Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos. Formas de expresarlos 1.- Halla las raíces de los siguientes números:
− 36
− 100
− 25
25
Solución:
− 36 = 36 ⋅ − 1 = ±6i
− 100 = 100 ⋅ − 1 = ±10 i
25 = ±5
− 25 = 25 ⋅ − 1 = ±5 i
2.- Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma polar: a) Módulo 7, argumento 150º
b) Módulo 2, argumento 30º
c) Módulo 3, argumento 0º
d) Módulo
2 , argumento 45º
Solución:
3.-Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma binómica: a) 3+5i
b) 4-2i
c) 2i
d) -1+3i
Solución:
4.- Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma trigonométrica: a) 6(cos60º+isen60º )
b)
cos
π π + isen 2 2
c) 6(cos225º+isen225º )
d)
5(cosπ + isenπ )
Solución:
IES nº 1 de Ordes
1
Pila
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5.- Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
5 + − 81
3 − − 100
2+ −7
Solución:
5 + − 81 = 5 + 81 ⋅ − 1 = 5 + 9 i 3 − − 100 = 3 − 100 ⋅ − 1 = 3 − 10 i 2 + − 7 = 2 + 7 ⋅ −1 = 2 + 7 i 6.- Pasa a forma binómica los siguientes números complejos: a)
3(cos
3π 3π + isen ) 4 4
b) Módulo:
3 , Argumento: -225º
Solución: a)
−
3 2 3 2 + i 2 2
b)
−
6 6 + i 2 2
7.- Pasa a forma polar los siguientes números complejos: c) -i+3 d) a) -5i b) 2(cos60º+isen60º ) Solución: a) Módulo 5, argumento 270º c) Módulo
2(cos120º+isen120º )
b) Módulo 2, argumento 60º
10 , Argumento -18º26'6''
d) Módulo 2, Argumento 120º
8.- Pasa a forma trigonométrica los siguientes números complejos: a)
4 2 (1 − i)
b) Módulo:
e) 3i i)
− 2 + 3 2i
2 , Argumento: 135º
f) Módulo: 6 , Argumento: 210º j) Módulo: 3, Argumento: 315º
Solución: a) 8(cos315º + isen315º) d) 7(cos 120º + isen 120º )
b)
c)
− 3 2 − 3 2i
g) 3(5 − 2i)
d) Módulo: 7, Argumento: 120º
5 , Argumento: 330º 5π l) Módulo:9, Argumento: − 4
h) Módulo:
k) 4+6i
2 (cos 135º + isen 135º )
c) 6(cos 225º + isen 225º )
e) 3(cos90º + isen90º)
f) 6(cos210º + isen210º)
5 (cos 330º + isen 330º )
g) 3 29 (cos( −21º48'5' ' ) + isen( −21º48'5' ' ) )
h)
i) 4 5 (cos(−71º33'54' ' ) + isen( −71º33'54' ' ) )
j) 3(cos315º+isen315º)
k) 2 13 (cos 56º18'36' '+ isen 56º18'36' ')
l) 9 cos −
5π 5 π + isen − 4 4
9.- Pasa a forma binómica los siguientes números complejos: a) 6(cos225º +isen225º )
3π 3π + isen ) 2 2 e) 8(cos60º +isen60º ) c) 2(cos
g) cos240º+isen240º IES nº 1 de Ordes
b) Módulo:3, Argumento: d) Módulo:
3π 2
3 , Argumento: 45º
f) Módulo: 1, Argumento: 180º h) Módulo: 1, Argumento: 210º
2
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Solución:
−3 2 −3 2i 6 6 + d) i 2 2 1 3 i g) − − 2 2 a)
b) -3i
c) -2i
e)
4 + 4 3i
h)
−
f) -1
1 3 + i 2 2
10.- Pasa a forma polar los siguientes números complejos: a) 2+i d)
b)
4(cos90º+isen90º )
4(cos
π π + isen ) 6 6
c) 5
e) 2-2i
f)
cos
7π 7π + isen 6 6
Solución:
5 , argumento 26º33'54''
a) Módulo
c) Módulo 5, argumento 0º e) Módulo
π 6
b) Módulo 4, argumento
d) Módulo 4, argumento 90º
2 2 , Argumento 315º
f) Módulo 1, Argumento
7π 6
Operaciones con números complejos en forma binómica 1.- Calcula las potencias de: a)
i125
b)
i 2344
c)
i 723
d)
i 77
Solución: a)
i125 = i 31 x 4+1 = i1 = i
c) i 723 = i180 x 4+3 = i 3 = − i
b) i 2344 = i 586 x 4 = 1
2.- Calcula:
a)
1 i
d)
b)
1 i2
c)
i 77 = i19 x 4+1 = i1 = i
1 i3
d) i − 4
e) i −5 .....
