7 Espaci Espacios os Vector Vectorial iales es
7.1.. 7.1
Alguno Algunos s ejerci ejercicio cios s resuel resueltos tos
on, que si V es un K espacio vectorial, para todo Ejercicio 7.1 Demuestra, a partir de la definici´on, se tiene (−1)v = −v. v ∈ V se ´ Resoluci ´ Resoluci on:
Sea v ∈ V, basta ver que v + (−1)v = O . En efecto, v = 1v y usando la distributiva 1 v + (−1)v = (1 + (−1))v = 0v, y, seg´un visto en clase 0v = O.
Ejercicio 7.2 Consideremos v1 = (1, −1, 2), v2 = (5, −4, −7) y v3 = (−3, 1, 0) ∈ R3 . ¿Para qu´e valores
de h el vector (−4, 3, h) pertenece a < v1 , v2 , v3 >? ´ Resoluci ´ Resoluci on:
Sabemos que (−4, 3, h) ∈< v1 , v2 , v3 > si y solo ´ si es combinacion ´ lineal de v1 , v2 y v3 , esto es, si y s olo ´ si existen escalares a 1 , a2 , a2 ∈ R tales que (−4, 3, h) = a 1(1, −1, 2) + a2 (5, −4, −7) + a3 (−3, 1, 0).
Esto, igualando coordenada a coordenada, nos proporciona el siguiente sistema de ecuaciones: −4 = a1
+5a2 −3a3
3
= −a1 −4a2 +a3
h
= 2a1
−7a2
Ahora, si los vectores columna de la matriz del sistema anterior, (1, −1, 2), (4, −4, −7) y (−3, 1, 0) son linealmente linealmente independie independientes, ntes, sabemos que el sistema tiene soluci´on on unica ´ (para cualquier h ). En (4, −4, 7) + γ (−3, 1, 0) = (0, 0, 0), tenemos efecto, si existen tres escalares α, con α(1, −1, 2) + β (4 α, β , γ con 0 = α
+4β + − 3γ
0 = −α −4β +γ 0 = 2α
+7β
1
´ Cap Itulo 7. Espacios Vectoriales
2 de donde α = β = γ = 0.
Ejercicio 7.3 Denotamos por P n al espacio vectorial formado por todos los polinomios con coeficien-
tes reales de grado menor o igual que n. Sean los polinomios p1 (t) = 1 − t2, p2 (t) = t − t2 y p3 (t) = t 2 . Probar que p 1(t), p2 (t) y p 3 (t) forman una base de P 2 . Calcular las coordenadas de p (t) = 3 + t − 6t2 respecto a dicha base. ´ Resoluci on:
Para probar que el conjunto {1 − t2 , t − t2 , t2 } veamos que se tiene Es un conjunto de vectores linealmente independiente: en efecto, si existen a 1 , a2 , a3 ∈ R con a1 (1 − t2 ) + a 2 (t − t2 ) + a 3 t2 = O se tiene a1 + a 2 t + (a3 − a2 − a1 )t2 = 0 + 0t + ot 2 , luego a1 = a 2 = 0 y a3 = a 1 + a2 = 0.
´ lineal de los Es un conjunto generador; esto es, cualquier polinomio de P 2 es una combinacion vectores del conjunto. En efecto, sea p (t) = α + βt + γt2 ∈ P 2 , entonces, p(t) = αp1 (t) + βp2 (t) + ( γ + β + α) p3 (t).
Para el ejemplo dado, en particular 3 + t − 6t2 = 3 p1 (t) + 1 p2 (t) − 2 p3 (t), esto es, las coordenadas pedidas son (3, 1, −2).
Ejercicio 7.4 Sean U y W dos subespacios de R3 definidos por: U = {(a,b,c) | a = b = c } y W = {(0, b , c) | b, c ∈ R}.
Demostrar que R3 = U ⊕ W.
´ Resoluci on:
Comienzamos demostrando que la intersecci´on de ambos subespacios es el elemento (0, 0, 0); sea (a,b,c) ∈ U ∩ W. De la definici´on de los espacios se deduce a = b = c y a = 0,
luego (a,b,c) = (0, 0, 0). Ahora hemos de demostrar que U + W = R 3 , es decir, que todo vector de R3 es suma de uno de U m´as otro de W. En efecto, sea (a,b,c) ∈ R3 , claramente
(a,b,c) = (a,a,a) + (0, b − a, c − a),
donde (a,a,a) ∈ U y (0, b − a, c − a) ∈ W.
