Electrostática y magnetismo

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Motor Magnetico Informe

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1. Gravedad API, Bsw & Salinidad

Para Una Única Carga Puntual

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FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

ELECTROSTATICA Es el estudio estu dio de la carga carga en repo reposo so. .

I) CmQA ELECTRICA.-

Es una cantidad cantidad escalar, escalar, fundamental fundamental y una propieda prop iedad d de la materia, materia, la que se adquiere por un proceso de cargar carga r un cuerp cuerpo. o.

En el afio 600 600 A.C. , Tale Tales s de Nile Nileto to y los griegos observaron que al frotar el ámbar o ebonita con trozo de piel, este adquiría la propiedad de atraer atraer pedazos pedazos pequeños de papel o paja. paja. Luego todos todos los los cuerpos que qu e presentaban estos estos fonóaenoe, fonóaenoe, lo llamaban llamaban oléctricos, oléctricos, del nombr nombre e ánbar (Elektr (Elektron) on). .

En el afto 1600, W. Gilbert inventó el Electroscopio y propuso que la tierra se comportaba c o b o un imán. imán. En el año año 1750, 1750, B.Fr B.Fran anfc fcli lin, n, esta establ blec eció ió do tipo tipos s de carga positi positiva va (+) y negativ negativa a (-). Enunció el princi principio pio de de conservación conservació n de carga eléctrica el éctrica en un u n sistema aislad aislado: o:

“La carga eléctric eléc trica a total, total , no se crea, ni  Sign up to vote on this title se destruye; destruye; perm p ermanec anece e cons consta tant nte1 e1*  Useful  Not useful

Otra Otra característ característica ica importante es: es: “La

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NAVEKOS

Los transportadores de la carga en lo metal met ales es son los los electrones electro nes libr libres es. .

Debe entenderse c o b o carga neta neta, , al exce de carga, carga, es decir decir, , un cuerpo cuerpo puede pued e tener ten er carg positi pos itiva va y negativa; negativa; la suma algebra alg ebraica ica de carg ca rga a da el valor valor de la carga. Ejemplo:

FIG.l. FIG.l. CARGA NETA Un cuerpo que tiene carga neta diferente d cero, cero, se llama llama comúnm com únment ente e ión. En el expe mento men to del Efecto de Hal Hall, l, se comprueb comp rueba a que  carga negativa negativa y positiva positiv a seSigndesplazan. up to vote on this title 

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Las unidades de la carga en el sistema sis tema

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TEQUIA

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PROBLEMAS



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RESUELTOS

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I . l.- »B Q C » 8 Q PE CARGAR CARGAR ÜM ÜM CUE RP O. -

Existen tres procesos procesos, , para para cargar un cuerpo: cuerpo: .*) Por Frotamiento«- Cuan Cuando do la ebon ebonit ita a y la lana lana se ponen ponen ‘'contact 'contacto o por frotamiento, frotamiento, hay hay un paso espo espontáne ntánea a de electron elect rones es de la lana lana a la ebonita, ésta adquiere, adquiere, por lo tanto, tanto, un exceso de electrones y resulta cargada negativamente, negativamente, mientras mientras que la lana lana que que ha perdido electrones se carga positiva positivamente, mente, fig.2. O

©

Ebonita Lana Seda Varilla de vidrio Varilla de Teflón Piel Las Las caracte característi rísticas cas de este este proceso proceso so son: -Los -Los cuerpos cuerpos inicialmente se encuentr encuentran an neutros neutros (carga neta nula). -Hay -Hay transm tra nsmisió isión n de carga. carga. -No hay creac creación ión de carga eléctrica. eléctrica. Sign up to vote on this title

-La -La cantid cantidad ad de carga carga es la misma en ambos  Useful  Not useful cuerpos, cuerpos, pero pero de signo opuesto, opuesto, al final final del del proceso.

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HUXBIRTO LKYVA NAVXS08

Cuando Cuando los cuerpos se ponen ponen en contacto, cuerpo cuerpo cargado (ind (induc ucto tor) r) atrae las carg ca rgas as d signo opuesto y repele la de igual signo. signo. producirse producirse el contacto instantáneo, las las carg carg negativ negativas as pasan al inductor inductor (si es positivo) positivo) las cargas positivas se repelen y quedan e exceso exceso en el el cuerpo que se quiere quiere cargar. cargar. FIG.3 Ejtt. F1G.3 (o) (o)

Co b o se puede observar el cuerpo qued

cargado, cargado, de igual igual signo, signo, que qu e el inductor.

c) Por Por inducción.inducción.- En este este caso es necesario que uno de los los cuerpos cuerpos este este cargado cargado (inducto (inducto  Sign atrae up to vote on this al acercarse al cuerp cuerpo, o, se atr ae las latitles carg ca rg  Useful las  Not useful de signo opuesto opuesto y se repele cargas car gas d igual signo. signo.

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FIG.4 {

Co )

(c )

■Aductor (o )

o

1.2.-DIST 1.2.-DISTRIBUCI RIBUCION ON CONTINUA CONT INUA DE CARGAS. Según las dimensiones del cuerpo que se considere, considere, la carga eléctrica puede distribuirse, de tres tre s maneras: (a) DENS DENSID IDAD AD LINE LINEAL AL DE c a r g a s .- Cuando las dimensiones de longitud es muchísimo muchís imo mayor que las otras dimensiones, entonces, se defin define e la densidad densidad lineal de carga:

Fío. 5 o / X

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I.1VVA MAVHROS

PXC.6 6

*-í <5-do “ dS

(c) DEV8 DEV8ZD ZDAD AD VOLUMETRICA VOLUMETRICA DB CAROA CAROA. . - Se defi define ne cuando cuand o la carga carga se distribuy dist ribuye e en todo el volume volumen n del cuerpo cuerpo. . 6

p_ O T

p = dQ dV


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FISICA III TEORIA TEORI A Y PROBLEMAS RESUELTOS

CARGA

ELECTRICA

I. - Una esfera maci maciza za no conduct conductora ora de d e radio radio a con una cavidad cavid ad esférica de radi ra dio o b, b, con la F1G. F1G. tiene una distribución distribu ción de carg volumétrica:/,donde B es una constante Hallar la carga que se encuentra en l esfera?

60LUCI0S.-

CARGA VOLUMETRIC VOLUMETRICAí/*« Aí/*« fl Por definición: Q « J7 J7 dV, para para este caso cas o

Q - 4TB Ln (o/b)

2.- Una semiesfera hueca dieléctrica tiene distri distribuc bución ión de carga eléc eléctr tric ica a



Se tiene  por Usefuldefinición:  Not useful Q * Jcd cds s —

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HUMBERTO LBYVA NAVBROS NAVBROS

Í

tr/3

Q -
sen2 sen2e e de -

o

3.- Una esfera maciza dieléctrica dieléctrica de radio tiene una distribución de carga volumétric f * A/(t+ r) r) don donde de A es una constante. constante. Hall la carga total. SOLUCION.Por definición: definición: q

. J/>dV J/>dV -

4» r2

integrando: Q - 4ita (

rdr - £ d r + J ^ - )-

Q « 4irA [a2/2 [a2 /2 - a + Ln (1+a) (1+a) J

4.- Un anillo circular de radio a con un distrib distribució ución n line lineal al de carga X-\( X- \(i+ i+co cose se cono cono en la la FIG. FIG. Hallar la carga total de d anillo. SOLUCION.-


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•ISICA 121 TEORIA Y PROBLEMAS RBSUSLT03

integrando: q - 2iaX. 2ia X.

5.5.- Dos partícul partí culas as de cargas q í y q, (positivas) están separadas por cierta distancia d. Supongan Supon gan que que se transfiere cierta cantidad de carg carga a q para para y q 2 de tal nodo nodo que la la cargas cargas resulta res ultante ntes s son (qx(qx- q) y (q2+ q) • Para que valor valo r de de q, q, tendrá un valor va lor máximo la fuerza de de repulsión repulsión entre las partícu par tícu las? SOLUCION.-

sea la figura que represent las condicio nes del problema. Hallamos la fuerza entre las cargas dadas» F - K (q ^ q )

(q 2+ q ) / d 2

Deri Deriva vand ndo o F con res respe pect cto o a cj, para para hal halla lar r e máximo:

5 7 - - q2 + qx -2g

= o


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q -

Cqi

q2 ) / 2

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HUMBERTO LBYVA NAVEROS

conducción conducción? ? La rasa rasa atómica atómica dal cobre es ■ 64 y su dens densid idad ad 8.9 q/cc q/cc . la carga carga del el«c el«ctr tr6n 6n os 1.6 x 10”1’ 10”1’ C, la cons consta tant nte e de Avog Avogad adro ro N4 ■ 6.02 x 1023 1023 molécul moléculas. as. Considerar que a cada átono de cobre corresponde corresponde un electrón electrón de cond conduc ucció ción. n. SOLUCION.-

Sea la carga tota total l Qqu Qque e hay en la esfera de radi radio o R. R.

Q * ne, ne, donde donde n es el el número número de átonos que hay en la esfera. Como a cada cada átomo átomo de cobre le correspond corresponde e un electrón electrón de conduc conducció ción, n, enton ent on ces n también es el número de electrones. electrones. Este valor se se hal halla asi: n ■« m Na Na /A , don donde m: masa masa de cobre, n *f±irR3 *f±irR3 N, /A luego: Q - e4nR3/ N 4 /3A 3A, , reem plaz ando valores Sign up to vote on this title Q * 5. 5.6 6 x 107

C

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FISICA IZI TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS

SOLUCION.Tomamos un dS en elcual hay un dq. dq. dq -
r

rJ dr

q - 2i 2ira R 4 /4 -i -iraR4 /2 8. - Un cilind cil indro ro de radio radio b y longitud longit ud L, L, tiene una densid densidad ad de ca rga P« K r3 , donde r es medida med ida a lo largo del del radio radio del cilindr cilindro. o. Hallar la carga total del cilind cil indro ro (K es una


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HUMBXRTO LErVA NA.VBK03

Q - 2rrJCL b s/5 s/5

9.- Una esfera esfera de radio b, b, tiene tiene un hueco esféric esfé rico o de de radio a c o d o se nuestr nue stra a en figur figura. a. Si se tiene una dens densid idad ad de carga K/r donde K es una constante, constante, halla hallar r la T » K/r carga carga total que tiene la esfera esfera. . SOLUCION.Por definición:

q

- f ( E )(4tr2dr) 2dr) J K

Q - 2ttK (b2 - a2)

10.- Se tiene un alambre de longitud L, que posee una distribuc distribución ión lineal lineal de carg A»\(l+x). Hallar Xa carga total en el alambre. SOLUCION. Sign up to vote on this title

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FISICA ZIZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

Q

= X„L (1+|)

11.- El electrón en un átomo de hidrógeno se puede suponer “disperso” en todo el volumen volumen atóm a tómico ico con con una una densid den sidad ad f dond do nde e aa a a= 0.53 0.53 x 10“10 10“10 m.

(a) Hallar la constante consta nte C de nodo no do que la carga total total sea (-e). (b) Halla Hallar r la carga total de una esfera esfera de rad a« j que qu e corresponde al radio de la órbit del electrón.

(c) Hallar el campo eléctrico eléctrico en funci función ón de r SOLUCION.(a) Por Por definici definición: ón: dq »/’ »/ ’dv q ■ | ce-2r/a -2r/a<> (4irr2 dr) dr) - - e Si x = 2r/a 2r/aQ Q (cambio de variable)


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LKYVA NAVXR08

(| - ( -« / 2 ) [ -
(c) Se Se desarrol desarrollar lará á en el capi capitu tulo lo de camp eléctrico, ver problema No.38 No. 38

12.12.- Dos esferas esferas conduct conductora oras s idénticas, carga cargas s de signo signo opuest opuesto, o, se atrae atraen n con u fuerza fuerza de o. 108N 108N al al estar estar sepa separad rados os 0.5 m Las esferas se interconectan con u alambre conductor y a continuación s desconectan. En esta nueva situac sit uación ión repe repele len n con con una fuerza fuerza de 0.036 N. ¿Cuále eran eran las las cargas inici iniciale ales s en las feras?. SOLUCION.Situación inicial:

F - K^ 3 - = - 0 . 1 0 8 N K - 9 X 1 0 * N - m ’/C* d ■ 0 .5m




useful q xqUseful 2 -  - 3Not x itf12

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fZSICA ZZZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

G-^-O q 2 - 10-12

q - 10"6

Co b o en cada esfera hay carga q y no ha

habido pérdida pérd ida de carg carga: a: q + q = qA q A + q2 q2

2 x 10"® « qa q a + q2 q 2 .... (2) De q1

(1) en (2) (2) * 3 x lo-6 lo-6

6

q2 = -1 X 10"6 6

qj ■ -i x

10

6

q2 = 3 x 10“6




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HUMBERTO LBYVA NAVBROS

PROBLEMAS PROPUESTOS

1*).- Hall Halle e la carga carga neta ence encerr rrad ada a en en cub cubo o d 2m de arista, arista, paralelo paralelos s a los ejes cent centra rado do en el orige origen, n, si la dens densid idad ad carga es: P — 50

x2 cos(i os(iry ry/2 /2) ) jic/m jic/m3 3

R: 84.9 ¿1C

14.14.- Hall Halle e la carga encerrad encerrada a en el volumen: 1 s r * 3m, 0 & 6 ± n/ 3 0 * 2 * 2m. dada dada la densid densidad ad de de carga r* ¿ z sen2 0 ( c/m3 ) R: 4.9 4.91 1 C

15.15.- Dada una densidad de carga en coordenada coordenada esféricas: f = —

( r/r .

f

* e"r/r* eos2 0

Halle las las cantidades cantidades de carga en los volúmen volúmen esféricos encerrados encerrados por r - 5 rG R: 6.24 p0 r„3




Useful

 Not useful



16.16.- Dos láminas infinitas de dens densid idad ad carga unif unifo orme rme C = (10”9/6 (10”9/6it) c / m 2 est



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TEORIA

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risica

IZl

T

R:

0.667 nC/m nC /m

 

FftOBLEN&S



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

RESUELTOS

17. - Una esfer esfera a Metálica Metálica se carga de una Máquina de electróf elec tróforo oro con ayuda ayuda de una placa que, que, después después de cada contacto contacto con la esfera esfe ra se vuelve a carg ca rgar ar de la máquin máquina a hasta la carga Q. Hal H alla lar r la carga máxi má xima ma de la esfera sikcarga del primer contacto es igual a q . U .

" 0 9/

18.18.- Un Un electrón se encuentr encu entra a a una distancia di stancia de 2cm de un alambre al ambre muy largo y se acerca a él con con una una acele acelerac ración ión de 1.5x 1. 5xlO lOl l3m/S2. ¿ cuál es la carga por p or unidad de longitud en el alambre 7 R:

X - 9.5 9.5 x 10_n 10_ n

C/m

19.- Un disco de radio a lleva una carga supe su perf rfic icia ial l por po r unid unidad ad de área ár ea
Q - 2 w



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

20.- Calculen la carga carga neta al interio i nterior r de una una superficie superficie cerrada, si el flujo que sale



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nmiiu

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l *t

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?* n n t o i

21.- Un cilindr cili ndro o infinitamente largo de a lleva lleva una carga carga unirorme por uni volume volumen n - £ ( &>o) y está rod r odead eado o conducto cond uctor r conectado conectad o a tierra tierra de r coaxia coa xial l al cilindro, según FIG. FIG. Ha carga por unidad de área del ci conducto cond uctor r conectado a tierra. tierra.

22. - Encontrar la carga total den d entr tr

siguiente distribuci distribución: ón: carga lin longitud infinita infinita prolóngandose prolóngandos e e ción x con con una distribución de densi de nsi carga:

Xt:

X 0 / ( 1 + (x/a (x/a)2 )2J J

Q « X« *rr *rr

 to vote on this title 23.- Hallar la cargaSign uptotal dentro

useful siguiente distribución: nube el  Useful  NotLa nica alrededor del núcleo Q c positivamente positivam ente en el átomo de hidróge



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mía

izi izi

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t o t t »

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

y pinstrai nsonn«

24.- Hallar Hall ar la carga total en cada una de d e las siguientes sigui entes distribucio distribuciones: nes: a) Una carga volumétrica esférica simétrica distri dis tribui buido do en todo el espac espacio: io: P, .

"

f. m [l+r/m]3

b) Una lámina infinita con carga carga superfi s uperficial cial y densidad:




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W IIIÜ

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LSTVA



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mVEROS

XI.XI.- FUERZA ELECTRICA

Cono Cono cargas de igual sign signo, o, se repe re pele le signo opue opuest sto o se atraen, atraen, entonces entonces Ch. Coul realizó pruebas en el laboratorio usando balanza de torsión, torsión, para medir medir las las fue entre las cargas puntuales o puntiformes. puntif ormes. 2.1.- CARGAS PUWTUALES.-

Son Son aquellas cuyas dimensiones espaci son son muy pequeñas peque ñas en comparación con c on cualq otra otra longitud pertinente al problema problem a en co deración.

