8
a) Construya un cuadro estadístico de distribución de frecuencias. b) ¿Cuántas observaciones obtuvieron una fuerza adhesiva de 13 o más pero menos de 16.2? c) ¿Cuál es el porcentaje de observaciones que obtuvieron una fuerza adhesiva desde 19.4? d) ¿Cuál es el porcentaje de observaciones que obtuvieron una fuerza adhesiva menor a 9.8?
TABLA N° 04: DISTRIBUCION DE LAS OBSERVACIONES DEL ESTUDIO DE USO DE BARRAS DE REFUERZO HECHAS DE UN MATERIAL COMPUESTO
5) Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 30 docentes de la Universidad Privada del Norte, según su estado civil, del semestre académico 2012-II. S
C
S
C
C
D
S
S
C
C
C
C
D
C
C
C
S
S
C
C
V
C
D
S
V
C
C
C
C
C
Dónde: S: “soltero”; C: “casado”; V “viudo” y D: “divorciado” La información fue obtenida de la oficina de personal de dicha Universidad. a) Construir una distribución de frecuencias absolutas, relativas y relativas porcentuales. TABLA N° 05: DISTRIBUCION DEL ESTADO CIVIL DE 30 DOCENTES DE LA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE, SEMESTRE ACADEMICO 2012-II Xi S C V D
fi 7 18 3 2
hi 0.23 0.60 0.07 0.10
pi 23% 60% 30% 28%
Fi 7 25 28 30
Hi 0.23 0.83 0.90 1.00
total
30
1.00
100%
b) Interpretación y = 18 docentes de la universidad privada del norte son casados. el 60% de los docentes de la universidad privada del norte son casados. 6) Suponga que se han registrado 25 observaciones referentes a los pesos de las bolsas de fertilizantes producidos por la empresa INDUS. SAC del Callao. La muestra fue obtenida de la producción semanal y las unidades están dadas en kilogramos. Los resultados fueron los siguientes: 95.5 95.5 92.8 93.6 92.9 95.7 94.8 92.7 94.2 94.7 92.7 98.2 95 92.9 92.7 99.6 94.1 93.6 92.3 93.2 95.5 93.6 93.8 91.6 98.0
a) Construya un cuadro estadístico de distribución de frecuencias. DESARROLO construcción de la distribución de frecuencias Pasos: 1. Determinamos el rango de la variación de los datos: R = 99.6 – 91.6.
R = Xmax - Xmin.
R = 8.
2. Determinamos el N° de intervalos: K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K = 1 + 3.3log (25).
K= 5.6132.
3. Determinamos la amplitud del intervalo: A = R/K
A = 8/6
A = 1.33
4. Determinamos los extremos de los intervalos: TABLA N° 06: DISTRIBUCION DEL PESO DE LAS BOLSAS DE FERTILIZANTES PRODUCIDOS POR LA EMPRESA INDUS. SAC DEL CALLAO
Ii [91.6;92.93> [92.93;94.26> [94.26;95.59>
fi 8 7 6
hi 0.32 0.28 0.24
pi 32% 28% 24%
Fi 8 15 21
Hi 0.32 0.6 0.84
K= 6.
[95.59;96.92> [96.92;98.25> [98.25;99.58> total
1 2 1 25
0.04 0.08 0.04 1.00
4% 8% 4% 100%
22 24 25
0.88 0.96 1.00
b) Realizar un análisis estadístico. f2= 7 bolsas de fertilizantes pesan entre [92.93; 94.26> Kg. h2= el 28% de las bolsas de fertilizantes producida por la empresa INDUSAC pesan entre [92.93; 94.26> Kg. F3 = 21 bolsas de fertilizantes pesan entre [91.6; 95.59> Kg.. 7.- Ponga en práctica sus conocimientos y conteste en forma correcta: Un conjunto de datos consta de 95 observaciones o datos. ¿Cuantos intervalos recomendaría para construir el cuadro de frecuencias? Rpta: K = 1 + 3.3log (95).
K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K= 7.526.
K= 8.
Un conjunto de datos está integrado por 75 observaciones que van desde el 1.2 hasta 39.2 ¿Cuál es la amplitud que recomendaría Ud. Para la construcción de un cuadro de frecuencias? Rpta: 1. Determinamos el rango de la variación de los datos: R = 39.2 – 1.2.
R = Xmax - Xmin.
R = 38.
2. Determinamos el N° de intervalos: K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K = 1 + 3.3log (75).
K= 7.187.
3. Determinamos la amplitud del intervalo: A = R/K
A = 38/7
A = 5.4
Un conjunto de datos contiene 58 observaciones de una variable continua. El valor más pequeño es 42.1 y el más grande es 129.1 respectivamente. Los datos deben organizarse en un cuadro de frecuencias: a) ¿Cuál es la amplitud que recomendaría? La amplitud que recomendaría es de 12.48 Rpta:
K= 7.
1. Determinamos el rango de la variación de los datos: R = 129.1 – 42.1.
R = Xmax - Xmin.
R = 87.
2. Determinamos el N° de intervalos: K > 1 + 3.3log(n), n≥10
K = 1 + 3.3log (58).
K= 6.8193.
3. Determinamos la amplitud del intervalo: A = R/K
A = 87/7
A = 12.48
b) ¿Cuál es el límite inferior del primer intervalo? El límite inferior del primer intervalo es 54.528 [42.1; 54.528>
8. En las preguntas numeradas del 8.1 al 8.4 señale con un circulo la respuesta correcta: 8.1_ en la construcción de una distribución de frecuencias, lo que resulta de dividir el rango o recorrido entre el número de intervalos corresponde a: a) b) c) d) e)
Marca de clase. Las frecuencias relativas. La amplitud de los intervalos. El rango o recorrido. Ninguna de las anteriores.
