Geometría Analítica: Ciclo 20210-1
EL PLANO PLANO EN EL ESPACIO ESPACIO 2
3
Así como en R , la gráfica de una ecuación de dos variables x e, y es una curva, en R la gráfica de una ecuación en tres variables x, y, z es una superficie. La más simple es el plano, pues su ecuación es de primer grado en tres variables.
1. Un plano en el espacio es un conjunto de puntos P( x , y, z ) R 3 . Si existe un punto P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) y dos vectores no paralelos a a1 , a2 , a3 ,
b b1 , b2 , b3 , de tal
manera que
P P R3 / P P0 t a b, t , R
(Ecuación Vectorial )
………….. (1)
2. De la ecuación P P0 t a b , se tiene:
( x, y, z ) ( x0 , y0 , z0 ) t a1 , a2 , a3 b1, b2 , b3 x x0 ta1 b1 y y0 ta2 b2
……………………………… (2)
z z0 ta3 b3
Ecuación paramétrica del plano. 3. Sea P el plano que pasa por P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) y N ( A,B ,C ) vector normal al plano Si P
P.
P, entonces: P0 P N , luego:
P0 P N 0 N P0 P 0
N P P 0 0 (Ecuación normal o vectorial )
4.
Luego reemplazando tenemos:
A x x0 B y y0 C z z 0 0 La ecuación también se puede escribir como:
Ax By Cz Ax0 By0 Cz 0 0 Ax By Cz D 0
(Ecuación General )
Donde A, B y C son las componentes del vector normal N ( A, B ,C ) ______________________ _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ___________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS - CAJAMARCA
1
Ejemplo: Encuentre la ecuación del plano que pase por el punto (3,4,-5) y es paralelo a los vectores a (3,1, 1) y b (1, 2,1) Solución:
P P0 ta b, t , R P 3, 4, 5 t 3,1, 1 1, 2,1 , t, R
(En forma vectorial)
Ejemplo: Encuentre la ecuación del plano que pase por el punto (2,4,-1) con vector normal N (2,3,4) Solución: Dada la ecuación N P P 0 0
(2,3, 4) ( x, y, z ) (2, 4, 1) 0 (2,3, 4) x 2, y 4, z 1 0 2( x 2) 3( y 4) 4( z 1) 0 2 x 3 y 4 z 12
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente un plano Ax By Cz D 0 , debe hallarse, siempre que sea posible, la traza de la gráfica en cada uno de los planos coordenados. La traza en el plano XY se obtiene haciendo z 0 en la ecuación dada; el resultado será la ecuación lineal Ax By D 0 que, en general, podrá representarse como una recta en el plano XY. Análogamente, para obtener la
traza en el plano XZ, debe hacerse y 0 y dibujar la recta Ax Cz D 0 ; y para hallar la traza en el plano YZ, hágase x 0 y dibújese la recta By Cz D 0 Ejemplo: Tazar la gráfica del plano 2 x 3 y 4z 12 Solución: - La traza en el plano XY ; haciendo z 0 Se obtiene y 4
2 3
x
- La traza en el plano XZ, haciendo y 0 Se obtiene z
1
3 x 2
- La traza en el plano YZ, haciendo x 0 Se obtiene z
3
3 4
y
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2
Ejemplo: Encuentre la ecuación del plano que pase por los puntos P (1, 2,3) , Q(1,1,3) , R(0, 1,1) . Solución: Los vectores a y b corresponde a PQ y PR , luego:
a PQ Q P (2, 3, 0) b PR R P (1,1, 2) Puesto que a y b están en el plano, su producto vectorial a b es ortogonal al plano y puede tomarse como el vector normal.
i N a b 2
j
k
3
0 (6, 4,1)
1 1 2
P P 0 0 6, 4,1 x 1, y 2, z 3 0
Entonce N
6 x 4 y z 5 0
PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD DE DOS PLANOS Consideremos los planos
P1 : A1 x B1 y C1z D1 0 , con normal N1 ( A1 , B1 ,C 1 ) P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 , con normal N2 ( A2 , B2 ,C 2 )
Paralelismo: P1 // P2 si y solo si N1 // N 2 Perpendicularidad: P1 P2 si y solo si N1 N 2
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PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD DE UNA RECTA Y UN PLANO Si consideramos la recta L : ( x, y, z ) P tv y el plano P : A1 x B1y C1z D1 0 , con normal N
( A, B ,C )
Paralelismo: L // P si y solo si N v , es decir : Perpendicularidad: L P si y solo si N // v
Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que pasa por los A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es paralelo a la recta
x 3 t y 2 t z 2 3t
Solución: Sea v (1,1, 3) el vector de dirección de la recta.