Sea Sea 2 cuer cuerpos pos cargados, cargados, de car carga ga q y separadas separad as a una distancia distanci a r. r. Coulomb, Coulomb , enu su Ley experimenta experi mentalmen lmente te : “La interacción electrostática entre partículas cargadas es proporcional a cargas e inversamente inversamente proporcional al cuad de la distancia dista ncia entre ellas ellas y su direcció direc ció según según la recta que que las une" une". . FIG.8 FIG .8 q 9 A

r




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F I S IC IC A

III

T SO S X A

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T P IO IU N M



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

M SO S O BI B I.T O S

2.2.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICION.- La fuerza •xistente entre dos cargas, cargas, no se modifica modi fican n por la presencia de una tercera carga. 2.3.2.3.- FUERZA F UERZA PARA DMA D MA DISTRIBUCION DISCRETA DISC RETA DE CJJtOA. Si se tiene nás de dos d os cargas puntuales, la fuerzas mutuas, mutuas, se determinan, apli aplica cand ndo o el principio de superposición. superposición. Por ser las fuerzas Fi conc co ncur urre rent ntes es , la resultante resultante se halla, halla, sumando sumando las componentes. componentes . FXC.9

F-

r i * *2 *

r3 +


«•I



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VUMBgftTO

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L im

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

BAVBX VBX OS

Q« K j

dp ■ k q 0 dQ/r2 dQ/r 2 * ■ * *io|(dQ/ dQ /r2)


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F IS I S IC IC A


IZ I

FPBR1A

T C O a i lA

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T W lI t t W I



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

B B S t JS U E O S

BLECTEICA

1.- En los vértices de un triángulo equilátero de lado 1 se encuentran tres cargas punt puntua uale les s ele sign signo o negati neg ativo vo e igual magnitud. magnitud. Que carga debe colocarse colocars e en el centroide del triángulo triá ngulo para que el sistea sisteaa a p eman em anez ezca ca estático. SOLUCION. -

Considerara« Considerara« la la

i

condición de equilibrio quilibri o para para una de la« la« car car  gas <-q) situada en la parte inferior inferior a la dere derech cha a y actúan las fuerzas:

rp, rp, * - FjCO» FjCO» 30*+ F2 eos 60 60*-f fj - O

Se obtisne: Q - 0.577 0.577 q




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También se puede trabaj tra bajar ar en el eje Y: Y:



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mwmn rn

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u m



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nmo*

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Q - 0.577 q

2.2.- Dos cargas da Q coulombs. coulombs. están situad situad dos de los vértices opuestos de un cu do. Que cargas cargas q serí sería a neces nec esar ario io aft los dos otros vértices para consegui cons egui la fuerza resultante resulta nte sobre sob re cada una d cargas cargas Q fuera nula nula. . SOLUCION.<•i

Sean las zas:

tu

o»

?1 , r2 , actúan sob carga Q, está en te infe izquierda cuadrado.

K0 o* Sign up to vote on this title

De Aquí se obtiene: obtiene: q ■ -0.35 Quseful Useful  Not tanto para par a la componente compon ente en e n X,Y



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FISICA

211

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TS TSO RX A T

 

P W T 1—



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

R S I U B L 3 DS

•OLUCXOM. -

Usemos trts gráficos par« explicar los compon component entes es de la fuerza fuerza sobre los ejes eje s X,Y so son n nulas nulas y sólo só lo se superponen sobre el eje Z .

Se observa que el valor v alor de cada una de las fuerzas fuerzas es: es: r - KqQ /[(•*

+ b2 )] )]

se observa Fx • ry - 0 fZ

00-0 00 -0 " **Qb/<*2 +




)

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I1M IK T O

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L im

4. - Una carga carga q * 2 x 10~5 C es es dividida dividida cargas puntiformes de valores q y colocado« colo cado« a una una distanc dist ancia ia d-La d -La una otra en el vacío. Se pide hallar la fraccione frac ciones s de la carga q que que, , situación arriba especificada; dan fuerza de repulsión máxima máxi ma y el val

NUCIOS.t,

Dado el el gr co, co, hálle hálle fuerza las carga

f-*, f-*, é

F “ K qt (q—qx )/d2 «para hallar el derivamos: q - 2*i - O

y q -

# q a - q/ 2

- q/2 -

Se entiende que es un máximo porque 9 2 F/aqj2 < O reemplaza reem plazando ndo valo valore ree: e:




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Má

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risica t u n o t u

t

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pioblbim u



tmiM

5.- Dos balo balone nes s igual iguales es llenos llenos de helio, atados a una masa de 99 flotan flotan en equilibrio, como se ve en la f ig. en cada ca da balón ba lón hay ha y una un a carga Q. Hall Ha llar ar el valor de Q. Q. BOLOCIO*.BOLOCIO*.- Se tiene los los gráficos: gráficos: *Q

- V ' 1 Por estar el sistema en equilibrio en todo todo instante: instante:

I FX y Fy

2T eos 0 - mg » 0 ■ T seno se no - Fe • 0

De (1) (1) y (2) : ■ B9 19e

•

...

(

(2 >

.....

Fm - mg Tg T g e

1>

/2 /2

o m

Q - 0.55 0.55 X IO*6 C




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6.6.- Halle la densidad de carga que debe tomar tomar



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■i—

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n ii u m



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u m M

•OLOCKM.-

Por condición condi ción da equilib equilibrio rio: : I r « T - r,t - «g - o ......

Halleeos F, : S,f

. KfiU^ô KfiU^ô cos#

sen#} } (ad«) cos« Kq ( Î 2 * r sen#

- "

».

cos co se (-sene de)

integrando: qff/8«.


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Según Según el probl problema ema T - 0 en (1)



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pina 2 XX n o t » i itotuai rssublsoc 7. - Cuatro Cuatr o cargas carga s puntuales cada una de 2 0 * están »ituada« »it uada« «n «1 «je «je X y en «1 «j* «j * Y a i 4«. 4«. Hall Hall« « la fuerza fuerza sobre sobre una carga punt puntua ual l de 100i* situada situada en en (0,0 (0,0,3)b ,3)b. . SOLUCION.-

Sea q * 20 qc ■ 100 pC Hi

- q

r - rt r t -A*)2 + (3)a (3)a -5

Para hallar hal lar la fuerza sobre q
Pero las compo com pone nent ntes es en X , y se anulan: r•

4r eos® eos® - 4K 4K — t *A í*fí

« ta -

100 100 x 10~* 10~* X 20 X 10~* 10~*

1.73 V X

T




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

•. - Calcular la Puerca sobre la partícula partíc ula ^ da astá dada por la fi fig. g. suponi sup oniend endo o que X astá



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HUMBERTO.

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XJCTVA



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KAVKtOS

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Toaaaos un diferencial de longitud donde hay un diferencial de carga dQ y hall la fuerza entre e ntre el dQ y

integrando:

9.- Halle Halle la fuerza sobre una carga puntua pu ntua 3 0 situada en (0 (0,0,5)m debida cuadrado cuadrado de 4a en el plano Z«0 Z«0 entre X y Y ■«* 2a con una carga total de 500 distribuida distrib uida uniforae uniforaement mente. e. SOLUCION.- r ?t

Hallando Halland o la densidad perficial perfici al de carga: carga: 7 , 3 - S P Q X 1P~* £  * Sign up16 to vote on this titleí 

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(T- 31.25 x 10"6

C/m2

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f ISICA

r«

III III nOStX nO StXA A

T

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PROBL PRO BLEM EMAS AS



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

RESUELTOS

k

r-> f •

dx dv J (x^+ y*+ 25) ***

KJ Z

Integrando: ,

a

rt « 4. 4.66 66 N K 10.- Dentro de un condensad cond ensador or plano cuyo cu yo campo tiene tiene una inte intens nsid idad ad igua igual l a E, gira gira uniformemente una esferita de masa m y carga + q, suspendi susp endida da de un hil h ilo o de longitud L. El ángu án gulo lo de inclinación inclinación del hilo respecto respecto a la la vertical es $ . Hallar la tensión del hil h ilo o y la energía cinética cinétic a de la esferita.

•OLUCIOS.♦ . ♦ j f í i x

*

____ ± __


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lUNURlO

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LKTVA

T - (ag+gE)/co«e Kn «1 eje

X : £ f

- Pe Pe U)

r

La fiwrgia cinética cinét ica se dtflat: dtflat:

Be - y iv2 , us usan and do (1) Be ■ { (r T san«)

r»mi

le ■ j - L T san san3©

11.- Una partíc partícul ula a alfa («) pasa pasa rápi rápida dame me «1 a isao centro centro de una aolécu aol écu hidrógeno hidróg eno aovién aoviéndos dose e a lo largo recta perp perpend endic icul ular ar al al eje eje intern int ernuc uc La distancia distan cia entre entre los núcleos es b, b, lugar de la trayectoria la part experiaenta experiae nta aayor aayor fuer fuerza za. . Supone Suponemo mo los núcleos no se aueven durant proceso del paso p aso da d a la partícula. partícula. S

O

L

O

C

I O

N

.

-


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PISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

FA- 4Ke2 x / ((b/2)2 (b/2)2 + x 2 ]3/ ]3/2 Hallamos el maximo:|^= 0 X » ±b/27T

12.12.- Se Se tiene seis seis carga car gas s igual iguales es q colocada coloc adas s en los vértices de un hexágono de lado L.Cuál es el el val v alor or de la carga Q,colocada Q,col ocada en el centro, cent ro,par para a que el el sistema esté en equilibrio.

SOLUCION.F, X

Las componentes en el eje

Hallemos la fuerza sobre sobre la carga que está en la part parte e superior del hexágono y hay seis fuerzas.

X : £ fx = 0

> Fx a Fj + F2COS3 O 0 ♦ F3COS60° +Sign FaCOS60* up to vote on this title F5cos60®«0

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HUMB8ST0 IaBTVA KAVKROS

Simp Simplif lifica icando ndo : Q = -1.83 q Si usamos usamos el el eje Y 2Ü

F y

“

F2 sen30°

+ F3 sen60® +F4 +FQ sen60®

Fs sen60° * 0

simplificando: simplificando:

Q = - 1.83q 1.83q

13.13.- Dos esferas esfer as idénticas de corcho corchos s de m y carga q, q, están est án suspendidas del mi punto punto de dos cuer cuerda das s de longitud. L. Ha el ángu ng ulo© que las las cuerda cuerdas s forman co vertical una vez logrado logrado el equilibr

SOLDCIOW. -

Hagamos Hagamos dos gráficos: gráficos:


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FISICA 211 TEORIA. Y PROBLEMAS RESUELTOS

Esta es una ecuac ecuació ión n con con una sola incógnita, que pued e s e r s o l u c i o n a d a .

14 .- Dos esfe sferit ritas de masa roj y nu con con cargas +q1 y +q2 respecti resp ectivamen vamente te están unidas unid as por un hilo que pasa a través de una polea inmóvil. Hallar la aceleración de las esferitas esferitas y la tensió tensión n del hilo, hilo, si todo todo el sistema es introducido en un campo electrostático homogéneo homo géneo de de intensidad E cuyas lineas de fuerzas están dirigidas verticalmen verticalmente te hacia hacia abajo. abajo. Se despre desprecia cia la interacción entre entr e las las esferit esferitas. as. SOLUCION.-

T-qa E - m2 m2g = m 2 a «obre

n l

mig + ^ 1 ®

(1) (1 ) Sign up to vote on this title

:

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* "'i3

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HUMBERTO L2YVA NAVEROS NAVEROS

15. - Se lanza lanza un electrón electrón en un camp campo o eléc el éctr tr uniforme de intensi intensidad dad 5000 5000 N/C dirig dir ig verticdlmente hacia arriba arriba.La .La veloci inicial del electr electrón ón es 107 m/s m/s y forma forma ángulo ángulo de 30° 30° por encima de la horizon horizon a) Halla H allar r el tiempo requerido para qu electrón alcance su altura máxima. máxima.

b) Calcula Calcular r la elevaci elevación ón máxima que alcanz alcanz partir partir de su posición posición inic inicia ial. l.

c) Qué distancia distancia horizontal recorre recorre el elect elect para para alcanza alca nzar r su nivel inic inicia ial. l. SOLUCION.a) La al máxima

alcan

para:

Vy«Vo.y + Vy ■ Voy + ayt*o, ayt*o, ay ■ F/m ■ -eE/m -eE/m Vo sene se ne + (-eE/m (-eE/m)t^ )t^ * o reempl reemplaza azando ndo valoras valoras

- 0.57 x 10~8 10~8S S Sign up to vote on this title

Useful  Not useful b) Para Para hall hallar ar la altura alturamáxima:

Yi "v "v°y °y

+ % *y

“

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risi risica ca

xxx n o t u

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t



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BSOCUOf

x2 - V ^ t - V0 V0co cose se2t_ 2t_ reemplazando valores val ores X2 * 9.86 9.86 c» 16.16.- En un aparato de Millikan se obse o bserva rva que una gota de aceite acei te cargada cargada cae a través de una distancia de la» en 27.4 seg. en ausencia ausencia de un u n campo eléctrico externo.La misma gota permanece estacionaria estacion aria en un campo camp o de 2.37 x 10* 10* N/C N/C. ¿Cuántos ¿Cuán tos electr ele ctro o nes en exceso exce so ha adquirid adqu irido o la gota ? La viscosida viscosidad d del aire aire es 1.8xl0~s 1.8xl0 ~s N S/M2, S/M2, La densidad dens idad del aceite es 800 Kq/m3 Kq/ m3 y la del aire es 1.30 Kg/m3 Kg /m3

aOLOCIOM.*/s/s/sssys/ssssss/s

♦

sea F la fuerza de visc vi scoc ocld ldad ad del aire, aire,

| Eai: empuje del aire. v | W: peso de la gota ota de 1 lw aceite ite. 777/////// // //.' //.'// //’ ’ Cuando no hay hay camp ca mpo o eléctrico se tiene: tiene: F + Ea. - W - O porque la velocidad permane pe rmanece ce constante1 co nstante1  Sign up to vote on this title 

m

fiir^rVj +

f a i

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4/3irr3 4/3irr3g g -/ac -/ac 4 / 3 v r 3g - 0

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KUMU5RTO

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VTVJl

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MAVEROS MA VEROS

Sheet Music

62 x 10“8 n

Cuando existe campo eléctrico; que la gota permanezca estaci estacionaria onaria es nec rio:

vf* o

w

Eai + F# + W * 0 Eai + Fe « W

Pai g^-irr3 + (Nej (Neje e --y7ir3 --y7ir3

NeE = (Pac-Pa (Pac-Pai)g i)g 4/3 4/ 3 1r r3 = 67r^rv r^rv, N « 6Tr^rv^ /eE * 2

17.- Dos partículas de cargas -2C y 5C encuentran a una distancia distancia de separa de 0.5 m. m. Dónde se podrá podrá poner poner una ter carga carga a lo largo de la línea línea que las para que no experimenten ninguna ni nguna fu eléctrica?. 80LUCZ0N.Sea el gráfico del problema : Sign up to vote on this title  9o

— 2C

k ¿T

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0-9 m

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XII

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TEORIA

Y

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PROBLEMAS



RESUELTOS

Sheet Music

I F ■ F2 + Fj ■ 0

Simplificando: 3X2 - 2x - 0.5 - 0 Resolviendo: x » 0#86 m 18. - Encuentre Encuentre la fuerz fuerza a sobre una carga carga puntu puntua a1 de 30 pe sit situa uada da en (0,0, 0,0,5 5) m debida deb ida a un cuadrado cuadrado de 4n 4 n en el plano 2=0 entre X- i 2m y Y= ** ± 2m con con una car carga ga tota total l de de 500 ûc dist distri ribu buid ida a uniformemente. uniformemente. SOLUCION.-

y ¿

La densidad de carga ca rga será:

* ** (T- 2 - 500 uc uc Los componentes de la fuerza fuerza ?, ?, en el eje X, X, Y se se an anu  Signlan up to vote on this title por simetría.  Useful  Not useful

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letta



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n m o i

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19.19.- Dos Dos placas aetálicas paralelas de d siones siones grandes grandes coaparadas coaparadas con su separ

Halle la fuerza por unidad de áre ejerce una una placa placa sobre otra. otra.

8OLUCIOK.-

La fuerz ejerce un ca sobr otra est lacionad el campo trico. ello ello toae dF:

dF « E dq - Jff/ Jff/e• e•) ) (



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los componen tes de la fuerza en el eje X,Y se anula y sólo queda, queda, la com co m ponente en el eje Z:

dF,

dF eos 0 K

*»«

|-2Ka b2)3/2 F = — J Xdl « KQ*b2ffa/ (a2 + b2)3/ 2 (A lti Fz « Qxba Qxba/2 /2 Ce (a2 + b 2)3 2)3/2 K 21.- Calculen Calculen la magn magnit itud ud de la fuerza sobre sob re la partícula partícula Q, Q, de la figu figura ra anterior, suponiendo esta vez vez que que la carga por unidad unidad de longitud longitud x está está dado por

X = \ 0 sen (®/2 ) en donde X o es una constante. SOLUCION.Sign up to vote on this title



En este caso caso el el dF origina orig inado do por el el dq, d tiene Not useful  Useful q, un componente horizont horiz ontal al en el plano XY y otro componente componente vertical en el eje eje Z

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HUMBBRTO LBYVA NAV8R0S

La componente horizontal horizontal tiene tiene dos component component en el eje X e Y. Va F

1*3“(Ì) ■ZW

fv =

Jsfiba j 5en «. d 0

Fv=QXoba/rre<,(a2 Fv=QXoba/rre<,(a2 + b2 b2)3'2 Para

dFH dFHx y dFHy dFHy se hará hará uso uso de una vista vista superior

/ V C>

dFH cose dFu dFHu * dFH sene sene dFH:

Y

Hx

Hx

T(í)

eos e

I KSffiE ^ ä j

sene

í


kOa2 kOa2 Xo sen y co cose se de Useful r3 í

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FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS

fh

=

F - > l pV

+f V

=

T J „y

- n e . c X ° b * ] ^ [ f 2 + b 2 ) ’ ’

f h*

22.- Un anillo de alam alambre bre fino fino de radio rad io R, R, es portado port ador r de una carga eléctrica eléctrica q. En el centro del anillo anill o se se encuentra encuentra otra carga Q (q y Q son carga cargas s del misno misno sign signo) o), , siendo siendo Q » q . Halle Halle la fuerz fuerza a conque el anillo se ensancha. SOLUCION.-

La fuerza so licitada está dada por la Ten sión T, como como en todo instante se mantiene manti ene el equilibrio, se tiene




C í

A

ha tomad tomad

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a porción de arco

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HUMBERTO LBYVA HAVSROS como:

...(2)

R¿«

De (2) en (1): (1): O X R A * 0> T m K ;---- * -------

R*A«

T

/Z JfR R 0 (q /ZJf 47TeoR

4T6oR

) _

% Q 8V€oR*

23.* En En los vértices vértices de un hexágono hexágono regul colocan cargas cargas eléctricas iguale valor valor (+q) (+q). . Q u e carga habrá que co en el el centro del hexágo hexágono, no, para para que este sistema de cargas permanezc equilibrio. SOLÜCIOB.-




 Useful  Not useful Por condición de d e equilib equilibrio: rio: FX*F1 +F2cos3 cos30° 0°+ + F3c o s 60°+ FqCOs SO®- F5c o

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F IS I CA


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1I 0U 0U A

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T »nt!