8.2_el intervalo de clase o amplitud se define como: a) El valor central de cada intervalo. b) La semisuma de los límites superior e inferior de cada clase. c) La diferencia entre el limite superior e inferior del intervalo. d) La suma entre el limite superior e inferior del intervalo. e) Ninguna de las anteriores. 8.3_si n=50 el valor de m (marcas de clase) aplicando la fórmula de sturges es: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9. m > 1 + 3.3 * Log(tamaño de la muestra) m>1+3.3 log(50)
K= 7.
m>1+3.3(1.699) m>1+5.6067 m>6.6067 m=7 8.4_la suma de las frecuencias absolutas es igual a: a) Uno. b) Tamaño de la muestra. c) Rango. d) A la amplitud. e) Marcas de clase.
9. Complete el siguiente cuadro correspondiente a 60 empresas utilizando propiedades y definiciones e interprete: f2; F3; h4%, y H3%
Gastos en ( miles de soles) [5;10> [10;15> [15;20> [20;25> [25;30> total
fi
Fi
hi %
Hi %
10 23 43 92 60 60
DESARROLLO: TABLA N° 07: DISTRIBUCION GASTOS DE 60 EMPRESAS Gastos en ( miles de soles) [5;10> [10;15> [15;20> [20;25> [25;30> total
fi
Fi
hi %
Hi %
10 13 20 12 5 60
10 23 43 55 60
16.7% 21.7% 33.3% 20% 8.3%
17% 38% 72% 92 100%
Interpretación
f2= 13 empresas gastaron entre [10; 15> miles de $. F3= 43 empresas gastaron entre [15; 20> miles de $. H4= 20% de las empresas gastaron entre [5; 25> miles de $ H3 = 71.7 % de las empresas gastaron entre [5; 20> miles de $
10. El administrador de la empresa ALKATO, fabricante de yougures, tiene un presupuesto publicitario para este mes de 75 mil nuevos soles, para su producto “sabroso”, lanzado hace cuatro años. Dispone de las a estadísticas de gastos en publicidad ( en miles de soles) asignada a este producto desde su lanzamiento. a) Completar el cuadro siguiente
TABLA N° 08: DISTRIBUCION DE LOS GASTOS EN PUBLICIDAD POR LANZAMIENTO DEL PRODUCTO “SABROSO” Gastos en ( miles de soles)
Nª de meses
% de meses hi%
Fi%
Hi %
[8;23> [23;38> [38;53> [53;68> [68;83> [83;98> [98;113> total
6 8 9 7 6 7 5 48
0.125 0.167 0.187 0.146 0.125 0.146 0.104 1.00
6 14 23 30 36 43 48
12.5 29.2 47.9 62.5 75.0 100%
Marca de clase Yi 15.5 30.5 45.6 60.5 75.5 90.5 105.5
b) Determinen e interprete: f4= los gatos en publicidad durante 7 meses esta entre [53; 68> miles de $. F5= los gastos en publiciadd durante 36 meses esta entre [8; 83> miles de $. H2= 20% de las empresas gastaron entre [38; 53> miles de $ H3= 47.9 % de los mese , los gastos en publicidad fue de 60.5 miles de $ Y4= los gastos en publicidad fue de 60.5 miles de soles durante 7 meses 11. La siguiente muestra el peso en gr: de 30 paquetes de un determinado producto Peso en gr. hi [5;10>
[10; 15> k/2
[15; 20>
[20; 25>
[25; 30>
[35; 410>
0.17
2k
k
0.13
DESARROLLO TABLA N° 09: DISTRIBUCION DEL PESO EN GRAMOS DE 30 PAQUETES DE UN DETERMINADO PRODUCTO
PESO EN GRAMOS [10;15> [10;15> [15;20> [20;25> [25;30> [30.35>
fi
Fi
hi %
Hi %
3 5 12 6 4 30
3 8 20 26 3
0.1% 0.17% 0.40% 26% 30%
10% 27% 67% 87 100%
a) ¿Cuántos paquetes tienen pesos menores de 20r. 8% b) ¿Qué porcentaje de paquetes pesan 25 gr, o más? 20 % c) ¿Cuántos paquetes pesan entre 15 gr o mas pero menos de 25 gr. 67% d) ¿Cuántos paquetes pesan entre 5 gr o más pero menos de 20 gr. 27%
12. En un proyecto de construcción se midió la resistencia al esfuerzo cortante de 5 probetas del terreno, observándose los siguientes valores (KN/m2) 245 0 330 0 360 0
330 0 315 0 315 0 320 0
340 0 210 0 360 0 345 0
365 0 330 0 300 0 250 0
380 0 365 0 420 0 305 0
265 0 315 0 370 0 265 0
315 0 355 0 305 0 305 0
310 0 290 0 330 0 280 0
350 0 325 0 235 0 270 0
285 0 300 0 415 0 345 0
305 0 340 0 295 0 340 0
430 0 375 0 320 0 320 0
330 0 390 0 390 0
a) Agrupe estas resistencias en una distribución de frecuencias con una amplitud de clase de 250 KN/m2, empezando con 2000 KN/m2
TABLA N° 10: DISTRIBUCION DE LA RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE DE 5 PROBETAS DEL TERRENO Ii
fi
hi
pi
Fi
Hi
[2000;2250> [2250;2500> [2500;2750> [2750;3000> [3000;3250> [3250;3500> [3500;3750> [3750;4000> [4000;4250> [4250;4500> total
1 2 4 4 14 11 7 4 2 1 50
0.02 0.04 0.08 0.08 0.28 0.22 0.14 0.08 0.04 0.02 1.00
2% 4% 8% 8% 28% 22% 14% 8% 4% 2% 100%
1 3 7 11 25 36 43 47 49 50
0.02 0.06 0.14 0.22 0.50 0.72 0.86 0.94 0.98 1.00
13. La confiabilidad de un sistema de cómputo se mide en términos de la vida de un componente de hardware específico (por ejemplo, la unidad de disco). Se prueba un conjunto de componentes de computadora hasta que fallen, y se registra subida (en meses). 28 12 27 30 22
15 18 35 22 32
6 5 18 21 37
4 2 14 17 40
12 8 3 20 28
16 24 9 36 36
28 17 15 23 35
27 5 20 12 39
19 9 24 11 12
15
a) Ordene los datos en una tabla de frecuencias:
R = 40 – 2
R = Xmax - Xmin.
