UNIVERSIDAD DEL VALLE. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y ESTADISTICA
Curso: Simulación Discreta
PROFESOR: GABRIEL CONDE
Ejercicios tomados de los libros:
Investigación de Operaciones de Hiller y Lieberman. 2001, 7ª edición.
Simulación de Rios e Insúa, Editorial Alfaomega. 2000
Simulación de Ross Sh. Editorial Limusa 1998
Ejercicios para entregar resueltos el 09 de dic/2005: 24, 28, 29, 31, 33,
34, 52, 53.
1) El clima se puede considerar un proceso estocástico, porque evoluciona
de una manera probabilística de un día a otro. Suponga que para cierto
lugar este comportamiento probabilístico satisface la siguiente
descripción:
La probabilidad de lluvia para mañana es 0.6 si hoy llueve. La probabilidad
de un día despejado para mañana es de 0.8 si hoy esta despejado.
a) Genere números aleatorios uniformes con Excel para realizar la
simulación del punto anterior en una hoja de cálculo.
2) Una empresa de entretenimiento abrirá una nueva taquilla donde los
clientes puedan venir a comprar boletas por adelantado para los eventos que
se realizan en el área. Por ahora se esta usando simulación para analizar
si coloca uno o dos dependientes en la taquilla. Al simular el inicio del
día en la taquilla, el primer cliente llega a los 5 minutos después de
abrir y los tiempos entre llegadas para los siguientes 4 clientes son 3, 9,
1 y 4 minutos respectivamente, después de lo cual hay un retraso largo
hasta la llegada del siguiente cliente. Los tiempos de servicio son, en
orden, 8, 6, 2, 4 y 7 minutos.
a) Para un servidor, grafique la evolución del número de clientes en la
taquilla en este período.
b) Use esta gráfica para estimar las medidas usuales de desempeño, L, Lq,
W, Wq y las Pn, para este sistema de colas.
c) Repita a) para la alternativa de dos servidores.
d) Repita b) para la alternativa de dos servidores.
3) Use el método congruencial mixto para generar las siguientes sucesiones
de números aleatorios.
a) Una sucesión de 10 números aleatorios enteros de un dígito, tal que
xn+1 ( (xn+3)(módulo 10) y x0 = 2.
b) Una sucesión de 8 números aleatorios enteros entre 0 y 7, tales que
xn+1 ( (5xn+1)(módulo 8) y x0 = 1.
c) Una sucesión de 5 números aleatorios enteros de dos dígitos, tales que
xn+1 ( (61xn+27)(módulo 100) y x0 = 10.
4) Considerando el problema anterior, suponga ahora que se desea convertir
estos números aleatorios enteros en números con distribución uniforme
(aproximada). Para cada inciso, dé una fórmula para esta conversión que
haga la aproximación tan cercana como sea posible.
5) Use el método congruencial mixto para generar una sucesión de 5 números
aleatorios enteros de dos dígitos, tales que xn+1 ( (41xn+33)(módulo 100) y
x0 = 48.
6) Con el método congruencial mixto genere una sucesión de 3 números
aleatorios enteros de tres dígitos, tales que xn+1 ( (201xn+503)(módulo
100) y x0 = 485.
7) Genere 5 números aleatorios.
a) Para esto use el método congruencial mixto y genere una sucesión de 5
números aleatorios enteros entre 0 y 31, tales que xn+1 (
(13xn+15)(módulo 32) y x0 = 14.
b) Convierta estos números aleatorios enteros en números uniformes de
modo aproximado como sea posible.
8) Se tiene un generador congruencial multiplicativo x0 = 1 y xn+1 ( 7xn
(módulo 13) para n = 0, 1, 2,...
a) Calcule xn para n = 1, 2,..., 12.
b) Con qué frecuencia aparece cada número entre 1 y 12 en la sucesión del
punto anterior?
c) Sin realizar cálculos adicionales, compare x13, x14,..., con x1,
x2,...
9) Aplique el método de la transformación inversa como se indica para
generar tres observaciones de una distribución uniforme entre –10 y 40 con
los siguientes números aleatorios uniformes: 0.0965, 0.5692, 0.6658.
a) Aplique este método mediante una gráfica.
b) Aplique este método en forma algebraica.
c) Escriba la ecuación que usaría en Excel para generar cada observación.
