ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULT FACULTAD AD DE INGENIERÍA INGENI ERÍA MECÁNICA MECÁNI CA VIBRACIONES Javier Esteban Proaño Sánchez
25 / 11 / 2013
1. Una masa masa de 0,0! 0,0! "# es conectad conectadaa a$ e%tremo e%tremo de &n resorte resorte con con &na ra'idez ra'idez 0,2 (/cm. )etermine e$ coe*iciente de amorti#&amiento cr+tico.
c c =2 √ mk mk =2 √ 0.907 0.907 · 7 × 10
2
2. Para Para ca$ibrar ca$ibrar &n amorti#&a amorti#&ador dor,, $a ve$ocidad ve$ocidad de$ 'istn 'istn *&e medida medida c&ando c&ando se $e a'$icaba a'$icaba &na *&erza dada si e$ 'eso es - $b 'rod&ce &na ve$ocidad ve$ocidad constante de 1,20 in/s. )etermine e$ *actor de amorti#&acin.
F d = cv c=
F d v
=
0,50 lb·s =0,417 ¿ 1,20
c =0,417 c =73,03 ξ=
lb·s ¿
× 0.448
N 1 ¿ = 0,7303 N·s × lb 2,54 cm cm
N·s m
c 73.03 = =1,45 c c 50.4
3. Un sistema sistema vibrante vibrante arrancan arrancando do con $as si#&ientes si#&ientes condic condiciones iones inicia$e inicia$es s % 0, x vo. determine $a ec&acin de$ movimiento c&ando a 2,0 b 0,5 c 1,0. a
ξ =2
A =− B= x ω0 v0
=
b
v0 2 ωn √ ξ −1
1 ( e−0,268 ω 3,464
n
−e−3,732 ω t )
t
n
ξ =2
x ω0 v0 c
2
=
−0,5 ωn t
e
3,464
( sen 0,865 ω n t )
ξ =1
x ω0 v0
= ωn t · e−ω t n
. Un sistema vibrante 4&e consta de &na masa de 2,2! "# 6 &n resorte con &na ri#idez de 1!,5 (/cm es amorti#&ado viscosamente de modo 4&e $a razn entre dos am'$it&des consec&tivas es 1,0 6 0,7. 8a$$e a $a *rec&encia nat&ra$ de$ sistema amorti#&ado, b e$ decremento $o#ar+tmico, c e$ *actor de amorti#&acin 6 d e$ coe*iciente de amorti#&acin. x1 1
δ = ln ξ≅
x2
= ln
0,98
= ln1,020408 =0,0202
δ =0,003215 2 π
ω n=
√ √
k 1750 = =27,78 ≅ ω d m 2,267
c =2 m ωn ξ =2 × 2,267 × 27,78 × 0,003215=0,405
N·s m
5. Un sistema vibrante consta de &na masa de ,53 "b, &n resorte de 35,0 (/cm 6 de &n amorti#&ador con &n coe*iciente de amorti#&acin de 0,123 (9s/cm. 8a$$ar a e$ *actor de amorti#&acin, b e$ decremento $o#ar+tmico 6 c $a razn de dos am'$it&des consec&tivas. a c m 14,43 = ξ= 2 m k 2 × 4,534
√
√
4,534 3500
=0,0493
b
δ =
2 πξ
√ 1 −ξ 2
= 0,3101
c
x n x n +1
= eδ =2,7180,310 =1,364
. Un sistema vibrante tiene $as si#&ientes constante m 1!,5 "#, " !0,0 (/cm 6 c 0,! (9s/cm. )etermine a e$ *actor de amorti#&acin, b $a *rec&encia nat&ra$ de $a osci$acin amorti#&ada, c e$ decremento $o#ar+tmico 6 d $a razn de dos am'$it&des consec&tivas c&a$es4&iera. a
ξ=
c 70 = =0,1 2 √ mk 2 √ 17,5 × 7000
b
f d =
1
√ 1 −ξ 2
2 π
c
√
√
1 7000 m = =3,167 Hz √ 1 −0,01 17,5 k 2 π
δ =
2 πξ
√ 1 −ξ
2
= 0,6315
d x n
=e 0,6315 =1,874
x n−1
!. Un sistema resorte:masa con amorti#&amiento viscoso es des'$azado de s& 'osicin de e4&i$ibrio 6 de;ado $ibre. Si $a am'$it&d dismin&6e en &n 5< 'or cada cic$o, =>&? *raccin de$ amorti#&amiento critico tiene e$ sistema@ 1 =ln 1,0527 =0,05129 0,95
δ =ln δ =
2 πξ
√ 1 −ξ
2
= 0,05129
ξ =0,00816 7. Un cañn 4&e 'esa 1200 $b, tiene &n resorte de rec&$ada con ri#idez de 20000 $b/*t. Si e$ cañn rec&$a *t a$ dis'arar, determine a $a ve$ocidad inicia$ de rec&$ada, b e$ coe*iciente de amorti#&amiento cr+tico de &n amorti#&ador 4&e está co$ocado en e$ e%tremo de $a carrera de rec&$ada 6, c e$ tiem'o re4&erido 'ara 4&e e$ cañn retorne a &na 'osicin a dos in de s& 'osicin inicia$.
