Elementi Di Analisi Matematica 1 - Marcellini Sbordone.pdf

Paolo Marcellini - Carlo Sbordone

Elementi di Analisi Matematica uno Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea

Liguori Editore

6

Iudice 24. 25.

.' . t One SUCcesslanimona

Il numero e .._ _._.._ _

_.._ _._._ _..__._.._ _.._ _._ _ __._._ _._._ _ _

_ pago 78 . .. 79

Appendice al capitolo 3 26. Infiniti di ordine crescente _ _ __ _ __ _ _ .._._.. 27. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass . 28. Successioni di Cauchy._ _.. ._.._ _ _ __ _ _ _

Capitolo 4 29. 30. 31. -32. 33. 34. 35.

PremeSSIl _. ._ _._. ..__._.__._ __ __.._ _ __. . __..__.__ __._ __._._ _ __ __.. Definizioni Legal;De tra limiti di funzioni e limiti di successioni _ .. Esempi e proprietà dei limiti di fum:ioni _...._._._ _ __.. Funzioni continue -- -----..--.-..- --.-.-.--.- - - . Discootinui tà .__ .._ _ _ _ _ _ Alcuni teoremi sulle funzioni continue _.. ._ _ .

39. 40. 41. 42. 43. 44.

46. 47.

.

85

.. .. ..

91 94 97

..

98

87

.. 101 ... 103 .. 106

" 112 "

114

" 115

DERIVATE

Tasso di accrescimento. Significato meccanico della _ __ _._ _ _ _.._._. __._ _._ _ deriva ta __ Defmizione di derivata _ .._ _._ __ _ _._....._._ _ __.... Operazioni con le derivatc. __ _ _.__..__._ __. . Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse Derivate delle funzioni elementari __ __ _ __ _ Significato geometrico della derivata. Retta tangente _

Appendice al capilolo 5 45. Le funzioni trigonometriche inverse Capitolo 6 -

84

LI1\fiTI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE

Appendice al capitolo 4 36. Metodo di bisezione per il calcola delle radici di UDa equaZIone _ _ _._._.._ _._ _.__..__ . 37. Dimostrazione del teOl:ema di Weierstrass._......_..__....._ . 38. Continuità delle funzioni monotòne e delle funzioni in.. v eTse._ __ __.._ _ _ _ _ _ _ _. _.._ Capitolo 5 -

.."

.__ _

_.........

., " " " " ..

119 120 123 125 128 131

"

137

APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.. I teoremi di Rolle e di Lagrange __.._ _ _ _

_._ ..

" 141 " 144

Indice

48.

49.

7

crescenti e pago 146

Funzioni convesse e concave li teorema di L'H6pital Srudio del grafico di una funzione La formula di Taytor. prime proprietà

.. .. .. ..

148 152 155 158

Appendice al capitolo 6 53. Ill:eorema di Cauchy. TI teorema di L'HOpital nel caso generale._. . . ..

163

SO. 5!. 52.

Capitolo 7 54. 55. 56. 57. 58. 59.

FUNZIONI DI PIÙ V ARIABIDI Funziolli di due variabili: dominio; rappresentazione caTtesiana._.. ._.__. .__._. . .. Limiti e continuità __" Derivate parziali. Gradiente._ __" Derivate successive. Teorema di Schwarz " Massimi e minimi relativi_ l.. Funziolli di tre o più variabili reali___ "

169 178 180 184 187 193

.

196

__...__....._...._ ..._._.__ " __.__._._.__.... ___" ..

199 203 208 211

Appendiu al capitolo 7 60. Differenziabilità

Capitolo 8 61. 62. 63. 64.

_

INTEGRALI DEFINID TI metodo dì esaustione._.....__ Definizioni e notazioni_._..__._ Proprietà degli integrali definiti _ Il teorema deUa media

Appendice al capitolo 8 65. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane _ 66. IntegrabilitA delle funzioni continue _

Capilolo 9 67. 68. 69. 70. 71.

.. ..

213 216

Il teorema fondamentale del calcolo integrale...._.__. ." Primitive. Fonnula fondamentale del calcolo integrale .__" L'integrale indefinito _ ..__ __._._._..__.__._.._.___.. Integrazione per decomposizione in somma_.__. .. Integrazione delle funzioni razionali ______..

217 218 221 223 225

lNTEGRALl INDEFINITI

8

illdice

72. 13. 74.

Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Calcolo di aree di figure piane

.

._ pago 230 ..

._.__ . ___"

232 236

.. ntegra l.. l lmpropn. _ _._ _ _ _._ _._._ _ __ __.. " 751 76. Definizione di logaritmo, esponenziale, "

238 241

Appendice al capitolo 9

Caplia/o 10 -

FORMULA DI TAYLOR

" "

245 250 253 254

..._"

255

Serie numeriche _. .. Serie a termini Don negalivi ._ _.__ .. 84. La serie geometriea _ __.._..__. .._.._ ._ _ "
259

77. 78. 79.

BO.

Resto di Peano Uso deUa formula di Taylor nel calcolo di limiti Resto integrale_ .. ..._.. ... ... Resto di Lagrange

._-- _------_ _. __ _..- .._

Appendice al capitolo 10 81. Tabulazione di funzioni ....

Capitolo 11 -

_._--

.

...

"

"

SERIE

82. 83.

Appendoce al capitolo 11 89. Serie di Taylof.

.

_

_._-

"

263 264

266 269 272 274 275

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12

Capitolo l.

tiva. Nel paragrafo successivo è riportato un elenco delle proprietà che assumiamo valere per assioma. Dividiamo tali proprietà in tre gruppi: quelle relative alle operazioni, le proprietà relative all'ordinamento, e l'assioma di completezza.

2. Gli assiomi dei numeri reali Assiomi relativi alle operazioni. SODO definite le operaziOJ;li di addizione (+) e moltiplicazione (.) tra'coppie dì numeri reali, con le seguenti proprietà (8 b, c indicano numeri reali generici): (2.1)

Proprietà associativa: (a + b) + c = a + Cb + c),

(a· b) . c = a . Cb . c).

(2.3)

Proprietà commutativa: a + b = b + a, a· b = b . a. Proprietà .distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c.

(2.4)

Esistenza degli elementi neutri: esistono ill R due numeri distinti O, 1, tali

(2.2)

che a+0=8,

a·1=a.

(2.5)

Esistenza degli opposti: per oglli numero reale a esiste un numero reale, indicato ,con. - a, tale che a + (- a) :: O.

(2.6)

Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a Indicato COli a-I, tale che a· (a-I) = 1.

* O esiste

u.n numero,

Assiomi relativi all'ordinamento. È definita la rela2ione di minore o uguale tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà: (2.7)

Dic%rJzia: per ogni coppia di rltimeri reali a, b si ha li [; b oppure b

(2.8)

Proprietà asimmetrica.. se valgono contemportUleamente le relazioni a 5 b, b 5 a, aUo'/'a a = b.

(2.9)

Se a 5 b allora vale anche a

(2.10)

Se 0.$ a e O 5.h allora valgono anche O :5 a + h, O:f a . b.

-t--

li.

c 5 b + c.

Assioma di completeiza (2.11)

Siano A e B due insiemi non viloti di Ilwneri reali con la proprietà che a:5 b; comunque sLscelgano a elemento di A e b elemento di B. Allora esiste almeno un numero reale c mie che a:5 c:5 b, qualu.nqliesiano a in A e b in B.

l 11//IIII:ri

3. Alcune

e

le ftm:tioni reali

13

degli assiomi dei numeri reali

Nel paragrafo precedente sono state elencate le pwprietà dei numeri reali che vengono assunte come assiomi. Tutte le altre propl;età e teoremi esposti in que;sto libro discendono dagli assiomi. Sono conseguenze degli assiomi anche quelle proprietà elementari che in genere fanno parte del «bagaglio matematico» di ogni come ad esempio il fatto che un prodotto è nullo quando almeno Imo dei due fattori è nuUo, oppure quella regola dei segni per il prodotto (che, dagli studenti deHe scuole elementari. talvolta è accettata come imposizione, perché incompresa) che rnr;nte si enuncia: meno per meno fa più; oppure la norma di frequente applicazione nel risolvere disequazioni: moltiplicando entrambi i membri per una quantità negativa. il verso della disequazione cambia. Di seguito esaminiamo alcune proprietà, come quelle sopra enunciate. che sono conseguenza degli assiomi dei numeri reali. (3.1)

Vale la regola di semplificazione rispetto al/a somma: se a + b allora b = c.

=

a + c,

Utilizziamo gli assiomi (2.4) e (2.5). di esistenza dello zero c dell"opposto - a. e le proprielà commutativa e associativa: b '" O + b '" [a + a)] + b '"

[(- a) + al + b '" a) + (a + h)

essendo a + b = a

+ c,

si ottiene

b '" (- a) + (a + h) '" (- a) +

i.--

+ c) '" [(- a) + al + c",

= [a + (- a)] + c = O + c = c + O = c.

(3.2)

Vale la semplificazione rispetto al prodotto: se allora b = c.

a· b = a· c

e se

a"#. O,

Si può procedere come nella dimostrazione della proprietà precedente scambinndo In l somma con il prodotto e avendo faccortezz8 di ricordare che l'inverso a- di un numero reale a esiste purché sia a O. In tal caso, nella linea deLla dimostrazione di (3.1). si ha: b

= b . 1 = 1 . b = (a . a-I)

.b

= (a-I.

a) . b

= a-l. (a . b) = a-l. (a . c) '" (a-I. a) . c = = (a . a-I) . c = 1 . c = c . 1 = c.

=

CopÉJo'/o J

14

(3.3)

Il prodotto a·b è nullo se e soltanto se almeno

tinO

dei due fattori è nullo.

Proviamo preliminarmente l'implicazione con il "se"; proviamo che a·O = O per ogni numero reeJe a. Ricordiamo ehe lo per l'us;oma (2.4), l'elemento neutro rispetto alla somma; cioè hlle che a .+ O = a per .agoi reale a; ricordi:lmo IU1(:!le che l, elemento neutro rispetlo al prodollo, per l'assiOftlB (1.4) soddisfa la relazione"a·l _ a per ogni reale a. In base alla proprietli R5'"Yiativl abbinmo allora io

+ a . O .. a . l + a . O "" I . (l + O) = a . 1 = Il '" a + O

da cui, .semplificando entrnmlli i membri in base alla proprietà. (3.1), oUeniamo .-0 O. Proviamo ort l'implicazione con il -solo se.; a tale scopo lupponiamo che a·b - O; se a .. O la lesi rnggiunta; altrimenti, .se a>!D, esiste l'imeno a-I e -si ba b = b . I

=b

• (a • a-l)

= a-l.

(•. b)

= a-l.

O .. O.

Si noti cile, nell'ultimo passaggio, abbiamo utilin.,to qualHo aill. provato nelllll prima parte della dimostrazione.

La precedente proposizione (33) spiega nell'ambito dei numeri reali non sia possibile la divisione per zero, cioè perché neU'llS5ioma (2.6) di esistenza dell'inverso a-l si richieda che Infatti, se a = O allora a·b = O,b = O ogni numero b e percib non esiste un numero reale 0-1 tale che ().lr = 1.

rer

(3.4)

l:opposto di un. numero reale è un.ico.

In base all'assioma (U), per ogni numero reale a esiste l'opposto di ., indk:ato con - a, tale che a + (- a) - O. Se suppOlliamo che risulti anche a + b = O, allora, per la legge di semplificazione (3.1) si ba - 11 • b; quindi "opposto t. unico.

(3.5)

L'ùtverso di

W'I

Stessa dimostrazione

(3.6)

numero rl!.Q./e non nulla

del CIISO

unir;o.

precedente.

Per ogni reale a vale la proprietb - (- a) = a.

li numero - (- a) è, pcr definizione, l'opposto di - aj ma essendo

a + (- a) = (- Il) + a ... O. risultlll che è: l'opposto di - a, cioll.a _ - (- a), in base alla proprietà (3.4) chc l'opposto di un numero reale è unico.

(3.7)

Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- alb = - a·b.

/ tlWllui e le flUlzioni reoli

15

Per la proprietà distributiva si ha che

(- a) . b ...

1'1 •

b .. [(- a) ... al . b = O . b = o,

da cui a·h è l'oppOllto di (- a)·b, c;QA - a·b .. (- a)·b.

(3.8)

Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- a)(- h) = a·b.

Come conseguenza della precedente proprietà (3.7) e delJa proprietà commutlltiva (2.2) abbiamo.

(- 'l . (- b)

- [a . (- b)i = - [(-

b) . al •

- - (- (b .•)] = - [- (•. b)]; la conclusione se&ue infine dalla (3.6), essendo - [- (a·b)} = a·b.

Gli assiomi del paragrafo 2, relativi all'ordinamento, si riferiscono aUa relazione di minon od uguale (s:) tra le coppie di numeri reali. La relazione di maggiore od uguale è ricondotta a quella di minore od uguale diante la definizione:

(II simbolo <=> sta per ...). Pertanto la relazione di > gode di proprietà analoghe a quelle di s. Infine le relazioni di minore «) e di maggiore (», dette anche relazioni di minore stretto e, rispettivamente, di· maggiore stretto, sono definite da:

(3.9)

La re/azione a S; b è. equivalente alla relazione b - a

o.

IDratll, se a S b, allora per la (2.9):

a-bsb-b",O. Viceversa. se b - a si ha:

O, sempre per la (2.9) e per la proprietà associlltiva dell'addizione

a '" O ... a S (b - a) ... a .. b + [(- a) ... aJ '" b _

(3.10)

Propriefà transitiva deU'ordintlmento: se a S b e b S c nllora a s c.

16

Capilolo I

Supponiamo che a :s bob s: c: per La precedente proprietl (3.9) risulta OS b - a, OS c-b. Dalla (2..10) si oniene poi o S (b - B.) + (c - h) :: c - a che.

l1DCOl"lI

(3.11)

per la. (3.9). eqninle ad a

s: c.

Risulta a ;=: O se e soltanto se - a

s: O.

Infatti. per la (2:9); se O S n -allora O + (- a) S a + (- a), c.ioa - a :S O. Viceversa, se - a

(3.12)

s: O"

allora a + (- a) S' a.

O s: a.

Se a S b e c;=: O allora a . c S b . c.

Inf/ltli, se a S b allora. per la (3.9) t anche O .lO b - a dll- cIIi, per in (2.10) e. per la proprieta distributiva (2.1);

o S (b

ancora per la (3.9),

Se a S b

c

(3.13)

e

a) . c .. b .

c - a . Co

c S b . C. $

O

a{ibra

a· c

Per le ipote::si e per la (3.11) s.i ba O .lO b - a. - c

o S (b -

b . c.

O. Dalla (2.10) si ottiene

a) . (- c) = - b . c + a

c,

da cui, per la (3.9), b . c !> a . c

L'assioma di completezza (2.11) a prima vista può sembrare ovvio: «se tutti i numeri dell'insieme A sono mioOli od uguali a rutti i numeri dell'insieme B, allora esisterà certamente un numero c intennedio fra A e B, cioè (aIe che a c b per ogni elemento a di A e per ogni elemento b di B; basterà infatti scegJiere come numero c il più grande elemento di A, oppure il più piccolo elemento di B». Ebbene, la frase scritta precedentemente fra virgolel1l! è sbagliata! Infatti non tutti gli insiemi numerici hanno il pil1 grande o il più piccolo elemento (rimandiamo al paragrafo 12 per un approfondimento di questo punto): ad esempio, l'insieme

B {l.

,

I Ilumrri e le funzit:mi

17

che, rappresentato sulla reUa dà luogo ad uno schema come quello in figura l.I, ha il più grande elemento, che uguale ad l, ma non ha il più piccolo elemento; potrenuno essere tentati di dire che lo zero è il più. piccolo elemento di B, ma lo zero nO'1 è pn elemento di BI Infatti lo zero è diverso da 1/0 qualunque sia n (una frazione è nulla se e soltanto se il numeratore della frazione è nullo).

,

o

.e. 1

o

•

1 1 ......•...$" 4

o

o

o

1 3·

1

1

7

•

figura 1.1

L'assioma di complete7.74 è, in effetti, un assioma molto più protondo di quanto poss't sembrare a prima vista, Come mostreremo nel paragrafo S, tramite l'assioma di completezza è possibile distinguere l'.insieme dei numeri rappresentabili sonp forma di frazione, insieme detto dei numeri raz.ionali, dall'insieme dei numeri reali.

4. Cenni di teoria degli insiemi Introduciamo alcune notazioni e definizioni traUe dalla teoria degli insiemi. Sia S un insieme di natura qualsiasi. Per indicare che x è un elemento di S scriveremo: x e S

(x appartiene a S).

Per indicare, invece, che y non è un elemento di S, scriveremo:

Y' S

(y non appartiene a S).

Se A è un insieme i cui elementi sono anche elementi di S, diremo che A è un sottoinsieme o parte di S. Tra i so«oinsiemi di S si suole considerare anchç l'insieme vuoto, cioè l'insieme privo di elemepti, che si indica con q,. Se A e B sono due sottoinsiemi di S, l'inler.It:lione A n B .di A e B è "insieme degli elementi di S che sono comuni ad A e B (figura 1.2): (4.1)

A n 8 = {x eS: x

E

A

e

" E

BI.

L'unione A u B di A e B è l'insieme costiruìto dagli elemc:nti di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B (figura lo3):

18

Capi/olo l

(4.2) A u B = Ix ES: X E A oppure x E B}. Diremo che A è contenuto in B (A &: B) se ogni elemento di A è anche elemento dì B:

•

Figura 1.2

(43)

(a e A

(A '" B)

a

E

B)

Si conviene che l'insieme vuoto sia contenuto in ogni sottoinsieme di S. Se A è contenuto in B ed è diverso da B. si dice che A è una parte propria di B. li simbolo <=> si legge e solo se» o, come già detto, «equivale» ed il simbolo ::;. si legge «implica...

.

• I a •

Figura 1..3

Se A e B sono due sottoinsiemi dell'insieme S. il complemento A - B di B rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B (figura 1.4),

I numeri e

(4.4)

funzioni reali

19

A - B = {x ES: x E A e.x é BI.

In particolare, per A = S. l'insieme S _ a, complemento di B rispetto a S, si chiama anche complementare di B e si indica con ,Bc oppure con - B. Evidentemente si ha BCç;AC .

AcB

(4.5)

L'insieme di tutti i sottoinsiemi di S si. suole indicare con P(S) e chiama insieme delle parti di S.

SI

A

••• •• •

.

••••

•• 8

M

.J

A

\\ Figura lA

Siano A e B due insiemi. Si chiama prodotto cartesiano di A e B e si indica con A x B l'insieme di tutte le coppie ordinate (S., b) con la prima coordinaUl a appartenente ad A e la seconda coordinata b appartenente a B. Le coppie ordinate sono caratterizzate dalla seguente proprietà: (a, b) = (a', b')

(4.6)

se e solo se

a=a',b=b'

Nel caso particolare in cui sia A = B, un sottoinsieme di A x A si chiama re/azione binaria in A. Una relazione binaria 9t in A si chiama relazione di equivalenza, se gode delle seguenti proprietà:

1) riflessiva: per ogni a.E A si ha (a, a) E ':X 2) simmetrica: (a, b) E 9t implica (b, a) E 9t 3) transitiva: se (a, b) E 'n e (b, c) 91, allora (a, c)

e

Se (a, b)

E

E

9t

9t si scrive a - b e si dice che a e b sono equivalentl.

20

Capitolo 1

Indichiamo con [alla classe di equivaLenza di a E A, cioè ('insieme degli elementi equivalenti ad 8. Si prova facilmente che due classi di equivalenza, o coincidono o SODO prive di elementi comuni. L'insieme delle classi di equivalenza di elementi di A rispetto alla rela· rione 9t si chiama insieme e si indica con il simbolo Afl., cioè AJ'Jt = l[aJ' a e AI.

(4.7)

Una relazione binaria 9{ su A si chiama relazwne d'ordine. se gode delle seguenti proprietà: 1) riflessiva 2) transitiva 3) asimmetrica: se (a, b) La relazione di minore

ç=.

c;'J{

e (b, a)

E

$R. allora a = b.

o uguale tra coppie di numeri reali considerata

nei paragrafi 2 e 3 del presente capitolo è una relazione d'ordine.

5. NUI:neri naturali, interi, razionali Abbiamo visto come tra gli assiomi dei Dumeri reali ci sia l'esistenza degli elementi neutri O e 1. Quindi apparteITan..Do ad R (come già detto, indichiamo COD R l'insieme dei numeri realO anche i risultati delle operazioni eseguite a partire da O e 1. In particolare sono numeri reali: 1 + 1 = 2, (l + 1) + 1 = 3, ... Tale sottoinsieme di R. che si chiama insieme dei numeri naturali, si indica con N = {l. 2. 3•...• n •.•• 1.

(5.1)

Nel paragrafo 11 sono studiate alcune proprietà dell'insieme N dei numeri naturali. Analogamente indichiamo con Z il sottoinsieme di R costituito dagli elementi di N, dai loro opposti, e dallo O. Cioè l'insieme dei numeri interi (o interi relalìvi) si indica con

(52)

Z

= IO.

+ 1.

± 2•... J

= [D{

v

I± n , n e N).

I risultati della divisione mln (che, con la terminologia introdotta dagli assiomi, significa m·n-I ) con m, n e Z, n O, si chiamano numeri razioMli e si indicano con

'*

l lIumeri , le fimd()jfi. reali

(5.3)

Q =

21

{l: :m, n EZ, n a} . "F-

Risulta N Z l:; Q ç; R. Naturalmente, essendo N, Z, Q souoinsierrq di R. su di essi sono definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione e l'ordinamento indotti da R. Però essi Don soddisfano tutti gli assiomi dei numeri reali. Ad esempio, N non soddisfa (2.5): nell'ambito di soli numeri naturali non esiste l'opposto di alcun numero. Z non soddisfa (2.6): tutti i numeri interi, escluso l, hanno per iI1verso un nwnero reale che non è intero; in altre parole, non esiste l'inverso neU'ambito dei numeri interi. Si può verificare che invece Q soddisfa tUtte le proprietà aigebricbe alle operazioni e all'ordine. L'unico assioma Don soddisfatto da Q è l'assioma di completezza (2.11). Per dimostrare ciò, premettiamo la seguente PROPOSIZIONE. -. Non eruu alcun numero r-ationale c tale che

c!

= 2.

2 Dimostrazione: sia pe"r assurdo c un numero razionare posilivo tale che c '" 2. In base alla (S3) esiStono m, n numeri interi, che suppc;rre entrambi posilivi. lidi che c : mio: Se necessari':) pc>$!liamo -.semplificare. la frazione min. oUenendc.. "' e n non entrambi 2 2 pari. R,isulta (mln) _ c a 2. ciot 201 '" mI. Essendo il primo membro 2n un numero intero pari, anche mI deve essère pari;. ma allora anche m deve pari (se m fosse dispari. 1 ancbe m Sarebbe dispari); quindi m = 21t, con k inte:'O. Ne segue che

doe Ripetendo il ragionamento. risulta che anche n deve essere un numero pari, cibo che contrasta con l'Ipotesi che m ed n si'no numeri Interi non entrambi pari. eonsideriamo ora: gli insiemi A = [a.E Q : a S

01

u

la

&

Q: a

,

:>

O

,l < 21,

8",(be Q:b>O,b :>21. Tutti i numeri di A sano minori di tutti i numeri di B. Inollre, la propo.sizione precedente, risulta AvB '" Q e AnB = fI. Se esislesse un numero razionale c con la proprie Il che a S c S b. per ogni a e A. b e B, tale numero dovrebbe appartenere ad A oppure a 8. Sltpponiamo c c A. Non polendo essere c S O, ne segue che Cl <: 2. Sia n un numero naturale maggior:-: di (2c + 1)/(2 - c2); certa.mente esislenle per proprietà di Archimede (si 2 veda il paragrafo 12). Allora, essendo lIn <: 1/n, (5.6)

:p.

CflpilOlo ]

per cui c +

E A, il che

"

assW'tlo

perc:hé c

più grande di tutti gli elementi di

A.

Anlllogamenie si pervierte ad un assurdo Iiupponendo c e B. Osserviamo ora che i due insiemi A e B, costituiti rla numeri 11lzionali. possono essere riguardati come insiemi di numeri reali e quindi, per l'assioma di completezza. esiste un numero c con la proprietà che n S; c S b per ogni a E A. b e. B. Tale numero, che si può dimostrare essere· unico, tale che rl .. 2, è irrozionElle e si denota con il simbolo c '" ..J2 .

Riassumendo con par9le semplici, possiamo dire che neU'insieme dei numeri naturali N si possono eseguire le operazioni di addizione e di moltiplicazione, ma nOD è possibile io. genere eseguire le operazioni inverse di sottrazione e di divisione. Z è Wl ampliamento di N che permette di calcolare anche le differenze, ma non i quozienti. Q è \W ulteriore ampliamento; in Q è possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali (tranne naturalmente la divisione per zero), ma non è possibile in generale eseguire altri calcoli altrettanto utili, come ad .esempio l'estrazione di radice. Come vedremo, R è invece sufficientemente ricco per la maggior parte delle applicazioni.

6. Funzioni e rappresentazioue cartesiana Siano A e B due insiemi di numeri reali. Una funzione di A in B è UDa legge.che ad ogni e.Iemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B. Se indichiamo con f tale funzione, scriveremo f : A B. oppure y = ((x), intendendo che ad ogni eJemento x E A corrisponde, tramite la funzione f, l'elemento y =- f(x) e B. Si dice che A è iI dominio o insiemI'! di definizionI'! di f. TI simbolo l( ) indica un complesso di operazioni che devono effettuarsi su' x (argomento di f) per ottenere y (valore di f), come negli esempi seguenti: (6.1)

f(x) = 2x + 1

occorre moltiplicare x per 2 e sommare l;

(6.2)

f{x) = 1/x

occorre calcolare l'inverso di x;

(6.3)

f(x) =

.fx

si deve calcolare la radice di x;

osexez (6.4)

f(x) =

{1 altrimenti

occorre riconoscere se x è intero oppure no; e di conseguenza assegnare ad f(x) il valore O oppure 1.

La funzione (6.1) è definita per ogni x reale; in altre parole il suo dominio è tutto R. La funzione (6.2) è definita per x #. 0, quindi il suo dominio è

l numeri e le fUllzioni reali

23

A = Ix E R: x :j:. 01. li dominio della (6.3) è A = (x E R: x O) • mentre la (6.4) è definita su tutto R. D valore f(x) della funzione f in x si chiama anche immagine di x mediante f. y

.,---- ------ì P l r l

l

! Cl

,

"

Figura L.S

Ricordiamo brevemente come effettuare la rappresenuzzione cartesiana di una funzione. Riferendoci alla figura 1.5, consideriamo due rette perpendicolari che si intersecano in un punto 0, origine degli assi. Fissiamo sulle due rette una direzione positiva ed una unità di misura. Chiamiamo asse delle ascisse, o asse x, una delle due rette, asse delle ordinate, o asse y, L'altra retta. y: 2x4-1

y

1

,

yo'

1/

"2"

J

y

1

,

1

'\

_--

y-IX

....( ).....

/' 1

2

y

3

4

5'

-2

y

•••'-. •i

•

,

1

OselCEZ

y..( 1 altrimenti

,

x

Figuro 1.6

Ad ogni numero rcale x corrisponde in modo biunivoco un punto P 1 dell'asse delle x. scelto in modo che il segmento OPI abbia lunghezza

24

Capitolo l

uguale ad x. Analogamente ad ogni numero reale y corrisponde un punto P2 dell'asse Y1 tale che il segl.. OP2 abbia lunghezza uguale a y. Tracciamo due rette parallele CIgli assi e passanti rispettivamente per Pl e P2. Il punto P di 'ilfcontro delle due c'orrisponde in modo biunivoco nlla coppia di numeri reali (Xi y). Se è assegnata una funzione f. in corrispondenza alle coppie di numeri re:ali (Xi f(x» abbiàmo uIi insieme di punti del piano, ottenuti con la rappresentazl.one cartesiana sopraindicata, che costituisce il grafico della funiione. In figura 1.6 abbiamo .riportato i grafici delle quattro funzioni conside· t'ate fui dall'inizio del paragrafo; il lettore verifichi i disegni proposti per punti, c:ioa: assegnando alla variabile indipendente x dei valori su cui calcohue semplicemente la. funzione; ad esempio, nel caso (63), x = 0, l, 4, 9,...

7. Funzioni inverlibili. Funzioni monotòne Una funzione f da A verso B si dice iniertiva se distinti· banna immagini distinte.. cioè, equivalentemente, se sussiste l'ìmplicazione (7.1}

l(x,}

f(",}

La funzione f si dice poi se per ogni y B esiste almenO' un x e A
. Y'" (1 (y)

• L

- --------

//

---------/,,?..../

-

.J" I•

j : l.

A

, Figura. 1.7

f.

B

•I

y

l mUllui

t

1ft fl/lltioni renli

'25

In tali condizioni diciamo che f è inve7libile. La funzione da B ad A che ad ogni Y E B fa corrispondere l'unico x e A per cui ((x) = y, si cbiama funzione inversa e si indica con [l. Si ha (il simbolo 'V si legge per ogm1: (7.2)

r'(I(x)) = x,

V x e A;

I(r'(y)) = y,

'Vy

E

B.

Da notare che spesso si cambiano le notazioni ed invece di usare x = I l (y) si preferisce. con un pure scambio di simboli; y = I l (x) , per mettere in luce che la variabile indipendente è quella dell'argomento di t-l. In figura 1.7 è riportato il grafico di una funzione f:A - t B invertibile o della sua inversa [l: B -tA. Ad esempio, la furnione (6.1) è invertibile; infatti, fi!l5ato Y..'f(x), risulta x:= (y -1)f2. La fun%ione inversa della (6.1) è quindi (73)

r'(x)=

,-l

2.

Anche la funzione (b.2) è invertibile e risulta;-' (x) := ili (è solo un caso che ( ed r l coincidanol). La funzione (63) anche invertibile e (x) _ il, per x Ò!: O. Mentre la (6.4) nOlI è invertibilc, perché non stabilisce una COrrisPODdenza biunivoca tra l'insieme A <> R e l'insieme' B costituito dai scii due valori O, I.

r

Diremo che una funzfone f è mandfbna fil una' detle Gondìzioni seguenti ('r/ :il,!, x] e- A):

WÌ

msieme A, se verifica

(7.4)

f strettamente crescente:

Xj

(75)

f CresCente:

x, < x,

='>

t(x,)

$

(7.6)

f strettamente· dgcrescenle:

"

Xz

==>

f(x)

> f(Xi),

(7.7)

f decrescente:

x, < x,

='>

t(x,) I(x,).

< '" ='> t(x,) < I(x,),

o::::

t(x,).

Una funzione che- verifi-;a la (7.4), oppure la (7.6), si dice sirettamimie moriotÒno.

Ad esempio, la funzione (6.1) è streHamerite crescente su R; la funzione (6.2) è strettamente decreseente, separat3'merit6 negli ìn'siemi (x > DJ e Ix .e DI, La funzione (63) è strettamente crescente. La mnzione (6.4) non è'

mvnotòna su R. Ci sarà utile 11...1 seguito un criterio per riconoscere- se una data funzione è invertibile. Rimandando al criterio di invert1òilità del paragrafo 35 per una visione più. c'ompleta dell'argomento, supponiamo che· la corrispondenza

26

Copitolo l

tranùte una funzione f tra due insiemi A e B sia tale che ad ogni Y E B corrisponde almeno un x E A. Se f è strettamente monotòna al/ora è anche invertibi/e. Infatti, ad ogni y eB corrisponde un solo x E A per cui C(x) = y; perché, se ne esistessero due distinti Xl 'f;; xz, i corrispondenn valori f(x l ), C(X2) .dovrebbero essere diversi fra loro a causa deUa stretta monotonia. Concludiamo il paragrafo con alcune utili definizioni e notazioni. Sia f: A B una funzione da A verso B. Se X è. un sottoinsieme di A. l'immagine di X mediante f, indicata coli t(X), è il sottoinsieme di B definito da (7.8)

f(X)

{y

E

B :3 x

E

X:·y

f(x)}

(il simbolo 3 si legge esi.!te). L'insieme t(A), cioè l'immagine di A mediante t, si chiama codominio di f. Evidentemente, la funzione f è da A verso B se e solo se il suo codominio coincide con B.. Se Y è un sottoinsieme c;li B, l'immagine inversa di Y mediante f, indicata con r-1(y) è il sottoinsieme di A definito da (7.9)

r'(Y)

= {x

E

A : f(x)

E

Y}.

Diamo infine la definizione di funzione composta mediante due fun· zioni. Siano X, Y, Z tre insiemi e siano g : X Y e f : Y -+ Z due funzioni, tali che l'insieme Y contenente i valori deUa prima coincida con il dominio della seconda. Allora si PI,lÒ considerare la funzione composta h : X ; Z. definita da b(x) == f(g(x») per x E X. In tal caso si usa la notazione h == fog; in altre parole, si pone f<>g(x) f(g(x» per ogni x E X. ::E

8. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo (8.1)

y=mx+q

ave m, q sono numeri reali fissati. Si verifica facilmente che il grafico di una tale funzione è una retta, di cui il parametro m è detto coefficiente angolare. Ogni funzione lineare è monotOna su R, anzi, stretfamente monotòna se m 'i": o. Infatti, basta considerare Xl < x2 e t(x) = mx + q. da cui (8.2)

J nllmt!ri e le ftll1r.iolli reali

27

se il coefficiente angolare m è positivo, allora, essendo XI < X'2 risulta anche InXl < mx2 e quindi f(xI) < f(X2) ; in 'questo';caso 'f(x) risulta strettamente crescente su R. Se invece m è negativo, allora da Xl < segue mX l > nlX2 e quindi f(xl) > f(xz) ; perciò, se m < O,la funzione lineare f(x) è strettamente decrescente. Infine, se m = O, allora risulta t(x) = q = costante; essendo f(x l ) = f(x'2) per ogni coppia,di valori XI. Xl, la funzione f(x) è contemporaneamente crescente e decrescente su R; si dice brevemente che la funzione è costante su'R. D grafico di f(x) in questo caso è una retta parallela all'asse Xi, costituita dai punti (x, y) con ascissa arbitraria e ordinata costante uguale a q. Ricordiamo il criterio esposto nel paragrafo criterio in base al quale una funzione strettamente monotOna su un insieme è anche invertibile,su tale insieme. N"eJ caso in considerazione la funzione f(x) = mx + q è strettamente monotOna su R Se m "" Oe quindi è anche invertibile se m fio o. Tale fotto è di semplice verifICa çj.iretta: infatti, se m "" O. Ville l'equivalenza: (8.3)

y=mx+q

<=

y-q m

che, con i simboli introdotti. nel paragrafo precedente. significa che la funzione inversa Il (y) della funzione lineare f(x) '" mx + q è data da f""1(y) ... y-q.

(8.4)

m

•

•-•• -•

y I

y= 3x-1

N

o

••

2

-,

--

,, ,,

,

I

Figura 1.8

--• -• •

y

>

"

•

y= 3·2x

2

,

X

-,

'\

3

x

Figura 1.9

Al contrario, se m '" O. lo fu02ione costante f(x) • q non stabilisce Wla conispondenza billniv0l:8 tra l'insieme R e l'insieme B =. [ql costituito dal solo valore y = q; perciò In funzione costante f : R [qlnon è inverlibile.

28

CJpiJolO l

Dato che per due punti distinti de! piano passa una ed una sola relta, per disegnare il grafico-di una funzione lineare è sUfficiente calcolare l'ardi· nata y in (8.1) in corrispondenza a due valori distinti della variabile x. Ad esempio, nel caso della funzione lineare y ::: 3x - l, ad x .. O y • - l e ad x .. 1 conisponde y .. 2: pertanlo il grafico è come quello in figura 1.8, ottenuto disegnalldQ la retta passante per i punti di coordinllte (O. -1) e (l, 2). Illenore ritrovi c!l:l solo il grafico in figura 1.9 relativo alla funzione lineare y ::: 3 - 2x.

11 valore 113S01ulO (o modulo) di x. indicato con il simbolo /xl, è definito d.

IXI

(8.5)

x>O

={ -xx

se

x < O.

II grafico del1a funzione valore assoluto f(x) = Ixl è composto da due semirette per l'origine, di equazione rispettivamente y = x e y = - X, come nella figura 1.10.

;•

y

I-

1

FIgura 1.10

Più precisamente il grafico ìn figura 1.10 della: funzione valore assoluto è unione della semireUa di eqtHizione lineare y = x, con x O. è della semiretta ,/=-x,ooox
'
(8.6)

(8.7)

Ix/=O""

(8.8)

1- xl = lxl.

(8.9)

fX 1 •

(8.10)

Xzr =

I "21 ""

x=O; 'r/ x e R;

Ix1f . IX'2I, ]x111

Kil.

V

Xl , Xl E

V x\ • "'z e R,

R; X2

"* o.

J numeri

l!

Il! fu"ziolli reu/i

29

Dimosll'iamo ad esempio la (8.6): se x Oallora Ixl = x e quindi in questo çaso Ix! Ò!; O; se invece x <; 0, allonl Ixl = - x e quindi, eSliendo - x > 0, risulta Ixl > O; io definitiva Ixl :2: O per ogni x E R. La (8.7) è immediata; le (?9), (8.10) sono diretta conseguenza della ..regola dei segni",. Proviamo la (8.8): se x > Oallora Ixl = x e 1- xl = - (- x) = x, dato che - x <; O; perciò Ixl = 1- xl se x> O. Ana{ogamenle se x <; O risulta Ixl = - x e 1- xl = - x, esseodo - x > O; anelle in questo caso Ixl = 1- xl. Infine, se x = O, si ha - O = O e pertanto 1- 01 = 101.

Esaminiamo ora le seguenti proprietà (8.11) e (8.12), la cui interpretazione geometrica è schematizzata in figura 1.11. PROPOSIZIONE. -

Per ogni numero rea/e r

< ,.

(8.11)

Ixl

(8.12)

Ixl < r

O valgono le equivalenze:

-r
'"

-r
'"

--

--• -•

y

o; Q

, I I

I I I I

, --------

------- ,

y= (x]

I I I

y"

I I

, ,

!

.,

•

-r:S x :Sr

,

Figura 1.11 Diqlostrazione: Ili verlfica delle due equivarenze può procedere !ilio stesso modo; pen:iò ci limitiamo a dimostrale Il;!. (8.11), In base aUa definizione (8.5) del valore assoluto, la rela.zione Ixl::S r equivale Ili due Clisi:

l

x < O

(8.13)

-x::Sr

il primo sistema si riserive nella. forma O:s: x :!O r, mentre il Unendo i due risultati si trova infine r ::S x S; r.

equivale Il - r ::Sx < O.

30

Capitolo l

La seguente proprietà (8.14) del valore assoluto, detta dirugunglianza triangolare, è di grande importanza. La spiegazione intuitiva deUa disuguaglianza è semplice: a secondo membro della (8.14) compare la somma di due numeri positivi o nulli (i moduli dei due numeri x. e xJ, mentre 8 primo membro compare il modulo della somma algebrica di x t e Xl; se i segni di x. e Xl sono discordi, il primo membro della (8.14) è minore del secondo membro, mentre se i segni di Xl e X2 sono concordi, allora i due membri sono tra, loro uguali. DISUGUAGUANZA TRIANGOLARE. xt.

Xl

Per ogni coppia di numeri reali

lIale la disugllagliorJ.l.a

(8.14) Dimostrazione: per ogni numero reale x la relnione /xl s IKI o!; ovvia (anzi. vale eoo il segno .); indicando con r il secondo membro di lale ovvia relltZione, per l'equivalenza (8.11) abbiamo anche - IKI s x s; htl: in particolare, per x .. XI e X '"' 11. 2 : (8.15)

e sommando membro a membro:

La conclusiom: segue da una nuova applicazione dell'equivalenza

(8.11) con r . 1x,1 + 1x,1.

9. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo Consideriamo la funzione (9.1)

con esponen.te n e N:

f(x) =

XII ,

che è definita, per ogni x E R, moltiplicando il numero x per se stesso volte. La funzione f è strettamente crescente per x O, cioè:

Il

(9.2) Infatti se n = 2 e se O Xl < allorll. moltiplicam10 pl'ima per ilCI. poi per 1C2. si ottiene

,cf

xl

Xz • Xl 11.2 < ; cio.!; < . Se n ='3, partendo da < rasi ouiene x, xf S III xf < X2 (Ii veda anche il paragrafo 11 sul principio di· induzione). "I

xi

il ..

