§1.8 EL CONJUNTO TERNARIO TERNARIO DE C ANTOR
1.8
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El conjun conjunto to ternar ternario io de Cantor Cantor
Si alguien nos pide un subconjunto de los números reales, es probable que demos un intervalo tervalo o un conjunto finito. finito. En realidad, realidad, ¿qué tan raro puede ser un subconjunto subconjunto de los números reales? Bueno, para muestra basta un botón. Imagine que alguien le pide remover del intervalo [0 , 1] un subconjunto de longitud uno (la misma longitud que la del intervalo) con la condición de que en el resto queden tantos puntos como en el intervalo original. Parafraseando podría decirse así: dar un subconjunto de la recta real que tenga longitud cero y que tenga tantos puntos como la recta real. El famosísimo Conjunto de Cantor es es tal ejemplo ejemplo y será un conjunto conjunto que encontremos encontremos a lo largo de varios varios capítulos, pues es fuente de ejemplos y contraejemplos para una gran variedad de conceptos. La construcción del conjunto de Cantor es recursiva y se hace como sigue: Sea F 0 = [0, 1] el intervalo intervalo unitari unitario. o. Remove Removemos mos del interv intervalo alo [0 , 1] el intervalo Ahora, de cada cada uno (1/3, 2/3) (el tercio medio) para obtener F 1 = [0, 1/3] ∪ [2 /3, 1]. Ahora, de los intervalos que conforman a F 1 removemos el tercio medio, es decir, los intervalos intervalos (1/9, 2/9) y ( 7/9, 8/9). Obtenemos, F 2 = [0 , 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1]. En el siguiente paso removemos removemos de cada uno de los intervalos intervalos de F 2 el tercio medio y queda F 3 = [0, 1/27] ∪ [2/27, 1/9] ∪ [2/9, 6/27] ∪ [7/27, 1/3] ∪ · · · ∪ [26/27, 1]. Continuamos este proceso de eliminación inductivamente. Así, en el paso n tenemos un subconjunto F n del intervalo [0, 1] que consiste de 2n intervalos de longitud 31n cada uno. El conjunto F n se obtiene de F n−1 removiendo los tercios medios de cada uno de los 2 n −1 intervalos que conforman a F n −1 . El conjunto de Cantor finalmente es: ∞
C =
F n
n =1
Note que para obtener el conjunto de Cantor hemos quitado del intervalo [0 , 1] intervalos con la siguiente longitud total: 1 2 4 8 + + + + · · · 3 9 27 81 1 2 2 2 2 3 1 1 + + = + + · · · = = 1. 3 3 3 3 3 1 − 23
§1.9 LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO
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= ∅ pues, por ejemplo, 0, 1 /3, 2/9, 7/9 Luego la longitud de C es cero y sin embargo C y en general todo extremo de intervalo que conforma a cada F n pertenece a C . Se puede argumentar que C ∼ [0, 1]. La idea de la demostración de este hecho es la siguiente. Si x ∈ C entonces x tiene una expansión ternaria que sólo usa los dígitos 0 y 2. Algunos elementos de C tienen dos expansiones ternarias (de hecho son aquellos números en [0, 1] cuyo denominador es potencia de 3). Como hicimos en el caso de expansiones decimales, podemos elegir, para tales elementos, la expansión ternaria que tiene cola de 2. Inversamente cada expansión ternaria que sólo usa los dígitos 0 y 2 corresponde a un elemento del conjunto de Cantor. El método diagonal de Cantor puede usarse ahora para concluir la no-numerabilidad de C y como C ⊂ [0 , 1] entonces #(C ) = #([0, 1]). El lector avezado habrá notado aquí un pequeño detalle técnico: ¿cómo sabemos que no hay infinitos no-numerables “más chicos” que el cardinal infinito que corresponde a #([0, 1])? La respuesta es la llamada hipótesis del continuo que se discute brevemente en la siguiente sección. Si se desea evitar la hipótesis del continuo, otra manera de mostrar la equivalencia entre C y el intervalo [0 , 1] es establecer una correspondencia biunívoca entre C y [0, 1] usando la expansión ternaria de los elementos de C y la expansión binaria de los elementos de [0, 1] (la correspondencia sería “dividir entre 2” cada dígito de la expansión.).
1.9
La hipótesis del continuo
De la no-numerabilidad de los números reales tenemos que #(R) > #(N). En general, puede probarse que si A es un conjunto no vacío (¿quién es P (∅)?) entonces, #( A) < #(P ( A)). Recuerde que designamos por ℵ0 a #(N). Los resultados de la sección anterior muestran que #(P (N)) > ℵ0. Se define ℵ1 = #(P (N)), ℵ2 = #(P (P (N))), etcétera. Una pregunta natural es ¿corresponde #(R) a algún aleph? Está pregunta se la hizo Cantor durante sus estudios sobre cardinalidad y también apareció como el problema número uno en la lista de los ya famosos 23 problemas de Hilbert11 que éste anunció durante el Congreso 11 David Hilbert, 1862-1943.
§1.9 LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO
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Internacional de Matemáticas en 1900. A #(R ) se le conoce como el cardinal del continuo y se le denota usualmente por c . En 1963, Cohen12 demostró que el problema de decidir cual de los alephs es c es un problema insoluble, en el sentido de que diferentes ubicaciones de c en la sucesión de alephs son compatibles con los axiomas en los que se basa la teoría de conjuntos. La demostración le valió a Cohen la medalla Fields 13 de matemáticas en 1964. La hipótesis del continuo es suponer que no hay un conjunto infinito cuyo cardinal este entre ℵ0 y c .
E JERCICIOS ✎ 1.35 En este ejercicio C denota al conjunto de Cantor. a)
Probar que cada elemento de C admite una expansión ternaria que sólo usa los dígitos 0 y 2.
b) Pruebe
que 1/4 ∈ C .
c) Pruebe
que C ∼ [0, 1].
12 Paul Joseph Cohen, 1934-. 13 John Charles Fields, 1863-1932.
