Problemas
a)
1145
19.
Respecto a marcos de referencia, ¿cómo difiere la relatividad general de la relatividad especial?
20.
Dos relojes idénticos están en la misma casa, uno en una recámara en el segundo piso, y el otro en la planta baja en la cocina. ¿Cuál reloj funciona más despacio? Explique.
5.
¿Con qué rapidez se mueve un reloj si se observa funcionando a un ritmo que es la mitad del ritmo de un reloj en reposo respecto a un observador?
6.
Una astronauta viaja en un vehículo espacial que tiene una rapidez de 0.500c respecto respecto a la Tierra. La astronauta observa su ritmo cardiaco a 75.0 latidos por minuto. Señales generadas por los latidos de la astronauta son radiadas a la Tierra cuando el vehículo se mueve en una dirección perpendicular a la línea que conecta el vehículo con un observador en la Tierra. a) ¿Qué ritmo cardiaco mide el observador en la Tierra? b) ¿Qué pasaría si? ¿Cuál sería el ritmo cardiaco si la rapidez del vehículo espacial aumentara a 0.990 0.990c ?
b) Figura P39.18
Problemas Sección 39.1 Principio galileano de la relatividad
1. En el marco de referencia de un laboratorio, un observador ve que la segunda ley de Newton es válida. Demuestre que también es válida para un observador que se mueve a una rapidez constante, pequeña en comparación con la rapidez de la luz, relativa al marco del laboratorio.
2. Demuestre que la segunda segunda ley de Newton no es es válida en un
marco de referencia que se mueve más allá del marco del laboratorio del problema 1 con ua aceleración constante. 3.
Un auto de 2000 kg en movimiento a 20.0 m/s choca y queda trabado con un auto de 1500 kg en reposo en un semáforo. Demuestre que se conserva la cantidad de movimiento en un marco de referencia que se mueve a 10.0 m/s en la dirección del auto en movimiento.
Sección 39.2
Experimento de Michelson–Morley
Sección 39.3
Principio de la relatividad de Einstein
Sección 39.4
Consecuencias de la teoría especial de la relatividad
7. Un reloj atómico se mueve a 1000 km/h durante 1.00 h medida por un reloj idéntico en la Tierra. ¿Con cuántos nanosegundos de atraso estará el reloj en movimiento en comparación con el reloj que está en la Tierra, al final del intervalo de 1.00 h?
8.
El problema 37 del capítulo 4 se puede asignar a esta sección. 4.
¿Con qué rapidez debe moverse una regleta de un metro si su longitud contraída es de 0.500 m?
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
Un muón formado a grandes alturas de la atmósfera de la Tierra se desplaza con una rapidez v 0.990 c una una distancia de 4.60 km antes de desintegrarse en un electrón, un neutrino y un antineutrino (m S e n n ). a) ¿Cuánto dura el muón, observado en su marco de referencia? b) ¿Cuánto se desplaza la Tierra, observada en el marco del muón?
razonamiento cualitativo
1146
Capítulo 39
Relatividad
9. Una nave espacial con una longitud característica de 300 m tarda 0.750 m s en pasar frente a un observador en la Tierra. Determine la rapidez de la nave espacial medida por dicho observador.
nosotros está en el plano de la órbita de la Tierra. Encuentre la diferencia entre las frecuencias más alta y más baja que reciben debido al movimiento orbital de la Tierra alrededor del Sol.
10. a) Un objeto de longitud característica L p toma un intervalo t en pasar frente a un observador en la Tierra. Determine la rapidez del objeto medido por dicho observador. b) Una columna de tanques, de 300 m de largo, tarda 75.0 s en pasar frente a una niña que espera en la esquina de una calle camino de la escuela. Determine la rapidez de los vehículos blindados. c) Demuestre que la respuesta al inciso a) incluye la respu esta al problema 9 como un caso especial, e incluya la respu esta al inciso b) como otro caso especial.