G•

e cosI via se

Q>

J

l numeri e le funzioni reali

31

Per mezzo del teorema dell'esistenza degli zeri. dimostreremo nel paragrafo 35 che ad .ogni y O corrisponde almeno un numero reale x O per cui f(x) = x:' = y_ La condizione di stretta monotonia (9.2) implica, come osservato nel paragrafo 7, che la funzione è invertibile. Perciò è definita la funzione inversa di t(x) = x" (x O), che si chiama funzione radice n-sima, e si indica con

,I

(93)

(x)

'fx

x lm

(x ;, O).

•

I grafici delle funzioni (9.1), per x >0, e, (9.3) sono come in figura 1.12.

•• .•-

"" •

n-3

" •

•

, ,

x

1

x.

Figura 1.12

Per mezzo delle funzioni (9.1), (9.3) si può defu1jre l'elevazione aa esponente razionale (m, n E N, x e R, x > O) :

(9.4)

xml' = x'" •

x-n'n = 11 qx lll

,

A questo punto è stato definito il significato di ab, con a numero reale positivo e b'numero razionale. Utilizzando l'assioma di completezza è possibile estendere la definizione di ab anche se l'esponente b è un numero reale Don razionale. come vedremo nel paragrafo 12_ Un'altra definiZione equivalente è proposta nel paragrafo Elenchiamo alcune proprietà:

(9.5)

ab _ ae = ab

(9.6)

ab > O.

(9.7)

a < b,

+ c: ;

c> O

32

CupilOIQ 1

(9.8)

a < b,

0<0

(9.9)

a > 1,

b < c

(9.10)

a < 1,

b
a e > bç

=> =>

•

ab < ae .

ab :> a'" •

Dall'espressione ab derivano çlue diversi tipj di funzione, a seconda si faccia variare la base a o l'esponente b. Nel primo caso consideriamo la funzione potenza f(x) = x b • con bER fissato. seco.qdo caso abbiamo funzione esponenziale f(x) = al[ • con a numero reale positivo fissato. Casi particolari della funzione potenza f(x} = xb sono queUi con b = n e N, oppure 1:1 = lIn, già esaminati in precedenza, La funzione potenu. per x >. O. in base aUa (9.6), è positiva. Inoltre xb è una ftmzione strettamentt;: cresante se b > O e strettamente decrescente se b < O. in base alle (9.7), (9.8). Esempi di. grafici nei vari casi sono riportati in figura 1.13.

y

y

y

1

1

1

"....!. 2

1 lCb con b>1

X

1

)(b con O
I xbcon b
Figura 1.13

La funzione esponenziale f(x) = ali • con a numero reale positivo. è una funzione positiva, è strettamente crescente se a >' l e se a < l, in base alle (9.6), (9.9), (9.10). Esempi di grafici Sono riportati in figura 1.14. Un caso notevolmente importante, e ciò diventerà chiaro nel par-agrafo 43 nello studio delle derivate, si ha quando la base è uguale al numuo di Nepero e = 2.7... (definito nel paragrafo 2S).ln tal caso ovviamente si indica fa funziolle esponenziale con f(x) = eX ; dato che e > l,la funzione e- è crescente. Se a = l, la funzione aX è idenrlcamente uguale a 1. Si dice in tal caso che la funzione è COSCante. Naturalmef!te una funzione costante non è i'nvertibile. Se invece a ;#. l, allora la funzione esponeJ12.iale a X è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi (dato che l'immagine

l nlUlltJ'i

Il

lt /unzioni reali

,•

-• • •

y

y

o'

o'

0>1

•

O
li ./ 1

'"

x

33

J

•

1

x

Figura 1.14

della funzione y = al( è appunto costituita dai numeri reaLi positivi); si chiama funzione logaritmo e si scrive f(x) = 10,&aX. Quindi la funz.ione logaritmo è definita da: al' = x.

y=log.x

(9.11)

Si suole omettere l'indicazione tsplicita della base. se tale base è il numero e. Quindi:

{9.12)

y = log x

e)'

= x.

Le formule (9.11), (9.12) sono molto usate anche nella forma-_ seguente: aloioX=x·

(9.13)

(x> O)

•

Se la è maggiore di l, come nel caso (9.12), il logarilmO è una funz.ione strettamente crescente. o

J

1

l'

\,

Iog.x conO
""--

I

1.15

34

Cnpitolo l

[nfatti, siano Xl < X2 e Yl = 10g X" Yl = 10g Xl' Se fosse Y1 < Yl per la (9.9j avrenuno xl = e" < e Y' = Xl' alle ipotesi. Analogatnente l assurdo che Yl = Y2' perché Xl = Quindi deve risultare Yl < Yl' Con çlimostrazione analoga si verifica che il logaritmo è U1UJ funzioM stret· tomente decrescente u la base minore di 1. Esempi di grafici S0l10 riportati in figura 1.15. Elenchiamo a1cune note pmprietà dei logaritmi: +

(9.14)

lo&, (xl x2) =

(9.15)

log.

Xv =

log.

(9.16)

lo&. xb = b

x •

(9.l7j

lo&:, x = lo&. x I log. b,

(Xl

I

10g. Xl

Xl -

log. lo&.

Xl

'I

x, ,x2 >O;

,

'I

x, .xl >O;

V

x >

O;

V X >

O.

Dimoslrazione: per provare la (9.14) poniamo

19.1') in' base alla definizione (9.11) risulta (9.19)

Pertanto (920)

che, di nuovo in base alla definizione (9.11), equivule o. (921)

Ricordando i simboli introdotti all'inizio in (9.18), la (9.21) equivale alla tesi (9.14). Le altre retazioni (9.15), (9.16) e (9.17) si dimostrano in modo onalogo (ed illeltore invilato ad e2guire i c:elcoli espticilamente).

10. Le funzioni trigonometriche Riportiamo in questo paragrafo un breve riassunto di nozioni di trigonometria, in genere già note allettare. 11 lettore sa misurare gli angoli in gradi; ad esempio un angolo retto

I numeri

l!

le fiJl1ziOlli retlli

35

misura 90°, U11 angolo piatto 1800 , un angolo giro 3600 • Per studiare le funzioni trigonometriche è opportuno adottare una diversa unità di misura per gli angoli. Definiamo la misura di lUl angolo'piano espressa ID rildianti. Essa"è data dalla lunghezza dell'arco di circonferenz.a di raggio 1 e centro nel vertice dell'angolo intercettato dalle due semirette individuanti l'llngolo (si veda la figura 1.16).

"n,{

/

.

/

./

./

•

cos x

sen

,

,

••

i't

cosx

Figura 1.16

Si conviene di denotare COll.:n (pi greco) la lunghezza di unasemicircollferenza di raggio 1. Ciò significa che, espresso in radianti, uri angolo piatto misura :re, un angolo retto misura :re/Z, mentre un angolo giro misura 2n: (la lunghezza di una circonferenza di raggio 1 è 27l). Come tutti sanno, un valore numerico approssimato di :rt è 1f = 3.14... Analogamente a quanto si fa per l'ascissa su di una retta, si definisce un'origine ed un' verso di rotazione positivo (si suole scegliere il verso antiorario a partire dall'asse delle x) e si considerano in modo naturale anche angoli maggiori di 2n' radianti, o angoli minori di zero. Così l'angolo x geometricamente corrisponde all'angolo x + 2n' ed anche all'angolo x + 4n, oppure all'angolo x - 2.rr, o in generale all'angolo x + 21m, per ogni k E Z. Le funzioni sen x, cos x si definiscono rispettivamente collie ('ordinata e l'ascissa del punto che si trova sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e che sottende un angolo orientato di lunghezza x, a partire dal\'assé delle ascisse (figura 1.16). Le funzioni sen x, cos x sono definite per ogni x E R, mentre l'immagine delle due funzioni è compresa tra - 1 ed 1, cioè:

36

Cllpit%

(10.1)

J

vx e

- l 5 sen x S l, - l S cos x S l,

R.

Il grafico delle due funzioni è riportato "in figura 1.17. Nel paragrafo 49 sarà. indicato come ottenere il grafico; per ora il leUore controlli sul grafico il segno delle due funzioni in base alla definizione. Le funzioni sen X e cos x Don sono monotòne su R. .

•, •

I ,,

,

-

2.

--',,-_/

"

Figura 1.17

Delle numerose relazioni tra queste due funzioni, la più importante è senza dubbio quella che segue dal teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli. l:; utile ricordare come si olliene una dimostfllzione del tcorem.ll di Pitagofll per un triangolo TCttangolo con caleti lunghi a, b e ipolellusa lung' c. Si veda In figura. 1.18. Il triangolo rettangolo ripetuto pill volte in figura 1.1S ha cateti lunghi a, b e angoli Cl, fJ. oltre all'angolo retto. Evidentemente o + fJ ::: 1ffl (perché la somma degli 'lngoli inlerni del triangolo vale H): ne segue che anche l'angoto 'Y in figura 1.18 è ugualé li Jtf2. Perciò il rombo di lato c: rappresentato nella partc destra della figura 1.18 è in rcaltà un quadrato..

•

• Figura J .18

/ mUlU1ri e le fiin'lioni reali

37

L'area del più grande, di lato a ... b. v.le (11 + b)l. Tale area si può ottenere sommando l.e !lree delle figure eomponeqti (quattro lriangoli reltangoli di l:31eLi a, b, ed un quad'.1to di Jato cl. cioè 4(ob/2) ... c'l . Pen:;iò

da cui il ftoremIJ di Piragom:

(10.2)

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di cateti lsen xl e lcos xl e ipotenusa uguale 8 1. si trova la relazione fondamentale (10.3)

'VxeR.

Sono anche importanti le formule di addizione: (10.4) (10.5)

XI

Se nelle identità sopra scritte scegliamo il segno + e pomsrno = Xz = x • otteniamo le formule di dupli.cazione:

(10.6)

sen2x=2senxcosx. I

I I

I

-t

I I

I

I

I

I

I xl

I

I I

,I I

Y

.r

I

/

I

l-t I

I I

I

I •

,

I

I

I I

I

iii

I

•

I

I , 11:

I 3

I

1,""'211:

I

I I

I I

, I

Figura 1.19

2 J IX

I

I I

I I

x

38

CDpilCllo J

cos 2x =

(10.7)

2 COS X -

sen2 x.

A partire dalle funzioni sen x e cos x si definisce la funzione tangente

=-"

sen x 19 x = cos x

(10.8)

il cui grafico è rappresentato i.o figura 1.19.

•li-

T

"

l ••

19x

o

C05X

A

S

Figura 1.20

La fun2.ione tangente definita se cos x:# O, cioè se x:# nfl + br, con k: E Z. Usando le proprietà dei triangoli simili (BT = BT/OB = AP/OA), si vede che la tangente di Wl angolo x si pub rappresentare come in figura 1.20. Dalla figura risulta chiaro che, se O -< x < nfl allora valgono le disuguaglianze

(10.9)

O
Riportiamo una tabella con i valori delle funzioni trigonometriche per alcuni angoli di uso frequente. n. "modo con cui ottenere tali valori indi· calO negli esercizi. x radianti

O

,,/6

,,/4

,,/3

"fl

gradi

O

30

45

60

X

..n, co,.

O l

.J2fl {ifl {ifl .J2fl 1Il

19<

O

{i 13

1Il

1

{i

.

""

(312»<

90

" 180

270

360

1

O

- 1

O

O

-1

O

l

non

O

non

O

dt!finila

definita

J numeri e le fr.1J11.iolli reali

39

Appendice al capitolo 1 Il. Il principio di induzione Abbiamo utilizzato nel paragrafo 9 la seguente affermazione sulla crescenza della funzione potenza x": (11.1)

=>

,

x" < .. y.!!"

';f D E

N.

Vogliamo dimostrare questa proposizione per mezzo del principio di induzione_ Supponiamo preliminarmente che essa valga per un certo indice n (ciò che dobbiamo provare che la (11.1) sia vera per tutti gli n; qui stiamo supponendo che la (11.1) sia vera per qualche n; ad esempio, per n = Ila (11.1) banalmente vera!). Perciò supponiamo che valgano le disuguaglianze O :S Xl < X2' xi < xi . Otteniamo: (11.2)

Cioè abbiamo provato che, se vale La (11.1) per un certo indice D, allora essa vale anche per l'indice successivo n + 1. Ma allora la (11.1) vale sempre, perché: sappiamo clie la proposizione vale per o = 1 (lo chiamo banalmente); per quanto sopra detto essa vale. anche per l'indice successivo, cioè n = 2; ancora, sempre per lo stesso motivo la (11.1) vale l'"er il successivo n = 3, e così via... Possiamo raggiungere con questo· argomento qualsiasi naturale o. Formuliamo in generale il seguente: PRINCIPIO DI INDUZIONE. -

Supponiamo che una dipendente da un indice n E N sia vera per n = 1 e che inolcre, supposta vera per n, sia vera tl11dIe per il successivo D + 1. Al/ora la proposizione è vera per ogni n E N.

Per chiarire meglio il principio consideriamo altri esempi Dimostriamo per induzione la formula che esprime la somma dei primi n numeri naturali (questa formula era nota a Gauss dall'età di nove anni!):

(113)

1+2+3+ ... +(n-l)+n=

n(n + 1) 2.

La formula è vera per n = 1; infatti si ha l'identità 1 = Cl . 2)fl.

40

ClIpilOlo l

Supponiamo vera la (11.3) e dimostriamo la formula analoga con l'indice n + 1 al posto n. Per ottenere ciò, è naturale sommare ad entrambi i membri il numero n + 1: 1 + 2 + 3 +' ." + n + (D + 1)

:=

n(o + 1) 2 + (D + 1) =

(11.4)

-

0(0 + 1) + 2(0 + 1) (o + 1)(0 + 2) 2 2

Abbiamo ottenuto ciò che volevamo; quindi la (11.3) risulta vera per ogni n E N. Un'altra applicazione del principio di induzione è la seguente: Per ogni numero reale x - l, e

DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI. per ogni naturale n, risulta

(1 + x)- 2: 1 + DX.

(11.5)

DimostraziOne: per n ..-.1 la vent (cpn il segno =), 'Supponiamo vera la (l LS) per un 'nuO\(:ro n, mo/lipliChiamo e;1\[rambi· i men\br.i per: 1 t x, che una qua'nfità maggiore o a tero:

(1 +-J[)_.' (l + nx) (l + '" '1 + x r n'Il: +

nxZ

X)

-=

I + (n + l) x.

Abbiamo .otlenufo la proposizione con n + 1" al posto ai n. P.erciò. in base al principio di indUzione, la (11.5) ! provata

Utilizzando il principio di induzione, dimostriamo la formula che esprime la somma di una progressione geometrica di ragione x -:F 1: (11.7)

1 + 'x +

r

+ '" + X,'I =

1_

X Il+1

l-x

•

Per n = l, a secondo membro abbiamo (11.8)

:;.l----,r=:l-x_

= (1 -

x) (1 + x) l-x

= 1 + x;

'r/x7;l.

l numeri c le Jilllzi'oni reali

41

quindi la (11.7) è vera per n -: 1. Supponendo verifica la la (11.7), som· miamo ad entrambi i membri il termine X- l :

1+x + (11.9)

1 -

r

+ ... + x? +

+ ",,+1 l-x

x"+1

)("+1

_ JC'l+1

=

=

l _

1

l - x

+

x n+1

=

xD.+'l

1- x

.

Abbiamo ottenuto la proposizione con n + 1 al posto ç1i n. Quindi, in base al principio di induzione, la formula (11.7) è dimostrata. Proviamo mediante il principio di induzione una formula, analoga alla (11.3), che verrà utilizzata nel paragrafo 61 introducendo gli integrali" defi· Diti: (11.10)

12 + 22 + 32 + ... +

n'l

= n(n + 1) (20 + 1) 6

pimostratione: la formula (H.IO) è vera per nsl; risulta infaui

(11.11)

Suppon.iamo che (11.10) sia verifièata. per un lndic.c n e dcduciamo da essa la IInalago. con D+1 al posto d.i n. Abbiamo

II + 21 +...+ nl + (n + 1)2 = [1 2 + 21 7 ....+ 021 + (n + 1)2:, (11.12)

C· I)' _n+ ( 1)[n(211+1) +n+ ( ')] '"' = n(n+l)(2n+l) +n+ 6

"'0+1 ( )

6

...

n + 6ft +.6

6

1

(

::00+

l) 20

+ 70 + 6

6

.

Osservando c.be la (11.10) con n + I al pQS!O di D, a seçondo membro h-A l'espressione :11.13)

(n-+ Il (n + 2) [2 (o + 1) + l)

6

•

(o + l) (n + 2) (20 + 3) .6

:imane soltanto .da osscr:vare che 11.14)

(n+l)

20 2

+70+6 ('n+l)(n+2)(2n+3) 6 = '6 •

:hc è una relazione perché, da vcrifica diretta, risulta.2n 2+ 7n + 6::> (o + 2) (2D ... 3).

42

Capitolo 1

Mostriamo infine che (11.15)

1

1

1 n 1 . 2 + 2 . 3 +...+ n (n + 1) = n + 1 .

Dimostrazione: da verifica diretta la formula (11.15) è soddisfaUa per n'"1. Supponendo poi che la (11.15) sia verificala per un indice n generico, otteniamo

l

1 1 j:2 +...+ n (n + l) + (o + 1) (n + 2) '" (IJ.16)

•

I n + n+l (n + I) (n + 2)

n (n + 2) + 1

=(n + I) (n + 2) =

(n + 1)1

n+l

=(n + 1) (n + 2) • (n + 1) (n + 2) =n+2 che corrisponde appunto alla (11.15) con Il + I al posto di n,

CAPITOLO 2 COMPLEMENTI AI NUMERI REAIJ

Raccogliamo in questo capitolo alcuni complementi ai numeri reali. Introduciamo l'estremo superiore e L'estremo inferiore di un insieme di numeri reali, il calcolo combinatorio ed i numeri compLessi. n concetto di estremo superiore, introdotto nel seguente paragràfo 12, è fondamentale per la trattaziQDe della maggior parte dei teoremi di esistenza dell'Analisi Matematica, ad esempio per. la dimostrazione del teorema sulle successioni monotòne del paragrafo 24, o per altri teoremi di esistenza (Bolzano-Weierstrass, Weierstrass, ecc.).

12. Massimo, mjnimo, estremo superiore, estremo inferiore Sia A un insieme di numeri reali. li massimo di A, se esiste, è un numero M dell'insieme A che è maggiore od uguale ad ogni altro elemento dell'insieme. In simboli:

(12.1)

M massimo di A (M = max A)

=

M;,a,\laeA; {M e A.

Analogamente, il minimo di un insieme di numeri reali A. se esiste, numero ID dell'insieme A che è minore ca uguale ad ogni altro elemento di A. In simboli:

(12.2)

minimo di A (m = min A)

ID

=

mSa,'r:IaeA; {

meA.

Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il miniJ:ilo. Ad esempio, se A è costituito da tutti i numeri reali positivi, A non ha né massimo, né minimo (non esiste il più piccolo numero reale positivo; ad esempio, lo zero non è il minimo, perché non appartiene ad A).

Si verifica Cacilmente che quando esistono, il massimo o il minimo sono unici. Infatti, se MI e Mz sono due massimi di un insieme A, alloca per definizione Va

E

A;

ma· dato che Ml ed Mz sono elementi di A, posto a rispettivamente uguale a MI ed a MI neHe relazioni precedenti, si ottiene M t > MI e MI M h cioè MI = MI. Un numero reale L si dice un maggiorante. per un insieme A se L a per ogni a E A. Analogamente un numero reale r è un minorame di A, se rs a per Qgni a E A. bene notare esplicitamente che un insieme A non sempre ammette maggioranti o minoranti. Se A è di nuovo l'insieme dei numeri reali positivi. A non an'unene alcun maggiorante, mentre lo zero (ed anche qualsiasi numero reale negativo) è un minorante di A. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette un m.aggiorante. A è limitato inferiormente se ammette un minorante. Infine si dice limitato un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente. lo simboli si legge esistono): (12.3)

A limitato

=

3t,LER:

r;:;;aSL,'VaEA..

presente la definizione (8.5) della ft!.nz.ione ·yalore assoluto, si riconosce facilmente che:

PROPOSIZIONE. positivo M tale che

Un ilUieme A è limitalo se e sollDnlp se qirte un .numero

(12.4)

lal < M,

Va

E

A.

Dimostrazione: se per ipotesi vale la (13.4). allora, dalla proprieJl (8.11) relativa al valore assoluto si ottiene

(12.5)

v.

E

A,

e quindi vale la (13.3) con t= - M e L = M. Viceversa, se vale la (12.3), allora vale anche la (12.4) (o equivalenremente la (125) cco M '" mal: Uri. 11.11.

(12.6)

- M :s: - lr'l s; r:s: Il S L s ILl s M,

'r;f

a e A.

ai numeri reali

4.5

n risultato che segue, alla base della definizione di estremo superiore, è conseguenza deU'assioma di compleceua (2.11) per i numeri reali. TEOREMA DI ESISTENZA DELL'ESTREMO SUPERIORE. Supponiamo che A sia un insieme non vuoto di numeri reali limilCllo superiormente. A.llora esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di A.

Infatti, indichiamo con B l'insieme costituito dai maggioranti di A B è non vuoto, perché A limitato superiormente. Applichiamo l'assioma di completezza (2.11) ai due insiemi A, B. Esiste un numero reale M tale che

(12.7)

a

M

'Ir:I a

b.

A.

E

TI b

E

B.

Dato che M è maggiore od uguale a tutti gli elementi di A, M è un maggiorante di A; cioè M e B: Inoltre M è qlinore od uguale a tutti gli elementi di B. Quindi, in base alla definizione (12.2), M è il minimo di B. In base al teorema precedente, poniamo la seguente DEFINIZIONE DI ESTREMO SUPERIOltE. - Sia A un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente. Diciamo che M E R l'estremo superiore di A se M è il minimo dei maggioranti di A.

Ciò equivale a dire che M è un maggiorante, e che ogni numero più piccolo di M, diciamo M - e: con e: positivo, non è un maggiorantei cioè M e: è minore di qualche elemento dell'insieme A. In simboli (3 si legge esiste): d·l A . M estremo supeTlore (12.8) (M =sup A)

.;==)

{M 2: a, V a e A; 03 aE AM ve>, : -e
w

Analogamente, si verifica che se A è un insieme non vuoto di numeri reali limitato inferiormente, allora l'insieme. dei minoranti di A ha massimo. lo tali oondizioni, si dice che un numero m è l'estremo inferiore di A se m è iL massimo dei minoronti di A. Ciò equivale a: m estremo inferiore di A (12.9) (m = inf A)

<=>

{m a, V a

E

A;

Ve:>O,3ae A:m+e:>a.

46

2

Quindi, se un insieme è limitato superiormente esiste ·l'estremo superiore ed è un nùmero reale. Se un insieme è limitato inferiormente esiste l'estremo inferiore ed è un numero reale. È utile introdurre i simboli .. _, per descrivere gli insiemi non limitati. Precisamente. sia A un insieme non vuolo. L'estremo superiore di A è +co se A non è limitato superiormente; l'estremo inferiore di A è - 00 se A non è limitato inferiormente. In simboli: CIO

(12.10)

supA=+oo

=

(12.11)

infA=-oo

=

vr,38E A:a<:r.

Nelle relazioni sopra scritte ci si può limitare a considerare L > O e r <: O. Facendo uso dei simboli +- e - .... si può quindi affermare che ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette sia estremo superiore che estremo inferiore. Se l'insieme è limitato superiormente allora l'estremo superiore è finito; se l'insieme è limitato inferiormente aUora l'estremo inferiore è finito. Diamo ora aicuni

A :: Ix e R:

(12.12)

:Il:

> O} , allora

supA=+_,

infA=O

ed il massimo e minimo di A non esistono. Se B == l(n. - I)1D: n e NI (l'insieme-B ! schema-

lauto in figura 2.1). risulta (12.13)

supB=I,

ioIB==minB=O.

I

o

1 2

2 3

I I IIW

l=supB

3 • -• 5

FigUTa 2.1

Se infine C .. l(n + I)/n: n

(12.14)

e!

NJ) (si veda la figurll 2.2), si trova

lupC=maxC"'2,

iutC .. \.

Siano A e B due sottoinsiemi di R 'e f una fuazione da A verso B. Per ogni sottoinsieme X di A, l'estremo inferiore (risp. l'estremo superiore) dell'insieme f(X) si chiama estremo inferiore (risp. superiore) di f su X. Si pone inoltre .

Comp/elllUlIi Ili lIlunerl reali

in! [(x) = inf !(X) , ..x

(12.15)

47

SUD !(X) = Sup !(X) .

,.X

Se poi f(X) è limitato inferiormente (risp. superiormente) si dice che la fun.rione f è limitata inferiormente (risp. superiormente) su X. Se infine f(X) è un insieme limitato, si dice che f è limitata su X. l:cinfC - - - < '_"HII-+I-+--+-1- -.... 0+1

n

_6 _5

5'"

4

3"

2=maxC

, ---------11-_ .. 2

3

2

Figura 2..2

Alla luce delle nozioni introdotte nel presente paragrafo riportiamo dì seguito alcune proprietà dell'insieme dei numeri naturali e deU'insieme dei numeri razionali Nell'insieme R dei numeri reali. a partire dall'elemeuto 1, si possono determilU'lre gli elementi 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 e cosi via. Tali elementi cn<>tìtuiscono l'insieme dei numeri natu.rali di R. cioè l'insieme N = Il.2.3•... J i cui elementi SODO ordinati secondo le relazioni 1 < 2 < 3 < ... L'insieme N gode di due proprietà caratteristiche: l) Ogni parce non vuota di N i dotata di minimo; 2) ogni parte non vuota di N, superiomu!nte limitata., è dotata di mas· srmo. Tenendo conto di tali proprietà si può dimostrare la seguente PROPRIETÀ DI ARCHIMEDE_ - Per ogni x e R. dirte: n e N tale che n > x. Dimostrazìone: se In proprietà di Archimede fasse falsa, rinsieme dei numeri ruli sarebbe limitato superiol'Tllel\te e quindi, per l'auioma di completetta. dotato di estremo superiore M E R. In par.ticoIRre. per ogni nl,lmero naturale n di R sarebbe"U S M. Poicht anche n + 1 un numero naturale, risulterebbe n + 1 S M, cioè n:s M - l, per ogni Il E N. il che! ll5Surdo perc:M M - I sarebbe un maggiorante di N, contrariamente allatto che M il pìù pice:olo dei maggioranti.

In altre parole, la proprietà di Archimede affenna che l'insieme N dei

numeri naturali non è limitato superiormente. Dalla proprietà di Archimede si ricava che l'insieme Q dei numeri razionali di R. cioè l'insieme dei numeri del tipo mln con m e Z e n E N è

'18

Copilola 2

demo in R, vale a dire, per definizione, che per ogni coppia a. b di numeri-reali con a < b, esiste un numero razionale compreso fra a e b. DENstrA DEI NUMERI RAZIONALI. - L'insif!mf! Q df!i denso

Ùl

nUn!f!(i

razionali è

R.

Dimostrazione: si deve provare che, per ogni coppia a, b di numeri reali"coo a <: b. esiste un n\llnero l"Uionale:r; tale che a <: x <: b. Supposio 4 > O. sia n li< N tale c:he n > LI (b - a)l per cui multeri ob '- na ;. 1. Detto' m il più piccolo numero naturale late cheJia <: in; si avrà In - 1 Soa anche na <: m=(m-I) + 1 Soa + 1 <: oa + (ob-na)= nb. DaUedi5ugWIIglillltte na <: m <: ob segue 1'l$SCtto. U coso a
Concludiamo il paragrafo soffermandoci sulla funzione esponenziale. Nel paragrafo 9 abbiamo definito il significato di ab con a numero rea.le positivo e b numero razionale. Inoltre, dalle (9.9), (9.10) segue che la funzione esponenziale su Q (12.16)

f : x e Q

--J

al[

E

R+

è strettamente crescente se a > l, strettamente decrescente se O < a < 1. Allo scopo di definire la funzione esponenziale su R, prOviamo iI se·

guente: LEMMA DI DENSITÀ - Il codominio E(Q) dd/a [undone f è tÙnso in R t • Dii1tO&tnWone: vmfichiamo c:he, per ogni coppia a. fJ di numeri reali positivi. con a <: IJ. esisre y 6 Q taie che a <: a' <: p. Limitimnoci al caso a;:> l, l :s a <;!Jl in quanlo gli altri si trartano an}llogamente. Sia De N tale che (fJ/a)" ;;. a e sia m il massimo intero tale' cbe a m S a", Si bi!.:

[liI7)

.

mH

Dillla (12.17) segue l'asserto eco y "" --- . n

Dal lemma precedente si ricavano facilmente le formule (12.18)

(a> 1)

(12.19)

(0<.<1)

ai numeri nali

49

Tali formule suggeriscono di definire la funzione esponenzio.le ad esporumte x reale qUlluill3i nel modo seguente: (12.20)

a X = sup [a' ; y e Q, y < xl ,

(12.21)

aX = sup {aY ; y e A, y > ·xl

se a > l

< a < l

Si può dimostrare il seguente TEOREMA. - Per a > l (risp. O < a < l) la funzione. uponen'liale i stnttarmnte. cresct:nte (risp. .!trrttamente decre.!Cente) da R

.fU

R+.

13. Calcolo combinatorio A un insieme costituito da n elementi:

(13.1)

Sia k un numero naturale minore od

ad o. Una disposizione. di k elementi tra gli n dati è un sottoinsieme ordinato di A che ha k elementi; consideriamo distinte due disposizioni se differiscono o per gli elementi, oppure solo per l'ordine di tali elementi.

NUMERO DI DISPOSIZIONI. - /1 numero delle disposizioni di k elementi tra gli n dari è·

(13.2) cioè

n(n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1); il prodotto di k numeri interi decrUCMtì a partire da

D.

Cosi ad esempio il DumeTO delle disposizioni di 2 elementi su 3 dati! 3 . 2 "" 6. Infatti. se consideriamo l'insieme {a, • 82 , a]1 • rutte le disposizioni possibili con 2 elementi sono: {al -' (13.3)

la,. . ali:

(8, -' Illl;

lal ' a31;

, a31; t'Il]". a:zl·

Per dimostrare la proposizione precedente, eswmruamo un possibile modo di formare una disposizione di le elementi dall'insieme (13.1). Pos-

so

Capilolo 2

siamo scegliere il primo elemento da D dati. Invece è possibile scegliere il secondo. elemento solo tra .gli (n - 1) elementi rimasti dopo fatta la prima scelta. Quindi, se k = 2, il numero delle disposizioni è- n(n - 1). Se k > 2, si procede allo stesso modo, ·cioè sì sceglie il terzo· elemento tra gli (n - 2) rimasti. Quindi, se k = 3, il numero deUe dispQsizioni è D(n - 1)(0 - 2). E cosI via, se k > 3. Una disposizione di n elementi tra gli n dati (k = n) si chiama pennuta· zione degli n elementi. Ponendo le = n nella proposizione precedente, si ottiene che il numero delle permptazioni· di n elementi è: (13.4)

nl = n : (n - 1) . (n - 2) ....2 . l ;

il simbolo DJ, che indica il prodotto dei primi n numeri naturali, si legge «n fattoria/e.". Tenendo conto del simbolo di fattoriale sopra introdotto, si riconosce che il numero di disposizioni di k elementi tra n dati si può anche scrivere: (13.5)

nl n(n -·l)... (n·- k + 1) = (n _ k)1

Una combinazione di k (S n) elementi tra n dati è un sottoinsieme (non ordinato) di k elementi: -consideriamo uguil1i due combinazioni che hanno gli stessi elementi, indipendentemente dall'ordine. NUMERO DI COMBINAZIONI. elementi tra n dari è

1/ numuo delle combinazioni di le

(kn) = (n - nlk)1 kl

(13.6)

Prima di passare alla dimostrazione osserviamo che il simboJo a primo membro della (13.6) si legge «Il su b, ed è chiamato cotifficiente binomiale. È utile dare un significato a tali espressioni anche per k = O e k = n nel modo seguente: (13.7)

.-

O, - l

.

(D) _ (n) _ ni _ 1 to - n ,- nl 01 - .

ili numeri reali

51

Direttamente delle definizioni (13.6), (13.7) segue l'identità

V n E N, V k E IO, l, ... , nl .

(13.8)

Ritornando' all'esempio di U11 insieme COll 3 elementi I al , 8 2 hanno 3!1(1! 2!) "" 3 combinazioni con due elementi, che sono:

, 33

J ,3J

I '1 ' a, ); l " ' .] ); [ a, , .. I·

(13.9)

La proposizione precedente si dimostra osservando che il numero delle combinazioni è inferiore (se k > 1) al numero delle disposizioni. e che ad ogni combinazione con k elem-e.ç.ti corrispondono tutte le disposizioni che si ottengono penntitando tra loro i k elementi. Quindi ad ogni combinazione corrispondono kl disposizioni. TI numero totale delle combinazioni è ottenuto dal numero (132), oppure da (13.5), che esprime il numero di disposizioni di k elementi tra n dati, diviso per k!.

14. Il binomio di Newton Una importante applicazione (che peraltro è anche conseguenza del principio di induzione, come mostrato neUa seconda parte del paragrafo) dei risultati. del paragrafo precedente è costituita dalla Per ogni coppia di

FORMULA DEL BINOMIO (DI NEWI'ON). reali a, b vak ['jtkntità

(a +

=

a ft +

al>-I b +

art-2 bl + ...

(14.1)

InfllUi. immaginiamo di eseguire il seguente prodo.lto di n fattOri: (14.2)

(D -+- b)" = (a + b) . (a + b)

...

(a + b) ;

il' ris·ultato del" prodotto si scrive come !omma algebriCa di moiti addendi. Fissiamo la nOSlra

attenzione sull'addendo dellipo a"-'b • Eseguendo la indicata, si ottiene talll addendo tante volte quante possibile scegliere k fattori ugu.l!.1i 8 b dagli n dati. Cioè n su k. t

52

Cap;/olo 2

La formula del binomio (14.J) in particolare fornisce dei risuilali di 'acile verifica pec: I :: 2 e n .. 3: infatti. per toli valori di -n si ottengono le ben note relazioni; (143)

da cui (a + b)2

da cui

=:

al + 2ab + ;

(a +. h)' = a 3 + 3 a 2 b + 38 hl + b"1 .

Le considerazioni che seguono sono utili per sviluppare esplicitamente il secondo membro della formula del binomio (14.1) per valori di n più grandi di 3: LEMMA. -

Per ogni coppia di numeri naturali n. k vak la formula

(n-i)_(n) (n-i) k-l+ k -k'

(i4.5)

Infatti, dalla definizione (13.6) otleniamo; O-l) (O-l) (o-l)! (o-l)! ( le -1 + k = (k - l)! (n - k)! + k! (n - k - I)'·" a

(k

(14.6)

=

=:

(1 .1)_

(n-I)! 1)1 (n - k - l)! n

k

k

(n-l)!

n

{k 1)1 (n - k - l)l

k{n - k)

O,

•

(O)

k! (n - k)! = k .

La proplietà (14.5) del lemma precedente permette di scrivere il seguente triangolo di T(Jrtaglia (noto anche come triangolo di Pascal). dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini del/a riga precedente:

ComplelllerUi ai Ilumeri renlì

l

l

l

m= l

m=2 3 G)= 3

l

4

(i)

ro)= l

6

5 lO m= ................................................................................ _._

l

53

l

1

4

(:)

lO

5

-..-

1

m=_ l

.

Quindi ad esempio risulta (14.7)

Di seguito esponiamo un'ulteriore dimostrazione della formula del binomio con il metodo di induzione. Dimosfrazione per induzione della (14.1): cominciamo con l'osservare che la formula dc:! binomio (14-1) verificata per n '" 1; infatti:

(14.8)

(a + b

)1 '"

a +

C)

b

'= El

+ b.

Secon-do'I'ipotesi di induzione supponiamo vera la (14.1) per un indice n e N e dimo· striamo. l'a validità della fonnula analoga con n + l al posto di n; a tal fine moltiplichiamo entrambi i membri della (14.1) per (a + b). ottenendo (a + b

)'1+1

= an+l

+

a- b.+ ... +

a---+ I b-

+ ... +

ab" '"

(L4.9)

•.. i-

" )11 [1 + ( n_IU

8

. bO

+

"8",' +

[(n)1+ (")11 oUa"b + ...

54

CApitolo 2

tenendo conto che, per la (14.5). r[5u[ta VkeI1.2, .... nl,

(14.10)

51 ouiene infine la conclusione (a+ b ,.•• (14.11)

(a +O ') •

0,0

+

(a +I l) Il"b + ...

(a l) . . . . bt + - ' +(nn+ ') 8 b" +(nn+ -')+b-ol '

+ ···+t'

1

Appendice aI capitolo 2

15. I numeri complessi Consideriamo una generica equazione di secondo grado neU'incognita z: (15.1)

ar+bz+c=O,

che ha come soluzioni (reali, se b'2 - 4ac 2:: O):

(15.2)

z

,

2a

2a

I coefficienti a, b, c sono legati alle soluzioni Zio relazioni, che si verificano immediatamente: (153)

ZI .

Z:z

Z2;

anche diille semplici

C :=. -

a

•

Proviamo a scrivere tali relazioni nel caso dell'equazione: (15.4) in tal caso le (15.3) (15.5)

diventano Zt+Zz=O;

Comp/I!mrllli oi nUnlui renli

SS

Le re.lazioni (15.5), anche se formalmente ben definite, non banno alcun senso nell'ambito dei numeri reali, perché non esistono Zj, Zz soluzioni reali della equazione (15.4). Questo esempio mostra come tavolta sia utile pensare che qualsiasi equazione di secondo grado ammetta soluzione. Dato che ciò Don vale nell'ambito dei numeri reali R, si estende R introducendo il campo C dei nwneri complessi. Cc;msideriamo ancora l'esempio (15.4). Formalmente l'equazione (15.4)

ha soluzioni (15.6)

Definiamo il Dumero complesso ì = naria. Risulta per definilione:

n. Si dice che i è l'unità immagi-

(15.7)

L'insieme dei nwneri complessi si rappresenta in forma algebrica (15.8)

c

= (z =x + iy:

x, y eRI.

Si dice che x è la parte reale ed y è il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso z. Le operazioni sui numeri complessi ·si eseguono con le stesse regole dei numeri reali, tenendo anche conto della (15.7). Quindi: (x + iy) + (x' + iy') = (x + x') + i(y + y') ;

(15.9)

(x + iy) . (x' + iy') = xx' + ixy' + ix' Y + i' yy' = (15.10)

= (xx' - yy') + i(xy' + x'y).

z

li numero complesso = x - iy si chiama complesso coniugalo del numero z: : : ; x + iy. Dato che risulta (15.11)

z . z = (x + iy) (x - iy) = x' +

y' ,

il coniugato è particolarmente utile nel calcolo del1quoziente di due l1umeri complessi; infatti:

56

Copùolo 2

(15.12)

x' + il" x + lY

-

(X: + iy')(x - iy) (X: + iy')(x - iy) = (x + iy)(x - iy)

r+f

xX + yy'

r+y'

.X:y-xy'

- 1

x'+y'

Come si vede dal conto precedente, la divisione tra due numeri plessi è possibile purché il denominatore z = z + iy sia diverso da zero, cioè purché non risulti contemporaneamente x = O, y = o. È utile la rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, che si ottiene facendo corrispondere ad ogni numero complesso z = le: + iy il punto P di coordinate (x, y), come ID figura 23. Un punto P del piano può' essere individuato anche dalla distanza: Q dal centro O degli assi, e dall'angolo -a che il segmento OP forma con l'asse delle x, come in figura 2.3. Dal teorema di Pitagora si deduce che (15.13)

l'angolo {)- è legato alla parte reale x ed al coefficiente dell'immaginario Y.. dalle formul:e

P I

•

I

I

I

x

o Figura 2.3

(15.14)

x

cos'6'=-

Q

.,

Si dice che Q è il modulo del numero complesso z :: X + iy, mentre 1'1, misurato in radianti, è l'argomento. Naturalmente a è definito a meno dì multipli di 23t. Tenendo conto' delle relazioni tra e, a e x, y, possiamo scrivere il numero complesso z = x + iy in forma trigonometrica (15.15)

Z

=

Q (005

ti- + i sen a).

Compltlmenti ai lIunuri reali

57

E particolarmente semplice scrivere il prodotto ed il qUCTLiente di due numeri complessi espressi in forma trigonometrica. A tale scopo, riarno numeri complessi Z, z' nella forma:

Z = Q (cos il + i seD il);

(lH6)

z: =

Q' (cos iY + i seD iY).