R =38.
K ≥1 + 3.3log (46).
K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K= 6.4871
K= 6.33
A = 38/6.4 A = R/K
5.93
TABLA N° 11: DISTRIBUCION VIDA UTIL DE UN CONJUNTO DE COMPONENTES DE COMPUTADORA Ii [2;8.33> [8.33;14.66> [14.66;20.99> [20.99;27.32> [27.32;33.65> [33.65;39.98> total
fi 7 8 10 9 5 7 46
hi 0.152 0.174 0.217 0.196 0.109 0.152 1.00
pi 15.2% 17.4% 21.7% 19.6% 10.9% 15.2% 100%
Fi 7 15 25 34 39 46
Hi 0.152 0.326 0.543 0.739 0.848 1.000
b) interprete: f2; F4; h4%, y H3% f2: 8 componentes de computadora tiene una vida útil entre [8.33; 14.66>. F4: 34 % de los componentes de computadora tiene una vida útil entre [20.99; 27.32>. h4%: 19.6% de los componentes de computadora tiene un vida útil entre [20.99; 27.32>. H3%: 54.3% de los componentes de computadora tiene una vida útil entre [2; 20.99>.
14. En el estudio de un nuevo tipo de concreto se obtuvieron datos correspondientes a la resistencia a esfuerzos de flexión de dicho concreto en 40 días. Siendo elegidas al azar en laboratorio se obtuvo los siguientes ( en Kg/cm2) 33 12 33 12
25
20 20 25 25
33 33 16 16
25 35 25 16
16 20 33 20
16 33 25 19
16 20 18 20
20 25 20 25
21 20 16
TABLA N° 12: DISTRIBUCION DE LA RESISTENCIA A ESFUERZOS DE FLEXIÓN DE UN TIPO DE CONCRETO
15. En un ensayo de cada probeta de un material particular para la construcción, se determinó la duración en horas hasta que falla cada uno de las 50 probetas bajo estudio; obteniéndose los siguientes datos: Tiempo (hs * 10) N° Probetas
200 a 220 3
220 a 240 8
240 a 260 10
260 a 280 13
280 a 300 9
300 a 320 5
320 a 340 2
Tot al 50
a) Complete el cuadro de frecuencias con todas sus partes. b) Interprete Y3, f4 Y H2% DESARROLLO: .Construcción de la distribución de frecuencias Pasos: 1. Determinamos el rango de la variación de los datos: R = 340-200
R = Xmax - Xmin.
R = 140
2. Determinamos el N° de intervalos: K = 1 + 3.3log(n), n≥10
K = 1 + 3.3log (1.699)
K= 6.6067
3. Determinamos la amplitud del intervalo: A = 140/7
A = R/K
A = 20
TABLA N° 13: DISTRIBUCION DE DURACION DE 50 PROBETAS DE UN MATERIAL PARTICULAR PARA LA CONSTRUCCION Tiempo en horas
fi
[200;220> [220;240> [240;260> [260;280> [280;300> [300;320> [320;340> total
3 8 10 13 9 5 2 50
INTERPRETACION:
hi% 0.06 0.16 0.20 0.26 0.18 0.10 0.04 1
Fi 3 11 21 34 43 48 50
Hi % 0.06 0.22 0.42 0.68 0.86 0.96 1
Marca de clase Yi 210 230 250 270 290 310 330
Pi % 6 16 20 26 18 10 4 100%
K= 7
Y3 = el tiempo de duración fue 250 horas en 10 probetas f4 = 13 probetas tienen un tiempo de duración comprendidos entre 260 a 280 horas. H2= el 16 % de las proveas tienen una duración de 220 a 240 horas.
PRACTICA DIRIGIDA N°3 ANÁLISIS ESTADÍSTICO UNIDIMENSIONAL: GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
1. Se realizó una encuesta a los alumnos del 6o grado de primaria del colegio "Indoamérica", sobre la preferencia de los cursos: Lógico Matemático (LM), Comunicación Integral (Cl), Ciencia y Ambiente (CA), Personal Social (PS), Educación Física (EF) y Religión (R). Los resultados EF=18 obtenidos están en el gráfico: °=5% LM=9 Si 180 alumnos prefieren PS, ¿Cuántos alumnos CA=2 0°=25 prefieren LM? 0% % A= alumnos 20/100ª=PS
LM=25%A
A/5=180
LM=25X900/100
A=900
LM= 225
CI=25 %
R=18° = 5%
PS=20 %
RESPUESTA: 225 alumnos prefieren Lógico Matemático.
2. En el gráfico se presenta la distribución del número de pacientes atendidos diariamente en el Centro de Salud de "La Noria". La muestra tomada fue de 50 días de atención. Determina la validez de los siguientes enunciados: a) En el 29% de los días, el Centro de Salud atendió a lo más 39 pacientes. b) En el 80% de los días, el Centro de Salud ha atendido un mínimo de 37 pacientes diarios. c) En más del 50% de los días el Centro de Salud atendió al menos 38 pacientes.
N° DE DIAS
12 10 8 6 4 2 0 35
36
37
38
39
40
N° DE PACIENTES ATENDIDOS
SOLUCION: Li-Ls 35 36 37 38 39 40 total
fi 5 5 8 10 12 10 50
hi 0.10 0.10 0,16 0.20 0.24 0.20 1
Pi % 10 10 16 20 24 20 100%
RESPUESTAS:
ENUNCIADO a): FALSO . PUES 10%+10%+16%+20%+24% = 80% ENUNCIADO b): VERDADERO, 16%+20%+24% +20% = 80% ENUNCIADO c): VERDADERO, 20%+24%+20%= 64% , ES MAS DE DE LA MITAD (50 %)
3.- Del siguiente Histograma: ¿Qué porcentaje se encuentra en el intervalo [b,c>? hi
30 25 20 15 10 5 0 a
b
c
d
e
RESPUESTA: En el intervalo [b,c> se encuentra 15% de porcentaje.