v
A
El plano será paralelo a AB (3,2, 2)
B
Entonces la normal al plano P es:
N v AB (4,7,1) La ecuación del plano es: 4 x 7 y z D 0 , como el punto A(1,3,2) se encuentra en el plano, entonces satisface la ecuación de plano, por lo tanto
4(1) 7(3) 2 D 0
D 27 Entonces la ecuación del plano es: 4 x 7 y z 27 0
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4
Ejemplo: Hallar una ecuación del plano P que pasa por (-2,3, 5) y es perpendicular a la
x 2 t recta L cuyas ecuaciones paramétricas escalares son y 1 2t z 4 Solución: De la ecuación de la recta, su vector director es v (1,2,0)
P y L son perpendiculares, N (1,2,0) es un vector normal del plano P. Así, una ecuación de P es: A x x0 B y y0 C z z 0 0 1 x (2) 2 y 3 0 z 5 0 Como
x 2 2 y 3 0 x 2 y 4 0 La última ecuación se parece mucho a la ecuación de una recta en el plano XY. Si estuviéramos trabajando en el plano XY, la ecuación x 2 y 4 0 representará una recta. Sin embargo, estamos trabajando en el espacio tridimensional. Aquí, la ecuación x 2 y 4 0 representa el conjunto de los puntos Q( x , y, z ) tales que
x 2 y 4 0 sin restricción para z. este conjunto forma un plano vertical que corta al plano XY a lo largo de la recta que acabamos de mencionar.
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INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO: Para obtener la intersección entre una recta L1 : ( x, y, z ) P tv
y el plano
P1 : A1 x B1 y C1z D1 0 , lo que se debe hacer es despejar x, y, z en la ecuación de la recta y sustituimos este despeje en la ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única, con este valor de t obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta. Observe que la ecuación en t puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (no hay intersección)
Ejemplo: Encuentre el punto en el que la recta con ecuaciones paramétricas x 2 3t , y 4t , z 5 t cruzan al plano 4 x 5 y 2z 18 Solución: Sustituimos las expresiones para x, y, z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano
4 x 5 y 2z 18
4 2 3t 5 4t 2 5 t 18 Esto se simplifica obteniendo: 10t 20 , de modo que t 2 . Por tanto, el punto de intersección ocurre cuando el valor de t 2 . Entonces:
x 2 3(2), y 4(2), z 5 2 x 4,
y 8,
z 3
Por lo tanto el punto de intersección es
4,8,3
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INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS: Dos planos cuyos vectores normales no sean paralelos se interceptan en una recta; esta recta recibe el nombre de recta de intersección de los planos. A la ecuación de la recta que es la intersección de dos planos se denomina ecuación biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente:
P1 : A1 x B1 y C1z D1 0 P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
L :
La ecuación de la recta biplanar se expresa en forma vectorial, paramétrica y simétrica. El vector dirección v de la recta se determina en la forma siguiente:
v N1 N 2 , Donde N1
( A1 , B1 ,C 1 ) , N2 ( A2 , B2 ,C 2 ) son los vectores normales de los planos.
El punto P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos.
Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta dado por la intersección de los planos x y z 1 y x 2 y 3z 1 Solución: Calculando el vector de dirección v de la recta:
i
j
k
v N1 N 2 1
1
1 (5, 2, 3)
1 2
3
Ahora calculando un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones:
x y z 1 x 2 y 3z 1
Entonces
Ahora damos un valor a ejemplo: x 1, y 0, z 0
2 x 5 y 2 cualquiera
de
las
variables
x e
de
y
por
Entonces P 0 (1,0,0) Así las ecuaciones simétricas de L pueden escribirse como:
x 1 5
y
2
z
3
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ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Consideremos las ecuaciones generales de dos planos:
P1 : A1 x B1 y C1z D1 0 , cuya normal es N1 ( A1 , B1 ,C 1 ) P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 , cuya normal es N2 ( A2 , B2 ,C 2 ) El ángulo formado por los planos es igual al ángulo formado sus respectivas normales, es decir.
cos
N 1 N 2 N 1 N 2
Ejemplo: Encuentre el ángulo los planos x y z 1 y x 2 y 3z 1 Solución: Los vectores normales de los planos N 1
cos
N 1 N 2 N 1 N 2
=
(1,1,1) y N 2 (1, 2,3)
1(1) 1(2) 1(3) 111 1 4 9
respectivamente
2 42
72º
Ejemplo: Se consideran los siguientes planos: P1 : 2( x 1) 3 y 5( z 2) 0, P2 : 4 x 6 y 10 z 24 0, P3 : 4 x 6 y 10z 1 0,
P4 : 2 x 3 y 5z 12 0,
a) Indicar cuáles son idénticos. b) Indicar cuáles son distintos pero paralelos c) Hallar el ángulo entre P1 y P2 . Solución a) P1 y P4 son idénticos, como se puede comprobar simplificado la ecuación de P1 .
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b) P2 y P3 son distintos pero paralelos. Los planos son distintos puesto que está en P3 pero no en P2 ; son paralelos puesto que sus normales N 2 y N 3
(4, 6, 10)
c) Tomando N 1
cos
(4,6,10)
son paralelas.
(2, 3, 5) y N 2 (4,6,10)
N 1 N 2
1 0,0, 10
N 1 N 2
tenemos:
24 6 8 18 50 4 9 25 16 36 100 38 152 19
Luego 71,59º
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Consideremos la ecuación general de un plano P : Ax By Cz D 0 y un punto
Q( x1 , y1 , z 1 ) que no pertenece al plano P PQ d Proy N
d
=
Q P .N N Ax1 By1 Cz1 D1 A2 B 2 C 2
Ejemplo: determine la distancia desde el punto B(1,0,2) hasta el plano P cuya ecuación general es: P : x y z 1 Solución: De la ecuación del plano se tiene: A=1, B=1, C=-1 D=-1
d
1(1) 1(0) 1(2) 1 12 12 1
2
2 3
2 3 3
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Obtenga la forma general del plano que pasa por el punto dado S y que tiene el vector normal dado: a) S (1,2,3); N ( 1,3,5) b) S (2, 1,4); N (2,3, 1) c) S (1, 1, 1); N (3,4, 5) d) S (2, 1, 0); N (2, 1, 2) 2. Obtenga una ecuación general del plano que pasa por los puntos A, B y C a) A(1,0,1), B(2,1,0), C (1,1,1) b) A(1,1,1), B(2, 2,1), C (0,2,1) c) A(2,1,3), B( 1, 2,4), C (4,2,1) d) A(3,2, 1), B(3, 2,4), C (1, 1,3) e) A(1, 2, 1), B(3, 1, 4), C (1,2,3) 3. ¿Cuáles
de
los
puntos
P(3,2,1), 3( x 1) 4 y 5(z 2) 0 ?