Tenendo conto delle fomule di addizione (10.4). (10.5) si ottiene:

z . z' = Q(COS

a+ i

seo ofr) . Q' {cos {}' + i seo

a') =

(15.17) =

QQ'

I(coo il cos iY - seD il seD iJ') + i(seD il cos il' + seo iY ces =

=

QQ'

{cos(il + il') + i S.D(il + lYl).

il prodotto tra due numeri complessi ba per modulo il prodotto dei

moduli. e per argomento la somma degli argomenti. Per il quoziente Si ottiene la formula analoga:

7/z' = Q(cos il + i sen {f)/{Q' (cos iY + i sen {f,)J =

=

(15.1'8)

Q (cos il + i sen il)(cos li' - i sen il') Q' (cos iY + i seD iY )(cos iY - i sen il') Q (cas -fr

= Q'

C'OS'

fi' + sen fr scO' iY)

coSt ofr -

+ i(sen: {} cos W - seo {}' c.os {}) il

sén2 a

= Q, (cos (il - il') + i sen ({f - il'}l· Q

Dalla fannula (15.17) per il prodotto. si deduce la forma trlgon'ometrica della potenza z" COD esponente- n E N (15.19)

UD' numero complesso z è la radice di z se- risulta (z')R :: Z. Quindi se z. z' sono rappresentati in forma trigonometrica dalla (15.16)

58

Capitolo 2

come in precedenz.a, deve risultare (z')"

(15.20)

=

Z

(o')" (cos(niY) +

1

sen(nil'») -

= Q{cos {} ... i sen ") =

= O (cos(iI + 21m) + i sen(iI + 21m)}, qualunque sia k (15.21)

E

Z. Otteniamo quindi:

o' =

'iii;

il' = (il + 2k,,)/n, . k

E

Z.

In particolare il modulo di una radice n-sLma è uguale alla radice n-sima del modulo. Si riconosce anche che la (15.21) fornisce n valori distinti dell'argomento i)'. Quindi se z #. O, esistono n radici n-esime d.istinte del nwnero complesso z.. Ad esempio. calcoliamo le radici quadrate del numero comple5.!io Z - i. In forma trigonometrica i ha uguale ad 1. ed argomeoto uguale a nfl. Quindi in base alla (15.21), le due nuiici quadrate di z .. i hanno modulo uguale ad l. ed argomento uguale a (15.22)

iY,

.

"" 4; =2=

In corrispondenza si ottiene; (15.23)

':, - I

(=

i

,

Quindi le due radici quadrale di i sono;

(15.24)

Segnaliamo una notazione di tipo esponenz,iale per i numeri complessi. Posto (15.25)

cos8+isen8=e16

,

un numero complessp z = Q (cos e + i sene) si potrà rappresentare nella

[orma (15.26)

z=Qe ill

•

62

Copi/alo 3

8. - area (PJ

(1 6 .1)

l

'" 20 . 2: R.D

n cos u.

Usando le {onnule di duplicazione (lD.6) e ricordando il valore di (16.2)

8

•

(l

otteniamo

n "" =-sen2

n

ftiportiamo B n per alcuni valori di n; U lettore controUi i primi valori, fino ad o = 12, usand( la tabeUa del paragrafo lO. n

"

,

4

6

8

12

20

50

100

200

'-5

2

3-5

2..fi

3

3.09

3.133

3.139

3.1410

4

2

Come ci aspettiamo. per o grande i valori di 8ct si avv)Cl.ll.8no a K .. 3.1<1159265.•. /UChimcde. portendo daU'es8gono e raddoppiando pcr
Alla fine del paragrafo 23· dimostreremo. tramite la (16.2), cbe l'area di un cerchio di raggio 1 vale rt. Però la (16.2) non è utile per il calcolo numerico di 1t, perché :rt entra nella definizione stessa di ano Qui desideriamo sottolineare lo schema del procedimento: abbiamo introdotto una di numeri reali (16.3)

Di tale Sllccessione ci interessa il comportamento per n grande. Infatti il numero a" rappresenta l'area del poligono ,regolare di n lati inscritto al cercbìo, ed è tanto più vicino aU'obiettivo area del cerchio, quanto più n è grande. Se avesse un senso, diremmo che. ci interessa «l'ultimo» tennine della successione a,,; però ciò non ha senso perché Don esiste l'ultimo termine della successione. Cib che realmente ci interessa è il limite deUa successione ano cioè un numero a E R che sia «vicino,. ai termini della successione che hanno l'indice n «grande,.. Ciò si esprime più precisamente cosl: a, limite della successione a.., è un numero reale tale che comunque si scelga un intervallo di numeri intorno ad a, diciamo (a - e, a + e) con e > O, allora esiste un indice v tale che, per n > v, al> sta in questo intervallo, cioè a-e
Umili di succe.nioni

tante è che comunque si fissi le proprietà suddette.

I

a, I

I

I

",

E

> O, in corrispondenza esiste un indice v con

a-, I a,

"

a,

"

i,

I

I

a,

a.

I

I

a,

" ,

I

a,

a,

a,

Illlilr

I

a,

I

.

I

I

a,

I

63

a

I

" , "

I \I III

aI

I [I

I

..

,

I

(a + E

I

a+.e:....... v-5

•"

••," j

v-7•

•

v-100•

Figurll 3.2

L'intervallo (a - E. a + E) considerato fonnula, da (16.4)

li

precedenza e definito,

Ul

(a - t. a + e) = Ix e R: a - t < x < a + tI.

è deuo intorno del numero a, di Taggio &. Nel paragrafo seguente diamo la definizione di limite di successione e consideriamo alcuni esempi.

17. Definizioni e prime proprietà Una successione è una legge che ad ogni numero naturale n fa corrispondere uno ed un solo numero reale a n • Ricordando la defurizione di funzione (paragrafo 6) si può dire che una successione è una funzione da N in R Indichiamo una successione con il simbolo (a..). o piì:l semplicemente con 8.". o per esteso con (17.1)

al •

, al •

a.c •.." a.,. •.•.

Parleremo allo stesso modo di successione. anche se non sono definiti i termini a n per i primi indici n, cioè per un numero finito di indici n. come nel caso considerato nel paragrafo precedente, dove era n 3. Esempi di SUCceSS10nI sono:

(17.2)

.

1 n

1 1 1 1 1, 2 • 3 ' 4 ,... n····

64

Capi/Dio 3

(173)

n-I n

(17.5)

(- l)' a.= n a. = (- I)'

(17.6)

!in =

(17.4)

0

O I

2

3

.' ...

'2'3'4

I

- 1. 2 .

n .. n

- 3'4 -I -I

,....

j r ••

(- I)' n

••••

- I, I. - I, 1 ,"', (- I)' '"

2

1. 4, Q, 16 •...• n2

••••

DEFINIZIONE - Un numuo reale a è il limite della successione a. (si tlice ancM cm a.. totde o converge ad a), e 3/ scrive .

(oppl,4re

(17.7)

se, qualunque 5/0. v.

E>

u, esiste Ull numero 'V 1qle che a -

a. E

a),

-t

< an < a +

< a + e si può anche scrivere equivale a (proprietà (8.12): La relazione a -

E

< an

(17.8)

la. -

E

Iim a, = a

=

agili n >

< aA a <

E,.

e ciò

al < e.

Quindi possiamo ripetere la definizione precedente legge esiste):

(17.9)

E per

1n

simboli (3 si

Ve> O. 3 v: la. - al < e V'n > v.

Osserviamo. pecc.hé ci sarà utile nel seguito, che la (17.9) è equivalente

a

(17.10)

infatti

lim ,->

a.

= a

3c > O: 'ttE. > O, 3v: lan - al < ce. V'n > v ;

(11.10)·si riotticnc la (17.9) cambiando

Usando la defini:t.ioue, verifichillJTlo che

(17.11)

.

lim

1

-=0.

......._ 0

E

con ele.

Limili di $j/cce.r.rioni

65

Risulla la. - "I : 11/01 • 11n.. Dato che (Jn <. E equivale a n > J'e,l.. :scegliere v '" 11E. Qoè abbiamo verificato che per oglÙ r: > O esiste v '" 1J1!: per cui la" - al '" 11n < E per ogni n > v. Verifichiamo ora che

(17.12)

n-I

lim

"-t..-

n

'" l.

Risulta (17.13)

1"'-81'""

I

nn

1

-l

LI I' I'""I;; ""o

.•

in qUC:'lto esempio si vede l'importanUl di considerare il valore assoluto di an - aj si trova

la" - al "" lln e poi si procede come uel caso precedente. Naturalmellte non abbiamo scelto a caso i valori, a = O e a "" l nei due esempi precedenti. Proviamo a veckre che succede le invece tentassimo di dimostrate che

.

.--+_

(17.14)

lim

1 -l n

Avrenuno

1

- '" l n

I

1 =l--l-(. n n

Questa non crea problemi se E è grande, ad esempio se lE: .. 1 verificata da ogni n e N. Ma se e è pià piccolo, ad IIl&Cmpio se e • 112, allora 110 > 1/2 è verificata solo sc n < 2. Ciel: soto al verifICa la relazione data, c noo a" con n> v. Cib prova che a "" l non è il limitc dcila SUOCCSSiOIlC l/n..

Con un argomento simile verifichiamo la ,

UNICITA DEL LIMITE. -

Una succe$Sione

non può avere due

limiti distinti. Dim05truione; supponiamo per tlSliurdo che esista,no due limiti distinti, cioè supponiamo che 8" -t a, a" -+ b, con a b. Poniamo lE: _ la - blfl (? O). Si ha

*'

(17.15)' Ponendo v c mBX IV1 , 'Y21 • l.e relazioni sopra sailte valgono contemporaneamente e si ha (utilizzando la triangolare Ix, + S Ixll + Ixtl del paragrafo 8)

66

Copitalo J

la

bl"l(a.- a,J + (a. - b)l S

(17.16)

::: la. -

al + 11,,- bI <:

Abbiamo cost lravato che

la -

bI

E+ E <:

=

la -

bi.

la - bi • che è assurdo.

Esaminiamo ora le successioni (17.4), (17.5). Sì ha che

.-+_ lim

(17.17)

(- 1)- .. O ; Il

in!aui la" - a[ .. 1(- I)" Inl= Un ; poi si procede come fatto per il limite (17.l1). invece il limite

non

(17.18)

-

Infatti. supponiamo per assurdo che esista a "" lim (-

.....

lt. Se a

O. consideriamo la" - al

con n dispari. Allora ali • - l e quindi 18ft - al = 1- 1 - al = 1 + a :
o

DEFINIZIONE. - Una succusioru: an ha limite ugUllle a + - (si dice anche che ali tende o diverge a + 0» e si scrive . (OpPUn!

(17.19)

a,.

+ -) .

se, quall.fllque sia M > 0, esiste IUJ nwnero v tale che a n > M, per ogni

n > v.

Si dà una definizione analoga nel caso di limite uguale a - 00, Ad esempio, la successione ali = - n 2 tende a - 00. In simboli scriveremo le due definizioni nel modo seguente: (17.20) (17.21)

lim a,.; +

.....

<=

'I M > O, 'Iv:

<=>

'I M > O, 3v:

'Vn>v;

,-

lim ' , ; -

a,<-M,

""t/n>v.

Limiti di successioni

67

Come già detto, una successione si dice ammette limite fmito, mentre si dice divergente se ammette limite uguale a +- oppure a - -. Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari, mentre le successioni che non ammettono limite si dicono non regolari. Infine, una successione che converge a zero si dice infil1itesima, mentre una successione divergente si dice anche infinita."

18. Successioni limitate Abbiamo detto nel paragrafo precedente che una successione si dice regolare se ammette limite (finito o infinito). Invece una successione si dice limitata se esiste un numero reale M tale che (18.1)

'v'n e N,

o (equivalentemente, in base alla proposizione (8.11»): (18.2)

- M S .. S M.

'v'n

E

N.

Si noti il legame con la definizione (12.3) di insieme" limitato (si veda

anche la (12.4)). 11 lettore provi a verificare per esercizio che le successioni (17.2), (17.3), (17.4), (17..5) sono limitate, mentre la &uce:cWone (17.6) Don lo ad esempio, la successione (17.4) limitllta dalla costante M = I. infatti;

(18.3)

1.. 1- 1(-

Il• 1

1 =-Sl.

•

'in

€

N.

&istono successioni limitare 110n regolari, cioè successioni limitate che non ammettono limite; un esempio è fornito dalla successione (17.5) definita da (18.4)

,,=(-1)",

che limitata (perché la.1 = 1 per ogni n e N) ma che, come dimostrato in (17.18), non ammette limite. Viceversa, ogni successione che ammette ·limite "finito è limitata, come mostrato dal seguente: TEOREMA. -

Ogni su.ccessione convergente

limita/a.

68

Capilolo 3

Dimostraziom:.: supponiamo che aA converga ad 8 e scegliamo '- == l. In base alla· defiDlZlone di limite (si veda la (11-.9)) esiste un indice y per cui la. - a[ < l per ogni n ;> v utilizzando la disuguagJianza triangolare (8.14). (18.5)

la.I"·I(II. - 11) + al s -'al1" lal < l +- lal.

Ma aUora; per ogni n

E

'9'n

:> V.

.\'l, !i ha;

(18.6)

19. OperaziQDÌ

COQ

f limiti

Valgono le seguenti regole di calcolo: OPERAZIDNrCDNILIMlTI.-Se lim a" =a e ..-+_

lim bn""b, cçma,be

R. si ha

.->.->-

(19.1)

Hm

(a. ± b..) "" a ± b.

lim a". b. "" ab.

(19.2)

.

(19.3)

a.

a

Um - "" ba b

(se b.. , b "" O).

Dimo,striamo la (19.1) con il segno +: per ipotesi, per ogni

Il

> 0,

(19:4) Ponc'n4o v "" ma)!" I

VI • V2

I • per ogni n > v si ha

+ b.l - (a + b)1 "" I(a p

('9") :S

-

al + (b. - h)1 So

la. - al + Ib. --bi

< 2E.

La Jfr.oya è compreta, Si noti che abbiamolisato la diSuguaglianza tnllngolare' (&J4ì eta' delil1iZione d\ limite nella formI!, (17.. 10). Il leuore dimostri la (19.1) 1Xl{l iUegnQ. Dimostriamo. la Connula (19.2) relativa a,llimi(e di un prodono-con due PUIRO' dci ql;lali non Ca uso del conceuo di sQCcessione limitate

Limiti di successioni

69

Dimostrazione della (19.2) (prìmo mt"w,'/ù): utilizziamo l'identità

(19.6) :<

(ai< - a) (b n - b) + (a n - Il) b + a (b" - b).

Nell'ipotesi (25.4) risulta quindi

la" b" - abl s là" - al . Ib a - bi + la. - al . lbl + (19.7)

+ lal . Ib n - bi <

,+

E

E

[bi + lal

Il

per ogni h :> y = max [VI' vzl· della (19.2) ("secondo metodo): per il teorema del paragrafo precedente la successione a n è limitata. cioè esiste un numero reale M (::> O) tale che

'O'n e N.

(19.8) DaU'ipbtesi (19.4), per ogni n ::> v = max· (VI' vll si ottiene

(19.9)

= la"(b,, - b) + b{a" - a)[ $ la" llb. - bI + Iblla" - al < < Me + Ibl

E

=- (M

+ Ibl) e.

La prova che il limite dì un quoziente è uguale al quoziente dei limiti è simile alla prova della relazione per il limite di un. prodotto. Esaminiamo due esempi di applicazione deUc: oper.li2ioni con i limiti. Avendo già vluificalo che la 5UI;I;cssiOnc 11n converge Il zero per n -++-, dal limite del prodotto (19.2) con a. = ba = l/n si deduce che

(19.10)

Hm

1

--o

n'

e, iterando il procedimento,

(19.11)

VbeN.

Mediante le operazioni con i limiti si calcola, ad esempio, il seguente limite, dividendo

70

CJpilOlo 3

numeratort e denomioalore per

02:

0 2 +511-4 l + Sin - 41n2 ., lim . _ 3D 2 + l ,.,_ 3 "1" l/n2

lim

(19.12)

-l

3

20. Forme indeterminate Si prova che valgono le operazioni con limiti infiniti nei casi seguenti (a e R),

(20.1) (20.2)

3 .. - t + - ,

(20.3)

(20.4)

=>

la.. b,,1

Ib" / allI

lan

----J

+ _

(20.5) (20.6) (20.7)

a..-ta:;t!O,

/

+ _

b.. l-+ +-

Risultano esclusi dalla tabella alcuni casi che schematizziamo nelle forUle seguènti, dette forme ini:J.eterminate:

---

(20.8)

,

o· - ,

_/00,

%.

Altre forme indeterminate sono date neUa (25.9). Dire che un limite è una forma indeterminata non significa diIe che i1 limite non esiste, ma significa semplicemente che occorre preliminarmente eseguire noni, o semplificazioni, per togliere, se possibile, l'indeterminazione. Ad cscl"pio, le successioni seguenti csprimono forme iudeterminale: (20.9)

(o ...

lY -

(o _ 1)2 ;

1

• - l

Un'

•

n

Un

l ' (o + l);

Lo prima di tali successioni una forma +- - -. Però svolgendo i quadrati si trova che la ."'X'cssione vale 40 e quindi leode a .... La scromla successione è UllB forma O, _, ma si può anche scrivere 1/n + Un'l, che tende a zero. La lena suc:cessione è una forma -J-, ma già sappiamo che tcmde a 1. La quarta successione del tipoOJO. ma semplificando si trova lln -J O.

Limili di slIcce.uioni

71

21. Teoremi di confronto Studiamo in questI:? paragrafo alcune relazioni tra limiti e ordinamento. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEI:. SEGNO. - Se lim esiste un numero v tale cM " .. > O per ogni

D

>

"" a > O ,

Y.

Prima di propone la dirnostnlzione de.! teorema della. permanenza del segno sottolineiamo che, se una successione a.. converge ad un numero reale positivo a, non si può affumare in generale che rum i termini della suc:oessione a. sono positivi. Ad esempio, in analogia con la (17.3).13 s'leeess\ooc a. '= (n -7)Jn converge al numero 1 per n -+ + _, però i primi termini della successione (ah 32' ..."lino.ad aM sono negativi; il numero v, nella tesi del teorema della permanenza dcI segno. in questo caso uguale a 7. Dimostrazione.: dalo che 8 > O, pO$$lamO scegliere t ". aIL Esiste quindi un numero v per cui I.. - al < aI2 per ogni D > v. Ciò equivale a - an. < a. - 8 < an... In particolare 8bbiamo

• •

(21.1 )

a >a--_"":>O .. 2 2 '

.

COROLLARIO. - Se lim

8 10

c a , e se a"

'v'n> v.

O per ogni n. allora anche a

O•

Dimostrazione: se per ilS5UrdO fosse a < 0, il teorema della permanenza del segno, applicato alla sulXC:S5ione - a ... comporterebbe che !l.. < O per n uande.

COROLLARIO. allora a :?: b.

Se 1im 3 n = a. lim bn = b , e se 3 n •-+..-+

bn per ogni n •

Per ottenere la dimost:nnione di quest'ultimo corollario, basta appljcare il corollario precedente alla su=ssione a n - b n.

Possiamo schematizzare i risultati ottenuti nel modo seguente (si noti la differenza tra i segni > e (21.2)

8>0

(21.3) (21.4)

=>

3v:a,.>O, 'v'neN

8 n ---t

a,

=>

'v'n > v;

72

CtJpitoio 3

TEOREMA DEI CARABINIERI_ -

Siano

8,.. bn ,

(21.5)

sltccessioni lali che

Vn e N.

.-

Hm a,.::< lim b. - a • allora

<;,

c.,.

lo

convergente e

Dimosl.razione: per

..per

r: > O

(21.6)

Ricordiamo c:he le disuguaglianze con il vàJore assoluto fi.j possono anche scrivere.

(21. 7)

8-to
Quindi, se

D

> v

::< ma:c

Iv. ' v1 1, risulta l-E
(21.8)

PemO

a-to
f.;. -

al

l!

per ogni n > v, come volevllSi dimostrare.

VaJgono analoghi teoremi di confronto anche per i limiti infifiiti:

s: b n

(11.9)

a"

(21.10)

ali. S b n

'v'n

E

N.

Dimoslriamo la (2.1.9) (la pro\'a della (21.10) per ipotesi la defllUZÌone di limile (1720). signibca:

(21.1 I) Data che b".

'lfM>O.3v:

a..

per ogui n

ti:

a. > M;

8

n

-_o + _ che; per

Vn > v.

N. si olfiene la tesi

(2Ui)

Vn >v.

22. Altre proprietà dei limiti di successioni Riportiamo in questo paragrafo due ulteriori proprietà dei limiti di successioni; in p-articolare la seconda, enunciata sotto fonna di teorema, è importante per le applicazioni.

Lillli.i di nl.Ccessioni

PROPOSIZIONE. -

73

a n converge a z.ero se e soltimto se IUnl converge a zero.

Di'tnostrazione: posta bli '" fa:nf, in base alla definizione (17.9) bn converge a· zelO se e solo, se (22.1)

Ve>O,3"V:

Dato che

Ib,,1 ;: 118,,11 ;: la,

(22.2)

la- (22.1J è' equivalenle alla convergenza a l':ero della

'In e N, tl n

Si noti che. nella proposizione precedente, è importante considerare non solo successiorii convergenti, ma più in particolare successioni convergenti a zero. Ad esempio. se a o ,. (- 1)0 , allora a n non è convergente. mentre bo '= è la successione costanle bo = I, Vii E N , che ovviamente converge ad L

Ricordiamo che una successione a" è limitata se esisle un numero M ;;. O tale che

1",,1

(223)

M.

I::IneN.

Ricordiamo inoltre che una successione che converge a zero si dice infinite· Slnlli.

TEOREMA DEL LIMITE DEL PRODOTto DI UNA SUCCESSIONE Lnvl:ITATA PER UNA INFINITESIMA. - Se a" è una sJccessione limitata e bo è lina successione che converge a zero; allora fa sur.tessione prodotto aD·b o converge n' zero. Dimostrazione: (prùno murnio) per ripotcsl (12'.3) si ha (22.4)

Vn

E

N,

V'n

E

N.

che, po-:r la proprietà (8:.11), del valore assoluto, equivale à (22.5)

Dato che per ipofesi: b" converge a zt:ro. Per il

--t

O; per r8 propoSì21onc precedente anche la successione Ibnl d'ci carahinieri, dalla (22:5)' si d"educe lnfine che tl n . b n --t O.

74

CojJilolo 3

DimO!>trazione (s'coI/do merodo): per la definizione di llmile si ha: 'lin > v.

(22.6)

Dall'ipolesi di limitatezza (22.3) si ottiene. poi (22.7)

"In > "'.

che equivale (si veda la (17.10» al fatto che la successione prodotto a n . b n converge a zero. A titolo di esempio verifichiamo che

(n.•) infatti si tratta del limite del prodotto della succefiSione limitala sione infinitesiml

a... _ (-

I)D per la succes-

1

n+5 1/n+5'n b• - 301 +1 - 3+ l1n1 .

(22.9)

Cnme ulteriore esempio verifichia.mo che (22.10)

(il lettore non confonda questo Umile con quello proposto in (23.17), uguale a l: nel limite in (23.17) la suCQ"ssione conv.erge I zero. mentre la successione in considerazione in (22.10) l; sen ar/a n• coo a. = n -+ + _). Il limite in (22.10) l!l zero perché limite del prodotto della successione limitati 8. = seo n (la.l" Iseo 01 Si: l, 'r;/ n E N) per (a successione infinitesima bll _ lIn.

23. Alcuni limiti notevoli lo questo paragrafo esaminiamo alcuni esempi di limiti particolarmente

importanti. Cominciamo con (a

E

.... (23.1)

Se a

lim

Ii-+_

:>

l

a' =

1 O

non esiste

R fissato): se

se se se

a> 1 a = 1 -1
possibile utilizzare la diiuguaglianZll di Bemoulli (0.5):

Umili di successioni

15

a· 2: I + n{a - l).

(23.2)

Dato elle Il > 1, il secondo membro tende a + - se n - t + ...: per il teorema di confronto (21.9) anche 0." -+ + _. I casi ti - 1 e a .. Osono ovvi. Se Il diverso da zero e compreso tra _ I, I (0.< lal < I). risulta 1IIai > l, e quindi dal caso già ttaltato alleniamo: (23.3)

Se a '" - 1 si riouiene illimile (11.18). Se infine Il < - 1, si vede che la successione con ' csponenh. pan"2k a ; + _ .. mentre l a sua:eU\ooe con e5p0nentl. d"\.Span. aì-h-. ; - ... per k --t + .... Percib non esilte illimite-pcr n --t + - di al. Si noti che invece esiste, ed è uguale Il + .... il limite di la-I, se Il: < - I; infiltti si ottiene la successione lanl. che ha per. base lal > 1.

Proviamo ora che, se a è un numero reale positivo, risulta I

(23.4)

lim

a--t+-

'fa=lim 0"-1. n-t_

Notiamo preliminarmente come sia facile ricordare il limite (23.4) per mezzo d el· passaggi:· · C "Va = a IIn -7 a o = 1 . DimostlllZione della (23.4): nel caso ti I si ha
_ I ; risulta

(235)

Peràb (23.')

o s; bn :s: (a -

I)/n.

Dal teorema dei segue che b. -+ O, cial: -+1. Ila > I e quindi. per quanto gil dimostrato, (23.7)

«. •.,;" ; lI/a

Se O < a

<:

l, allora

J.

Dimostriamo ora che, se bER, risulta (23.8) Esaminiamo preliminanr"'ote il caso b ,.. (!l. Procedendo eome {alto in precedenza. poniamo b. "" - I
76

Capitolo 3

(23.9)

Perciò,

(23.10) b" _ O; doe

Quindi

Aitwli per il lettore; pecché si è scelto il valore b = 112 1 La dimostrazione proposta nbn funziona se si sceglie b "" l; perché? Quali altri vaJ.ori di b, oltre b = In., pOSSOilO essere scelti jn modo che la dimostra:zione funzioni?

ConsideriamO ora ii caSo in cui l'esponente b E Z. In tal caso = (vn l/2)2b _ 1211 = 1. Per trattate il taso gèneFale beR, introdUciamo 'la funzione partI! ùltàd di x;

'fnb

[xl = il piil gronde imero mino.re od uguale (,Id x.

(23.1I)

Se beR, abbiamo [bl :S b < [hl

+ l,

e quindi

(23.12)

:S

:S

Ancora, per il teorema dei catabinieri, si ottiene la tesi (23.8).

Esaminiatno ora tre limiti relativi aJle funzioni trigonometriche. l primi due sono: (23.13) (23.14)

Ad esempio seri (l/n)

O, cos (l/n) .....J l, perché 1/n

o.

•

DimostrlttÌone della. (D.B) dalO che 11'" converge a zero, per la ddìnizione di limiçe esistè un mdice v per CUi ta.l< JT12 per ugni n ;;. v. Per lal, vaiori dI n; I1tiJi?..7..8tidola disuguagUanzlI (10.9); ottemarno (23. L5) Per ta proposizione del paragrafo precedente la)_O; per il teorema dci carabinieri, fsen a"I_0. Infine, ancora per la proposizione del paragrafo precedente sen a" -+ O. Dimostrazione della (23.14): si perviene al nsulrato dà'lIa (23.13), utilizzando I"a relazione

c:os x'"

x . Allo scopo dì siabilrre il segno nella relazione precedente:, chiamo con v J'indìce tale che rlsl1ld - rrI2 S $. 1t/2- per ogni n > v (v eSlste per. la !:

Limili di

definizionç di lirnilE.'.. ùato che"3. n.--lo O}. Pl:r tali valori di n risuila

lln

O e q4indi

'::05 a n = .... a" .

(23.16)

Aye.lI.do gii prcwato che sen a n conseguenza dil,l I"alto che

-./b..

-t

{ì

TI terzo limite di funzione zione è:

77

'\in >. V.

O.ne segue che b n '" I - .senI al! -} 1; la tesi è infine = l .

che prendiamo

ID

cODsidera-

(23.17) Nòuami{clìb. dalo che COl1!inciamo 001.

-+ O. (scn' Dn)/a" è una forma.' indeterminata. che

. n

O
(23.18)

sco x

,

COS le: <:

< I .

Infatti, se ':Il è JX)sitivo, dalla t10.9) sì ottiene seti

(23 •.1 9)

da cui, diVIdendo per seQ

li;

"le: <: li;

sen le: < tg x _ =:..::

"" ,

(che è positivo) e prendendo gli invef5i. sì ha

(23.20)

cosx<

sen x
·Se.·inveCe J( è negativo; al?plicando a - x la (23.20) 5i ottiene .co5·lC

x)

<:

sen (- x)

- x-

:=

sen x -

x

< 1.

dunq!lC" la (23.20-) vale ,;:mciiI'. se x è negacivo e [a (23.18) è dimostrata.. Datoehe a"-IO, per la definizione di limite esiste un indice v tale che n > "li Dallll (23.181 si ottiene (23.22) Per n --t

cos an <

la.l< nf4per ogni

sen a"

"

. < l, 'r/n>v.

+ ""'. 005 CI", '""7 l. Ul:. tesi (23.17) discende quindi dal teorema dei. carabinieri.

Applichiamo il Tisultaw appena dimostrato per concludere l'argomento del paragrafo 1D, per provare che l'area del cerchio di raggio 1 è uguale a 1t. Ricordiamo che. dato un cerchio di raggio 1. per definizione Jt è la lunghezUl della semicirconferenza. mentre l'area del cercnio è il limite, per n -I + ..., delle aree dei poligoni regolari di n laci inscrilti. In base alla (16.2) si ottiene

78

Capuolo

j

SCD "" •

-n

an!i1 MI cerchio di raggio 1 .. lim

(23.23)

2

n

Dato che, per Il -+ + _, la succc!\IIione 2nJn tende a lero, siamo neUa situazione del limite 11olevole (23.17) e quindi

.. C. d

. l="um

ffrea d rE un:nio . i mUli)

(23.24)

....._

$Cn_ (2Nn) n li.

:wn

24. Successioni monotòne Abbiamo già dato nel paragrafo 7 la definizione di funzioni (stretta· mente) crescenti o decrescenti. Allo stesso modo per le successioni diciamo

che strettamente crescente:

,

Vn e N', Vn e N', Vo e N',

+ I •

Vne N.

(24.1)

(24.2)

a" crescente:

an

(24.3)

a.. strettamente decrescente:

(24.4)

a" decrescente:

an 2:aOl

a,,
,

Una successione a" è morlOtòna se verifica una delle quattro coodizioni sopra scritte. Una successione è strettamente monotòna se verifica la (24.1) oppor. I. (24.3). Se 8,,, = a per ogni n E N,. con a numero reale fissato, si dice che a.. è una successione costante. Le successioni costanti SODO allo stesso tempo crescenti e decrescenti.

Ad esempio le successioni (17.2) e (17.3) sono strett.amente monotbne; la (17.2) alI '" lln !lrettamente decrescente. mentre la (173) a" :cl (n - l)Jn è IitteU.arnente crescente; infatti,

se ... = Un, aUora (245)

a..

>

l l - > ::-''-.,n u + l

a...-\

1I+1>n

e l'ultima disuguaglianzp è velificatl\. per ogni n E N. Invece se

'

(24.6)

..

"- l

"

allora (24.7)

li -

l

u

<

e anche questa volta l'ultima disuguaglianza

n n+1

,

=

verificata per ogni D E N.

Umili di successioni

79

Il risullato seguente è di fondamentale importanza. TEOREMA SULLE SUCCESSIONI MONOTÒNE. -

Oglli successione mOilO/Ò/ilI ammette limite. fil particolare, ogni s/lccessione monotòna e fimiram è

collvergt/l/e, cioè ammet/e limite finito. La successione (17.4) a,. '" {- I)-In non è monotOna: in!"atti i termini di posto pari sono positivi, menl.-e queUi di posto dispari sono negativi: i termini della successione oscillano intorno allo !.eTC. La successiooe a_ == {- l)"/n è quindi un esempio di successione conVt!rgenIe, pur non essendo mono/lmo (osservinmo che ciO non conhaddice illeorema; infatti nel teorema nOLI si afferma che ogni successione convergenle è rnonolònal). La successione non regolare (17.5) Il. '" (- l)D non è monolòna: ciò è in !accordo con il teorema sulle successioni monotòne, perché se la successione (17.5) fosse monolòna dovrebbe avere limite.

Dimostnlzione del teorema .!Iulle successioni monotòne: consideriamo il caso di una successione II n crescente e limitalll_ PO!iIQ r .. sUPn El•• [issato t! :> O, per le proprietà del\"estremo superiore lparagralo 12) esiste v E N tale che (24.8)

Per n > v risulta

S Il" e dunque

r-

('2'.')

E

<

'yS

a. sr< r+

1;,

da cui lil11 B. = ( .

Consideriamo ora il caso di una successione an crescente e non limitata (superiormente). fiSSlllo M > O esiste v E N tale che n.. > M. D.to che II n è crescente, ogni Il :> v risulla (24.10)

da cui tim a. = + ..... d_

In modo analogo si trattano i casi relativi a succcuioni dtlcrescenti.

Ricordando che una successione si dice regolare se essa ammette limite (finito o infinito), il precedente teorema afferma che ogni successione monotòna è regolare.

25. TI numero e Il teorema sulle successioni monotòne è utile per definire il numero di Nepero e come limite di una particolare successione monotòna e limitata.

BO

Capitolo 3

Infatti, introduciamo tale numero mediante il limite: (25.1)

COfl

La (25.1) è la definizipne del nUlnl!ro di Nepero e. Tale definizione giustificata dal fatto che, come provato aUa fme del paragrafo, La successione a" = (1 + lIn)R è (strettamente) crescente e limita/a; quindi esiste, ed è un numero reale, il limite per n + 00 di an0 Nel paragrafo 81 indicheremo il metodo per calcolare espressioni decimali approssimate del numero e, del tipo •

(252)

2.71828182845904523536... ;

qui riportiamo aLcuni valori nwnerici approssimati di 8 11 che, essendo ali una successione strettamente crescente, sono approssimazioni per difetto del numero e; n

1

10

50

100

500

1000

10'

(1 + l/ot

2

2.5937

2.6915

2.7048

2.7155

2.7169

2.7182

appUcazioni sono utili anche della definizione (25.1):

l

limiti seguenti. generalizzazioni

( l+

(25.3)

1 ) ••

àn

(25.4) DimostrariGne della (25.3): indichiamo con [an]' come nella (23.11), la parte incen di 8 11, cioè il piil: gnmde intero minore od ad An. Risulla I a. ] S a" < ( ... } + 1 • e quindi

(45.5)

(

1 )'., ( I)" ( l )'.,.,

l+[]. a.+1

<1+-<1+[) a.

perché la e l'esponente dcI primo membro sono minori rispettivnmente della base e dell'csponente del secondo membro, e lo slesso accade tra secondo e terzo (IIembco. Il risultato segue dal teorema dei carabinieri, pcrché si verifica racilmente chC' le sU&ee5Sioni a primo e terzo membro tendono ad e. per n -+ + _. Infatti ad esempio per il terzo membro:

Limiti di

:25.6)

81

( l)""' ( l)'" ( l) 1+[8

]

8

.t+[anl,e.l=e.

Diniostrazione della (25.4); poniamo [25.7)

DatQ'che a u -+- _,

la

sucCessione bn diverge a +00; inolu'e n. "" - bn - 1 e quindi ')" l ) - " . " "" = (1 - . ( 1 +ah bn+l

[25.8)

Ricordando-che b. -+ + _, l'unimo membro converge a e· 1 = e per n -+ + _, a causa della [25.3): ciò pl'ova la (25.4).

La successione in (25.1), utilizzata per definire il numero e, combina fra loro due tendenze opposte: tendenza della base ad un limite uguale ad 1, la tendenza dell'esponente ad un limite infinito. Il risultato è appunto e, !ln numero intermedio tra 1 e +"". La forma 1- è una nuova forma indeterrninata, come pure sono indeterminate le forme ""0, cf. Quindi all'elenco del paragrafo 20 vanno aggiunte le forme

0° Riprendiamo la definizione del numero e come limite, per n iucceSSlOne

+ co, della

[25.10)

Come già detto, la definizione è giustificata (in base al teorema sulle ;,uccessioni monotòne) dalle seguenti proprietà: [25.11)

la successione a n è monotòna crescente;

[25.12)

la successione an è limitC]Ia.

82

Capitolo 3 Dimostnuione della (25.11): 18 tesi è 'fn :>:. 2,

(25.13)

Eseguendo la somma delle (razioni, si 'può scrivere in modo equivalente:

l" :

(25.14)

I

r.l" J .l" : ');

ancora

, l)"

ilI -

(25.15)

(

"

.

n -

"

I.

È conveniente come addendo l, nel modo seguente:

l

I )" 1--

(25.16)

"'

I

"

La (25.16) è equivalente alla lesi da provare. Cio premesoo. ricordiamo la disuguaglianza di Bemoullì (11.3), che vale per n

li!

N e per

ll
(2.3.11)

La .conc1usione (25.16) si ottiene ponendo nella disuguaglianza di Bernoulli x; _ lIn 2.

Osservando che la disuguaglianza di Bernoulli (25.17) vale con il segno stIetto· di maggiore se x "$ O e n "$; 1 (il lettore provi tale affermazione per induzione. con n = 2. 3•...). la dimostrazione sopra proposta mostra più precisamente che a. > a.-l per ogni n > 2; cioè la successione a. risulta strettamente crescente:" Dimostrazione della (25.12): introduciamo la successione

l

(25.18)

I)'"

b.;l+;

Per ogni n E N si ba

(25.19)

Pro....eremo che b"

una successione strettamente decrescente: dalo che a.., è (strettamente) crescenle, ne segue che

83

Limiti fii :mccr$S;olli

(25.20) e quindi, eMendo al - 2, bI _ 4, "in

2S:a,.<4,

(252'>

E

N:

peTl:ib la iuc=s:sione a" risulto limitata, come si voleVB dimootrare. RimBne dB verificare che b n l!: uni successione strel!amcnle decrescente: a tale 5alpo pnxedi:lnlo come nella dimostrazione della (25.11): la telii l!:

+-

(25.22)

n

\t'n

•

2.

equivalentemente

>

(25.23)

n+ 1 n

Come nella dimostTttione precedente isoliamo l come addendo:

( 'l"

(25.24)

l ...

l n - 1

La disuguaglianl:.a di Bernoulli (25.17), con x

(25.25)

( 'l" 1+

l n-l

Ò!;I+

>1+-. I n

=:

1/( n1 -

t) , dA la conclusione 'fn 2: 2

ln >1+1 n-l n

(nell'ultimo passaggio si e utiliZZOla la disuguaglianza n/( n2 - 1) > 1/n , che è vcm equivale il n1 > n1 - I).

Un'osservazione a proposito deUa stima (25.21): desiderando una stima più precisa si può otilizzare la relazione (25.26)

V'n.

che vale perché, posto k = max {n,

mI.

ID

e N.

risulta

(25.27)

Per m = 1 si ottiene la limitazione 3 n < bi = 4; aumentando il valore numerico di m si ottengono stime più precise; ad esempio. per ID = 5 si ha (25.28)

a..

< bs =

Gr : :

2.98...•

'v'n e N.

S4

Capitolo J

In particolare si può affermare cbe·2 S an < 2.98 ." < 3 per ogni n e N e quindi anche il numero e. limite della successione crescente ano verifica le limitazioni 2 < e < 3.


26. Infiniti di ordine crescente Con lo stesso metodo utiljzzato per studiare le successioni definite per ricorrenza dimosniamo il seguente: CRITERIO DEL RAPPORTO (PER LE SUCCESSiONI). - Sia a" una a positivi.. b" = a.,.., , a•. la s"ucctnioTU! b. converge ad un limite b < l, allora la successiom: a. a zero. Dimostrazione: per Il teorllma delll permanenza del segllO del pamgrafo 21 (applicato. lilla successione I - b n>, esiste Un indice v per cui b. < 1 per ogni n :> v. Quindi a..1 , a,. < l, ciot &.., < a. per ogni n :> v. 11 teorema sulle suCcessioni monotòQe assicura l'esistenn del limite a, che i!: un numero reale non negativo, dato che la successione i!: decrescente. Supponendo per assurdo Il .. O e passando al limite per Il -t+- nella relazione b• • 1 .. 1'1 •• si ottiene b = ali:: " in contrasto con l'ipotesi b < I. Pertanto risulta a = O.