ω n=
√
20000 × 32,2 1200
=23,17
rad s
1 1 2 2 m x´ max = k x´ max 2 2
x´ max= 23,14 × 4 = 92,66 −
x =e
ω n t
[0
+
]
m s −
ω n x (0 ) t + x (0 ) e
ωn t
=
x ( 0 ) [ 1 + ω n t ]
ωn t
−
e
2 −ω t − ω t 4 1+ ωn t =e 1 + ωn t = 0.0417 =e 12 n
[
]
n
[
]
ω n t = 4,96 t =
4,96 =0,214 s 23,17
. Se desea diseñar &n amorti#&ador ta$ 4&e s& sobresa$to sea 10< de$ des'$azamiento inicia$, c&ando se $e $ibera. )etermine 1. Si se hace i#&a$ a -1 =A&á$ será e$ sobresa$to@ −ξω n
x = x ( 0 ) e
cos √ 1− ω ωn t 2
at √ 1− ω ωn t =π 2
cos √ 1−ω ω n t =−1 2
−
ξ ωn
−
0,1=1 e
(−1 )
−ξ ωn
0,1= e
ξ =0,59
ξ=
0,59 =0,295 2
√ 1−ξ 2=0,9555 − 0,295 π
x = e
0,9555
=0,379=37,9
10. Ba masa mostrada en $a *i#&ra esta inicia$mente en re'oso, c&ando se $e im'rime &na ve$ocidad de in/s. enc&entre e$ des'$azamiento 6 $a ve$ocidad de $a masa en &n instante c&a$4&iera. )ados c 0,75 $b9s/inC " 25 $b/in 6 D 0 $b.
m x´ + m x´ + 2 kx = 0 ωn t A cos ω n t + B s e n ¿ − ξω n t
x =e ω n= m= ξ=
¿
√ √
k 50 rad = = 20 m m s
40 32,2 × 12
c 0,85 = = 0,181 2 mω n 2 × 0,11 × 22
ω =√ 1−ξ ωn=22 √ 1−0,181 =21,6 2
− 3,98 t
x =e
2
rad s
( A cos 21,6 t + B s e n 21,6 t )
−3,98 t
x´ =−3,98 e
( A cos21,6 t + B se n 21,6 t )+ 21,6 e−3,98 t ( A cos21,6 t +B se n 21,6 t )
Si t 0, % 0C 0. Si t 0, x C 0,175 −3,98t x = 0,185 e se n 21,6 t − 3,98 t
x´ =e
( 4 cos 21,6t +0,737 se n 21,6 t )
11. Se observa 4&e $a am'$it&d de vibracin de$ sistema, mostrado en $a *i#&ra, decrece hasta &n 25< de$ va$or inicia$ des'&?s de cinco cic$os consec&tivos de movimiento. )etermine e$ coe*iciente de amorti#&amiento c de$ sistema si " 20 $b/in 6 m 10 $b. ω (¿¿ n t + φ ) −ξω n t
x = e
sen ¿
x j 1 1 x = ln 1 δ = ln n x j+ n 5 x 6 1 5
1 =0,28 0,25
δ = ln δ =
2 πξ