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BSDKUOf

Q»1.83q

EX aitao valor se obti obtiene ene de de

Z f, - o 24.- Se ti tien ene e 4 ca carg rgas as ((-q) q), , 2q, 2q, (-q) yq y q . ( de los cuales 3 están colocadas sobre sobre la laii iinea nea de 1/ 1/4 4« «i ie cir irc culo de de r ra adio a, como se indica en la la fig. Ha Hall llar ar la la fuerza fuerza result res ultant ante e actuando sobre la carga situada en el cent ce ntro ro de del l semicírculo. SOLUCIOB.-

y

Las cargas (q) , dan lu luga gar ra dos fuerzas cu yos ooaponentes en el eje X se anulan anulan: : £ Fx >0




Useful  Not useful 25.- A una esfera de radio A maciza y una densidad volumétrica f constante, constante, se le

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n m o s

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MUKZOi.

Sta

la fuerza que ejerce la t completa, sobre la carga q0 q0 . Test,

Fv: La fuerza que ejerc ejerce e una esfera esfera de ra 2) y que lleva una den d ensi sida dad d de carg carga a uni

Luego la fuerza de la esfera incom incomple pleta ta suma suma de las fuerzas fuerzas de las esferas, pero pero una una de ellas ella s es hueco hueco, , según el prin princi ci superposición, superposición, rest restar ará á a la la fuerz fuerza a Fesf, Fesf, A

(Fesf - Fh)i A

i

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risica iti

boria t

Para d »

K

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wntrnai u s o n i o i

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iSSaht

24 €*d

la la

solicitada o :

iíi

26. - Un sistema sistema se conpone conp one de un anil an illo lo de alambre fino fino de radio R cargado y de un hilo muy largo largo uniformemente unifor memente carga cargado do, , dispues dispu es to en el eje del anillo de modo que uno da sus extremos coincide con el centro de éste. éste. El anil anillo lo tiene una carg carga a q. A la unidad unidad de longitud d del el hilo le corresponde correspon de una una carga X Hallar la fuerza de interacción interacci ón entre el anill anillo o y el hilo hilo. .


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w c t t o

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Humos

Fy *■ JdFy « J dF coso “

ry

kq |

Fy ■ kq> [ — —

-

integrando y valorando valorando: : ry - *imi/R> *imi /R>

-

~

í t

27.- Un hilo *uy largo cargado uniforme uni formeme me situado en el eje de un circulo de R se apoya apoya con uno u no de sus extremos centro del circulo circulo. . La carga del hi unidad unidad de longitu longitud d es igual igual a X . el flujo flujo del del vector vector ôtravés del áre circulo.

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FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS

Por defin definici ición ón de fluj flujo: o:

r dE ds cose 0 * jr d-E.d E. ds- ■ J

íí

xXdx ® 217K I I— y — i

i. »

r dr dr

a> » 2KTTX 2KTTX

[V+ r'2JV* r»

0 = 2K TTX j yr

r'dr'

X R 21TXR 4 iree 2 e0 28.28.- Dos bolas similares sim ilares de de masa M se cuelgan cuelg an de hilos de seda de longitud longitud 1 y llevan cargas similares q, cono se muestr muestra a en la la fig. fig. Supóngase Supóngase que L » x. Hallar Hallar (a) la velocidad velocidad instantáne instantánea a relat rel ativ iva a (dx/d dx/dt) t) con que se acerca acercan n las las bolas bolas entre entre sí sí, si cada cada bola pierde pierde carga a razón razón de (dq/ (dq/dt dt) ) y X es la distancia de separación de equilibrio.

0

SOLUCION.-


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HUMBERTO

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LSYY*



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HWZR08

En equilibrio: X Fx * 0 Z Fy ■ 0

T sen sen 9 * Fe T eos e ■ mg

Fe - mg mg tgfl tgfl , tg 0 * sen£ Fe ■ mg sen 0

cobo

L»X

y!- -(¿)

deriva der ivando ndo con respecto al tiempo: tiempo: d* dt

¿

3

H

L \ 2 n€^ ®gq

/ dg \ \ d t /


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FISICA IZI TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS

PROPLBHAB PROP LBHAB PROPÜB8TQ8 PROPÜB8TQ8 29.29 .-Carg Cargas as idénticas idénticas deq(c) deq (c) están están localizadas en las las ocho ocho esquin esquinas as de un cubo cubo de lado 1 (a) . Demu Demues estr tre e que la fuerza fuerza de Coul Coulom omb b sobre cada carga carg a tiene una magnitud. magnitud. H: 0.26Q2 /$>12 30.30.- Dos Dos esferas idénticas idénticas pequeñas y cond co nduc uc  toras tienen tienen carg cargas as de 3 x 10~ 10~9 C y (-lxlO“9 (-lxlO“9 C) C) respectiv respectivament amente. e. Cuando se se colocan sepa rados 3 cm.(a).¿Cuál es la fuerza entre ellas? (b) si si se ponen ponen en cont contac acto to y luego se separa separan n 3 cm. ¿Cuál es la fuer fuerza za entre entre ellas? K: (a) (a) -3x -3 x l 0 ” 5 N, (b) l x l O 5 N

11.- Dos alambres paralelos infinitos tienen cargas cargas uniuni-fo forn rnes es de X, yXjfc/m). yXjfc/m). si la la separación de los alambres alambres es b, b, halle halle la fuerza fuerza por unid unidad ad de longitud longitud de uno uno como resultado resultado del otro. otro.

K: \ 3?.3?.- Con qué fuerza fuerz a interaccion interaccionarían arían dos bolas  Sign up to vote on this title de cobre cobre de 1 g de masa cada ca da una , Useful  Not useful encontrán encontrándose dose a 1 m. de distanci dist ancia a una de otra, si la carga sumaria de todos los



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HUMBERTO LZYVA NAVSROS

3 3.3.- En los puntos puntos que se se definen por por los radi vectores r 1 y r2 se encuentran encuentran dos dos carg posi positi tiva vas s qj qj y q2- Hallar Hallar la carg carga a negati negati q 3 y el radio radio vect vector or r3 del punto punto en e n el hay que ponerla, para que la fuerza actúa actúa sobre cada una una de estas cargas car gas igual a cero.

= z ^ 1 5 2 i - _ r i /%>+ r’ /5T + A 7

34.4.- Con Con que que fuerza fuerza F se atraerán dos boli iguales de plomo, de radio r = L c situ situad adas as a la dist distan anci cia a R =* lm una una de de ot si a cada átomo de la primera bolita quita un electrón y todos todos estos electro se tras trasla lada dan n a la segunda segunda bolit bolita a ? . La masa atómica atómica del plomo A - 207 y P* 11. cm3 cm3 F* 4.38

X

1018 N

35.35.- Dos bolas de corcho, corcho, una de masa ma sa m y o de masa 2m, están suspendida suspendidas s de hilos seda de longit longitud ud 1, como como se indic indica a en FIG. Cada una tien tiene e una carga carga q. q. Demues Demues que su separación separación respecto del equilib equilib  d cetá dada dada por: por: Sign up to vote on this title 

d

(3 K 2 l/2mg) l/2mg) *^3 *^3

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t raoniHa



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■iwan.ro«

sobr sobre e una una carga carga de de (—20 jic) local localiz izad ada a en •1 eje, a 2b del plano del circulo I b .

-79.5 <-£) H

37.- Un Una ca carga rga Q se col co loca en cad cada un unocfaiosdoa vértices vérti ces opuestos de un cuadrado. cuadrado. Una Una carga carg a q se coloca colo ca en cada uno de los otros vértices Si la fuerza eléctrica eléctr ica resul res ul  tante sobre Q es e s cer cero. o. CÓao están relacionadas relacio nadas q y Q. Q.

Rr

Q * -2 »/? q

38 - Un cubo de arista aris ta a tiene una carga q en cada vértice. vértice. Demostrar Demostrar que la magnitud magnit ud de de la fuerza fuerza resultante en cualquiera cualqui era de esas carga ca rgas s es es: F - 0,213 0,213 q2 / eoa2


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n— nmu

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nvnos

III.-_CAI?0

ILECTEICO

- Es un vect vector, or, sirve para para describi desc ribir r un de cargas. cargas. - Cuando Cua ndo una carga carga eléctrica en e n una regi r egi espac esp acio io experimenta una fuerza fuerza se 11asa eléctrico. Sea una carga carga Q y a una dis r, queremos hallar el valor del eléc el éctr tric ico o en P. PI PIG. G. 11

Colocad Coloc ados os una carga de prueb pru eba a q^ q^ en en P, condición que (q-»o), entonces hallam fuerza entre las cargas usando la le Coulomb. ?

-K

r

se define def ine el campo eléctrico eléctric o en P: P: E

p

Lim «i-«

_±

q© Sign up to vote on this title

¡.

« Li» q-*o

 Not;useful K ft Useful tt9/r2 qo

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FISICA

IZZ

TSOUIA

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T

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PtOftUKU



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KSSUKLTOS

Sheet Music

Unidades: En el sis sistema M K S, si si la fuer fuerza za es esta' en Nevtons, y la carga en Coulomb, entonces el campo eléctrico eléct rico se expresa expre sa en Nevton sobre Coulo Coulomb mb. . [E]

- «/C

3.1. 3.1.- PRIMCXVXO PRIMCXVXO DS SUPEA POSIC POSICION ION: : También para el E se cumple el principio de superposición, es decir el canpo canpo eléct eléctric rico o en un punto debid debido o a una carga, su valor valor no se se altera altera por la pres presen enci cia a de otr* otr* rr-arga vecina, sino que se suma suma o se superpone superpone al valor inicial. inicial.

3.2.3.2. - CAKPO CAKP O ELECTRICO DEBIDO DEBIDO A UMA DI8TRI1DCI0M DI8 DI 8CR CRE ETA DE CAROAfl: Se tiene un conjunto de cargas carg as discre dis cretas tas qt, q,, ......... y queremos hallar el campo eléctrico eléctrico en el punto p, que que está situado sit uado a una dista st ancia nc ia r, r,, r ,, r,, ....... de las cargas dadas.

p, , se coloca la carga de prueba En el punto pu nto p q^y se hall ha lla a la fuerza fuerza que ejerce ejerce las cargas cargas q. q. «obre qo, usando usan do «1 prin pr inci cipi pio o de su supe perp rpos osic ició ión, n,' '  Sign up to vote on this title

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HDNBBRTO

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LBTTA



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HUmOS-

3. - CAMPO ELECTRICO DEBID DE BIDO O A DMA DISTRIB COUTI CO UTIHUA HUA DB CA CARG RGA: A:

Sea una carga Q, Q, distribuida sobre sob re un cue queremos hallar el campo eléctrico a distancia distancia de d e la carga carga en el punt pu nto o P. P. Para ello tomamos tomamo s un un diferencial difere ncial de car dist distan anci cia a r al punto punto P, P, asi: asi: FIG.12. FIG.12.

0

1o —

dO

A

r

3.4.“ 3. 4.“ LINEAS LIN EAS DB CAJKPO ELECT ELE CTRI RICO CO O DE PUE

Son lineas imaginaria imaginarias, s, continuos, continuos, excep excep las cargas puntiformes pun tiformes o en los puntos don É es nulo. nulo. Estas lineas nos dan la dirección del eléctrico, eléctrico, trazando trazando una tangente tange nte a esta

Estas lineas se originan en cargas positi  tsrain tsr ainan an «n carga« negativas. negativ Sign upas. to vote on this title 

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El número númer o de lineas lineas que se origin or iginan an o ter sobre una carga es proporc prop orcion ional al al val

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FISICA XII no*!* T WflHTJMI «SUELTOS

Las líneas de campo eléctrico no se cortan, porque si no tendríamos tendrí amos en un punto, dos dos direccio dire cciones nes diferentes del campo, campo, lo cual es imposible, imposible, debid deb ido o & la unic unicid idad ad del É en un punto. Bajo condic condicion iones es electrostáticas, las las líneas de campo llegan o salen de la superficie de un conductor en forma perpendic perpendicular ular Ej E j. :

FIG.13 FIG.13 LINEAS OE CAMPO ELECTRICO

3.5.- FLUJO DEL DEL CAMPO EI^CT EI^ CTMC MCO: O: Hasta ahora, podemo podemos s hallar el campo campo eléctrico, eléctrico, visando la la ley de coulomb coulomb, , pero pero hay hay otra otra forma  de hallarlo hallarlo eaplea eap leanOo nOo la ley ley de Gauss, Gauss, para ello Sign up to vote on this title es necesari nece sario o definir el flujo campo  Usefuldel  Not useful eléctrico.

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HUMBERTO LEYVA NAVEROS NAVEROS

E

luego el flujo a través de la superficie es: s 0 = 5 líneas

Ahor Ahora a si la la superf superfici icie e (el vector) que la representa: § y el campo eléctrico, forman un ángulo: 0 entonces entonces el flujo flujo se define^como proy proyecc ección ión de é en la dire direcc cció ión n del E, E, así: así: luego el flujo flujo es es: 0 ■

E s

eos e

por definición del producto escalar entre vectores, se tendrá: 0=

S

Pero Pero cuando se tiene tiene una superf su perficie icie irregu irregular lar  up to vote on this title entonces entonces el flujo flujo se define defineSignde la siguiente siguiente Useful Not useful   forma:

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FISICA XIX XIX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

Sea Sea una superfi superficie cie cerrada cerrada S, que que se hall halla a en una una región región dond donde e hay un E, E, luego luego se divide en e n franjas franjas la superfic superficie ie dada y se obtiene obti ene los los vectores vectores superf su perficie icie & s1# a S2 S2 f • • • •

• •

Se define define el flujo a través de cada una de estas superficies: E. A s t El flujo flujo total total a través trav és de la superf superf icie icie cerrada cerrada S, será: ” -» d>» d>» I E. A S, í-i Ahora como el vector superficie tiene tiene que ser ser perpendicular perpendi cular a la superficie que repres represent enta, a, entonces hay ha y que que tender al limite a l superficie: <í>* Lim Lim £ E . A s i ASj-0

El sim simbolismo <^>s, sign signif ifi ica qu que la inte integr gral al se extienda extienda a toda la superficie superficie cerrada. cerrada. Sign up to vote on this title



Useful  Not useful Como ejemplo hallemos el flujo neto que atraviesa un cilindro cuando cuando su eje es paralelo a la di ió d E (uniform (uniforme) e)



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nvnos

e

FIG. FIG. 16 FLUJO A TRAVES DE UN UN CILINDR CILINDRO O E. dS + 1 E. d Sj + « J E dS 1 eos eos o° + eos 180o*

E. d S3

E dS2 eos eos 90° +|E

integrando integran do y sabiendo Sj " S3

0-

ES1 + 0 - ES3

0-0

Es decir decir el nismo númer número o de líneas que ingr ingr es el que sale,üc*pu«s lo relacionaremos co hech hecho, o, de que no existe carga ca rga alguna algu na encer por la superfic superficie ie S. S.  Sign up to vote on this title

Useful  Not useful 3.6.-PLUJO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUA PUNTUAL: L:



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FISICA IXZ « O R I A


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PW H U M I



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« SU S U EL E L TO TO «

Sheet Music

Hállenos Hállenos el nú mero de lín línea eas s (flujo) que atraviesan la superficie ds d $ - E.d s Para hallar el flujo total a través de s, ínt ín t«grasos. «grasos. - ^ í . ds > | I d S

oomtf

- E s - ‘« p - > (4W '*> se ha usado usa do el valor valor del E debido debido a una carga carga puntua puntual l a una distancia distanci a r

Esto significa, significa, que flujo f lujo es proporci proporcional onal a la carga encerrada. Sign up to vote on this title



El flujo es independiente del radio de la Useful  Not useful esfera.



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■UNSBKTO

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U 7KXOI

3.7«- LKY DB OAUSS OAUSS Sirve para hall h allar ar el el campo campo E. E.

Debe cumplir cier cierta ta condición condi ción en la dist ción simétrica simét rica de carg carga. a. Definiremos Defini remos el concepto de ángul á ngule e sóli sóli Es el espacio comprendido superfici supe rficie e cónica cónica. .

dentro

de

(a) Consid Con sideram eramos os una una superfic supe rficie ie esféri radio R y que subtiende u n ángu á ngulo lo sóli l u e g o : F T G. 18

P*ta tina

« 4

S: interc intercepci epción ón del cono, con co n la la supe esférica.

b) Ahora Ahora si consid con sideram eramos os un diferenci diferenci superfic superficie ie ds: ds:  fig.19 Sign up to vote on this title 

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•ISICA XIX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

c) Si Xa supe su perf rfic icie ie es ob¿. '»a: fig. fig.20 20

T - , ó f i .

i

'S^

ds * * ds eos eos B dJl dJ l

=tesas»

Luego Luego consider cons ideremo emos s una carga puntual q, ence enc e rrada rrada por una superficie superficie S arbitraria, hállen hállenos os el flujo flujo a través través de esta superfic super ficie; ie; FIG.2 FIG.21 1

ds eos 0

0 - f B É.ds **0 ( __ L_ 4 V C

ds cose ■ «i c-*e r .