Applichiamo il criterio del rapporto al confronto delle successioni: (26.1)

log n;

n' .o

,". n" o

n" .

'0

Abbiamo scelto b > 0, a > 1. n simbolo n! (o [attoriale) significa il prodotto dei primi n numeri naturali: (262)

nJ = 1 . 2 . 3 ..... (n - 1) . n.

Per.n ...... + - le cinque sucx:ossioni (26.1) teodono tutte a + _. Possiamo perO dire che sono iIlfinjii in ordille crescente, nel senso che i limiti dei rapporti valgono

(263)

log: n Il'' •• DI Hm _ - = lim - _ fun - : : lim -=0. ........- n' .-..- a" .-._ nl ......._ II·

lo studio del primo dei tre limiti.

Rimandiamo al paragrafo 33 (si veda la (33.9) Riguardo al secondo, poniamo

(26.4)

b. '" &..1 _, ""

(n ')' n

1

,

--t-
Umili di successiolli

85

Dal criterio del rapporto otteniamo che nb/a n -+ O. Per il lerm limite poniamo

b"

(265)

..

a 0+1

O

.

Al'!cora dal criterio del rapporto segue che aU1n1 -+ O. Infine. per il Cjllailo limite in (26.3)

poniamo

o, ,,= -; n"

(26.6)

e di nuovo. per il criterio dell1lpporto: lA successione a.. = nllnn converge a zero per n -+ + _.

27. Successioni estratte.

n

teorema di Bolzano-Weierstrass

Si&
k

N -+ a...

E

a...

prende il nome di sucCessione estratuJ da Ad esempio. se

0lr.

(273)

di mdici pari,

a1,a. ...··.aza:, ... Dir. '"

2k - 1, si oltiene l'eslratla da In di indici dispari: 8[.83 ...···a.a_1.···

LEMMA. - Per ogni .Jucceuione fu,

fil::'

= 2k, la successione estratta da a n di indici 2k.

(272) Se invece

di indici

n.

crescente di numeri naturali, si

(27.4)

Vk

E

N.

Dimostrazione: per k .. I si ha ovviamente 01 I. Inoltre. supponendo valida la (27.4). proviamo dle risulta Ohi k + I, da cui, per il principio di induzione. la (27.4) risulterà vera per ogni k. Per ipotesi 0k+l > 0lt k. ovvero 0lt.l > k e percil> nlt•• k + \.

Dalla (27.4) si ricava facilmente la seguente

86

Cupl/olo 3

PROPOSIZIONE. -

Se a" converge verMI a, allora ogni eJltralla a.... converge

ver.ro a. Dimostrazione: fISSato & > O esiste ko tale che la" - al < per ogni n > .. se k > kuessendo nt 2. k il lemma precedente. si ha anche nt > ko e perciò la... - al < t .

Nel paragrafo 18 abbiamo dimostrato che ogni successione a. convergente è Iimitala. cioè esiste M > O taLe che 1a..1 S M. per ogni n E N. n viceve1'5a non sussiste, ad esempio. la successione a p = (- 1)" è limitata, ma non convergente. Tuttavia sussiste il seguente notevole TEOREMA Dr BOLZAND.WEIERSTRASS. -

Sin a n

linO

Sltcce.!SIone

limitata. Allora esiste almeno una suo /:Stratta convergente.

B

li

Dimostrfll.ionc: per ipotesi la successione 0n R tali che

limilllta; pcrtantll esistono due coslanti A.

(27.S)

"VnEN.

Suddividiamo l'intervallo lA. Bl mediante il punto di meno C • (A + B)n. e cpnsideriamo i due intervalli lA. C], {C. B]. Uno almeno dei due inlervaJli lA. q, le. BI contiene tennini deUII. successione a n per infiniti indici: pifl precisamente. dalo che l'insieme N dei numeri natul'Illi infinito, risulla anche infinito almeno uno tra i due soUoinsiemi di N

(27.6)

In e N:

a. E [A. CII.

In e N:

a..

e IC. 8]1.

Sia ad esempio lA, Cl (oppure (C, Bl) il sottointervallo che contiene termini della suCCCS$ione a n per in6niti indici e indic:hiamolo generiCilmente con il simbolo {Al_ Bll. essendo (27.7)

BI-Ai'"'

D-A 2

Suddividiamo l'intervallo [AI, BI] mediante il punto di mezzo Cl = (Al + 8])12. Per lo stesso motivo indicato in precedenza almeno unÌ) tra i due intervalli [AI. Cd. [Cio Bd contiene lermini della succe!tSione &n per infilliti indici e indichiamo tale intervallo con il simbolo (Al. 8 21; lisulta

(27.8) [terll.ndo il procedimento si geo.erano due successioni AI:. B" (k E N) tali che

Limiti di $lIccusionj

87

"I te N.

(21.9)

(27.10)

"ItEN,

•

e inoltre rinl.ervaUo {Ak. Bt] contiene termini della succesllione a" per infiniti indici. In particolare. l'intervallo (A,. Bd contiene termini della successione a,,; quindi esiste il primo intero ", tale che an, E [ AI ' B, l. Per lo slesso motivo esiste un primo intero fra tutti i numeri naturali più grandi di nlo percuis", e [A 2 • B l ). Itcrando i casi k _1, 2 già trattati, con k =o 3. 4. 5....• determiniamo una successione strettamente crescenle di interi (21.11)

per cui a",. E [Ak • BJ per ogni k e: N. Dato che B t -

= (B - A)I2t, abbiamo quindi

(27.12)

V1c.EN.

Per la (27.9) la successione AI: (ed anche la B,,) f; monotOna e limitata; per il teorema sulle successioni lIlonotOne A" ammette limite finito per t --+ + _. Indichiamo COIl r e Il: il valore di tale limite. Dato che CB - A)I2t --+ O per le. --+ + _. sia il primo che l'ultimo membro della (27.12) convengono ad r per le. --+ + _. Dal teorema dei carabinieri si ottiene allora la coodusione

.......a.. '"

(27.13)

lim

r.

28, Successioni di Cauchy Sia sn una successione di numeri reali. Si dice che è una successione di Cauchy se, per ogni E > 0, esiste un indice v tale che per h, k > v risulti

(28.1) Dimostriamo in primo luogo la seguente

PROPOSIZIONE. -

Ogni su.ccessione convergmte è cii COllchy.

Dimostrazione: se a n converge \leno a allora, per ogni Il > O. esiste v tale che (28.2) .

"In

'>

V.

88

Cnpitofo 3

Dalla disuguaglianza triangolare segue allora, per h, k > v.

(28.3)

a,,1 s

Ill t -

, , al + la -lIt.! < 2" +2"=

L

Per dimostrare che, viceversa, ogni successione di Cauchy è convergente, premettiamo alcuni lemmi.

Il Dimostrazione: sia

E =:

l; per ipotesi esiste v e N lale che

la t

(28.4)

-

a,,1

'r/h.k>v.

< I,

Fissiamo un indice ho > v. Allora, dalla (28.4). per le propriet! del valore assoluto, segue

(285)

alt" -

'f/k>v.

l < fl t < 01\, + 1.

PostQ

A = min la, •...• ak

•

a"" - 11.

B

=:

max la l

••••• tl.t •

alt" + li.

evidentemente risulta

A.s:a...s:B,

(28.6)

V k

E

N.

c pcreib la 1''CCHSione è limitata.

LEMMA 2. - Se una successione di Cauchy a.. contiene un'estratta conW!rgente lIU30 r, aUoTa anche ali ver30 [.

fissato

€

> O sia v El M tnle che

(2&.1) IOk - ahI < ffl.. Sia inoltre te > v tale che

(28.8)

(28.')

a...

lo... - rl < eI2. si h,a: 0r.:.?: ko > y (si veda la (21.4)), per ogni n > v risulta

, ,

la,. - 'rl s I a" - a••.1 + la..... - r\ < 2" + 2 ;;::

E.

CAPITOLO 4 LIMrI1 DI FUNZIONI. FUNZIONI CONIlNUE

29. Premessa Consideriamo la funzione

l(x) ; s.n x •

(29.1)

x

che è definita per ogni x E R - IO}. Allo scopo di disegnarne il grafico, osserviamo preliminarmente che -1 sen x.s l per ogni x E R; dividendo tutti i membri per x otteniamo l

1

- - ,; l(x) ,; - • x x

(29.2)

y

'r:;J

x > O.

•E "

I

i••

I \Y=

\

\ \

,

....... -

/21l:

.èr.

4"

_+__"'-, O h---:-!

-" /

>.------

I

I

,

1

/y=-X Figura 4.1

x

92

Capitolo"

< U si ottiene la situazione analoga 11x SO f(x} SO - 11x; comunque, e$sendo f(x) una funzione pori (cioè f(- x) = f(x) per" ogni x E R -IOJ), è sufficiente studi&11le le proprietà per x > O, ripor"llI.ndo poi il disegno andJe per x < O, per simmetria rispello all'asse y. li:

I....e funzioni y = -. Ux e y = l/x, che appaiono nella stima (29.2), hauuo per grafico dei rami di iperbole, come in figura 4.1. Tenendo conlo del segno di f(x), che per x > O è lo stesso segno di sen x, si ottiene per f(x) un grafico come quello disegnato con tralto continuo in figura 4.1. n disegno è significativo per x sufficientemente grande; è invece indetenninato per x è "vicino" a zero. Ricofdiamo cbe la funzione t(x) ip (29.1) non è per Ko '" O, cioè non t,calcolabile ({O). Invece t possibile r::alcolare valori di C(x) per x "vicino" a zero; ad vale la tabeUa

• t(x)

nl3

n/'

nl6

Or '" 0.82...

2i' .. 0.90...

- • 0.95...

nfl

•

313

- '" 0.63... n

n

3

•

e, con l'uso di una calcolatrice, si ottiene (ad esempio) ['ulteriore tavola di valori

C(x)

-+__0.::,000='=-_1

0_.'

0_.01

0.9983341...

0.9999833...

___ x

Nelln Ulbefln prccerknu IOnO slori

0_._,,0.,,00,,1_._ •.

0.9999999...

,

sujficiulJenun1c vJci,,1 D Xo • O? Uno, Jtue, tre o otto valori di x non sono _ in assolu!Q - cl! vicini nl!: loclani da zero. CeTllUJlentc, :sulla base delle pTecedenti tabelle s.i pub intuire che t(x), per x vicino a zero, assuma valori vicini al numero l (f(x) assume valori del tipo 1 - L, con e > O "piCcolo"). NOQ pero possibile escludere che, pcT x ancor:a pii). vicino a XQ = O rispeno a&li ono valori &ii considerati, f(x) cambi comportamento. 'l'Dlori di

li:

Una (onnulazione rigorosa del ct>mportamento di f(x) per x "vicino" ad x" si ottiene nel modo seguente: si considera una tabella ide31e, illimitata a destra, del tipo

x

X,

t(x)

Y, '" C(x,)

"

x,

Y2 '" C(xt>

Yl '" l(x)

... ...

...

...

Cioè, si considera una generica successione X n che converge ad Xo (xn è "vicino" ad Xo se n "grande") e la corrispondente successione Yn. costituita

Limiti di fttflz:iani. F/.lnz:ioni continue

93

dai valori assunti dalla funzione f(x) (y" = f(x..). \j n E N). Se .y" converge ad un numero ree se il numero rnon cambia qualunque sia la successione x., che converge ad Xo) allora si dice che la funzione t(x) ammette uguale ad r, per x

--io X().

Torniamo all'esempio deJla funzione ((1:) in (29.1); si è già verifieato (si veda il limite

(23.17» che (29.3)

*

qualunque sia la lucc:essione x.:- cllc converge a XcI _ a (con x. o, V n e N). 111 accordo con quanrci detto $Opra. in termlai di limiti di funzioni la (293) equivale a dire" cile C(x) ba limite r - 1 per x .... O; in simboli Iim" [(x) :: lim !en x

(29.4)

.-HI

.-i'O

1.

X

In figura 42 riportalo il grafico della funziooe x)/x; la funzione non definila per O (nel graf'lCO C!Ò stato evidenziato con Wl "tendino" vuoto); perb la funzk)ne hA un comportamentO regolare anche nelle vicinanze di Xo _ O ed i valori y 1l5sunti da'f(x) sono vicini ad , - l quando li: t vicino Xv - O.

re. -

•,, f(x)

x

-./

\ y-+ •

1 7r 2

/-

, I

/

--

-q-

_-

---

----

Figura 4.2 Viceversa, anche se la struttura analitica pub sembrare a prima visla s.imile, il (29..5)

. l ,uus.en-

non

x

(si veda la (325)). In figura 43 riportato il gnfico, eseguito al computer. delh.. funzione sen(1Jx). Si noti in particolare il componamento caotico della funzione nelle vicinanz.e di Xo _ O.

94

Capi/ClIo 4

y

x

figura 43 - Y • sen (Ux)

Nel paragrafo che segue formalizziamo la definizione di limite di funzione secondo le idee sopra esposte.

30. Definizioni ,Si definilll:e il limite di una fun2:ione [(x), per x che lendl:: ad xQ fiO R, nl::l caso in cui xo risulti un punto di accumulazione per il dominio di f(x). In generule uo numero reale Xo si dice punto di accumula.zione per un insieme A c R se in ogni mtorllo di xo. in ogni insieme Ix e R : XcI - 6 < x < XcI + 61. COIl 6 > O, cade almeno un punto di A distinto da X(). Nel prO$ieguo del capitolo vengono prese in considerazione soltanto funzioni il cui dominio A cO$titui!O da un intcrvallo (o dall'unione finita di intervalli) e Jro, punlo prescelto per il calcolo dci limite, appartiene ad A od un punlo di frontiel'l per il dominio A (ad esempio XcI un estremo dell'intervallo A nel caso in cui A appunto, un intervallo di numeri reali); in entJllmbi i casi Xo risulta punto di accumuJazione per l'insieme A.

Se a, b sono due mimerì reali (con a < b), per indicare un intervallo di estremi a, b si usano le notazioni:

(30.1)

[a, bl

(30.2)

(a, bl = Ix e R: a < x < bi;

(30.3)

[a, bl - Ix e R: a

(3Q.4)

(a, bI

{x e R: a < x < bi;

x < bi;

{x e R: a < x

bi.

Limiti di fundonì. FWI;{wllì contimU!

9S

L'intervallo [a, bl si dice chiuso, mentre (a, b) detto aperto. Inoltre [a, b) è detto chiuso a sinisrra e aperto a destra (analogamente per (a, bl); gli intervalli sopra scritti si dicono limitati. Si considerano anche gli intervalli illimitati: (30.5)

[a, +00)

= Ix E R: x > al;

(30.6)

(a, _)

Ix

E·

R: x > al;

(30.7)

(- -, bl

-

Ix

E

R:x"b];

(30.8)

(- -, b) -

Ix

E

R: x < bJ;

(30.9)

(-

R.

-,

+ -)

Come già detto. i nwneri a, b sono detti dell'intervallo (anche nel caso in cui tali numeri non fanno parte dell'intervallo). Un intorno di un punto Xc è un intervallo aperto contenente xo. ad esempio un intervallo del tipo (xo - 6, Xo + (j) (più generalmente, viene considerato intorno di un punto Xo ogni insieme contenente un intervallo aperto contenente Xo). Nelle definizioni che seguono consideriamo funzioni f(x) il cui dominio A Ul1 intervallo, o è unione finita di intervalli, e Xo appamene, od è estremo, ad uno di tali intervalli. Ad esempio, se f(x) è definita neU'iJuieme A '" R -101. allora risulla A ,., (- -, O) u (O, + -); in Iai caso XQ. punto prescelto per il calcolo dellilllite, può appartenere ad uno dei due intervalli (- _. O), (O. + -) oppure può essere uguale all'estremo O. In definitiva, in questo esempio. Xo pu() essere un qualunque numero .reale.

Si diu che f(x) ha limite uguale ad r (tende o converge ad per x che tende ad Xo s(!, qualunque sia la successione x,. Xo, con x,. E A e ,X. DEFINIZIONE. XI)

per ogni

n.

risulta f(x.,)

-t

r.

11

*"

Secondo questa definizione la relazione (23.17), come già detto nel paragrafo precedente, diventa: l · seo" =. (30.10) l 1m HO

X

Co,l pure le relazioni (23.13), (23.14) diventano' (30.11)

lim scn ,;.

x = O;

Liro cos x = 1.

,.....

96

CUpilQ{D 4

Possiamo formuJare la definjzione di limite direttamente per mezzo di disuguaglianze. come già fatto per le successioni, usando i simboli E,. v. I siInboli usati classicamente per i limiti di funz.ioni SODO e, i5 (delta) nel modo seguente: TEOREMA. -Si ha

....

lini f(x) = l' se esolcanto se, qllillunqwsi/l e > 0, esiste un

ruunero 6>0 taki:he l'-e <: (x) <:t+ E,per08nix"e A-IXbl, con X'o-6 <: x <: Xo+ 6.

Il teorema, che pub essere enunciato in simboli Hin l(x)

(30.12)

<=> .... > O, 3 6 > o: ll(x) - 'I < s, "'xe

dimostrato nel seguente paragrafo 31. Valgono analoghe definizioni per i limiti infiniti. Cosl ad esempio:

(30.13) lim l(x) = +

...

<=> ..... -+ "o," e A-I"o'''' neN=>f(x,,) " ••; <=> ' O, 36 > O: f(x) > M, "'xe A

.-

(30.14) lim f(x)

.-

t

(30.15) lim f(x) = + -

<=::> 'v'E'> O, 3 k: If(x) - rl

< E, 'v' x E A: x > k.

<=> ... X, -++ -. x" e A, "'n e N=> l(x,.)

I l •• ;

'v'M >·0, 3k: f(x) > M, 'v'x e A: x.> k.

n

lettore, tenendo conto della definizione (1721) relativa alle successioni che tendono a formuli i casi corrispondenti con al posto di + -. È utile considerare anche i cosiddetti limite destrfJ (x -+ xet) e limite sinistro (x X()-), quando ci si avvicina al punto Xo per valori eli x E A rispettivamente solo maggiori di "o. o solo minori. Consideriamo per brevità solo i casi di limite r finito (illettoce formuli i casi con limite infinito): 00,

00

Limiti di /ull[ioni. Fltllziorli toritinlle

(30.16) tirn f(x) =

,,-. .:

r

=

'V x" .... "o, x" E A e x" > "o 'V n E N.=> f(x,,) .... 1;

=

'Ve > O, 36 > O; If(x) - rl < e,

97

'Vxe A:.Xo
(30.17) lim (x) = r ,,-. l;

Xc, Xn E A e xl. f(x n) --t r;

'V

=

'Ve > O, 36 > O: If(x) - rl < e,

--t

'Vxe A:.X(l-6
Ad esempio, è facile verificare che tim = -l; ....... x

lim Ixl = l;

(30.18)

..-+0+

X

. Ixl }•rn-

(30.19)

non esiste.

•....., x

31. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni Le seguenti relazioni (31.1), (31.2), di cui pro"'i.amo I·equi....lenza, SODO stare adottAte Del paragrafo 30 come dèfinizione di limite (finilo) di una funzjone. Come nel paragrafo 30, f(x) t definita in UD insieme A costituito da UD interVIIUo o da una unione finita di intervalli e Xo è un estremo di uno degli intervalli; la situazione piO. generale prC$l1 in considenuione nel paragrafo precedente, in cui xo è punto di Ilccumula:ziooe per il dominio di f(x}, non presenta differenze.

!TEOREMA. l (31.1) (31.2)

u

seguenti relationi sono

x" e A -

'V'E>O.3lI:>O: xeA.

fra

l"
loro equivalenti (Xo. t", R):

f(x,,) -) r;

N

==

If(x)-tl
Pro",iamo preliminarmente (31.2) implica (31.1): per ogni E:> O. sia > O il numero reale per cui vale l'ipotesi (31.2); considerillmo poi una geoerica successione xn• di punti di A, convergente ad XQ. con x" it XC per ogni n e N. Per la definizione di limilé di s"cauione, esiste un indiu ... per cui Ix" - xoI < li per ogni n > "'; inoltre. essendo ;1[" "" K(). in definitiva si ·ba

98

Capitolo 4

(3L3)

Vn;> v.

Per l'ipotesi (31.2) segue allora Vn ;>

(31.4)

'V,

che, in base alla definizione di limite di successione, significa che f(x lI ) -> r per Il --l + -. Proviamo om, per Il8surdo, che (31.1) implica (31.2); contraddire la (31.2) equivale ad aflelmare cbe; (3l.S)

3

e.1

Poniamo 6 ,. l/n, con n dipendenza da II = 1/n: (31.6)

o:

;> E

V5 ;> O, 3x

E

A:, O '# Ix - X!J I <::: 6, It(x) - l'I

N e indichiamo con x '" Xn il valore di

li

che I:Ompare in (31.5) in

I

x,. - Xu I < - , lt(x.) -1'1

3 ;> O: Vn e N, 3 x" e A: O... I

eu .

"

Eu •

Risulta in particolare l l XjI--
(3L7)

"

"

'Vn e N;

perciò x" E A - (xol 'Vn e N e x" -> Xo (per il teorema dei carabinieri); però t(x.) non converge ad tperchf la disuguaglianza If(x.) - tI CD, \fn e N, contrasta con la definizione di limite di successione.

Il lettore, per esercizio, riformuli le relazioni (31.1), (31.2) con Xo e/o t infiniti (come nel paragrafo 30) e ne provi l'equivalenza. 32. Esempi e pl"Oprietà dei linùti di funzioni Esempi di..1imiti molto importanti, e che quindi occorre sapere bene, sono i limiti della funzione esponenziale che derivano dallirnite di sione (23.1):

+ (32.1)

Hm

al(:=

x->_

se

{O

se

a> 1 O
In particolare per la base e, dato che e--x = , si ha: (32.2)

-

lirn

,.....

+ 00;

lim

- ...

1 e- - lim - = O.

Limiti di funz.ioni. Fllnzioni

99

Il lettore controlli graficamente i limiti per x -+ :::t:.... della funzione esponenziale dai grafici riportati nel paragrafo 9; controlli graficamente anche i seguenti importanti limiti della funzione 10g x (in base e):

._-

100 log x:=:+ DO;

(32.3)

Verifichiamo che invece (32.4)

lim 10g x:=:-- "".

1

limiti

lim cos x,

Liro seo x,

H_

•

II

non esistono.

Umitiamoci al primo dei due. Se esistesse il limite _ r, dovremmo avere che' sen x" tende sempre allo stesso valore r qualunque sia la successione Xn -+ + .... Mostriamo che esistono due successioni. x" r:". divergenti a +-, con la proprietà che sen x" e sen K' tendono a limiti diversi. Infatti. ponendox" '" 2nn, K'. . . 21m + 11/2 • rilulta sen x" = O - f O. mentre sen X'II = I - t 1.

Analogamente l li m sen--

(32.5)

.-.0

non esislt!.

X

La successione X n '" I/(nn) conterge 8 xero per n -+ + -. in corrispondenza 18 funzione f(x):-; sen(l/x) asspme i valori

l f(x.) '" sen - = scn(rut) = O.

(31.6)

"

Perciò f(x.) la sUccesJione costante, uguale a 'Uro. e converge Antllogamente. poslo x'n = 1/(11/2 + 2n,.;). risulta C(III:'.) '" sen

(32.7)

li

zero.

.2- "" sen (J't + 2nn) = 1; ""

2

quindi :l'" - f Q ma f(:l',,) --f l (in contrasto con il fallo che f(x.) -+ O). Ne segue che f(x) non llffimclle limite per x - t O (si veda il grafico di r(",) in figura 43).

Altri limiti notevoli, conseguenza deUa definizione di limite çli fuozione e dei limiti di successione (25.3), (25.4), sono (32.8)

liro

(1 + l)' = e; x

liro

.-+__

(1 + I)" = e. x

100

Copitolo 4

Dato'che i limiti di funzioni sono definiti..a partire dai limiti di successioni.. anche per essi valgono le proprietà già dimostrate per i limiti di successioni. Dal paragrafo 19 deduciamo le:

I

OPERAZIONI CON I LIMITI DI FUNZIONI. - li limife della somma, diffefV!zo. prodotto, qitoziente di due funzioni è rispettivamente uguale olla .romma, differenzo, prodouo, quozienre (se il tUnominotore è dillerso dA ;zero) dri due t[miti. purché non sia 11M dei/e farine indetumin.att! <>o - - , O . -, -1-, 010.

Ad esempio dimostriamo che il di un prodotto e uguale al prodo!to dei limiti. Supponiamo che per li" --. Xu risulti t(x) --. ti' g(x) ..... t2_ Ciò significa che qualunque iia I. successione IC .. che tende ad xo. con XII e A e x.. Xo "I n e N. risuhi f(x,,) --. ti , g(xJ ..... t1 _ Per la (19.2), che esprime il modo di calcolare il limite del prodolto di due su.ccessioni. rUUh3 f(x.} - g{lI",,) ..... ti . t1 c ciò completa la prova.

Come applicazione calcoliamo il limite, per x O, del rapporto (l - cos x)/x? È Ulla forma indeterminata 010. Moltiplicando numeratorc e denominatore per (1 + CO! x) otteniamo

lim ......

-è . \ = lmJr-tO

(32.9)

:=

lim

l-cos1 x _ tim ,,--.o il (l + cos x)

l-cosx_

(seo X)' X

sen2 x -"

(1 + cos x)

1l

1

1

lim,,-o 'l-+:-:C=OS:-::X - 2 .

Il lettore verifichi che, con lo stesso metodò, si ottiene Hm l-cosx=O.

(32.10)

......

x

Una u1ieriore prOprietà utile per le applicazioni la seguenlc..

LIMITI DI fl/Jlzioni tati dIe

COMPOSTE -

I

Siano g:X -+ Y e f:Y -+ R dl:l

Umiri di ji/llzìoni. Fllntiolli cOI1(inue

(32.11)

lim g{x) = Yo '

tim f(y) = ",

ed esista 6 > O wie che rimiti g{x) + .&). Allora è .anche

'T-

Yo per ogni x 'T- Xo delf'intervaIio.(Xf) - 6, Xo

lim f(g(x» =

(32.12)

101

r.

I

I

Dimostrauone; consideriamo una generica successione x" convergente ad X(I' con xn e X e XII 'T- xI) pcr ogni n e N. Per la definizione di limite di successione esiste v tale che Ix" - xIII < 6, per ogni Il :> v. Perciò, per ogni n :> v risulta unche g(x n) "Yll' Dato che Yn - g(x,,) è una Slla:essìòne contenuta in Y che converge Il Yu ed è bile che y,,;o' Yo per Il :> v, ollora f{YIl) -t Cioè f(g(x,,» -t r, come si voleva dimostrare.

33. Funzioni continue

Come nel paragrafo precedente, consideriamo funzioni f(x) definite in un dominio A costituito da Wl intervallo, o dall'unione finita di intervalli, con Xo punto di A o punto estremo ad uno degli, intervalli costituenti A. Abbiamo introdotto i limiti di funzioni per descrivere il comportamento di funzioni nelle vicinanze di loro pq.nti singolari. Naturalmene possiamo calcolare il limite, per x -+ Xjj. anche se la funzione non presenta alcuna singolarità in Xo. Ad esempio abbiamQ già calcolatò in (30.11) i limiti (33.1)

lirnsenx=O=senO;

HO

limcosx:=l:=cosO; HO

il valore limite, per x --) O, è uguale al valore che si ottiene calcolando la funzione per x := O. Si dice che le funzioni sen X, cos x sono coniim,e per x = . . O (ed in realtà sano continue per ogni Xo E R) in accordo con la: DEFINIZIONE. (33.2)

Una funzione f(x) è continlla in un punto Xo se

lim f(x) = f(xo)

.-t••

Unafunr.ione è continua in un intervallo (a, bl se èconfinud in ogni punto Xo E [a, b] (se Xo = a si considera in (33.2) ilsoJo limite destro x -t a+, mentre se Xo = b si considera il limite sinistro x , b-).

Capitolo 4

102

Dato che il limite di somma, differenza. prodotto è uguale rispettivamente alla somma, differenza, prodotto dei limiti, risulta che la somma, la differenta, il prodotto di funtioni continue è una funzione continua. Anche il quozienle di fu.nzioni continUI! è una funzione continua, ma come al solito occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla. Utilizzando la proprietà relativa ai limiti di funzioni composte (si veda il paragrafo precedente) S1 verifica che la funzione composta mediante funlioni conCinue è cOI.tdnuo. L'importanza delle funzioni continue è anche nel fatto che molte lioni elementari sono continue nel/oro insieme di definiz.ione: poteI12e y = xb , esponenziali y = a"\ logaritmi y = log. x, funzioni trigonometriche y = sen x, y == cos x, y = tg x, valore assoluto y == Ixl_ La condnuilà ed altre proprietà delle potenu. esponenziali e logaritmi verrà esaminala nel parugrafo 76. La continuitl della f(x) = Ileo" nel punto Xo E R si esprime con la

relll7.iOne di limite

.

lim seD x = seo Xci •

o, e:quivalc:ntemenle, con la relaxione di limite

.

lim seo (lCo + h) = sen "o •

(33A)

che è consegueD%ll della formula di addizione per il seoo e dei limiti in (33.1); infatti: lim sen{Xo + b) • lim (seo Xo oos h + C08 Xo sen hl =

11-+0

11_

(33.5) '" seo "ti. Hm cos Il + cos "Il" Iim sen h '" sell Xo •

Il lettore provi in modo analogo che, qualunque sia Io l;: R, cos:.: converge a c:os XC per I .... XQ. La c:ootinuili della Nm:ione f{x) _ tg x _ un xleos:c.. per x 1tI1. + bi; (k E Z), discende dalla_ conliliuilll delle funzioni.sen x. cos li: e dalla fonnula per il limile del quoziente. l;a continuilà della funzione f(x) _ 1:.:1 su R segue dalla disuguaglianza: (33.6)

IIxl - Ixoll s Ix -

basla infatti porre ti = E oeUII relazione di limite (30.12): se 1f(1) - '" Il:.:! - \lrJ1 <

Ix - xoI <

s allora anche

Mostriamo Con d\le esempi l'importanza del concetto di continuità per

eseguire calcoli di limiti. Usiamo III. continuità dellll. funzione polenn x b per calcolare, a partire dalI. (32.8), il se&tJellle limite nolevole {poniamo y = {bX,-1 e coasideriamp il caso b :> O: se invece b < O

Limiti di funzioni. Funzioni

l03

oecolTe cambiare il segno:!: con il scgno ::0::; infine se b - O il risultato è ovvio): (33.7)

Utiliniamo ora la rontiuuitl della funzione log x per:ll '" l, (23.8), il limite nOlevole: log n n

Hm

(33.8)

..-.-

- :

ottenere, a partire dalla

-

!im

.....

Per comprendere la prima uguaglianza, si riveda la proprielà (9.16) dei logaritmi. Analogamente al limite precedente, dato che log n • (1Jb) log nb, si ottiene

, l1m

(33.9)

..-.-

log n

n

Vb> O.

34. Discontinuità La funzione

se x > O

(34.1)

se x < O

*

centinua per x O, ma non è continua se x = O. li grafico di questa funzione presenta per x = O·un salto, appunto una discontinuità (figura 4.4).

I.'K
• • • •• a•• •

••

-

1 K

-1

Figura 4.4 In particolare 18 funzione f(x) in (34.1) non è continua nel punto Xo = O perch6 non è de6nita in tal punto, cioè percM non esiste il yalore f(Xo) = l(O). Estendiamo l(x) anche a xo = O con un valore r R; consideriamo cioè la nuova funzione l(x) definila da

10:4

Olpitolo 4

• Ixl f(x)

X

m

(

x.o

r

la fuorioue f(x) è definita anche nel punto 'lo : O. IDa non! continua in t&le punto perché non esiste il limite per x - t Xo di f(x); precisa"11Cnte il limite destro è divetw -1al limite sinistro. Tuno cib accade qualunque su. il valore rscelto in (342) per la defioizkJoc di f(x). che risulta una utvuione non.conWu.la (o prolungamento non con/Ùluo) della funtiooe f(II:); inoltre la discontin\!itl di f(x) Del punto Xo - O si dice Ilon eliminabile. la funzione nel paragrafo 29: t('Il) _ se"

(343) non è

II

X

hi.

jn Xo "" O (perché non è definita), ma è possibile prolWlgarti

co/ltimlirb t(x)

f(x) • " "

(34.4)

l('Il) ""

X

x

{

x",O

1

A causa del limire. DOtevOIe (29.4). l(x) è continua. anche nel punto .a:o = o. 11 grafico di !(x) si ottiene "completando" il disegno in figura 4.2 con l'ulteriore punto di coordinate (O, 1).

Sia f(x-) una funzione definita in A e Xo un punto di A. Le discontinuità di l(x:) si classificano nel modo seguente: (a) la funzione presenta in Xt:t una discontinuit1J eliminabile se esiste il li.rnite di {(x) per x --t Xo e risulta (34.5)

hm

.;

.

In tal caso, pos[Q t", tiro f(x) .;

f(x)

(34.6)

I(x) = { f

risulta continua nel punto

Xo-

f(x)

l

f(x o).

la funzione se

se

x '" Xc

Umiri di fun:doni. Fllnr.ioni continlle

105

(h) la funzione f(x) presema iD Xo una discontinuità Ji prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro di f(x) in Xl) e si ha

(34.7)

lim

f(x) '" lim

x-+. X;

f(x).

........ ..:-

Ad esempio la funzione f(x) '" (x} partt Ùlura di x. definita io (23.11) c npprescntala in figura 4.5, presenta discontinuità di prima specie 10 conispoudcnza ad ogni valOTe li; e Z. mentre continua per ogni x E R - Z.

4

, io

ri

3

y. [xl

I

,

,

,• f

1

2

:

I

I I

,•i

6

o

,

I

i

,

i

2

3

o

,,i

I

:

•

1

o.

Ii

I

I

•

•

rl

2

o

-•-i

:

4

•

• I

(c) La funziQne f(x) presenta in Xo una discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti

(34.8)

lim

f(x),

lim

l(x)

non esiste oppure è infinito. Sia A un intervaUo (o unione finita di intervalli), Xo e A, e f(x) una funzione defjnita in A - fxo}; se esiste il limite (34.9)

lim H'o

f(x) ==

r,

106

Capitolo 4

allora la funzione l(x), definita in A da

(34.10)

l(x) !(x) = { r

se

X E A

se

x = Xo

-

{xal

è detta prolungamento per continuità di f(x) in Xo; r(x) risulta continua in "o.

Se poi f(x) è continua in A - lXoI, allora l(x), continua su tutto l'insieme A, è detta prolungamento per continuità di f(x) su A.

35. Alcwli teoremi sulle funzioni continue Il teorema seguente è analogo al teorema della permanenza del segno (paragrafo 21) peI le successioni. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO. -

Sia f(x) una funzione definita in un intorno di Xl) e sia conrinua in "o. Se f(Xo) > 0, esiste un numero & > O con ia proprietà che f(x) > O per ogni x E (Xo b, Xo + b).

La dimostrazione si fa come nel paragrafo 21: dato che f(1I0) > O. possiamo scegliere t: '" f(Xij)IZ; esiste quindi un numtlw O > Oper t;Ui lf(x) - f(xll)1 <: r(xo)'2 per ogni x nell'intervallo Ix - Xnl <: b. Ciò equivale D - f(xo)12 <: [(x) - <: ; in particohrre

(35.1)

le,,)

[(,,)

f(x) > f(x,,) - -2- = -2- > O.

Molto importanti sono i tre teoremi che seguono: il teorema. dell'esistenza degli zeri, il teorema dell'esistenza dei valori intermedi ed il teorema di Weierstrass sull'esistenza del massimo e del mimino. TEOREMA DELL 'ESISTENZA DEGLI ZERI. - Sta f(x) una funzione continua in wt intervallo [a, bl- Se f(a) < O, f(b) > O. aliora esiste Xo e (a. b) tale che 1(,,) • O.

Naturalmente la tesi vale anche se f(a) > O e f(b) < O; cioè il teorema dell'esistenza degli zeri vale supponendo che i valori t(a), t(b) siano di segno discorde. La dimostraziorie del teorema è riportata nel paragrafo 36 che segue.

Limiti di funzioni. FUlliioni continue

107

Per mostrare la portata del teorema., consideriamo come_esempio le seguenti due equazioni neUa incognita x

135.2)

r+x-l=O.

(35.3) che non mulTano tra le equaziOfli algebriche di primo e secondo grado di cui facile ricordare la lonnu1a risolutiva. La prilna delle due equazioni una rqutJt.lonr olgrbriar. di terzo grado. mentre la seconda l un'rquazione lTtJSct!ndenu. Procediamo per tentativi. assegnando ad li: alcuni valori:

x

-2

l(x)_xJ+x_l

-11

• f(x)::e+x

• -> -2

•

-I

O

1

2

-3

- l

1

9

1

• +l

. -,

-

1

,

e. +- 2

Nel caso I(x) = xJ +- x - l, abbiamo 1(0) c:: C. t{l) :> O. In b8Sc al teorema dell'esistenz8 degli zeri, esiste un numero :\:0 nell'intervallo (O, I) tale che f(XO} = O; Xo è una soluzione deH'equ!lzione (35.2). Nel paragrafo 36 vecUemo come, call:olare numericamente tale radice, e troveremo che Xo - 0,682327... Nel 5Ccondo esso f(x) = e" + x, risulta f( - l) = lìe - l <: O, f(C) _ 1 > O. Quindi esiste neU'interValio (-l, O) una radice Xo dell'equazione (7.3). Nel paragrafo 36 troveremo che :: - 0.567143... Notiamo che esiste una fommla risolutiva per le equazioni di teno pdo. che dà come sohni.one reale dell'equazione (352) il numero (35.4)

x,

+

+

-

= 0682327.

Viceversa. non è nota alcuna fOJ'Dluta risolutiva per l'equazione (3.5.3).

Appli.l:hiamo ancora una volti il teorema deU'esistenza degli zeri per dimostrare una proprietà utilinatn nel paragrafo 9: per ogni )lo O 6iste Wl ruUtluo retJk XcI, O ckU'rquazione

135.5)

x" ::

.

Ricordiamo che, essendo la fuluione f(x) '" x" streUamente crescente per x :> O, un tal numero ltO l unico, e to abbiamo chiamalo rlldice n-esima di 1'/0' Dimostriamo ehe l'equazione (35.5) ha solutione: se)/o" C naturalmente è Xo - O. Se Yo:> O poniamo t(x) 'If!' - Yo; risulta f(O) ,. - Yo c:: O; rimane da trovare un punto dove la funzione f è positiva. Se Yo < 1, allora f(l) = 1 - Yo > O e quindi esiste UDa rndice Xo nell'inlerval1o (O, 1). Se invece Yo :> l. allora f( Yg ) "" Yo - Yo '" Yo ( }'Q-l - l) :> O; quindi in questo caso esiste una radice nell'intervallo (O, yo). [nfine se )/0 .. l basta prendere Xo • 1.

108

CapilOlo 4

(pRIMO) TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI lNTERMEDLUntJ fun{.wne conlmWJ in tU1 inurvallo [a. hl tw'wne tulli i valori comprt!.Si tra f(a) "(b). Dimostrazione: per semplificare nolazioni consideriamo il C8SQ in cui {(a) S; f(b). La tesi nel provare che, qUlIlunqull: iin YIl E [f(a). esiste Xo li [li, bl lale che f(Xnl •

,.

Se Yo = f(a) $1 pub porTe Ilo - a; anaJolDmente se Yo = f(b), alk>n basta prendere Xo = b.

Uer trattare il caso fO e «(a). f(b)} consideriamo 18 funzione (35.6)

'r:f

g{x) = f{x) - Ya •

lt

eri. bi;

eiSCndo f(a) < fO < f(b). risulta

g{A) = {(a) - Yll < O,

(35.7)

Per il teorema dell'esistenze degli f(Xn) - Yo·

g(b)

= f(b)

- Yo

;> Q.

esiste un numero xn e (a. b) tale che I(X(!) = O, cio!.