7.2. Ejercicios propuestos
7.2.
3
Ejercicios propuestos
1. Sean a1 , . . . , ar ∈ R n . Considerar el conjunto W ⊆ R n que contiene a todos los vectores b ∈ R n que cumplen b · ai = 0 para i = 1, . . . , r . Demuestra que W es un subespacio vectorial de Rn . 2. Demuestra que los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios vectoriales: a) El conjunto de vectores (x,y,z ) tales que x + y + z = 0. b) El conjunto de vectores (x,y,z ) tales que x = y y 2y = z. c) El conjunto de vectores (x,y,z ) tales que x + y = 3z. 3. Considerar el espacio vectorial F := {f : R+ −→ R | f continua } de funciones continuas definidas para t > 0 . Demostrar que los conjuntos siguientes de vectores son linealmente independientes: a) {t, 1t }, b) {et ,log(t)}, c) {et , e2t }. 4. Sean a, b dos vectores distintos de (0, 0) de R2 , para los que no existe escalar λ ∈ R tal que λa = b. Demostrar que:
i. {a, b} es una base de R2, ii. R2 =< a > ⊕ < b >, iii. si V es un K espacio vectorial, y {v1 , . . . , vn } una base de V , se tiene V =< v1 > ⊕ < v2 > ⊕ · · · ⊕ < vn >. 5. Sea H = {(a − 3b, b − a,a,b) ∈ R4 ; a, b ∈ R}. Comprobar si H es un subespacio vectorial de R4. En caso afirmativo calcular una base de H . Repetir el mismo ejercicio con los conjuntos: a)
H = {(3a + b, 4, a − 5b, 0) ∈ R4 ; a, b ∈ R}.
b)
H = {(a − b, b − c, c − a, b) ∈ R4 ; a,b,c ∈ R}.
c)
H = {(a2 , a − 6b, 0, 2b + a2 ) ∈ R4 ; a, b ∈ R}.
d)
H = {(4a + 3b, 0, a + b + c, c − 2a) ∈ R4 ; a,b,c ∈ R}.
6. Si {u1 , . . . , ur } es una base de un K espacio vectorial U y {v1, . . . , vs } es una base de un K espacio vectorial V , ¿puedes dar una base de U × V ? . Utiliza lo anterior para demostrar que dimK (U × V ) = dim K (U ) + dimK (V ).
7. Sean (a, b) y (c, d) dos vectores en R2 . Demostrar que son linealmente dependientes si y so´ lo si ad − bc = 0
8. Sea V = K 3 y considerar los subespacios W =< (1, 0, 0) > y U =< (1, 1, 0), (0, 1, 1) > . Demostrar que V = U ⊕ W.
´ Cap Itulo 7. Espacios Vectoriales
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9. Sea V = R 3 y considerar los subespacios vectoriales W =< (1 , 2, 1), (1, 3, 2) > y U =< (1 , 1, 0), (3, 8, 5) > . Demostrar que U = W.
10. Sea V un espacio vectorial y u, v ∈ V . Si S ≤ V es un subespacio vectorial tal que u, v ∈ S , probar que < u, v >⊆ S . 11. Sean v1 , . . . , vm ∈ V (V espacio vectorial). Si S =< v1 , . . . , vm >, probar que vi ∈ S , para cualquier i = 1, . . . , m. 12. Si S 1 , S 2 son dos subespacios de un espacio vectorial V , demostrar que S 1 ∩ S 2 es tambi´en un subespacio vectorial. En R2 consideremos S 1 = {(x, 0); x ∈ R} y S 2 = {(0, x); x ∈ R}. Demostrar que S 1, S 2 son subespacios de R2. ¿Es S 1 ∪ S 2 subespacio de R2 ? 13. Sea V un R espacio vectorial u, v,w ∈ V . Demostrar que si {u,v,w} es un conjunto de vectores linealmente independientes, tambie´ n el conjunto {u + v, u − v, u − 2v + w } lo es. 14. En P n determinar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales: a)
S = { p(t) = at 2 ; a ∈ R}.
b)
S = { p(t) = a + t2 ; a ∈ R}.
c)
S = { p(t) = a 0 + a1 t + a2 t2 ; a0 , a1 , a2 ∈ Q}.