√ 1 −ξ 2
= 0,28
ξ =0,044
c =2 ξ √ km c =2 ( 0,044 )
√
20 12
×
10 32,2
=0,063
lb·s ¿
12. Una masa de 50 $b re'osa sobre &n resorte de 25 $b/in 6 &n amorti#&ador de 0,!5 $b9s/in, como se m&estra en $a *i#&ra. Si se a'$ica &na ve$ocidad de in/s a $a masa en s& 'osicin de re'oso, =A&á$ será e$ des'$azamiento a$ *ina$ de$ 'rimer se#&ndo@
ω (¿¿ n t + φ ) −ξω t x = e sen ¿ n
ω n=
√ √
k 25 × 386 = =13,89 m 50
c c =2 mω n= ξ=
2 × 50 × 13,89 =3,6 386
c 0,75 = = 0,208 c c 3,6
t =1 φ =0
( 13,89 )=¿ 0,053 ∈¿ ( 13,89 × 1 +0 )=¿ e−2,89 se n ¿ − 0,208 × 13,89× 1 x =e se n ¿
13. Bos datos si#&iente están dados 'ara &n sistema vibratorio con amorti#&amiento viscoso F 10 $b, " 30 $b/in 6 c 0,12 $b9s/in. )etermine e$ decremento $o#ar+tmico 6 $a razn de dos am'$it&des s&cesivas c&a$es4&iera.
ω n=
√ √
k 30 × 386 rad = =34,0 m 10 s
c c =2 mω n=
c 0,12 = = 0,0681 c c 1,76
ξ=
δ = x 1 x 2
2 × 10 × 34 lb·s =1,76 ¿ 386
2 πξ
√ 1 −ξ
2
=
2 π × 0,0681
√ 1−0,0681
0,429
δ
=e = e
2
=0,429
=1,54
1. )ed&zca $a ec&acin di*erencia$ de movimiento de$ sistema mostrado en $a *i#&ra. )etermine $a e%'resin 'ara a e$ coe*iciente de amorti#&amiento cr+tico 6 b $a *rec&encia nat&ra$ de $a osci$acin amorti#&ada.
∑ M 0=−ac ( a θ´ ) −2 k ( aθ )= ml
()
2
θ´
()
2 2 ´θ + c a θ´ + k a θ =0 θ =e s t
m l
m l
( ) √( ) ( ) 2
= −c a
1,2
!
2m l
2
cc a
2 ml
2
=
2
2
ca − k a 2 l l 2m l
2
√
a k l c c =2 √ km l m a
√ ( ) √ √ ( 2
)
2
a k ca − ca = a k 1− =ω n √ 1−ξ 2 ω d= l m 2 ml l m 2 ml √ km ω n=
√
a k ca ξ = l m 2 l √ km
θ´ + 2 ξ ω n θ´ + ωn θ= 0 2
15. Escriba $a ec&acin di*erencia$ de moviente 'ara e$ sistema de $a *i#&ra 6 determine $a *rec&encia nat&ra$ de $a osci$acin amorti#&ada 6 e$ coe*iciente de amorti#&amiento cr+tico.