TEOREMA DI WEIERSTRASS. - SiCJ l(x) wuz jiul7:kml: cotttlnlU! in. un interval/Q chiu30 l: lim1l/1to [a, b). Allor.a f(x) anumc rrnusimo c minimo in (a, bl, esistono in [a, bl xl> Xz tali che

v

l(x,) S l(x) S l(x,),

X E

[a.

bl

I Dumeri Xl. OODO detti rispettivamente punJi (li m!nimo e di massima peT f(x) nell'intervallo [a,b]; i corrispondenti valori m = f(XI) e M = ((xi) sono detti minima e massimo di f(x) in [a., h] (si veda la figura 4.6).

f (x)

M

----------

I I I

I m

I

--l-

I

•

I

I

I

,

x, Figura 4.6

•• • i

I

•

I I I

I I I

b

x

Limiti di fumioni. FIUI::ioni coruirule

109

Il teorema di Weierstrass è dimostrato nel paragrafo 37: in questa sede ci limitiamo a mettere in luce con degli esempi l'importanza delle ipotesi (funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato) che garanti· scano l'esistenza del massimo e del minimo. Consideriamo per x > O la funzione I f(x} = - ;

,

(35.9)

f(x) !lO/l a:mlme mo.ssimo nell'intervallo aperto a sinistra (O, l]; infatti non !.imitata supe· rionnente in tale intervallo: 't;f M > O risulta r(x) > M se ll. E (O. 11M) (si veda la figura 4.7). La funzione !lOti assume minimo nell'intervallo iUimitato (l, +""); la 'funzione è limitata in tale interVallo percM risulta (si veda anche la figUl1l 4.8): I

,

v x 1;

O<-SI.

(35.10)

perb O non è il minimo di f(x) in [l, +-) perch! non eliiste alcun valore xi 11m.

,• y

t(x)=

••,•

•

i•

conXE (0,1)

\

I

M

:,

••

---

Figur. 4.7

La funzione f(x) • x'l

o

con x e (1,<»)

M

,

"-•••" •• •"•

f (x) le

y

,

\

,

\

,,

_ _ _o

I

,-

m

-------t-------- . 1

1

x

m Figura 4.8

massimo e minimo in ogni intervallo chiuso c limitato [I, bl, in particolare ncll'intervallo [- 1. 1). Invece la CUD'Zionc g(x), rappresentata in figura 4.9 e definita da

110

COpilolo 4

-.. • •_.•"'

y

•

•

•

1

, Figura 4.9

"

(35.11)

x e (-

l, Il - 101

non CliSIINle minimo neH'intervallo chiuso e limilato [- l, lJ perché assume valori p091tJVl arbitrariamente vicini 11110 zero (g(x) Oper lf"""'* O) ma non è uguale a zero per alcun valore di x e (-'-1. I]. ln questo caso la mancanza del minimo è causala dalla digoontinuità di g(x) nel punto )(0 = o.

y Y=X-[lf]

/ -2

3

x

Figura 4.10 Per 1li. gua diScontinuità in corrispondenza ai numeri x e Z, la funzione plirte frazionaria, rappresentata ln fie.ura 4.10 e definita da (35.12)

l(x) = x - [xl,

x e R,

Limiti di flln'l.iolli. Fllm.iOni continue

tU

([xl!. la parte intero dì x. rappresentata in figura 4.5). non IllJ m4Dimo iD un qlla1unque iutervallD che c:onteng,a almeno uro numero intero.

Siamo ora in grado di provare una nuova fonnulazione del teorema di esistenza dei valori intermedi. (SECONDO) TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALaRI INTERMEDI. - continua in un intervallo fa, bl assurru: tu.tti i valori comprui tra il minimo ed il massimo. DimoslTlziolle; i valori di massimo M e di minimo m sono iI$Sunti in base al teorema di Weientnl$S: rimane da provare che, qualunque sia Yu E (m, M), esiste X(l e [a. bJ tale che f(xo) = Yo. Indichiamo con XI. X2 i punti di minimo e di massimo di {(x). cioè tali che [(x.) = m. ((X2) = M e consideriamo la funzione

Essendo {(Xl)

vX

g(x) ... l(x) - Yg ,

(35,13)

= m < Yo < M

E

[a,

bJ.

a {(XV, risulta

(35.14)

g(x z) = t(xz} - Yo > O;

per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste un numero "1fo appartenenle all'intervallo aperto di estremi XI, X2. tale che g(Xo) = O, cio!. tale che f(xlI) '" Y&

Chiudiamo il paragrafo precisando un criterio, introdotto nel paragrafo 7, per riconoscere se una data funzione invertibile. La continuità della fuItzione inversa è invece studiata net paragrafo 38. CRITERIO DI INVERTIBll.ITÀ. - Una funzione continua e: strettamente monotòna in Wl intervallo [a, b] è invertibile: in tale intervallo.

la.

Proponiamo la dimostrazione nel caso in cui la funzione f lio strettamente crescente in b]: risulta

(35,15)

t(a) < r(x) < f(b),

'ti x e (a, b);

quindi t(a)!. il minimo della (in [a, bI. l(b) il massimo. Inoltre si verifica come nel teorema precedente che (usume tutti i valori compresi tra rea) ed f(b). Ciel:, per ogni y e (f(a), f(b)], esiste Il.lmeno un x c;; [a, b] per cui f(x) = y. Tale X è unico: infatti. se esistessero due valori XI< X2 distinti tra loro. diciamo Xl < x2. per cui Y = t(XI) "" {(xv. allora dovrebbe risultare anche f(XI) < f(xv. dato che f!. strettamente: crescente. Quindi f;(a. bI"'" (f(a), f(b)] !. invertibile.

Appendice al capitolo 4 36. Metodo di bisezione per il calcolo delle rndici di una equazione In questo paragrafo dimostriamo il teorema dell'esistenza degli zeri, enunciato aU'inizio del paragrafo precedente. Utilizziamo nella dimostrazione il metodo di bisi!zione; si lTatta di un procedioiento costruttivo che, oltre 8 dimostrare l'esistenza di una soluzione di una equazione data, for· nisce anche un metodo per calcolarla. Prendiamo in considerazione equaz.ioni del tipo

(36.1)

l(x) = O,

con funz,ione definita in un intervallo [a, hl Risolvere l'equazione significa determinare tutti i numeri -reali Xo E [a, bl per cui (xo) = O; tali numeri si dicono soluzioni dell'cquaziòne (36.1), od anche zeri della funzione f(x). Se la funzione f(x) è un polinomio, si dice che (36.1) è ull'equazione algebrica. Se f(x) è una funzione trascendente (ad esempio composta tramite le funzioni et, log x, sen x, cos x) allora la (36.1) prende il nome di trascendente. Dna soluzione di un'equazione algebrica si dice anche radice dell'equazione. Per estensione, si usa il termine di radici anche per le soluzioni di eqlla1ioni trascendenti. Ricordiamo le ipotesi det teorema dell'esistenza degli zeri: f(x) una funzione continua in (a, b) e

rea) < O,

(362)

r(b) > O.

Consideriamo il numero c, punto di mezzo dell'intervallo {a, bl, c .. (a + b)/l. Se r(c):>: O abbiamo trovato una radice. Altrimenti consideriamo i due casi (c) :> O, r(c) <; o. Se {(c) > O, ·la funzione l assume valori di segno discorde agli estremi ddl'intervailo (a, cl, mentre se f(c) < O, (e, bl è l'intervallo dove f cambia segno. Indichiamo con [al blll'intervallo da considerare, cioè definiamo;

(36.3)

f" \"

CCC) :> O

r{C) <: O ::::::)

Abbiamo cosllrovato un intervallo [a .. bd, di ampiezza melà del precedente fa, bl, per cui risulta l(al) < 0, fCb.> :> G. Definiamo CI = [al + bl)n e ripetiamo il ragionamento.

Limiti di Olleniamo tre successioni :t n. bll • Cn che per

(315.4)

I

se f(c,.) > O

f(cll) < O

Il

SOltO

FUllzioni conii/Wl!

113

definito:. analognmcnte 311;] (36.3J. do

Se per qualche n risulta f(c,,)= O, ci si fermA perché si è trovala una l'lldice; alhimenti, per costru:cionc. risulta (36.5)

f(o,.) < O,

(36.6)

'fin

li

N.

'dn

N.

Per costruzione, la successione In è crescenle (.III :S aJ :S a, S ... ) cd f: limitata, perché COlllcnul1 neWintervnllo [a. bJ. Per il teorema sulle successioni monotòne lln ainmette limite finito. e sia Xo lale limite; 'onche lA successione b n, espressa mediante la (36.6) da (36.7)

b,=a.+

b-. 2'

•

converge ad Xg per n --f + _. Quindi. ricordando la (36.5). dalla continuità di f si ottiene (36.8)

. . . ._

f(Xo> = lim f(a.)

S;

O;

.4_

f(Xo) = Hm f(bJ

o.

Perciò f(xo) "" O ed il teorema dell'esistenza degli zeri è provalo. Dalla dimostrazione proposta risulta chiaro come calcolare numericamente la soluzione JCo. Infatti le tre successioni 3 m b n, Cn convergono ad JCu. I termini di una qll.B.lunque delle tre success.ioni sono valori .approssimati di XCI; in particolare, i valori di In sono approuimwoni per difetto, quelli di b n sono approssimazioni per eccesso. cioè (369)

'V'o E N.

Dalle (36.6), (31i9) si deduce che l'e.rrore di approssimll%ione che si commette sostitueudo XcI con ali (oppure con b n) e inferiore a (b - a)fl.". Dato che CrI è il punlo di mezzo dell'intervaUo (a n, bnJ. l'errore che si commette neJ1'o.ppossimare xo con Cn è minore di (b a)nn... l. Riprendiamo in considerazione le equazioni (35.2), (35.3). Ci proponiamo il colcolo delle rispettive radici con un errore inferiore a ttr. In entrambi i casi abbiamo un intervallo di ampiezza b - a .. 1; infatti nel primo caso (a, bJ "" [O. lJ, nel secondo [a. bJ "" {- I. OJ.

114

Cnpiro/o. 4

L'errore di approssimuione che si commeUe &ostiluendO la soluzione Xo con c" è minore di . parttCO . Iuc, pc!'" D = , ,nlI . uI1.4 1121'+1 ; ID I e, xo I S 1/ ZiO"" UIDZ4 < 10-) .

(36.10)

Si ottiene la tabella di valori:

C,

0.15

... ...

'" 0.6796

0='

'"

0.6816

0.6826

- 0.15

...

- 0.5703

- 0.5664

-0.5683

- D.5673

c

cI

x1.x_l .. O

05

cA+x=O

- 05

'"

Quindi la radice dell'equazionc x3 ... li: - l "" O è Xo = 0.682 0.001); la radice deU'cqua:tionc c- + x = O è Xl) = - 0.001). n numero::!:. 0.001 è una stima dcll'crrorc; cioè ad esempio nel primo caso risulta 0.681 < Xo < 0.683.

Chiudiamo il paragrafo con sull'assioma di completezza (2.11). Abbiamo utilizzato tale assioma neUa dimostrazione del teorema deU'esistenzs degli zeri, in particolare o"eU'affermazione che la successione . an , essendo monotòna e limitata, risulta convergente. Ciò è essenziale; infatti, nell'ambito dei numeri razionali Q, dove -Don è verificato l'assioma di completezza, non vale nemmeno il teorema dell'esi· stenza degli zeri. Ad esempio, l'equazione f(x) .= x?- - 2 = Onon ha soluzioni nell'intervaUo di razionali Ix E Q: O s: x s: 2), nonostante che ((O) < O, feZ) > O. Infatti si già verificato nel paragrafo 5 che.,p. non è razionale. L'assioma di completezza essenziale anche in altri teoremi di esistenza; ad esempio nel teorema di Weierstrass, o, come già detto, nel teorema sull'esistenza del limite per le successioni mODolòne.

37. Dimostrazione del teorema di Weielsbass Dimostriamo il seguente teorema, enunciato nel paragrafo 35, TEOREMA DI WEIERSTRASS. - Sia f(:I) una funzione continua in un intt!rvallo chiuso e limi/aro [a, b]. Allora f(x) assume minimo e massimo in [a, bl, cioè esistono XI, X1 in [a, b] tali che (37.1)

f(x,)

f(x)

f(x,).

'
Dimostrazionc: posto M = sup (f(x): x e (a, b)], vcrifichiamo che esistc una succcssione X n di punti di (I, b) talc che

Umili di funzioni- Flj/lzionj conUnue

115

lim l(x..} .. M.

(31.2)

Infatti, se M'"" + _, per le proprietà dell'llstremo superiore, per ogni Il '" N esisle x n e [a, bI tale f(x.J > n e perciò r(x ll) -+ M = + -. Se invece risulla M < + DO, per ogni n E N esiste in la. bl tale che

x..

\ M- -

(373)

"

C(x,,)':lO M

<:

e perciÒ f(x lI } -+ M. Per il teon:ma di Bolzano-Weiel'Strass (paragrafo 21) esiste un'estratta

x....

da

ed un

XII

punto Xo e [a, bJ, tale che (37.4)

Poich
t(x.)

r(x,)

e allora, per la (31.2), (37.6)

M '" lim C(x,,)" lim f(x..) = C(Xt) . ...-t_ k--+_

Abbiamo cost dimostralo che (37.1)

[(xo) :: M '" sup lC(,,):

ciò impliça allo Ilesso tempo che M <

li:

e (a, bl);

+ _ e che l'cstremo superiore t., in effetti, un m&lSimo.

Analogamente si ragiona per determinare un punto di minimo. partendo dall'e.stremo inferiore di f(x) in [a. b].

38. Continuità delle funzioni monotòne e delle funzioni inverse Con lo stesso metodo utilizzato per la dimostrazione del teorema suLLe succeS'Sloni monotòne si prova il seguente: TEOREMA SUL LIMITE DELLE FUNZIONI MONOTÒNE. monotòno in [a, b]; allora finiti i limiti (38.1)

Sia I(x)

lim f(x).

(38.2)

lim r(x), ..-..;

" "o

E

("

b).

116

Ctrp/iDio 4

DimosLrazione: consideriamo il CllSO di una [umione f(x) crescente in (a. b]: osserviamo subilo che f{JI) ! limitata in [a, bl; (38.3)

[(a)

f(x)

"Ix e

f(b),

[a. b];

cioè t(a) ! il minimo di f(:c) neU'inteTValio (a, bl, mcnlre f{b) è il massimo. F"tI:Slllo Xo E (a, b"], poniamo

(38.4)

(- sup lf(x): J e [a.

Per la (38.3) l'otremo supcriON: r! finito. Per le proprietà 5uperto!"e (parò1grafo 12). per ogni.r: > O esiste Xl e [a,:co) tale che. (38.5) Pcr x > Xl risulla f(ic) 2 f(XI) e dunqùe (38.6)

da cui (38.7)

....Hm.; f(x) -

l'.

Si procede in modo analogo per il limite per x -. con xo e (OlI. b). Osserviamo che, se t(x)! erc.scente in [a, bl. i limiti (38.1), (382) si possono ordinare nel modo seguente; t(a) :S lim f(x) S; Hm f(x):S

&-...

(38.8) S;

fun t(x)

E-+':

...-f'; S;

lim t(:c):s I(b), o-.\>-

v :co e

(a., b).

CRITERIO 01 CONTINUITÀ PER LE F1JNZIONI MONafÒNE. - SiJJ. f(x) una fun:rionc monotbnn neU'intervaUo chiuso e limitato [a, b). Allora f(x) continua in [a, b) se c solo se l'immagine di (x) è turto l'intervallo di esiremi f(a), '(b). DimOSlruione: se f(x) è continua in [a. b] nUora. indipendentemente dalla monotonia, aSSUme tutti i valori compresi tra f(n) e f(b) (si veda il teorema dell'esislenza dei valori intermedi del pllragrllfo 35). Viceversa, se f(x) ! crescenle in [n, b] mlt non continua in "o Iii (a, b), per il teorema precedente ammette in ll{l una disconlinuilll di prima specie e si ha (38.9)

lim f(x) = r. < r1

.-..;

:::

lim C(x) &4':

120

Capitolo 5

membro della (39.4) tende a 2t per h O. Quindi il tasso di accresciment3 vl1le 2t Ciò gignifica çhe, al crescere del tempo t (:> O), l\Oll sollnnto il peso cresce come t , ma anche il cambiamento di peso per unità di tempo aumenta (nel caso in collSideraziolle, in modo proporzionale al tempo). Proponiamo un esempio numerico: secondo·la legge p(t) = t2 , al tempo t = 10 il peso risulta essere uguale a pelO) = 100. Il tasso di llCCJ:escimento, uguale il 2t, aL tempo t = lO vale 20. Ciò significa che, dopo una unità di tempo, il peso del corpo aumeota di circa 20 unità; quindi p(ll) vale all'incirca 120. Si noti che effettivamente il valore trovato 120 noo dift'erisce di molto da p(l1) = 11 2 = 121; approfondiremo questo nei panlgrafi 44 e 81, nello studio della formula di Taylor. Abbiamo già detto che "velocità di accrescimento" è sinonimo di "tasso di accrescjmento"; cib deriva Jial UDII velocità si definisce in modo analogo a quanto fatlo sopro, Consideriamo a,cl esempio un'automobile che percorre una strada, ed indichiamo con :;(t) lo spazio percorso in funzione del tempo t. La velocità media deU'automobile nell'intervallo di tempo [t, t + hl uguale al rapporto tra lo spazio percorso s(t + h) - s(t) ed iI tempo h impiegllto a fare il percorso. La veloci/li istantallea (quella indicata daL tachimetro sul cru· scotto dell'auto, se s(t) è espresso il1 chilometii e t in ore),. è iL limite,. per n, -t O, del!a ve:Iocità· medi n; quindi (39.5)

. --,(,,'-.:+_""')'-.----=:'("'.) Velocità istantanea = lun

."""'"

"

È chiaro che nei due esempi precedenti lo scbema matematico è identico. In entrambi gl,i esempi occorre calcolare il limile di Un rclpporto incremelltale, cosi chiamato percM a

denominatore c'è l'incremento h della variabile indipendente, mentre a numentare l'incremento variabile dipendente. OCcorre calcolare il limite del rapporto incrementale anche in molte altre situazioni, analoghe Il q]JelJe dei due esempi esposti Ad esempio, ,e si considera la densità di un fluido O" di una pppol8%tOlle, o l'accelef8%ione dì un corpo che si muove di moto r.ettilineo. Un altro esempio, di tipo geometrico, è studiato nel paragrafo 44. Inttodurremo nel 'prossimo paragrafo la derivata come limite del rappOl10 incrementale, quando l'incremento lende a zero.

40. Definizione di derivata Sia f(x) definita nell'intervalJo aperto (a, b) e sia x un punto di (a, b); si dice che la funzione f è derivabile nel punto x se esiste finito il limite del rapporto incrementale (40.1)

Hm f(x + h) - f(x) b-tO

h

Tale limite è la deriVll10 di f, e si indica con una delle seguenti notazioni, fra loro equivalenti:

Derillate

(40.2)

di

f(x),

dx

,

Df(x),

y',

dy dx

121

Dy.

Si dice che f è derivabile nell'intervalLo aperto (a, b) se è derivabile in ogni punto x e (a, b). In aLcuni casi utile considerare al posto della definizione (40.1), invece del limite completo per b O, soltanto il limite destro per h -+ 0+, oppure il limite per h -+ 0- . Nel Ptiroo caso si parla di derivata destra, nel secondo caso si parla di derivata sinistra. Se f(x) è definita in [3, bl, si dice che f è derivabile nell'intervallo chiuso la, bl se è derivabile in ogIJ.i punto x E (8, b) e inoltre se t ammette derivata destra nel punto x = a e derivata sinistra nel punto x = b. Consideriamo alcuni esempi. Iniziamo dalla funzione cos tante f(x) - q, per ogni x e R., e proviamo l:he tale funzione è derivabile su !Imo R c che la derillatll identicamente OI.ù1a; infatti il rl!lPporlo incremenlale vale costantemente zefO, qualunque sia l'incremento h -;. O (si veda la figlU'a 5.1); l(x.+ h) - C(x) ". q - q = = O h h h

('03)

e quindi ancbc i1limile del rapporto incrementale, per b -.--} O. vale zero (il lellore non cada nell'errore di considenuc il limite pct h O di (40.3) una forma indetcnninata 010). PiO: generalmente verifichiamo che la derivata della funzione f(x) : mx +- q, con m e q costanti (il eui grafico una identicamente UJUllle ad m; inraJti il rapporto mcrcmeQtaJc vale costlultemcnte m. qualunque sia b O: (40.4)

f(x + h) ... f(x) [m(x + h) + q] - [mx + q] b: h .. m.

L f(x)=f(x+hh

.,.-_ _.,..-_--'-' •, ,,

,,

,,,,

,

, l

I

,.h

Figur.a 5.1

122

Capitolo 5

i.

Abbiamo già calcolato nel paragnfo precedente la derivata della funvone [(x) .. IfO'Yando ((x) :: 2L Verifichiamo invece che la funzione (I) .. IJtt non derivabile per I = O. Infatti se h ?' O si h.

i(O ... h) - [(O) lO ... hl -101 Ihl = =b 11 b

(40.5)

Abbiamo già incontrato questa funzione nelta (34.1). inctementa1e non esiste, percht ri&ulta: hm

lim Ibl,. l'

(40.6)

.......,.,. b

•

n limite per

h -f O del rapporto

-Ibl __ l.

10-+ r

h

Quindi (x) '" Ixl non derivabile per x _ O; mentre esistono Ic dcrivate dcstra e sinistra, uguali rispettivamente a + 1 c-l.

Confrontiamo la nozione di derivabilità con queUa di continuità. Ricordiamo che una funzione f continua in un punto x se (riprendiamo la definizione (33.2) cambiando Xo con X. e x con x + h): (40.7)

,Iim ..... f(x + h)

f(x).

L'esempio precedente, con f(x) == Ixl. mostra che una funzione continua può non essere derivabile. Invece, ogni funzione derivabile in x è continua in x; infatti: (40.8)

lim f(x + h)

f(x) + lim [f(x + b) - f(x)] =

h-f{)

'h-+Q

f(x) + Iim t(x + b) - f(x) h-fO

lim b

h

h--+O

f(x) + r(x) . O = t(x).

Se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervaUo (a,b), allora la sua derivata f"(x) è una funzione definita su (a,b). Se questa funzione è a sua voÌta derivabile, diremo che la sua derivata (f')' la derivata seconda della'funzione f, ed indicheremo tale derivata con uno dei simboli: (40.9)

1",

'l',

d' Y

,

Derillate

123

Se a sua volta la derivata seconda è derivabile parleremo di derivata tena l'O> è cosI via. Useremo, il simbolo t
r·';:::

C(x) =

(40.10)

C(x)

{

,>

,

-x

»0

><0

derivabile e. per x .. O. $i ba

'Ix) _ {

(40.11)

:Ix

- 2,

<>0

"

,
•

mentre, se x ;::: O, si ha

• t(O + h) - C(O) '" "1m blh! - O => "1m Ibl .Ui ,un h-+o h _-+o b h-+o

(40.12)

pertanto reO)

=>

(40,13) Pero f(x) non x .. O.

o, In definitiva t(x)

derivabile per og.n..i x

Et

R e la deri..ata vale

f(x) '" 21xl.

'fili: e R.

derivabile per x = D: quindi non esiste la derivata se<:onda di l(x) nel punto

41. Operazioni con le derivate Per le derivate valgono le seguenti regole di calcolo: OPERAZIONI CON LE DERIVATE, - Se f e g sono due ftmtioni derivabili in un punto x. aJ/ora sono derillabili in x anche Lo somma, lo. differenza. il prodotto, il quoziente purché il denominatore sfu diverso da zeroJ, e si ha:

l l

C(lpi/olo 5

124

(41.1)

(f

(41.2)

(lg)'

g)' == f :t g' i

::!:

rg + 19

(41.3)

(se g

*" O).

Dimo5lriamo Ja (41.1) con il segno +: per ogni h l*O,scrivianlo il rapporto incremenlale ..elati_yP alla 50mma ( + g: [r(l! + h)

* gex + h» -

[t(x) + g(x»)

h

-

(41.4) =.

«z + h) - l(x) g(x + h) ...,. g(x) +h h

DalO che il limite dì una somma uguale alla somma dei liJTliti, per h O sì Il!(41.1). Dimostri!Sffio ora la regola dì dl::rivazionc dcI prodotto. A tl!-l fine scriviamo il rappoClo incrementale relativo alla funzione prodotto fg:

r(x + h) g(x + h) - l(x) &(x)

h

• f(x + h) g<.x + h) - t(lI-) g(x ,.. hl + l(x) g{x + h) . - (x) g(x) =

(1l..S)

h

_ (x -t- h) - (J)

-

l!o

Il

( h) gX1-

+

I() &ex

i:

li-

h) - I(x)

h

.

L8 g e$.SI:ndo per ipotesi deri.Yabile in x. anche continua Quindi al limite P'u O risl.llra a(1.: + b) gl'l) Dalla soprll scritta si ottiene la tesi paS$llo'!o al

limiu per h

O.

Per dia:nocJrare la formula (41.3) re111tiY8 al qllPlrienle l suoponiamo g{T) .)'\ O. teorema della permanenza del (puAfu·.ro 3'i), un 6 O per cui, se s, .lIJlora ab: + h) l' O. Scriviamo il rapporto iw:remenl;;lle di fle.

f(X))..!. "" t(x + h) g{-x) -

((X + h) -: ( g(x "'" h) g(x) h

(41.4)

f(x) gCII: + h) '" g(x T h) g(x) h

r(x + Il) g(x) - f(xl g{/C) + (x) g(x) - {(x) g(x + h)

-

• (f.(j!: + h) h

g(x + li) g(x) h

f{x) g(x) _ f(x) g'x ... h) h

.

S('!:»)

=

I . g(x + h) g(x)

!hl

il <

DerivClle

Al limite per h

-4 O si ottiene la tesi, Iicorclando I;he, funzione g è continua in x e quindi g(x + h) tende a g(x).

come nd

CilSQ

125

del prodotto, la

Notiamo che un caso particolarmente importante di derivazione di un prodotto si ha quando una delle due funzioni è costante. Dato che la derivata di una costante vale zero, dalla regola (41.2) si ottiene (cf)'

(41.7)

(c = costance).

cf'

42. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse Una delle più importanti regole di derivazione è quella relativa alle funzioni composte. Se y e funzione di (y = e z a sua volta è funzione di x (z = g(x», y = f(g(x» è la funzione composta risultante. Si usa anche il simbolo f(g(.» fog(.).

z

Sono funzioni composte, ad esempio, y '" scn xl (Y'" sen z. z '" oppure y '" sen1x (y '" -l, z == scn x).

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE. - Se g è una funzione derivabile in x, e se f è una funzione derivabile nel pumQ g(x), allora la funzione composta f(g(x») è derivabile in X. e si ha Df(.(x»

(42.1)

f(g(x)) . g'(x).

Cosl, ad esempio. in base alla regdla di derivazione delle funzioni composte, la ...ata ,2", men.tre la derivata della funzione y = sen x ==

Per semplifical'e la dimostrazione. consideriamo preliminarmente il caso in cui risulti. g(lI: + h) g(x) per ogni h O; il caso generale è trattato di seguiLO. Il rapporto incremenll.lle della funzione composta, nel punto x, vale (42.2)

f(gex + hl) - f(g(x»

"

(g(x + h» - f(g(xl) g(l( + h) - g(x) g(x + h) g(x)' h

Nel primo dei due quozienti a secondo membro compare il rapporto iocremenlale della funzione f nel punto g(x), con incremento k == g(x + h) - g(x). Tale incremento k tende a zero per h ---) O. d,ato che g è continua in x.. Quindi

lim "'Cg":(,,,'::.+,:,"'(;);.-)::-.::fÙl'!";"(x:!!.)) g(x + h) - g(x)

(42.3)

". lim f(g(x) + k) - t(g(x)) '" f(g(x», t--+u k che corrisponde alla tesi (42.1).

Glpitolo 5

126

Passiamo alla dimostrazione del, [carema di derivazione delle funzioni composte nel caso generale. Ricordiamo preliminarmente che la funzione g è derivabile in un punto x (ed è definita in UII intorno di tale punto). mentre la funzione f è detivabile nel PUllto y = g(x) (ed è definita in un intorno di y). Poniamo

J f(y + k) F(k) =

(42.4)

Per

l

r(y)

f(y)

k

le:;

O

di derivlIbilitll di f nel punlo y e per III definizione di F(O) risulta Hm F(k) = F(y) = F(O)

(42.5)

H'

F(k) è continua nel punto k = O). Posto

(42.6)

k = g(x + h) - g{x),

ed essendo g(x) = y, g(x.+ h) = g(x) + k =.y + \1;, per ogni k f(g(x + h» - f(g(x»

h

'"'

O risulta

f(g(x) + le) - f(g(x»

. hk

-:;

k

(42.7)

= f(y' + le) _. f(y) . = F(k) . g(x + hl - g(x) k

h

h'

la novilO rispetto alla dimostmzione proposla precedente! che l'identità (42.8)

f(g{x + h» - f(g(x"» = F(Ie) . g(x + hl - g(x) h

h

vale, non solo per k '
(42.9)

lirn f(g(x + h)) - f(g(x» = lim F(k) . lim g(x + h) - g(x) = !.--tu h l-411 !.--+U h

Esaminiamo ora la regola di derivazione delle funzioni inverse. Ricordiamo quanto già detto circa le funzioni stréttamente monotòne: una funzione f(x) è strettamente crescente nell'intervallo [a, b] se

Derivate

127

(42.10)

Se f è continua e strettamente crescente in [a, b) allora è anche invenibile, cioè ad ogni y e [f(a), fCb)] corrisponde un solo x. E [a, b] per cui f(x.) = y. e si indica x = rl(y); la stessa proprietà vale per le funzioni strettamente decrescenti (si veda il criterio di invertibilità aUa fine del paragrafo 35). TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE. - Sia C{x) Wl!! funzione continua e strCtamente cresCf!llle (oppure deCT.escente) in- un intervallo [a, bJ. Se f è deril'obife in un punto x e (a, b) e se r(x) ;f:. O, allora anche r l è derivabile nel punto y = f(x) e la derivata vale

nr'(y)

(42.11)

c

_1_ = 1 Y(x) Y(r '(y»

Prima di dare III dimostrazione, applichiamo il teorema ad un esempio concreto: la funzione y .. C(x) _ x2 ! continua e strettamente crescente per x > O. La funzione inversa f-l Il l( _ r I (y) = Abbiamo già visto cbe la funzione y = 1(2 è derivabile e che la derivata vale l' = 2x. In base al teOfCUla di derivazione delle funzioni invcl'$e, anche :l - ..JY è derivabile per y '> O c la vale

.fY.

{"2.12}

"

;, ••

y+k=f{x+h)

i•

-----------------

k

y=f(x) -

h•

x

,.h

e'(y)

f"l{y+k)

"

"

Figura 52

128

GJpilolu 5

Passiamo alla dimostrazione del teorema: con riCerimenlO allà figura 52, ad x coni· sponde y:> CIx); ad x + h corrispqnde y + 'k • + h), dove si è posto ti: :> f(x + h) - (x). In termini di r risulta quindi.ll: .. rl(y) e x + Il = rl{y + k). Scriviamo il rapporlo mcrelllt:nlll.le relativo ad r (42.13)

("l(y + k) _ ("l(y) = k. l(x + h) - f(x)

Dalo che f è Slrettamente monotboa, risulta h O se e solo se k O. Si può anche veriflCll1e che se k. lerde a zero allora anche h tende a zero; infatti h = rl(y + k) - rl(y) - i O per k -) O perebé r una funZione continua (si veda il paragrafo 38). Dato che Il secondo membro compare il reciproco del rapporto incremenlale della f, passando al Iimile nella (42.13) per k -) O, si ottiene la lesi.

43. Derivate delle funzioni elementari In questo paragrafo calcoliamo le derivate di alcune funzioni elemen-

tari. Cominciamo con la potenza ad esponente naturale n: (43.1)

Questa formula (che si ottiene anche dalla più generale formula (43.10» si può dimostrare faCendo uso del principio di induzione: abbiamo già verificato che D le '= 1 (si veda la (40.4); quindi la (43.1) è vera per n = l. Supponiamo, secondo lo schema del principio di induzione, che la (43.1) sia vera e calcoliamo per mezzo della regola di derivazione del prodotto: (43.2)

Dx-' = D(x" . x) = D(x") x + ..' Dx = = D K a- 1 X

+ x" . 1 = (n + 1) x" .

Abbiamo quindi verificato che la (43.1) vale anche per l'indice n + l. Perciò la (43.1) è provata. Notiamo che il multato ottenulo ci pennette di calcolare la derivata di un poliflomio

qualsiasi.:

y = x..-l + ... + al X+llo; (43.3) y' • nll D x.... l + (n - 1) a...l 1I11-2 + ... + al .

In particolare, la derivata di un polinomio di grado o! un polinomio di grado n-l (o e N).

Derivare

Proviamo-che la derivata del logaritmo in base a (a> O, a

l) di x vale;

1

(43.4)

129

"" x > o.

x

Utilizziamo le proprietà del lognritmo (tra cui la sua continuità) ed il Hmite notevole (33.7) (nel limite (33.7) cambiamo x ---J Ocon h ---t O, e b con 1/x): . log. (x + h) - x . 1 x+h hm = tim - log. :: b-tO h x (43.5)

= lim IO&i b-+o

X (

+ = lo&. Hm 1 + - X

1.-+0

X

=

l = log" = - loga e.

x

Risulta ora chiaro l'interesse nel considerare logaritmi in base e; dato che e = l, la derivata del logaritmo in base e di x è semplicemente (43.6)

1 Dlogx=-, x

""x>o.

La funzione y = log x è invertibile e la sua inversa è x = e Y• Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse otteniamo (43.7)

De'/=

1 \ =-=x=e'J D log x ili

Usando, come si è soliti fare, il simbolo x per denotare la variabile indipendente. possiamo riscrivere la formula precedente: (43.8)

Ricordiamo la proprietà (9.13): e"'&. = x. che è sempre utile quando si vuole calcolare la derivata di un esponenziale o di una potenza che non rientrano nei casi precedenti. Ad esempio, si può calcolare la derivata delle

130

Capitolo 5

funzioni esponenziali con base a > O, a derivazione delle funzioni composte:

":F-

1, facendo uso del teorema di

= e:l 101" D(x 10g a) = a" 10g a. Analogamente si calcola la derivata della funzione potenza xb , con esponente b reale

(43.10)

= eb

lop

b

D(b Jog x) = 7!J • _ = b

Xb-l

X

La {onnula precedente è molto utile. È utilizzata ad esempio nei casi b '" 112 (in questo caso si riottiene (42.12» cb", - 1:

.•

(43.11)

(43.12)

D

(D= DX"' =(-

l)

x-t =

Calcoliamo ora le derivate delle funzioni trigonometriche seo x, COS x, tg x. Cominciamo con (43.13)

Dsenx=casx;

Dcosx=-senx.

Dimostriamo la prioia delle due: facciamo uso delle formule di addiz.ione (10.4) e dei limiti Ilotevoli (30.LO), (32.10):

. sen(x + h) - seo x

hm

(43.14)

= lim

sen

h

X COI Il

......

=senx·

[im

+scn

h

'"'

cos x -sen

h

cosh-l

+CQdX'

h

Allo stesso modo si calcola la derivata di cos li:

lim .-)0

sellh h

X

=

=cosx.

Dèrivntr . cos (x + hl 11m h (43.15)

COS li;

131

._

. C08Kcosh-stnxsenh-çosx .. ,1m .• Il scosx·

lim

COlli-I h

It-M

senh

lim _h

=-senx.

La derivata della funzione tg x si calcola con la regola. di derivazione del

rapporto: D tg x

=D

(43.16)

(sen

lCos =

X) = Descn x) cos x -

sen x D(cos x) =

X

X

cos2

cos2 x + sen2 x

1

cos2 x

=cos2 x·

Riassumiamo in una tabella le principali formule di derivazione trovate in questo paragrafo:

J(x)

l'(x)

x' lol'!

b

.'

X

seo x co, x tg x

Xb-I

1/x e' cos x - sen x 1Jcoi! x

44. Significato geometrico della derivata. 'Retta tangente Sia f(x) una funzione definita in un intorno di un punto XcI e si consideri nel piano x. y il grafico della funzione, come in figura 53. a proponiamo di determinare l'equazione della retta r passante per il punto Pa di coordinate (Xo, f(Xo» e tangente al grafico della funzione f. Ciò che preliminarmente è più opportuno fare, è deteI1Ilinare l'equazione di una retta r' secante il grafico della funzione f nei punti 'Pa li!ii(Xo , f(Xo» e P i i ("o + h, f(Xo + h». L'equazione-di una generica retta non verticale è y = mx + q; determiniamo i parametri m, q imponendo che la retta passi per i punti dati:

132

Capicolo 5

,

y

p

f (xo)

I

='0'!" Po

I

/1

I

r-

I

l

I I

I I

I I

:

I I

x

Figura 5..3

(44.1)

f(xo) = m Xo + q { f(xo + h) = mCxo + h) + q

(passaggio per P o) (passaggio per P).

Abbiamo un sistema in due equazioni nelle due incognite ID, q. che si può risolvere per sostituzione, oppure sottraendo la prima equazione dalla conda. Si ottiene m = [f(xo + h) - f(xo)]!h e poi si ricava q dalla prima equazione. L'equazione della retta secante risulta es.sere: (44.2)

f(xo + h) - f(xo) Y = f(xo) + h (x - ",,).

L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per h --+ O dell'equazione della-retta secante. Si può passare al limite nella (44.2) se e solo se f è derivabile in xQ. Quindi, se f è derivabile in XQ, si ottiene l'eqUl1zione della retta tangente in (xo, f(Xc)) al grafico della funzione f: (44.3) Quanto. stabilito fornisce il significato geometIico della derivata. Dato che nell'equazione della retta tangente il coefficiente della x è uguale a m = f("o), si dice chela derivata di una funzione f in un punto Xc è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto ("o, f(xo))· La derivata è quindi una misura della pendenza del grafico della funzione.

./)eri"l'Dre

l33

Diamo un esempio numerico di utilizzazione dell'equllzione della retta tangente. esaminando un problema di calcolo approssiwato dei valori di una funzione. NOrlni:llmente non è immediato il calcolo del valore numerico di unii. funzione in un punto. Ad esempio, è facile oppure seo x, solo per panicoluli valori caicolare a mente i valori numerici delle funzioni della x. Al r.:ontrario, è sempre elementare calcolare i valori numerici delle funzioni y '" mx + q, che barino per grafico una retta. L'idea è quella di "sostituire" UOD funzione data con l'equazione della sua retta tangente in un punto di ascissa K{), con Xo vicino DI punto x in cui si vuole clÙcolare la fun:tione; Dalla figura SA è irituitivamente chiaro che l'errore che si commette è lanto più pir.:r.:olo, quanto più x è vicino 1l1l'IlSCLssa de] punto dì tllllgenzlI xoCioè la quantità f(xJ + f'(xo)(x - xu) Cllppresenta unII approssimazione di t(x), tanto migliore quanto più x è vicino ad Xo; scriveremo:

\Ix '

(44.4) Il puntI:! lr(I va

(se x è "l'ici/IO ad Xo).

t(x) e: t(xo.l + f("o) (x - Xo)

in modo cbe sia semplice calcolare f(X(}} e t'(xQ). Si può dare un significato rigoroso alla scrittura (44.4) usando i limiti. La (44.4) significa che, non solo la differenza tra primo e secondo membro tende a zero quando x -t Xo. ma anche che tende a zero più rapidamente della quanlità x - Xo. cioè cbe:

(44.5)

"l(:;:')_---"If(:::',,,)_+--'r,,(,,"ol"'(:::x_---'' ' ' ')] = O.

lim

x-

l (x)

f-._- -

- -

-

Xo

--7f ----."L

- --

f(Xo)+r (xcJ(x-xo) - - - - - - - - - - -

I

..,..-

I

I I

I

I I

:

: Figura SA

La verifIca della relazione sopra scritta è immediata; infatti, dato che f è derivabile in possiamo riscrivere il limite precedente nella fonna:

(44.6)

x-t

Ad esempio, se f(x) '"

=--'=f(x) - f(Xo)

lim x"

..JX , la

X - Xo

f'(xJ '" l."(xlI)

(44.4) diventa

-

f"(Xu) = O.

xo.

134

Capitolo 5

(44.7)

(se

Volendo esprimCJ·c io forma decimale

.J8O , scogliendo Xa -

..rso Il 9 + -2 l. 9 (- 1) ;; 9 -

(4'U)

X

XcJ.

