Ejercicios pares Patricio Alexander Pinargote Mendoza
Universidad internacional SEK
Transferencia de calor
Quito, martes 19 de mayo del 2017
1-40C ¿alguna energía del sol llega a la tierra por conducción o por convección? No la energía del sol llega solamente por radiación ya que el sol tendría que estas en contacto con la tierra para que exista conducción. 1-42C Defina emisividad y absortividad. ¿Cuál es la ley de Kirchhoff de la radiación? Emisividad se define como la razón entre la intensidad emitida por la superficie en una dirección particular. Absorción es la fracción de radiación incidente sobre una superficie que es absorbida por la superficie. La ley de radiación de Kirchhoff establece que la emisividad y la absortividad de una superficie son iguales a la misma temperatura y longitud de onda. 1-44C A juzgar por su unidad, W/m · °C, ¿podemos definir la conductividad térmica de un material como el flujo de calor a través del material por unidad de espesor por unidad de diferencia en la temperatura? Explique. No. Tal definición implicará que duplicar el espesor doblará la velocidad de transferencia de calor. La unidad equivalente, pero "más correcta" de conductividad térmica es W⋅m / m2 ⋅ ° C que indica el producto de la tasa de transferencia de calor y el grosor por unidad de superficie por unidad de diferencia de temperatura 1-46C Considere dos casas que son idénticas, excepto porque, en una de ellas, las paredes se construyen con ladrillos y, en la otra, con madera. Si las paredes de la casa de ladrillos tienen el doble de espesor, ¿cuál de las casas piensa usted que será más eficiente respecto al uso de la energía? La casa con la menor tasa de transferencia de calor a través de las paredes será más eficiente de la energía. La conducción térmica es proporcional a la conductividad térmica (que es 0,72 W / m ° C para el ladrillo y 0,17 W / m. ° C para la madera, Tabla 1-1) e inversamente proporcional al grosor. La casa de madera es más eficiente de la energía, ya que la pared de madera es dos veces más gruesa, pero tiene alrededor de una cuarta la conductividad de la pared de ladrillo 1-48C ¿Cómo varía la conductividad térmica de los gases y los líquidos con la temperatura? La conductividad térmica de los gases es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. La conductividad térmica de la mayoría de los líquidos, sin embargo, disminuye con el aumento de la temperatura, siendo el agua una notable excepción. 1-50C ¿Por qué caracterizamos la capacidad de conducción del calor de los aisladores en términos de su conductividad térmica aparente en lugar de la conductividad térmica común? La mayoría de los aislantes ordinarios se obtienen mezclando fibras, polvos o copos de materiales aislantes con aire. La transferencia de calor a través de tales aislamientos es por conducción a través del material sólido, y por conducción o convección a través del espacio de aire, así como radiación. Tales sistemas se caracterizan por conductividad térmica aparente en lugar de la conductividad térmica ordinaria con el fin de incorporar estos efectos de convección y radiación.
1-52C Las dos superficies de una placa de 2 cm de espesor se mantienen a 0°C y 80°C, respectivamente. Si se determina que el calor se transfiere a través de la placa a una razón de 500 W/m2, determine su conductividad térmica. ̇ 𝑊 (500 2 )(0.02𝑚) ̇ 𝑇1 − 𝑇2 (𝑄/𝐴)𝐿 𝑊 𝑚 𝑄 = 𝑘𝐴 →𝑘= = = 0.125 ∙ °𝐶 (80 − 0)°𝐶 𝐿 (𝑇1 − 𝑇2) 𝑚 1-54C En las centrales eléctricas son muy comunes las tuberías que transportan vapor sobrecalentado. Este vapor fluye a una razón de 0.3 kg/s dentro de una tubería con un diámetro de 5 cm y longitud de 10 m. La tubería está colocada en una central eléctrica a 20°C y tiene una temperatura superficial uniforme de 100°C. Si el descenso de temperatura entre la entrada y salida de la tubería es de 30°C, y el calor específico del vapor es de 2 190 J/kg · K, determine el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie de la tubería y los alrededores.
Existen condiciones de funcionamiento constantes.
No se considera la transferencia de calor por radiación.
La tasa de pérdida de calor del vapor en la tubería es igual a la velocidad de transferencia de calor por convección entre la superficie de la tubería y el entorno.
El calor específico del vapor se da a 2190 J / kg · ° C. Area 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝐷 ∙ 𝐿 = 𝜋(0.05𝑚)(10𝑚) = 1.571𝑚2
𝑄̇ 𝑝𝑒𝑟 = 𝑚̇𝑐𝑝 (𝑇𝑒𝑛𝑡 − 𝑇𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 ) = (0.3
𝑘𝑔 𝐽 ) (2190 ∙ °𝐶) (30 °𝐶) = 19710 𝐽/𝑠 → 19710𝑊 𝑠 𝑘𝑔
ley de Newton de enfriamiento 𝑄̇ 𝑝𝑒𝑟 = 𝑄̇ 𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) ℎ=
𝑄̇𝑝𝑒𝑟 19710 𝑊 = = 157 𝑊/𝑚2 ∙ °𝐶 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) (1.571 𝑚2 )(100°𝐶 − 20°𝐶)
1-56C Las superficies interior y exterior de un muro de ladrillos de 4 m × 7 m, con espesor de 30 cm y conductividad térmica de0.69 W/m · K, se mantienen a las temperaturas de 26°C y 8°C, respectivamente. Determine la razón de la transferencia de calor a través del muro, en W.
Existen condiciones de funcionamiento constantes ya que las temperaturas superficiales de la pared permanecen constantes a los valores especificados.
Las propiedades térmicas de la pared son constantes.
