EL TANTO POR CIENTO (%) En particular, si dividimos a una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto número “m” de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto
FORMULA FUNDAMENTAL DE PORCENTAJES P%N=R
por ciento; luego: Donde: P : es el porcentaje a calcular N : es el número del cual se halla el porcentaje R : el resultado
Las “m” partes tomadas equivalen al “m” por 100 del total o al “m” por m
ciento del total, es decir, los 100 del total. m El “m” por ciento es igual a 100
m
m% = 100 Ejemplos: 25
1) 100 2)
40 100
...
3) 32 % < > …
CASO I P: conocido N: conocido R: incógnita Ejm. Hallar el 70% de 8000
(
1
)
70 100 8000 = R
R = 5600
CASO II P: conocido N: incógnita R: conocido Ejm: ¿25% de qué qué número es 60? 60? P%N = R 25% N = 60
4) 200% < > ….
Equivalencias importantes 1% < > 0,01 5% < > 0,05 10% < > 0,1 25% < > 0,25 50% < > 0,5 75% < > 0,75
P%N =R 70% 8000 = R
(
1
)
25 100 N = 60
N = 240
CASO III P : incógnita N : conocido R : conocido Ejemplo: ¿Qué % de 120 es 48?
P%N = R P % 120 = 48 P.120/100 = 48
P = 40
Rpta: es el 40%
OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO En determinadas situaciones se nos puede pres entar la necesidad de sumar o restar dos o más tantos por ciento referidos a una misma cantidad. En tales casos a veces es conveniente reducir toda la expresión a un solo tanto por ciento (referido a la misma cantidad) como veremos a continuación. Ejemplo: 1) 40%A + 60%A + 20%A = 120%A 2) 70%B - 40%B - 10%B = 20%B 3) C + 130%C = 230%C 4) D - 40%D = 60%D 5) 30%(70%A) + 50%(70%A) = 80%(70%A)
Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éstos se aplican a la cantidad que han quedado del descuento anterior. De manera análoga también se hace cuando se trata de aumentos sucesivos. El primer tanto por ciento de aumento se aplica a la cantidad inicial; el segundo aumento se aplica a lo que ha resultado luego del primer aumento; el tercer aumento se aplica a lo que ha resultado luego del segundo aumento; y así sucesivamente. Ejemplo: ¿A que descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%? Solución ( 80% ) ( 70% ) 80 100
OBESERVACIÓN Sabemos que toda cantidad representa el 100% de sí misma, entonces si a una cantidad le quitamos o le restamos por ejemplo el 20%, nos quedará el 80% de la cantidad. O por otro lado, si a una cantidad le agregamos o le sumamos el 30% de sí misma, entonces ahora tendremos el 30% de sí misma, entonces ahora tendremos el 130% de la cantidad.
Si pierdo o gasto 20% 35% 2,5% m%
Queda 80% 65% 97,5% (100-m)%
Si gano o agrego Resulta 22% 122% 45% 145% 2,3% 102,3% m% (100+m)%
Ejemplo: ¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 50%? Solución:
110 120
100 100
150% = 198%
Au = 198% - 100% = 98%
OBSERVACIÓN: Si se tuviera que hacer dos descuentos sucesivos del a% y del b% se podría calcular el descuento único, rápidamente con esta fórmula: DU
a
b
ab 100
%
En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a% y del b%, el aumento único equivalente se puede calcular con esta fórmula: AU
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
70%= 56%
Du = 100% – 56% = 44%
a b
ab 100
VARIACIÓN PORCENTUAL
%
Si el valor de una magnitud cambia, este cambio nos indica una variación que puede ser de aumento o de disminución, entonces habrá un valor inicial y un valor final para la magnitud. La variación porcentual se expresa indicando ¿qué tanto por ciento representa el aumento o disminución respecto del valor inicial?
El ancho de un rectángulo aumenta en 20% mientras que el larg o disminuye en 20%. ¿En que tanto por ciento varía su área?