81 ouenillmo

1 - '" 8.9444.18

480 •

(il valore esatto 8.9442 ..). Qualcuno forse avrà che il conto stato poKibile sohan,to perché 80 il vicino 111 quadrato perfetto 81. Proviamo CQn ..fi : si pub allcolare..fiOO ' e poi dividere jJ risultato per lO. H quadrato più. vicino I 200 !: 196 '" 141; ai ha quindi:

=

(44.9)

'ID.A.I S 14

+

l . 4 ;; 14 + -l .. 14.1428.•• 2 . 14 7

Pucib ..fi ;; 1.41428 (il valan eutto di è 1.41421_.). l eonli fatti dovrebbero avu dalO Do'idea dell'utilità delle derivate nella tabuhwonc delle funzioni clementarL Torneremo nel paragrafo 81 in modo pitl completo su questo intereSSante aspetto: del calcolo differenziale.

UtiliZ2ando fra l'altro il significato geometrico della derivata, studiamo la continuità e la derivabilità, nel punto Xc = O, delta funzione f.,,(x) (n = O. l, 2) definita su R dalla formula 1

(44.10)

f, (x) =x"sen-

x

s.

Per-n. 1.2, f",(x) è definit" rìspettivamcD.te da

(44.11)

[I{X);;

lOx sen-l

tI!. X

=O

,

SI!.

x;; O

•

mentre pcr n ;; O si ottiene ia funziooe SI!.

X:O

(44.12)

che Ilon è continua nel punto Xo • O. ma presenta UWl di&conlinuit! di seconda specie (infatti come risulta dalla (32.5), non esiste il limite per x ..... O di !v{x»; inoltre fo. non essendo continua in Xl). O, non è.neanc(;e derivabile in tale punto. La fumione f,{x), prodotto del faUore infinitesimo x per il fattore limitato c:onver&e a zero per x -+ O; essendo {1(O) = O, la funzione continua (anche) in Xi). O; però

Dt!rillate

135

non risulta derivabile in tale punto perche nOH esiste il limite {si veda lo. (32.5)} del rapporto incrementale:

(44.13) La funzione f2{x) Il derivabile (e quindi ancbe continua) ancbe per

vale

r :!(O)

""

o: infatti:

xo "" O e

lo. derivala

(44.14) l risultati trovati lono riassunti nello. seguente tabella:

funziooe

continua inXO=O

derivabile in xo·= D

Coex)

nn

no

ft(x)

.1

no

fl(x)

,1

,1

NeUe figure .s.5, 5.6. sono rappre5entati i grafici delle funzioni f t e (2 eseguiti al COIUPUler, la conlinuiti di fio [2 Del PUtlto Xo "" O corrisponde a grafici "vicini" all'origine delle coordinale quando l'ascis5a li Il "vicina" ad Xo = O (si noti che tale proprietà non Il verificata per il grafico della l'umione Co in figufll 4.3).

/ ,

Figura 5..5 -

Y:2 fl(x)

136

Ctlpitolo 5

y

.•• r

v

,

'V

V'

v Figura 5.6 -

y ...

(x)

Invece la deriYabiJitl di f"l e la (100 derivabiliLl di [1 corrispondono ai fatw che il gJlIficO di f2 in figura '.6 ammette rerta tangente ancbe nel punto:a:o" O (dato c:he f2(0) := f2(0) := O, l'equa2ione (44.3) della relta tangente!: y := O) mentre il gelifico di f l in figura 5.5 non ba retta tangenre nell'origine degli assi {le rette y := X, y .. -1, con coefficienti angolari +- l e-l. danno un'idea dell'oscillazione della rena tangente in un generico punto (x. f 2(x», con x che "si aniOna" li. Xo _ O). Tali pwprietlsono evidenziate in figurR 5.7. dove sono rappresentati in un imoTDO di XCI := O i grafici delle funzioni f t • [2. con particolare enfasi alle limituiooi:

y

y

,

Figura S.7

Derivote

137

R;

(44.15)

'tIx

(44.16)

'tIl( e R.

E


45. Le funzioni trigonometriche inverse Le funzioni trigonometriche seo x, cos x, tg X, Don sono monotòne su tutto R e non esistono le loro funzioni inverse su R. Però possiamo restrin· gere ad un intervallo limitato l'insieme in cui prendere in considerazione tali funzioni, in modo che risultino monotòoe nell'insieme considerato. Cominciamo con la funzione seo x. È una funzione strettamente ere· sceote neU'intervallo {- n/2, .nI2}. Consideriamo quindi (x) :;: seo x, con f: (- xJ2, n:f2] (- 1, 1]. La funzione f è continua e quindi assume tutti i valori compresi tra il suo minimo (.= -1) ed il massimo (= 1). Essendo stret· tamente monotòna. anche invertibile. Pertanto esiste la funzione inversa f'l: {-l, 1] (- n/2,1tI2], che viene indicata con rl(x) = arcsen x (arcoseno di x). Il nome deriva dal fatto che, se y = aresen x, vUoI dire che y uguale alla misura dell'arco, o angolo, il cui seno x (seo y = x). II grafico dell'arcoseno si ottiene immediatamente dal grafico della funzione seno, come nella figura 5.8. y

, .Il '"

sen y

-
-
1

Y z amen l(

/' l

:---/ -,

y

-,

l.,i

--},

V:

l/

1

-"-• • •

,

• .,

-- _
la funzione arcoseno è quindi definita neU'intervallo chiuso [- l, 1]. Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse si ottiene che la funzione arcsen x è derivabile nell'intervallo aperto (- l, I), e la derivata vale:

138

,CIIP;/O!O

j

D

1 arcsen x = 'D---=:::--e sen y

-

1 cos y

-

1 _ sen1: y

-

(45.1)

- sen' (afesen x) - x' 1

'

sono state utilizzate le relazioni

(45.2)

sen(arcsen x) ==

la prima delle quali vale perché cos y > O per La funzione arcsen x non è derivabile per D scn y si annulla per i corrispondenti valori Graficamente, ciò corrisponde al latto che la tangente verticale se x = +1.

X.

ogni Y E (- n/2, nJ2). x == ::t l, dato che cos y == y = = aresen (zl) = funzione arcsen x ha retta

Passiamo alla funzione f(x) = cos x. Risulta che f:[O. n] [- l, 1] continua e strettamente decrescente; quindi è invertibile in tale intervallo. La funzione inversa Il: [-l, 1] -+ [O, xl viene indicata con r-I(x) = arccos x (arcocoseno di x). il grafico si ottiene dal grafico della funzione coseno, come 10 figura 5.9.

,

•"

••• •"

y

••, o"-

l

c----x_cosy >
-1

---------

•

Iy I I

I

•

•

Y_'=OH "2

if\ !

-,

l

,

Figuro 5.9

La funzione y = arceos x è definita nell'intervallo chiuso [- l, 1]. È

derivabile nell'intervallo aperto (- l, l) e la derivata vale:

DerilJlIte

D arccos x = (453)

l

"D:-:-"""''' cas y -

1 seo y

-1

-

- cos' (.recos x)

-

-

- l _ cos 2 Y

139

-

-1

- x' .

La più usata funzione trigonometrica inversa è quella relativa aUa tan-

gente. La funzione f(x) = tg x è continua e strettamente crescente nell'intervallo aperto (- rr/2, n/2). È quindi invertibile in tale intervallo. La funzione iDversa (I: R (- rrn., Jt/2) viene indicata con (I(X) = arctg x (arcotangente di x) ed ba il grafico come in figura 5.10. o

y

•<

"•

• "•

1------------- ,•,

n/2

,.,."

y-arctgx

<14 1----

Vi

/

x

1

-----------

_<12

Figura 5.10

La funzione y = si ba: (45.4)

-

x è definita per ogni x reale. Per i limiti all'infmito

"

. arctg x=2; hm

.....

È una funzione derivabile per ogni x

, " l un arctgx=--

l--+-_ E

2

R e la derivata vale:

CAPITOLO 6 APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI

46. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat In questo capitolo affrontiamo tra l'altro lo studio del grafico di una funzione. Cominciamo col definire i punti di massimQ ed i punti di minimo relativo. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, hl. Diremo che un punto Xo e [a, hl è di massimo (relalivo) per f, nell'intervallo (a, hl, se il valore f(Xo) è più grande dei valori t(x), con x e [a, bl vicino ad :co; più precisamente, se esiste un numero 6 > O tale che

(46.1)

f(",,) f(x).

'Ix e [a. bl:

Ix - ""I < b.

Si noti che non si richiede che la (46.1) valga per ogni x E [a, bl, ma solo per x vicU;to ad Xo- Nella figura 6.1, e '4 SODO punti di massimo; anche il punto x = a è un punto di massimo relativo. Il più grande dei valori f(x) per Jr E [a, bl. si chiama massimo assoluto di f neU'intervallo [a, hl. In figura 6.1 il ma..sS;imo assoluto è assunto per x = Xz e vale I(x,).

•• " "•o "

I

=

I

I I

I a

Figura 6.1 -

I I

I I I

I

x,

x,

I

x,

•

x,

b

142

Capitolo 6

Analogamente, Xu è un punto di mllllnTO (relativo) per la funzione f, nell'intervallo [a, b), se esiste ti > O per cui (46.2)

f(xc) 5 f(x),

Nella figura 6.1,

Xl' X3,

';Ix

[a, b):

E

Ix -

Xo

I<

a.

b sono punti di minimo.

Dolla figurtl 6.1 notiamo anche il faUo seguente: se si disegna la retta tangente al grafico deUa funzione in ciascuno dei punti XI , x 2 • Xl • • PWlti di massimo o di minimo imernf all'mtervallo [a, bJ (un punto XO I; [a, bI è interno all'intervallo se l'o I; (a, b), se Xo I; (a, bI e XO"l, 11., )(0 b), tale retta risulta orittontille. Questa proprietà vale in tutti i punti di lUossinlo e di minimo interni aU'intervallo di defmizione. Non vale però (necessariamente) nei punti agli estremi dell'intervallo. dove il grafico deUa funzione può avere La retta tangente non or.i:uontnle. VIli retta orizzontale se e solo se ha equnzione y = costAnte. Si ricordi l'equazione (44.3) della retta tangente al grll.fico di una funzione [(x) per x = Xo; tale rella orizZontale :;e c solo se r(xo) = O. Dimostriamo nel teorema seguente la proprietà in gene· rale.

TEOREMA DI FERMAT. - Sia f una funzione definiUJ ill [a, b] e sia Xo Wl punto di massimo o di minimo relativo interno ad [a. b]. Se f ! derivabile in xo. risu.Na f(xo) = O. Dinlostraziolle: consideriamo il ClISO in cui Xu sia un punto di massimo (relillivo); significa che esiste li > (] per cui

(46.3)

[(XII)

f( Xo + h),

'" h: Ihl <; Ò.

Studiamo st:paratllmente i casi h > (] e h <; [): dlll1a (46.3) si oniene: (()ll!

(46.4)

+ h) - t"()lll) h

c, al limite per h -J

1<

O

s/!.O<;h<ò

o±

(46;5) F(xll) =

Hm \f(x il + h) - f(xll)]/h
Ne segue che f(xu) = O.

N.ella dimostrazione precedente l'ipotesi- che Xo sia un punto interno all'intervallo [a, bl è essenziale. Cib ba consentito di poter considerare incrementi h sia positivi che negativi.

Applicazioni dellt:

Studio cii Jimz.ioni

l43

Se invece Xo è un punto non interno dell'intervallo [a, bl, se ad esempio Xo = a. allora Xo + h =a + h, con O <: h <: 5, rimane in [a, bl, mentre Xc + h = a + h non è un punto di [a, bl se h <: O. Pertanto in (46.5) è possibile considerare solamente il limite per h ---+ 0+ (e non il limite per h ---+ 0-) giungendo alla conclusione che

(46.6)

f("o)

f(a)

O

neU'ipotesi che Xo = a sia un punto di massimo relativo per f(x:) in [a, bl Analogamente, se Xo = b risulta Xl) + h = b + h E [a, b) soltanto se h è negativo (- & < h <: O) ed in tal caso, procedendo come nella (46.5), calcolando il limite per h ---+ 0- si ottiene

(46.7)

f("o)

f(b) " O ,

sempre nell'ipotesi che Xc = b sia un punto di massimo relativo per f(x) in la, b). [o ogni caso risulta

(46.8)

1'("0) . (a - aD)

V a

O,

E

[a, bl;

infatti, se Xo = a, allora x - Xo = x - a > O per ogni x e (a, bl e quindi la. (46.8) si riduce a f"(Xo):S; O come in (46.6). Mentre se Xc =: b allora x - Xo = x - b < O per ogni x E [a. b) e quindi la (46.8) diventa f"(Xo) O come in (46.7), Infine, se "o è interno ad [a, bl, la differenza x - Xo cambia segno in dipendenza da x e la (46.8) è quindi equivalente alla condizione F(xo) = O, come neU'enuociato del teorema di Fennal. Come già detto la (46.8) vale neU'ipotesi che Xo sia un punto di massimo relativo per f(x) nell>intervallo [a, bl, indipendentemente dall'assumere che Xc sia interno ad [a, bl Naturalmente, se Xo è un punto di minimo relativo per fex) in {a, hl, allora neUa (46.8) cambia il segno di minore o uguale con quello di maggiore o uguale. Vale quindi la seguente PROPOSIZIONE. - Sin f(x) una funz.ione definiUl in [a, bl e derì'llabile in un punJo Xo e [a. bl. Se %o è un punto di massimo relntivo per f(x) in [a, bl allora (46.9)

re"o) . (a - "o ) < O .

se Xo è /In pliniO di minimo relatillO per f(x) in [a, (46.10)

r(a.,) . (a - a., ) , O ,

'Vxe(a,h);

bJ

risulla

'V x

E

[a. hJ.

144

Capi/viu 6

47. I teoremi di Rolle e di Lagrange TEOREMA DI ROLLE. - Sia f{x) unti fUllzione continua in [n, b] e derivabile in (a, b). Se f(a) -: f(b), esiste

Wl

punto Xo E (a, b) per- cui f(xlI)

=

O.

. Dimostrazione: indichiamo con xI c "l punti, rispettivamente di minimo e di ma!lsimo assoluto per r nell'intervalla [a, bI; cioè (47.\)

'ti x e [a.

hl.

Tali punti di massimo e di minimo assoluto per r esistono, in base al teorema di Weierstrass (paragrafi 35 e 37). Se almeno uno dei due punti Xl, x2 è imemo all'intervallo {a. bl, in oomspondenza la derivata si annulla (per il learema di Fermat). Rimllne da esaminare il ctlsa in cui entTambi i punii Xl. X:, non sano intemi: diciamo x. :: Il, x2 =: b. La (47.1) diventa C(a) $ ((x) S; f(b). per agni x neJrintervallo [a. bI. Dato che per ipolesi f(a) = f(b). risulta t(x) = t(a)-per ogni x E la, bI; quindi f è costante e la su'! derivata è Qvunque zero. 1\ teorema è dimostralo anche in questo caso.

Geometricamente il teorema. di RoBe afferma che, per una funzione f(x) continua in [a, b],.derivabile in (a, b), con f(a) = f(b), esiste in-(a, b) un punto Xo in cui la retta tangente è orizzontale (figura 6.2).

-•

y

•

"-i

teo. di Ralle

y

• .-

-•

teo. di lagrange

.0

'"

'"

1

f(a)= I-

=Kb)

I I

,

-

--_1 _____ I

!

", Figura 6.2

/ /

/

I

! o "

/

•

1/

/ .,/

/

1

I

(,,//1

I 1

;

!

I :

,

I

",

"

,,/1 1

b

"

Figura 6.3

Nel teorema seguente (di Lagrange) si considera una situazione plU generale, in cui non necessariamente f(a) = f(b). II teorema di Lagrange geometricamente afferma che, per una funzione f(x) continua in [a, bl e derivabile in (a, b), esiste un' punto Xo E (a. b) in cui la retta tangente è parallela alla corda congiungente gli estremi del grafico (figura 6.3). Si

AppJir:ll:cioni

duivtlff'. SludiD cli funzioni

14j

tenga presente che iL coefficiente armo1are della retta tangente in XQ è f'("o), rqenlre il coefficienle angolare della corda è mb) - (n)]/(b .... a).

!fTEOREMA DI

! derivabile in (a, b). &i.ste

IUl

punto "o

il ! -

r(.,>

("3)

=

.

.. ======_,".1

__ -

=

colltVJUJ2 in [a. b] e

(a, b) pu cui

E

I.

ci 5i riCOl'lduce al teorl:m8 precedente pc::r mezzo della funzione

'(b) - ,(.) ] b ,.,. 'a . (!C - a) .

&(x) "" «x) - [ (a) t

Si noli che g(x) è ottenuto. sottnendp da (x) l'espressione della' rella congiungente gli estremi del grafico. l!onen4
g(x) '" r(x) _

-

,

'" X,s (a. b).

Per il teorelNl di Rolle. csisle quindi lCQ l!!5 (a. b) per ç\/.i g'(lCQ) rela,zione precedente &'(Xo) .. O, si oltiene la tesi (472).

:c

O. Ponendo nella

Le ipotesi sulla funzione f(x) in [a, bl e derivabile in (a, b», çomuni ai teoremi di Rolle e ç1i Lagrange, certamente sussistono se supponiamo direttamente f(x) sia derivabile in tutto l'intervallo [a, bl. estremi inclusi; infatti in tal ça.so f(x) sarebbe automaticamente continua in [a, bl e ovviamente, derivabile in (a, b). La continuità di f(x) agli estremi dell'intervallo è comunque un'ipotesi indispensabile; ad esempio, la funzione (il cui grafiGo è rappresentato in figura 4.10)

(47.5)

l(x)

se {:

X E

[O, 1)

se

è derivabile in (a, b) ;:;:: (O, I), continua, (a destra) per x "" O (ma' non continua per x "" I), soddisfa l'ipotesi del di RoJle (O) = t(l). ma non soddisfa la tesi del teorema di RoUe, perché la derivata è costantemente uguale ad l in (O, 1).

146

CtJpitolo 6

48. Funzioni crescenti e decrescenti

Una conseguenza del teorema di Lagrange è il seguente criterio di monotonia, fondamentale per studiare il grafico di una funzione. Ricordiamo che la definizione di funzione monotòna (ad esempio crescente) è stata data nel pa.ragrafo 7.

-=====-

.. CRITERlO DI MONOTONIA. - Sin ['UJtQ funzione continua iJl [a, bl e derivabile in (a, b). Alloro. (48.1)

rex)

(48.2)

r(x)

O, S;

V x e (a, b)

0, V

X E

(a, b)

f è crescente in [a, bl; [è

decrescente in la, bl

Dimostrazione: proviamo la (48.1); la (48.2) si otliene in modo analogo. Nelrlmplicazione supponendo r(x) 2 O per ogni x E (a, b), occorre dimostrare che, se: a S XI c:; x2 S b, allora f(x,) :s C(X2)' Scriviamo la tesi del di lagrange ne:II'intefVllllo [Xl, x:21: Xo 6: (XI, xz) per cui (48.3) dato che r(Xo) O e dato che x2 ;> XI' risuha anche t{Xl) 2: l(XI.)' Viceversa, se la funzione l crescente: in [a. b), per. ogni x E (a, b) e h > O tale che x + h E (a. b) risulta. f(x + h) <'- f(x) e quindi (48.4)

C(x + - C(x)

ò1!:

O

(il lettore noti che In (48.4) vale anche per ti < O); nllimite per h

0+ si troVI; la tesi r(x) O.

Consideriamo alcuni esempi di applicazione del criterio La funzione eX (strettamente) crescente su tutto R. perché la derivala D eX = e positiva. Ln funzione: log x crescente per X > O. perché la sua derivata D log x _ l/x è Cosl pure la funzione arctg X è crescente su tulto R, perché D(an:tg x) _ 11(1 + '11 > O. La funrione x2 ha derivata uguale a b, che positiva per x > O, negativa per x < O; quindi la funzione ..? decresoeote per x < O e crescente per x > O;_x _ O percib un punto dì minimo. La Cun:.ciooe C(x) ". ,,3 _ 3'1 ha come derivata r "" 3{x'! - l), cbe si annulla per x = ± l, positivo. a\l'esterno dell'inlervallo [- 1, 1), ed negativa aD'interno. Quindi la funzione f crescente per x > l e x < -1, ed decrescente per -1 < x < 1. D punto x = - 1 di massimo relaUvo, mentre il punlo X" l è di minimo. Queste sole considerazioni, unitamente ad alcuni valori della funzione (per x = O, x = ± 1, x = + ..[3 ) facilmente calcolabili, pennettono di disegnare il grafico della funzione f(x) _ xJ _ 3x come in figura 6.4. In generale, si tenga conto che il segno delta derivaUl prima c.:ostituiscc: una delle principali informazioni per disegnare il grafico di una funzione.

AppliCU'l,ioni. dllUe derivatt. Smdio tli flm'l,ioni

"

I

I

-- 2

I I

-43

147

!

1

-1

l

I

I

I

l,

-21---Figura 6.4

Conseguenza del criterio di monotonia è la CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI COSTANTI IN UN INTERVALLO. - UM funzione è coslante in un inrervoito [a. bl se e solo se è derivabile in (a, bl e la derivara è ovunque nulla. Dimostrazione: come in (40.3) si prova che la derivata di una fum:ione COllante in

la. bl

è nulla per o!Jli x e (a. bi. Viceversa. se (x) è derivabile in [a. bi e r(x) = O per ogni x E {a. bI. per i criteri di

monotonia (48.1). (48.2). (x) è crescente e decrescente in [a. bJ; pcn::ii'l, per ogni x E (n. bJ (essendo x> a) risulta allo stesso tempo f(x) f(a) e f{x):ii: fCa); doè ({x) è identicamente uguale ad. (a).

Combinando il criterio di monotonia e il teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo si giunge facilmente al CRITERJO DI STR.EiTA MONOTONIA [a, b] e (Ùrivabile in (a, b). Allora (485)

f(x) :2: 0, 'Ix G (a, h); f non si annulla identicamente in alcun. inlervaito contenuto in (a,b)

(48.6)

f"{x) SO, 'Ix e (a, b); r non si annulla identicamente in alcun inlervaflo contenuto in (a.b)

Sia f una funzione conliru.ta in

}= )=

.1tretlamente cnscente in [a, b);

f

f è in [s,

bI.

dec;re.rcente

148

CiJpiJolo 6

Dimostrazione: proviamo !'implicazione in essendo F{x) O per x E (B. b), per il criterio di monotonia (48.1) t(x) eJescrotlre in (a, bI. Se non tosse strettamente crescente. esislerebbero xI. x2 e (a. b) co.n xl < x2 tali che: C(lf.I) _ C(Xl): ma all()l'1l. dalo che C(XI) S C(x) S [(xv se x, < x < x1;, f(x) sarebbe costante: nell'inte'rvallo LXI. xLI e r(x) - O pc:r.ogni x 6: {Xl' xl1. contrllriamente all'ipotesi. Proviamo ora l'implicazione: (::: in (48.5); dato che'f è crescenle in [a.• b), per il criterio di mOnotonia (48.1) r(x) 2: O per ogni x lo (Il, b); inoltre r(A") non può annullarsi idcnlicamelllc in un intervallo (x,. XlI s:: (a. b) percht altrimenti in Inle inler.vallo f(x) sarebbe lXI5tllnle, contTllfiamenle all'ipotesi di stretta monvtonia.

y

1 -1

,

••,

-7: 1

-_._-

I ,

-1

Figura 6..5 Osserviamo che una funzione strettamente .cn:scc:nte e: derivabile: in un inlerv8JIo può avere derivata nulla in qualdre punto (il criterio (48..5) C5dude cbe la derivata si annulli tdt:miam1enu in un i.nteJ;'Vallo). Ad esempio. la funzione f(x) = rappresentata in figura 6.5. strettamente crescente su R, perché: (48.7) 2 la derivaI&. r(x) ., 3. è positiva su R - 101, ma si annulla per x "" Q.

49. Fnnzioni convesse e concave lntrodu,cjamo una nuova definizione utile per studiare il grafico di una funzione. Si dice che Una funzione è convessa in un intervallo [a, bl, se per ogni punto Xl) E [s, bl il grafica della funzione in [a, bl è al di sopra della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate ("o. f(Xo)). Analoga-

AppliclIlioni delle ,luil/(ulII. SlI
149

mente si rlict: che un:1 funzione è concava in [a, bl se per ogni punto XoE [a, b] il grafico della funzione è; nell'intervallo [a. bI, al di sotto della retta tangente in (xo. {(",n.

f (;Il:}

" ,

/'

y, /'

",

'

I

/' /,-,

-

•

•

,

!

,l

••-o -••• ••

/

c

b

,

Figura 6.6

Ad esempio, ueUa figura 6.6 la funzione f(x) è COnvessa in [a. bl, ed è concava in [b, cl. Il punto b è un punto di flesso, cioè un punto in cui canibia la concavità. Possiamo ripetete le definizioni in modo pUi preciso utilizzando l'espressione analitica dell'equazione della relta tangente. Supponiamo che f sia una funzione derivabile nell'intervallo [a, bl; diamo le seguenti definizioni: (49.1)

t convessa in [a, b]

{(x) " ((",,) + C'ex,,) (x - x,,).

{

V x. ""

((x)

(49.2)

f concava in [a,

hl

{

E

la, bl;

f(x,,) + C'(x,,) (x - x,,).

V x, ""

E

la. bl.

Se, come in figura 6.6, una funzione è convessa in [a, bJ e COncava in {b, cl (a < b < c), si dice che il punto b è di flesso per la funzione t(x). Naturalmente b è di flesso anche se la funzione f(x) è concava iil [a, b] e convessa in [b, c]. CRITERIO DI CONVESSITÀ. - Supponiamo che. f(x) sia una funzione derivabile ih [8; hl e che amme.rta derIVata seconda in (a. b); le seguenti. condizioni sono fra loro equivaienti

150

Cnpitofo 6

(a)

t(x) è convessa in [a. bl;

(h)

r(x)

(c)

f"'(x) 2: O per ogni x

crescente in [a, hl; E

(a, h).

Osserviamo subito I::he un analogo criterio vale per le fuD2loni concave:. in particolare una funziOJle I(x) derivabile due volte concava in [a, hl se e soltanto se f"'(J:) S O per ogni x E (a, b). Il criterio di monotonia (48.1) applicato alla derivata prima rtx) stabilisce che (""(x) O per ogni li" li!! (a. b) se e solo se f(x) l: crescente in (a. bi; pertlnto le condizioni (b) e (cl sono fra loro equivalenti. La dimostrazione del criterio di convessità sarà completa provando che (a) è equivalente Il. (b).

Dimoslrazione che (a) (b): allo scopo di provare che f(x) crescente in (a. bl. consideriamo lI"l. x2 e la. bl. con Xl c:: x2: ponendo conseculiyomente Xo ugUAle D XI' oppure Il x2. definizione di convessità (49.1). si bll (49.3)

't;/

(49.4>'

vX

x e [a. b]: El

[a. bI.

In (49.4) x è un punto generico di [a. bI; scegliendo x '" lI"2 ;n.(49.3) e x = XI in

(49.4). sommando membro a membro e semplificando si oHiene

(49.5) cioè (49.6) Essendo Xl :> Xl ne "gue che r(xJ 2. r(x,). Dimostrazione che (b) :::) (a); fl5Sllti ll, Xl) li!! (a. esiste Xl ne11'in"ervallo di estremi ll(), x, per cui

bi, con x ..

per il teorema di Lag.-.nge

(49.1) Distinguiamo i casi x :> Xl) e ]l <: Xjl' Se x :> XII, essendo XI e (Xo- x) (cioè, in particolare, XI :> Xjl). per III monotoni.o di rtlt) risulta r(x,) O!: r(xu) che. insieme allo. (49.7), dà luogo alla conclusione: (49.8)

Se li: c:: x(J5i procede in modo analogo, che XI E (x, XII) è millore di ll(le quindi t'(XI) f'(xu); anche in questo caso si otliene .lll conclusione (49.8) percht, di nuovo. qx l ) (x - ,,<,lO!: r(xu) (x - XII)' dnto che (x - IlO) < O.

Applicazioni dd//'. duilio/t!, SII/dio

dj

funzioni

151

Riprendiamo gli esempi introdotti nel paragrafo precedente. La funriooe eS è convessa su tutto R.., dato che la sua derivata seconda (:: eS) positiva.l..a funzione IDg x è com:a.va per x> O. perché \.1 sua derivata suonda (.. - lIx2) è negativa. Il 'lettore può verificare che la funzione arctg JC è COOVes:58 per x < O. cd è concava pe!" x > O; il punto x :.. O è dì lIesso per la (unzione aretg x. La funzione xl è oonvessa su tutto R. 3 La funziOlle (x) ::< x - 3x, considerata iD precedenza. ha come derivate sueees.sive: r = 3x1 _ 3, r = 6x. Quindi t(x) è oonve.ssa per x > O ed è l;oncava per x < O. Sì confronti ron il grafico in figura 6.4.

f(x) = senx

,

2n

3/2x

x

n/2 -1

-Figura 6.7

Le proprietà stabilite in questi ultimi due paragrafi ci consentono di motivare il grafico deUe funzioni trigonometriche scn x, COlI x. Consideriamo ad esempio la funzione C(x) :: SCU x, limitatamente all'intervallo [O, 2rr l. Calcoliamo il 5C1tll0 deUe derivate r "" C06 X, f' .. - sen le

•

0
•2<:«1t

segno di r

+

+

-

-

segno di

r

+

-

-

+

segno di

r

-

-

+

+

x C(x) :: sen

3 :7l:
lt

3 -n
X

In rorrispondenza abbiamo le informazioni di monotonia e di

per f:

152 . ClIpitolo 6

%

[(x) = sen

•2"
•

0<)«2

3

3

x
2"x
li

segno di f

negativo

positiVO

Cl"C$CC.nte

monotonia di f coocavitl di [

decrescente

concava

Quene informazioni, insieme ad alcuni valori [acilmente calcolabili di sco X; indicano come disegnue il grafico ben noto della figura 6.7. In particolare il punto x - nf2 è di mllS5Uno, il punto x =1fe di flesso, il punto x =(312):71: di minimo. ln modo analogo, il lettore può nudiare il grafico della furizione co.s x per x IO [0,2n:J,

Oliudiamo il paragrafo anticipando Un criterio basato sul segno della derivata seconda e studiato in condizioni piil generali alla fuic del paragrafo 52, per stabillre se un punto Xo è di massimo o di minimo relativo per unà funzione fJx) derivabile due volte in un intorno di XoConsideriamo il caso in cui (49.9)

f'(",,)

O,

f"(x,,) > O,

supponendo che la derivata seeonda sia cootinl1a iIi Xo- Per il teorema delia permanenza del segno (paragrafo 35), f"'(x) è positiva in tin intoTDo di "o , ("o .... ar "o + &) j con 6 > o; quindi f è COUV6Ssa in tale intorno. Te· bendo presente che f(%o) == O, risulta t(x) t(xo) + r(",,)(x x,,) t(..),

(49.10)

perciò

è un punto di minÌ1no telatLvo per f.

n èaSO

\Ix

E [. . ..:

a, Xo + al;

.

f"(xo) "" o sì tratta in modo analogo. Riassumendo, abbiamo dimostrato il seguente criterio, valido per una funzione che ammette vata. gecdiida «(tontinua): (49.11)

(XoJ

== O, ("(:co) :> O

(49.12)

=

O, r(Xo) < O::::;.

Xi)

punto di minimo relativo;

"o punto di massimo relativo.

50. 'il teorema d'i VHopital

Siano f('xJ, g(::t:) dtie funzioni che tendono a zero per x

xo. Abbiamo già. visto nel paragrafo 20 che il rapporto f(x)/g(x) è una fOtID": nata per :x -io Cioè, in genere non è poSSibile dedurre immediatamente il

.4ppIiC'IZiOtli de/le derirnue. Swdio di fiul!.iolii

l53

risultato del limite del rapporto ma occorre preliminarmente trasformare il rapporto in modo da to&Jiere l'indetermiiJ.azione, Il teorema di L'Hopitul scl"Ve i.l liuc:.sto scopo.

.

-.

lim g(x)::; O.

Hm t(x):>= O,

lim E-+ r"

'(x) = lim rcx) , g(x) J,. g'(ll:)

: purché esista il secondo limite. l ----

n

teorema di L'H6pitaI vale anche per forme indeterminate del tipo 00/00, supponendo, al posto della (50.1), che f, g tendano aU'infinito per x -+ Xo (ànzi, basta che la sola g tenda all'infinito), Inoltre il teoremà vale per limiti destri e sinistri (x -+ xi) e vale anche pet X ---) + 00, oppure x -4

-

-.

La dilTlO5tradone del tenreml di L'HOpital nei tuo generale proposta nel paragrafo 53 tn ttppendk:e, in questa sede ei limiliamo a prvvlII'e il teorell\1 od cuo particolare, mi slanincaliva. in cUi r, I sono derivabili in l(h con derivala continua, e I (XU) 'iO- o.

In mi casll, dato che f, g $()no derivabili in Xo, esse sono "ochc continue in per la (SO.l), risulta l(Xo) '" g(xo) "" O. Si ottiene )jm

(;jjj/

.

r(x) - f(x,,)

r(x) - = lim A(X)

Sex} - ge..>

Xj)

e quindi.

-

1(x) - f(x,,)

Ihn

x-x"

.- .

g(1.) - g(lftJ

=

"(l'u)

O'("ol

=

lim

F{x)

x-+ ...

(x)

Consideriamo alcuni esèmpL GaIeo)iBmo il limite

(5004)

..... iim

e" -1 =2<

Si tratta di uni fonria indelerminlta 0'0, che verifica. le ipotesi del teorema di L'HOpital

154

Capitolo 6

(ed anzi verifica le ipotesi che abbiamo aS5uo.to nel fare la dimostrazione). Si ha quindi;

.....,

(5<).5)

lim

sen 2x

= lim

x-to 2 C05 2)(

=

1 2

Un'altna situazione 1U cui sono verificate le ipotesi assunte nella dimostrazione è la seguente

.

,r.-l

log x

hm

(50.6)

.

2x

lJx

=hm-=2.

Consideriamo ora due limiti notevoli, analoghi ai limiti di successione (26.3), e chc si calcolano facilmente per mezzo del teorema di L'Ròpita\. Indichiamo con b un parametro b positivo; per calcolare il limite (50.8) deriviamo successivamente n volte il numeratore x , fino ad ottenere una potenza xb-n con esponente b - n negativo o nullo (cioè poniamo n = b, se b è intero, n = {bl + 1 altrimenti); log lC

lim

(50.7)

...-.--....- = tim "

.....-

lIx

-

b)(

,.

l

1m - O; blC b

tim

.....

(50.B) ... '"

tim

.. (,,b":-;-,,n-.:+:-',,)":x,-'_-- = O• -ob"(b'-.---,l")."

"

Il teorema di L'Hl3pital è utile anche per il calcolo del limite di una differenza f(x) - g(lC) che si presenta sotto la forma indeterminata ... - "", oppure per il calcoLo del limite di un prodotto che si presenta sotto la forma indetetminata O,,,,,. Per il prodotto si pOne fg", f/(lfg), oppure ig = gJ(lIf), per ricondursi rispettivamente ad UDa forma 010 oppure -1-. Ad esempio, se b è un parametro positivo, si ha:

(50.9)

Per mezzo del teorema di L'HOpital si cnkolano anche alcuni limiti che si presentano sotto le [orme indetenninate 00, 1-, ""0, come negli esempi seguenti: lim

r

.--.+0+

= lim é" ..... 0...

= lim

.-+0'"

la&

=o

(50.10)

=

Hm

x I",.

lirn

= c·--+·...

,.

Il.

• ""

--:":""""'l

= e.--1o.... - Il .. =

== 1.

Appficaz.ianl

.....

Srudla di funzioni

- Joos(I ..... -)

I)lla ..

lim e

Ib Ics(l .. 10ft al

"" e'-

155

,

lim (I + sen (50.11)

•

=

l''''

= e-

ClIIIÌ

a

l ......

= e l = e.

5L Studio del grafico di una funzione I risullati ottenuti in questo capitolo ci permettono di studiare l'andamento di una funzione f(x) e di disegnarne il grafico. Si può procedere secondo lo schema seguente: A. -

Sì determina il dominio (o insieme di definizione) della funzione

!(x). B. - Si .esamina se la funzione gode di.qualche simmetria; ad esempio se f è una funzione pari: f(- x) = {(x), V x, oppure dispari: f(- x) =- t(x), 'Ix, oppure periodica di periodo T: f(x + 1') = f(x), 'Ix E R. Quando è semplice farlo, si calcolano le intersezioni con gli assi ed il segno della funzione. C. - Si determinano gli eventuali asintoti orizzontali o verticali. Ricordiamo che gli a.sintoti oriz.zontali si trovano calcolando i limiti per x --+:t: 00, se tali limiti esistono e SODO finiti. Cioè: (51.1)

y = r

asintoto orizzontale

.-

lim !(x)

f

e R.

Nel caso della definizione (51.1), si parla di asintoto orizzontale peT x --+ + 00; si può avere in modo analogo un· asintoto orizzontale peJ; x --+ - _. Gli asintoti verticali si trovano calcolando il limite per x --+ Xo (eventua.lmente x --t xo+, oppure. x --+ xen quando il risultato d·ellimite è infinito: (51.2)

x = Xo asintoto verticale

$=:;>

lim

H

..

t(x) =

=-.

D. - Si determinano gli intervalli dove la funz.ione è crescente o decre· scente, ed i punti di massimo o minimo relativo, studiando il segno della derivata prima. Si calcolano i valori di f nei punti di massimo o minimo relativo. E. - Si determinano gli intervalli dove la funzione è convessa o concava, e gli eventuali punti di flesso, studiando il segno deUa derivata seconda.

156

Capitolo 6

Si calcolano i valori di f nei punLi di flesso. Si determinano gli eventuali asintoti obliqui. Un asintoto obliquo per )( -4 + CICl è una retta di equazione. y = mx + q con la proprietà: F. -

(51.3)

._-

Ciò significa che, per x

+

lim [f(x) - ( _ + CICl,

q)J =

O.

il grafico della furizione è vicino al graficb

deUa retta y = mx + q. Supportiamo che esista un asintoto obliquo, cioè supponiamo che valga la relazione (51.3), e ricaviamo i valori di m, q. Se f(x) - mx - q tende à zero per x + oci, a maggiore ragione dividendo l'espressione per x otteniamo ima qUailtità che tende, a zero. Quindi (51.4)

ù = tim f(x) - (mi< + q) X-7"'''

X

l(x) _ m.

= tim X-7i-oO

X

Il valore di q si ricava direttamente dalla (51.3). Riassumendo, i valori di m, q Sono dati da: (51.5)

m = tim x-f....

l(x) ,

q = tim

:li:

[l(x) - mx].

X--=-+i-"

Naturalmente considerazioni analoghe valgono per x - DO. Notiamo anche che, se esiste un asintoto orizzontale y = f per x + CICl, allora è iuutile ricercare un asintoto obliquo per x + DO; Infatti, se f(x) -+ r per x -? + ...., allora f(x)/x O, e quindi m = O, q = f. Cioè si ritrova l'asintoto di equarione y = r. secondo lo schema proposto, studiamo la seguente funzibne: (51.6) A -

((il:) = x elI:>: .

La tunziooe' t definita per ogni x O. Quindi il dominio di f è (- "". O) u (O, + ""l.

B. - Li furlzione Don è definita per x = O e non si aonulla per alcun valore di x E Il -101; il grafico di f(x) noti. inteTllCca gli assi cartesiani; f(x) risulra positiva per x:> O e migarlva per x <; O (aato c.he il fattore e lJx è positivo per ogni x o;; R - [OJ).

c. -

Per determinare gli asintoti orizzontali e verticali si calcolano i limiti agli estremi del dominio. Nel J:.ostro caso si calcolano i limiti di (x) per x -t - "", x -+ 0-; X-J 0+, X -+ + "". Per x -t :!: ..., et I - t e O = 1; quindi (51.7)

Hm x-f1:_

x e lll = ± -;

delle duiyutf!., Studio dì ftUldlJnì

157

pe[CiO non ci sono asintoti ortz:zonlnli. Per l: -+ 0- abbiamo un allro limit", imnledill.lo; inEaui in tal caso 1Jx --t - - . e quindi e .... O. Ne segue

.-

lim "e1/X. O;

(51.8)

ciò significa. cbc: per J:: --J 0- non c'!. un asintoto verticale. Per calcolare il limite per X. --t O· usiamo il (corema di L'HOpital:

lim

.-) o·

,"

x eli' = Lim

_ o·

(Sl.')

lIx"

._ .

•

quindi la retta verticale di equazione x = O un asinlolo per x -+ O·.

y

. \.,..r

y .. xe l/Jl

-', /

, ,

/

FJgUf'l 6.8

j.