—


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TO OM M S SU SU O

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L SY SY V A



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U V IIO S

Ahora, si la carga q no esta esta encerr encerrada ada p hallem hallemos os el flujo a través de S, S, en en cual cualit itat ativ iva, a, si se desea cuantitati cuantitativamen vamen Bibliografía. FIG.22 FIG.22

Se observa que el cono que subtiende su btiende el á sólido sólidoifii ifiinter ntercept cepta a a la super sup erfi fici cie e S en Para Para S} :

díj /óS,

<*i

m*rT7~

cptflU\ cptflU\

-9

,^ .

(— í*-3 ) " « n r ,
-n-■ ^ ¡ 7 ‘• ‘•"'’■ t t

P.ra P. ra S2 S2: : O03- E f. dS, -Sign up ^to vote on this , titledS, co 

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rz s iC A

n i

T s o tu

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  r m

u n i



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m n L iM

ve el el flujo flujo es nul nulo, o, esto est o signi si gnifi fica ca que el nisao núaero de lineas que ingresa a la supe superf rfic icie ie s, s, a. travé través s del cono, cono, es el aisa aisao o que sale sale, , es deci decir r cuando cua ndo la carga esta esta fuera de s, s, no contribuye al flujo total total a través trav és de S.

Co b o

m

Ahora, Ahora, si tenea teneaos os las carg cargas as q 1# q 2 , q 3, q4, algunas encerr en cerradas adas por s y otras no, se tiene: tiene:

FIC. 23.CARG 23.CARGAS AS DEMTBO DEMT BO Y F U » A DE Ut SUPERFICIE S. * - \,

*- d«

- | E,.d« E,.d« ♦ | «j.<¿

f E j .d í + J « ,.« ¿ 4 « I5 * - « * * f E 6 .d. d S t ♦ ] i , . « * , + 0 0

«• I ■— *•

+

* 0 + -î-*0 + 0+ »• «• *• • Iq, Iq , (interioras) «i 1

í


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HUMBERTO LBYVA NAVBR08

la Ley de Gauss, Gauss, permite permite deduci deducir r ciert

pr op opieda iedades des;;

(a) En condic condicio ione nes s electro electrostát státicas icas dentro dentro de conductor, conductor, el campo eléctric eléctrico o es nulo nulo (b) La carga carga de un condu conducto ctor r resi reside de en en superficie. (c) Las linea lineas s de ca cantpo eléc eléctr tric ico o son norm norm a la superfici superficie e del conductor.

(d) La magn magnit itud ud del E, inme inmedi diat atam amen ente te fuer la superficie del del conductor esta rela r ela nada, nada, con con la densidad densidad superf superficia icial l de car así: así: E « $ f 6o 3.8. 3.8.- CAMPO CAM PO ELECTRICO EN UN UN CONDUC CON DUCTOR TOR Una carga en exceso que se deposita en conductor aisla aislado, do, se distribuye distribuye total totalmen men su superficie superficie exterior. exterior.

Los Los metales y otros otros conductores tien t ienen en car que se mueven mueven con liberta libertad, d, si existie exis tiera ra campo campo eléctric eléc trico o £ en el el conductor, conductor, ento entonc nces es cargas positivas positi vas se moverian en la direcc  Sign up to vote on this title del E y si la carga es negati neg ativa va se muev mueven en  Useful  Not useful sentido sentido contrario, asi:Fig asi:Fig 24 (a)

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FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Sheet Music

Cuando la carga positiva positiva y negativa (condiciones electrostáticas) electrostática s) reultante sobre ellos es cero y por campo campo eléctrico es cero dentro del

no se mueve la fuerza lo tanto tanto el conductor. conductor.

Sea un cuerpo que tiene una carga Q f O, queremos saber donde se distribuy distribuye e esta carga carga. . Tomemos una superficie gaussiana que está
FIG.24 (b) Campo en un conductor conductor. .

como se tiene tiene condicio condiciones nes electrostáticas, electrostáticas, el campo eléctrico dentr de ntro o del del conductor conductor es cero cero, , Sign up to vote on this title K* 0  Useful  Not useful E*-:-ento entonc nces es : O » --.

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«T— W T O

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L im



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MA'

FIG.25 Carga en un conductor condu ctor 3.9.- CAMPO ELECTRICO ER LA CERCANIA CONDUCTOR

Sabemos que la carga en un conducto di «tri «tribu buye ye »n la superf superfici icie e por po r lo -t conductor conductor en condiciones condiciones electrostá elec trostáticas ticas distribución superficial de carga *. *.

c

FXG. FXG.26 26 Caapo eléctrico eléctr ico debi de bido do a un cond Sign up to vote on this title



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Toseaos una superficie gaussiana de cilindrica cilindri ca cuya cuya base sea S, S, una una de ellos

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La primera primera integral integral es cero cero, , porqu porque e el campo campo dentro dentro del del conduct con ductor or es nulo nulo, , la segunda integral:

La tercera integral es cero porque la direcc dir ección ión del campo campo eléctr elé ctrico ico y la superficie superficie ds3, ds 3, son perpendic perpe ndicular ulares es y su producto escalar escala r es nulo. nulo. Por Por lo tanto:

E

S2 *

q /e* /e*

la distribución del campo se indica en el gráfico. FIG.27

Distribució Distribución n de campo en la su perficie de un conductor. £




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HUMBERTO LHYVA NAVERO NAVEROS S

3.10.-ES 3.10.-ESFUER FUERZO ZO ELECTRICO SOBRE SOBRE LAS CARGAS CARGAS 8DPERPICIB DE UN CONDUCTOR CONDUCTOR

Las cargas cargas que se hallan hallan en en la superfi superficie cie es sometidas a fuerzas repulsivas debido a otras cargas. Para Para hall hallar ar el esfuerzo eléctrico eléctric o (fuerz (fuerz unidad de área) área) usaremos el valor medio med io campo eléctrico eléctrico

El esfue esfuerzo rzo eléctri eléctrico co será será: :




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FISICA IZZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

CAKPO gLSCTBICO l.l.- La La mitad mita d de un cascarón cascarón esférico, esférico, no conductor de radio interior a tiene una carga carga total Q distribuida uniformemente uniformeme nte en su superfici superficie e interio interior. r. Hallar Hall ar el el 6 en el el centro de curvatura? SOLUCION.-

, El dQ, genera un campo eléc trico trico en el eje Z. Las comp co mpo o nentes en el eje X, X, Y se se anulan.

KZ »

(T / 4€o

, 0" =

Q/2TOL*




luego: Ez = Q/

8*re0Q?

Useful

, íT = E 2 ((-K) K)

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HUMBERTO LEYVA NAVSROS NAVSROS

SOLUCION.-

Por simetrí las compone tes del camp eléctrico eléctrico en eje X se an lan, tanto tanto par la part superior superior e ferior. Só queda comp nente en el e Y E « Ey C“ dEy* dEy* - dE sene se ne Ey+ s

«y.,** Ey+ = KX a

sen 0 = ^

I

J X dI san 9

a d e sene sene (-cos (-cos0) 0)

kX

o

sen© d 9

2KX 2KX o

Debido a la carga negativa en el semianil inferior inferior se tiene el campo eléctrico eléct rico total resu result ltan ante te Ey^+ Ey_ « 2Ey+ 2Ey+Sign po rque Ey Ey^. « Ey Ey up to vote on this title E y = 2 E, E,= 2 ^ j



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FISICA IZX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Sheet Music

(q/2) (q/2) /no /no

Ey “ r e0o E - Ey <-J)

q

2ir*e0o*

J.- Dentro Dentro de una esfera maciza maciza no conductora conduct ora de radio a, a, hay un campo cam po eléctrico Eo radial de magnitud magni tud constant constante. e. Hallar la distr distri i bución de carga para p ara o
Tomem Tom emos os una una superficie gaussiana de radio r y por simetría del problema usa mos la ley de Gauss.

ds

B0 (4irrJ) ■ 4 n r 3 />/3 >/ 3 € o Sign up to vote on this title

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nvuto*

•o l o c i o ».-

Hallamos el el campo camp o eléctrico debi de bido do a la superior superior del anillo: anillo:

Por simetría las componentes componentes en el eje anulan anulan y sólo existe exi sten n la» compone co mponentes ntes en e Y: i?yg - Eys Eys (-J) (-J) jEyfl -[dE sen se ne = f KdQ J o*

*y# = | KXdl^sene _ J(_j< X 0 sene) sene) di sen Ey. Ey. - K^x o

j

sen e (a (a de) de) sene

* * *o | sen se n2 e d 0 *y.

O / 8

€ „a




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Para la la parte inferior, se proc pr oced ede e igualm

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F I S IC IC A

E

Z II

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P ft ftO S L M U

U S O T L XO XO S

- Ey Eys + Byi « 2 * o / 8 € tta

E - * 0 / 4 e oa (-J (-J) 5. - Hall Hallar ar el ñ para una varilla de longitud infi infini nita ta y¿un y¿ unif ifor orme me a una distancia y de la varilla, coso coso se indica en la figura. figura. 0OLOCICH.-

Por simetría las componen te s

d e l

c a *p o

en el eje X se anula.

Ex * |dE Ey -

sen ot * o

j dE co«

eos a

usando; dq -Xdx x

■

y

Ey s

t q

K

«

, di

«

y

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HUM&atSO

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LBTVA

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NAVBROS

6. - Hallar «1 E debido » un anillo anil lo de radi y que posee pose e una carga Q en un punt p unto o P cono se indica en la FIGURA.

SOLUCION.—

Situando anillo en plano pla no XZ XZ

Se puede puede deducir ded ucir por simetr simetría, ía, xas componen en X y Z se anulan. Ez

■ j d E se n e " 0

Ex

-

Ey

« J dE eos e

Ey

E

0 ■

-

■

.0 K cy s e dQ •

KjlO cos cose -




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VQ / 4ff€o (R2+ (R2+Y Y2)3/2 )3/2

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I

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11« ! W H

I W



i tW

Situamos «X plano cargado en «1 plan pl ano o XZ.

Tamb Tambié ién n por por simetría, simetría, se amalarán los compone componen* n* tes tes en el eje eje X, Z

Ex

dB

sen s ■ O

B y - Í dB eos e

C O M

rds cose c p

—

* *

1 w

*

4wCo

y

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KC

2 JT rdr coee í1

r dr

m

C

€ on this title |# (r2 (r2 + y* )3/2 3/2Sign up to2vote ñ

(j)

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P a ra r*a do la le Causs. t.

K.d .ds s -

Esta supe cie no enc ninguna ninguna q - o J

e

.ds

- O -» E - O

Para a * r * b, po Para por r s si i m t r l a de las lin campo eléctrico | f.ds — q/ € o

Parcialmente la carga carga Q es encerrada, lu r - 4/3 f

4/3 4/ 3 r (r (r33- a^ a ^r Sign up to vote on this title

q - Q (r (r3 3 -e -e3> 3> / (b (b3 3- e e3) 3)  Useful Q
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mniTot

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^ K-de - q/ € o La nuera superficie superficie, , el encierra tota la ctryi Q.

^ l.a l.a> > * Q/ ¿ e * (é^r3) - g / * o K - Q/AWCor3

9. — Calcule Cal cule el flujo fluj o por unidad de área, área, para una superficie que forma forma un Angulo de 43* con la dirección del caepo de una láaina infinita infinita de ca carga rga superf superfici icie e 1
INFINITA

Por definición)




|/s-
10.- Una esfera Metálica maciza de redio



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■ U M uem o

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n n a o i

SOLOCIGV. Por definición

6m

(») (») r < b 0 - ^ E. di

♦ - f, -|£ « -

Í ÍS

♦ “ “W r * (b)

« If E

« /«•

b
0 -£t -£t E.ds E.ds - O , por<^>« el casp ca spo o eléc eléctr tric ic del conductor es cero E * O (c) (c) a < r O - £ E.ds E.ds * f Eds -

*-f ^ÍS- fe> {/ {/»




♦ - - f c 2

■

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•ouczai -41

#

Según el pro blema «1 pun P estará a l «Saredia.

i-

** - 4* 4*x x ♦ 2a2 - O la única únic a solución válida váli da as : x - (2+v?) a * 3.41a

1 2 Hall Hallar ar «1 ca casp spo o el eléc éctr tric ico o en P p pa ara u un n di disc sc de radio a y que tiene una distribució uniforme ( c / r ) , tal como ae indi indica ca en l figura, el disco disco w t l en el plano plano XX XX. i q u c x q í .* Sign up to vote on this title

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■meerro u m

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btuos

Sólo queda la compon component ente e en el «je Y, Y, las o m anulan:

i-—-iw) |

Ex - Ez * C► Er'

r<2 " r dr) r .J

>r

y a 2 rr f r dr £»"“Jtreo J„ yi > _

E

4 2 •o -

[ Y ‘"(.a A

«•

¿V/*

Ey J

13.- Halle el E en el punt p unto o P, P, debi debido do varilla varilla finita finita de longitud longitud L y densi carga lineal*uniforme, tal como como se se en la figura.


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zìi

noni a

y prob probls lsm& m&s s vsu klt os

no nulas, nulas, porqu« no hay simetria* simetria* Toma To mamo mos s un dq, que produce produce un camp ca mpo o eléctrico eléctri co en P. P.

haremos hare mos cambio de variables: variables: d * r sena , x dx

=

£.» ■ K V

» d cotg cotgoc oc

-d cose co sec2 c2 a d oc {-d CO »« «2 «2« « dOOCOWC dOOC OWC
4T€*

De igual forma para la comp compon onen ente te Y: Y: Ey

=

J

dE sen* se n* “ « d E sena

corno:»mnotx cosa 1 -

K K x

j -

sm na 3

-eoaor -eoaor 3

EX “ "ÌÌS5"ÌÌS5-ÌS ÌS*n0t *n0t2 2 " «*n a 3>

imoi i h (X


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itmmo

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Lim m n m

14.14.- Una esfe esfera ra de radio a contiene una un ifui— d» densid densidad ad PQ y esta esta rodea ro dea una concha concha esférica concéntrica de interno b > a y radio ra dio externo c, c, densidad de carga uniforme (~P0 )

Rallar el B para todos los puntos del esp

Por la distribución distri bución de las las linea lineas s de camp vector superficie superficie para cada superficie gau se tendrá tendrá la facili facilidad dad de evaluar la int Para Para: : (a)

r* a Sign up to vote on this title

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

is so n s o s

¿E. *« E

(4TT

r 2)

-

f o

4/3 4/3 TT a3 / G 0

I - P e 3 / 3 e or* (c) b*r*c E.ds, - — J«, * «o

b

La. supe superfi rfici cie e s3 s 3 encie enc ierr rra a toda la carga carga hasta hasta a y part parte e de la carg ca rgo o (- fQ) , por por oli olio o úsan úsanos os la relación:

í

t c - P«* 4/Í t V M M > ’)

Luego:

E.dS3 ■ J >tj

£( «irr* )« E -

-

"

4/5Í V

- b 3)

6«

R* 4 / 3 * (r3 - b3 ) + ? o 4/3

*---------- £ --------------

ô (a3 (a3 + b3 - r 3 ) / 3 C o

(
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ffOMBBRTO JM T W h n V B S t O S

15.- Un cilindro muy largo largo de de radio radio b cargado no uniformenente con una c for3 r3 (c/o3 ). Hal volumétrica f * fo Halle le el c eléctrico para todos los puntos espacio.

SOLOCZCM.-

Por la s tría de distribu de las li de campo, puede usa ley de Ga

^ E.ds - q/
Sólo cont ye la la inte que corre de a superfici teral, teral, par bas«s se lan B ds,


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F ISIC A

XIZ

A O S IA

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PR PR O OB B L E MA MA S



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U E SW Q L T O S

De (2) en (1) (1) : | Eds, Eds, - 2Tt P* L r s / 5 •» E (2 TI r L) ■ 2 TI Po L rs / 5 E - ^ o r4 / 5 € o (b) b 4 r Para esta superficie gaussiana s 2 la carga encerrad ence rrada a es hasta el radio b, b, lueg luego: o: q2 - j pdv q2

Por3 Por3 (2TCrLdr)

- 2 TI Poll^ /S «fe/ € o

La integral cerrada, se reduce redu ce a una una integra integral l abierta, para la superf sup erfici icie e latera lateral: l: E.ds2 - (2 TI ft> Lb5 / 5 ) / e 0 E(2 TI rL) - 2 Tt PoLb9 / » € © E - Pot Poto* / 5 € or 16. - Las carga ca rgas s punt pu ntua uale les s (+q) y (Sign -qup)tosvote e onsitúa si túan n this title a la dist distan anci cia a 21 una de otr otraUseful ..  Not useful Hallar el flujo del vector vec tor de la intensidad del del



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elé ctrico no es es constante const ante Co b o el caspo eléctrico

diferentes puntos punto s del circul circulo, o, tomaeo tom aeo superf sup erfici icie e de long longit itud ud 2 *7 r' y anc ancho ho hallaeos el flujo que atraviesa esta supe s upe cie. d<|> » 2 E . d s ^ ^ ■ 2 [ E .d s

t

> 2

I E ds co se

Se usa el facto factor r dos, porq porque ue contribuy contribuyen en al flujo flujo. .

0 - 2

í

c o s e * 1/r ,

(+q) y

(2nr* (2 nr* dr* cose > r2

*■ r'2 +12 Sign up to vote on this title

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risica

k ii

nota*

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y

 

noauns



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

rmblim

17.17.- El caapo eléctrico eléct rico en una región dada está está (V/b ) , Ey ■ E z expresado por Ex * 3x2 (V/ O. Hallar Hall ar la carga que contien« cont ien« un cubo cub o de Ib de lado lado, , si una de las cara ca ras s está est á en el plano XY y la cara opuesta en e n Z - Ib

el caspo eléctrico tiene cosponente en X, X, sólo quedaran los productos produc tos escalares escalares, , para superficies superfic ies que tienen tiene n direc ción X 0 - ^ E . d s ,

0

-

-

*»

B.dSj B.dSj

3X2

cobo

♦ I E.dS E.dS^ ^ * '•» .