4.- El siguiente diagrama muestra las preferencias de 500 personas con respecto a 4 productos A,B,C, y DCalcular la diferencia entre los que prefieren los puntos B y A. SOLUCION: B A 16% m°= 20% D 2m°=4 0%
16%+24%= 40% m+2m=60% C 24%
3m=60% M=20%
HALLAMOS B-A: 20%-16%= 4% 4%x500= 4x500/100 = 20 RESPUESTA: La diferencia de los que prefieren B y A es de 20 personas.
5.- En el siguiente diagrama escalonado, ¿cuántos trabajadores ganan entre S/. 700 hasta S/. 1300?
N° personas
200
Li-Ls |400-700> |700-1000> |1000-1300> |1300-1600| total
150 100 50 0 400
700
1000 Sueldos
RESPUESTA:
1300
1600
50+110=160
fi 20 50 110 155 235
160 trabajadores ganan entre s/. 700 hasta s/. 1300
6. El siguiente gráfico nos muestra la frecuencia relativa acumulada de las notas de un examen. ¿Qué porcentaje de alumnos tuvieron una nota entre 8 y 16 puntos?
Numero de personas
120 100 80 60 40 20 0 Sueldos
4
8
12
16
20
30
50
65
95
100
SOLUCION: Li-Ls |0-4> |4-8> |8-12> |12-16> |16-20| Total
hi 0.30 0.20 0.15 0.30 0.50 1
Hi 0.30 0.50 0.65 0.95 1
Pi % 30 20 15 30 5 100%
15%+30%=45% RESPUESTA: El 45 % delos alumnos tuvieron nota entre 8 y 15 puntos.
7. Del siguiente gráfico. a) ¿Qué porcentaje de lotes producidos tienen máximo 5 artículos defectuosos? b) ¿Qué porcentaje de lotes producidos tienen menos de 3 artículos defectuosos? SOLUCION: Li-Ls |0-5> |5-10> |10-15> |15-20>
Fi 1 7 8 3
hi 0.04 0.25 0.28 0.11
Pi% 4 25 28 11
LOTES DE PRUDUCCION SEGUN N° DE ARTICULOS DEFECTUOSOS 30 25 20 15 10 5 0 1
2
3
4
5
6
7
Serie 1
|20-25> |25-30| Total
5 4 28
0.18 0.14 1
18 14 100%
RESPUESTA: a) El 18% de los lotes producidos tienen máximo 5 artículos defectuosos. b) 4%+11%=15% , el 15 % de los lotes producidos tiene menos de 3 artículos defectuosos.
8. Del siguiente gráfico: ¿Cuántas personas gastaron desde s/.210 hasta s/.300? SOLUCION:
30+16+24 =70 RESPUESTA:
fi 20 30 16 24 90
Gastos en soles n° de personas
Li-Ls |180-210> |210-240> |240-270> |270-300> Total
40 30 20 10 0 Gastos en soles
180
210
240
270
30
24
20
16
300
.70 personas gastaron desde s./210 hasta s./300.
9.- Un Ingeniero Civil es un minorista de materiales de construcción ha estado estudiando un plan para abrir tiendas en nuevos lugares dentro de su programa de expansión regional. En una ciudad propuesta para la expansión hay tres lugares posibles: norte, este y oeste. El minorista sabe por experiencia que los tres mayores centros de beneficios de sus tiendas son las de herramientas, madera y pintura. Ha pedido, pues ayuda al departamento de estudios de mercado para obtener y analizar los datos relevantes. Este minorista cree que tiene ventaja comparativa en la venta de herramientas. Basándose en la siguiente información: ¿Qué zona recomendaría al minorista al iniciar la instalación de sus tiendas?. Fundamente su decisión.
120 100
95
100 80
65
60
50
50
50
70
75
45
40 20 0 ESTE
NORTE MADERA
PINTURA
OESTE NINGUNA
SOLUCION: ZONA
MADERA
PINTURA
ESTE NORTE OESTE
50 95 70
100 50 65
TOTAL PRODUCTOS VENDIDOS 150 145 135
RESPUESTA: Recomendaría al minorista al iniciar la instalación de sus tiendas que sea en la zona este, pues se observa en la tabla que es allí donde vende más productos.
10. Se realizó una encuesta en un colegio de Educación Secundaria sobre el número de alumnos que prefieren el curso de Comunicación y se les clasificó por edades. Luego se gráfico el siguiente histograma: Indica: a) ¿Cuántos alumnos tienen edades mayores o ¡guales que 10 pero menores que 16? b) ¿Cuántos alumnos tienen menos de 16 años? c) ¿Cuántos alumnos tienen edades mayores o iguales que 14 años?
N° PERSONAS
100 80 60 40 20 0 8
10
12
14
16
18
EDADES
SOLUCION: Li-Ls |8-10> |10-12> |12-14> |14-16> |16-18> Total
fi 45 60 90 80 75 350
RESPUESTAS: a. 60+90+80= 230 230 alumnos tienen edades mayores o ¡guales que 10 pero menores que 16. b. 80+90+60+45= 275 275 alumnos tienen menos de 16 años.