I

l 1

158

Co.pi/%

o. (51.10)

6

La derivala prima vale r(x) "" e'i. + x eY' (-

= elli

(1 - D.

Per ogni x risulta e1/x > O. Quindi la derivata prima è positiva se (1 - lIx) > O. cioè se x > 1 Oppure x <: O. La derivata prima è ne&&liv& se O <: x <: 1. Ne segue che la funzione è crescentc Ilel due intervalli (- "". O) e (l, + ....). ed decJtlsccnte neU'intelVallo (O, 1). Il punto x = l di minimo relativo; in corrispondenza la funzione assume il valore f(l) ... c.

E. -

La derivata seconda vale f'(x)=e

'" ( l)2 . (1-;;-1) ", XJ:::: 1 .. - x

+c

(51.11) l

::::e , . .

1)=

e

llx

.

•

La derivata seconda è positiva per x > O. ed è negativa per x <: O. Quindi la funzione è convessa per x > O, ed è concava per x <: O. Dato che f(x) non è defInita per x .. O. non ci sono punti di flesso.

F. - Poiché. il limite (51.7) per x --t ± .., vale inrOlito, occorre esaminare se esistono lUIinloti obliqui. Calcoliamo, come in (65.5), i limili

(5U2)

m = tim .......:_

q:::: lim

x--t:-

(51.13)

eli.:::: eO :::: 1;

f(x) '" tim X

x-t:_

(x eli' - x) :::: 11m

.--t:!:_

x(e 11x

-

1) ""

:::: lim :::: lim

.--t:!:_

eli'::::

l;

per calco\lUc q·si è usato il teorema di L'HOpitnl. Si è trovato che la retta di equllzione y _ x + 1 è un asintoto obliquo per x --t :!: ... per la funzione f(x). Con gli elementi trovati (dominio della funzione, segno, asintoto verticale per x -4 O.... liatilc notevole (51.8) per x -t 0-, intervalli di monotonia e di convessità, punto di miuimo relativo in x = l, asinlQto obliquo) si esegue il disegna del grafico di f come in figura 6.8.

52. La formula di Taylor: prime proprietà Abbiamo già introdotto nel paragrafo 44 un metodo per "approssimare" una funzione derivabile con mi polino:mio di primo grado_ Abbiamo

Applicazioni delle derivate, Swdio di funt.ioni

159

infatti affennato che

(52.1)

I(x)

=1('0) + f('o)

(x .. "o)

(per x vicino ad Xo),

=

dove con il simbolo. intendiamo cbe la differenza· tra il primo ed il secondo membro, che indichiamo coo Rl(x) (resto di ordine 1), tende a zero più rapidamente 'di x - Xo, Cioè, riscrivendo la (44.5) con il resto Rh abbiamo:

I(x) = 1("0) + f(x,) (x" "o) + R,(x),

(52.2) (52.3)

.

lim

Sapendo che una funzione è.derivabile fioo ad un ordine n >.1, ci si può domandare se sia possibile ottenere un miglior grado di approssimazione rispetto al caso n = l, cioè se sia possibile decomporre f(x) in un 'polinomio di grado n ed resto.Rn(x) che tenda a zerd più rapidamente di (x La fonnula di Taylor risponde affermativamente al quesito posto.

Xor.

Prima di enunciare la formula di Taylor, introduciamo il simbolo di sommatoria, utile per scrivere in modo compatto la somma di pi.ù addendi. Diamo alcuni esempi; in particolare, il simbolo a primo membro della (52.4.) significa che si considera la somma di n addendì, con il termine generico uguale ad ab con l'indice k che assume tutti i valori compresi tra k = 1 e k = Il:

(52.4)

L"

a., = al + a2 +

lij

+ ... + a,,-l + an

,

k:l

(52.5)

L"

""" (52.6)

(21< + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n + t).

L• k! = 2! + 3! + 4! =

. .2

= 1 . 2 + 1 . 2 . 3 + 1 . 2 . 3 . 4 = 32 . Nell'ultima sommatoria abbiamo usato il simbolo kl intr.odotto in (26.2), che si legge k. !aUoriale, ed uguale al prodotto dei primi k numeri naturali.

160

Cnpirofo 6

I

(52.7)

Il

Il:..-._._--,'-=-== . _-(52.8)

_'_0-·

"

o.

""l" l i -=--_._-_._--_._. . __ . = -;-I<,,-,,(,-,X)-,;; =

(x -

Nella fuTUlula (52.7), per Il: ,. O, si intende tO)(Xo) = f(xc), e 01 ... l. Quindi se n ,. 2,. si ottiene: .

(52.')

.

f(x) ,.

1:

f(Xp)(x -

_.

xol

t"("ol

+

2

(x -

I

esempio,

+ R 1 (x),

,.

" • • R,(x) • O. ,-h, (x - XU)

(52.10)

per n-l si riottengono.le (522), (52.3). Il leuore scriva esplicitamente la sommatoria per altri valori di n.

DiIvostriamo ora la formula di Taylor supponendo che la derivata fll)(x) sia continua in Xo- n lettore interessato al caso generale, con rn)(x) non necessariamente continua in XQ. può consultare il paragrafo 77. Inoltre, avendo difficoltà a considerare n si consiglia di rileggere il metodo proposto con n = 2. Ricav.ando Rn(x) dalla (52.7), occorre dimoslrare che: (52.11) Il limile si pracnla !QUO forma indeterminata 010, Utilizziamo il teorema di L'HOpital. Notiamo esplicilamenlt: che oa;orre derivare numertltore e denominatore rilpellO ad x: Quindi ad esempio la derivata di f()Q) vale zero, mentre la derivata di ral(xu> (x - ..wl/n! e

uguaJe a

.

f1a'$x.,) . n(x ..... Jla).... l

(52.!2)

nl

-

(x - llu)"l

(!l - 1)1

Quindi il limite nella (52.11) è lo stesso di (52.13)

. _re:..x:..)_-c.(r..:(..:",,::.).+_-_. ".---")..:'1 ----*..!Io n(x - XtJ"" hm

Appliazziollj

derillate. Studio di flllltioni

161

limite (:$;$18. Se Il > I. nbbi.3mo nuenulo una nuova (orma 00. Dopo aver ilpplic&l$ in IOlale Il volla Il teorema di L·li6pital. abbiamo: purché il

(S7.14)

lim .-+..

f'l")(xJ

-

.

01

Quest'ultimo limite l: uro, percht rD)(:ll) l: continua in Jlo. Perciò la tesi (52.11) è dimo!>lTata.

. III. di Taylor alcun.e elcrcotari. Se ;: multa (x) = e per ogru n. QUllldl, ponendo xo = O. SI ba t" )(0) '" e : 1 per ogm n. PerCIÒ otteniamo

r

(52.15)

.,

i' x" • 1 .. x .. -2 + ..... - .. R.,,(x).

Analogamente. Scegliendo Xo ;; O. si ottiene (52.16)

log(1 + x)

(52.17)

. r sen· '" li: - -

(52.18)

cos

z: li: -

..

y

3 2

31

-

x' x" + - - ... + (- 1)"'1 - + R.(x):

2 3 .

r + -sr

x?'

)I; . .

i'

.•.

r-o-

l

• (-I)' (2n + 1)l •

xl"

·1 - -2 + -41 - ... + (- 1)- -+ (20)1

•

/

13

",('l·'

nt-

'

21

l

•

23.

-3·

3

11

15

ren,

"

Figura 6.9 Allo scopo di yerificarc graficamente i risultati ottenuti, abbiamo riportato cella .figura 6.9 i grafici dei polincmi di grado: primo. terzo, quinto..... dle si ricavano dallo sviluppo in

Capitolo 6

162

formula di Taylor per la funzione sen x. Tenendo conto della (52.17), abbiamo posto:

(52.19)

Il disegno della figura 6.9 è stato eseguito con l'ausilio di un computer. Si nota chiara

che j polinomi f2lt +- t (k "" O, l, 2,...} di Taylor banno un grafico per più simile al grafico della funzione sen x, quanto più k è grande.

Il"

vicino a zero, [Dnto

Per mezzo della formula di Taylor è possibile generalizzare il criterio

(49.11), (49.12) nel modo seguente: CRITERIO PER I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO. - Se esistOIlO le derivate sottoindicate della ftmtione f(x) nel punto xo. vaLe il seguente schema: f'(x,) > O

minimo relativo in

X

o

massimo relativo in Xo

«"C x,) " O né massimo, né minimo in Xo {

=

O:

minimo relativo iII

Xo

massimo relativo (n Xn

Dimostmzione: lJna situazione generica nello schema sopra proposto è quella in cui f(x) è deriliabile n volte in Xjl per qualche n ·2. e risulta (52.20)

Consideriamo il caso in cui > O (1a trattazione del caso < O è analog.ll). Per l'annullarsi delle derivate, la formula di Taylor (52.7) diviene (5221)

Applicozioni

SlUdio (Ii. fllnzioni

163

c. per la (5U): lim

..-t...

f{i) - f(xJ

(Jt - XII)·

=

(52.22)

Per il teorema della permanenza del segno. esiste Ò > O tale che

(52.23)

Se n è pari il denominatore (x - xn)n è positivo per ogni :t lI(J; perciÒ risulta C(x) > f(XO) per ogni x li (xu - 6. Xn + 6) - [xul e quindi l!ll è un punto di minimo relativo per f{x). Se Invece n è dispari. dato che il denominatore della frazione (51..23) cambin segno per x mnggiore o minore di Xc" risulta che f(x) > f(xn). oppure f(x) < f(xo). rispettivamente per x > Xn. oppure x < Xo- Perciò la funzione f(x) non ha nf massimo né minimo in Xi..

A titolo di esempio oSserviamo che per la funzione l(x) = x· risulta (52.24)

F(O)

1'"(0) - 1"'(0) = O,

= 41 = 24

e pertanto. in bue al criterio precedente, l(x) ammette minimo nel punto Xc = O; la verifica dirella di tale proprietà è irnrnediataj infatti l(x) ... x· O! O = I{O) per ogni X· E R. Invece, per la funzione' g(x) _ x s; ho: (52.25)

g'(O)

= g"(O)

= O,

g(J)(O}

= 31.

per cui, in '" O. g(x) non assume massimo nt minimo. In realtllia funzione g(x), nppresco· tata ia figura 6.5, ba un flesso io X(J = O. Ossecviamo che tale propriell vale in generale: SI! in un punto lJJ primD. t1erillOtQ non nullo. di ordine dispari (nwg'giore.od ugwJu Q J) alloro lo

funzioM presento un flesso nel pumo.

Appendice al capitolo 6 53. n teorema di_ Cauchy. n teorema di L'Hopital oel caso generale Allo scopo di dimostrare il teorema di L'HOpital nel caso generale, è utile il seguente

TEOREMA DI CAUCHY. - Siano f(x), g(x) due funz.ioni continue in (a, b] e derivabili in (a, b). Se gl(X) per cui

;.t

O per ogni x E (a. b). esiste lIn punto

E (a, b)

164

COJ)'fro!o 6

I

r("o) &'("0)

(5-H)

-

l(b) - 1(.) g(b)

g(o)'

Dimostrazione: si procede come per III prova,del leoremll di Lagninge (parograCo 47). utilizzllndo la funzione (b) -

(53.2)

eta)

h(x) ., C(x) - [ C(a) + (g{x) - g{a» S{b) - g(a)

]

,

cfle ben definita in [a. bI perché g(b) - g(a) *- D(inCalli. se fosse g(a) _ g(b), per illearema di Rolle esisteret>be an punto Xu e (a: b) per cui g'(x4l) '" O. contrariamente all'ipotesi g'(x) *- O per ogni x E (I; La funzione h(x) è continun in la, bl e verificll le condizioni h(o) .. h(ti) • Cl: inoltre è derivabile in (A, ti) e la derivntD vale

li».

(53.3)

.

h'(x) '" r(lI) -

Per il teorema di Rolle esiste XU alin lesi (53.1),

II;;

C(b) - (a)

g(b) - &(a)

. &'(x).

(a, bi per cui h'(Xo) '" O che. essendo g' ti' O. equivale

Se nel teotema di Calichy (coine pure oel teorema di Lagrange) si suppone· anche che fra) '" f(b), dalla tesi (J3.1) si ottiene ('esistenza di un punto Xo E (a, h) per cui r(xo) '" O; cioè lIi riottiene il i:earema di Rolle. che a sLiò volta è alla base delle dimostrazioni proposte pcr ì di LoRrange e di Cauchy. Pertanto, le Comiulazioni dei teoTctni di Rolle, Lagrange, Cauchy, sono da considerarsi fra- toro equivalenti.

Siamo ora in grado di enunciare e dimostrare il teorema di L'Hopital (già introdottò nel paragrafo SO) in ipoteSi generali. Siano {(x),. g(x} due fiinzioni duivabilì Ui

TEOREMA DI L'HÒPITAL. [a, b] - {XoI e tali che (53.4)

Se ((x)

lim ((x) = lim g(x) = O.

,,-).. ti'

O per oglli

"-h"

x e (a, h] - lXcI e se esiste il limite rex) ',,-+.... ,.m = g (•

(53.5)

allora esiste anche il limite per x

4

Xu dal Tappono f(x)'g(x) e si ha

Applìc:t1ZiOIlI dtllt dtr/\1fJ/c. Sludio di fili/t/DIIi

.-

(53.6)

Um

'(xl (x) .

f(x) "" lim g(x) ,,-i...

Inoltre il teorema lIau- anche in ognuno del/e.

L65

situazioni:

(53.7)

si considerano limiti destri (x -. Xo1 o s.inistri (x

(53.8)

in luogo dell'ipotesi (53.4) si SIIplJol1e che

-i

Xo j;

limf(x) = liing(x) "" + _, "-i",

lt-i",

pppun - .... sufficiente diverga a +- o a - _); (53.9)

per

li: - .

Xo. in sola {unziane gex)

t(x), g(x) SO/l.O. tkrillabili in intervalli ilIimi/ali e si cotlSidera illimi!e per x -. + _, oppure per x --) - _.

Dimostrazione: utilizzando !'ipotesi (53.4), estendiamo per continuità f(x), g(x) net punto xn con il v!ilore O; poniamQ cioè f(O) = geO} = O (con abuso di notazione usiamo lo stesso simbolQ per le funziQni (x), g(x), a priori·defintte soltanto in fa, bl - IXo}, e per. le loro estensioni continue in tutto [al DJ)- Così definite t(x) e g(x) risultano continue negli fnlerva-lli [a, lCo], [Xo, bl (se a Xu ;#:. h) e derivabili in (a, XII)' ("o, b).

Osser.viamo preliminarmenle che anc!Je la (uOl:iooe gCx). ollre cht: l'(''l, 1lQl'J si in (a. bI-lleol; infaui, se un PUlllp Xl El (a, b)-IXg) pc.T cui g(XI) '" O, per illeorema di Rplle applicalO ulla tunUQnc g(x) di estremi :li» Xl> esisterebbe un punto Xl e (a. bI - {Xg) per qJi g'(Xl) '" O. ConsicleTiamo una lI"n coi'!veTgente a" Xg lllfe che ll:n e [a. b] -lx,,1. \in Ei N. Per il teorema di Cauchy oppliCilto all"intervollo di estremi XiI e "Il' pt:l-ogni n esiste uil punto lI"'n inlerno a tale inlervllilQ per I:ui

t(x lI )

t(x.) - [(x,,)

g(lI"J - g(x.J

-=

-

f'(x'.)

Dato che x'n è. per pgni n lO: N. interpo all'intervallo di estremi "II e Xn, la sua:cs.sione x'. rollvt:rgc ad xo per n + .P.ercib

(53.11)

. hm

.-h _

f(x.) . '" 11m

.-h _

f'(x'.) _ -

g'(x'.l

I·'m r(x) .

.--)... g'(x) .

l'ultimo pllssaggio vale perché il limite (53.5) esiste per ipotesi. Pertanto il limi le a primo membro della (53.11) è indipclldclllC dalla !iuccessionc x. -i xo: per [a dei limiti di funzioni medillnte successiorli (paragrllfo 31). ne segue che esiste il limite di funzione a primo mt:mbro della relazione CQnclusiva: .

166

Capitolo 6

(53.12)

. f(x) . f(x,,) . r(x) 1101-= hm - = hm-o .. g(x) n-tto:' g(x,,) $--+"" g'(x)

Dimoslrazione del teorema di L'Hòpital nell'ipotesi (53.7): si procede esattamente come nel caso sopra consideralo. Ad esempio, per illimile destro x --+ si suppOne ovviamente che Xl!;oI b e si prende in considerazione una generica successione x" convergente ad XJI, con l'n E (Xl), hl, V'n E N. Dimostrazione del teorema di L·HOpill:ll (53.N): dimostrilllllo la tesi (53.6) per il limite sinistro x --+ Xo (supponendo XII ;> a). Dalo che III dimostrazione per il caso x --+ x"" è analoga, combinando i due risultati si ottiene la tesi per il limite complelo x --+ XII' Indichiamo con r il limite per x --+ "ti del rapporto r(x)/g'(x), esistente per ipotesi. Consideriamo, per fissare le idee. l'e R (In' dimostrazione nei casi r= + _ e 1'=-_ è analoga): per ogni E > O esisle bi ;>·0 (con a S Xo - 01) tale che r(X) g'(x) < (' + e,

(53.13)

L'ipo\esi «x) O in [a. XII) equivllle (come si pub dimostrare) a supporre g'(lI) di segno costante in tale intervallo, diciamo g'(x) ;> O in [a. X!)). Dalla (53.13) scguc allora (53.14)

f'(x) - (l' + e) g'(x) < O..

Definiamo ncll'intervallo (xu - bI, xu) le funzioni (53.15)

hj(x) "" f(x) - (f + E) g(x), hz(x)

=<

f(x) - (I" + 21;;) g(x);

essendo g'(x);> O, per la (53.14) risulta h'l (x) < O, h'l(x) < Oin (Xli - 01. XiI): quindi h I(xl. hl(x) sono funzioni strettamente decrescenti in tale intervallo (ed in pnrticolare ammettono limite per li --+ XII). Per X - t xìi due funzioni hl(x), hz(x) non possono convergere contemporaneamente a limiti finiti, perché la, differenza hl(x) - h2(X) _ I>g(x) diverge aJrinfinito. Supponiamo quindi. ad esempio. che per x - t Xji hl(x) diverga: trattandosi di una funzione decrescente. divergerà a - -. Esisterà quindi b1 S bi tale che h,(x) < O per ogni x E (xn - bz, xo): cioè (53.16)

f(xl - (l' + E) g(x) < O.

O:1to che g{x) > O. g(x) diverge positivamente per x -lo Xu : perciò esiste 53 ;> O tale che g(x) > Cl per x E (Xli - b3' Xli)' Posto 6 = min ne segue infine

App/icaz.icmi f(x) < g(x}

(53.11)

dl'rivate. Studio di ftUl7.ioni

r.

v

E.

In modo analogo si ottiene la disuguaglianza r(x)lg(x» (- E; per la il rapporto r(x)lg(x) ha quindi limite uguale ad r per x -+ Xii .

X li

167

(xn - 6, xo).

di

Dimostrazione del teOI'em8 di L'HOpilal nell'ipotesi (53.9); supponiamo che f{x). g{x) sinno derivabili neU'intervallo la. + _), ton ti > O e con g'(x) OlI; O per ogni x O! a. Definiamo nell'intervnllo (O, Ifa) le funzioni (53,18)

T(t)

g(t) "" g(l/l), Vt e (O, Ila)

t(l/t),

e

(notiamo che. se l E (O. Ilal, allora ben definite). Risulta poi

III e [a, + _l; quindi le espressioni f(I/I), g(lIt) sono

li: '"

lim T(t) '" lim f(lIl) = lim f(x): 1-+11" I-+U' .-+_ (53.19)

lim &(I) '" lim g( 111) '" 1-+'-'

.......-+o"

Hm g(x): E-+-

quindi, se f(x), g(z) sono i'.innilesime o infinite per z -+ • _, allon f(t), alt) sooo rispettiva. mente infinitesime o infinite per I ....., O... Applicando il teorema di L'HOpital al limite del rapporto delle Cunzioni 1(t), g(l) per I -+ O'" (che un CBSO già trattato) si o'lliene . T(t) . T'(I) Illn '" hm •. g{l) 1-+tI" g'(I) (53,20)

.

r(lIt)· "" I-w" g'(lIt) . ( Il Il)

DC(lfl)

.

'" 11m = . _ ' 0&(111)

11m

.

f'(lh)

= lim

g'(III) •

purché l'ultimo limile esista. M.Il, con il c8mbio di variltbile IIt '" x. l'ultimo limite è uguale a (.53.21)

lim 1'(111) = lim '(x) • 8'(111) s--+_ g'(x)

che esiste per ipotesi; pertanto l'uguag.lianza dei limiti in (53.20) è giustificata. Le (53.20). (53.21) forniscono iii conclusione: ,

f(x)

g(x)

hm - - '"

.

C( l1t)

1-+1'"

g( 1ft)

hm

•

(53,22) =

. f( t) hm- • .-+W g(t)

x ), re .-+_ g'(x) lim

CAPITOLO 7 FUNZIONI DI PIÙ VARIAllll.J

In questo capitolo diamo alcuni cenni di un argom.ento - quello delle funzioni di più variabili reali - che in genere viene ripreso e approfondilo in un corso di Analisi Matematica di secondo anno.

54. Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione cartesiana In.dichiamo con R 2 l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali

(54.1)

R' = (x, Y): x E R, Y ERI·

Siap un sonoinsierne di R 2 • Un'applicazione fche ad ogni elemento di D fa corrispondere uno ed un solo elemento di R.è detta una funzione di due variabili; come .nel paragrafo 6, è denotata con il simoolo f:D -7 R. oppure, per mettere in evidenza il fatto che D !;;; R 2, con il simbolo

(54.2)

•

t(x, y),

(x, Y)

E

D,

oppure semplie.cmentc con il simbol() f(x. y). L'insieme D si dice il dominio della funzione f, o anche l'insieme definizione di f. Per rappresentare graficamente-una funzione di due variabili z = f(x, y). spesso si utilizza un r.i(erimenlo cartesiano ortegonale, di assi x, y, Z; $i considera un generico punto (x, y) e D nel piano di bas.e x, y (figura 7.1) ed il corrispondente (x, y,z) a z, con z = l(x, Y) (figura 7.2). Si ottiene cosi, nello spazio tridimensionale di coprdinate (x, y, z), una

superficie, che

detta grafico della funzione t(x, y).

Consideriamo alcuni esempi.

Cominciamo oon la funtione

(54.3)

y) =

x' -

y' ,

17Q

Capil%

7

•""" •

..

'"

"

z =f(x,y)

", "

y•

D

x Figura 7.1

Figura 7.2

che è ilefinita per ogni (x. y) E R 2. Si comprcnde il comportamento della funzione .fissando una delle due variabili indipendenti x, y. Per y fissalo si ottengono delle parabole convesse di equazione z = xl - costante 7.3), mentre per x fissato si hanno dellc parabole conC(lve di equazione z '" costunte - y (figura 7.4).

,

,

/

z=l_ y Z

/ y

y

Figura 7.3

Figura 7.4

Il grafico della funzione (54.3), eseguito al computer è rappresentato in figura 7.5 limitatamente ai pUliti (x, y) del dominio a (orma qUlldrala: (54.4)

D '" l(x, Y) E al:

- 1 :Si: le :Si: l,

tale grafico prende il nome di parabòloide iperboUco.

-l:sySll;

FUllzioni di piti l'Clriabili rt!u/i

171

.,

•

!

•,l

Fit,WlI 7.5 -

{(x. y) .. xl_l

AnaJogamente, scambiando il ruolo delle variabili

(545)

X,

y. si ottiene il grafico della funzione

,

f(x, y) '" y - x-'

.'i.•, •.'

Figura 7.6 -

,

(Cx. y) • y - x-'

172

CapilDio 7

i

! •

y

Figura 1.1 in figura 1.6, dC'llCfiUo da parabole concave di equazioDe 'Z:::: costante parabole convesse di equazione 'Z _ yl - costante, se x fissato. La Cunrione (54.6)

i

se 'J fissato, e da.

f(x, y) = y(r + x)

ha, per y :> O fissat9, il com(?Ortam.!nto di un.a parabola convCS\Ia del tipo z::=.j + x, mentre se 'J un numeco negativo fissato, il-comportamento t quello di uoa parabob. amava del tipo Z = -.lo - J: (si v:eda la figura 7.7). In\!ece per x fissato la fuwone (54-.6) ha un comportamento liDeare: si tratta di una retta dì equazione 'Z:= costante· y. Pertanto il grafico della fulttiQne f(x, y), rappresentato in figura 7.8, è unione di una famiglia di rette; per tale morivo si dicecbe il grafico è una superficie rigata. La funzione (54.1)

t(x. ,) •

=<" • I)

t

definita per ogni (x. J) e ali per- comprenderne il grafico opgortuno pensaR- (1". Y) funuone composta nel mooa

(54.8)

f(x, y)

:=

cos

,

(t

D).

-1_

Nel piaoa x, y l'equazione x'l + (l, coo t -:> 0, ntppresenta un-. circonferenza di eentro l'origine e raggio t, come iD figura 7.9; in figura 7.10 invece rappresentata la funzione .

,

La funzione f(x '1) in (54.7) è costante (ciot llSllume lo stesso valore) In tutti i punti d.ella 1 circonferenza + Yi = t2, con t fissato, ed il valore è appunto uguale a 1; _ cos t • Il grafico di f(x, y) si ottiene facendo cuotare intorno all'asse :.l: il profilo disegnato in figura 7.10; si alla superficie ntppresenlala in flgun 7.11. Si dice che l(x, y) in (54.7) è in'llariance per rowLioni.

i

rimdoni di più v"riabili

Figura 7.8 -1(lI, y) = y(:.?

173

+ 11)

Invece in figura 1.12 è nippreseotato il grafico della funzione di due variabili

y ):2+ y 2=t 2

-- , --"• •

•

1

x

t

V

Figurn 7.9

•

z= CDS t 2

o

••

t

--"--• o

Figura 1.10

174

Capifu/o 7

1

f(x, y) = cos(x +

Figura" 7.11 (54.9)

f(x. y) = sell

che è costante suUc ipcrboli del piano COUle la fWlZione (54.7), anche (54.10)

'l.

l)

"y.

y di equazione x . y = t, con t fissato in R.

r(x, y) = log(x1 +

'i)

'.

Figutll 7.12 -

[(x, y) :, scn xy

è in'lariante per rotazioni; oon è però definita per x

1

+ l = o, cioè nel punto O). 11 grafico

si ottiene facendo n\Olilre intorno àll'assè z il profilo della funzione z "" log t ::> 0, come in figurll 7.13. Sono invarianti per rotazioni anche le seguenti funzioni (54.11) (54:12)

fo(x, y) ""

l - ..}Xl

+

•

t

= 2 log t, con

FUllzioni di pill variabili reuli

Figura 7.13 -

,

175

,

f(x, y) '" log(x- + Y ')

(54.13) i cui grafici sono rappresentati rispelliv9mente nelle figure 7.lA, 7.15, 7.16. La funzione

lo,

definita su tuno R1., ha per y = O un pronto descritto dall'equazione

z:::: 1

(54.14)

--,f;i

&

1 - Ix!;

3nalogameole, per x ... O risulta fo{O, y) = 1 - Iyl; si noti il punto angoloso, dovuto al valore assoluto, in figura 7.14 in corrisppndell:l8 al pWlto (x, y) = (O, O). La funzione Il definita se 'A,z + l, cDe corrisponde all'esterno del cefChio dcI piano x, y di centro ['origine c raggio 1. Aoalogamente, la. funzione f2 definita all'esterno del cerchio di centro l'origine e raggio

l2

-J2 .

, f2,

•-•• , .

•

Figura 7.l4 -

2 = 1- -./1/.1

+';

176

Capitolo 7

.. _-,

.'

FigliTa 7.15 -

% •

1 -

+ .; - 1

•

"

i ...

,."":",' ".,

'. , '.'.

..

.. .

.

figul"8. 7.16 -

z: • 1 -

R + y- - 2

Come le funzioni in (54.12), (54.13), anche

z (l-f)

(5U" (54.16)

non sono definite

Z •

IU

+

f - xl - {2> x' - fl

rutto R 2. La (54.15) 'definita quando

(54.17)

(l-x')-(l-f).o,

ciof: quando i fattori l _ x1. e 1 - .; hanno lo stesso segno, e cii) accade nell'insieme tratteggiato in figura 7.17. La (54,16) definita quando ]'argoimmto dello. ra.dice qUlldrata maggiore od uguale a

zero. Ricordiamo che l'equazione (54.18)

177

Flll/zioni di pui Yl1rinbiJj relJ/i

•

•

y

"

!• 2

x

Figura 7.18

Figura 7.17

rappresenta una circonren:.nza del piano x, y di centro nel punto di coordinalc (In, O) c raggio 112; analogamcnte l'cquazione (54.19)

r + yl _ 21:." (x .... l)l i"

Figurll 7.19 -

z '"

.1 - -

r -1=O

l?) . (l

- y!)

rappresenla una circonfcrenza di centro (l,O) e raggio l. Si vede allora che la funzionc (S4.16) e definita aU'inte-rno della circonC<:renu (54.19) e all'dte-ma dcllll circonferenza (S4.18), qu,ndo risulta:

178

Capifolo 7

(5
r.,;-2xSO

l""

.l-

2 {HleUore verifichi cbe non uislono roppie (x. y) tali che x • x <: O e 1(2 2Jr:::> O); li ottiene il dominio tnllteggiato in figura 7.1B. Nelle figure 7.19.e 7.20 sono rappresentati rispettivamente il grafico della funzione 2 (54.15), limitatamente Al quadrato D ,.. I(x, y) E R : - l S x S; 1. - 1 s; YSII. eJ il grafico deUa fUflzione (54.16) «vistll da dietro_o cioè cambiando il 'verBo all'asse x (chll, analiticllmente, corrisponde .:l. cambiare" con - x).

.• .

I

Figura 7.20 -

z '"

..J- (i! + }) + x) . (r + -r + 2:1:)

55. Limiti e continuità Un intorno circolare 4 di raggio 6 (> O) di un punto (Xo,. Yo) e R 2 è, per definizione, il cerchio ape;rto di centro (xo, YII) e raggio O (in figura 7.21); analiticamente l'intorno 16 è individuato dalla condizione:

l,

(55.1)

I(x, y)

E

R' : (x - x,,)' + (y - yOJ' <

a') ;

talvolta, equivalentemente. si pre'ferisce scrivere:

(55.2)

(x, Y)·E l,

=

i(x - "o)' + (y - Yo)' < a. 2

e sia (Xn. Yo) un punto di R con la proprietà che in ogni intorno ciIcolare di (xo• Yo) cada almeno un punto del dominio D distinto da (JCo, Yo) (come in figura 7.22); in

Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme D 2

l: R

Funzioni di pill variabili reaii

179

analogia con la definizione introdotta nel paragrafo 30 per le funzioni di una variabile reale, si dice che (Io. Yo) è UD punto di aEcumulazione per il dominio D di definizione deUa funzione l(x, y).

-

Y

l-

Yo

1"0 x

FiZtlra 7Il

Figura 7.21

Nelle condizioni aJ)Zidette si dice che f(x. y) converge ad un numero reale r. per (x. y) che tende ad (Xg, Yo). e si scrive (55.3)

l(x, y) =

Iim (x., y)-t{

• Y. )

se per ogni E > Oesiste b > Otale che lf(x, y) - rl < e per ogni (x, y) - (Io. Yo)J· In simboli In (55.3) si può anche scrivere: \/E > O

(55.4)

> O,

\/(x, y) e D - 1("0 , Yo)},

- "o)' + (y - Yo)' <

=>

Il(x, y) -

Ad esempio risulta

.

(55.5)

2: •.2-

lun

(-.r)-o(O.llt

infatti, essendo

+

Y' :SI: xA

+ y4 + 2 .j1

r

x

+J

= +

'l'i ' si

[55.6) perciò, se per ogai e > O si pone b =

..[E , si

0 ;

ottiene

ha

M<

E.

E

le. n D

180

CUpilOli) 7

(55.7)

(x, y)

(O, O),

Se la funzione f(x, y) è defini,ta anche nel punto (Xo. Yo) e se risulta (55.8)

allora si dice che f(x, y) è continua in (xo, Yo); si dice poi che f(x, y) è continua in un insieme D se è continua io ogni punto di. D. VerifIChiamo ad esempio che la fuDZione (55.9)

f(x,)')-x-y

continua nel punto (xo. )'0) = (O, O): essendo f(O, O) :: O, occorre mostrare ehe lim

(55.10)

l(·y_O.

(",)-1(0,0)

A tale scopo mOlltriamo preliminarmenle che

(55.11)

l

Ix. yl Si(.r + i'),

"'(x, Y) E R 2

:

l,

infani, se x - Y
l,

ln base alla (55.11)., risulta JXYI < e ogni qualvolta si ho (55.12)

=

z" + l

< 28. Penanto, PQSto 6·=

..j2e ,

Ix.y-Ol
che prova la [esi (55.10).

Come accade per le funzioni di una variabile, anche le- -funzioni di due variabili, ottenute componendo potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche, sono continue nel loro insieme di definizione.

56. Derivate parziali. Gradiente Sia f una funzione di due variabili definita in un intorno ci.teolare 16 di un punto (x, y), come in figura 1.13.

y

di pilì variabili reali

IlU

---rT

(x,y) (x+h,y)

- -_ ... -

•

/>

, I(.. l I

"'>C>

..

x-o Figura 7.23

In particolare f è definita, oltre che in (x, y), anche in (x + h, y), qualunque sia h tale che jhl < 5. La derivata parziale di f rispetto a4 x nel punto (x., y) è, per definizione, n·limite

llin f(x + h, y) - i(x, y)

(56.1)

h

h-+O

'

se tale limite esiste ed è rmito (si noti che si tratta del limite di una funzione di und. variabiù reale. dato che y è fissato e gioca il ruoio di parametro); se esisie là derivata parziale rispetto ad x si denota con uno dei simboli

(56.2)

f,.;

f. (x, y);

-'

ax'

D:I f.

Analogamente, la derivata parliale di f rispetto ad y nel punto (x, y) è, pet definizione, il limite

(56.3)

. f(x, y + k) - f(x, y) llin k ' ,-00

purché tale limite esista e sia finito, e si denota con uno dei simboli

(56.4)

f, (x, y);

aE

ay ,

A seguito deUa defini21one, le derivate parziali di una funzione di due

182

CJpitolo 7

variabili si calcolano con le stesse regole di derivazione per le funzioni di una variabile, considerando l'altra variabile costante, con il ruolo di parametro. Come primo esempio, calcoliamo le derivate parziali deUa. fun:cione

(565)

f(x,y)a7!+x,/,

l

Nd d'-rivare rispeuo ad x si considen y ooatante (come $l!; fosse, ad esempio = 9 e si 2 dovesse derivare la funzione li: -+ x + 9x)j si ottiene la derivata parziale lispetto ad x:

(56.6) e, analogamente, la derivata rispetto ad y:

(56.7)

(x, y)

'Jxy.

lA funzione

(56.8)

f(x, Y) .. sco xy,

(x,Y)ER,

il cui grafico è rappresentato in figura 1.12, ammelte le seguenti derivate J)M'Ziali: (56.9)

er-ycosxy,

." li: COI

"1,

'1(x, y)

E

R2

•

E

R2

_

Come ultimo esempio consideriamo la fum.ione (56.10)

e- ;

f(x, y) ".

si tratta di una funzione costanle rispetto ad y e le sue derivale parziali valgono: (56.11)

_ O,

'1(x, y)

Se la funzione f ammette derivate parziali t., f T in un pWlto (x, y), in tale punto si definisce il gradiente di f. indicato con grad f, oppure con Df. come il vettore di R:l avente per componenti le derivate parziali di f; in simboli: (56.12)

gr.cl f

DI

(l, , l,).

Si dimostra che, se non è nuUo, il vettore gradiente indica Ja direzione di massima pendenza del grafico deUa funzione. Ad esempio, la funzione (56.13)

(x, y)

&

X

+ 2y,

(x, Y)

E

a2.

FIIIU:ivlIl IU può .'ar;abili ,.,lIli

,

l',

l83

z;t(x.y)cax+by+c

I I

I I

I

I

I

1----'

II

fs

fy

r--Ir' ==:;..,- - - , -Y'-.,./

,

/ ,

,....

,

. .---- D F18UQI. 7.24

ammette derivate parzinli f1 vellore di R 2

'"

l, - 2 costanti su R 2 . il gradienltl di f per definizione il

(56.14)

grOO f '" (l, 2)

ed esprime 111 direzione ed il verso nel piano di base x, y in cui cocviene muoversi per oltenere il mllS$imo incremento della funzione f (a parità di percorso nel piano Jt, y). GeneraJinando l'esempio (56.13). in figura 7.24 stato rappresentato il grafico di una generica jum.ioM linbtre di due variabili, dì equazione

(56.15)

z == f(x, y) '" ax + by + c.

con e D. dove come dominio D stato scelto un cerchio del piano X. y. li grafico di y). con (x. y) e D. è una porzione di un piano dello spazio tridimensionale di assi X. y, z. Il gradiente di y):

(56.16)

gnd

r=

• l,l = ( •• b)

rappresentato in figura 7.24 da un vettore giacente (nel piano x, y) nel cerchio D; nella direzione del &J"Ddieote, in corrispondenza. la fuozione (x.. y) ha la massima pendenza.

184

Capitolo 7

57. Ilerivate successive. Teorema di Scbwarz Sia f una funzione di due variabili definita in un intorno circolare 111 di un punto di R:l e supponiamo che in tutti i punti di III f ammetta derivate pamalì

(57.1)

f, (x. y).

I. (x. y).

(x. Y)

E

16 ,

Se a loro volta le funzioni f.o:. f y ammettbno derivate parziali

a

il il, f, •

(57.2)

ay

fJ'

I

quest'ultime si chiamano derivate parziali seconde della funzione f e si indicano rispettivamente con i si"",boli.

(57.3)

1" • r,..

In.

f".

oppure con i simboli

(SH)

a' l ax"

d'l dx

ay

•

a' I

dy dx •

d'l il

'1"

In particolare fil)" fy. vengono dette derivate seconde miste, mentre fu• .fyy vengono dette derivale seconde pure. Ad esempio. la funzione (57.5)

f(x. y) = xJ

V(x, y)

,

lEi

D

"2

(x. y) e R 2 ; x > 01

per y fisstlto una potenza. mentre per :t fmato un esponenziale che, ai fini della deriva· zione rispetto ad y, è opportuno rappresentaTe nella fonoa f(x, y) = e. rtoP . Le derivate parziali prime di f(x, y) valgollo t,,_yxr- l

(57.6)

f,=x J ·logx.

•

Le derivate seconde pure sono date d.

(57.7)

fII ...

y(y - 1) "r-2

•

f)'J = x' . (Iog X)2 ;

per ottenere fil)' deriviamo f" in (57.6) rispetto ad Y COD la regola di deriva7.ione del prodotto;

(57.8)

f.r = J[r-l + y xr-I

.

log x ..

xr-I (1 + Y log x);

FIIII(,ioni di più wWltJbili re.di

la derivata fyx è ottenuta derivando ri:lpeno ad JC

r,., = Y

(51.9)

X,..I .

185

(57.6):

I 108 x + x' . - = x'-' (y log x + 1).

,

Il lettore che ba seguito il calcolo di fll)" e fyx avrà notaIo che, con pllssaggi intermedi differenti nei due casi, si è ottenuto lo StessO risultato finale. Ciò Don t casuale ed il: formalizzato nell'importante teorema che segue.

TEOREMA DI SCHW ARZ. - Se WIQ f entrombe le derivare fll)"' f)'. e se tali derivate seconde sono continue in (xo. Yo). allora t.,<... Yo) • t,.
.------........'0 ye---r----- (", y)f

,

yo

.... - --_ .... _--. (x.o, yo)

I

l

l

(x, ya), I

I

l

>
'

/

Figura 1.25

UIfli'Zzando i valori della funzione f in corrispondenza ai punti rappresenmti in figura 7.25, definiamo (57.10)

F(x.) = f(x.y) - f(x,yO>

(per y fissnro);

(57.11)

G(y) " f(,.y) -

.re....')

(per x [usato).