í.ds, I f

- jI«2 I«2 - I 3X2 3X2 (íay)


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■UMBEMO

^ * q m

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LBTVA

q/Go e o 3

 


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

UVESOS

, q -


8 .8 5

m € o 0

x

1 0 -“

X 3 C

q - 26.55 26.55X X 10“1 10 “12 2C

18. - Una esfera esfera conductora conductora de radio tiene tiene cavidad centra cen tral l de radio radio Rj. En el cen de la cavi ca vida dad d hay una carga carga q (a) • Ha la carga sobre la superficie extern interna del cond conduc ucto tor r . (b) El eléctrico para todos los puntos espacio. SOLUCION.—

(a) (a)

Sea q i la carga carga en la superficie interna yq  up to vote on this title la superficie externa usando usaSign ndo Gaussr 

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F I SIC A

II III T W T I

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

Bmuw

T

Ademá Además, s, por ser u n co cond nduc ucto tor, r, qu« según el prob problem lema, a, no t i m t ca carg rga: a: »- . _ ^ qi+q^-o

, q. - -q4 - q

(b) El caapo el eléc éctr tric ico o pa para ra: :

■J E

- O

r

i E. E.d dS3

-

E (4 (4TE r2 r2) ) -q/Co *

" ^/éTteor2

19.19.- Ona esfera de radio Rj Rj tiane una cavidad central de radio rad io R^. Una carga q esté uniformemente distribuida en su volume volumen. n. Hallar Hallar el c a ^ o eléctri eléctrico co para todos todos los los puntos del espacio M U K I O i . *


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BUMKKTO

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LEYV&


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

MAVKSOS

Debido a la distribuc dist ribución ión de de lineas lineas d e caapo caapo integral de la Ley de Gauss, puede fácilmente fácilmente evaluada. evaluada. (a) P Par ara a r< R2 - T7

Ê.dS Ê. dS

- O

Esta superficie no encierra ningún* ca según el problena, luego: E-O (b)

RjfcriRi

¿ E.dS2 E.dS2 * ij

p _

»-A»A-

.......

« _ 4/3TIÍ 4/3TIÍRJ3 RJ3 - Rj3)

__ _______

__ ______

(1)

^ 4 / 3 * (r3 - Rj Rj*) *)

______

q'j - q
'

(c)

- 4

^

f f r ’- V >

Para Rj * r


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TISICA III


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TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS

20.- Se tiene un cilindro cargado sacizo de radio R y altura H, H, con densidad densidad de carga carga f> uniforme. Hallar Hallar el el campo campo eléctr elé ctrico ico en P, P, sobre sobre su eje. eje.

Tomamos un diferencial diferen cial de carga, carga, según la f ig u r a : dq « P dv dq “ P A d y 1 Si lo relacionamos con la densidad de carga superficial superficial suponiendo suponiendo que dq está está en un disco disc o de radio R y espesor espeso r despreciable. despreciable. dq -
Sabemos para para un disco de radio R y densidad de carg ca rga a o", el campo campo en P a una dis d ista tanc ncia ia y es:  Sign up to vote on this title

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HtrW HtrWBB BBRT RTO O LEYV LE YVA A NAV N AVBRO BROS S

Para nuestr nuestro o caso, caso, se tiene: dEy dEy

pd p d y
integrando: Ey =

dyh—

2€i

Ey o

[ 2

C

g t W L d y ' ___|

2

/ i r2+

(y-y1)2

H + / r 2 + ( y - H ) 22 - / r 2 + y 2' 2'

0

j

21.21.- Un hilo uniformemente cargado cargado que qu e ti una densid densidad ad 1 inea ineal l de carga carga. . Consi Conside de do que el radio de redondeo R conside considerabl rablemen emente te inferior a la la longi del hilo. Hallar el módulo del vector intensidad campo cam po eléctrico eléctrico en en el punto 0. 0. SOLUCION.<«)


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Eiy (-J) + E2y E2y ( J > « 0 Sólo Xa porción porci ón curva AB de radio R, R, contribuye contribuy e con el el campo en O. O. n n

Ex « | dE cosa co sa Ex

[Xdl

J

R2

Kdq Kd< cosoc o KX R cosa -52-

EX - X / 4TlGo R Ey =

dE s e n a ®

ir/»

] cos
,w/t

Kdq Kdq

sen a

Mft ,*/*

s e n a d a - X/4ttGor

9

Eo * / e x 2 + Ey2

53X y/2/ 4TZG oR Se puede obte obte  ner por simetría, que la varillas A y C, dan lugar lugar a componentes en el eje X, que se anulan y suman las las com com ponentes entitleel Sign up to vote on this eje  UsefulY. Not useful

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HUMBERTO LBYVA NAV8R0S

Se us6 : x dx r3 ■ E 2y ®

R cotg u -Rcosec2a -Rco sec2a du R3 + x3 x3 k \/R

De igual gual forma para para E j y - K X / R El campo campo en O a lo largo del eje Y será: será:

Ahora la porción curva ABC, da lugar a componente componente diferente de cero a lo lo largo del Y, sól sólo o los comp compon onen ente tes s a lo largo del ej

Ex *s j dE eos o Ey = |dE sen© sen© = |Jc— sen sen 0 ■ 1

Ey = p- di sen 0 *

sen 0 de Sign up to vote on this title

E y . -KA [-co [-cose se ]" ]" - ^

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F IS IS I C A

XX XXX

n o tu

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T



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USUELTOe

Luego, en O: -o

22.- Una esfera de radio r tiene una densidad superfici supe rficial al de carga carg a
Hallar el vector da la intensidad del eléctrico eléct rico an el centro de la e esfe sfera ra. .

caapo

Cono la carqa está distribuída en la esfera,torneaos un dq asociada asociada a un diferen cial da auparficie ds halleaos el Y diferencial de caapo que pro pro  duce. S61o la componente en Y no no se anula, anula, pero per o ai loe coaSign up to vote on this title ponentes an X  Useful  Not useful

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r a m o

cobo

^■up

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u m

^■ a . s

\



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

n m o s

- a r coa co a © coO se sa co s9 d© [ a a rr C s e san© s e n© n

r

2eo J

Ey.up . ar

eos2« sene se ne d e

2 Go Jo

Cuando Cuando G es mayor de TT/2 y menor meno r deTt deTt diferencial de carga que esta sobre sobre la sup ficie de de la esfer esfera, a, dan lugar al compo componen nen el eje Y y los compon com ponent entes es en el el «je X anulan. Además(T» a r cos cose ey a los los componentes:

dE se ne- o

*

5 x in f *

(

Ey¿n Ey¿nf f “ I dE c o s ® integrando halla:

es negativo y da da

("J )

haciend haciendo o el mismo mi smo proceso

SVin* " ar/ ar / 6 6 ° <“J> 

Signcentro up to votero on thisde title la esf Por lo tanto el el campo camp o en el cent  Useful  Not useful es:



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nsxa ssx


T w m

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t



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

moniM

23.* Una carga puntual Q se coloca en el origen origen de un s Í 8 t « M de coor coorden denad adas. as. Hallar Hallar el flujo eléctrico eléctric o a través del casquete esféri esf érico co que se muestra muestra. .

SOLOCXOH. -

V Por definic defi nicióñ ióñ de flujo del caspo eléctri eléctrico: co:

* (Q/2 Q/2 Go) (1-cose ) 24.- Un cilindro no conductor de longitud infinita de radio«con una distribución uniforme de densidad densida d de carga carga volumétrica volumétrica p tiene una cavidad cilindrica cilindr ica coaxia coaxial l de  radio radi o b. Hallar Hall ar la la densidad densiSign dad deon this carga up to vote title lineal que debe haber en Useful el  eje del Not useful cilindro cilin dro para el campo en e n el exterior del del cilind cil indro ro sea cero cero



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■ O N B8 K TO

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LE LE T T A



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

B flM I

80LOCXO«.-

T_L S

cil indri To m b o s una superficie gaussiana cilindri

radio rad io r y longitud longitud L. L. Para r > a, a, hallemos el cam campo po eléctr elé ctrico ico en P, debido al al cilind cilindro ro y el camp ca mpo o eléc en el mismo mism o punto punt o debido deb ido al alambre: alambre:

Ep

Kp -

(2nr L) -

Pn u^ to ») L

P<• * - » * ) . / * 6 o r

(2nrL) - A l / 6 o e J -- X/anCor

-I

Coso Coso: : E# - E x

b*)/2G0r


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F IS I S IC IC A

ZXX 1 S 0 B U

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T

Cea»« I d e r e B o e o m s f r f l c l s

9«MsiaM dt radio (*+b) y

da CauM, por Xa distribución da lu ÜVMU

____

caspo cas po óm trico.

«14c«14c-

¿E.ds - q/ € o

-(-yw

E[4 E[ 4 Ti (a ♦ b) b)2] - (T t^nm2) / € o 26.26.- El El plano plano -X ♦ 3y 3y - «I ■ 6 coatie coatiene ne una una distribució dist ribución n uniforme d a car^fe c - 0.53 0.53 Hall ll« « «1 E tn el lado qoá contie contiena na «c/i2 . Ha el origen. SOLBCXG*.-




sabesos el

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producido por sb

l

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■i—

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BTri ixra ix ra uT uTi m s

ÁB - (O, 2, 1) , AC - (“6,0, “6,0,1) 1) A - (2,(2,-6 6,12) 12) / / Í 8 T Luego Luego el caapo caa po pedido es: es:

E - ( ff/2e ff/2eo) o) (2 . -6. 1 2 1 reempla reem plazan zando do valo valore res: s: í - 30 30 (1, -3,6) -3,6)

f J Á P (H/C) (H/C)

27.- Hallar el B producido por un plano pl ano c distrib dist ribuci ución ón unif un ifor orme me de carga (T niendo niendo que el el plano está formado formado p serie serie de filamentos filamentos d e longitud in y de ancho ancho dx dx.

•OLO •OLOCX CXGH GH..-i i

«f




 El campo cam po eléctrico creado cre ado  por un un infinito a una distancia distancia R esta dado por Useful

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risica izx izx roo* roo*xa

t

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wnniai usoom

Lu*go , sumando sumando lo los s coaponentes, coaponentes, se aaulta aau lta en el eje X: 4 2 dBj COS 9 J* - 2 ( 2|Tx6(>H ) COS • J

dE

adea ad ea&s &s: : dq* -
dÉ -

eos eo s e

J ; eos eos • á X ft

r y [ #1

* t

í

r«» J "¡F* " r«# J# ve. ve. l

E -

2 6o

J

^

i1

n.

a 14)

28.- Da Dado do un ÉÉ - 4xi + 2yJ 2yJ
eléctric eléc trico o que atraviesa cada una de las caras car as del cubo c ubo que se indica en la figu figur ra, da lado la la.

fiO&OCXOV.-

■i

S


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Por defini definició ción n de fluj flujo: o:



l.dS l.dS

dS1 + |,i.dSJ ♦I^. ♦I^.dS dSj j +J|. +J|.ds ds4 4 +£ S" f f.dS f.dSi i *1

-

Jo

♦ 2yJ) 2yJ) . (ldy) i - 4

Jî-dS Jî-dSj j - £(4 £(4*1 + 2 (1) (1) J ] .(Idx) J J.IJ.I-dS dS, , - J'[4xi 4xi + 2 (?) (?) J

} -(Idx)

i

- 0

|^R.dS4 - £[4( £[4(0)1 0)1 + 2yJ] -(ldy) (-i) - 0 (#í-dS5 - 0 4 x 1 ♦

(0)J) 2 (0)J)

. (Idx) (-J) (-J)

Í-d£é -d £é - ¿ 4 x i + 2yJ) 2yJ) . (ldy (ldy) ) (-K) lu»go: * 4 + 2 - 6 lineas.

29.- Carga en la forma de una hoja con densidad^ AQrffn2 «stá locali en Z - -0.5 b . Una carga lineal unif deA- -6p*/a yace yace a lo largo largo del del «j «je Y. Y. flujo neto neto cruza cruz a la superf superf icie de u


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FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELTOS

<í>- [ (-6)(2) + -

148

(40)

(4 ) ] / 6 o

/6o

30.30.- Un disco circular circular de 10 ande radio radio contiene una una carga carga total total de 10 10~*C. La dens de nsid idad ad de carga superf ic icialffes direct directame ament nte e prop propor or cional a la distancia distancia r desde el centro centro del disco. disco. Si r se expresa expresa en en, en, obte obtenga nga el valor de la constante constante de proporcionalidad. ¿Cuánta ¿Cuánta carga carga está contenida en el el círculo círculo de 5 en de radio? SOLUCION.-

2

R = 10 en Q = l
(a)

dq « crds

10_* » 2TTKR5/3 K * 4.77 X lO’^C/cn*


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■ONUSTO

Qt

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LITTK

- 1.25



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nTZROt

X

10~fc

31.31.- Un Un cilind c ilindro ro infinitamente largo d e a tiene tiene una una carga por upidad de volua vo lua P - fj( y “ o» ) » donde .e es una con positiva y r la dist distan anci cia a radial radial liallar llar la carga carga tota to tal l de n t r o super superfi ficie cie gaussiana gaussiana (b) Halla Hallar re eléctr elé ctrico ico al interior del cilindro.

Toaeaos una superfici superficie e gaussiana de f o n cilind cil indro ro d e radio radio (r (r
q

-

(1/2 - r2/«2) r2/«2)


Useful useful (2T CrLNot dr) (2TCr

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rmamiM r



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BSSOKLXOS

Sheet Music

E - Por <
Mareaos Mareaos uso de la ley de Canes: h **- “ E (íT tr2)

- í.

pare pare a
f lP T I r * é r ] --------g ;

-----------

Porque Porqu e la la superficie superfic ie gausiana gausi ana encierra la carga pu p untual* q y parte de Xa Xa densidad da carga carga 1 ( inr^)

-

—

—

-

a ♦ 2if K ( ** -«* l

* según condición del problema

a)


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HUMBERTO LBTVA NAVBROS

simplificando: K « q/2TCa2 y el campo eléctr eléctrico ico para para: : a
33.33.- Dos Dos cascarones esféricos de radi ra dio o a y concéntricos concéntricos tienen cargas 4Q y respectiv respectivamen amente. te. Halle el campo campo eléc eléctr tr co para todos los puntos del espacio. SOLUCION.-

Usando la l de Gauss, pa cada cad a regió (a)

Luego E “ o

r
no hay car Sign up to vote on this title encerrada q  Useful  Not useful

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r is ic a n i n o « » (c)

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n r n i M i m o n io t

ixr

£ E.dS - (4Q (4Q - 2Q)/ 2Q)/ C o E (4TI r2 ) E

-

2Q/ G o

Q/2TtCo r2

34.- En cierta región del espacio espacio el potencial eléctrico está dado por la siguiente func funció ión n V » 40 je2 - BOy2 BOy2 volt voltio ios. s. Hall Ha llar ar 2 en el punt punto o (-2, (-2, -4, -4, 6) 80USCI«.Los comp c ompone onente ntes s dl dlel caapo aa po eléc e léctric trico o son: E

-

Exi + EyJ + Ezk

donde Ex._ Ex._¿3 ¿3£_ £_ , E y — 3B/3r y

Es - - »v/ d* Ex Ex

Ey

- -80x -80x , Ey - -60y -60y , Ez - 0 -80 (-2) (-2) - 160 -60 (-4) (-4) - 240

luego luego en ¿1) * E * 160 i + 240 J



35.35.- Los conponentes del del

eléctric

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InSTTfc

0 - ¿ E.ds



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MVKBOS

- j E.dSj E.dSj i

+

E.dS E.dS2 2 t

Las otras superficies superficies no contri contribuyen buyen al fl porque sus vectores superficies son perpe culares al caapo caapo eléctrico. eléctrico. 0 - [ 8001/2 8001/27 7 dSx - ^ SOO SOOv'a dS d S2

0 - eoov'Ta’«2 - 800*7 a2 a2 800 a2 /a (^2 (^2-1 ) re— plat platan ando do va valore ores:

0 - L02 NN-a3 a3 /C (b) Para hallar hall ar la carga car ga encerrada encer rada usaa us aaos os  de Gauss: Gauss: Sign up to vote on this title 

0 - ^ E.dS E.dS - q / € o

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FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS

vector, vector, desde desde el centro centr o de la esfera esfer a hasta h asta un punto general P, dentro de la aisaa esfera. (a) (b)

Demue Demuestr stre e que qu e Ép - P r / 36o. Se ha quitado quitad o una cavidad esférica esfé rica de la la esfera superior super ior cono en la figur figura. a.