Propiedades La conductividad térmica de la pared se da para ser k = 0,69 W / m⋅ ° C.
∆𝑇 𝑊 (26°𝐶−8°𝐶) 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘𝐴 𝐿 = (0,69 𝑚 ∙ °𝐶)(4 × 7𝑚2 ) 0.3 𝑚 =1159W
1-58C Vuelva a considerar el problema 1-57. Usando el software EES (o cualquier otro semejante) trace la gráfica de la cantidad de pérdida de calor a través del vidrio en función del espesor del vidrio de la ventana, en el rango de 0.1 cm hasta 1.0 cm. Discuta los resultados.
1-60 I El muro norte de una casa calentada eléctricamente tiene 20 ft de largo, 10 ft de alto y 1 ft de espesor y está hecha de ladrillo cuya conductividad térmica es k = 0.42 Btu/lb · ft · °F. En cierta noche de invierno se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior y resultan ser de alrededor de 62°F y 25°F, respectivamente, durante un periodo de 8 horas. Determine a) la razón de la pérdida de calor a través del muro en la noche, y b) el costo de esa pérdida de calor para el propietario de la casa, si el costo de la electricidad es 0.07 dólar/kW
Existen condiciones de funcionamiento constantes ya que las temperaturas superficiales de la pared permanecen constantes a los valores especificados durante toda la noche.
Las propiedades térmicas de la pared son constantes.
La conductividad térmica de la pared de ladrillo se da para ser k = 0,42 Btu / h⋅ft⋅ ° F.
Observando que la transferencia de calor a través de la pared es por conducción y el área superficial de la pared es, la velocidad constante de transferencia de calor a través de la pared puede determinarse a partir de 2 A = 20 ft × 10 ft = 200 ft 𝑇 −𝑇 (62°𝐹−25°𝐹) 𝑄̇ = 𝑘𝐴 1 𝐿 2 = (0.42𝐵𝑡𝑢/ℎ ∙ 𝑓𝑡 ∙ °𝐹)(200𝑓𝑡 2 ) =3108 Btu/h 1𝑓𝑡
𝑄 = 𝑄̇ ∆𝑡 = (0.911𝑘𝑊)(8ℎ) = 7.288𝑘𝑊ℎ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = (𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎)(𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎) 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 = (7.288𝑘𝑊ℎ)($0.07) = $0.51
1-62 Una manera de medir la conductividad térmica de un material es colocar como en un emparedado un calentador eléctrico de lámina térmica entre dos muestras rectangulares idénticas de ese material y aislar profusamente los cuatro bordes exteriores, como se muestra en la figura. Los termopares sujetos a las superficies interiores y exteriores de las muestras registran las temperaturas. Durante un experimento se usan dos muestras de 0.5 cm de espesor con un tamaño de 10 cm × 10 cm. Cuando se alcanza la operación de estado estacionario, se observa que el calentador consume 25 W de potencia eléctrica y se observa que la temperatura de cada una de las muestras cae de 82°C en la superficie interior a 74°C en la exterior. Determine la conductividad térmica del material a la temperatura promedio. 𝑄̇ =
25 = 12.5𝑊 2
𝐴 = (0.1𝑚)(0.1𝑚) = 0.01𝑚2 ∆𝑇 = 82 − 74 = 8°𝐶 𝑄̇ = 𝑘𝐴
∆𝑇 𝑄𝐿̇ (12.5𝑊)(0,005𝑚) 𝑊 →𝑘= = = 0.781 ∙ °𝐶 2 𝐿 𝐴∆𝑇 (0.01𝑚 )(8°𝐶) 𝑚
1-64 Un medidor de flujo de calor sujeto a la superficie interior de la puerta de un refrigerador que tiene 3 cm de espesor indica que se tiene un flujo de 32 W/m2 a través de esa puerta. Asimismo, se miden las temperaturas de las superficies interior y exterior de la puerta y resultan ser 7°C y 15°C, respectivamente. Determine la conductividad térmica promedio de la puerta del refrigerador. ̇ 𝑊 (32 2 )(0.03𝑚) 0.120𝑊 ∆𝑇 𝑞𝐿̇ 𝑚 𝑞=𝑘 →𝑘= = = ∙ °𝐶 𝐿 ∆𝑇 (15°𝐶 − 7°𝐶) 𝑚
1-66 Vuelva a considerar el problema 1-65. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la transferencia de calor por radiación en el invierno en función de la temperatura de la superficie interior del cuarto en el rango de 8°C hasta 18°C. Discuta los resultados.
1-68 Se sopla aire caliente a 80°C sobre una superficie plana de 2 m × 4 m que está a 30°C. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es 55 W/m2 · °C, determine la razón de transferencia de calor del aire a la placa, en kW. 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑆 ∆𝑇 = (55
𝑊 ∙ °𝐶) (2 × 4𝑚2 )(80°𝐶 − 30°𝐶) = 22,000 𝑊 𝑚2
1-70 La superficie exterior de una nave en el espacio tiene una emisividad de 0.8 y una absortividad solar de 0.3. Si la radiación solar incide sobre la nave espacial a razón de 950 W/m2, determine la temperatura superficial de esta última cuando la radiación emitida es igual a la energía solar absorbida. 𝑄̇𝑠𝑜𝑙 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟 = 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 4 ∝ 𝑄̇𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 = 𝜀𝜎𝐴𝑠 (𝑇𝑆4 − 𝑇𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 )
0.3 × 𝐴𝑠 × (950
𝑊 𝑊 ) = 0.8 × 𝐴𝑠 × (5.67 × 10−8 2 ∙ 𝐾 4 ) [𝑇𝑠4 − (0𝐾)4 ] 2 𝑚 𝑚 𝑇𝑠 = 281.5 𝐾
1-72 Un calentador de 800 W y 40 cm de largo a base de resistencia eléctrica, con diámetro de 0.5 cm y temperatura superficial de 120°C, está inmerso en 75 kg de agua cuya temperatura inicial es de 20°C. Determine cuánto tiempo tomará a este calentador elevar la temperatura del agua a 80°C. Asimismo, determine los coeficientes de transferencia de calor por convección al principio y al final del proceso de calentamiento.
