Transformada de Laplace L aplace Si lo sé, muchos resúmenes últimamente. Esto de la toma me tiene aburrido y para su beneficio eso implica más resúmenes! xD Así que no perdamos más tiempo en esta introducción y vamos por lo que importa. En este resumen veremos solo ejercicios resueltos, pues la teoría la cubrí en el otro resumen. Brian Keith N.
Ejercicio 1. Nivel de malignidad: 5/5 (Sí, empezamos con uno feo) Resuelva la siguiente integral impropia:
∫ 6∫ 7 8∫ 9 *+ *+ *+| , - , , - ∫ 6∫ 7
Ok, so… Para hacer esto debemos tomar eso como una transformada de Laplace.
Transformada de una integral.
Derivada de una transformada.
Primer teorema de traslación.
Formula.
Aplicamos la traslación.
Derivamos.
Ahora reemplazamos el S por 5.
Finalmente nuestra respuesta queda…
8 9 9 8 } { 9 8 9 8 } { Ejercicio 2. Nivel de malignidad: 4/5 (Más que feo es largo)
Separar.
Simplificar.
Aplicar primer teorema de traslación.
Separar…
Aplicar formulas…
Fracciones parciales es la forma más simple aparentemente cuando hay traslación de por medio.
{ } 8 9 3 2 } { { } } { Reemplazando las fracciones parciales y f actorizando…
Aplicando formulas…
Ordenando bonito…
La respuesta sería…
Ejercicio 3. Nivel de malignidad: 1/5 (Tsss…)
Primer teorema de traslación…
Separando…
Aplicando formulas la respuesta queda…
2 ./3 { 0 ./1} ./ { } 2 ./3 {} { []} . / { } {} { } { [ ]} . / { } {}
Ejercicio 4. Nivel de malignidad: 2/5 (Todos estos se hacen igual, so it’s easy)
Derivada de la transformada…
Derivando.
Ordenando bonito y después aplicando las formula…
Ejercicio 5. Nivel de malignidad: 2/5 (Again…)
Derivada de la transformada…
Derivando…
Ordenando bonito y después aplicando la formula el resultado nos queda…
Ejercicio 6. Nivel de malignidad: 2/5 (Si los repito harto es porque son clásicos en las pruebas)
Derivada de la transformada…
Derivando…
Ordenando bonito y después aplicando la formula el resultado nos queda…
84 59 * + { , -} { } 84 59 2 3 2 3 ././ 2 3 { } { } { }
Ejercicio 7. Nivel de malignidad: 2/5 (Misma idea distinta función)
Separando el logaritmo…
Derivada de la transformada…
Derivando…
Aplicando formulas y ordenando el resultado nos queda…
Ejercicio 8. Nivel de malignidad: 2/5 (Este es simple)
Aplicando el segundo teorema de traslación.
Aplicando formulas…
Efectuando la traslación…
Identidades trigonométricas…
Nuestra respuesta queda…
Ejercicio 9. Nivel de malignidad: 2/5 (Sigue siendo fácil…)
Segundo teorema de traslación…
Primer teorema de traslación…
Efectuando la traslación y ordenando un poco el resultado nos queda…
Podríamos aplicar identidades pero al final sería más feo.
8∫ 9 97 68∫
Ejercicio 10. Nivel de malignidad: 3/5 (Ok, este es un poco más feo, pero ni tanto)
Derivada de la transformada…
[ *+] [] [ ] 8 ∫ 9 8∫ 9 *+ [ *+] [ *+] [ [ ]] 6 7 [ ] Transformada de una integral…
Aplicando formula…
Ordenando…
Derivando…
Factorizando…
Ejercicio 11. Nivel de malignidad: 5/5 (Finalmente, algo entretenido!)
Primer teorema de traslación…
Transformada de una integral…
Derivada de una transformada…
Primer teorema de traslación…
Formula…
Derivando…
Aplicando la traslación interna…
[ ] 8 ∫ 9 Aplicando la traslación externa…
Ordenando bonito.
El resultado nos queda…
Ese ejercicio estaba más o menos maligno, muchas traslaciones confusas, un error de p aréntesis y morimos, así que cuidado.
{ } 9 8 8 9 { } { } 4 5 } { { } { } { } { }
Ejercicio 12. Nivel de malignidad: 2/5 (Algo fácil para relajarse)
Fracciones parciales modo Elva.