10) Obtenga números aleatorios uniformes, genere 3 observaciones aleatorias
a partir de las siguientes distribuciones de probabilidad.
a) La variable aleatoria X tiene P{X = 0} = ½. Si X ( 0, tiene
distribución uniforme entre –5 y 15.
b) La distribución cuya función de densidad de probabilidad es
c) La distribución geométrica con parámetro p = 1/3
11) Suponga que se necesitan observaciones aleatorias a partir de una
distribución triangular cuya función de densidad de probabilidad es
a) Deduzca una expresión para cada observación aleatoria como función del
número aleatorio uniforme r.
b) Genere 5 observaciones aleatorias para esta distribución con los
siguientes números aleatorios uniformes: 0.0956, 0.6695, 0.7634,
0.8426.
c) Se usó el método de transformación inversa para generar las siguientes
3 observaciones aleatorias para esta distribución: 0.09, 0.64, 0.49.
Identifique los tres números aleatorios uniformes que se usaron.
d) Escriba una ecuación para que Excel para que genere cada observación
aleatoria para esta distribución.
12) Un juego de dados requiere que el jugador lance dos dados una o más
veces hasta que se llegue a una decisión de si pierde o gana. Gana si la
primera tirada suma 7 u 11, o si la primera suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y
sale la misma suma antes de que aparezca una suma de 7. Por el contrario,
pierde si el resultado de la primera tirada suma 2, 3 0 12, o si la primera
suma es 4, 5, 6, 8, 9 o 10 y aparece una suma de 7 antes de que la primera
suma vuelva a salir.
a) Formule un modelo en una hoja de cálculo para simular la tirada de dos
dados. Realice una réplica.
b) Realice 25 réplicas de esta simulación.
c) Analice estas 25 réplicas para determinar el número de veces que el
jugador simulado habría ganado el juego de dados y el número de veces
que lo habría perdido cuando cada jugador comienza con el siguiente
lanzamiento después de que termina el juego anterior. Use esta
información para calcular una estimación preliminar de la probabilidad
de ganar una tirada.
d) Para un número grande de jugadas, la proporción de veces que gana
tiene distribución normal aproximada con media 0.493 y desviación
estándar 0.5. Utilice esta información para calcular el número de
jugadas simuladas requeridas para obtener al menos una probabilidad de
0.95 de que la proporción de veces que gana sea menor que 0.5.
13) Sean r1, r2,..., rn números aleatorios uniformes. Defina xi = -ln ri y
yi = -ln (1 – ri) para i = 1, 2,..., n y z = . Marque las siguientes
afirmaciones como falsas o verdaderas y justifique su respuesta.
a) Los números x1, x2,..., xn y y1, y2,..., yn son observaciones
aleatorias de una distribución exponencial.
b) El promedio de x1, x2,..., xn es igual al promedio de y1, y2,..., yn.
c) z es una observación aleatoria de una distribución Erlang (gama)
14) Considere la variable aleatoria X que tiene una distribución uniforme
(probabilidades iguales) en el conjunto {1, 2,..., 9}. Se quiere generar
una sucesión de observaciones aleatorias xi (i = 1, 2,...) de X. Se han
hecho las siguientes propuestas. Para cada una, analice si se trata de un
método válido y, si no, diga cómo se puede ajustar.
a) Propuesta 1. Generar números aleatorios uniformes ri (i = 1, 2,...) y
establecer xi = n, donde n es un entero que satisface n/8 ( ri < (n +
1)/8.
b) Propuesta 2. Generar números aleatorios uniformes ri (i = 1, 2,...) y
establecer xi igual al entero mayor que es menor o igual a 1+ 8ri.
c) Propuesta 3. Generar xi congruencial mixto xn+1 ( (5 xn + 7)(módulo 8)
con un valor inicial x0 = 4.
15) Una compañía proporciona a sus 3 empleados un seguro de salud en un
plan de grupo. Para cada empleado, la probabilidad de incurrir en gastos
médicos durante el año es 0.9, así, el número de empleados que incurren en
gastos médicos durante el año tiene una distribución binomial con p = 0.9 y
n = 3. Dado que un empleado incurre en gastos médicos durante el año, el
monto total para el año tiene una distribución $100 con probabilidad 0.9, o
$10000 con probabilidad 0.1. La compañía tiene una cláusula de deducible de
$5000 de forma que cada año la aseguradora paga los gastos médicos totales
del grupo que excedan a $5000. Utilice los números aleatorios 0.01 y 0.02,
en ese orden, para generar el número de reclamaciones con base en una
binomial para cada 2 años. Use los números aleatorios uniformes, en el
orden dado, para generar el monto de cada reclamación: 0.80, 0.95, 0.70,
0.96, 0.54, 0.01. Calcule el monto total que paga la aseguradora en 2 años.