𝑄𝑒𝑛𝑡 = 𝑚𝑐(𝑇2 − 𝑇1 ) 𝑄̇𝑒𝑛𝑡 ∆𝑡 = 𝑚𝑐(𝑇2 − 𝑇1 ) 𝐽 𝑚𝑐(𝑇2 − 𝑇1 ) (75 𝑘𝑔) (4180 𝑘𝑔 ∙ °𝐶) (80°𝐶 − 20°𝐶) ∆𝑡 = = 𝐽 𝑄̇𝑒𝑛𝑡 800 𝑠 𝐴𝑠 = 𝜋𝐷𝐿 = 𝜋(0.005𝑚)(0.4𝑚) = 0.00628 𝑚2 ℎ1 =
𝑄̇ 800 𝑊 𝑊 = = 1274 2 ∙ °𝐶 2 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞1 ) (0.0628𝑚 )(120°𝐶 − 20°𝐶) 𝑚
ℎ2 =
𝑄̇ 800 𝑊 𝑊 = = 3185 ∙ °𝐶 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞2 ) (0.0628𝑚2 )(120°𝐶 − 80°𝐶) 𝑚2
1-74 Un recipiente esférico hueco de hierro con un diámetro exterior de 20 cm y un espesor de 0.2 cm se llena con agua con hielo a 0°C. Si la temperatura de la superficie exterior es de 5°C, determine la razón aproximada de la pérdida de calor desde la esfera, en kW, y la razón a la cual el hielo se funde en el recipiente. El calor de fusión del agua es 333.7 kJ/kg. 𝐴 = 𝜋𝐷 2 = 𝜋 (0.2 𝑚)2 = 0.126𝑚2 ∆𝑇 𝑊 (5°𝐶−0𝐶) 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘𝐴 𝐿 = (80.2 𝑚 ∙ °𝐶)(0.126𝑚2 ) 0.002 𝑚 =25.3 kW
𝑚̇ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 =
𝑄̇ 25.263 𝑘𝐽/𝑠 = = 0.0757 𝑘𝑔/𝑠 ℎ𝑖𝑓 333.7 𝐾𝐽/𝐾𝑔
1-76 Los vidrios interior y exterior de una ventana de hoja doble de 4 ft × 4 ft están a 60°F y 48°F, respectivamente. Si el espacio de 0.25 in entre los dos vidrios está lleno con aire en reposo, determine la razón de transferencia de calor a través de la ventana. 𝐴 = (4 𝑓𝑡) × (4 𝑓𝑡) = 16𝑓𝑡 2 𝑇 −𝑇 (60°𝐹−48°𝐹) 𝑄̇ = 𝑘𝐴 1 𝐿 2 = (0.01419𝐵𝑡𝑢/ℎ ∙ 𝑓𝑡 ∙ °𝐹)(16𝑓𝑡 2 ) 0.25/12𝑓𝑡 =131 Btu/h
1-78 Vuelva a considerar el problema 1-77. Usando el software EES (u otro equivalente), trace la gráfica de la cantidad de potencia que el transistor puede disipar con seguridad, en función de la temperatura máxima de la caja, en el rango de 60°C hasta 90°C. Discuta los resultados.
1-80 La temperatura de ebullición del nitrógeno a la presión atmosférica al nivel del mar (1 atm) es -196°C. Por lo tanto, es común usar el nitrógeno en estudios científicos a baja temperatura ya que el nitrógeno líquido en un tanque abierto a la atmósfera permanecerá constante a —196°C hasta que se agote. Cualquier transferencia de calor al tanque conducirá a la evaporación de algo del nitrógeno líquido, el cual tiene un calor de vaporización de 198 kJ/kg y una densidad de 810 kg/m3 a 1 atm. Considere un tanque esférico de 4 m de diámetro inicialmente lleno con nitrógeno líquido a 1 atm y -196°C. El tanque está expuesto a un aire ambiente a 20°C con un coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2 · °C. Se observa que la temperatura del tanque esférico de pared delgada es aproximadamente igual a la del nitrógeno que se encuentra en su interior. Descartando cualquier intercambio de calor por radiación, de termine la rapidez de evaporación del nitrógeno líquido en el tanque, como resultado de la transferencia de calor del aire ambiente 𝐴 = 𝜋𝐷 2 = 𝜋 (4 𝑚)2 = 50.27𝑚2 𝑄̇ = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑖𝑟𝑒 ) = (25
𝑊 ∙ °𝐶) (50.27𝑚2 )[20°𝐶 − (−196°𝐶)] = 271,43 𝑊 𝑚2
𝑄̇ = 𝑚̇ℎ𝑓𝑔 → 𝑚̇ =
𝑄̇ 271.430 𝑘𝐽/𝑠 = = 1.37 𝐾𝑔/𝑠 ℎ𝑓𝑔 198 𝑘𝐽/𝑘𝑔
1-82 Vuelva a considerar el problema 1-80. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica de la rapidez de evaporación del nitrógeno líquido en función de la temperatura del aire ambiente, en el rango de 0°C hasta 35°C. Discuta los resultados.