Halle el campo E para puntos dentro de la cavidad, siendo á el vector que conecta cone cta el centr ce ntro o de la esfe esfera ra con el centro centro de la cavidad. cavidad. SOLO SOLOCI CIOH OH..- .. (a) Si no hubi hu bier era a ca vidad, «1 campo en P debido deb ido a O:

(b) Si sólo sól o existiere existi ere la cavidad en en el camp campo o en P debi debido do a o* o* Sign up to vote on this title

£o* - Pr* Pr* 3 6o

r*; r*;

- Pf'/ Pf '/af afio io

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■i— mui L z m

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nmos

Por el princi pr incipio pio d« superpos superposició ición: n: Ep • Eo - Bo* Bo* ■

3e

Pr 5C#

Pr* "

3C©

(r - ?•) - P a / 3 G 0

37.- (a) Ona carga puntiforme que está est á situ

en el centro cent ro de un cubo cubo de arista arista a. a. Cuál el valo valor r de d e:^ ¿.d¿> en una cara del del cubo. (b) La carga ca rga que qu e se traslada traslada a un vértic vér tice e cubo cubo. . Cuál Cuál es el el valor del flujo fluj o de través través de c/u de las las caras del cubo? 80L0CXQM.-

El flujo sale de la ga q es: es: q/ por razone simetría, flujo que at viesa vies a una c será: q/6

 El campo el tri co para Not useful trico cara ca ras s A, A, B son son




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r P i f ia

IX I

T l iT I

iinnr.Toi

1

Para las caras cara s P r R y N, las lineas de campo cam po si si las atravies atra viesa a y el ángulo que hace el caspo cas po de esta esta carga q con estas caras ca ras es 0* 0* , luego existe existe flujo. El flujo fl ujo que q ue sale de de la carga carg a q situada en el vértice vérti ce es:
e 0)

/ •

-

q/ t

C o

del total tota l y pera pera las tres tre s caras caras P, R y K le corr corres espon ponde de una una terce tercera ra parte, parte, es decir: decir: 1/3 (q/ 8 6o) “ q/ 24 €o 38.- El Electrón es un átomo de Hidrógeno se pued puede e supon suponer er '‘disp dispers erso* o* en e n todo to do el volumen atóaic atóaico o con una densida dens idadr dr* * c e ‘2r^ , dond donde e a^* a^* o. 53xl0* 53xl0*1 10 ■ . Hall Hallar ar el casp caspo o eléctrico eléctric o en función funci ón de de r. fOWCM.f f,B.dS E (4* (4*1 r^) r^) E

-

q/€.

Osan Osando do la ley de Gauss: Gauss: * . í. T' , ¿K ¿K • §L ár ár

--

(4 Ttr2) Ttr2) . Sign up to vote on this title

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pogfcBHag. w w r m T Q g

39.- Una Una hoja infinita de material no cond tiene un un espesor b y una carga carga volumé volu mé p(c/m3 ) . Halle Halle el 2 tant tanto o en el in como como en el exteri exterior or de la hoja hoja« « co rando que la hoja consta de la únicamente.

R: (a) P b / a € o

, Px/ €o

40.- Un globo de radio R tiene una unifo uniforme rme, , cuya densidad densi dad volumétrica volumé trica Hallar el flujo del vector vect or de la in dad del del campo eléctri eléc trico co a trav través és sección del del globo, globo, formado form ado por el distan distante te rQ < R de su centro. centro. R: TTpro

(R2

-ro2)/

2 ¿ o

41.- Una Una pieza plana de metal e* infinita larga larga y tien tiene e un anc ancbo bo 2a, 2a, cos costo se en la la figu figura ra, , halle hall e el campo eléctr elé ctr el punto pu nto P. R:

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T u tu

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n to u n i n s o n m

43.- Tres cargas c argas positivas iguales iguales a q están «si «s itu tua ada das s e n los vértic vér tices es de d e un trián tr iángulo gulo equilátero. Los lados lados del del triáng tri ángulo ulo son iguale iguales s a a. Encont Encontrar rar la intensida intensidad d del campo eléctrico en el vértice de un triángul triá ngulo o regular que tiene como base base este este triángulo. E - q /«V «Tl€oa2 oa2


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PO TIK XA I



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B LB C Tt IC O

Hasta aho ahora ra, , hemos determinad deter minado o el campo el trico trico, , usando usando la la Ley de Coul Coulomb omb y la la Ley Gauss Gauss, , también se puede hallar usando una nu cantidad cantidad esca escala lar, r, llamada potencial eléctri eléctri V. 4*1.* 1V 1 V T M B A L COS COSTILXV ILXVK Kft DEL B

f-ea una una región región del espacio, espacio, dond donde e exis ex iste te campo eléctrico 2 . Tomemos d o s puntos P 4 del espacio espa cio y dividamos divida mos una una trayectoria trayecto ria cu quiera e n diferencíale» d e longitud di, a

FIG.29 Integral Integral curvilínea curvil ínea

La integral curvilínea entre los dos pun dados es:  Sign up to vote on this title

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F IS IC A

X IX

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n o tu

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

T

/X\

FIG.30.- Cálculo de la integral curvilínea. Trayectoria Trayectoria PQ. El di * dxi + dy j v . A ,

.

f

dy * -j- dx

E.dl

(C y í ♦ C » )| . (te 1 ♦ dy J) J)

o

re

y dx + c x dy

' *

c ! y (

j-

r4


dy) +c | x i y a. )  Useful

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LCTVA



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MAVEKOS

[p B.dí «fÊ.dí +fw +fwE.ai E.ai “ - í (C y í + C x j) . (dx (dx í) í) + »

(C y 1 + c x 3 ) • (d y 3 ) ■

■ C y d x + C x dy « J" r« - C | 2 dx + c|t 4 dy

«

- 6C + 16C 16 C - 22C

PIG.31.-CALCULO DE LA INTEGRAL CURVI TRAYECTORIA TRAYEC TORIA PRQ. r o dí 2 -i “5T 4 Se obser observa va que el valor de la integral  Sign up to vote on this title 22C l 

Se

puede

considerar

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 Not useful

trayectoria

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FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS 

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Donde el signo negativo, tiene el siguiente significado. Cuando Cua ndo la carga qo, qo, se halla en una región región donde donde exist exi ste e un comeo É, ento entonc nces es este este ejerce ejer ce una fuerza P sobre sobre la carga carga, , luego luego para desplazar despl azar la carga de P a Q, debemos hacer hace r una fuerza (-F) , esta es la razón del del signo sign o negativo y se indica en la figura adjunta. vpo -Jj-i.di) -

o PQ

PQ

PQ

-•

(—qo/ dl l qo /y d

f

.di - wPQ A . *= X (-n .di qo lr

>

FIG.32 FIG.32. . Definición Defin ición de Diferencia de Potencial. Sign up to vote on this title

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Rummo

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nmoi

Llamaaos a V*, V*, la diferencia de potencial potencial en loe do» do» puni punios os P y Q , Unidades: En el sistema sistema H K S, ■e usa: Voltio (V) V

Joules " Coulomb

trgto En el sistema C C S;' se usa S t V ■:— --Sto'Cow

la equi equival valen enci cia a es 1 s t V * 300 V 4 . a . - P O T E N C I A L C L B C T R I C O E N Ü * P Dl DlfTO.-

Para defini definir r el potencial potencial en en un punto, se el punto P a una gran distancia distancia (
V “ 1“ 0 ' VQ

- "o

“ "a




Entonces Entonces es el trabajo que debe deb usefule hac  Useful  Not agente exterior para mover la carga de pr q0 del del infinit infinito o al al punto punto Q



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risica

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v

4 .4 .- SUPERFICIE SUPERFICI E EQUIPOTENCIALES EQUIPOTEN CIALES..geo métrico ico de los puntos de igual igual Es «1 lugar geométr potencial,se potencial,se ll llam ama a superficie equipoten equi potencial. cial. c o «o «o V M Si VM

-

V, - V ,

-

- O, ii rtnw rt nwm m

v. - v * y "m

-

o

Esto Esto significa« significa« si V- - V. , que qu e A ■ B (estados sobre el »ísmo punto) y «i A* A * B t estos puntos pertenecen a una superficie que está en un potencial, potencial, que que es el Mismo para los los puntos punto s A y B. Si - O , significa que no se requ re quie iere reâ âVa Va mover una carga carga de prueba entre entre dos puntos cualquiera en una de estas superficie superficies. s. Esto equivale a decir que el campo eléctrico es cons conser erva vati tivo vo: : é Éf Éf.df * o La integral integral curvilínea del ? a lo largo largo de una una trayec tra yector toria ia cerrada es cer cero. o. Esto significa significa que el trabajo trab ajo realizado para llevar llevar la la carga de prueba prueba ^ de A a B y Sign up to vote on this title después, el trabajo trabajo de Mj. Useful  Not useful para llevar de B a A f siguiendocualquier otra trayect tra yectoria oria cumple lo l o siguiente: siguiente:

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■nomo Lim

FIG. 33.Trabajo M t e t u n a c a r g a n u i u i reg

rM " entone«] entone«] f.dl f.dl ■ O y B i s perpendicular a donde dond e di di es es une diferencial diferen cial de la trayect tra yect y si ésta se halla sobre la superf equipotencial, entonces las lineas de C eléctrico son siempre perpendiculares a superficies equipotenciales. equipotenciales. Lf

\\x'

i / / / V t

e

-


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risica xiz n o t u

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n o n m

t

4.5. .5.- POTB POTB0C 0CZA ZAL L BLS BLSCTBX TBXCO DEBI DEBIDO DO A O H C & M I namnkL Sea una carga carga puntual puntual Q y dado un punto A, situ situado ado a una distancia distancia rA de la carga carga, , ha llaresos el poten potencial cial en A,

FIG.35 Potencial debido a una carga puntual puntual Toaa Toaamos mos dos puntos A r B y hallamos hallamos la diferencia de potencial potencial entre esto es tos s dos punto puntos» s». . vu

- v . - V.A

consideramos consideram os un circulo de radio a la linea linea de caspo caspo en C, C, luego luego: :

y que corta

v w * v. * va “ * <*c " va


Ve

- - f V< *í •|Ai *4Í

■

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VC

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l b t v *

- 4— T

coi» r# — • •

v.

-


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

n m o s

i “r . 1

U


- —re J] p VfaI• ) “

vc

O

- ¿ r J i r - k l

vc * «nevé «nev é °oao rc “ rfc Q

v a

■ vc " 4TCG«rA 4TCG«rA

En general el potencial debido a una c puntual puntual, , a una dist distan anci cia a r es es: V
1 ---4 TI e Q r

---

Lueg Luego, o, todos los los circui cir cuios os de radio r, r, rep taran lineas equipotencia equipotenciales. les. Sign up to vote on this title



El principio de superposición,  Useful  Not usefultambié aplica a potenciales.

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F IS IS I C A


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S U B IA

T

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M 9 0 S U »S



EB E BSOELTOB

FIG.36.- Potencial Potencial debido deb ido a carga ca rgas s discret discretas. as.

Kq,

Kq,

Kq,

---*— ♦ --- =— + — L + ---

4.7.- POTDCIXL DEBIDO COMTXETJA DE CARGA.-

A

UKX

DISTRIBOCIO*

Sea un cuerpo que tiene una distribución de carga y se quiere hallar el potencial en el punto P. Sign up to vote on this title

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LETTA W 

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4 . « . - ftBL ftBL&C &CXO XOV V BWTR WTRB EL P O T U C Ift L ▼ T KX

KLscrm KLs crmico ico I. -

Al inicio de la teoría teor ía de potenciales, d que a partir del poten ot enci cial al, , se puede cono cono campo cam po eléct eléctrico rico, , ahora ahor a lo haremos. haremos. Sea f (x, y, y, z) una fun f unci ción ón conti con tinu nua a derivadas deriv adas parciales qu que e existen: existen: ¿X . dx

,

á l_

ay

.

¿z

Se defin de fine e gradiente: gradiente: »f

-

Grad

f -

i -2L -2 L+ j da

§j+i-3*

Es un vector que nos dice c o b o varia var ia í  up to voteforma on this title de def proximidad proxim idad de un punt punto, o,Signotra Usefulección useful de la  Not lo: es un vector en ladirecc dir ión pendiente y sentido ascendente ascendent e y su mód



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FISICA XII nOftUL T PltOSLBIAS ftSSUKLTOS

-jV ■ ggdbl ♦ K, K,dty ♦ Ivd vdl l ..... Co m o

V

De e‘

(X, Y, Z)

dx ♦

Ot

9f

dy +

9<

dz

(2)

(1) (1) y (2) se tiene: - - di F-

Luego: ¿ 3V »

* - - !ojr * • EE- —

W

r

F ot

3V ;

E ■ ■ ■S¡_,_ TST» " T T "

£ - -vv 4.9.- DIFERENCIA DE POTENCIAL EVTKE PLACAS PARALELAS.Sea dos placas paralelas de dimensiones muy grandes grandes, , cargadas de signo opuestos opuestos y separados separados a una distancia distancia d y el campo eléctr elé ctrico ico entre las las placas es uniforme unif orme E. Sign up to vote on this title

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u m



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n m o c

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Hallamos la diferencia de potencia pote ncial l entr plac placa a B y A siguiendo siguiendo la tray trayec ecto tori ria a ( V B - V A - VAB VAB “ - I.’ ? ’ír f* - - i8i8- (• - V*B - - |A E.dl - jR E.dl - ]# E.dl E.dl « VAB - - | Edl Edl eo eos 180*-J Edl eo eos 9o'

i;

- Edl eos eo's 180 180 v KB

A

,9

* e I di - 0 4* E Idi

VM - E AF ♦ E SB - E (AR + SB SB) V AS * M

Ahor Ahora a si si usamos la la trayect trayectori oria a (2), el tado tado es igual igual. .

En general gene ral cualquier trayectoria, siemp puede descomponer el di en una dire paralela y otra perpendicular al E Sign up to vote on this title resu re sul ltado ta do siemp empre- será será  el mismo. Useful  Not useful

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n n e ft

x ix

i—

n

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v

F I G . W . - poten potencia cial l debido a un dipolo dipolo eléctri eléctri  co .

vp - V* + v. v. Vp *p Haremos algunas aproximaciones aproximaci ones r l -

r2 a a co cosa , r4 ra * r*

vp - ^ ra ra c o * a

........

11)

 Para hallar el campo eléctrico, usaremos Sign up to vote on this title coordenadas coordenadas polares« mmi¿  Useful  Not useful

3V

_

4

frV frV

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LVTVA



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BAV BA V E R O S

Sheet Music

A

A

E - Et r ♦ E f •

El momento mom ento dipolar estático estático se define: P 4.11.4.11.- EMERGIA POTENCIAL ELECTRICO.ELECTRICO .-

Tal costo se ve en un curso de Físi (mecánica), (mecáni ca), cuando cua ndo un cuerpo de aasa encuentra encuentr a en en un campo gravitatorio, energía potencial gravitator gravitatoria. ia.

Ahora« Ahora« cuand cu ando o una carga carga q, se coloca en región donde existe un campo eléctrico carga carga tiene energía potenci potencial al eléctri eléc trica cat ciremos el valor de esta esta energía. energía.

Primero traemos una carga q, desde des de el inf hasta el punto pun to (l) en ausencia ausencia de otras ot ras ca coso coso no existe campo eléctrico, eléctrico, entonc ento nc trab trabaj ajo o es nulo nu lo (W (Wj * 0)

Ahora Ahora traemos una una segunda segunda carga car ga q en pres p res de la carga carg a q 4, entonces el trab tr abaj ajo o real Sign up to vote on this title

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FISICA III TSORXA T PROBLEMAS USOELSOS

W12 - f F‘.dT - [ <-F) .dr <- f(-q2 f(-q2 E) E). dr - -qa -qa (E.dr E.dr

-q2|<’Vv>- d? "

1 * T 7

' * T T '* )•
+ dz*>

S--' + Í 7 - 0 «12 -
pero Vjn - 0 Wll“ * 2 V1 V12 "



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■<— »,» HI

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LSTVm LST Vm

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HkVKKOS

" w . 3 - - í < * U + *Í3> • * * -

-

. dr -\f2J . dr

- J r ' M

- |«i

-f
- - ll [ V * * » - * - *,fj- VV.Ir)

j?

I♦ r v M f f t - -[;■ * -

•

-

v.«r

ÍV •

W 12,3 " *3 V 1S * ^3 V 23

A1 final final se tiene la estruct estructura ura. .

FIG.41. FIG.41. Estructura Estru ctura final final de cargas discre

El tr trab abajo ajo total para para formar fo rmar la estructur cargas es es: : » - « ! « « „ +*U .3- ° +

q 3 V V 12


+■ q 3 V23 *^v„

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FISICA III TBOftIA T PftOBUMAS USUKLIOS

de campo camp o eléctrico, donde don de el potenci potencial al es V, la energía energía potencial potenci al eléctrica de la carga es es: U ’ q v Donde, Donde, U es es indepen independient diente e del orden orden de colocación de las cargas, es independiente del camino seguido por cada carga, depende de la disposic disposición ión final de las cargas cargas. . Cuando Cuando U > 0, quiere decir que debe hacerse un trabajo para deshacer deshacer la estructura, estructura, alejando las las cargas a distanc distancias ias infinitas infinitas entre entre sí sí. Las Las fuerzas eléctricas que intervienen son de repulsión. Cuan Cuando do U < O , quiere quiere de decir ci r que ten tendr dría ía
+ O Sign up to vote on this title

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E =

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Ì .V » »! ! *q

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-y-



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♦ ,V2

Por el teorema d« trabajo y ener energi gia: a: tf " A l , V - q (Vj - V2) - q A V

Entonces H ss el trabajo hecho sobre partí par tícul cula a cargada cargada al moverse mov erse desde Pj a P Si q > o, la carga gana ga na energí energía a cinética, ■ u a v « do punto« d* u y o r a nenor poten potencia cia >V2). Si q < 0, 0, la carga gana gana energía energía cinética, nuev nu eve e de puntos punt os de señor a mayor potencial V 2>-

Definición de voltio: Es la diferencia poten pot enci cial al a través travé s de la cual la carga carga coulomb coul omb debe moverse para ganar una cantida energía energ ía igual a u n joul joule. e.