16) La fábrica Avery ha tenido problemas de mantenimiento con el tablero de
control de sus procesos de producción. El tablero contiene 4 relevadores
electromecánicos idénticos, causa del problema. Los relevadores fallan con
frecuencia y se apaga el tablero de control (y por lo tanto el proceso de
producción) mientras se hace el reemplazo. La práctica actual es reemplazar
los relevadores sólo cuando fallan; pero se propone el reemplazo de los 4
relevadores cada vez que uno falle para reducir la frecuencia con la que se
apaga el tablero. El objetivo es comparar el costo de las dos alternativas.
Los datos pertinentes son: para cada relevador, el tiempo de operación
antes de fallar tiene distribución uniforme aproximada de 1000 a 2000
horas. El tablero debe apagarse a una hora para reemplazar un relevador y 2
para reemplazar los 4. El costos total asociado es $1000 por hora más $200
por cada nuevo relevador.
Use simulación en una hoja de cálculo para evaluar y comparar el costo de
las dos alternativas. En cada caso, realice 100 iteraciones (donde el final
de cada una coincida con el final del reemplazo) y genere los resultados
disponibles.
17)
a) Genere 10 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de
tal manera que xn+1 = (41xn + 33) mod 100, x0 = 48.
b) Genere 5 números de una variable aleatoria T cuya función de masa esta
dada por la tabla:
"T "1 "2 "3 "
"P(T) "0,437"0,500"0,062"
" "5 "0 "5 "
18)
a) Genere 10 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de
tal manera que xn+1 = (61xn + 27) mod 100, x0 = 10.
Utilice estos 10 números para:
b) obtener 5 números normales con media 2 y varianza 9. Explique su
procedimiento.
c) obtener 5 números de una variable aleatoria cuya función de masa es tal
que p1 = 0.4375, p2 = 0.5000, p3 = 0.0625. Explique su procedimiento.
19)
a) Genere 5 números uniformes utilizando el método congruencial mixto de
tal manera que xn+1 = (13xn + 15) mod 32, x0 = 14.
b) Obtener 5 números normales con media 2 y varianza 16. Explique su
procedimiento.
20) Dé un método para generar números aleatorios con función de densidad.
Genere algunas ejemplos:
21) Se requiere generar números aleatorios con distribución cuya función de
masa de probabilidad es: f(x) = 2x si 0 ( x ( 1. Encuentre una expresión
para las observaciones aleatorias requeridas en función del número
aleatorio uniforme u. Utilice esta fórmula para generar 5 observaciones con
dicha distribución.
22) Dé un método para generar números aleatorios con función de densidad.
Genere algunos ejemplo:
23) Aplique el método de la transformada inversa para generar 10 números
aleatorios con función de distribución acumulada:
24) Se lanzan de manera continua un par de dados legales, hasta que todos
los posibles resultados 2, 3, ...., 12 hayan aparecido al menos una vez.
Desarrolle un estudio de simulación para estimar el número esperado de
lanzamientos necesarios.
25) a) Emplee 100 números aleatorios para explicar la forma de determinar
una aproximación de donde N = 10000. b) obtenga la aproximación. c)
¿Es buena su aproximación?
26) Si Z es una variable aleatoria normal estándar, muestre por simulación
que:
27) Se baraja un conjunto de 100 cartas (numeradas del 1 al 100) y luego se
voltean, una a la vez. Decimos que ocurre un "éxito" si la cara i es la i-
esima carta volteada, i = 1, ...., 100. Escriba un programa de simulación
para estimar la esperanza y la varianza del número total de éxitos. Ejecute
el programa. Compare sus resultados con la respuesta teórica.
28) Para U1, U2, .... variables aleatoria uniformes (0, 1), definimos :
,
es decir N es igual a la cantidad de números aleatorios que deben sumarse
para exceder a 1. a) Estime E[N] generando 100 valores de N. b) Estime E[N]
generando 1000 valores de N. c) Estime E[N] generando 10000 valores de N.
d) ¿Cuál cree que sea el valor de E[N]?