1-84Un tablero de circuito de 0.3 cm de espesor, 12 cm de al- to y 18 cm de largo aloja 80 chips lógicos, con poco espacio entre ellos, en uno de sus lados, disipando cada uno 0.06 W. El tablero está impregnado con empaste de cobre y tiene una conductividad térmica efectiva de 16 W/m · °C. Todo el calor generado en los chips es conducido a través del tablero de circuito y se disipa desde el lado posterior de éste hacia el aire ambiente. Determine la diferencia de temperatura entre los dos lados del tablero. ̇ 80 × 0.06 𝑊 = 4.8 𝑊 𝑄= 𝐴 = 0.12 × 0.18 = 0.0216 𝑚2 𝑄̇ = 𝑘𝐴
∆𝑇 𝑄𝐿̇ (4.8𝑊)(0,003𝑚) → ∆𝑇 = = = 0.042°𝐶 𝐿 𝑘𝐴 (0.01 𝑊 ∙ °𝐶)(0.0216𝑚2 ) 𝑚
1-86 I Usando los factores de conversión entre W y Btu/h, m y ft y K y R, exprese la constante de Stefan-Boltzmann r = 5.67× 10—8 W/m2 · K4 en la unidad inglesa Btu/h · ft2 · R4. 1W →3.41214 Btu/h 1m→ 3.2808 ft 1 K→ 1.8 R 𝐵𝑡𝑢 3.41214 𝑊 ℎ 4 𝜎 = 5.68 2 ∙ 𝐾 = = 0.171 𝐵𝑡𝑢/ℎ ∙ 𝑓𝑡 2 ∙ 𝑅 4 𝑚 (3.2808𝑓𝑡)2 (1.8𝑅)4
1-88 El agua a 0°C libera 333.7 kJ/kg de calor conforme se convierte en hielo (r = 920 kg/m3) a 0°C. Un avión que vuela en condiciones de congelación mantiene un coeficiente de transferencia de calor de 150 W/m2 · °C entre el aire y las superficies de las alas. ¿Cuál es la temperatura a que deben mantenerse las alas para impedir que se forme hielo sobre ellas durante las condiciones de congelación a una tasa de 1 mm/min o menos?
𝑇𝑎𝑙𝑎
𝑘𝑔 0.001 𝐽 (920 3 )( 60 𝑚/𝑠)(333,7 ) 𝜌𝑉ℎ𝑖𝑓 𝑘𝑔 𝑚 = 𝑇ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 + = 0°𝐶 + = 34.1°𝐶 𝑊 ℎ 150 2 ∙ °𝐶 𝑚
1-90 Vuelva a considerar el problema 1-89. Usando el software EES (u otro equivalente) trace la gráfica del coeficiente de transferencia de calor por convección en función de la temperatura de la superficie del alambre, en el rango de 100°C a 300°C. Discuta los resultados.
1-92 ¿Puede un medio comprender a) conducción y convección, b) conducción y radiación, o c) convección y radiación simultáneamente? Dé ejemplos para las respuestas que sean “sí”.
1-94 A menudo encendemos el ventilador en verano para que ayude a enfriarnos. Explique de qué manera un ventilador hace sentirnos más fríos en el verano. Asimismo, explique por qué algunas personas usan ventiladores en el techo también en el invierno.
1-96 Considere la transferencia de calor en estado estaciona- rio entre dos placas paralelas a las temperaturas constantes de T1 = 290 K y T2 = 150 K y con una separación L = 2 cm. Suponiendo que las superficies son negras (emisividad e = 1), de- termine la razón de la transferencia de calor entre las placas por unidad de área superficial, suponiendo que el espacio entre las placas está a) lleno con aire atmosférico, b) al vacío, c) lleno con aislamiento de fibra de vidrio y d) lleno con súper aislamiento que tiene una conductividad térmica aparente de 0.00015 W/m · °C (a) 𝑇 −𝑇 (290°𝐶−150°𝐶) 𝑄̇ = 𝑘𝐴 1 2 = (0.01979 𝑊/𝑚2 ∙ °𝐶)(1𝑚2 ) =139 W 𝐿
0.02𝑚
𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝜎𝐴𝑠 (𝑇14 − 𝑇24 )
= 1 (5.67 × 10−8
𝑊 ∙ 𝐾 4 ) (1𝑚2 )[(290𝐾)4 − (150𝐾)4 ] = 372 𝑊 𝑚2
𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑑 + 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 139 + 327 = 511 𝑊
(b) 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 372 𝑊 (c) 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘𝐴
(290°𝐶 − 150°𝐶) 𝑇1 − 𝑇2 𝑊 = (0.036 ∙ °𝐶) (1𝑚2 ) = 252 𝑊 𝐿 𝑚 0.02 𝑚
(d) 𝑄̇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑘𝐴
(290°𝐶 − 150°𝐶) 𝑇1 − 𝑇2 𝑊 = (0.00015 ∙ °𝐶) (1𝑚2 ) = 1.05 𝑊 𝐿 𝑚 0.02 𝑚
1-98 Una esfera de 2 pulgadas de diámetro, cuya superficie se mantiene a una temperatura de 170°F, está suspendida en medio de un cuarto que está a 70°F. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es 15 Btu/h · ft2 · °F y la emisividad de la superficie es 0.8, determine la razón total de transferencia de calor desde la esfera.