Elec Electr trón ón-V -Vol olti tio o (ev) : Es una unidad unidad energí energía, a, que es adquirida por una partícul  carg carga a (e) al moverme moverme a trav través *onuna Signés up to d vote this titledifer Useful  Not useful de potencial de un voltio voltio. . V

- (1.6021

IO“19

C) (IV) - 1.6

10~19

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FISICA SII t n t u

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T

1.- Una pe pequ quef efla la esfera de de 0.2 9 cuelga por medio medio de una una cuerda entre do dos s placas plac as paralelas separa separadas das 5 cm. La carga so sobr bre e la esfera es de 6xl0~* C. Cuá.1 es Xa Xa diferencia de potencial potencial entre la las s placas placas si el bilo bil o fo form rma a un ángulo de 10 * co con n la vertica vertical. l. SOLUCION.*
Por condicio nes de equilibrio: I Fx - 0

T sene sene-Fe -Fe * O

ZPy - 0

T cose - mg * 0

T seno s eno - q E T coso ■ mg

'••sr-

E • mg tg • /q sabe sa bemo mos: s: V ■ E d ■ reempl reemplaza azando ndo valor valorei ei




V» 2,180 voltios voltios

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HUMBERTO LZtVA KAVEK08

(a) Hallar Hal lar su desviac desviación ión tran transve svers rsal al cua cua emerg eme rge e de las placas placas. .

(b) Si se colo co loca ca una u na panta pan talla lla a 0.50 m derech der echa a del extremo de las placas. placas. K posició posi ción n sobre la pantalla llega llega el el trón? SOLUCION.-

(&) Usando las ecuaciones de la cinemátic dinámica, dinámica, se tien tiene: e: L ■ vo*t1 Fe * q E « na Y1 ■ f atí * V2í V2 í o£/ o£ / mJ(C mJ (C/V /V0 0)? // Yj - qEL2/2mv /2mv£ £ “ i*-2ív /<

2m

reempla reem plazan zando do valor valores es: :




Yj * 3-52 3-52 x 10"3 jb

vi

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risica m

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tmiA r



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BSSUSLYOS

y U iw io v alo re s:

Ta - 0.174 si luayo:

3

ls - 0 . 1 7 9 ■

Dos esferas concéntricas A y B de centro o, de radio radio R., R., y Rj Rj, div divid iden en el esp e spac acio io en tres zo zonas nas. . En la zona zona compr comprend endida ida entre las dos esferas esferas existe una de densi nsidad dad uniforcarga e eléct léctrica. rica. En el exterior exte rior da se de carga B y en el interior de A, la de dens nsid idad ad de carga carga nula, (a) Ha Hall lle e el po pote tenc ncia ial l en todo es nula,




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Primer Pri mero o hallemos hallem os el e l campo camp o eléctri eléctrico co para la*, tres tre s regiones: regiones:

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rVJKBJULTO

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LSra

Rj < r <

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fc.dÄj - q / € o

P 4 n (i^-RjV

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Ê.dSj -

I (4 (4 Tir3) - P 4 1 1

E-

«/ «©

04* -R,1)/! € o

P< R ^ - R ^ J / J « ^

Para hallar el poten potencial cial, , por regiones (a)

r fc Rj

luego

,

I

«V

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'vi^f I fM dV

vTrl

-

-

Oîjj^-O; Vff,

V (r) « V (Rj) - constan constante te

(b) Si Rj fc r

r

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Rj -

-

r— r I B .d r

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-

E 4 r

'i, \ f* I f (H-R j3) dr / i € . r f Sign up to vote on this title 

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nuca su

Para r - * *

?(r) ■ o

1usgo usgo V(Rj> - P f R* -

J / 3C* R,

rattpl rat tplaun aun doV CRJ cu <— *: V(r) - P C R ? - R aa ) Pl»»-R»» Pl»»-R»» f ± ± 1

3C»R,

ver) -

3«. 3« .

ir

R, J

pínf-njj

-- ■

3 €#r

Nactsitaaoahallar VCR^ VCR^), ), u s a o s la condición condición da frontera:

V(r) V(r)

-

•r *R,

V(r)

(r*R,)

( R ^ r * R,)

£ ■ £ * 1 9<»r

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valorutfo as hallas v«^

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2


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_ p « w

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3 S~

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J n/tt J V

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VÍRa) VÍRa)

-

l

2«,N 2« ,N, ,

P
Para Pa ra * a * r 4 * 1 V (r) - *■■• *■ ■•-: -:& & . tu

*

v <*> - 7 7

/

*i

{ —

Í [ - L .* L 1 Ü ± [ J .

M«1 1

«í

* i

5C# 5C # 1 N|

f* \

--ir-i- ;

4.4. - En una región del espacio espaci o bay un pote dado por V (r) * V o e~ e~*r/ r/r r en qu q ue u constante constante


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FISICA XXI TOTTI V

‘ KT f

0 !«*♦ r** .»i»/*

V«« -mr r—

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Ex - -

EX - Vo

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D* igual igual f o n a para Sy, 1s 1st f h ♦ -r>

Ey - Vo • „

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EZ * Vo •

al !«••») r> A

A

Liwqo: Liwqo: E - IBi ♦ EyJ ♦ E.k E.k e

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E - Vo

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(b) Usa U sand ndo o la la «cutc «c utclt lte e

Poisson: 4m Poisson:

V. ? - - P / C #




y además B ■ - W

fJ

P /c.

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HUKBERTO

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LEYVA

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MAVEROS MA VEROS

operando, operando, se obtiene: P-

-

0u2Vo € 0u2

e”ur/r e”ur/r

5.- Una Una esfera esfera conduc conductor tora a de radio R¿ R¿ tiene tie ne cavidad cavidad central central de radio radio R2. En el cen de la la cavi cavida dad d hay una carga (+q ( +q). ). Hal el potencial potencial para para todo tod o el el espacio. espacio. SOLU SOLUCI CION. ON. - _ ds.

_

Por la distr bución de l lineas lineas üe po, usare Gauss:

E

<4 TC r2) -

q/Ge

E - q/ 4TtCor2 4TtCor2 El potencial


dV » -E.dr  Useful

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(b) Para R2 R 2 * r * R^ ^ E . d s 2 - -g- « o E ■ 0

(ester (estera a conduct conductora ora) )

1 wív(í»,í,

dV « o v <«,> V(R2) V( R2) - VtRj) = q/AT q/ ATre reoR oRû ûs^ s^do do (04). c) Para Para r ¿ R 2 E.ds - q/£o

E(4TTr2) E(4TTr2) - q/e . E - q/4Tl€or2 q/4Tl€or2 El pote poten ncia cial: »(r) -

v

fV,,,

(r 2) -

f'

dv » — I c dr U, 4ire«f*

v(r) - V(R,) + — 2— ( 1 . 1 ) * «iré® «iré® \ ' *» / Ví V í f ) - — ----- +

f —- — )

4fT€0 4fT€0f ft( 4TTC© V

V (,

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i r 1 1 1 | ------ ♦ ---------------------- |

4TTC 4TTC© © L R(

t

Rj. J


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6.- Obtener la expresión para el potencial

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L«m nvutc

En este est e caso caso, , suponemos suponemos que el pla plano no esta esta e las las ooapon«nt«s en el eje X se anulan, quedan queda n en el eje Y . Según Seg ún el proble problema ma dedujo, que que el campo campo en P es: es: £ -

(

r / 2 e.

) J

Para el potencial: dV ■ - E dy í«t>

i» r

L év - -j -j.i

ü

* *

*

v <°> - °

V(y> - -
7.7.- Una Una gota de aceite ace ite tiene una carga de  vote on thisdio titleo de x 1 0 “w Couit*t.u y t .i en« eSign n«up toun radi ra  Useful  Not useful Cuál es la velocidad final c atraviesa dos placas horizontales horizo ntales q



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FISICA


XX XXX

xntu

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KSSUKLVOS

•OLDCIOS: •OLDCIOS: C o b o la velo

cid da ad es es constant«:

I F - 0

•g-Fe-Fn-Es-0 1 9 " Pe ♦ Fn + Ei donde Fe: Fe: fuerza eléctrica Fn: fuerza de rozamiento Es: Espuje

4 / 3 Ti r3 Pmt Pmt 9 ■ q E ♦ 6 ltnrv ltnrv ♦ 4/3Ttr 4/3Tt r3 P*¿ g adem&s adem&s: :

E ■ V/d

m *0 j h » a.9 m

V - [4/3 Tí r3g ( & - P 9i ) - ( 7 ^ ) ] /«T*v /«T*v

reeaplazaiwto reeaplazaiwto valores: valores: V * 6 x 10~5s/s s/s


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8 .- Una barra de longitud Lv L v tiene un extreso extres o

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w

«eweio«.1r

-o

,ji

s 4 1 — J--------- — 1 am * ■ i , • > ■ * ----- v Por definición: VO

-l

Vo

-K[

I? -« I«» I«»

4M -è

Si ik«l ik«l .

I

-jp] •

•

*»

integrando y valora valorando ndo: : Vo -

K \ „ ( L-b L-b Ln
9*— Una Una distribución distribuci ón esférica de carga da da R «stá caracterizada por una dens volumétrica de carga P* A/r A/r (o*r , s iendo r la distane distane ia medi medida da a part part centro de la distribució distri bución n y A una cons te. Hallar el potenc potencial ial para r < R Sign up to vote on this title 

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q* »J »Jff ff) )

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V(r) - v(R) - -Î -Î— « *•

4f

* i »-•>

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f»»,

T t M M i «ut ba b alla r v < » ) . EvaLutaos para pa ra la otra otra rapit rapita: a: *fcr *fcr

I

, f E.däj - q/e. q/e.

.....

ut

donte q - |piv ■

I

q - a n w 2

«3)Sign up to vote on this title

................

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Useful

 Not useful

Da (3 (3) an (2) : ■ <4 K r* r*) ) - 2 n A* A*2/« 2/«. .

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V(- )

donde

V(r) V(r) - V ((- ) V(r)

A»

r* R

*C# r

Luego para r* R, en e n le frontera : V(H) » VIR1 -V(Ri . ar*/2 «#R V(R)

A*

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2 €<

De («) en (1): A*

v (r )

“ íé " .

A

*« .

Ir-

V(r) - t - ( — ;•) ■ r i R

10.10.- Halle el potencial en un punto pun to P del de un disco de radio a y den superf superfici icial al de car carga ga
Useful



Se consid Not useful  diferenci su pe rf


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integrando y valorante: valorante: vp • * a/ a/ »c. 11.- Dos esferas conductora* conductor a* idénti idénticas cas d e radio

R, separados una distan dis tancie cie a. Cuál Cuál es la carga en cada cada es esfer fera a si el potencial da una es de V x y el de la otra es e s de f2.

caMCXOH.-

s«a Q,

yQ Qj j le lee e carlee da d a cada «ee «e e de lee eoferas usan us anoo oo el principi principio o de np nper erpo posi sici cite teup toyvoteconsi Sign on this title Useful  Not useful derando derando que por ser conductores conductor es elpotencial en centr o de la las s soferas sof eras es ig igua ual l al potencial el centro superficie,



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Da (l): (l): q2 -

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- ka k aQ1/KM

Da (2): Oj ■ V 2*a * kRQj/Ka

igualando estas est as últiaas expresiones, expresiones, se hal Q i - « » ( » ! « - V 2* ) / K ( a 2 -R -R2 )

reeaplara reeaplarando ndo en (3): -aR Q 2 -a

(V (V2a - V ^ / K
1 2 .- Dos esferas conductoras, conductoras, una con co n un ra de 6 ca y la otra con un radio radio de 1 se encuent encu entran ran cargadas c/u c/u con 3 x 10 y separadas una gran distancia. conectan las esferas por aedio de alaabre alaabre conductor, halla hallar: r:

(a) La direcci dirección ón del aoviaie aov iaiento nto y la aagni aag ni de la carga transferid transf erida a y (b) La carga final y el pote potenc ncia ial l de c esfera. Sign up to vote on this title



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i ntosLotu m o m o «

(b) Al Al ponerse poners e en contacto, la esfera esfera de radio Rx pierde carga q y la esfera esfera de radio R 2 gana la carga q. Hasta Hast a que que alcancen alcancen el mism mismo o potencial potencial (se supone supone que en el alambr ala mbre e no se queda qu eda carga) carga) ■V ' l - K

v *2 - K

{Qo {Q o +

v ; ^ v;

q)/Rj q)/Rj -

K (Qo (Qo - q ) / R 1 - K(Q K (Q o + q)/I^

q - Qo/3 Qo/3 Luego Lue go el potencial potencial de d e cada cada esfera es es:

V ’l ■ v'a ■ l/a l/a

- 2/5 V, - 4/3 v2

13. - En cada uno uno de los los tres planos planos indefinido indefinidos s x»-a x» -a, , x-O y x m existe existe una una distr distribuc ibución ión de carga superficial uniforme de la sisma densidad*. densi dad*. Halle Hal le el el potencial en todo tod o el espacio, toma tomand ndo o V*C , para X* X*0 . fll 1*1 *1 (3) 

Mt M tonoi.-

r

r




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Bj + Ej - Ej -
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X < -« -Bj - B, - B, • • i< r/ie o Bl potiAc pot iAcial ial:^ :^ .«W

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V(X) - T(o)

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(X - *)

C"-l.

....

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- - * ■ '*«• '*«•

X - a

V(a) V(a)Sign«up to«vote£onithis title 

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De(2 ) :

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- r i -« í/ * c#

iltsando en (9) V(K) -

V( V (x)

(T(-«>/2€o

&€• &€ •

(« 0 + 3 « I

+ | L (.«a | Sign up to vote on this title

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Lim

Dividamos el espacio espacio entre lo« lo« plano« en d partes par tes una de 0 hasta X y otra otra de X hasta b b, , ca una de estas regiones regiones dan da n lugar lugar a campos h-

Además relacionesos relacionesos las densidades de carg superfici superficiales ales y volumétricas. q - f S

« P Sb

En general

1•

y (a)

b < x

,

P x

Pb

para SL

P para Ej E * E

+ >2 ** ^ ttm

zt. + ?«, Sign up tom vote on this title

Z€m * useful  Useful MNot



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V(X) V(X) - V< V b> + -j£- <* <*-■> o *

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,«*» . , * V - - I Ctfs '*«•1 I»

V(x) V(x) - V(o V(o)

par« Je—b Dm <2) <2)

,

V(b) V( b) ■ O

(a)

«e (1):

v<*| - o + -£ -£¿ ¿-f -f»»-*i *i

. i& i&i Sign up to vote on this title



X* O

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n V O N

15.15.- N gotas gotas esféri esf éricas cas idénticas idénticas de líquid cargan al aisao aisa o potencial V. Coabin esto se se foraa foraa una gota grande. Demos que el potencial potenc ial de la gota es N 2/*V SOLUCIOH.- v ^ * ° 9>o°v

° o o**

El potencia pote ncial l de cada una de las esferas: esferas: kQ/r

El potencial potencial de la esfera esf era de rad radio io R es: gQp/R.••.•(!) Igualando Igualando los volúmenes:

* ; r r1 « *

3

r **

R - K 1/ 3 r y Qg ■ NQ reemplazando reemplaz ando en la expresión: Sign up to vote on this title



VB - M* / 3 V

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Por 4tfÍRÍoi0n:

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V. - O V

* * r,

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VAB reemplaz reemplazando ando valores: valores: r g » (52+ 12a)l^2 - 13 ^ VM

-

- « .M

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| ▼

\/32 + (-4)2(-4)2- S

V g-O % -

I.M

V

17.17.- Une carga lineal lineal uniforme de d e n s i d a d X  Sign up to vote on this title ln c/*, c/*, est* est* arregl ar reglada ada en foraa de un Not useful a en cuadrado de 6 b de lado, lado, c o b oUseful se  nuestra nuestr la figura. Halle el pote potenc ncia ial l en (0, O, 5)«-



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integrando: ✓

l/l

♦ lu/l> l * 1 4 r

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4 F I • L * \ -*/l -*/l ♦ £ U/f ^ ♦»4jW ♦»4jW# # /

son cuatro cuatr o lados ados, , por el prin princi cipi pi superpos ici6 n : como

vr - 4V

l/t */•

t««

reemplazando reemplazando valeres: valeres:




v .

io~*

Useful

 Not useful

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origen (jc- o ) , c o b o se muestra en la figur figura, a, se encuentra encuentr a distribuida una densidad de carg ca rga a lin l inea ealA lA-C -Cx, x, si siend endo o C u n a cons consta tant nte. e. Considerando Considera ndo al al potencial potencial electrostático en el infinito c o b o nulor hallar el potencial potencial en el punto P. 9aLmcim

V

un diferenci dife rencial al de carg carga a, que proéuoe proéu oe un diferencial de potencial potenc ial en P. To m b o s

per peret r - (* (** ♦ a*»1 a*»1/*

I.

í/3v»'

 19.- La es esfe fera ra no condu conducto ctora ra de laSign figura, tiene up to vote on this title una carga volumétric volu métrica a uniforme p(c/ «* ).  Useful p(c/«*  Not useful Ralle (a) la diferenc diferencia ia de potencial entre los punto puntos s A y B (b) La di dife fere renc ncia ia de



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NU N UCIQi.-

(a) Halle caapo e trico tr ico pera región:

♦■-«* E (4TCr2)

E - P b 3 /3 VM * V

vai m

( P b 3 /3 € a) (1 /a - 1 /b)

W

•ara e < r < b 4

t.ds t. ds - q' q'/C /C o




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B s s tm s o s

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P _ ,**_*, 6 6«

20.- Hallar el potencial en el centro de una circunferenci circunfe rencia a de radio radi o a, a, una parte de la cual se encuentra uniformemente cargada carg ada \ El ángulo ángul o central es 9 . soLoexaa. -

Se conoce

'!

« t - ot, • •

Tomamo Tomamos s un dq, el cual da lu gar un: .*

v

-4)xdi --=-\ L »

v

-

k X^ oc,-«, )

I"-

«1t ?