29)
Para terminar su trabajo un obrero debe pasar por k etapas en orden. El
tiempo necesario para concluir la etapa i es una variable aleatoria
exponencial con parámetro (i, i = 1, 2, …, k. Sin embargo después de
concluir la etapa i el obrero pasará a la siguiente etapa con probabilidad
(i , i = 1, 2, …, k-1, es decir el obrero puede dejar de trabajar. Si X
denota la cantidad de tiempo que dedica al trabajo, escriba un algoritmo
para generarla. Implemente su algoritmo en alguna utilidad computacional o
compilador y genere un número adecuado de ejecuciones de tal manera que
podamos estimar la media de X con una diferencia no mayor de un 2% de su
verdadero valor y con una certeza del 95%.
30) Use simulación para calcular la probabilidad de que un estudiante gane
un examen de 10 preguntas de opción múltiple cada una con 5 opciones, si
cada pregunta es contestada completamente al azar. Ejecute un número
razonable de iteraciones de sus algoritmos de acuerdo a sus condiciones de
cálculo, escriba todos sus resultados. Explique sus procedimientos.
31) Ross, pag 108, # 14, Tema = colas o líneas
Ciertos mensajes llegan a una instalación de comunicaciones de acuerdo a un
proceso Poisson con una tasa de 2 por hora. La instalación consta de tres
canales, cada mensaje llega a un canal libre si alguno de los tres están
libres, o se pierde si todos los canales están ocupados. El tiempo que los
mensajes permanecen en los canales es una variable aleatoria que depende de
las condiciones meteorológicas al momento de llegada. Específicamente, si
el mensaje llega cuando las condiciones son "buenas" entonces su tiempo de
procesamiento es una variable aleatoria con función de distribución:
f(x) = x, si 0 < x < 1
mientras que si las condiciones son "malas" su tiempo de procesamiento
tiene una función de distribución:
f(x) = x3 si 0 < x < 1
Al principio las condiciones son buenas y alternan en períodos buenos y
malos, los buenos tienen una duración fija de 2 horas y los malos de 1
hora.
Estamos interesados en la distribución del número de mensajes perdidos
hasta el instante T = 100.
a) Defina los eventos, las variables y las condiciones de estimación para
obtener, por simulación las características de la distribución del número
de mensajes perdidos.
b) Ejecute su simulación para estimar el número promedio de mensajes
perdidos en las primeras 100 horas de operación.
32) Se X una variable aleatoria con función de masa . Sea
a) Demuestre que p1 = (1 y que pn = (1 - (1)(1 - (2)....(1 - (n-1)(n
b) Las cantidades (n, n ( 1, son las tasas discretas de riesgo, pues si
pensamos en X como el tiempo de vida de algún artículo, entonces (n
representa la probabilidad de que alguno que haya alcanzado la edad n muera
durante ese período. El siguiente método para simular variables aleatorias
discretas, llamado método de la tasa discreta de riesgo, genera una
sucesión de números aleatorios y termina cuando el n-esimo número aleatorio
es menor que (n. El algoritmo se puede escribir como sigue:
paso 1: X = 1
paso 2: Generar un número aleatorio U.
paso 3: Si U < (X, terminar.
paso 4: X = X + 1
paso 5: ir la paso 2.
Si X es una variable aleatoria con densidad definida por la siguiente
tabla:
"x "1 "2 "3 "4 "
"P[X = "0,4 "0,1 "0,2 "0,3 "
"x] " " " " "
muestre que el valor de x al terminar este proceso tiene la función de masa
deseada.
33) La venta de dos tipos de productos (A y B) en el mercado se puede
considerar un fenómeno aleatorio, porque evoluciona de una manera
probabilística de un día a otro. Suponga que para cierto mercado este
comportamiento satisface la siguiente descripción:
En un día determinado la venta de uno de los productos excluye la venta
del otro.
La probabilidad de que se venda el producto A mañana es de 0.6 si hoy se
vendió dicho producto A.
La probabilidad de que se venda el producto B mañana es de 0.8 si hoy se
vendió dicho producto B.
Simule el comportamiento de las ventas de A y B durante 10 días, a partir
de hoy y sabiendo que ayer se vendió el producto A.