c. 80+75 = 155 155 alumnos tienen edades mayores o iguales que 14 años
11. El siguiente histograma ha sido obtenido de un tabal de frecuencias referida a la resistencia del aluminio a la comprensión de 50 probetas (lb/plg²) en un Gabinete de Ensayo de Materiales UNI – 2002. Indicar:
DISTRIBUCIÓN DE PROBETAS SEGÚN SU RESISTENCIA. UNILIMA - 2002 30 26 24
% DE PROBETAS
25
22
20 15
12
10
8 4
5
2
2
0 66.0 - 67.4 67.4 - 68.8 68.8 - 70.2 70.2 - 71.6 71.6 - 73.0 73.0 - 74.4 74.4 - 75.8 75.8 - 77.2 CLASE DE RESISTENCIA (Lb / plg²)
Indicar: a) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 73 lb/plg²? b) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 68.8 lb/plg²? c) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión mayores o iguales que 70 lb/plg²? Solución. A partir del histograma realizamos nuestro cuadro que nos permitirá hallar la frecuencia absoluta que nos permitirá desarrollar las preguntas planteadas. Del histograma obtenemos los porcentajes (%) de las probetas lo cual significa que podemos hallar la frecuencia relativa ( ) y a parte de ello hallar los demás datos. CUADRO N°1. Distribución de probetas según su case resistencia (Lb / plg²) CLASE DE RESISTENCIA (Lb / plg²)
P%
[66.0 - 67.4> [67.4 – 68.8> [68.8 – 70.2> [70.2 – 71.6> [71.6 – 73.0> [73.0 – 74.4> [74.4 – 75.8> [75.8 – 77.2>
TOTAL:
4 1 13 12 11 6 2 1
50
0.08 0.02 0.26 0.24 0.22 0.12 0.04 0.02
1
4 5 18 30 41 47 49 50
0.08 0.1 0.36 0.6 0.82 0.94 0.98 1
8 2 26 24 22 12 4 2
a) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 73 lb/plg²? Según el cuadro, 9 probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 73 lb/plg². b) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 68.8 lb/plg²? Según el cuadro, 45 probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión de por lo menos 68.8 lb/plg². c) ¿Cuántas probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión mayores o iguales que 70 lb/plg²? Según el cuadro, 45 probetas de aluminio tienen resistencia a la compresión mayores o iguales 70 lb/plg². El resto tiene resistencia a la compresión menor a 70 lb/plg².
PRACTICA DIRIGIDA N°4 MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL : MEDIA, MEDIANA Y MODA
1. Los ingresos de impuestos sobre ventas en una comunidad particular se recogen cada trimestre. Los siguientes datos representan los ingresos ( en soles ) cobrados durante el primer trimestre del año, en una encuesta de seis establecimientos comerciales de la comunidad: 17, 11, 26, 33, 9, 12 Calcular e interpretar el impuesto medio de la muestra. El impuesto promedio sobre las ventas en una comunidad en cada trimestre es de 18 nuevos soles. 17, 11, 26, 33, 9, 12 Impuesto medio:
Rpta. El impuesto medio sobre las ventas en una comunidad particular en el trimestre es de S/29.5. 2. A continuación se presentan cantidades de plomo medidas (en microgramos por metro cúbico o ug/m³) en el aire. La agencia de protección ambiental estableció un estándar de calidad de aire respecto del plomo: 1.5 ug/m³. las mediciones que se presenta más adelante se registraron en el edificio 5 del World Trade Center en distintos días, inmediatamente después de la destrucción causada por los ataques terroristas del 11 de septiembre del 2001. Después del
colapso de los edificios del World Trade Center, surgió una gran preocupación respecto de la calidad del aire. Calcule la media de esta muestra de niveles de plomo del aire. 5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10 Media de la muestra:
Rpta. La Cantidad media de plomo en el aire es de 0.575 ug/m³. El promedio plomo en el aire es de 1.538 ug/m³., lo que significa que sobrepasa al estándar de calidad de aire respecto del plomo (1.538 ug/m³) 3. En el Instituto Daniel Alcides Carrión, trabajan 10 profesores médicos antiguos y 40 profesores médicos nuevos. El sueldo promedio por hora de los profesores antiguos es de S/. 8.80 y el de los profesores nuevos es de S/. 12.50. ¿Cuál es el sueldo promedio por hora de todos los profesores médicos del instituto? Solución. Profesores Antiguos=10=n Sueldo promedio por hora: 8.80
Profesores Nuevos=40=n’ Sueldo promedio por hora: 12.50
A=88
B=500
Por lo tanto: ̅ Rpta. El sueldo promedio por hora de todos los profesores médicos del Instituto Daniel Alcides Carrión es de 11.76 nuevos soles.
4. A continuación tenemos la distribución de 20 microempresas de calzado de vestir del distrito de Porvenir Trujillo. NUMERO DE TRABAJADORES N° DE EMPRESAS 2 1 3 4 4 7 5 5 6 3 a. Determinar el número promedio de trabajadores por empresa que existen en e distrito del Provenir.
b. Determinar el n° de trabajadores más frecuente en las empresas del distrito del Provenir Trujillo
Cuadro1.- Distribución de 20 microempresas de calzado de vestir. N° DE EMPRESAS ( N° DE TRABAJADORES 2 1 2 3 4 12 4 7 28 5 5 25 6 3 18 Total 20 85
̅ Rpta. a) El número promedio de trabajadores por empresa que existen en el distrito del Porvenir es de 4 trabajadores. b) El número promedio de trabajadores más frecuente en las empresas del distrito del porvenir es de 4 trabajadores.
5. Los siguientes datos se han obtenido de una encuesta elevada a cabo el 20 de diciembre del 2012 en el distrito de Jesús María, sobre el precio del alquiler en una muestra de 560 viviendas (habitaciones). ALQUILER MENSUAL (EN SOLES) 50 – 75 75 – 100 100 – 125 125 – 150 150 – 175 175 – 200 200 - 225
NUMERO DE VIVIENDAS 42 48 139 185 96 32 18
Calcular el alquiler mensual promedio, la media y la moda e interpretar sus resultados.