Representando: Aumento o diminución
Variación
Valor inicial
=
El aumento o la disminución, según sea el caso que se presente, se obtiene mediante la diferencia entre el valor final y el valor inicial. Ejemplo: El lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En que tanto por c iento aumentará su área? Solución: Sabemos que el área de un cuadrado se calcula así: A = L 2, donde “L” es la medida del lado. Como el lado va a aumentar en 20%, entonces el lado va a aumentar en 1/5 de su valor. Luego, nos conviene que el lado, al inicio sea un valor numérico que tenga 5 partes, es decir que tenga quinta; por eso le asignamos 5k donde k es constante. Linicio : 5k Lfinal : 6k
A = (5k)2 = 25k 2 2
A = (6k) = 36k
2
Veamos: Observamos que el área aumenta de 25k2 a 36k2 en 11k2 Pero expresado en tanto por ciento es: 11k2 25k2
x 100% = 44%
Por lo tanto, el área aumenta en 44% Ejemplo:
Observamos que el área disminuye de 25k2 a 24k2 en 1k2. Pero, expresado en tanto por ciento es: 1 25
100%
= 4% Por lo tanto, el área disminuye en 4% APLICACIÓN COMERCIAL El tanto por ciento es muy utilizado en las operaciones comerciales, por ejemplo en el banco, en las tasas de interés activo y pasivo, cuando el banco otorga préstamos o cuando el banco recibe dinero en depósito.
También cuando se realiza compra y venta de artículos, se utiliza el tanto por ciento, por ejemplo para indicar el descuento, la ganancia o la pérdida. “Lo que aquí vamos a ver es la aplicación del tanto por ciento para los casos de compra y venta”
Empezaremos con un ejemplo. Supongamos que un c omerciante se dedica a la compra y venta de artículos electrodomésticos. Primero va a la fábrica y compra un artefacto en 500 soles, este precio representa el precio de compra o precio de costo para el comerciante. Luego, el comerciante, ya en su tienda, va a fijar un precio para ofrecerlo a sus clientes y le aplica un aumento al precio de costo, digamos que este aumento es de 100 soles, es decir que está fijando un precio para la venta que es de 600 soles, este precio se conoce como precio fijado o precio de lista. Entonces, cuando un cliente vaya a la tienda y le pregunte por el precio del artefacto, el comerciante le dirá que el precio es de 600 soles o sea le dará el precio fijado.
Puede ocurrir que el cliente pague dicho precio o que pida una rebaja. Veamos el caso en que pide rebaja, entonces el comerciante puede otorgarle una rebaja, digamos que le rebaja 20 soles y se realiza la venta del artefacto. En otras palabras, el comerciante vende el artefacto en 580 soles, éste es el precio de venta, ganando finalmente 80 soles.
Pero no siempre se va a ganar en una compra-venta, también puede haber pérdida. Esto ocurre cuando el artefacto (para el ejemplo que estamos viendo) se vende a un precio menor del que ha costado. Digamos que se vende en 460 soles, y como sabemos que costó 500 soles, se pierde 40 soles.
Si graficamos todo esto tendremos: Gráficamente:
Se observa que: Se puede observar que: PVENTA = PCOSTO + PGANANCIA
PVENTA = PCOSTO - pérdida
Si hay ganancia, es porque el precio de venta es mayor que el precio de costo. La ganancia de 80 soles es también conocida corno ganancia bruta, porque, como es lógico, el comerciante, para realizar la compra-venta ha tenido que incurrir en gastos, digamos que estos gastos sean de 30 soles. Entonces, de la ganancia bruta (80 soles), que gasta 30 soles, sólo le quedaría una ganancia neta de 50 sole s. Gráficamente:
En otras palabras: ganancia bruta
ganancia
=
neta
+ gastos
NOTA: Si en una venta no hay descuento, entonces el precio de lista o precio
fijado es igual al precio de venta. En una venta, si hay descuento, entonces el precio de lista es mayor que el precio de venta. Generalmente el descuento o rebaja se expresa como un tanto por ciento del precio fijado. Es decir, cuando no se especifica de quién es el tanto por ciento de descuento, se asume que es del precio fijado. Cuando no se especifica de quién es el tanto por ciento de ganancia o de pérdida, se asume que es del precio de costo.
