SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA
PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. -
Hallar la ecuación ecuación de la recta recta que pasa por ( 1, -3 ) y tiene de pendiente m = 2 Sol. Ecuación punto punto pendiente. pendiente. y - y = m ( x - x 1 ) , entonces y + 3 = 2 (x - 1 )
2. -
→
y + 3 = 2x - 2
L: 2x - y - 5 = 0
→
Hallar la la ecuación de la recta que pasa por ( 5, -1 ) que tiene la la misma misma pendiente que la recta determinada por ( 0, 3 ) y ( 2, 0 ) Sol. Ecuación punto pendiente
pendiente
m1 = m2 m1
=
=
m
y - y1 = m ( x - x 1 )
y 2 − y1 x 2 − x1
las rectas son //s.
0−3
m1 = -3/2
2−0
Por lo tanto la la ecuación pedida es: y + 1 = −
3. -
3 2
(x - 5)
→
3+ 1
−2−2
L: 3x + 2y – 13 = 0
→
Hallar la ecuación ecuación de la recta recta que pasa por los puntos m=
( 2, -1 ) y ( -2, 3 ).
⇒ m = -1
y + 1 = -1 ( x - 2 ) y + 1 = -x + 2 L: x + y - 1 = 0 4. -
2 ( y + 1 ) = - 3( x – 5 )
y - 3 = -1 ( x + 2 ) y - 3 = -x - 2 L: x + y - 1 = 0
o
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2/3, 8/3 ) y por el punto de intersección de las rectas 3x - 5y - 11 = 0 y 4x + y - 7 = 0. 3x - 5y = 11 4x + y = 7
Si x=2 se reemplaza en cualquiera de las dos Ecuac. se obtiene y = - 1 luego el punto de ∩ es P ( 2 , - 1 )
*5
3x - 5y = 11 20x + 5y = 35 23x
/
m = - 11/ 4
= 46 x = 2
y + 1 = − 11 ( x - 2 ) 4
→
4( y + 1 ) = - 11 ( x – 2 )
1
→
L: 11x + 4y - 18 = 0
SEMINARIO CONCILIAR LA SERENA
5.-
PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las rectas L1: 2x – y – 1 = 0 y L2: x – y + 7 = 0 con el punto de intersección de las rectas L3: x – 7y – 1 = 0 y L4: 2x – 5y + 1 = 0. Sol. 2x - y = 1 x - y = -7
x - 7y = 1 2x - 5y = -1
/* -1
/ * -2
2x - y = 1 -x + y = 7
-2x + 14y = -2 2x - 5y = -1
x = 8
9y = -3 y = -1/3 x = 1 + 7y x = 1 - 7/3 x = -4/3 ( -4/3, -1/3 )
x + 7 = y 8 + 7 = y y = 15 ( 8, 15) m = 23 14 y - 15 = 23 ( x - 8 ) 14
6.-
→
14 (y - 15 ) = 23 (x - 8 )
→
L: 23x - 14y + 26 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2, -3 ) y es paralela a la recta 2x + y - 7 = 0. Sol. m = -A/B m1 = m2 por ser //s., entonces m = -2/1 m = -2 y + 3 = -2 ( x - 2 ) y + 3 = -2x + 4 L: 2x + y - 1 = 0
7.-
Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y es perpendicular a L1 : 7x - 4y - 1 = 0 Sol. m = -A/B, como son perpendiculares se cumple que m1 * m2 = -1 m1 = 7/4
m2 = - 4/7
y + 3 = -4/7 ( x - 2 )
8.-
→
7 ( y + 3 ) = -4 (x - 2 )
→
L: 4x + 7y + 13 = 0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 2 , - 3 ) y es paralela a la recta L1: 2x + y - 7 = 0 Sol. Si L1 // L2 → m1 = m2 si m1 = - 2 → m2 = -2 y + 3 = - 2( x– 2) L: 2x + y - 1 = 0
2
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9.-
PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.
Hallar un punto sobre la recta L: 2x + 3y - 6 = 0 que equidiste de los puntos ( 4 , 4 ) y ( 6 , 1 ). Sol. Existe un punto (x, y) sobre la recta que está a la misma distancia de los puntos dados, entonces las distancias son iguales. ( x − 4) 2 + ( y − 4) 2 = ( x − 6) 2 + ( y − 1) 2
x2 - 8x + 16 + y 2 - 8y + 16 = x 2 - 12x + 36 + y2 - 2y + 1 -8x - 8y + 32 = -12 x - 2y + 37 -8x + 12x - 8y + 2y = 37 - 32 4x - 6y = 5 La ecuación encontrada y la ecuación dada forman un sistema para encontrar el punto sobre la recta. 2x + 3y = 6 4x - 6y = 5
/*2
3y = 6 - 2x 3y = 6 - 2(17/8) 3y = 48 - 34 8 3y = 14/8 y = 14/24 y = 7/12
4x + 6y = 12 4x - 6y = 5 8x
/ x
= 17 = 17/8 pto.
10. -
⎛ 17 7 ⎞ ⎜ , ⎟ ⎝ 8 12 ⎠
Hallar el ángulo agudo comprendido entre las rectas L1: x - y + 4 = 0
y
L2: 3x - y + 6 = 0. Sol. Debes encontrar la pendiente de cada recta y así aplicar la formula:
tan θ =
tanθ =
tanθ =
θ
m 2 − m1
Y
1 + m1 * m2
L2
3 −1
L1
1 + 1* 3 Θ
1
6
2
4
⎛ 1 ⎞ = arctan⎜ ⎟ = 26º 33 ’ ⎝ 2 ⎠ -4
3
-2
X
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11.-
PROFS: Mª CECILIA PIZARRO C. RICARDO URIBE R.
Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4 ) y P2 (8, -4). Hallar el punto P (x, y) que divide a éste segmento en la razón r = -2. Sol. x + 5 x 2 y + 5 y 2 x = 1 y = 1 1+ 5 1+ 5 x =
2 + − 2*8
y =
1− 2
x = 14
4 + −2 * −4 1− 2
y = -12
Por lo tanto el pto. es (14, -12)
12.-
Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. Sol.
x =
x1 + x2
4=
y =
2 7 + x 2
3=
2
y1 + y 2
2 8 + y 2 2
4 * 2 = 7 + x2
3 * 2 = 8 + y2
x2 = 8 - 7
y2 = 6 - 8
x2 = 1
y2 = -2
Por lo tanto el punto P (x, y) = P (1, -2) 13. -
Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y + 7 = 0 al punto P (1, 4). Sol.
d =
d =
Ax1 + By1 + C A 2 + B 2 x + 2 y + 7
⇒ d =
1+ 4
⇒ d =
1+ 2*4 + 7 1+ 4
− 16 u 5
4