16. Un radar de la policía detecta la siguiente rapidez de un auto (figura P39.16). Microondas de una frecuencia conocida con gran precisión se emiten hacia el auto. El auto en movimiento refleja las microondas con un corrimiento Doppler. Las ondas reflejadas se reciben y combinan con una versión atenuada de la onda transmitida. Se presentan batimientos entre las dos señales de microondas. Se mide la frecuencia de los batimientos. (a) Para una onda electromagnética reflejada a su fuente desde un espejo que se aproxima con una rapidez v , demuestre que la onda reflejada tiene una frecuencia de
11. Problema de repaso. En 1963 el astronauta Gordon Cooper de la nave Mercury le dio 22 vueltas a la Tierra. La prensa dijo que en cada vuelta él envejeció 2 millonésimas de segundo menos de lo que hubiera envejecido en la Tierra. a) Si se supone que él se encontraba a 160 km sobre la Tierra en una órbita circular, determine la d iferencia de tiempo entre alguien en la Tierra y el astronauta en órbita para las 22 vueltas. Necesitará usar la aproximación
1
2 1
1 x
f
12.
¿Para qué valor de v es que g 1.010 0? Observe que para magnitudes de velocidad menores que este valor, la dilatación de tiempo y contracción de longitud son efectos que suman menos de 1%.
13.
Un amigo pasa frente a usted en una nave espacial que vuela a alta velocidad. Su amigo le dice que su nave mide 20.0 m de largo y que la nave idénticamente construida en la que está usted sentado mide 19.0 m de largo. Según sus observaciones, a) ¿cuánto mide su nave?, b) ¿cuánto mide la nave de su amigo? y c) ¿cuál es la rapidez de la nave de su amigo?
14. Los gemelos idénticos Veloz y Goslo se unen en una migración desde la Tierra al planeta X, que está a 20.0 años luz en un marco de referencia en el que ambos planetas están en reposo. Los gemelos, de la misma edad, parten al mismo tiempo en diferentes naves espaciales. La nave de Veloz vuela con rapidez constante de 0.950 c y la de Goslo a 0.750 c. Calcule la diferencia de edades entre los gemelos después de que la nave de Goslo aterrice en el planeta X. ¿Cuál gemelo es el más viejo?
Figura P39.16
17. El corrimi ento hacia el rojo. Una fuente de luz se aleja de un observador con una rapidez v fuente que es pequeña en comparación con c . a) Demuestre que el corrimiento fraccionario en la longitud de onda medida está dado por la expresión aproximada de
15. Problema de repaso. Una civilización extraña ocupa una estrella enana café, casi inmóvil respecto al Sol, a varios años luz de distancia. A los extraterrestres les gustan los programas de I Love Lucy, del canal 2 de televisión, que tiene una frecuencia portadora de 57.0 MHz. Su línea de visión hacia
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
v v
x
para x pequeña. b) ¿La prensa reportó información precisa? Explique por qué.
c c
donde f fuente es la frecuencia de la fuente. b) Cuando v es mucho menor que c , la frecuencia de pulsación es mucho menor que la frecuencia transmitida. En este caso use la aproximación f f fuente 2 f fuente y demuestre que la frecuencia de pulsación puede escribirse como f pulsación 2v /l. c) ¿Qué frecuencia de pulsación se observa para una rapidez de 30.0 m/s de un auto si las microondas tienen una frecuencia de 10.0 GHz? d) Si la medición de la frecuencia de pulsación es precisa a 5 Hz, ¿qué tan precisa es la medición de velocidad?
2
f fuente
¢l
v fuente
l
c
Este fenómeno se conoce como corrimiento hacia el rojo, porque la luz visible se corre hacia el rojo. b) Mediciones espectroscópicas de luz a l 397 nm que provienen de u na galaxia en la Osa Mayor dejan ver un corrimiento hacia el rojo de 20.0 nm. ¿Cuál es la rapidez con la que se aleja la galaxia?
razonamiento cualitativo
Problemas
18.
Un físico que va en auto se pasa la luz roja de un semáforo. Cuando se orilla a su izquierda, le dice al oficial de tránsito que el corrimiento Doppler hizo que la luz roja de longitud de 650 nm le pareciera verde, con una longitud de onda de 520 nm. El oficial de tránsito escribe la multa por exceso de velocidad. ¿Con qué rapidez circulaba el físico, según su propio testimonio?
1147
Sección 39.6 Ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz 23.
Dos chorros de material son expulsados en direcciones opuestas desde el centro de una radiogalaxia. Ambos chorros se mueven con una velocidad de 0.750 c respecto a la galaxia. Determine la rapidez de un chorro respecto al otro.
24.