a) $ 520 PROBLEMAS BLOQUE I 01.- De 56, el 25 % es: a) 18 b) 14 e) 12
d) 7
e) 9
02.- ¿Qué % de 192 es 144? a) 66% b) 72 % c) 80 % d) 75% e) 63% 03.- 240 es el 80 % de: a) 280 b) 320 e) 360 d) 310 e) 300 04.- 64, de 320, ¿qué % es? a) 25% b) 20 % e) 30 % d) 32 % e) 22 % 05.- El 25 % más de 360 es: a) 480 b) 420 c) 500 d) 450 e) 560 06.- ¿Qué % menos es 240 de 300? a) 80% b) 20% e) 10% d) 40% e) 60%
b) $ 860
c) $ 580
d) $ 680
e) $ 620
12.- Un anciano padre dispone en su testamento la repartición de su fortuna entre sus 3 hijos. El primero recibirá el 36 %, el segundo recibirá el 24 %, el tercero recibirá el resto. Si la fortuna asciende a $ 75 000, ¿cuánto recibirá el tercer hijo? a) $ 27000 b) $ 25 000 c) $ 30 000 d) $ 32 000 e) $ 36 000 13.- Un vendedor recibe una comisión de 20 % sobre la venta de cierta mercadería. Si sus ventas fueron de S/. 640, ¿cuánto recibirá de c omisión? a) S/. 120 b) S/. 128 c) S/. 162 d) S/. 96 e) S/. 108 14.- A inicios del mes, una familia gastaba $120. Si la inflación durante dicho mes fue de 4,5 %, ¿cuánto gastará dicha familia a fines de mes? a) $ 124,50 b) $ 125,40 c) $ 122,50 d) $ 145,20 e) $ 132 BLOQUE II 01.- El 15 % del 20 % de 8 500 es: a) 2550 b) 850 c) 255 d) 205 e) 265
02.- El a% del b% del c% de “N” es: 07.- Si Rosa Elvira ganaba S/. 520 y ahora gana S/. 650, ¿en qué % aumentó su sueldo? a) 20% b) 25 % c) 75 % d) 21 % e) 22%
a) abc b)
08.- En una población de 24 600 habitantes, el 63 % son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población? a) 15 498 b) 15 948 c) 16 248 d) 15 844 e) 14 945
03.- Un horno microondas cuesta $ 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por una pequeña "yaya", rebaja el 5% al nuevo precio. ¿Cuánto se pagó, finalmente por el horno? a)$378 b) $ 345,50 c) $ 395,20 d) $ 359,10 e) $ 369,10
09.- En una tienda, se venden camisas a S/. 15 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 20 %. ¿Cuánto se pagará por 3 docenas de camisas? a) S/. 423 b) S/. 512 c) S/. 460 d) S/. 450 e) S/. 432 10.- Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan El Chavo del 8, 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representa dicha sintonía? a) 45% b) 37,5 % c) 40 % d) 33,3 % e) 60 % 11.- Una casa está valorizada en $ 64 000. Para comprarla se pide el 15 % de cuota inicial y el resto en 80 letras mensuales iguales. ¿Cuál es el pago mensual de cada letra?