Solución:
1 1 ⋅ (− i) − i a) = = = −i i i⋅ (− i) 1 d ) i −4 =
1 1 = =1 i4 1
1 i2 −1 b) 2 = 4 = = −1 1 i i e) i − 5 =
c)
1 i = 4 =i 3 i i
1 1 1 = 4 ⋅ = −i 5 i i i
3,. Calcula las siguientes sumas: a) (2+5i) + (3+4i)
b) (1+i) + (1-i)
c) ((1+3i) + (1+i)
d) 1 + (2-5i)
Solución: a) (2+5i) + (3+4i) = 5 + 9i
b) (1+i) + (1-i) = 2
c) (1+3i) + (1+i) = 2 + 4i
d) 1 + (2-5i) = 3 - 5i
4.- Escribe los opuestos de los siguientes número complejos: a) 3+i Solución: a) Op de (3+i) = -3 – i
b) Op de (1-i )= -1 + i
c) Op de (-3+i) = 3 – i
d) Op de (-2-5i) = 2 + 5i
IES nº 1 de Ordes
3
b) 1-i
c) -3+i
d) -2-5i
Pila
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5.-Determina x para que el producto: (2 - 5i)(3 + x i) sea: a) Un número real. b) Un número imaginario puro. Solución: Hagamos el producto (2 - 5i)(3 + x i) = 6 + 5x + (2x - 15)i a) Para que el producto sea un número real, la parte imaginaria debe ser nula, por tanto:
2 x − 15 = 0 ⇒ x =
b) Para que el producto sea un número imaginario puro, la parte real debe ser nula, por tanto:
6 + 5x = 0⇒ x = − 6.- Calcula las siguientes diferencias: a) (2+5i) - (3+4i) Solución: a) (2+5i) - (3+4i) = -1 + i
6 5
b) (1+i) - (1-i)
c) (1+3i) - (1+i)
d) i - (2-5i)
b) (1+i) - (1-i) = 2i
c) (1+3i) - (1+i) = 2i
d) i - (2-5i) = -2 + 6i
7.-Calcula las siguientes divisiones:
a)
2 + 5i 3 + 4i
b)
1+ i 1− i
c)
1 + 3i 1+ i
d)
2 − 5i i
Solución: a) 2 + 5i = (2 + 5i)(3 − 4 i) = 6 + 20 − 8 i+ 15 i = 26 + 7 i
3 + 4i
9 + 16
(3 + 4 i)(3 − 4 i)
25 25
b) 1 + i = (1 + i)(1 + i) = 1 − 1 + i+ i = 2 i = i
1− i
(1 − i)(1 + i)
1+1
2
c) 1 + 3i = (1 + 3i)(1 − i) = 1 + 3 − i+ 3i = 4 + 2 i = 2 + i
1+ i
1+1
(1 + i)(1 − i)
2
d) 2 − 5i = (2 − 5i)(− i) = − 5 − 2 i = −5 − 2 i
i
i(− i)
1
8.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(3+4i)
b) (1+i)(-1-i)
c) (1+3i)(1+i)
Solución: a) (2+5i)(3+4i) = 6 + 8i +15i -20 = -14 + 23i
b)(1+i)(-1-i) = -1 -i - i + 1 = -2i
c) (1+3i)(1+i) = 1 + i + 3i - 3 = -2 + 4i
d) i(2-5i) = 2i + 5 = 5 + 2i
9.-Calcula los inversos de los siguientes complejos: a) 1 + i
b) 2 + 3i
d) i(2-5i)
c) 1 - i
d) -2 + i
Solución: a)
1 = 1− i = 1− i = 1 − 1 i 1 + i (1 + i)(1− i) 1 + 1 2 2
b)
1 = 2 − 3i = 2 − 3i = 2 − 3 i 2 + 3i (2 + 3i)(2 − 3i) 4 + 9 13 13
c)
1 = 1+ i = 1+ i = 1 + 1 i 1 − i (1 − i)(1+ i) 1 + 1 2 2
d)
1 = −2−i = − 2 −i = − 2 − 1i 5 5 − 2 + i (−2 + i)(−2 − i) 4 + 1
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4
Pila
15 2
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10.-Halla el valor del parámetro real en cada uno de los siguientes casos: a) Para que (2 + i)(a + i) sea un número real. b) Para que el módulo del cociente (a + 2i) : (1 - i) sea 2. Solución: a) (2 + i)(a + i) = 2a - 1 + (a + 2)i, el resultado es real si su parte imaginaria es nula, por tanto:a + 2 = 0