- k\0

V -X^ 4T« e 21.- Se tiene un condensador condensador esférico compuesto de dos esferas esferas metálicas huecas concéntricas concéntricas (armaduras (armaduras del condensador) de radios a y b (b>a) y de espeso esp esor r desprec des preciabl iable e aunque finito. finito. La armadura armad ura interna se carga con con una carga Qo > O . se supone que la tierra tier ra  Sign up to vote on this title (que (que se toma como com o orig o rigen en  deUseful potenciales potenc iales) )  Not useful está está infinitame infinitamente nte alejada. (X) la arma ar ma  dura externa se conecta conect a a tierra a través través

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■iHMiimu Larva Larva n n a o s

superficie interior y exterior de c/u c /u las armaduras. (b) Halle Halle el E en todos todos los puntos del espa

(c) Halle Halle el V en todos todos los puntos del del espac espac y la diferencia de potencial entre armaduras.

(II) Se cortocircuita la batería (conex direct directa), a), segú según n fig. (b (b). (d) repi repita ta cálculos cálculos anteriores. anteriores. NUCI«.-

f o)

Consideremos Considere mos el el siguiente sigui ente gráfico gráfi co y las sup Sign up to vote on this title

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naie* in noix» r

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■BSOELlOe

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y exterior exte rior de la armadura armadur a de rmdio e. e. lu«go lu« go por «1 problem*: Qo — Qj+ Qj+ Qj Qj. Para la superflcie supe rflcie S ^ z

¿E.ds, 2 \

m —

— '•

Como Como est£ den dentr tro o del conductor conductor la superf ici* ici* Sj, el campo camp o E * 0 y Q x * O, O, c g a o Qo - Qi+Qj Qi+Qj q 2 " <*> Para S4

,E.d*4 — Qj + Qa + Qj/^ .

Pero E • O ( dentro dentro de un conductor) O ■ Qj + Q, ♦ Qj Q3 -

- Q2

Pera S5

k }

* * *

“ “Q° v

-

*

—

s

E(4nH) - ( y c o

e -

o*/«v«9 f'


Coso la diferencia a m pot atrial atria  Usefull  Not useful entre entr e la armadura externa y tierra ee

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n u m os

04 - 4Tie* bVo (b) Para Para

r A a

,

no encierra encie rra carga

E * o

¿ E.ds E.ds, , » -2 /», 3 «• c* E(4 Tt «•’) - QO/ e o

a <

r < b

Para Para

r ■ b , E ■ O

,

(caa (caapo po dent de ntro ro de un u n con c on ductor) Para Para r > b, d> E.dss *

QA/C+

E(4TCr*) -4TC€»bVo/€o E - bVo/r bVo/ r2 (c) Ha llar«»os «»os V (r) entr entre e las armadu armadu usan usando do la cond condic ició ión n de bord borde: e: a 4 r 4 b

1

, v(r) v(r) - e. - | e.<» r *<» + c Sign up to vote on this title

v " "

7 ^ i,+c

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h i n oa u

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iuoblsn

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c * Vo - (Qo/ (Qo/4 4

Tt G+ .b)

La diferencia da potemcial entra las armaduras armadu ras

para pa ra r* r * a, usando usando (l)

para par a la armadura interior de radio a. a. Como Co mo E - O (r < a) , luego luego toda toda esta regi re gión ón as equipotencial. V ( r * a ) - Vo +

V
(Qo / 4 H €

) (l/a - 1/b)

c*

La condic condición ión de borde borde es: es: V(b) V(b) - Vo

o

, V (• ) - 0


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04-0 El caapo r t a

,

B - 0

a < r < b

,

r* b

> - 0

B - Qo/ Qo /4TK^H

SI potencial:

•‘ r ‘ " r* * r^ b

. »< *>

, V(r) -

ut, v < r) r) - o

( f - f ) • *'

La diferencia de potencial potencial entre las armadur armadur v<«> - V(b)

- ^ - ( 1 - S )

- ^ í - ( ± .± )

0 Qm « / f I I II \ »<•) - V(b) - ^ ( 7 -7 )

22.- Una esfera de radio a lleva una ca superficial superficial unifo uniforme rme por por unidad de áre áre Hallar el el potencial potenci al en un punto P fuer la esfer esfera, a, aedia ae diante nte integración integrac ión direc Sign up to vote on this title

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rxcxcm xix noex a

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ra raoKLBiiAs » s o n a o s

T o u n d o un u n « l t M n t o circ circul ular ar de Xa esfera, da radi radio o (a sene sene) ) y de espe espeso sor r (dX “ a de), lueg luego o ds - ( 2 Ti o sane) (a de) de) y dQ - r ds - 2 TI a 2 csene csene de Xuego: t v «'riiRld» &

m*(T

V ■ 2 €* ro* Vp - 28*

•«a e f + ( r - o c o t O ) * ] ( v

ñ

% n

9— 9 «e «e

c•* ♦ r*"-

[• * * r * * - h r ' c M l J ^

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*!


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K naof

24.- Hallar la difere dif erenci ncia a de potencial poten cial ent dos dos punto« del espacio, espacio, donde donde existe existe caspo eléctrico creado por una varil irítinita, de d e dens densid idad ad de d e carga carga lineal

25.- Dos cascaron cascarones es Metálico Metál icos s concéntricos conc éntricos c cargas y q. de radios a y b respect resp ect vamente. vamente. Haíie el potencial potencial para par a tod los puntos del del espacio.


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risica its xsoftiA i

(b. 1 ) a < r < b




BBSOBLSOS

, ^ B.dS - <1 zt zt. .

« H P r 2 ) - q x ✓«. B « q/ai q/ aitc tc, , '*
“

B <4wr*> <4wr*> - (qi ♦ qa>/ qa>/c. c.

B - (qj ♦ q ^ j / é r v * Fara «X potanelaL: (c. (c .2 ) b < r « •

y». -- I.«—|r*•* vr

-

J ^ - V

V > " * d i ♦ **>/*

(b. (b .2 ) a < r « b Trt> - - \' i. £ • -

Vrt“

.^

* •

^ - r. a# Sign up to vote on this title

[ t- t J 

v (b > - v (r> - ^ f r - v ]

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VCD - K <«.2) <«.2)

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[

r < •


- f J

, dV - -E.d -E.dr r

vri ■ o v
Pero V (a) - « [ L1M 9D V(r) - K

■ ?]

[

26,- Un cascarón hemiesférico no conducto radio rad io interior a, tiene tiene una carga carga tota distribuida distribuida uniformemente en su supe cie inte interio rior. r. Halle Halle el potencial potencial eléct eléct en el centro de curvatura.


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ar *«♦

Pero:

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T" ■ C4 / tt#

••• • I u

Vp - kq/a 0) V/s V/s existe en roa región región 27.- El E - (20, - 30, 0) «Sel espacio (a) Cuál es e s el trabajo traba jo efectuado para llevar una carg ca rga a de 2 fie de los pun unt tos A (0, 0, 0) a B (5, 2 ,6 ) (b) Cuál es e s la diferenc diferencia ia de pote potencia ncial l entre estos dos puntos?

•OUCip.-

F

(a) 81 tr trab aba ajo realisado por el agente ex terior es el valor negativo negativo al trabajo rea lizado por « 1 caepo eléctri co.  Sign up to vote on this title 

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kkvbm

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luego:

WM

1
sr-“

t* 10 c

m

v« —

21.* Sall Sa llar ar la eviergla potenci potencial al de un una a tsft dt radio radio IL ca carg rgad ada au un n i f o r au aut t n ta con densidad r .

El trabajo q se realiza pa form fo rmar ar un w 1iim imsn sn ds ds ca de radio r «spesor «spes or dr dr




W - ( P

U n

/I € o)

r4 dr

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Mf M f i n i a o s 1 « densidad de d e ca carg rgas as P - Z*/4/3Tt Ttf ft3 - 3Xe/4f* RJ Usando al resaltado dal probl

v

an t er io r :

- 3 : V / 2 on*o i

30.- Hallar la energía energía potencial de d e un conjunto

da cuatro cuat ro cargas, cargas, cada carga ca rga q, q, coloc coloc ada

en una configuración da una pir&nide triangular de arista a. a.

MAOnai.-

Por definición 9

donde 2 :es el tre trebejo bejo para traer la carga qa en presencia As la car9* Sign up to vote on this title

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31.- Un* Mf«rita Mf«r ita 4* baso ■ y earga q pu«d«

an el plano plano vertical vertical suspend suspendida ida de un de longitud L. En el centro de gi encuentra encuentra un una a segunda esferita esferita, , carga carga es igual igual en valor y en en sign carga carga de la esferita esfer ita que qu e g gir ira. a.

Cuál Cuál es la la velocidad velocidad horizo horizonta ntal l BÍ BÍ n i hay que comunicarle comunica rle a la esferita e posición más baja para que pueda real una vuelta completa?

Los punto Los B son par una equipoten V. V .*VA com fuerzas fuerzas qu túan conservat aV + ak a k • o ♦ AU| 4 A R -* .*

y/mm

(qr, (q r, - qv,) ♦ (m,2 i - o)




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Para que V¿ ■ Vmín , se debe cumplir T

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F IS I S IC IC A


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N O SLM I



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■■■ ■ I T T »

De (2 (2) en en (1) (1) s 1

mVA2 - eg2L + _i _i *V,a *V,a

1_ «V A2 - *g * g2L + i. (egL -

2

2

32«32«- Dos esferas idénticas de radio r están separadas po por r un una a dietancia dietancia d » r. Un Una a carga Q ha de de colocarse en la las s superficies de las esferas. esferas. (a) Cuál es la energí ene rgía a potencial potencial del de l sisteoa sisteoa si colocaaos (Q/2 ) en cada esfera. (b) Cuál es la energí energía a po pote tenc ncia ial l si colocaaos toda la carga en una esfera y ninguna en la la otra (c) Cuále Cuá les s son lo los s potenciales potenciale s eléctri eléctricos cos en cada esfera esfer a en los (•) Y
(«/ti


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IU O W T O

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[ 2~ W | *



HAv u o t

La energía pedida pedida es es: Ue « y O* “ T


v*j “

Z

vj

( * / 4 H * * + * • * "( "( § ) * *

(t»

V4 - KQ/r Q/ r

, V2 - KQ/d

O i - f l v¡«¡ Oe - KQ2/2 KQ 2/2r r

33.- Se tiene una placa placa de espesor desprec desp rec ble, ble, la cual posee una distribuc dist ribuc o nsta cont contin inua ua de carga carga
Se tomaun d Not useful  ferencial carga que


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Vo - K cr a o

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bsiiim

< r a 9 /4 t i e (

34 .- Un cili cilind ndro ro hueco hueco de radio radio a y longit longitud ud b, b, con sus sus extremos abiert abiertos, os, tiene una carga total CL uniformeme uniformemente nte distri distribui buida da en su superficie. Cuál es la difere dif erenci ncia a de potencial entre un punto punto del eje en uno de sus extremos y otro en el punto medio del eje? sowrcio*.-

Se t o w un anil anillo lo de red redio io a y espesor dx y

hallamos el potencia potencial l que qu e crea en el punto pun to A y despu después és en el punto punto B. B.

se sebe: dQ -

/ 0 \

*V«4a

>/i M a v wm .. í <0 VA * " — ■■ * J 7 T JT JT P

j


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■mmo urn BTitoi KO

luego:

/•*♦ fc1-6 Lo --------

vh

- v# -

35.* No es difícil calcular exactamente valor del potencial en el centro de lámina cuadrada cuad rada con carga carga unifor unif orme me < manera adecuada de efectuar la in gració gra ción n se sugiere en la fig. fig. Háll primero la contribución contribu ción al potencial e punto C, C, de la franja delgada delga da de anch dx, dx, desde y ■ -x a y - x . Lueg Luego o es fá de integrar x desd de sde e O a b/2 b/2 y obten ob tener er potencial potencial de esta cuart cu arta a parte parte del cuad do. do. Por supuesto que el potencial c está en el infinito. infinito. •OfcOCXO«.-


------ * -----AUseful  Not useful u

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p i n a xxx n o M A v fimii—



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ksoium

La contribu cont ribución ción da d a la tira al potancial potanc ial «n « n C es es:

v«c - 2
V'c -
(i

ln

(1

(-£(-£-) )

+/T)

Ahora el potencial en e n C, C, debido a las cuatro porclonas, serás Sign up to vote on this title

Vc - 4 (
(1 > / T )j

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36»- Se disponen en forma alternada

 Not useful

infinito

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•ouwxos.-

O

©

0 © O © O © O ©

-

Jr Si cont co ntid idtr traa aaM M la carga A de la cual quar hallar la energi ene rgia a potencial: f'M<> UH-«) Ue - K •f « K

(4 )(*) )(*) ■♦ K Sr

. V

m

♦ ■ — --I»

■ <»H <» H «I 4r

Ue •

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1 - 0 lf 'I «v i* a

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n m u o i

37.- A la distancia distanc ia R de la carga carga puntual puntua l q se halla una esfera esfe ra conductora de radio ra dio r , unida por un alambre alambr e fino y largo con la tierra tierra. . Hall Hallar ar la sagnitu sagn itud d de la la carga negativa en en la esfera. Puede influir el alambre alambre, , pero pe ro se desprecia desprec ia sus efectos. efectos. SOLUCION. -

El potenci po tencial al «n « n la «af* «a f*ra ra te radio radi o r at atará da dabid bido o a la superposición de los potenciales debid o a

Q y q-

pero pe ro V#s V#s{ - O, por esta estar r conectado conectad o a tierra. tierra. # 38.- En un campo electrostático uniforme de  intensida intensidad d E y cuyas cuy as lineas lineaSign s de fuer za up to fuerza vote on this titleestán dirigidas verticalmente Useful hacia arriba,  Not useful puede girar en el plano vertical atada at ada a un hilo de longitud longi tud 1 una una esferita de masa

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un unrvm n m o t

•OLOCIO«.M Cq

ÍC

f+> f+> ___ , ___ __ , __ ____ r._ nservati tenemos la Energía Potencial P otencial eléctrica:

u«, u« ,¿ -

— j A i? -- J*q? . é t - -q E 2 1 ......... (1)

La energía energía potencial pote ncial gravitacional: .

u,

8

21

como todas las fuerzas que actúan conservativas (la tensi6n no no realiza trab tr ab A e

« ó k

+AVJ«

-

o


K» + U «'» «'»

Not useful " " b * Ü «
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F ISIC A

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R S S Q BL B L IO S

<9 *9 ♦ q g ) i ................... (2)

De (2) en (1):

1/2 bV2 a - - Ü Ï £ i i £ M

.

t| (,c -e«|

■••ME)? *


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H Q 1 L 1 M M PKOPü KOPüEW EWOe Oe..-

39.39.- Las tres tres placas pla cas setálicas sostrados sost rados figu figura ra, , están cada una una separadas separadas por distancia b. b. si las las cargas sobre sobre las placas pla cas son±(T son±(T coso cos o se indica indica» » Cuál Cuál e diferencia de potencial entre las placas. *9 -c ♦ ♦ ♦ ♦ f A v

- 2
40.- Un esfera metálica de radio R« potencial potenc ial V¿ V¿, se rodea rodea con una envo esférica esférica conducto conductora ra de radio Rj sin sin c Coso varia el potencial de la esf después de estar durante cierto tie conectada conecta da con co n la envoltura. R :

V2 - V^R.-R V^R.-R.y .y», »,


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41.41.- Un cilindro infinito de radio a tiene tie ne

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FISICA XII TEORIA T FROSLfMAS RESUELTOS

42.- Dos esferas metáli metálicas, cas, concéntricas concén tricas y finas, finas, de radi radios os Rx Rx y Rj - (Rj < R2) R2 ), pose poseen en carg ca rgas as Q» y Q2, respectivamente. respectivamente. Hal Ha llarl ar la energ en ergía ía ae este sistema de cargas, para el el caso ca so del condensador esféri esférico. co.

4a).- Dos Dos pequeñ peq ueñas as esferas esferas conduct conductora oras s cargadas, de radio radi o r, r, están situados situad os en la distancia dista ncia R una de otra otra. . Estas dos esferas se conectan por turno a tierra tierra durante cierto ciert o tiempo. Hallar Hal lar el potencial potencia l de la esfera que se se conecto'primeramente conecto'primera mente a tierra, tierra, sí la carga inicial de cada esfer es fera a era q.

44. - Dos esferas pequeñas con c ondu duct ctor oras as, , de radio r, están situados a la distanc dist ancia ia R una de otra. otra. Estas esferas esfe ras se conectan conec tan por turno tur no a tierra durant dur ante e cierto cier to tiempo tiempo. . Hallar la carga carg a que queda en la e s f e r a, que se conectó a tierra en segundo lugar, si inicialaente cada esfera tenia el poten cial cia l V. V.  Sign up to vote on this title



q - V4Tt€* V4Tt€*r3/(R r3/(R2 2 + Rr) Rr)

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AV-qfl1 >)/2TCea W \ /!*<• /!*<•/* /*) ) /' 4 6.- Halla Hal lar r el pote potenci ncial al y * campo eléctrico en el centro de semiesfera de radio r adio R, cargada unifo nente con una una densi de nsidad dad superficial carg carga: a: cf • V «

(T R / 2 6

o,

E

-
47.- Una carga lamin laminar ar uniforme c o n ^ - 2n yace yace en el plano plan o Z * O paralelo parale lo al e en Y ■ 3i , Halle Halle la diferencia difer encia po p otencial

p a r a los lo s p u n t o s A ( 2 ,

y B (0, (0, 0, O) m

A

V - - 18.4V

4 8.8.- Un disco circular de radi ra dio o Ro tiene carga por po r unidad unidad de áre área a CT. Qué Qu é cant cant de trabajo se requiere para llevar partíc partícula ula de carga ^ de un punto en del del disco dis co y a una una distanc dist ancia ia Z de su p a :

(a) El punto en el eje ej e a una distan dis tancia cia Z del  lado del disco. disco. Sign up to vote on this title (b) El cent centro ro del disco disco. . Useful  Not useful a) W - O

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