𝐴𝑠 = 𝜋𝐷2 = 𝜋(2/12𝑓𝑡)2 = 0.0873𝑓𝑡 2 2 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 ∆𝑇 = (15 𝐵𝑡𝑢⁄ ) (0.0873𝑓𝑡 ) (170 − 70)º𝐹 = 130.95 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ ℎ ∗ 𝑓𝑡 2 ∗ º𝐹 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝐴𝑠 𝜎(𝑇𝑠4 − 𝑇𝑂4 ) = (0.8)(75𝑓𝑡 2 ) (0.1714x10−8 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ ∗ 𝑓𝑡 2 ∗ 𝑅 4 ) [(170 + 460R)4 − (70 + 460R)4 ] = 9.41 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ
𝑄̇𝑇 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 130.95 + 9.41 = 140.362 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ 1-100 Se usa un tanque esférico con diámetro interior de 3 m, hecho de acero inoxidable de 1 cm de espesor, para almacenar agua con hielo a 0°C. El tanque está ubicado en el exterior en donde la temperatura es de 25°C. Suponiendo que todo el tanque de acero está a 0°C y, por lo tanto, la resistencia térmica del mismo es despreciable, determine a) la razón de la transferencia de calor hacia el agua con hielo que está en el tanque y b) la cantidad de hielo a 0°C que se funde durante un periodo de 24 horas. El calor de fusión del hielo a la presión atmosférica es hif 333.7 kJ/kg. La emisividad de la superficie exterior del tanque es 0.75 y el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior se puede tomar como 30 W/m2 · °C. Suponga que la temperatura promedio de la superficie circundante para el intercambio de radiación es 15°C. a)
𝐴𝑠 = 𝜋𝐷 2 = 𝜋(3.02𝑚)2 = 28.653𝑚2
𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 (𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) = (30 𝑊⁄ 2 ) (28.65𝑚2 )(25 − 0)º𝐶 = 21489.75W 𝑚 ∗ º𝐶 4 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝐴𝑠 𝜎(𝑇𝑠𝑢 − 𝑇𝑠4 ) = (0.75)(28.653𝑚2 ) (5.67x10−8 𝑊⁄ 2 ) [(288K)4 − (273K)4 ] 𝑚 ∗ 𝐾4 = 1614.63𝑊 𝑄̇𝑇 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 21489.75 + 1614.63 = 23104.39𝑊 = 23.104𝑘𝑊 b) 𝑄 = 𝑄̇ ∗ ∆𝑡 = 23.104 𝑘𝐽⁄𝑠 ∗ (24𝑥3600𝑠) = 1996185.6𝑘𝐽 𝑄 1996185.6𝑘𝐽 𝑚= = = 5981.98𝑘𝑔 ℎ𝑖𝑓 333.7𝑘𝐽/𝑘𝑔
1-102 Considere un colector solar de placa plana colocada horizontalmente sobre el techo plano de una casa. El colector tiene 5 ft de ancho y 15 ft de largo, y la temperatura promedio de la superficie expuesta del colector es 100°F. La emisividad de esa superficie expuesta es 0.9. Determine la razón de la pérdida de calor del colector por convección y radiación durante un día calmado, cuando la temperatura ambiente del aire es de 70°F y la temperatura efectiva del cielo para el intercambio de radiación es de 50°F. Tome el coeficiente de transferencia de calor por convección sobre la superficie expuesta como 2.5 Btu/h · ft2 · °F. 𝐴𝑠 = 5𝑓𝑡 ∗ 15𝑓𝑡 = 75𝑓𝑡 2 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 (𝑇∞ − 𝑇𝑠 ) = (2.5 𝐵𝑡𝑢⁄ ) (75𝑓𝑡 2 )(100 − 70)º𝐹 = 5625 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ ℎ ∗ 𝑓𝑡 2 ∗ º𝐹 4 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 𝜀𝐴𝑠 𝜎(𝑇𝑠𝑢 − 𝑇𝑠4 )
= (0.9)(75𝑓𝑡 2 ) (0.1714x10−8 𝐵𝑡𝑢⁄ ) [(100 + 460R)4 ℎ ∗ 𝑓𝑡 2 ∗ 𝑅 4 − (50 + 460R)4 ] = 3551.021 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ 𝑄̇𝑇 = 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 + 𝑄̇𝑟𝑎𝑑 = 5625 + 3551.021 = 9176.021 𝐵𝑡𝑢⁄ℎ
1-104 El tratamiento térmico es común en el procesamiento de materiales semiconductores. Una oblea de silicio con un diámetro de 200 mm y un espesor de 725 m se calienta en una cámara de vacío mediante un calefactor infrarrojo. Las paredes circundantes de la cámara tienen una temperatura uniforme de 310 K. El calefactor infrarrojo emite un flujo de radiación incidente de 200 kW/m2 sobre la superficie de la oblea, cuya emisividad y absortividad son de 0.70. La temperatura de la superficie inferior de la oblea marcada por un pirómetro es de 1.000 K. Si se asume que no hay intercambio de radiación entre la superficie inferior de la oblea y los alrededores, determine la temperatura de la superficie superior de la oblea. (Nota: Un pirómetro es un dispositivo que mide e intercepta la radiación térmica sin necesidad de entrar en contacto con la superficie. Se puede utilizar para determinar la temperatura de la superficie del objeto.)