a = -2
b) Como el módulo de un cociente es el cociente de los módulos, se tiene:
a2+4 12 + (−1) 2
=2⇒
a2+4 = 4 ⇒ a 2 + 4 = 8 ⇒ a 2 = 4 ⇒ a = ±2 2
11.-Dados los números complejos 2 - mi y 3 - ni, halla los valores que deben tomar m y n para que su producto sea el complejo 8 + 4i. Solución: Efectuamos el producto (2 - mi)(3 - ni) = 6 - mn - (2n + 3m)i = 8 + 4i, por tanto:
2 m = −2 → n = 1 n = − m 6 − mn = 8 2 + 4 m− 4 = 0 ⇒ ⇒ ⇒ 3 m 2 2 n + 3 m = −4 2 − 2 + 3 m = −4 m = 3 → n = −3 m Se tienen dos soluciones: 1ª solución m = -2 y n = 1
2ª solución m = 2/3 y n = -3
12.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(2-5i)
b) (1+i)(1-i)
c) (1+3i)(1-3i)
d) (-2-5i)(-2+5i)
Solución: a) (2 + 5i)(2 − 5i) = 22 − 52 i2 = 4 + 25 = 29 b) (1 + i)(1 − i) = 12 − i2 = 1 + 1 = 2 c) (1 + 3i)(1 − 3i) = 12 − 32 i2 = 1 + 9 = 10 d) (−2 − 5 i)(−2 + 5 i) = (−2)2 − 52 i2 = 4 + 25 = 29 13.-Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: a)
3 + 4i
b) 1 − i
c)
−3+i
d)
− 2 − 5i
Solución: Las gráficas de los cuatro complejos, sus opuestos y conjugados, son las de la figura adjunta:
14.- Calcula las siguientes potencias: a)
(3 + 4i )2
b)
(1− i)2
c)
(− 3 + i)2
d)
(− 2 − 5i )2
Solución: a)
(3 + 4 i )2 = 9 + 24 i+ 16 i2 = 9 + 24 i− 16 = − 7 + 2 4i
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5
Pila
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b)
(1 − i)2 = 1 − 2 i+ i2 = 1 − 2 i− 1 = −2i
c)
(− 3 + i)2 = 9 − 6 i+ i2 = 9 − 6 i−1 = 8 − 6i
d)
(− 2 − 5 i )2 = (− (2 + 5 i ))2 = (2 + 5 i )2 = 4 + 20 i+ 25 i 2 = 4 + 20 i− 25 = −21 + 20 i 2
15.- Halla x, con la condición de que (x - 2i) sea imaginario puro. Pon un ejemplo para comprobar el resultado. Solución:
(x − 2i )2
= x 2 − 4xi + 4i 2 = x 2 − 4 − 4xi
Para que el resultado sea un número imaginario puro, su parte real debe ser nula, por tanto: x 2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2 Los dos únicos ejemplos para comprobar se obtienen dando a x esos dos valores, a saber:
Z1 = 2 − 2 i tal que su cuadrado es (Z1 )2 = (2 − 2 i )2 = 4 − 8 i + 4 i 2 = 4 − 8 i − 4 = −8 i que es imaginario puro Z 2 = −2 − 2 i tal que su cuadrado es (Z1 )2 = (− 2 − 2 i )2 = 4 + 8 i + 4 i 2 = 4 + 8 i − 4 = 8 i que es imaginario pur o 16.- Calcula las siguientes operaciones con complejos: a) (1 + i )
2
b)
4+i
(
2+i
c) i 5 + i −12
(1 + i )2
)
3
Solución:
a) (1 + i ) = 1 + 2 i + i = 2 i = 2
2
4+i
b)
4+i
2+i
(1 + i )
2
(
c) i 5 + i −12
=
4+i
2+i 1 + 2 i+ i
2
) = i+ i1 3
12
= 3
2 i⋅ (4 − i) 2 + 8i 2 8 = = + i (4 + i)(4 − i) 16 + 1 17 17