media
Solución: n= 560 ALQUILER MENSUAL (EN SOLES) 50 – 75 75 – 100 100 – 125 125 – 150 150 – 175 175 – 200 200 - 225 Total
NUMERO DE VIVIENDAS ( 42 48 139 185 96 32 18 560
42 90 229 414 510 542 560
62.5 87.5 112.5 137.5 162.5 187.5 212.5
2625 4200 15637.5 25437.5 15600 6000 3825 73 325
a. Calculamos el alquiler mensual promedio ∑ ̅ ̅ ̅ El alquiler mensual promedio de las viviendas es de 130.938 nuevos soles. b. Calculamos la media
(
)
n= 560 Li= 125 229 = 185 25
(
(
)
)
La mitad de las viviendas tienen ingresos por el alquiler menos o igual a 131.892 soles; la otra mitad tienen ingresos igual o mayor a 131.892 soles. Calculamos la moda (
)
(
)
(
El precio del alquiler que se paga con más frecuencia es de 133.525 soles. Más personas pagan esta cantidad que cualquier otro. 6. En una institución educativa hay tres tipos de trabajadores: Los directivos, los docentes y los administrativos. El promedio de sueldos de los 14 administrativos es de 895.4 nuevos soles. El sueldo promedio de los 85 docentes es de 1256.4 nuevos soles y el sueldo promedio de los 8 directivos es de 2654.2 soles. a. ¿Cuál es el sueldo promedio de todos los trabajadores de ese centro educativo? b. La dirección quiere proponer un aumento de 50 soles a cada trabajador en general. En ese caso ¿Cuál sería el nuevo sueldo promedio de todos los trabajadores? c. La dirección piensa que tal vez sea mejor hacer un aumento de 10% a cada trabajador. Entonces ¿Cuál sería el nuevo sueldo promedio de todos los trabajadores? Solución: Administrativos (A)
Profesores (P)
̅
̅
A= 12535.6 n=107
Directivos (D) ̅
P=106794
D=21233.6
a. ¿Cuál es el sueldo promedio de todos los trabajadores de ese centro educativo? ̅ El sueldo promedio de todos los trabajadores del centro educativo es de 1313.675 nuevos soles.
b. La dirección quiere proponer un aumento de 50 soles a cada trabajador en general. En ese caso ¿Cuál sería el nuevo sueldo promedio de todos los trabajadores? ̅
(
El sueldo promedio de todos los trabajadores, después del aumento de 50 soles es de S/.1363.675 c. La dirección piensa que tal vez sea mejor hacer un aumento de 10% a cada trabajador. Entonces ¿Cuál sería el nuevo sueldo promedio de todos los trabajadores?
(
̅
El nuevo sueldo promedio, después del aumento del 10% a cada trabajador; es de 1445.042 nuevos soles.
7. Estudiantes de arquitectura e ing. Civil, rinden conjuntamente un examen de estadística. L nota promedio general es de 11.5. la calificación media de los estudiantes de arquitectura es de 12 y los 20 estudiantes de Ing. Civil obtuvieron un promedio de 0.8. ¿cuántos estudiantes de arquitectura rindieron el examen? ̅ ̅
∑
∑
̅
∑
∑
∑
̅
∑
∑
̅ ª A=28 La cantidad de alumnos de Arquitectura que rindieron el examen fueron 28 alumnos. 8. Los siguientes datos corresponden a los salarios diarios, en soles, pagados por una fábrica a su personal de obreros en un día de trabajo. Salarios diario N° de obreros 15 10 18 16 20 35 23 26 25 13 En la fábrica se presenta un conflicto laboral. El gerente propone un aumento del 10% diario para cada uno de los obreros y la junta directiva propone un aumento de s/. 2.00. Se solicita su asistencia para que discuta qué es más ventajoso para la fábrica y qué para cada uno de los obreros, según su clasificación por niveles de salarios. ¿Cómo actuaría Ud.?
Salarios diario
N° de obreros
+10%(salario)
+2 soles
Total Incl. 10%
15 18 20 23 25 total
10 16 35 26 13
16.5 19.8 22 25.3 27.5
17 20 22 25 27
165 316.8 770 657.8 357.5 2267.1
-
-
Total incl. 2 soles 170 320 770 650 351 2261
Lo más favorable para la fábrica es aumentarle 2 nuevos soles al salario diario de los trabajadores porque se desembolsa S/.6.10 menos diarios, que significaría un ahorro de S/183. Lo más ventajoso para la mayoría de los trabajadores sería que les aumenten el 10% de su salario diario.
9. De un grupo de 100 obreros de una fábrica, 40 trabajan en el día y 60 en la noche. Si el ingreso mensual promedio de los 100 trabajadores es S/.725.80 y que los del turno de día reciben en promedio S/ 31.00 menos que los trabajadores nocturnos. ¿Cuál es el salario promedio en cada grupo de trabajadores? n=100 D=40 N=60 D: ∑
N: ∑
DATO 1: ∑ ∑ ∑
∑
DATO 2: ∑
=
31= 31=
∑
-31
∑
∑
7440= ∑ 3720= ∑ 72850=∑
∑
∑
∑ ∑ ∑ (-2)
∑ 3720=2∑ ∑ 141440=- ∑ 141440=5∑ 28288=∑ ∑
Directivos ∑
̅
̅ Nuevos ∑
̅
̅ El salario promedio en el grupo de los trabajadores antiguos en de 707.2 soles mientras que el salario promedio de los trabajadores nuevos es de 738.2. 10) Para cubrir las 2 vacantes en el departamento de contabilidad de una empresa en una prueba escrita los postulantes seleccionados obtuvieron los siguientes puntajes: 125, 148, 99, 132, 121, 114, 100, 98, 112,123 Hallar e interpretar el puntaje promedio, el puntaje más frecuente y el puntaje mediano. SOLUCION: MEDIA: ̅ MODA: No existe moda o cada uno de los datos son una moda. MEDIANA: Ordenamos los datos: 98, 99, 100, 112, 114, 121, 123, 125, 132, 148 ̂ Interpretar: El promedio del puntaje obtenido en la prueba es117.2
El puntaje mediano obtenido en la prueba es 117.5 y no existe moda o todos los datos son moda. 11) los siguientes datos correspondientes al consumo anual de pescado (en kg) por parte de 5 ciudades del departamento de Amazonas: CIUDAD
CHACHAPOYAS
Consumo
5200
BAGUA GRANDE 6800
LAMUD
PAMACOCHAS LEIMEBAMBA
5959
500
4900
Hallar la media, la mediana y la moda. Interpretar. SOLUCION: MEDIA: ̅ MODA: El mayor consumo de pescado se da en Bagua Grande 6800 kg MEDIANA: Ordenamos los datos: 500, 4900, 5200, 5959, 6800 ̂ Interpretar: El promedio del consumo anual de pescado en 5 ciudades del Amazonas es 4671.8 kg. El puntaje mediano del consumo anual de pescado en 5 ciudades del Amazonas es 5200 kg y donde se consume más pescado es en Bagua Grande 6800kg. 12) Los siguientes datos corresponden a las notas de los estudiantes al finalizar el ciclo académico: 9 14 17 10 9
10 5 11 10 7
15 19 11 18 18
10 9 18 18 16
16 7 8 10 9
18 7 12 10 13
12 12 20 6 11
13 19 5 16 18
8 6 7 14 15
Hacer un análisis estadístico considerando las medidas de resumen.