Escriba todos sus resultados. Explique sus procedimientos.
34) Ríos Insúa, pag 174, # 7. Tema = simulación y optimización
En una fabrica se dispone de n máquinas {M1, …, Mn} que pueden realizar n
tareas {T1,…, Tn} distintas, ciJ es el costo asociado de asignar a la
máquina Mi la tarea TJ . Aplicar búsqueda aleatoria pura para encontrar la
asignación de coste mínimo. Utilice la siguiente matriz de costes:
" "T1 "T2 "T3 "T4 "T5 "T6 "
"M1 "4 "8 "12 "3 "5 "7 "
"M2 "9 "1 "6 "4 "3 "8 "
"M3 "14 "3 "6 "8 "5 "4 "
"M4 "6 "5 "7 "9 "11 "4 "
"M5 "4 "6 "8 "2 "5 "6 "
"M6 "3 "5 "9 "8 "10 "4 "
35) Utilice la simulación para aproximar COV(U, eU) donde U es uniforme en
(0; 1). Compare su resultado con la respuesta exacta.
36) Un uso de la simulación es explorar la influencia de ciertos
parámetros sobre el comportamiento de un modelo. Aquí hacemos experimentos
con un caso particular del modelo dinámico lineal, que se utiliza en
predicción (por ejemplo), del comportamiento de la bolsa, de las entradas
de aguas en un embalse) y control (de aviones, de robots). El modelo
define el comportamiento dinámico de una variable observable yt. viene
definido por una ecuación de observación
con vt con distribución normal de media 0 y varianza v; y una ecuación de
sistema
con wt con distribución normal de media 0 y varianza w. Todos los ruidos
wt y vt son independientes. Simular de este sistema, cuando y0 = 0,
durante 500 períodos. Representar las series temporales (xt, yt) cuado v =
1 y
a) w = 1
b) w = 10
sugerir alguna propiedad de la evolución del sistema en función del
cociente w/v
37) Un sistema de computación esta servido por cinco impresoras. En
promedio, resulta necesario imprimir 30.3 trabajos por hora y cada
impresora es capaz de imprimir 7.4 trabajos por hora. Los tiempos entre
llegadas de los trabajos, así como los tiempos de servicio de las
impresoras, se distribuyen exponencialmente, se desea:
(a) simular el sistema de impresión y determinar cual seria el numero
adecuado de
impresoras para tener un servicio razonable.
(b) estudiar el efecto de reemplazar en el sistema una de las
impresoras actuales por otra mas rápida, que es capaz de imprimir en
promedio 9.2 trabajos a la hora
38) Consideremos un sistema de colas G/G/1 bajo disciplina FIFO,
correspondiente a la ventanilla de caja de una oficina bancaria. Se
pretende simular este sistema para determinar las cantidades: tiempo
promedio que un cliente esta en el sistema y tiempo promedio T desde que el
ultimo cliente dejo el sistema.
(a) describir la simulación y escribir un programa que genere las
salidas indicadas.
(b) considerar el caso particular en el que la función de densidad de
los tiempo entre llegadas de los clientes es exp (10) y la función de
densidad de los tiempo de servicio es (r entero).
(c) si para el modelo anterior se desea obtener información sobre el
tiempo que esta ociosos el servidor, explicar como se podría llevar a
cabo.
(d) si ahora se supone que hay dos servidores, ambos con la misma
distribución de servicio G, y cuando llega un nuevo cliente al
sistema, este puede ser servido por cualquiera de ellos, construir el
diagrama de flujo correspondiente a la simulación de este nuevo
modelo.
39) un sistema recibe sacudidas que le producen un deterioro y que ocurren
de acuerdo con una distribución de Poisson con tasa una por hora. Esos
deterioros se suponen variables aleatorias independientes (que también son
independientes de los instantes en que se producen las sacudidas) con
función de densidad común , x > 0. los deterioros desaparecen con el
tiempo con tasa exponencial , es decir, una sacudida que produce un
deterioro inicial x mantendrá un deterioro con valor en el instante t
después de haber ocurrido la sacudida. Se supone, además, que los
deterioros son aditivos, es decir, que si hasta un instante s ha habido dos
sacudidas, una en t1 y la otra t2, con deterioros iniciales x1 y x2
respectivamente, entonces el deterioro total en s es . El fallo en el
sistema se produce cuando el deterioro total excede algún valor fijo M
suponiendo que el interés del estudio de simulación se refiere a la
estimación del tiempo medio hasta el fallo, se pide:
(a) definir las componentes y variables en este modelo, y construir un
diagrama de influencia.