2 + i (2 + i) ⋅ (− i) 1 − 2 i 1 = = = −i 2i (2 i)(− i) 2 2
= (i+ 1)3 = i3 + 3 i 2 + 3 i + 1 = − i− 3 + 3 i+ 1 = −2 + 2 i
17.-Sea Z1 = a + 5i y Z2 = b - 3i , sabiendo que el producto de dichos números complejos es 63 - 16i. calcular los valores enteros de a y b Solución: - Cálculo de Z1 y Z2:
ab+ 15 = 63 Z1⋅ Z2 = 63 − 16 i ⇒ (a + 5 i)(b− 3 i) = 63 − 16 i ⇒ ab+ 15 + i(−3 a + 5 b) = 63 − 16 i ⇒ − 3 a + 5 b = −16 Operando se ve que la única solución entera del sistema es: a = 12 y b = 4 18.- Resuelve la siguiente ecuación: (a + i)(b - 3 i) = 7 - 11i. Solución:
(a + i)(b - 3i) = 7 -11i ⇒ ab + 3 + (b - 3a)i = 7 - 11i Igualando las partes reales e imaginarias de ambos miembros, se tiene el sistema:
a = 4 → b = 1 ab+ 3 = 7 b = 3 a − 11 ⇒ ⇒ 3 a 2 − 11a − 4 = 0 ⇒ 1 b − 3 a = − 11 a(3 a − 11) + 3 = 7 a = − 3 → b = −12 Se tienen dos soluciones: 1ª solución a = 4 y b = 1
IES nº 1 de Ordes
2ª solución a = -1/3 y b = -12
6
Pila
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Operaciones con números complejos en forma polar y trigonométrica Z = −2 + 2 3i
1.- Dado el complejo:
Halla: a) Su cuarta potencia.
b) Sus raíces cuartas.
Solución: Pasamos el complejo Z a forma polar:
ρ=4 Módulo ⇒ Z = 4120º Z = −2 + 2 3 i tiene Argumento α = 120º º
por tanto: a)
Z 4 = (4120º ) = 256 480º = 256120º = −128 + 128 3i 4
b) 4
Z = 4 4120º
( ( ( (
4 =
2.- Dado el complejo
) 2) 2) 2) 4
=
30º
( 2) = ( 2) = ( 2) = ( 2) 30º
30º +90º
120º
120º +90º
210º
210º +90º
300º
Z = −8 3 − 8i halla
5
Z y Z4 .
Solución: Pasamos el complejo Z a forma polar:
-
5
Z = 5 16 210º
( ( ( ( (
5 16 5 16 = 5 16 5 16 5 16
) ) ) ) )
42º
( 16 ) = ( 16 ) = ( 16 ) = ( 16 )
=
42º +72º
114º +72º 186º +72º 258º +72º
Módulo ρ = 16 Z = −8 3 − 8 i tiene ⇒ Z = 16 210º Argumento α = 210º
5
114º
5
186º
5
258º
5
330º
Z 4 = (16 210º ) = 65536 840º = 65536120º = 65536(cos 120º + isen 120º ) = −32768 + 32768 3 i 4
3.- Un complejo que tiene de argumento 80º y módulo 12 es el producto de dos complejos; uno de ellos tiene de módulo 3 y argumento 50º, halla en forma binómica el otro complejo y su quinta potencia. Solución: -
Sea Z el otro complejo, tal que se verifica:
Que expresamos en forma binómica: Quinta potencia de Z:
12 80º = 350º ⋅ Z ⇒ Z =
12 80º 12 = ⇒ Z = 4 30º 350º 3 80º −50º
Z = 4 30º = 4(cos 30º + isen 30º ) = 2 3 + 2 i
Z 5 = (4 30º ) = 1024150º = 1024(cos 150º + isen 150º ) = −512 3 + 512 i 5
4.-Calcula las siguientes raíces: a)
3
− 27
b)
6
729i
c)
4
16(cos180º +isen180º )
Solución: a)
3
− 27 = 27180º 3
IES nº 1 de Ordes
360º = 360º +120º = 3180º = −3 3 180º +120º = 3300º 7
Pila
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b) 6
729 i = 6 729 90º