Q(2,3,1),
R(1,4,1)
están
en
el
plano
4. ¿Cuáles de los puntos P(2,1,-2), Q(2,0,0), R(4,1,-1),S(0,-1,-3) están en el plano
N (r r0 ) 0 si N i 3 j k y r0 4i j k ? 5. Dibujar la gráfica de los planos siguientes: a) x 2 y 3z 6 0 b) 5 x 4 y 10 z 20 c) 3 x 2 y 6 0 d) 3 x 2 z 12 0 6. Obtenga las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto S y que es perpendicular al plano cuya ecuación se da: a) S (2,1,3); x 2 y 2 z 5 0 b) S (1, 3,4); x 3 y 2 z 4 c) S (1, 2, 3); x 3 y 2z 4 0 d) S (6,4,1); 3x 2 y 5z 8 0 7. Encuentre el punto en el que la recta dada inters ecta al plano a) L : x 1 t , y 2t , z 3t ; P: x y z 1 b) L : x 2 t , y 4 2t , z 3 5t ;
P: 2x 3 y 4 z 8 0 c) L : x 1 2t , y 1, z t ; P: 2x y z 5 0 x 3 y 8 z 6 d) L : ; P: x 4 y z 5 0 1 2 11
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e) L : x 1 y 3 z 4 ; P : x 2 y 2 z 22 1
f)
L :
x 1 3
2
y3 4
2
z 3 , P : 2 x 3 y 5 z 1 2
8. Hallar una ecuación del plano que cumple las siguientes condiciones dadas: a) Pasa por el punto A(2,3,4) y es perpendicular a i 4 j 3k b) Pasa por el punto A(1,-2,3) y es perpendicular a j 2k c) Pasa por el punto A(2,1,1) y es paralelo al plano a 3 x 2 y 5z 2 0 d) Pasa por el punto A(3,-1,5) y es paralelo al plano a 4 x 2 y 7 z 5 0 9. Obtenga una ecuación paramétrica, vectorial de la recta de intersección de los planos cuyas ecuaciones son. a) x 2 y z 0; 3x y 2 z 7 0 b) 2 x y 3z 1 0; 5x 4 y z 17 0 c) x 2 y 6 0; z 4 d) 3 x y z 6 0; 4x 2 y 3z 2 0 10. Un plano pasa por el punto A(3,1,-1), es perpendicular al plano 2 x 2 y z 4 , y un intercepto z es igual a -3, hállese su ecuación. 11. Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto S(1,1,1) y que es perpendicular a la recta de intersección de los planos cuyas ecuaciones son x 2 y z 2 0 y 2 x 3 y 2 z 3 0 . 12. Hallar una ecuación del plano P que pasa por (-2,3,5) y es perpendicular a la recta L cuyas ecuaciones paramétricas son x 2 t , y 1 2t , z 4 13. Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto S(3,0,2) y T(4,1,-1) y que es paralelo a la recta de intersección de los planos cuyas ecuaciones son 2 x y z 5 0 y x 2 y 2 z 5 0 . 14. Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto S(2,1,-4) y que es perpendicular a la recta de intersección de los planos cuyas ecuaciones son 4 x 3 y 2 z 7 0 y x 4 y z 5 0 . 15. determine si los planos son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos cosas. Si no son ni paralelos, ni perpendiculares encuentre el ángulo entre los planos. a) x z 1; y z 1 b) 8 x 6 y 2 z 1; z 4 x 3 y 0 c) x 2 y 2 z 3 0; 2 x y 2 z 1 0 d) x 4 y 3 z 1; 3 x 6 y 7 z 0 e) 4 x 2 y z 4; 2 x z 2 0 __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS - CAJAMARCA
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16. Dados los plano mx 2 y 3z 1 0 y 2 x 4 y 6 z 5 0 , hallar m para que sean: a) Paralelos. b) Perpendiculares. 17. Calcule la distancia que separa al punto Q del plano P cuya ecuación se da: a) Q(2, 1,3); 2x 4 y z 1 0 b) Q(3, 5,2); c) Q(1, 3,5); d) Q(1,3,4); e) Q(5, 2,3); f) Q(5, 7, 1);
8x 2 y z 5 3x 4 z 5 0 x y 2z 0 (2,-1,6) t(1,0,3) (2,-2,3) x 2 y 2z 6 0
18. Calcular el valor de
m
para que la recta L :
x 1
plano P : x 3 y 6 z 7 0
3
19. Determinar el valor de m para que los planos
y2 m
z 2
2
sea paralela al
P1 : mx 2 y 2 z 7 0 y
P2 : 4 x my 6z 9 0 sean perpendiculares. 20. Hallar el valor del parámetro t para que los planos
3 x 4 y 2 z 9 0 ,
3 x 4 y tz 7 0 son perpendiculares. 21. Hallar la ecuación del plano que contiene a la intersección de los planos x 2 y 5z 3 y 5 x y z 1 y es paralelo al plano 4 x 3 y 4 z 7 0 22. Hallar el coseno del ángulo entre los planos dados: a) 2 x y 2 z 3, 3x 2 y 6 z 7 , b) 5 x 3 y 2 z 3,
x 3 y 2 z 11
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