(b) Usar Excel Implementar un programa que genere k pasadas.
(c) asignando los valores y M = 6, con k = 1000, utilizar la
salida para estimar el tiempo medio hasta que el sistema falla.
d) Determinar unas condiciones de precisión y confianza y ejecutar un
número k de pasadas de acuerdo a tales condiciones.
40) Un sistema necesita n máquinas trabajando para que sea operativo. Si
alguna máquina se estropea hay disponibles máquinas de repuesto, de modo
que cuando una falla se sustituye inmediatamente. La máquina estropeada se
envía para su reparación a un taller donde trabaja un único operario que
arregla las máquina de una en una. Una vez que una máquina queda reparada,
sirve como repuesto del sistema. Se supone que los tiempos de reparación
son variables aleatorias i.i.d. con función de distribución G. Además, la
duración de una máquina es una variable aleatoria independiente del pasado,
con función de distribución F. Se dice que el sistema estropea cuando
falla una maquina y no existe otra de repuesto. Si inicialmente hay n + s
maquinas de las cuales n están en funcionamiento en el sistema y s como
repuesto, se desea
(a) mediante simulación del sistema, indicar como aproximar E(t),
donde T es el instante en que el sistema se estropea. Dibujar el
diagrama de flujo que permita la simulación anterior.
(b) estimar E(T) en el caso particular de n = 5, s = 3, F(x) = 1 -
y G(x) = 1 - .
41) El siguiente modelo sencillo de Reed Y Frost describe una epidemia, la
enfermedad se propaga solo a partir de individuos infectados (casos) a
otros (susceptibles) que no sean inmunes , por medio de un contacto
adecuado. Los individuos se inmunizan tras tener la enfermedad. Al
comienzo de la epidemia, hay una población p0 con c0 casos y s0 = p0 – c0
susceptibles para cualquier otro individuo en cada instante. Una vez
adquirida la enfermedad, se tiene durante un periodo después del cual se
permanece inmune. El tamaño de la epidemia es el numero de casos en cada
periodo. Se pide:
(a) construir un programa que permita la simulación de este modelo.
(b) explorar el impacto de los parámetros del modelo.
(c) discutir como puede hacerse más realista el modelo.
42) Sea U uniforme en (0, 1). Utilice simulación para aproximar lo
siguiente:
(a)
(b) .
43) Considere los eventos A1,......, An donde los A1, i = 1,....,n
consisten en los siguientes ni resultados: A1 = {ai,1, ai,2,.......ai,ni
}. Suponga que para cualquier resultado dado a, se conoce P{a}, la
probabilidad de que el experimento produzca el resultado a. Explique la
forma de utilizar los resultados del ejercicio 8 para estimar, la
probabilidad de que al menos uno de los eventos Ai ocurra. Observe que no
suponemos que los eventos Ai, i = 1,.......n sean mutuamente excluyentes.
44) Sea X una variable aleatoria exponencial con media 1. Dé un algoritmo
eficiente para
simular una variable aleatoria cuya distribución es la distribución
condicional de X, dado
que X <0.05. (Encuentre primero la función de densidad condicional)
Genere 1000 de tales variables y utilícelas para estimar E[X 1 X < 0.05].
Luego, determine el valor exacto de E[X Ix < 0.05].
45) (El método de composición) Suponga que es relativamente fácil generar
variables
aleatorias a partir de las distribuciones F1, i = 1, . . . , n. ¿Cómo
podríamos generar una
variable aleatoria con la función de distribución.
F(x) =
donde pi, i = 1,....,n son números no negativos cuya suma es 1?
47) Utilice los resultados del problema 45 para dar algoritmos que generen
variables aleatorias a partir de las siguientes distribuciones.
(a)
(b)
(c)
48) De un método para generar una variable aleatoria con función de
distribución
Sugerencia: Piense en términos del método de composición del problema 45.
