Ejercicios Sistemas de Ecuaciones

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

METODOS NUMERICOS NRC: 1155

DEBER DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

AT X L E

STEPHANIE ESPÍN ARROBA CHRISTIAN OLVERA

Ingeniero: JOSE LUIS MARCILLO PARRA

 .. 

1.   Supongamos que la matriz aumentada A.b   para el sistema Ax = b con A ∈ R3

x3

y b ∈ R3 es:

  

... 1 1 −2 3 ... 6 2 6 k . 3 k − 3 .. 0 −1

  

Defina para qué valores de k el sistema: a) es incompatible. Un sistema incompatible se refiere a un sistema que no tenga solución por inconcordancia de datos en las ecuaciones del sitema. Esto ocurre cuando  k = −4 por que si multiplicamos por 2 a la primera ecuación se obtendría: 2x − 4y  + 6 z  = 2 y comparando con la segunda ecuación 2x − 4y  + 6 z  = 6 Deberiá dar la misma respuesta, pero no es así por lo tanto cuando  k  = 4 el sistema es incompatible. b) tiene infinitas soluciones. Indique la forma general de las soluciones. Cuando k = 0. Resolviendo el sistema:

  

. 1 −2 3 .. 1 . 2 0 6 .. 6 . 3 −3 .. 0 −1

   =   

Por lo tanto y = 1 y x  = 3(1 − z )

. 1 0 3 .. 3 . 1 0 3 .. 1 . −1 3 −3 .. 0

→  Infinitas

c) tiene solución única. Para k   ∈  − −4, 0

2.   Considere la matriz

1

. 0 3 .. 3 . 3 0 .. 3 . 0 2 0 .. 2

   =  1  0

Soluciones

  

3.   Encuentre, si existe, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación Gaussiana. Describa el sistema en función de la solución encontrada. (a y b: gauss simple) c: gauss parcial d: gauss total

 4x x  + x  = 8 a  =  2xx + +25xx + +42xx ==113 −

1

2

1

2

1

Resolviendo el sistema: . 1 .. −1 . −11 −3 .. . 0 −9 −15 ..

  4 0

3

3

2

3

. 1 .. 8 −1 . −11 −3 .. 2 . 0 3 5 .. 12

   =  4  0

8 2 −36

. 1 .. 8 −1 . 2 −11 −3 .. . 0 0 46 .. 138

   =  4  0

  

= 3 y reemplazando este valor en las otras dos ecuaciones Por lo tanto: x3 = 138 46 tenemos: x2 = −1 y x1 = 1

 x  + x  + 3 x  = 4  2x  + x x  + x = 1 b  =  3x x x  + 2 x  = 3 1

2

1

1

2

−

2

4

−

−

3

4

3

−x1  + 2 x2  + 3 x3 − x4

Resolviendo el sistema:

   

. 1 1 0 3 .. . 2 1 −1 1 .. . 3 −1 −1 2 .. . 2 3 −1 .. −1

  4   1   0 1   =  3     0

1 1 5 4 1 7

4

0 3 3 2

=4

... 4 ... 7 ... 15 ... 8

1 0 3

−

−

4

    1  =  0   0

1 1 0

0 0

. 0 3 .. 4 . 1 5 .. 7 . 3 13 .. 13 . 0 13 .. 13

   

= 1  y reemplazando este valor en las otras tres ecuaciones Por lo tanto: x4 = 13 13 tenemos: x3 = 0, x2 = 2 y x1  = −1

 x  + x  + x  = 4 c  =  2xx  + + x2 x + +2x x  = = 66 1

2

1

1

Resolviendo el sistema: . 1 1 .. 4 . 2 1 .. 6 . 1 1 2 .. 6

  1 2

3

2

2

. 2 1 .. 6 . 1 2 .. 6 . 1 1 1 .. 4

   =  2  1

2

3

3

. 2 1 .. . 0 −3 .. . 0 0 −1 ..

   =  2  0

 6   6  

−

−2

−2 = 2 y reemplazando este valor en las otras dos ecuaciones Por lo tanto: x3 = − 1 tenemos: x1 +  x2 = 2 →  Infinitas Soluciones

 x  + x  + x  = 4 d  =  2xx  + + x2 x + +2 x x  = = 64 1

2

1

1

Resolviendo el sistema: . 1 1 .. 4 . 2 1 .. 4 . 1 1 2 .. 6

  1 2

3

2

2

. 2 1 .. 4 . 1 2 .. 6 . 1 1 1 .. 4

   =  2  1

3

3

. 2 1 .. . 0 −3 .. . 0 0 −1 ..

   =  2  0

 4   8  

−

−4

−4 = 4, x3  no puede tener 2 valores diferentes a la vez, Por lo tanto: x3  = 83 y x3 = − 1 por lo tanto, el sistema es incompatible.

4.  Dado resuelva por el método de Gauss Seidel hasta que el |Ea|<1 %

5.   Resuelva la siguiente aplicación por el método de Gauss Jordan

Para obtener los valores de las corrientes i1 , i2 e i3 . Utilizando a ley de las corrientes (Nodos) y de voltajes (Mallas) de Kirchhoff, se plantean las siguientes ecuaciones: Nodo A: i1  =  i 2 +  i3

(1)

i1 − i2 +  i3 = 2

(2)

15i2 − 5i3 = 16

(3)

Malla 1: Malla 2:

3

Utilizando el métodod de Gauss, se resuelve el sistema . −1 −1 .. 0 . 15 −5 .. 16 . 1 −1 1 .. 2

  1 0

. 0 −1 −1 .. . 15 −5 .. 16 . 0 0 −2 .. −2

   =  1  0

  

Por lo tanto: i3 = 1 [A] y reemplazando este valor en las otras dos ecuaciones tenemos: i2 = 1,4 [A] e i1 = 2,4 [A]

4