315º ; 315º +60º = 375º = 3 75º +60º = 3135º ; 3135º +60º = 3195º 3 195º +60º = 3 255º ; 3 255º +60º = 3315º
c) 4 16(cos 180º + isen 180º ) = 4 16180º
2 45º 2 45º +90º = 2135º = 2135º +90º = 2 225º 2 225º +90º = 2 315º
5.- Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes complejos: a)
1+ i
3+i
b)
c)
1 − 3i
Solución:
a)
Módulo ρ = 2 1+ i ⇒ ⇒Z= Argumento α = 45º
( 2)
45º
Módulo ρ = 2 3+i⇒ ⇒ Z = 2 30º Argumento α = 30º
b)
c)
Módulo ρ = 2 1− 3i ⇒ ⇒ Z = 2 300º Argumento α = 300º
Z 2 = 2 90º = 2 i ⇒ Z 3 = 2 2 135º = 2 2 (cos 135º + isen 135º ) = −2 + 2 i 4 2 2 Z = Z ⋅ Z = 2 i⋅ 2 i = −4
Z 2 = 4 60º = 4(cos 60º + isen 60º ) = 2 + 2 3 i ⇒ Z 3 = 8 90º = 8(cos 90º + isen 90º ) = 8 i 4 Z = 16120º = 16(cos 120º + isen 120º ) = −8 + 8 3 i Z 2 = 4 600º = 4 240º = 4(cos 240º + isen 240º ) = −2 − 2 3 i ⇒ Z 3 = 8 900º = 8180º = 8(cos 180º + isen 180º ) = −8 4 Z = 161200º = 16120º = 16(cos 120º + isen 120º ) = −8 + 8 3 i
A = 10 − 10 3i y B = 10 3 + 10i Calcula: A6 ; B4 y
6.- Se consideran los complejos:
A6 . B4
Solución: Pasamos los complejos A y B a forma polar:
ρ = 20 Módulo ρ = 20 Módulo A = 10 − 10 3 i tiene ; B = 10 3 + 10 i tiene Argumento α = 300º Argumento α = 30º -
6 A 6 = (20 300 ) = 201800º = 20 60º = 20 6 (cos 0º + isen 0º ) = 20 6
-
1 3 4 4 B 4 = (20 30º ) = 20120º = 20 4 (cos 120º + isen 120º ) = 20 4 − + i = 20 3 − 10 + 10 3 i 2 2
6
(
(
)
(
)
)
A6 20 6 8000 8000 − 10 − 10 3 i − 80000 1 + 3 i = = = = = −200 − 200 3 i 400 − 10 + 10 3 i − 10 + 10 3 i − 10 − 10 3 i B 4 20 3 − 10 + 10 3 i
) (
(
) (
)(
)
7.- Halla las siguientes raíces cúbicas, expresando los resultados en forma binómica: a)
3
27
b)
3
− 1000
c)
3
−i
Solución: IES nº 1 de Ordes
8
Pila
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a)
3
27 = 3 27 0º
30º = 3 3 3 3 = 30º +120º = 3120º = − + i 2 2 3 3 3 i 3120º+120º = 3 240º = − − 2 2
1060º = 10(cos 60º + isen 60º ) = 5 + 5 3 i
b) 3 − 1000 = 3 1000180º = 1060º +120º = 10180º º = −10
10180º +120º = 10300º = 10(cos 300º + isen 300º ) = 5 − 5 3 i
c)
3
− i = 3 1270º
190º = (cos 90º + isen 90º ) = i 3 1 = 190º +120º = 1210º = (cos 210º + isen 210º ) = − − i 2 2 3 1 − i 1210º +120º = 1330º = (cos 330º + isen 330º ) = 2 2
8.- Calcula las siguientes potencias:
a)
(1 + i )5
b)
(2 + 2 3i)2
c)
(1 + i )20
Solución:
( )
a)
Módulo ρ = 2 5 1 + i tiene ⇒ (1 + i ) = 4 2 Argumento α = 45º
b)
ρ=4 Módulo 2 + 2 3 i tiene ⇒ 2+ 2 3i Argumento α = 60º
c)
(
225º
)
2
= 4 2 (cos 225º + isen 225º ) = −4 − 4 i
= 16120º = 16(cos 120º + isen 120º ) = −8 + 8 3 i
Módulo ρ = 2 1 + i tiene ⇒ (1 + i )20 = 1024 900º = 1024180º = 1024(cos 180º + isen 180º ) = −1024 Argumento α = 45º
9.- Calcula la siguiente raíz:
i i
Solución:
i i =
167º30' 167º30'+90º = 1157º30' i 3 = 4 − i = 4 1270º = 1157º30'+90º = 1247º30' 1 247º30'+90º = 1337º30'
10.- Calcula las siguientes potencias:
(
a) − 2 + 2 3i
)
i 7 − i −7 b) 2i
6
c) 3 3 + 3i 2 2
3
Solución: c) − 2 + 2 3 i tiene
IES nº 1 de Ordes
(
)
6 Módulo ρ = 4 ⇒ − 2 + 2 3 i = (4096)720º = (4096)0º = 4096(cos 0º + isen 0º ) = 4096 Argumento α = 120º
9
Pila
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
i −i 2i 7
d)
−7
1
1 2 i = i = − i + 1 = 2 = −1 2i 2i −2 2i2
i3 − =
3
− i+
3
3 3 3i ρ=3 Módulo 3 3 3i + tiene ⇒ + = (27 )90º = 27(cos 90º + isen 90º ) = 27 i c) 2 2 2 Argumento α = 30º 2
11.- Calcula las siguientes raíces: a)
4
16 i
b) 3
(1− i )3
Solución:
a) 4
16 16 = 4 0º = 4 16 −90º = 4 16 270º i 190º
3
b) Como una de las raíces de: se
3
diferencian
(1 − i )
3
( ) ( ) ( )
en
los
2 315º = 2 315º −120º = 2 195º −120º =
(1 − i )3
2 67º30' 2 67º30'+90º = 2157º30' = 2157º30'+90º = 2 247º30' 2 247º30'+90º = 2 337º30'
= 1− i =
argumentos,
( 2)
que
− 45º
como
=
( 2)
315º
las otras dos raíces tendrán el mismo módulo, y solo
sabemos
están
en
progresión
aritmética,
( 2) ( 2)
195º 75º
12.- Se consideran los complejos:
A = −1 + i y B = 1 + i Calcula: A 30 ; B 20 y
A 30 B 20
Solución: Pasamos los complejos A y B a forma polar:
Módulo ρ = 2 Módulo ρ = 2 A = −1 + i tiene ; B = 1 + i tiene Argumento α = 135º Argumento α = 45º
( 2) = ( 2)
-
A 30 =
30 4050º
-
B 20
20 900º
-
A 30 B
20
=
15 15 = 215 90º = 2 (cos 90º + isen 90º ) = 2 i = 32768 i
10 10 = 210 = −1024 180º = 2 (cos 180º + isen 180º ) = −2
32768 i = −32 i − 1024
Aplicaciones de los números complejos. Raíces de una ecuación algebraica 1.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones: a)
z 4 − 5 + 5i = 0
b)
z 2 − 3z + 4 = 0
Solución:
IES nº 1 de Ordes
10
Pila
se
tiene:
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
a)
z − 5 + 5 i = 0 ⇒ z = 5 − 5 i = 4 (2 5) 315º 4
4
z = 4 2 1 z 2 = 4 2 = z 3 = 4 2 4 z 4 = 2
3 z1 = + 2 b) z 2 − 3 z + 4 = 0 ⇒ z = 3 ± 9 − 16 = 2 z = 3 − 2 2
5 78º45' 5 168º45' 5 258º45' 5 348º45'
7 i 2 7 i 2
2.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a) i y -i
b) 1 + i y 1 - i
Solución: a) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son i y -i es: (x − i)(x + i) = 0 ⇒ x 2 − i 2 = 0 ⇒ x 2 + 1 = 0 b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 + i y 1 - i es:
(x− 1 − i)(x− 1 + i) = 0 ⇒ (x− 1)2 − i 2 = 0 ⇒ x 2 − 2 x + 1 + 1 = 0 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 0 3.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a) 3 + 2i y 3 − 2i
b)
( 2)
45º
y
( 2)
315º
Solución:
a)
La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 3 + 2i y 3 − 2i es:
(x − 3 + 2 i)(x − 3 − 2 i) = 0 ⇒ (x − 3)2 − 4 i 2 = 0 ⇒ x 2 − 6 x + 9 + 4 = 0 ⇒ x 2 − 6 x + 13 = 0
( ) ( )
2 45º = 2 (cos 45º + isen 45º ) = 1 + i 2 315º = 2 (cos 315º + isen 315º ) = 1 − i 2 2 2 es: (x − 1 − i)(x − 1 + i) = 0 ⇒ (x − 1) − i = 0 ⇒ x − 2 x + 1 + 1 = 0 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 0
b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son:
4.- Comprueba que los números complejos 2 + 3i y 2 - 3i verifican la ecuación: Solución: Sean: z 1
x 2 − 4x + 13 = 0
= 2 + 3i y z 2 = 2 − 3i
Calculemos su suma y su producto:
z1 + z 2 = 2 + 3 i + 2 − 3 i = 4
z 1 ⋅ z 2 = (2 + 3 i)(2 − 3 i) = 4 − 9 i 2 = 4 + 9 = 13 Luego, los números complejos z1 y z2 verifican la ecuación propuesta, basta recordar las propiedades de las raíces x1
y x2 de la ecuación de segundo grado
b x1 + x 2 = − a ax 2 + bx + c = 0 : x ⋅ x = c 1 2 a
5.- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los números complejos: a) Z1 = 1 + i y Z2 = 2 + 3i IES nº 1 de Ordes
b) Z1 = 2 y Z2 = 3 - i
Comprueba, en cada caso los resultados obtenidos.
11
Pila
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
Solución: a) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:
Z1 + Z 2 = 3 + 4 i ⇒ la ecuación es : Z 2 − (3 + 4 i) Z− 1 + 5 i = 0 Z ⋅ Z = − 1 + 5 i 1 2 Comprobamos la 1ª raíz: Z2 − (3 + 4 i) Z− 1 + 5 i = (1 + i) 2 − (3 + 4 i)(1 + i) − 1 + 5 i = (2 i) − (−1 + 7 i) − 1 + 5 i = 0 Análogamente se comprueba la 2ª raíz. b) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:
Z1 + Z2 = 5 − i ⇒ la ecuación es : Z2 − (5 − i) Z+ 6 − 2 i = 0 Z ⋅ Z = 6 − 2 i 1 2 Comprobamos la 1ª raíz: Z2 − (5 − i) Z+ 6 − 2 i = 22 − 2(5 − i) + 6 − 2 i = 4 − 10 + 2 i+ 6 − 2 i = 0 Análogamente se comprueba la 2ª raíz. 6.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de la siguiente ecuación z 2 − 2z + 2 = 0 : Solución:
z1 = 1 + i a) z 2 − 2 z + 2 = 0 ⇒ z = 2 ± 4 − 8 = 2 z 2 = 1 − i 7.-Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones: a) x 4 − 81 = 0
b) x 3 + 8 = 0
Solución:
x 1 = 3 x = 3 = 3 i 2 90º 4 4 a) x − 81 = 0 ⇒ x = 81 = x 3 = 3180º = −3 x 4 = 3 270º = −3 i
b)
x + 8 = 0 ⇒ x = − 8 = 3 8180º 3
3
x 1 = 2 60º = 1 + 3 i = x 2 = 2180º = −2 x 3 = 2 300º = 1 − 3 i
8.-Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones: a) x 3 + 4x = 0
b) x 3 − 4x 2 + 6x − 4 = 0
Solución:
x = 0 ⇒ x1 = 0 a) x + 4 x = 0 ⇒ x(x + 4) = 0 ⇒ x 2 = 2 i 2 x + 4 ⇒ x = − 4 ⇒ x = −2 i 3 3
2
b) x 3 − 4 x 2 + 6 x − 4 = 0 aplicando la regla de Ruffini, se tiene:
x 3 − 4 x 2 + 6 x − 4 = 0 ⇒ (x − 2)(x 2 − 2 x + 2) = 0 por tanto
x1 = 2 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 2 2 ± 4 − 8 ⇒ x 2 = 1 + i x − 2 x + 2 = 0 ⇒ x = x = 1 − i 2 3 IES nº 1 de Ordes