En particular, sea F la función de distribución de X y suponga que la
distribución condicional de X dado que Y = y es
P{XxIY = y} = xy,
49) Los autobuses llegan a un encuentro deportivo de acuerdo con un proceso
Poisson a
razón de cinco por hora. Con la misma probabilidad, cada autobús
puede transportar 20,
21, . . . , 40 aficionados y el número de autobuses distintos es
independiente. Escriba un
algoritmo para simular la llegada de aficionados al encuentro en el
instante t = 1.
50) Suponga que los trabajos llegan a un sistema de línea de espera con un
servidor de acuerdo con un proceso Poisson no homogéneo. cuya razón inicial
es 4 por hora y que crece con una velocidad constante hasta llegar a 19 por
hora después de 5 horas, para luego descender en proporción constante hasta
4 por hora, después de otras 5 horas. La razón comienza a repetirse de esta
manera; es decir, Suponga que la distribución del servicio es
exponencial con razón de 25 por hora. Suponga además que siempre que el
servidor concluya un servicio y no encuentre trabajos esperando. entra en
un receso que se distribuye de manera uniforme en (0, 0.3). Si al regresar
de este receso no hay trabajos esperando. entonces toma otro receso.
Utilice la simulación para estimar la cantidad esperada de tiempo que el
servidor estará en receso durante las primeras 100 horas de operación.
Realice 500 ejecuciones de simulación. Determinar unas condiciones de
precisión y confianza y ejecutar un número k de pasadas de acuerdo a tales
condiciones.
51) Considere un modelo de línea de espera con un servidor, en el cual los
clientes
llegan de acuerdo con un proceso Poisson no homogéneo. Al llegar, entran
a servicio si el servidor está desocupado o bien se forman en una fila.
Sin embargo, suponga que cada cliente sólo puede permanecer formado una
cantidad aleatoria de tiempo. con una distribución F, antes de salir del
sistema. Sea G la distribución del servicio. Defina las variables y los
eventos para analizar este modelo y dé los procedimientos de
actualización. Suponga que estamos interesados en estimar el número
promedio de clientes perdidos hasta el instante T; un cliente se
considera perdido si se va antes de recibir servicio. Considere valores
y condiciones específicas para ejecutar la simulación.
52) En el modelo de sistema de línea de espera con dos servidores en
paralelo (ver sección 6.4 del libro de simulación de S. M. Ross), suponga
que G1 es la distribución exponencial con razón 4 y que G2 es exponencial
con razón 3. Suponga que las llegadas constituyen un proceso Poisson con
razón 6. Escriba un programa de simulación para generar datos
correspondientes a las primeras 1000 llegadas. Empléelo para estimar:
(a) el tiempo promedio de estos clientes dentro del sistema
(b) la proporción de servicios realizados por el servidor 1.
(c) Realice otra simulación de las primeras 1000 llegadas y
utilícela para responder
las partes (a) y (b). Compare sus respuestas con las ya
obtenidas.
(d) Determinar unas condiciones de precisión y confianza y ejecutar
un número k de pasadas de acuerdo a tales condiciones.
53) Un sistema experimenta un choque que ocurre de acuerdo con un proceso
Poisson, a
razón de uno por hora. Cada choque causa cierto daño. Suponemos
que estos daños son variables aleatorias independientes (que además son
independientes de los instantes en
que ocurren), con la función de densidad común
f(x)=x x > O
Los daños se disipan con el tiempo a una razón exponencial (; es decir,
un choque cuyo daño inicial es x tendrá un valor de daño restante
igual a x en el instante s después de haber ocurrido. Además, los
valores de daño son acumulativos (así, por ejemplo, si hasta el instante
t ha habido un total dedos choques, originados en los instantes t1 y r2
con daños iniciales x1 y x2, entonces el daño total] en el instante t es
.El sistema falla cuando el daño total excede cierta constante fija
C.
(a) Suponga que estamos interesados en realizar un estudio de
simulación para estimar el tiempo promedio de falla del sistema. Defina
los "eventos" y las "variables" del modelo y trace un diagrama de flujo
indicando la forma de ejecutar la simulación.
(b) Escriba un programa. que genere k ejecuciones.
(c) Verifique su programa comparando la salida con un cálculo a
mano.
(d) Si ( = 0.5, C = 5 y k 100, ejecute su programa y use las
salidas para estimar el tiempo esperado hasta que falle el sistema.
54) Utilice la simulación para aproximar
55) Utilice la simulación para resolver el siguiente problema de
programación lineal:
Ver Lieberman