Una nave espacial Klingon se aleja de la Tierra con rapidez de 0.800c (figura P39.24). La estación espacial Enterprise la persigue con rapidez de 0.900 c respecto a la Tierra. Observadores en la Tierra ven que la Enterprise alcanza a la Klingon con rapidez relativa de 0.100c . ¿Con qué rapidez la Enterprise alcanza a la Klingon según lo ve la tripulación de la primera?
Sección 39.5 Ecuaciones de transformación de Lorentz
19. Suzanne observa dos pulsos de luz que han de emitirse desde la misma ubicación, pero separados un tiempo de 3.00 m s. Mark ve la emisión de los dos pulsos con una separación en el tiempo de 9.00 m s. a) ¿Con qué rapidez se mueve Mark respecto a Suzanne? b) Según Mark, ¿cuál es la separación en el espacio de los dos pulsos?
S
20. Se observa que una varilla en movimiento tiene una longitud de 2.00 m y está orientada con un ángulo de 30 respecto a la dirección del movimiento, como se muestra en la figura P 39.20. La varilla tiene una rapidez de 0.995 c . a) ¿Cuál es la longitud de la varilla? b) ¿Cuál es el ángulo de orientación en el marco característico?
S = 0.800 c
v
= 0.900 c
u
x
x
Figura P39.24
2.00 m Sección 39.7 Movimiento lineal relativista 30.0°
25.
Calcule la cantidad de movimiento de un electrón que se mueve con una rapidez de a) 0.010 0 c , b) 0.500 c y c) 0.900 c .
Dirección del movimiento Figura P39.20
21. Un observador en un marco de referencia S ve dos eventos como simultáneos. El evento A se presenta en el punto (50.0 m, 0, 0) en el instante 9:00:00 del tiempo universal, el 15 de enero de 2004. El evento B ocurre en el punto (150 m, 0, 0) en el mismo momento. Un segundo observador, que se mueve con una velocidad 0.800 c i también analiza los dos eventos. En su marco de referencia S, ¿cuál evento ocurrió primero y qué intervalo transcurrió entre ambos eventos?
26. La expresión no relativista para la cantidad de movimiento de una partícula, p mu , coincide con los experimentos si u c . ¿Con qué rapidez el u so de esta ecuación presenta un error en la cantidad de movimiento de a) 1.00% y b) 10.0%?
27. Una pelota de golf se desplaza con una rapidez de 90.0 m/s. ¿En qué fracción difiere su magnitud de cantidad de movimiento relativista p respecto a su valor clásico mu ? Es decir, encuentre la proporción ( p mu )/mu .
ˆ
28. La rapidez límite en cierta autopista es de 90.0 km/h. Suponga que las multas por alta rapidez se hacen proporcionales a la cantidad por la que la cantidad de movimiento de un vehículo supera la cantidad de movimiento que tendría cuando viaja a la rapidez límite. La multa por conducir a 190 km/h (esto es, 100 km/h por arriba de la rapidez límite) es de 80 dólares. ¿En tal caso cuál será la multa por viajar a) a 1090 km/h? b) ¿A 1 000 000 090 km/h?
22. Una luz roja destella en la posición x R 3.00 m y en un tiempo t R 1.00 109 s, y una luz azul centellea en x B 5.00 m y t B 9.00 109 s, todos observados en el marco de referencia S. El marco de referencia S tiene su origen en el mismo punto que S en t t 0; el marco S se mueve uniformemente a la derecha. Se observa que ambos destellos se presentan en el mismo lugar en S. a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S. b) Encuentre la ubicación de los dos destellos en el marco S . c) ¿En qué tiempo se presenta el destello rojo en el marco S?
29. Una partícula inestable en reposo se descompone en d os fragmentos de masa desigual. La masa del primer fragmento es
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
razonamiento cualitativo
1148
Capítulo 39
Relatividad
2.50 1028 kg, y la del otro es 1.67 1027 kg. Si el fragmento más ligero tiene una rapidez de 0.893 c después de la separación, ¿cuál es la rapidez del fragmento más pesado?
Sección 39.8 Energía relativista
30. Un electrón tiene una energía cinética cinco veces mayor que su energía en reposo. Encuentre su a) energía total y b) rapidez.
31.
32.
33.
Un protón en un acelerador de alta energía se mueve con una rapidez de c /2. Utilice el teorema del trabajo y energía cinética para hallar el trabajo necesario para aumentar su rapidez a a) 0.750c y b) 0.995c .