𝑞̇ 𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑞̇ 𝑎𝑏𝑠 + 𝑞̇ 𝑟𝑎𝑑 𝑘 31.2 𝑊⁄𝑚 ∗ º𝐾
𝑇𝑠,𝑢 − 𝑇𝑠,𝑙 4 =∝ 𝑞̇ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑛 − 𝜀𝜎(𝑇𝑠𝑢 − 𝑇𝑠4 ) 𝐿
(𝑇𝑠,𝑢 − 1000)º𝐾 (725𝑥10−6 𝑚) = (0.7) (200000 𝑊⁄ 2 ) − (0.7) (5.67𝑥10−8 𝑊⁄ 2 ) [𝑇 4 − (310)4 ]º𝐾 𝑚 𝑚 ∗ 𝐾 4 𝑠𝑢
(43034.483 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠,𝑢 − 43034482.76 𝑊⁄ 2 ) 𝑚 𝑚 4 𝑊 = 140000 ⁄ 2 − [3.969𝑥10−8 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠𝑢 − 366.54 𝑊⁄ 2 ] 𝑚 𝑚 𝑚 4 (43034.483 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠,𝑢 + 3.969𝑥10−8 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠𝑢 ) 𝑚 𝑚 = [140000 𝑊⁄ 2 + 366.54 𝑊⁄ 2 − 43034482.76 𝑊⁄ 2 ] 𝑚 𝑚 𝑚 4 (43034.483 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠,𝑢 + 3.969𝑥10−8 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠𝑢 ) 𝑚 𝑚 = [140000 𝑊⁄ 2 + 366.54 𝑊⁄ 2 − 43034482.76 𝑊⁄ 2 ] 𝑚 𝑚 𝑚 4 (43034.483 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠,𝑢 + 3.969𝑥10−8 𝑊⁄ 2 𝑇𝑠𝑢 ) = −42894116.22 𝑊⁄ 2 𝑚 𝑚 𝑚
1-106 Determine una raíz real positiva de la ecuación siguiente, usando EES: 3.5𝑥 3 − 10𝑥 0.5 − 3𝑥 = −4 1-108 Resuelva el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, usando EES: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚 = 𝒛 + 𝟐 𝒙𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟖 1-110 Mediante la tabla de parámetros y las funciones graficadoras de EES, determine los cuadrados del número del 1 al 100 en incrementos de 10; muestre los resultados en forma tabular y gráfica 1-112 ¿Por qué, en general, la razón metabólica de las mujeres es menor que la de los hombres? ¿Cuál es el efecto de la ropa sobre la temperatura ambiental que se siente cómoda? La diferencia es el tamaño del cuerpo, la mujer es de menor tamaño que de los hombres. El efecto de la ropa sirve como un aislamiento porque depende de la temperatura ambiente para sentirse cómodo. 1-114 ¿Cómo a) la corriente de aire y b) las superficies frías del piso causan incomodidad en los ocupantes de un cuarto? a) Provoca un enfriamiento en el cuarto por eso causa una incomodidad en el cuarto por el cambio de temperatura que trasmitió b) Al contacto de la superficie frio del piso causa molestia a los pies por la pérdida de calor excesiva por la conducción, por el motivo que baja la temperatura drásticamente a los pies. 1-116 ¿Por qué es necesario ventilar los edificios? ¿Cuál es el efecto de la ventilación sobre el consumo de energía para la calefacción en el invierno y para el enfriamiento en el verano? ¿Es buena idea mantener encendidos los ventiladores de los cuartos de baño todo el tiempo? Explique. Los edificios deben ser ventilados por que proporciona aire fresco para deshacer el exceso de contaminación, los malos olores y la humedad. La ventilación aumenta el consumo de energía ya que en el exterior hace mucho frio requiere bastante tiempo en el interior caliente. La verdad no es buena idea porque se pierde mucho consumo de energía.
1-118 Se usa un alambre de resistencia eléctrica de 70 cm de largo y 2 mm de diámetro, sumergido en agua, para determinar en forma experimental el coeficiente de transferencia de calor en la ebullición en agua a 1 atm. Se mide la temperatura del alambre y es de 120°C, cuando un wattímetro indica que la potencia eléctrica consumida es de 4.1 kW. Determine el coeficiente de transferencia de calor en la ebullición, aplicando la ley de Newton del enfriamiento. 𝑨 = 𝝅𝑫𝑳 = 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝒎 ∗ 𝟎. 𝟕𝒎 = 𝟒. 𝟑𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 𝒉=
𝑸̇ 𝟒𝟏𝟎𝟎𝑾 = = 𝟒𝟔𝟔𝟎𝟗. 𝟔𝟔 𝑾⁄ 𝟐 −𝟑 𝒎 ∗ º𝑪 𝑨(𝑻𝑺 − 𝑻𝒔𝒂𝒕 ) 𝟒. 𝟑𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎 𝒎𝟐 ∗ (𝟏𝟐𝟎 − 𝟏𝟎𝟎)º𝑪