20 19 6 12 10
SOLUCION: Notas de estudiantes (xi) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TOTAL
(%) 2 3 4 2 4 7 3 4 2 2 2 3 1 6 3 2 50
10 18 28 16 36 70 33 48 26 28 30 48 17 108 57 40 613
0.04 0.06 0.08 0.04 0.08 0.14 0.06 0.08 0.04 0.04 0.04 0.06 0.02 0.12 0.06 0.04 1
4 6 8 4 8 14 6 8 4 4 4 6 2 12 6 4 100
MEDIA: ̅
MODA: Es 10 nota MEDIANA: Ordenamos los datos: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ̂ Interpretar: El promedio de las notas de los estudiantes al finalizar el ciclo académico es 12.26 puntos. El puntaje mediano de las notas de los estudiantes al finalizar el ciclo académico es 12.5 puntos y donde la nota o puntaje más frecuente es 10.
PRACTICA DIRIGIDA N°5 TEMA MEDIDAS DE DISPERSION: VARIANZA, DESVIACION ESTANDAR Y COEFICIENTE DE VARIACION
1) Se utilizan dos procesos para producir discos de computador. Han surgido problemas respecto a las variaciones en los tamaños de tales discos. Con base en los datos de muestra aquí observados, de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso, explique cual proceso aconsejaría usted si su objetivo es minimizar la desviación en el tamaño alrededor de la media. PROCESO 01 3.41 3.74 3.89 3.65
PROCESO 02 3.22 3.06 3.65 3.33
3.81 3.26 3.07 3.35
3.26 3.79 3.14 3.51
Solución: PROCESO 01 Notas de estudiantes (xi) 3.41 3.74 3.89 3.65 3.22 3.06 3.33 TOTAL MEDIA:
(%) 1 1 1 2 1 1 1 8
3.41 3.74 3.89 7.3 3.22 3.06 3.33 27.95
11.63 13.99 15.13 26.65 10.37 9.36 11.09 98.22
̅ MODA: Es 3.65 MEDIANA: Ordenamos los datos: 3.06, 3.22, 3.33, 3.41, 3.65, 3.74, 3.89 ̂ DESVIACION ESTANDAR:
0.125 0.125 0.125 0.25 0.125 0.125 0.125 1
12.5 12.5 12.5 25 12.5 12.5 12.5 100
∑
̅
PROCESO 02 Notas de estudiantes (xi) 3.81 3.26 3.07 3.35 3.79 3.14 3.51 TOTAL
(%) 1 2 1 1 1 1 1 8
3.81 6.52 3.07 3.35 3.79 3.14 3.51 3.40
14.51 21.26 9.42 11.23 14.36 9.86 12.32 92.96
0.125 0.25 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 1
12.5 25 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 100
MEDIA: ̅ MODA: Es 3.26 MEDIANA: Ordenamos los datos: 3.07, 3.14, 3.26, 3.35, 3.51, 3.79, 3.81 ̂ DESVIACION ESTANDAR: ∑
̅
NOTA: Si los valores tienden a distribuirse lejos de la media, la varianza será grande. Si los valores tienden a concentrarse alrededor de su media la varianza será pequeña. El método más oportuno es el proceso 2 ya que su variación es pequeña.
2) Los gastos mensuales en el uso de internet de dos empresas se muestra a continuación: EMPRESA A: Gasto promedio: 1350 soles, Desviación estándar: S/78 EMPRESA B: Gasto promedio: 1450 soles, Desviación estándar: S/120 Determine qué empresa tiene gastos mensuales más homogéneos. Justifique. SOLUCION: Coeficiente de Variación A: ̂ ̅
Coeficiente de Variación B: ̂ ̅ La empresa que tiene gatos más homogéneos es la empresa A por tener un coeficiente de variación menor a la de la empresa B. 3) Una compañía requiere los servicios de un ingeniero especializado. De los expedientes presentados, se han seleccionado 2 candidatos: A y B los cuales reúnes los requisitos mínimos requeridos. Para decidid cuál de los 2 se va a contratar, los miembros del jurado deciden tomarles 7 pruebas. Todas las pruebas se calificaron utilizando una escala de 0 a 80. Los resultados se dan a continuación:
Puntaje obtenido por A Puntaje obtenido por B
1
2
3
Prueba 4
5
6
7
57
55
54
52
62
55
59
80
40
62
72
46
80
40
a) Halle e interprete la media b) Halle e interprete las desviaciones estándar y los coeficientes de variación c) ¿si usted fuese el gerente de Recursos Humanos, a cual de los candidatos contrataría? Fundamenta su respuesta.
