Índice La geometría Geometría del espacio
Cuerpos geométricos Clases de sólidos Propiedades
El Cono
Elementos del cono Clasificación Características Ejercicios
La esfera
Elementos de la esfera Circunferencia en una esfera Características Ecuaciones de la esfera Generalización de la esfera Ejercicios de la esfera
Bibliografía
LA GEOMETRIA La geometría (del latín geometría, que proviene del idioma griegoγεωμετρία, geo tierra y metria medida), La geometría es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros. En la práctica, la geometría sirve para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías. La geometría clásica o axiomática es una matemática en la cuál los objetos, en vez de ser números, son puntos, rectas, planos y otras figuras definidas en función de estas.
La geometría del espacio o geometría espacial o geometría de los
cuerpos sólidos es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas que ocupan un lugar en el espacio
Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio. La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X,Y,Z):
Ortogonales (perpendiculares 2 a 2) Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son iguales). Dextrógiros (el tercer eje es producto vectorial de los otros dos).
Estos cuerpos pueden ser de dos clases
Poliedros, sólidos que tienen todas las caras planas. Sólidos platónicos Prismas Pirámides No poliedros o cuerpos redondos, aquellos sólidos que tienen al menos una cara de superficie curva. Esferas Cilindros Conos o o o
o o o
Los sólidos tienen propiedades, como
Volumen Área de la superficie
Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Es una superficie generado por una recta denominada generatriz que va pasando por un punto fijo denominado vértice, se desplaza por todos los puntos de una línea curva plana no secante así misma denominada directriz, de tal modo que el vértice no pertenece al plano de la directriz
la región correspondiente al polígono de la sesión se denomina base del cono, el vértice de la superficie cónica se denomina vértice o cúspide del cono, la porción de la superficie cónica correspondiente al cono se denomina superficie lateral y la perpendicular trasada el vértice al plano de la base es altura del cono
Eje: o
Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.
Base o
Es el círculo que forma el otro cateto.
Altura o
Es la distancia del vértice a la b ase.
Generatriz o
E s l a hipotenusa d e l t r i á n g u l o rectángulo .
Por el teorema de Pitágoras la generatriz del cono será igual a:
Se denominan: Cono recto: es aquel cuya base es un circulo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos. La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos ext remos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base. La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.
El volumen de un cono recto es:
Un tronco de cono recto de bases paralelas es la porción de cono comprendido entre la base y una sección paralela a ella. Es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar alrededor del lado perpendicular a las bases.
Queda caracterizado por los radios de las bases, r y r', la altura, h, y la generatriz, g, entre las cuales se da la siguiente relación: g2 = (r - r')2 + h2
El área lateral de un tronco de cono es: Alat = π(r + r')·g
Su volumen es: V = p·(r2 + r'2 + rr') ·h/3 Un cono oblicuo es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje y que corte a todas sus generatrices.
AL =
·r·g
(Es decir, es área lateral es igual a (pi)multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz ( g ) del cono)
AT = AL + Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área del círculo de la base)
V = Ab · h/ 3
(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del cono y dividido entre 3)
1. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
2. Calcula
el
área
lateral,
total
y
el
volumen
de
un
cono
cuya
generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
3. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 c m.
En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14). Esfera proviene del término griegoσφαῖρα, sphaîra , que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplean palabras como bola , globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico. De todas las figuras, la esfera es la que tiene menor área de superficie dada una cantidad fija de volumen. O por decirlo de otra manera, contiene el mayor volumen posible dad una cantidad fija de área superficial.
Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
Distancia del centro a un punto de la esfera.
Segmento que une dos puntos de la superficie.
Cuerda que pasa por el centro.
Son los puntos del eje de giro que quedan sobre
la superficie
esférica.
Circunferencias
obtenidas
al
cortar
la
superficie
esférica
con
planos
perpendiculares al eje de revolución.
o
C i r c u n f e r e n c i a o b t e n i da a l c o r t a r l a s u p e r f i c i e e s f é r i c a c o n e l p l a n o perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.
o
C i r c u n f e r e n c i a s o b t e n i d as a l c o r t a r l a s u p e r f i c i e e s f é r i c a c o n p l a n o s que contienen el eje de revolución.
Las esferas aparecen en la naturaleza cuando la superficie tiene que ser lo más pequeña posible. Algunos ejemplos son las burbujas y las gotas de agua, ¿se te ocurren más?
El planeta Tierra, nuestro hogar, es casi una esfera, excepto porque está un poco aplastada en los polos Es un esferoide, lo que significa que sólo falla en ser una esfera perfecta en una dirección (en el caso de la Tierra, el eje norte-sur)
La superficie de la esfera o superficie esférica puede definirse también como el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual al radio. Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un solo punto común) o secantes, si el plano atraviesa la esfera. La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de la esfera, R, y la distancia, d, del plano al centro de la esfera: r2 = R2 - d2
El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:
Donde V es el volumen de la esfera y r el radio. Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes. Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.04% sin utilizar el valor de π:
ÁREA A=4·
2
·r
(Es decir, es área es igual a 4 multiplicado por pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado del radio de la esfera)
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es:
Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1. Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:
La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:
y en el segundo ejemplo:
En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parame trizados de la siguiente manera:
Donder es el radio, (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro y (θ, φ) son los parámetros angulares de la ecuación.
Secciones: La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo. Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
Por otra parte, dos esferas se intersecan si:
Y
(Son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r , r' y d , donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios. En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero. En general, el radio es:
el medio perímetro.
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera. En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este. Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalosemi-abierto de
longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje ve rtical, donde sirve cualquier valor de φ. Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas esféricas (r, φ, θ) serán:
Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las coordenadas esféricas:
Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclídeo de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es:
Dondet es la cuarta coordenada. Análogamente en un espacio euclídeo de n dimensiones:
Y para una esfera de radio r , y centro (c1, c2,..., cn):
El volumen de la esfera contenida en la superficie anterior, en dimensión n se calcula por inducción sobre n. Aquí están los diez primeros valores de Vn(r) y las superficies correspondientes:
Dimensión
1
2
3
2
Volumen
2r
πr
Superficie
2
2πr
4πr
4 3
3
4πr
π
5
2 4
r
2
2
2π
8π
6
2 5
r
15
2 3
r
8π
3 6
π
r
6
2 4
3
r
3 5
π
r
7 16π
8 3 7
r
105 16π
3 6
15
r
4 8
π
r
24 4 7
π
r
3
9 32π
10 4 9
r
945 32π
4 8
r
105
5 10
r
π
120 5 9
π
r
12
El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7 (en figuras de radio unitario). Existe la posibilidad de representar una n-esfera o hiperesfera de n dimensiones como fibrado de otra hiperesfera de dimensión inferior. Esto sólo sucede en tres casos:
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números complejos. , puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números cuaterniónicos.
, puede ser representada como fibrado no trivial con espacio base y fibra , esta construcción puede obtenerse a partir de una construcción geométrico-algebraica utilizando números octoniónicos.
Para dimensión superior no existen otros casos en que esto sea posible.
Ejercicios de la esfera:
, esta
Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.
Calcular
el
área
y
el
volumen
de
una
zona
esférica
cuyas
circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5cm.
Bibliografía http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/cono.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/esfera.html http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa http://gimnasio-altair.com/exe/geometria/el_cono.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0263-02/geometria/cono.html http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera http://www.vitutor.com/geo/esp/f_7.html http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_del_espacio http://www.vitutor.net/2/2/33.html http://www.vitutor.net/2/2/31.html