1-120 Se sabe bien que el viento hace que el aire frío se sienta mucho más frío como resultado del efecto de enfriamiento por el viento, que se debe al aumento en el coeficiente de transferencia de calor por convección junto con el aumento en la velocidad del aire. El efecto de enfriamiento por el viento suele expresarse en términos de factor de enfriamiento por el viento, el cual es la diferencia entre la temperatura real del aire y la temperatura equivalente del aire en calma. Por ejemplo, un factor de enfriamiento por el viento de 0°C, para una temperatura real del aire de 5°C, significa que el aire ventoso a 5°C se siente tan frío como el aire en calma a -15°C. En otras palabras, una persona desprenderá tanto calor hacia el aire a 5°C, con un factor de enfriamiento por el viento de 20°C, como el que perdería en aire en calma a -15°C. Para los fines de la transferencia de calor, un hombre de pie se puede modelar como un cilindro vertical de 30 cm de diámetro y 170 cm de largo, con las superficies tanto de arriba como de abajo aisladas y con la superficie lateral a una temperatura promedio de 34°C. Para un coeficiente de transferencia de calor por convección de 15 W/m2 · °C, determine la rapidez de la pérdida de calor de este hombre, por convección, en aire en calma a 20°C. ¿Cuál sería su respuesta si el coeficiente de transferencia de calor por convección se incrementara hasta 30 W/m2 · °C como resultado de los vientos? ¿Cuál es el factor de enfriamiento por el viento en este caso? 𝑨𝒔 = 𝝅𝑫𝑳 = 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟑𝒎 ∗ 𝟏. 𝟕𝒎 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒎𝟐 𝑸̇𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒕𝒐 = 𝒉𝑨𝒔 ∆𝑻 = (𝟏𝟓 𝑾⁄ 𝟐 ) (𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒎𝟐 )(𝟑𝟒 − 𝟐𝟎)º𝑪 = 𝟑𝟑𝟔. 𝟒𝟕𝐖 𝒎 ∗ º𝑪 𝑸̇𝒄𝒐𝒏𝒗 = 𝒉𝑨𝒔 ∆𝑻 = (𝟑𝟎 𝑾⁄ 𝟐 ) (𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒎𝟐 )(𝟑𝟒 − 𝟐𝟎)º𝑪 = 𝟔𝟕𝟐. 𝟗𝟑𝐖 𝒎 ∗ º𝑪 𝑸̇𝒄𝒐𝒏𝒗 = (𝒉𝑨𝒔 ∆𝑻)𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒕𝒐 𝟔𝟕𝟐. 𝟗𝟑𝐖 = (𝟏𝟓 𝑾⁄ 𝟐 ) (𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒎𝟐 )(𝟑𝟒 − 𝑻𝒆𝒇𝒆𝒄 )º𝑪 𝒎 ∗ º𝑪 𝟔𝟕𝟐. 𝟗𝟑𝐖 = 𝟖𝟏𝟕. 𝟎𝟐𝑾 − 𝟐𝟒. 𝟎𝟑𝑻𝒆𝒇𝒆𝒄 𝑻𝒆𝒇𝒆𝒄 = 𝟓. 𝟗𝟗ºC
1-122 Se va a calentar un cuarto de 4 m x 5 m x 6 m por medio de una tonelada (1 000 kg) de agua líquida contenida en un tanque colocado en el propio cuarto. Éste está perdiendo calor hacia el exterior con una razón promedio de 10 000 kJ/h. El cuarto está inicialmente a 20°C y 100 kPa, y se mantiene a una temperatura promedio de 20°C en todo momento. Si el agua caliente va a satisfacer las necesidades de calentamiento de este cuarto durante un periodo de 24 horas, determine la temperatura mínima de esa agua cuando se lleva al inicio del proceso a dicho cuarto. Suponga calores específicos constantes tanto para el aire como para el agua a la temperatura ambiente. 𝑸𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝑱⁄𝒉 ∗ 𝟐𝟒𝒉 = 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒌𝑱 𝑬𝒊𝒏 − 𝑬𝒐𝒖𝒕 = 𝑬𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 −𝑸𝒐𝒖𝒕 = ∆𝑼 = (∆𝑼)𝒂𝒈𝒖𝒂 + (∆𝑼)𝒂𝒊𝒓𝒆 −𝑸𝒐𝒖𝒕 = [𝒎𝒄(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 )]𝒂𝒈𝒖𝒂 −𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒌𝑱 = [𝟏𝟎𝟎𝟎𝒌𝒈 ∗ 𝟒. 𝟏𝟖
𝒌𝑱 ⁄𝒌𝒈 ∗ º𝑪 (𝟐𝟎 − 𝑻𝟏 )] 𝒂𝒈𝒖𝒂
−𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒌𝑱 = 𝟖𝟑𝟔𝟎𝟎𝒌𝑱 − 𝟒𝟏𝟖𝟎𝑻𝟏 𝟕𝟕. 𝟒𝟐º𝑪 = 𝑻𝟏 1-124 Se van a calentar válvulas para motores (cp= 440 J/ kg · °C y r= 7 840 kg/m3) desde 40°C hasta 800°C en 5 minutos, en la sección de tratamientos térmicos de una instalación de fabricación de válvulas. Las válvulas tienen un vástago cilíndrico con un diámetro de 8 mm y una longitud de 10 cm. Se puede suponer que la cabeza y el vástago de la válvula tienen un área superficial igual, con una masa total de 0.0788 kg. Para una sola válvula, determine a) la cantidad de transferencia de calor, b) la razón promedio de transferencia de calor y c) el flujo promedio de calor, d) el número de válvulas que se pueden tratar térmicamente por día si la sección de calentamiento puede contener 25 válvulas y se usa 10 horas al día. a) 𝑸 = ∆𝑼 = 𝒎𝑪𝒑 (𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 ) = 𝟎. 𝟎𝟕𝟖𝟖𝒌𝒈 ∗ 𝟎. 𝟒𝟒 𝒌𝑱⁄𝒌𝒈 ∗ º𝑪 (𝟖𝟎𝟎 − 𝟒𝟎)º𝑪 = 𝟐𝟔. 𝟑𝟓𝟏𝒌𝑱 𝑸 𝟐𝟔.𝟑𝟓𝟏𝒌𝑱 b) 𝑸̇𝒑𝒓𝒐𝒎 = ∆𝒕 = 𝟓∗𝟔𝟎𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟕𝟖𝒌𝑾 = 𝟖𝟕. 𝟖𝑾
d) #𝒗𝒂𝒍 =
𝑸̇𝒑𝒓𝒐𝒎
𝑸̇𝒑𝒓𝒐𝒎
𝟖𝟕.𝟖𝑾 = 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟎𝟖𝒎∗𝟎.𝟏𝒎 𝑨𝒔 𝟐𝝅𝑫𝑳 (𝟏𝟎∗𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏)(𝟐𝟓𝒗𝒂𝒍) = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒗𝒂𝒍 𝟓𝒎𝒊𝒏
c) 𝒒̇ 𝒑𝒓𝒐𝒎 =
=
= 𝟏𝟕𝟒𝟔𝟕. 𝟐𝟔 𝑾⁄ 𝟐 𝒎
1-126 La razón de pérdida de calor a través de una unidad de área superficial de una ventana por unidad de diferencia en la temperatura entre el interior y el exterior se llama factor U. El valor del factor U va desde 1.25 W/m2 · °C (o sea, 0.22 Btu/h · ft2 · °F), para ventanas de cuatro hojas, llenas con argón, con revestimiento de baja emisividad (low-e), hasta 6.25 W/m2 · °C (o sea, 1.1 Btu/h · ft2 · °F), para una ventana de una sola hoja, con marcos de aluminio. Determine el rango para la razón de pérdida de calor a través de una ventana de 1.2 m x 1.8 m de una casa que se mantiene a 20°C cuando la temperatura del aire exterior es de -8°C. 𝑸̇𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒏𝒂 = 𝑼𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑨𝒗𝒆𝒏𝒕𝒂𝒏𝒂 (𝑻𝒊 − 𝑻𝟎 ) 𝑸̇𝒗𝒆𝒏𝒕+ = 𝟔. 𝟐𝟓 𝑾⁄ 𝟐 ∗ (𝟏. 𝟐𝒙𝟏. 𝟖𝒎𝟐 )(𝟐𝟎 − (−𝟖))º𝑪 = 𝟑𝟕𝟖𝑾 𝒎 ∗ º𝑪 𝑸̇𝒗𝒆𝒏𝒕− = 𝟏. 𝟐𝟓 𝑾⁄ 𝟐 ∗ (𝟏. 𝟐𝒙𝟏. 𝟖𝒎𝟐 )(𝟐𝟎 − (−𝟖))º𝑪 = 𝟕𝟓. 𝟔𝑾 𝒎 ∗ º𝑪
1-128 Un calefactor eléctrico con área superficial total de 0.25 m2 y una emisividad de 0.75 está en un cuarto en donde el aire tiene una temperatura de 20°C y las paredes se encuentran a 10°C. Cuando el calefactor consume 500 W de potencia eléctrica, su superficie tiene una temperatura estacionaria de 120°C. Determine la temperatura de la superficie del calefactor cuando consume 700 W. Resuelva el problema a) si se supone radiación despreciable y b) si se toma en consideración la radiación. Con base en sus resultados, haga un comentario acerca de la suposición establecida en el inciso a).
𝑸̇ 𝑺 −𝑻∞ )
𝟓𝟎𝟎𝑾
= 𝟎.𝟐𝟓𝒎𝟐∗(𝟏𝟐𝟎−𝟐𝟎)º𝑪 = 𝟐𝟎 𝑾⁄ 𝟐 𝒎 ∗ º𝑪 𝑸̇ 𝟕𝟎𝟎𝑾 𝑻𝒔 = 𝑻∞ + = 𝟐𝟎º𝑪 + = 𝟏𝟔𝟎º𝑪 𝑨𝒉 𝟎. 𝟐𝟓𝒎𝟐 ∗ 𝟐𝟎 𝑾 ⁄ (𝒎^𝟐 ∗ º𝑪)
a) 𝒉 = 𝑨(𝑻
b) 𝒉 =
𝑸̇−𝜺𝑨𝝈(𝑻𝟒𝒔 −𝑻𝟒𝒔𝑼 ) 𝑨(𝑻𝑺 −𝑻∞ )
=
−𝟖 𝟓𝟎𝟎𝑾−(𝟎.𝟕𝟓)(𝟎.𝟐𝟓𝒎𝟐 )(𝟓.𝟔𝟕𝒙𝟏𝟎 𝑾⁄ 𝟐 ∗𝑲𝟒 )[𝟑𝟗𝟑𝟒 −𝟐𝟖𝟑𝟒 ]𝑲 𝒎 𝟎.𝟐𝟓𝒎𝟐 ∗(𝟏𝟐𝟎−𝟐𝟎)º𝑪
𝟏𝟐. 𝟓𝟖𝟒 𝑾⁄ 𝟐 𝒎 ∗ º𝑪 𝑸̇ = 𝒉𝑨(𝑻𝑺 − 𝑻∞ ) + 𝜺𝑨𝝈(𝑻𝟒𝒔 − 𝑻4𝒔𝑼 ) 700𝑊 = 12.584 𝑊⁄ 2 ∗ 0.25𝑚2 (𝑇𝑆 − 293) + 0.75 ∗ 0.25𝑚2 𝑚 ∗ º𝐶 −8 ∗ (5.67𝑥10 𝑊⁄ 2 ∗ 𝐾 4 ) (𝑇𝑠4 − 283𝐾 4 ) 𝑚 𝑇𝑆 = 425.9𝐾 = 152.75º𝐶
=
1-130 Un bloque de motor con un área superficial de 0.95 m2 genera una potencia neta de salida de 50 kW y tiene una eficiencia de 35%. El bloque de motor opera dentro de un compartimiento a 157°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección es de 50 W/m2 · K. Si la convección es el único mecanismo de transferencia de calor, determine la temperatura superficial del bloque de motor. 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = 𝑊𝑜𝑢𝑡 (1 − 𝑛) = 50𝑘𝑊 ∗ (1 − 0.35) = 32.5𝑘𝑊 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝑄̇𝑐𝑜𝑛𝑣 32.5𝑥103 𝑊 = 157º𝐶 + = 841.21º𝐶 𝐴𝑠 ℎ 50 𝑊⁄ 2 ∗ 0.95𝑚2 𝑚 ∗ º𝐶 1-132 ¿Cuál de las ecuaciones siguientes se utiliza para determinar el flujo de calor por convección? 𝑇𝑠 = 𝑇∞ +
a) −𝑘𝐴
𝑑𝑇 𝑑𝑥
b) -kgrad T c) ℎ(𝑇2 − 𝑇1 ) d) 𝜀𝜎𝑇 4 e) Ninguna de ellas.