∑ M = ma θ´ =−k b θ −c a θ´ 2
0
2
2
()
2
c k b θ´ + θ´ + θ =0 m m a
√ () ( )
√
2
b k k b c ω n= ωd = − a m m a 2m c c=
2b
a
2
√ km
1. Una barra r+#ida &ni*orme, de masa m 6 $on#it&d $ está artic&$ada en 0 6 so'ortada 'or &n resorte 6 &n amorti#&ador viscoso como se m&estra en $a *i#&ra. Gidiendo a H a 'artir de $a 'osicin de e4&i$ibrio estático, determine a $a ec&acin 'ara 'e4&eños H e$ momento de inercia de $a barra con res'ecto a 0 es m$2/3, b $a ec&acin 'ara $a *rec&encia nat&ra$ no amorti#&ada 6 c $a e%'resin 'ara e$ amorti#&amiento cr+tico. 2 − ml ´ =
δ"
3
´ − kaθaδθ =0 θ δθ − cl θlδθ
()
2
3 c ´ 3 k a θ´ + θ+ θ =0
m
m
l
θ´ + 2 ξ ω n θ´ + ωn θ= 0 2
ω n=
√
2a 3c a 3 k cc= √ 3 km ξ = 3l 2 m ωn l m
√ √ ( ) √ √ 2
a 3 k a c a = ω d= ωn √ 1 −ξ = 1− l m 4 m ωn l 2
3 k
m
( )
cl 1− 4 km a 3
2
1!. Una '$aca de$#ada, de área 6 'eso D esta &nida a$ e%tremo de &n resorte 6 se $e de;a osci$ar en &n *$&ido viscoso como se m&estra en $a *i#&ra. Si I 1 es e$ 'eriodo nat&ra$ de $a osci$acin no amorti#&ada esto es, con e$ sistema osci$ando en e$ aire 6, I 2 e$ 'eriodo amorti#&ado con $a '$aca s&rmer#ida en e$ *$&ido, m&estre 4&e 2 π" 2 2 #= % 2−% 1 √ $A % 1 % 2 En donde $a *&erza de amorti#&amiento en $a '$aca es F d = # 2 Av , 2 es $a s&'er*icie tota$ de $a '$atina 6 v, s& ve$ocidad.
" ´ + kx =0 x´ + 2 #A x $ x´ +
2 #A$
"
x´ +
√
k$ " x =0 c c = 2 π " k$
√ ( ) ( ) −( ) =−( ) k$ #A$ f 2= = − % 2 2 π " " 1
2 π
1
2
2 π
% 2
#=
2
#A$ "
% 1
√
2
2
2 π " % 2 −% 1
A$
2 1
2 2
% %
=
2 =
√( ) ( ) 2 π
1 2 π
2
% 1
−
#A$ "
2
2
2 π"
A$ % 1 % 2
√ % 2 −% 1 2
2
17. Un 'istn de ,53 "# via;a en &n t&bo con &na ve$ocidad de 15,2 m/s 6 entra en contacto con &n resorte 6 amorti#&ador como en $a *i#&ra. )etermine e$ má%imo des'$azamiento de$ 'istn des'&?s de encontrarse con e$ resorte:amorti#&ador. =A&ántos se#&ndos se re4&iere@
ω n=
√
35000 4,53
=87,89
rad s
2 π = 0,0715 s 87,89
% =
c c =2 √ km=797,04 ξ =0,2197
% d =√ 1−ξ % = 0,0697 2
x =
x´ ( 0) ωn √ 1 −ξ
− ξω n t
e 2
sen √ 1−ξ ωn t 2
x = x max se n √ 1 −ξ ω n t ≅ 1 ω n t = 2
−0,2197 15,24 x = e 87,89 × 0,9756
π 2
( )=0.1259 m π 2
1 4
t = % d =0,0174 s
1. )etermine $a ec&acin di*erencia$ de$ movimiento amorti#&amiento cr+tico 'ara e$ sistema de $a *i#&ra.
6
estab$ezca
e$
()
1 1 x´ 2 1 2 & = m1 x´ + m 2 x´ + ' 0 2 2 2 r
(
1 ax 2 1 + x ( = k 1 x + k 2 2 2 r
2
)
2
(
) (
)
' d ( & + ( )= m1 x´ + m 2 x´ + 20 ´ x x´ + k 1 x + k 2 x + a k 2 x x´ dt r r d ( & + ( )=− c x´ x´ = d" dt dt
(
m 1+ m 2+
' 0
) (
)
a ´ =0 x´ + k 1 + k 2 + k 2 x + c x r r 2
c c =2 √ k ef m ef = 2
√(
)(
' 0 a k 1+ k 2 + k 2 m1 + m2+ 2 r r
)
20. 8a$$ar $a ec&acin di*erencia$ de$ movimiento 'ara vibracin $ibre de$ sistema de $a *i#&ra. 2
2
x + ) =l
2
2 xdx + 2 )d) =0
)´ = & =
−3 4
d) − x = dx )
x´
1 ( 0.854 ml )+ 0.5625 M x´ 2 2
[
1 1 9 2 ( = k ) = k x 2 2 16
]
2
´ d ´ ( & + ( )=− c 2 l x = 2 c x dt 3 l 3