Separando…
Simplificando…
Formulas y la respuesta nos queda…
Ejercicio 13. Nivel de malignidad: 3/5 (Este es uno más o menos…)
Ordenamos bonito
Nos damos cuenta que…
Luego por derivada de una transformada…
Primer teorema de traslación y formula nos queda que el resultado es…
En estos ejercicios tengan cuidado, porque un error común es p artir por t en vez de multiplicar, como aquí nos dieron la derivada multiplicamos, cuando hay que derivar dividimos. (Como en el ejercicio con logaritmo natural)
Ejercicio 14. Nivel de malignidad: 1/5 (Da miedo cuando te lo muestran, pero es muy fácil) Sabiendo que:
{} ./ {} {} ./ Calcular:
Muy simple, aplicamos primer teorema de traslación a la formula anterior…
Ejercicio 15. Nivel de malignidad: Demostración. (Enough said) Demostrar que :
* + } { { } * + * + ∫ * + ∫ ∫ ∫ Apliquemos Laplace a la ecuación al lado izquierdo… Por convolución y por formula allá…
Ahora aplicamos la inversa a eso…
Por formula de inversa…
Ordenando…
Ejercicio 16. Nivel de malignidad: 4/5 (Odio estos ejercicios, son tan pajeros) Sea de periodo b hallar Aplicamos la formula…
Ahh, que paja integrar por partes… xD
Evaluamos en 0 y b.
∫ ∫ * + 6 7 * + 6 7 * + 6 7 * + 6 7 Volviendo a la formula…
Multiplicamos y ordenamos un poco…
Simplificar!
Finalmente ordenamos un poco y factorizamos…
Ahí está nuestro resultado…
{ + * * + ∫ * + ∫ , * + ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) * + * + * +
Ejercicio 17. Nivel de malignidad: 5/5 (Si no te sabes la fórmula que doy aquí morirás!)
Periódica de periodo
, hallar
se anula… Separamos la integral y el intervalo Y nos queda recurrencia, puta recurrencia!
Fórmulas de memoria muy útiles:
Usamos las formulas adecuadamente y obtenemos el siguiente resultado…
Reemplazamos en la formula y arreglamos para que quede bonito.
Ejercicio 18. Nivel de malignidad: 3/5 (Es bastante simple si ves cómo usar lo que te dan) Sabiendo que:
∫ ∫ ∫ 45 ∫ 45∫* + ∫ 4 5∫ ∫ 4 5 ∫ 4 5./ 8 9 8 9 2 3 | ( ) 8 9 ( ) Resolver:
Reordenamos y aplicamos la fórmula que tenemos…
Ejercicio 19. Nivel de malignidad: 3/5 (Da miedo su apariencia pero es simple)
Separar las sumas…
Aplicar formula a lo primero y a lo segundo el segundo teorema de traslación.
Aplicamos formula…
Efectuamos la traslación…
Finalmente la respuesta nos queda…
Bueno, un último ejercicio para terminar con esta pequeña guía. El monstruo final de este pequeño juego Laplaciano!
Ejercicio 20 y final! Nivel de malignidad: Demostración maligna. Usando la definición del producto convolutivo, demostrar las siguientes propiedades de este producto: a) Propiedad Conmutativa b) Propiedad Distributiva c) Propiedad Asociativa
∫
Definición del producto convolutivo:
El jefe final tiene 3 fases … Empecemos con la conmutatividad. Queremos llegar a
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,- ∫, - ∫, ∫, Probemos con la definición…
Hagamos una sustitución simple…
Reemplazando…
Dando vuelta los límites de integración y ordenando un poco…
Notar que…
Entonces por transitividad…
Y así queda demostrado que el producto convolutivo es conmutativo. Vamos ahora por la distributividad… Queremos llegar a…
Y así queda demostrado que el producto convolutivo es distributivo. So far, so good. Pero falta la tercera… La tercera y más maligna de las tres propiedades …
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vamos por asociatividad …
Apliquemos la segunda convolución.
Ahora ordenamos esas integrales dobles …
Revertimos el orden de integración…
Sustitución simple…
(Pero con el juego de los signos y los límites, los límites no cambian)
Resulta que…
Resulta que esa traslación que hay en f es necesaria para poder hacer la segunda convolución. La primera convolución traslada cierta cantidad de unidades, la segunda traslada la función aún más, por eso es que hay tantas cosas dentro del paréntesis de la f, o algo así, no estoy muy seguro como funciona, es maligno, MALIGNO!. Por lo tanto hemos llegado al resultado que n ecesitábamos…
Fin. Ahora bien, no estoy seguro si la última demostración está buena, era muy maligna, dudo que algo así salga en la prueba, pero nunca está demás saber cómo se hacen las cosas. xD En fin, con espero le saquen provecho a estos 20 ejercicios. Adiós. :D Brian Keith N.