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Pila
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
9.- Calcula la suma de las cinco raíces quintas de la unidad, y a continuación calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad. ¿Qué se puede decir de la suma de las n raíces enésimas de la unidad? Solución:
-
6
5
1 = 5 10º
1 = 6 10º
Z = 1 = 1 1 0º Z 2 = 172º = Z 3 = 1144º ⇒ Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 + Z 5 = 0 _ Z 4 = 1216º = Z 3 ya que 216º +144º = 360º _ Z = 1 = Z 288º 2 ya que 288º +72º = 360º 5
Z1 = 10º = 1 Z = 1 60º 2 Z 3 = 1120º = Z 4 = 1180º = −1 ⇒ Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 + Z 5 + Z 6 = 0 _ Z 5 = 1240º = Z 3 ya que 240º +120º = 360º _ Z 5 = 1300º = Z 2 ya que 300º +60º = 360
Se observa que la suma de las n raíces enésimas de la unidad es cero (para n > 1)
10.- Dada la ecuación:
Z 2 − 12Z + 4 = 0 :
a) Halla sus soluciones y expresarlas en forma polar. b) Halla las potencias octavas de esas soluciones. Solución: a)
Z 2 − 12 Z+ 4 = 0 ⇒ Z =
Z = 3 + i 12 ± 12 − 16 2 3 ± 2 i = ⇒ 1 2 2 Z 2 = 3 − i
Que expresamos en forma polar:
Módulo ρ = 3 + 1 = 2 ⇒ Z1 = 2 30º Z1 = 3 + i tiene Argumento α = 30º Módulo ρ = 3 + 1 = 2 Z 2 = 3 − i tiene Argumento α = −30º = 330º ⇒ Z 2 = 2 330º Z18 = (2 30º )8 = 256 240º b) ⇒ Z18 = 256(cos 240º + isen 240º ) = −128 − 128 3 i 8 8 Z 2 = (2 330º ) = 256 2640º = 256120º 11.- Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones: a) x 4 + 4x 2 + 3 = 0
b) x 3 − 2x 2 + 4x − 8 = 0
Solución:
IES nº 1 de Ordes
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Pila
Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS
x 4 + 4 x 2 + 3 = 0 haciendo w = x 2 ⇒ w 2 + 4 w + 3 = 0 ⇒ w =
w = −1 − 4 ± 16 − 12 ⇒ 2 w = −3
x = i w = x 2 = −1 ⇒ x = − 1 ⇒ 1 x 2 = − i x 3 = 3 i w = x 2 = −3 ⇒ x = − 3 ⇒ x 4 = − 3 i b)
x3 − 2 x 2 + 4 x− 8 = 0
Aplicando la regla de Ruffini, se tiene: x − 2 x + 4 x − 8 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 4) = 0 3
2
2
x − 2 = 0 ⇒ x 1 = 2 por tanto: 2 x 2 = 2 i x + 4 = 0 ⇒ x = − 4 ⇒ x = −2 i 3 12.- Expresa en forma polar los módulos y argumentos de las soluciones de la ecuación: Solución: La ecuación es:
Z + i 3(Z − i) = Z−i Z+i
Z+ i 3(Z− i) = Z− i Z+ i
Eliminando los denominadores y operando se tiene:
(Z+ i)2 = 3(Z− i)2 ⇒ Z 2 + 2 iZ− 1 = 3 Z 2 − 6 iZ− 3 Agrupando términos y simplificando, resulta una ecuación de segundo grado:
Z 2 − 4 iZ− 1 = 0 ⇒ Z =
IES nº 1 de Ordes
( (
) )
( (
) )
Z1 = 2 + 3 i ⇒ Z1 = 2 + 3 90º 4 i ± − 16 + 4 4 i ± 2 3 i = ⇒ 2 2 Z 2 = 2 − 3 i ⇒ Z 2 = 2 − 3 90º
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Pila