Demuestre que, para cualquier cuerpo que se mueva a menos de una décima de la rapidez de la luz, la energía cinética relativista coincide con el resultado de la ecuación clásica K 12 mu 2 en una variación menor a 1%. Por lo tanto, para la mayor parte de los casos, la ecuación clásica es lo suficientemente buena para describir estos objetos.
Encuentre la cantidad de movimiento de un protón en unidades de MeV/c, suponiendo que su energía total es el doble que su energía en reposo.
78.0 kg a) lanzada fuera del sistema solar con una rapidez de 106 km/s, mediante el uso de la ecuación clásica K 12 mu 2. b) ¿Qué pasaría si? Calcule la energía cinética con la ecuación relativista. c) Explique los resultados de comparar a) y b).
39. La energía en reposo de un electrón es de 0.511 MeV. La energía en reposo de un protón es de 938 MeV. Suponga que ambas partículas tienen energía cinética de 2.00 MeV. Encuentre la rapidez de a) el electrón y b) el protón. c) ¿En cuánto supera la rapidez del electrón a la del protón? d) Repita los cálculos si supone que ambas partículas tienen energías cinéticas de 2000 MeV.
40.
Considere electrones acelerados a una energía de 20.0 GeV en el Acelerador Lineal de Stanford de 3.00 km de largo. a) ¿Cuál es el factor g para los electrones? b) ¿Cuál es su rapidez? c) ¿Qué tan largo parece el acelerador para los electrones?
41. Un pión en reposo (m p 273 m e ) se desintegra en un muón (m m 207m e ) y un antineutrino (m n { 0). La reacción se escri be p S m n . Encuentre la energía cinética del muón y la energía del antineutrino en electrón volts. Sugerencia: Aplique la conservación de energía como la cantidad de movimiento.
42. Considere un automóvil que se mueve con rapidez de autopista u . ¿Su energía cinética real es mayor o menor que ½ mu 2? Realice una estimación del orden de magnitud de la cantidad en la que su energía cinética real difiere de ½ mu 2. En su solución, establezca las cantidades que toma como datos y los valores que midió o estimó para ellos. Puede encontrar útil el apéndice B.5.
34. Encuentre la energía cinética de una nave espacial de
35.
43. Cuando 1.00 g de hidrógeno se combina
con 8.00 g de oxígeno, se forman 9.00 g de agua. Durante esta reacción química se liberan 2.86 105 J de energía. ¿La masa del agua es mayor o menor que la masa de los reactantes? ¿Cuál es la diferencia en masa? ¿Es posible detectar el cambio de masa?
Un protón se mueve a 0.950c . Calcule a) su energía en reposo, b) su energía total y c) su energía cinética.
36. Una partícula inestable con una masa d e 3.34 1027 kg está inicialmente en reposo. La partícula se desintegra en dos fragmentos que vuelan a lo largo del eje x con componentes de velocidad de 0.987c y 0.868c . Encuentre las masas de los fragmentos. Sugerencia: Aplique los principios de conservación de energía y de cantidad de movimiento.
37. Demuestre que la correspondencia de energía y cantidad de mo vimiento E 2 p 2c 2 (mc 2)2 se sigue de las expresiones E g mc 2 y p g mu .
38.
Sección 39.9 Masa y energía
En un cinescopio representativo de color, los electrones son acelerados desde el repaso por medio de una diferencia de potencial de 25 000 V. a) ¿Qué rapidez tienen los electrones cuando inciden en la pantalla? b) ¿Cuál es su energía cinética en joules?
2 intermedio; 3 desafiante;
razonamiento simbólico;
44.
En una planta de energía nuclear, las barras de combustible duran tres años antes que sea necesario cambiarlas. Si una planta con una potencia térmica nominal de 1.00 GW funciona a 80.0% de su capacidad durante tres años, ¿cuál es la pérdida de masa del combustible?
45.
La potencia de salida del Sol es de 3.85 1026 W. ¿Cuánta masa se convierte en energía en el Sol en un segundo?
46.
Un rayo gamma (fotón de alta energía) puede producir un electrón (e) y un positrón (e) cuando entra en el campo eléctrico de un núcleo pesado: S e e. ¿Cuál es la mínima energía de rayos gamma que se requiere para lograr esta tarea? Nota: las masas del electrón y del positrón son iguales.
razonamiento cualitativo