10N
1000N abc
abcN
abcN
c) 1000
d)
10000000
e) NA
04.- En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un artículo cuyo valor es S/. 360, se puede hacer un único descuento de: a) 38% b) 30% c) 28% d) 26,6 % e) 32 % 05.- En un gran almacén de ropa, se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el departamento de lencería. ¿Cuál sería el descuento único? a) 44% b) 50 % c) 64 % d) 54 % e) 36 % 06.- Un empleado gana S/. 500; si se le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de su nuevo sueldo, entonces el empleado recibirá: a) S/.420 b) S/. 520 c) S/. 460 d) S/. 480 e/ S/. 560
07.- Dos descuentos sucesivos del 28% y 75% equivalen a un único descuento de: a) 68% b) 93% c) 82% d) 46% e) 86% 08.- Aumentos sucesivos de 10%, 20% y 30% e quivalen a un único aumento de: a) 60% b) 66,6% c) 72 % d) 71,6% e) 73,3% 09.- Se vendió un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del costo. ¿Cuál es el precio del escritorio? a) S/. 180 b) S/. 196 c) S/. 200 d) S/. 216 e) S/. 220 10.- Se vendió un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuánto costó el escritorio? a) S/. 192 b) S/. 180 c) S/. 196 d) S/. 200 e) S/. 205 11.- En cierto negocio, se vendió en S/. 600 lo que había costado S/. 560; ¿qué % del costo se ganó? (aproximadamente) a) 8,2% b) 7,1 % c) 6,5 % d) 7,8 % e) 6,7 % 12.- El costo de fabricación de un producto es S/. 260; si se vendió en S/. 480, ¿qué % del costo de fabricación se ganó? (aproximadamente) a) 79,4% b) 84,6 % c) 82,1 % d) 86,4 % e) 85,3 % 13.- El dueño de una tienda c ompra mercadería por S/. 420; si vendió dicha mercadería en S/. 600, ¿qué % de la venta ganó? a) 27% b) 33% e) 30% d) 26,6 % e) 32 % 14.- Se adquirió un lote de camisas por S/. 120; se quiere vender ganando el 10 % del costo. ¿Cuál será dicho precio de venta? a) S/. 132 b) S/. 144 c) S/. 142 d) S/. 148 e) S/. 160 15.- Una persona compró un reloj en S/. 69. Como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el reloj perdiendo el 15 % de la venta. ¿Cuál fue el precio de venta? a) S/. 62 b) S/. 48 c) S/. 58 d) S/. 52 e) S/. 60 16.- Si el lado de un cuadrado se incrementa en 10%, ¿en qué % se incrementa su área? a) 10% b) 20% c) 100% d) 21% e) 42%
17.- El largo de un rectángulo aumenta en 20% y su ancho disminuye en 10%. ¿Qué variación porcentual tiene su área? a) Aumenta en 16% b) Aumenta en 8% c) Disminuye en 12% d) Aumenta en 15% e) Disminuye en 9% 18.- La base de un triángulo aumenta en 25%. ¿En qué % debe disminuir su altura, para que el área no varíe? a) 25% b) 22,5 % c) 17 % d) 19 % e) 20 % 19.- Se mezclan 12g de una sustancia "A" y 18g de una sustancia "B". ¿Cuántos g de "A" se deben añadir a la mezcla, para que el % sea de 50 %? a) 12g b) 9g e) 8g d) 6g e) 4g 20.- Se tienen 15 L de alcohol al 20 %. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para rebajar el alcohol al 10 %? a) 12 L b) 15 L c) 10 L d) 9 L e)18 L BLOQUE III 01.- Hallar el 20% de 250 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
02.- Hallar el 20% del 30% de 600 a) 18 b) 36 c) 54 d) 72 e) 90 03.- Hallar el 10% del 20% de los 2/3 de 900 a)10 b) 12 e) 14 d) 16 e) 18 04.- Hallar el 10% de la cuarta parte del 40% de los 3/7 de 5 600. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 05.- Sumar el 20% del 15% de 300 y el 40% del 10% de 150 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 06.- ¿Qué porcentaje de 32 es 8? a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40% 07.- ¿Qué porcentaje de 0,001 es 0,0003? a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 60% 08.- De qué número es 15 el 5% a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 600
