EL METODO DE NEWTON- RAPHSON MODIFICADO
La dificultad del método de Newton Raphson en el comportamiento de una función con raíces múltiples obliga a considerar una modificación del método discutido por Ralston. Como primero se desean encontrar las raíces de una función f(x). Definimos una función nueva U(x), dada por,
Se observa que la función U(x) tiene las mismas raíces que f(x), entonces U(x) se vuelve cero en cualquier punto que f(x) es cero. Suponiendo ahora que f(x) tiene una raíz múltiple en x = c de multicidad r. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si f(x) contiene un factor (x-c). Entonces, podría fácilmente demostrarse que U(x) tiene una raíz en x = c de multicidad r, o una raíz simple. Puesto que el método de Newton Raphson es efectivo para raíces simples, podemos aplicar el método de Newton para resolver U(x) en lugar de f(x). De esta manera, la ecuación recursiva de este método queda:
derivando la función auxiliar U(x), dada por ( 3-11),queda:
Ya que este método está significantemente relacionado con el método de Newton-Raphson, cuando la derivada tiende a cero, tiene problema con la convergencia. Cuando se tiene existencia de raíces múltiples, tanto el método de Newton-Raphson como el de la secante convergen linealmente. El método de Newton-Raphson modificado el cual se describe a continuación consiste en aplic ar el método de Newton-Raphson univariable dos veces (para el caso de un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas, se aplicara n veces), una para cada variable. Cada vez que se hace esto, se considera las otras variables fijas. Considérese de nuevo el sistema F1(x,y)=0 F2(x,y)=0 Tomando los valores iniciales x0,y0, se calcula a partir del método de Newton-Raphson univariable un nuevo valor x1 de la forma siguiente:
Este método converge a menudo si x0,y0 está muy cerca de x negada y ynegada, y requiere la evaluación de solo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuaciones que se está manejando). Hay que observar que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero los desplazamientos simultáneos también son aplicables. En la aplicación de este método se pudo tomar f2 para evaluar x1 y f1, a fin de evaluar y1, así: Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia en el otro.es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergirán para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando 3 <= n las posibilidades son varias (n!) y es imposible conocer cuál de estos arreglos tiene viabilidad de convergencia, por lo cual la elección se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventaja de este método. En general, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: x1,x2……,xn, el algoritmo toma la forma:
DESARROLLO EJEMPLOS -tomaremos esta función: F(X)= 3.5X^2+6.8X-8 Método matemático: Primero se calculan las derivadas de la función original
para la raíz uno : X1=0.825621165 X=1
Para la raíz dos:
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
El método de Newton es un método numérico que se utiliza para encontrar ceros de una función. Sea F ∶ → un campo vectorial de clase ζ1 .Un punto x ∈ será un cero de F si: Fx = 0 El método de Newton para este problema es el siguiente:
Etapa 0:Seleccionar un punto incial x ∈ R k=0 Etapa 1:Calcular F( ) Si ‖ ‖ ≈ 0 → − Si no, calcular ∇F(x ), [∇Fx] y seguir a etapa 2 Etapa 2: Calcular − x + = x [∇Fx ] . F(x) k = k 1 y volver a la etapa 1. Este método se puede aplicar a la búsqueda de los ceros del gradiente de una función f ∶ → R, suficientemente regular. Es decir, se buscan los puntos estacionarios de f Método de optimización de newton:
Etapa 0:Seleccionar un punto inicial x ∈ R K=0 Etapa 1: Calcular ∇F(x ) Si ‖Fx‖ ≈ 0 → S T O P − Si no, calcular ∇F(x ), [∇ F(x )] y seguir a etapa 2. Etapa 2: Calcular: − x+ = x [∇F(x )] . ∇F(x ) k = k 1 y volver a la etapa 1
Ejemplo: En la tabla siguiente se aplica el método de Newton al problema de optimización bi-dimensional a partir de x0 = 0.00,3.00 = .
Observaciones: La dirección del Método de Newton:
−
= [∇ ( )] ∇f es una dirección de descenso si y sólo si: ∇ ( ) es definida positiva, es decir:
∇f > 0 ⇐⇒ ∇ f es definida positiva. El método de Newton en cada iteración, considera una aproximación cuadrática de la función objetivo, y define el nuevo punto de la sucesión minimizante como el óptimo de la aproximación cuadrática de la función objetivo. Cerca de un óptimo local de f, la aproximación exacta.
El punto inicial no puede ser arbitrario, ya que para que el método converja, la dirección
debe ser de
descenso. Esta corresponde a la principal desventaja del método: su convergencia local. Sin embargo, su rapidez de convergencia es su mayor ventaja, posee convergencia de velocidad cuadrática, es decir:
‖+ ‖ ≤ λ ‖ ‖ < 1 ) El principal problema del Método de Newton es que la matriz ( ) debe ser definida positiva. Si se parte de un punto suficientemente cercano a un mínimo local, esto se verifica. En general se desconoce
toda información acerca de la solución óptima del problema, y por lo tanto no se tiene un buen criterio para escoger .
Esto sugiere, que un buen método de minimización es una combinación del Método del Gradiente y del Método de Newton: Inicialmente se aplica el Método del Gradiente que tiene convergencia global de velocidad lineal y luego se aplica el Método del Newton que tiene convergencia local de velocidad cuadrática.