SOLUCION: a) Ingeniero A: Notas de estudiantes (xi) 57 55 54 52 62 59 TOTAL
1 2 1 1 1 1 7
57 110 54 52 62 59 394
3249 6050 2916 2704 3844 3481 22244
2 2 1 1 1 7
160 80 62 72 46 420
12800 3200 3844 5184 2116 27144
MEDIA: ̅ Ingeniero B Notas de estudiantes (xi) 80 40 62 72 46 TOTAL MEDIA: ̅ b) Ingeniero A: ∑
̂ ̅ Ingeniero B
̅
∑
̅
̂ ̅ Interpretar: La dispersión de los datos respecto a la media es menor en el ingeniero A y la variabilidad de los datos es menor en el ingeniero A es decir más homogéneo. c) Contrataría a A aunque su promedio es menor al del B su varianza y coeficiente de variación son menores que al de B, por lo tanto su dispersión es menor y es más homogéneo es decir es una persona que rinde aproximadamente siempre igual. 4) A continuación se presentan los pesos en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL”. Pesos (kg) [6-9˃ [9-12˃ [12-15˃ [15-18˃ [18-21˃ [21-24˃ [24-27] TOTAL
N° de artículos 8 20 35 10 4 6 1 84
7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5
60 210 472.5 165 78 135 22.5 1143
Solución: a. Determinar la varianza de los pesos ∑
̅
b. Determinar e interpretar el coeficiente de variación ̂ ̅ Interpretación:
450 2205 6378.75 2722.5 1521 3037.5 650.25 16965
La homogeneidad de los artículos vendidos en kg por la empresa “MAKEL” es relativamente menor, su variabilidad respecto a la cantidad en kg vendida en mayor. 5) Un conjunto de 20 valores tiene una media igual a 50; otro conjunto de 20 valores tiene una media igual a 30, la desviación estándar de los 40 valores considerados conjuntamente es igual a 10. Calcular el coeficiente de variación del conjunto de los 40 números. SOLUCION: n1=20 ̅ ̅
∑ ∑ ∑
n2=20 ̅̅̅ ∑ ̅ ∑ ∑
S=10 ̅̅̅
∑
∑
6) un conjunto habitacional está conformando por tres edificios .se tiene los siguientes datos respecto al consumo mensual de electricidad de cada uno de los edificios; Edificio 01: tiene 12 departamentos que gastan en promedio 45 soles con una desviación estándar de 10 soles. Edificio 02: tiene 9 departamentos cuyos consumos en soles son: 38, 42, 56, 60, 43, 52, 41, 44,53. Edificio 03: los consumos se dan en la siguiente tabla: CONSUMO EN SOLES [30-40[
DEPARTAMENTOS 1
[40-50[ [50-60[ [60-70]
4 4 2
a) ¿Cuál de los edificios tiene menor consumo promedio de electricidad? EDIFICIO 01 ̅ Soles EDIFICIO 02 ̅ EDIFICIO 03 CONSUMO EN SOLES [30-40[ [40-50[ [50-60[ [60-70] total
DEPARTAMENTOS 1 4 4 2 11
35 45 55 65
35 180 220 130 565
1225 8100 12100 8450 29875
∑
b) ¿Cuál es el consumo promedio en todo el conjunto habitacional? ∑ ∑ ∑ ̅ Soles ̅
c) ¿en cuál de los edificios el consumo es más disperso? EDIFICIO 01 S=10 EDIFICIO 02 ( √
( √
(
̅
(
(
√ EDIFICIO 03 ∑
̅
(
(
En el edifico numero 01 obtenemos una desviación estándar mayor que en los demás edificios lo cual es porque sus valores tienden a distribuirse lejos de la media. 7) El siguiente cuadro distribuye a 30 Fábricas de Harina de Pescado del Perú según su producción mensual en toneladas métricas en el año 2012. Producción mensual Toneladas métricas [50-58˃ [58-66˃ [66-74˃ [74-82˃ [82-90˃ [90-98˃
4 8 2 6 5 5 n=30
54 62 70 78 86 94
216 496 140 468 430 470 2220
11664 30752 9800 36504 36980 44180 169880
Tomando como base los datos del cuadro anterior, calcule e interprete: a. ̅ = Interpretación: El promedio de la producción mensual de las 30 fábricas de harina de pescado es 74 toneladas. b. S=√ Interpretación: La producción de harina de pescado de las 30 fábricas tiene una dispersión de 13.66 respecto a su media. c. CV= Interpretación: La producción de harina de pescado de las 30 fábricas tiene una variabilidad de 0.18 o 18% 8) El gerente de operaciones de una fábrica de llantas quiere comparar el diámetro interno real de dos tipos de neumáticos, que se espera sean de 575 milímetros en ambos casos. Se seleccionó una muestra de cinco llantas de cada tipo y se ordenaron de menor a mayor, como se aprecia a continuación: Tipo X Tipo Y
568 573
570 574
575 575
578 577
584 578
a) Calcule e interprete la media, la mediana y la dispersión de ambos tipos de llantas.
Tipo x MEDIA: ̅ MEDIANA: Ordenamos los datos:
̂ DESVIACION ESTANDAR: ( √
( √
(
(
̅
(
(
(
(
√ Tipo y MEDIA: ̅ MEDIANA: Ordenamos los datos:
̂ DESVIACION ESTANDAR: ( √
( √
(
(
√
̅
b) ¿Cuál tipo de llanta es de mejor calidad? ¿explique por qué? La llanta de mejor calidad es la Y aunque su promedio de la X es exactamente igual al diametro que se requiere la desviación estándar en el caso de la Y es menor y eso nos indica un grado de dispersión menor a su media es decir a 575.4 que es el diametro aproximadamente requerido. c) ¿Qué efecto tendría en sus respuestas a los incisos a) y b) si el ultimo valor del tipo Y fuese 588 en lugar de 578? Explique su respuesta. Tipo y MEDIA: ̅ MEDIANA: Ordenamos los datos:
̂ DESVIACION ESTANDAR: ( √ ( √
(
(
̅ (
(
√
La llanta de mejor calidad seguiría siendo Y ya que su promedio es aproximadamente igual al diámetro que se requiere y la desviación estándar es menor y eso nos indica un grado de dispersión menor a la me media es decir a 575.4 que es el diámetro aproximadamente requerido.