09.- De qué número es 160 el 20% menos. a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 250 10.- De qué número es 330 el 10% más. a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 11.- Juan tenía 120 lápices. Regala a su hermano el 20%, a su prima el 10% y a su vecina el 30%. ¿Con cuántos lápices se queda Juan? a) 40 b) 48 c) 60 d) 72 e) 80 12.- Pedro reparte su herencia de la siguiente manera: El 20% a su esposa, el 35% a su hijo mayor, el 25% a su hija, y los S/. 200 000 restantes para el jardinero. ¿A cuánto ascendía la herencia de Pedro? a) 1 200 000 b) 1 500 000 c) 1 600 000 d) 9 000 000 e) 1 000 000 13.- Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento único de: a) 39% b) 37% c) 35% d) 33% e) 31% 14.- María compra una cartera y le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pagó S/. 11,20, ¿cuánto costaba la cartera? a) S/. 18b) S/. 20 c) S/. 24 d) S/. 28 e) S/. 30 15.- Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20%, equivalen a un aumento único de: a) 30% b) 31% c) 32% d) 33% e) 34% BLOQUE IV 01.- De qué número es 315 el 5% más. a) 345 b) 320 c) 310 d) 300 e) 290 02.- De qué número es 575 el 15% más. a) 500 b) 520 c) 540 d) 560 e) 480 03.- De qué número es 720 el 10% menos, a) 910 b) 880 c) 800 d) 780 e) 750 04.- De qué número es 357 el 15% menos. a) 400 b) 420 c) 440 d) 460 e) 480
05.- Hallar el 20% del 30% del 10% de 9 000 a) 45 b) 72 c) 63 d) 54 e) 36 06.- Qué porcentaje de 2 400, es igual al 20% del 30% de 4 800. a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% e) 20.% 07.- Qué porcentaje de 920 es igual a la suma del 10% del 20% de 3 200 y el 20% del 15% de 4000. a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 08.- De 60 empleados que hay en una empresa, el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50% de las mujeres y el 25% de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar? a) 35 b) 39 c) 42 d) 48 e) 52 09.- En una oficina trabajan 24 empleados, de los cuales el 25% son mujeres. ¿Cuántas más se deben contratar para que las mujeres representen el 40% del total de empleados? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 10.- Una embarcación tenía 120 tripulantes; al naufragar perece el 30%. De los sobrevivientes el 25% son casados. ¿Cuántos de los sobrevivientes son solteros? a) 56 b) 63 c) 49 d) 35 e) 84 11.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 150 para ganar el 30%. a) S/. 180 b) S/. 190 c) S/. 195 d) S/. 200 e) S/. 210 12.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 270 para ganar el 10% del precio de venta. a) S/.300 b) S/. 310 c) S/. 292 d) S/. 297 e) S/. 350 13.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 160 para ganar el 10% del precio de costo, más el 20% del precio de venta. a) S/.200 b) S/. 220 c) S/. 240 d) S/. 260 e) S/. 280 14.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 270 para ganar el 20% del precio de costo; más el 10% del precio de venta, más S/.18. a) S/.350 b) S/. 360 c) S/. 380 d) S/. 400 e) S/. 420
15.- Si el radio de un círculo se incrementa en un 30%, ¿en qué porcentaje se incrementa el área? a) 30% b) 60% c) 69% d) 72% e) 96% 16.- Si el área de un triángulo se incrementa en un 32%, habiendo aumentado la base en un 20%, ¿en qué porcentaje aumentó la altura? a) 10% b) 15% c) 12% d) 22% e) 25% 17.- El área de un rectángulo no varía, habiendo aumentado su base en un 25%. ¿En qué porcentaje ha disminuido la altura? a) 10% b) 15% c) 18% d) 20% e) 25% 18.- Si el radio de un círculo se duplica, ¿en qué porcentaje se incrementa el área de un círculo? a) 400% b) 200% c) 250% d) 300%e) 350% 19.- En una fiesta había inicialmente tal c antidad de personas que, el número de mujeres era 25% mayor que el número de hombres. Además, al retirarse diez mujeres y cuatro hombres, ninguno se quedó sin pareja. El número inicial de personas fue: a) 60 b) 54 c) 56 d) 64 e) 52 20.- En la figura, las longitudes de AB y AC se incrementan en un 50%. Luego de que esto ocurra, ¿cuánto medirá el ángulo
a) 20º b) 30° c) 40° d) 25° e) 70°