Risulta:

186

Capitolo 7 F(x) - F(x..) .. f(x.y) - f(x.y..} - [f(x...y) - f(Xu,Yn)]'

(57.12) O{y) - O{Yu) = f(x,y) - f(lCooY) - [f(x.y.J - f(XuoYIl)J, per l:Ui (57.13) Applichiamo il teorema di Lagrange (paragr.ro 47) .Ila funzione F(x) nelrintervallo di estremi 'ItJ. :r;; esìsle in tale intenoallo un punto Xl per cui

(57.14)

applicando di nUovo il teorema di Lagrange -alla funzione y -t f,,(XI. y) nell'inlervallo di estn:mi YIl, y. oltenillnlo resistenza in lale intervallo di un punto Yl per cui F(x) - F(x,J - (f.(XI' Y) - f,,(XI' YD» (x -

x.J

=

(.57.1.5)

= '"l'(xi' Yl) (x - xJ (y - yJ. Procediamo in modo analogo con la funzione O(y) nell'intervallo di estremi Yn. y: esistono Y2. e poi. x2. per cui G(y) - G(,,) • G'(,,)(Y - ,,) • (57.16)

Confrontando le (57.1]). (57.15). (.51.16). si perviene alla condi2.ione (57.17)

es.endo i punii (Xl. fl) e (X2. Y'Ù interni aireltaniolo disegnato in figura 726. Pusando III limite per (x, y) -t (lfo, Yo) anche (Xl. )'1) e (Xl' h) lendollO a Yo): per l"ipotesi di continuità di f.,.. fy" si otliene la lesi f., '" fr.(x.,SJ. Per finire ossetviamo che se le deriYale seconde misle noo sono continue, aUon non neces:!lariamente sono uguali. U lettore esegua la verifica sulla funzione f(x, y) defmita da (57.18)

f(O,O)=O.

f (x, y) '"

r,

T?-+-j

'r:I (x. y)

(O. O)

relativamente al punto (O, O). Osserviamo inoltre che il teorema di Sehw!l1"t. fornisce informazioni anche per le derivate lerze, quarte, e cosi via; infatti, applicando ad esempio illeorema alla derivata parziale fs • si trOVI che fU)' '"' fJ;".' purché tali derivite lene siano continue. Pertanto. se una funzione

FUflz.ioni di pid variabili rftJli

di due variabili ammette derivate terze_continue, queUe distinte sono al più quattro. c

187

(57.19)

y

y,

r - - - - - - - - __ .,(x,y) I

I.

I I

I

I

(XH,)

I

y,

y,

I

.(Xl,Yl)

I l ---J

(Xo, Yo)

x Film. 1.26

58. Massimi e minimi relativi Sia (x. y) una funzione di due variabili definita in un insieme D ç;; R 1 . Un punto (Xeh Yo) E D è di massima relativo per la funzione (x,. y) nel dominio D se esiste un intorno circolare 16 di (xo. YD) tale che (58.1)

t(x",yol " t(x, y),

V'(x, y) e 16

()

D

(ricordiamo che 16 è stato definito nel pa""agrafo 55). Analogamente, uo punto (xo. Yo) E D è di minimo relativo per la zione {(x, y) nel dominio D se .esiste un intorno circolare 1& di (Xo. yrJ taJe che (58.2)

t(x"y,) S t(x, y),

\1(x, y)

E

t,

n D.

Un punto è interno ad un insieme D l:; R 2 se esiste un intorno circolare 1{a di (Xo.Yo) contenuto in D (si veda la figura 7.27).

188

Capitolo 7

y

punto non

lntemb Il D

x Figura 7.27

Pertanto un punto (xo. Yo) E D è di massimo (rispettivamente minimo) relativo interno alI'insieme D per la funzione f se esiste un intorno crrcohi.re 16 di (xo. Yo) tale che (58.3)

V(x, y) e I,

I(x"y,) " f(x, y),

(rispettivamente f(XooYoJ S. t(x. y), 'v'(x, Y) E 16 ). . I due teoremi che seguono sono utili per la detennihazione dei punti di massimo e di minimo relativo interni al dominio di una funziOne di due variabili. TEOREMA (CONDIZIONE NECESSARIA); -- Se (Xo,YD) è un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio D di una funzione f(x, y) e se {(x:, y) dotata di derivate parziali prime in ("o,yD), allora risulta (58.4)

',C"",y,)

= O;

I,("",y,) = O.

Dimostrazione: supponiamo nd esempio che ("o,Yo) sia un punlo di mllssimo relativo interno al dominio D di una funzione f(x. y); esisle_allora un intorno circolare [o per cui vale la disuguaglianza (58.3). Fissato Y '" Yn. consideriamo la funzione di una variabile reale

Fun::.iUllj di pilì varù,lJiIi nUlli

(58.5)

l89

'" f(x. fII)'

che, per III. (58.3) COn Y :: Ylh soddisfa:

(58.6)

'q'XEi

cioè x(I è un punto di massimo relalìvo ìnlemo per la funzione F(x} nell'inrervallo (xth - b. )tu + a). Per il teorema dì Fermat (pnragrafo 46). rìsuha P(xn) = O; cioè. ricordando la definizione della funzione F(x:)

(58.7) Si procede in modo analogo per ottenere fJ(xI1.y,,) :: O. In base al teorema precedente, i punti dì massimo o di minimo inlerni al dominio di una funzione di due variabili vanno ricercati tra i punti che annullano entrambe le derivate parziali prime; tali punii si dicono punti critici per la funzione. In altre parole, un punto critico per ulla funzione un punto io cui si annuita il gradiente della funzione. li teorema che segue fornisce un criterio per stabilire se un punto critico sia di massimo o di minimo relativo per una funzione; prima di enuociare il teorema premettiamo alcLlne notazioni.

Supponiamo che f(x, y) ammetta derivate seçonde continue in un ìnsie;nç D s;: R 2; si definisce il determinante Hessia110 H(x:, y) (o semplicemente -Hessiano): f,,(x.y) H(x. y) (58.8)

f,,(x.y)

t,,(x.Y) =

f,., .

t" -

(f,.,)'

(ricordiamo che, per il teorema di Schwarz, risulta f Ky = f yx)' per mettere in luce la dipendenza dalla funziolle f. si usa la notazil,me Hf(x.y), invece dì H(x,y). TEOREMA (CONDIZIONE SUFFICIENTE). risulta

f,CXO,yO) = o. (58.9)

{Hf(xo.yJ > O.

Nelle ipofesi precedenti, se

t,{x.,,yol = O f,,Cx.,,yol > O

l \lO

CDpitolo 7

allora (XooYo) è un punto di minimo pu f(x,y).

C,("",y.,)

(58.10)

invece riJultQ

0,

{ HI("",y,) > 0,

t,.("",y.,) <

°

allora (Xo, Yo) è un punlo di massimo rtiatillo per f(x,y). lnfim, risulta

(58.11)

lH(XooYo) < O,

allora il punto (Xo. ya) non né di m4SSim0, n.é di minimo per f(x. y) (cd in tal caso si dice anche che (Xo. Yo) è un punto a se/ID per f{x, y».

Pertanto un punto critico (xo. Yo) risulta di massimo o di minimo relativo per una funzione f(x, y) se Hf(Xo, Yo) > O; se invece Hf(xo, Yo) < O allora il punto (Xo, Yo) non è né di massimo né di minimo. Il caso Hf(Xo, Yo) = O non è contemplato nell'enunciato del teorema. potend05i verificare sia che (Xoo Yo) è di massimo o di minimo, sia il caso contrario. Non diamo la dimostrazione della condizione sufficiente sopra enuo· cista, ma illustriamo alcuni esempi. La funzione (58.12)

(x.

y) :: xl + .;

ammette derivate parziali fil ., h, fy" 2y che si annullano nel punto di coordinate (O, O). U determinante He!lSiano vale

2 (58.13)

o

O =4

2

ed è quindi positivo. Essendo fu <= 2 > O, iLpunto (O, O), in base alla (58.9), è di minimo rdativo per la funrione. Si verifica anc:be direttamente che (O, O) risulta punto di minimo 2 RlMIUIO per f(x, y) su R , pucht

f(O, O>' .. O s xl +

(58.14)

'I = {(x, y),

V(x, y)

&:

R.

Anche la funzione

C(.,y)=1'-'"

(58.15)

ha derivate parziali

[I:: -

2x, f," 2y che si annullano io (O, O). Però, essendo il determinante

Fun:tioni di più. ",arÌiJbi/j rudi

191

Hasiano

H-

(58.l6)

1

2

O

negativo, in base alla (S8.11), (O, O) Iln punto a sella per la fùnzione; tale punto a sella beo riconoscibile nel grafico della funzione in figura 7.6La funzione

C(x, y} .. r - 6y(x + y)

(58.17)

definita nel dominio D costituito da rutto lo spazio

a 2.

Il gradiente di cOJrispondenza ai punti di coordinate (x, y), soluzioni del sistema

r si

annulla in

r.::: 3r - 6Y.0 ((,=-6X:-12y=O'

(58.18)

12l-

dalla secoada equazione si ricava l!:::: - 2y, che,llOlltituito nella prima. di luogo a 6y = O. y = O, oppure y s 1/2.; in corrispondenza è l!: "" O, oppure l!: '" - 1. Perciò i punti di coordinate (O, D), (- l, lfl) sono critici per la funziol).e C in (58.l1). Il determinnnte Hessiano di f vale

H(x, y} =

(58.19)

-6

- 61 '" - 144x - 36. - 12

In particolare per (x, y) .; (O, O) si troYa H(O, O) - - 36; siamo quindi nella condizione (58.11) del teorema e (O, O) 6 un pWlfO a sella per l(x, y). lovece, per (l!:, y) "" (-1,112) si trova H(- l, 112) o::: 108 > O; essendO Y-l, 112) = - 12 <: O. siamo nella condizione (58.10) ed il punto di coordinate (- l, 112) di massimo relativo per f(x., y). lo figuro 7.28 è rappresentato il grafico di f(x, y); si noti iD particolare il puoto di fllaulmo relativo nel quadrante deUe y positive e delle l!: negative. 1 punti critici della funzione (5820) si determinano risolvendo il sistema

If,. = (58.21)

2xy

e-( ....

t) .. O

lr,. ,., (l -1. i) e- ( .... t) .. O

La prima equazione fornisce le COndizioni x = Ooppure y = O. Quest'ultima, cioè y = O, non è compatibile COQ l'altra condizione r, = O, che invece soddisfatta per l - 2y2 • O, ciot per y "'::!: n... Si trovano quindi i punti critici (O, 12), (O, fl) .

42

-12

-..p.

192

Cupicolo 7

z

y

Figura 7.28 -

f{x, y) = .; - 6y{x + y)

Si verifica che il determinante Hessiano

t positivo in entnlmbi i casi.., mentre pt:e

(58.22) si ha.:

fu (O,

..j2 a) = -

..f2 e- In < O, fu (O,

-..fì fl)

=

...{i e- 1I2 > o. Pertanto (O,

ii fl) t

un punto di massimo e.{O, - -.f2 a) t un punto di minimo per la funzione f(x, y), il cui grafico t rappresenlato in figura 71.9. Chiudiamo il paragrafo con un esempio di punto di maS'limo (o di minimo) per una funzione con deu:nninante Hessiano Dulio. Dalla figura 7.11 si vede chiaramente che il punto centrale, di coordinate (O, Q), t di massimo per la funzione

(58.23)

f(x. y) = "" (x' + y') ;

ciò t evidente anche analiticamente. perche, essendo (58.24)

f(O, O) == cos O • 1 cOS. (J2 + yl) .. f(x, y),

il punto (O, O) risu1ta di massimo assoluto per f(x, y) $U al. In accordo con la condizione necessaria (58.4), (O, O) t una soluzione del sistema

FUII<.iolii Ji pill variabili renii

193

..•

Figura 7.29 _ r(x, y) '" y e-i

(58.25)

r. r' I

-2, + y'). O.

f, '" - 2y sen(r + y.)

=

O

Il determinante Hessiano vale

(5826)

Hf_

-2 sen(r +Y)-4YZcos(x1 +

yz)

e si annulla in (O, O) (inflllli tutte le deriv!lte parziali seconde si llnnullano in (O. O)).

59. Funzioni di tre

più variabili reali

O

Indichiamo COn R 3 l'insieme delle teme ordinale di numeri Teali:

(59.1)

R' = I(x, y, z): .eR, yeR, zeRI

e, pii) generalmente; con R'\ l'insieme delle n.p/e ordinate di numeri reali:

(59.2)

Rn =

{(Xl '

••..• XQ ) : Xi

e R, Vi == 1, 2•...• n).

Un'applicazione f che ad ogni elemento di un insieme D

Q

R fa corri-

CDpitolo 7

194

spandere uno ed un solo elemento di R è dena una funzione di n variabili ed è denotata con il simbolo

(59.3) nel caso particolare n = 3 si ha una funzione f di tre variabili reali. che è denotata anche con il simbolo

(59.4)

I(x. Y. z)

in ogni caso si usa. anche il simbolo t D R e l'insieme D è detto il dominio della funzione f. Molte definizioni e concetti introdotti nei paragrafi precedenti per le funzioni di due variabili si estendono aUe funzioni di tre o più variabili; ciò vale ad esempio per le definizioni di limite. continuità, derivate parziali. Vediamo piil in dettaglio quest'ultimo argomento. La derivata parziale di una funzione f rispetto alla variabile "l. nel punto (Xli X2,•..•Xn). è il limite

(59.5)

.

I(x, •...•

X;

+ h•...• xJ - I(x, ....• X; ..... x,,) h •

purché tale limite esista e sia finito; in tal' caso si denota con uno dei simboli

(59.6)

Dj f.

Da. f:

Ad esempio. le derivate parziali della funzione di' tre variabili

(59.1)

{(li. Y. z) '"

r

+ .; +

r + xyz

sono date da

(59.g)

fz '" :bi: + yz;

f, ... 2y .+ xz;

Mentre la funzione di n -variabili. detta modulo o

(59.9) ammette. pet ogoi

(59.l0)

{(x,. Xz ...., (Xl '

•..• ,

x n)

'{"

{.,"'-=

t. ... 2z + xy. fIOrt1Ul,

definita da

x,.)::::o.g + xi+ - + X:.

(O. 0•...•0) , derivate parziali date da

'"

.

Vi ::; l. 2....,n.

FUnf.ioni di più variabili reall

195

Come per le funzioni di due variabili, anche per le funzioni di n variabili si definiscoDo le derivate parziali seconde, che vengono a costituire la guente matrice quadrata n x n, detta matrice Hessiana

(59.11)

..

f,., "

:t,

flll

...

... f,., .. f:t1 J.,

...

l,. "

•

...

l,. ..

Applicando il teorema di Schwarz (paragrafo 57) sull'inversione dell'ordine di derivazione alla funzione di due. variabili

(59.1Z)

g(1<;.Xj ) = l(x, •..., 1<; ,••.• xj

.... ,

lasciando fissate le altre variabili con il ruolo di parametri, formula

(59.13)

[ .,IJ = l lJ'"

(i;Oj).

x,) SI

ottiene la

\Ii. j = l. Z•...•n. (i ;O j),

purché tali derivate seconde esistano e siano continue. Pertanto la matrice Hessiana (59.11) è una matrice simmetrica, nel caso in cui tutte le derivate parziali seconde siano continue. Con le stesse definizioni e la stessa dimostrazione del paragrafo precedente si prova che in un punto di massimo o di minimo relativo interno ai dominio di definizione risulta

(59.14)

f, , =f,, = ... =[.. =0.

nell'ipotesi che le derivate parziali prime esistano nel punto. Una condiz.iooe sufficiente per i massimi ed i minimi, in termini della matrice Hessiana (59.11), esiste ma più eample.ssa della fonnlliazione data nel paragrafo precedente nel caso di di due variabili; tale condizione sufficiente si esprime dicendo cl:te la matrice Hessiima (S9.11) è deflflita positiva (rimandiamo ad un testo di Analisi Matematica 2, Q di Geometria, per la nozione di malrice quadrata ddinita positiva). La condizione sufficiente, nel caso di funzioni di Dvariabili. ha un notevole· interesse teorico, ma ba un minore Interesse applicativo ncUa risoluzione di esercizi.

Co.pit%

196

7

Appendice al capitolo 7 60. DiHereD2.iabilità È ben noto che, per le funzioni di una variabile reale, la derivabilità in un punto implica la continuità della funzione nel punto (si veda il paragrafo 40). Noli vale una proprietà analoga per le funzioni di due o piI) variabili; esistoDo infatti funzioni f(x, y) definite in un intorno di un punto ("o, Yo), aventi derivate parziali !..(x:o. Yo). fy(Xo. Yo), pur non essendo continue in (JCo, Yo). La nozioDe naturale per le funzioDi di due o più variabili, che estende il concetto di dcrivabilità per le funzioni eli una variabile reale, è quella di differenzÙlbilità. Cominciamo col presentare un esempio :li funzione che ammette derivate paniali, ma che non continua in un punto di R 2. Consideriamo la Iunzione t(x. y) definita su a 2 da;

(60.1)

t(x..y)=

1

r7

r

..

o.

La Cunrione si aunulla. oltre che sugli assi. coordinati, pertanto: (60.2)

'OI!

(O, O)

(x. y) - (O, O)

m(O, O). in tutti gli altri punti del piano X, y che giacciono

'(O O)

....

(x, y)

J.

"'Im

C(b, O) h - (O. O)

]'

.....

O

O

:;Im:;.

.risulta flO, O) '" O. La. f(x,y,> derivate paniali nel punto di coordmate (O, O) (ed anche m tutti gli altri pUliti di R ). Perb I{x. y) non è contihua in (O, O). perché non e!iste il limite (60.3)

infani. affermare che il limite in (60.3) della fumione C (x, y) è uguale ad un numero te R significa che. in ogni intorno l. di raggio 6 :> O del punto (D, D). privato dello stesso pueto (O, O), la funzione f (x, y) assume valori '"viciai" ad r. Viceversa, in J. - {(O, 0)1. qualunque sia 6 :> O, la funzione t (Il', y) assume, ad esempio. sia il valore + In che il valore -112; ciò accade in corrispondenza della retta per l'origine, di equazione y "" x, per cui risulta f (x. x) _ -K , (x' + x') = In per ogni 11. '$ O. ed in corrispondenza della retta di equazione y "" - X. per cui C(x, - x) ",' - x' / + x') '" - 112 per ogni x >#- O.

Una funzione f è differenziabile in un punto (x, y) e R2. se esistono iD

Fun7.ioni di pill variabili reuli

tale punto le deriva.te pnl"ziali (60.4)

C"

fy e se risulta

.

I(x .. h, y .. k) - 1(.<, y) - I, (x, y) h - f, (x, y) k

(h.k:}-+(O,O)

+ k2

hm

197

=0' '

osserviamo che si può dare una definizione apparentemente pi1Ì generale, senza richiedere a priori che esistano le derivate parziali (,(x, y), fy{x, y). Se f è differenziabile in (x, y), la quantità (,ex, y) h + fix, è detta il differenziale di f in (x, y). Cop. lo stesso procedimento utilizzato Del paragrafo 40 per le funzioni reali di una variabile reale, proviamo ora che ogni funzione differenziabile in (x, y) è anche continua in (x, y); infatti: (60.5)

lim

t(x + b, Y + k) '" l(x, y) ..,

lim

[f(x + h. y + k) - f(x, y));

("'.)-0(0.0)

risulta poi If(x + h, Y + k) - t(x, y)1 '"

(60.6)

{(x + h, Y + k) - t(x, y) - (x, y)h -

4 (x,

-./111. + k

1

y) " h

y)k

+

h

+"

(x + h, Y + k) _ t(x, y} -

y) h -

{f(X.

y)k

+ Per la definizione di differenziabilità (60.4), dato che + kl -. O per (h, k) -. (O, O), dalla (60.6) si deduce che il limite a seconclo membro della (60.5) vaie e perlanto

(60.7)

lim

t(x + h, Y + k) = t(x, y),

che equivale alla continuità di f nel punlo (x, y).

Un importante criterio per stabilire se Wla data funzione è differenziabile in un punto è espresso dal seguente: TEOREMA DEL DIFFERENZIALE. - Se una funzione f ammette derivare prime continue in un punto (x, y), allora f è anche differenziabile in (x, y).

198

Capit%

7

Dimostrazione: allo scopo di provare la relazione di limite (60.4). applicando due volte il teorel'lla di Lagrange (relativo 8 funzioni di 11110 variabile). abbiamo f(x + h. y + It) - r(x. y) "" f(x + h, Y + k) - r(x. y + k) + f(l'. y

(60.8)

= + k) - r(x. y) =

= fx{x(h), Y + k) . h + f,(x, y(k» . k. dovt x(h) è un punto opportuno deU:intervallo di esU'emi x, x + h. mentre y(k) e un punto opportuno deWintervallo·di estremi y. y + k (si noti in particolare che x(hl. y(k) convergono rispettivamente a x, y per (h. k) -+ (O, O». Si ottiene la stima seguente:

f(l' + h. Y + k) - f(x. y) - fx(x. y)h - l,{I. y)k

+ kl s I f,(x(h). y + k) - rx(x. y)1

(60.9)

lh I

+

"h' + k'

+ I l,Io<. y(k)) - y)l

Ikl

"h' + k'

s

S I ,,(,eh). y + k) - ',l'. y)1 + I '.(0<. y(k)) - ',(" y)1 : per l'ipotesi di continuità delle derivate parziali f x e fr "ultimo membro della (60.9) tende a zero per (h. k) -+ (O. O); perciò anche il primo memuro della (60,9) tende a zero.

Se una funzione f è continua in un dominio D (che supponiamo aperto) si dice anche che f è di classe c! in D e si scrive f e CO(D); se f ammette deriyate parziali prime continue in D si dice che f è di classe Cl in D e si scrive f e el(D); più generalmente f e C"(D),. con k E N, significa che la funzione f ammette derivate parziali continue in D fino all'ordine k. Infine, se f E c'CD) per ogni k E N, si dice che f E C"(D). Con le notazioni introdotte, il teorema del differenziale e la proprietà di continuità precedentemente dimostrate si scrivono: (60.10)

fE

Cl

(D)

=>

f differenzwbile in D

=>

fE

CO (D).

CAPITOLO 8 INTEGRAIJ DEFINITI

61. Il metodo di esaustione Con l'espressione «metodo di esaustione» si fa riferimento ad un metodo per calcolare le aree ed i volumi di figure cwvilinee, usato da Archimede nel ID secolo a.C., ma risalente. secondo lo stesso Archimede, ed Eudosso di Coido, vissuto nel IV secolo a.C. Abbiamo già descritto nel paragrafo 16 il metodo che Archimede utilizzava per calcolare l'area di IID. cerchio, tale area con le aree di.poligoni regolari di n lati inscrittì (o circoscritti). Riferendoci a questo esempio, con la parola cesaustione» si vuole significare che un cerchio viene riempito, o «esaurito», inscrivendo in esso poligoni regolari di n lati, e facendo poi tendere n all'infinito. Descriviamo in questo paragrafo il metodo di esaustione con il linguaggio moderno, facendo uso della teoria dei limiti. in modo da facilitare la comprensione del metodo generale che introdurremo nel paragrafo succeSSIVO.

Calcoliamo con il metodo di esaustione l'area di un settore di parabola, l'area della regione S che nel piano cartesiano x, y è compresa tra l'asse delle :le. il grafico della funzione f(x) = neU'intervallo [0, bl. e la retta verticale di equazione x =: b (b > O), come in figura 8.1. Dividiamo l'intervallo [O. bl in n E N intervalli, [Xt _ h xkl. ciascuno di ampiezza bln, ponendo:

r

(61.1)

y--O . ,,-.

1

x1 --b -' D

2

Xz = - b•...• D

k

Xt;=-b•...• D

xn=b.

Calcoliamo l'area della regione tratteggiata nella figura 8.2. La regione tratteggiata è unione di rettangoli. n generico rettangolo ba per base l'inter-

vallo (X'_h x,l, di lunghezza uguale a blu, ed ha per altezza il valore della funzione in Xt_h cioè f(Xt_l) = L'area totaJe è data dalla somma de.Ue aree dei rettangoli componenti, cioè (il simbolo di sommatoria è stato

/ml!grali defilliti

201

P"r fnc-ilimre il osservialllf) che la (61.2) si puO ri.scrivere senza l'usu <1.:1 simholù oli $Omma.loria, nel modo segueole:

(61.3)

+

_ ,)(Jl n .

-

x., _, )

n

..1

b

= '"li - + n

l b XI -

n

+ r.+ ... +

..1 b + ... + Xkl _ , -b ...... + oGi _l - = n

+ ... +

()

r.-,).

La somma indicata nella (61.2) è per difetto dell'area della regione S. Analogamente ottcniamo uo'approssimazione per eccesso considerando l'area della unione di rettangoli, come in figura 8.3.

,.•

f(x)=x 2

•

", , r;1gura 8.3

Rispetto al caso preaedente, stiamo considemndo rettangoli con la stessa base, ma con di-versa altezza. n generico rettangolo ha per base l'intervaJl0 [xt-h e per alte7.73 f(xJ = x/o L'area totale in questQ caso è dQta da n

(61.4)

,.,L f(",)(x, -

n

X'c')

, b x, -L -n

'.1

b " = n

L xl

k",j

Quindi abbiama Qttenuto le seguenti stime per diretto e per eccesso dell'area della regione S:

202

CnpifOlo 8

b

n

- :L

(61.5)

n k_l

b xLI < area S < -

D

L xi ,

n t_l

Vn e N;

la somma a primo membro è detta somma integrale inferiore, mentre quella all'ultimo membro è detta somma integraLe superiore. Ricordando la deflnizione (61.1) di Xt. valutiamo l'ultima sommatoria: (61.6)

la (61.5) si può quindi riscrivere: (61.7)

Utilizziamo la formula (11.10), che si verifica per mezzo del principio di induiione:

L." k' = 6l D

(61.8)

(n + l) (2n + l).

b'

Sostituiamo questo valore nell'ultimo membro della (61.7), mentre a primo membro sostituiamo iJ valore della somma corrispondente, cambiando quindi n COD n-L Otteniamo: (61.9)

b' (n - l) n(2n - l) S ti' n(n + l) (2n + l) . ]
-6

cioè, semplificando: (61.10)

b' (n -1)(20 -1) b' (n + 1)(2n + l) 6 01 < areaS <"6 n2 '

V'ue N.

Si calcola facilmente il limite per D. + _ delle successioni che compaiono nella relazione precedente (si può ad esempio dividere numeratore e denominatore per 0 2). Dato che il limite dei f.rimo membro è uguale al limite del membro a destra, il comune valore (= b (3) è l'ar-ea della regione S.. Ab-

lnttgrali dtfinili

203

biamo quindi ritrovato il risultato di Archimede: l'area del settore di parabola S. come in figura 8.1. è data da

b'

(61.11)

areaS=3".

Si noti ciò che apparentemente può sembrare una coincidenza: derivando il risultato trovato rispetto a b otteniamo: d 2 db (area S) = b

(61.12)

.

Cioè, la derivata deU'area, pensata come funzione del parametro b, è uguale al valore della funzione f(x.) =" che ci è servita per definire la regione S, calcolata per x = b. Chiariremo nel paragrafo 67 l'importanza di questa apparente curiosità. Nei paragrafi seguenti introduciamo l'integrale definito sulla base delle idee sopra esposte.

r,

62. Definizioni e notazioni Sia f(x) una funzione limitata nell'intervallo chiuso [a, b] di R; quindi esistono due costanti m, M tali che m S; f(x) < M per ogni x E [a, b]. Una parthione P di [a. b] è un insieme ordinato costituito di n + 1 punti distinti Xg, Xh .••• x.., con n E N. tali che (62.1)

a = Xo <

Xl

< ... <

Xt

< ... < x" = b.

Quindi, per definizione, risulta p = {xo • Xl •... ' xnl. Oli n + 1 punti individuano n intervalli [Xk _ h xJ. COQ k = l, 2,..., n. Pcr ogni partizione P di [a. bl, poniamo (622)

mk = inf (f(x): x e [x" _ l • x t ]).

(623)

Mt

sup (f(x), x e

[Xt _I •

Defmiamo poi le somme (integrali) inferiori

(62.4)

s(P) =

I"

to1

e le somme (integrali) superiori

mt (X t - x,_,)

xJJ·

204

Capitolo 8

(62.5)

S(P) =

" M, I,

(x, - ",,-,).

1e"'1

Talvolta, per ricordare anche la dipendenza dalla funzione f, si utilizzano i simboli equivalenti s(P) = s(P, f), S (P) = S(P, f). Se la funzione ((x) "è positiva in (a, b), le somme integrali hanno il chiaro significato geometrico di somma aree dei rettangoli rispettivamente inscritti e circoscritti. come in figura 8.4. Si noti però che s(P). S(P) definite, indipendentemente dal significato geometrico di area. anche se f(x) Don è positiva nell'intervallo (a. b].

x

Figura 8.4

Dato che mt 5 M t per ogni k. dalla definizione risulta che

(62.6)

s(P) " S(P),

" P.

Più in generale. vale il seguente lemma, nel quale indiGhiarno con

(62.7) la partizione di [8. bl che si ottiene prendendo contemporaneamenie i punti di F e i punti di Q. LEMMA. (62.8)

Per ogni coppia

partizioni P, Q di [a,

l:?J, se R ""

,(P) S s(R) S S(R) S S(Q).

ru

Q si

f1p.

eomincinmo col eonfronlare fra loro le somme inlc!:,mli inreriun s(p) c s(R). Supponiamo. per .semplicilA che R conlengll un solo punto i iu ()ìu di P esilino '11;_1, x" ùue punti conseculivi della partwone P tali che i E (X"_I' x"J. Poniamu (62.9) (62.10)

01 1 ':

m! '"

in( I(x): x E [Xt-l • iII:

inf {f(x): x <: "(i.

lttJl.

Le 50mme inferiori s(R) e s(P) differiscono per pochi termini; pr.ec:isumenle: s(R) - s(P) '"

(62.11) Essendo mI mI;;. ml mI;;. in qUllnto !"insieme dci valori ((x) per x E (10;1;;_1. ""I COlli iene sia l'insieme delle ((x) per x e [XI; _ I. il. sin rinsierm: delle f(x) per X E li. X,,]. ollchillmo: (62.12) Si procede In modo oni\logo se la parliziune R contiene più di un punto rispetto alla partiziollc P. Quindi (62.1,.,1

s(P) s.s(R).

Analogamente si dimostro che (62.14)

S(R) S S(Q}.

Da tuli relazioni e dalla (62.6) si ric'olva (62;15)

Il{P)

s: s(R) s:

S(R) :s; S(Q}.

Indichiamo ora con A l'insieme numerico descritto dalle somme integrali inferiori s(P) al variare delle partizioni P dell'intervallo [a, bl e con B l'insieme deUe corrispondenti somme superiori: (62.16)

A = (s(P));

B = (S(P)}.

Dal lemma precedente segue che i due insiemi A é sono separati, cioè a :5 b per ogni a E A, b E B. Dall'assioma (2.11) di completezza segue che esiste almeno un numero reale c magglore"o uguale a tutti gli elementi di A e minore o ug1iale a tutti gli elementi di B. In generale non vi sarà un unico elemento di lTa A e B; si dà in proposito la. seguente iniportante

206

Capil%

8

DEFlNlZIONE DI INI'EGRALE DEFINITO. - Se 'Ili è un unico elemento di separaz.ione c tra A e B, alloro. .li dice che [(x) io integrabile in [a. bJ (secundo Rierium,l) e l'elemento c si indica con il simbolo

i

b

(62.17)

!(x)
o

e si chiama integrale definiro di [in [a, b]:

In altre parole, posto (62.18)

s(l)

(62.19)

S(l)

sup [s(P), P partizione di [a,

bll,

iuf {S(P), P partizione di [a, b]},

se risulta s(f) :::: S(f), allora f(x) è integrabile (secondo Riemann) in [a, h] e (62.20)

c

s(l)

S(l) =

l

b

f(x) dx.

•

Come già detto, si dice che l'integrale in (62.17) è un integrale definito, per distinguerlo dagli integrali indefiniti che verranno presi in considerazione nel capitolo successivo, in cui non SODO fissati gli estremi di integrazione a, b. DaUa dermizione di integrale segue banalmente che, se (xl f{x) "" m per ogni Jt e (a, bl. allora (62.21)

f(x) Wt ...

( o

f

una funzione costante con

ID dx '" m(b - 8).

o

DaUe proprietà del1!estremo inferiore e dell'estremo superiore si ricava poi il seguente: CARATI'ERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI INTEORABIU. - Una funzioM f limitata in [a, b] è i'lli integ!Ubile (secondo Riemann) se e solo se, per ogni e > O, esiste una punizione P di [a, b] tale clie (62.22)

S(P) - s(P) < ..

lme.groU

201

Dimostrazione: se f è inlearabile (secondo Riemlnn) in ia, bi Illoras(f) - S(Q, r:love s{f) c S(f) sono rispeuiVilmcnte l'estremo superiore e l'estremo inferiore definili in (62.18). (62.19). In base alle definizioni di estremo superiore ed inferiore. oer O!ni E'" O esistono parti:doni P, Q dell'intervallo [a, bJ tali che (62.23)

, s(f) - 2: < s(P).

(62.24)

, S(f) + 2 > S(Q),

Posto R ".. P u Q, dalla (62.8) si deduce che (62.25)

s(f) -

,

iO<:

s(P) S s(R) :s; S(R) :s; S(Q) < S(f) +

,

2: '

da cui, essendo B(r) : S(f), (62.26)

S(R) - s(R)

<:

S(f) +

- (S(t) -

Viceversa, se vale la (62.ZZ) essendo s{P) :s; sCO,

(62.27)

sm

n-

f;

s SfP), otteniamo

o S S(f) - s(f) :S S(P) - s(P) <: 8 .

Dalo che il numero S(t) - s(t) non dipende da I!, la (62.27) può valere per ogni lt;:. O solo nel caso in cui S{t) - s{t) '" O, cioe quando f è integrabile (secondo Riemann) in (a. b].

L'integrale definito di una funzione ha un notevole significato geome·· mcc. Ad esempio, se l(x) è una funzione non negativa. integrabile nell'intervallo chiuso [a, bl, qualunque sia la partizione P =: lXo . Xl •..•• Xn} di (a, hl. la somma s(P). rappresenta l'area di un plurirettan!{oLo (cioè di una unione di rettangoli) contenuto nell'insieme

.

(6228)

s

{(x, Y)

E

[a, bl '" R: O "Y " t(x»),

mentre la somma S(P) rappresenta l'area di un plurirettangolo contenente S (si veda anche la precedente figura 8.4). L'insieme S prende il nome di renangoLoide di base bl relativo alla funzione f(x). n teorema precedente afferma allora che. nelle nostre ipotesi. si sono trovare un plurirettangolo contenente S ed uno contenuto in S le cui aree differiscono per meno di e. Dunque ragionevole attrIbuire a S un'area uguale all'elemento di separazione tra le aree del plurirettangoli «inscrilti» e quelle dei piurirettangoli «circoscritti». In altre parole. pos·

208

Capitolo 8

siamo affennare che, se f(x) è non negativa e incegrabile, L'area del reuongoloide di blUe [a, b] è uguale all'inlegrale (62:17). Concludiamo il paragrafo COn alcune notazioni e definizioni. utili per il seguito. Nell'espressione (62.17) i numeri a, b si dicono di integrazione, la fum:ione f si dice funzione integranda, la variabile x si dice variabile di inregrat:ione. Si noti che il risultato deU'integrazione non dipende da x. cioè non una funzi.one (hon costante) di x, ma è semplicemente un numem reale. È utile coilsiderare l'integrale defmito (62.17) àncbe se il primo estremo di integrazione non è minote del secòndo. Poniamo: (6229) (62.30)

i

b

f(x) cix

J.

•

-

i•

•

(a> b);

f(x) dx

f(x) dx

o.

63. Proprietà degli integrali definiti Esaminiamo alcune semplici proprietà dell'integrale definito di una funziooe integrabile secondo Riemaon in un intervallo chiu60 e limitato. Cominciamo con una propdetà che ha un chiaro significato geometrico

!•

--

y

I +-.

c

•

Figura 8.5

quando si interpretano gli integrali definiti di. funzioni positive come aree di cerce regioni pIane. In tale contesto la proprieflJ di additività corrisponde al fatto che l'area della unione di due regioni piane prive di punti in comune è uguale alla somma delle due aree.

Infatti, oon riferimento alla figura 8,5 1 se f(x)

;>

definili

209

O in [a, b}la [ormula

(63.1) corrisponde ad affermare che l'area dell'insieme A è uguale alla somma delle aree degli insiemi A J e Al. Il lettore esanùni il caso con t(x) di segno indefinito. ADDITIVITÀ DELL1INTEGRALE RISPETTO ALL'INTERVALLO. - S, a, b,.c sono (re panli di un ifllervaUo dove la fimzione t(x) è integrabile, allora

l. b

(63.1)

(

t(x) dx =

.

J

J" b

t(x) dx +

f(x) dx.

Dimostrazione: se due, tra i tre punIi a, b, c, coincidono fra loro, allora la lesi (6J.l) segue dalle definizioni (62.29), (62.30). Altrimenti. tOnsideriamo preliminarmente il caso in cui c sia un punto interno all'intervallo [a, b). Se PI' Pz sono parliziohi rispettivamente degli intervalli [a, cl, [c. hl, allora P = P J U 1'2 è una pariizione dell'inlervallo {a, bI e risulla: (63.2) Da ciò segue facilmente la tesi. I casi rimanenti (ad esempio con b interno all'intervallo [a. cl. ecc) si ricOnducono al caso già trallato, lfamite la (6229).

LINEARITÀ DELL'INTEGRALE. - Se f,g sono fun:don.i integrabi/i in [a, bj e se c è un numero reale, anche f + g. e C· f sono integrabili in [a, bl e rislLlta

l. b

(633) (63.4)

l, .l b

[f(x) + g(x)] dx:

J

b

t(x) dx +

b

J

g(x) dx;

b

C·

t(x) dx = c .

•

f(x)

(]X.

•

Dimostrazione: dalo clic f. g sono funzioni integrabili secondo Riemann in [a. b], per ogni E > O esistono P e Q parlizioni di [a, bl tali che (63.5)

S(P, Q - s(P, Q <: tI2.

S(Q, g) - s(Q, g) < e/l.

Indichiamo con R la porrizione generala da P e O, cioè R = P u Q. Come nel lemma del paragrafo 62 (si veda in particolare là (62.8» otteniamo

(63.6)

S(R, f) - s(R, f) <: e!l.

O'a!ira perte è immediato verificare che

S(R, g) - s(R,

<: f12.

'210

Cupi/olo 8 s{R. f) + s{R, g)

(63.1)

I + g) s: S{R. I.,. g) s: S(R. f) + S{R. g)

quindi. per la definizione di integrale relativo alla funzione

(63.8)

s(R. f) + s(R. g)

s:

i•

•

(1(;1) + g(x» dx

r+

g•

s: S{R.

f) +

g).

Poiche è anehe

s:

s(R. f) + s(R. gl (63.9)

+

I••

g(x) dx

s

J.• I(x) dx + •

S(R. f) + S{R, g)•

dalle (63..5). (63.8). (63.9) segue

(63.10)

[f(x) ... g(x)] dx _

[f

I(x) dx + (

I(X) dX]

< e

e. per l'arbitrariel! di e. l'asserlo (63.3). La (63.4) si prova In modo analogo.

DaUa definizione di integrale segue facilmente anche la seguente proprietà, CONFRONTO TRA INTEGRALI. - Se f, g sono funzioni integrabili in [a, b] e se f(x) s g(x) per ogni x € [a, hJ allora (63.11)

[

I{x) dx S [

•

g{x) dx

•

Dato che l'integrale definito della funzione identicamente nulla è zero, dalla proorietà precedente si deduce che:

l•

b

(63.12)

l(x) ;, O =>

{(x) clx ;, O

(a < b).

Integrali

211

Infine, utilizzando le disuguaglianze (63.13)

'Ix

- If(x) I < f(x) < If(x)1,

ancora dalla proprietà di confronto (63.11) e dalla (63.4) con c. =:: deduce

-l. b

(63.14)

l,

If(x)1 dx"

l•

b

-

bl,

1, si

b

f(x) cix"

che, in base alla equivalenza (8.11) rela.tiva anche nella forma: (63.15)

l,

b

[a,

E

If(x)1 cix,

assoluto, SI scrive

b

f(x) cix

(a < b).

If(x)1 cix

64. D teorcma dclla media Nella dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale (proposto nel paragrafo 67) faremo uso del risultato che segue. TEOREMA DELLA MEDIA. - Sia f è una funzione continua in [a, b]. Esiste un punto x.. e [a,b] tale che

f,

b

(64.1)

f(x) dx

f(x,) . (b - a) .

Dimostrazione: l"integrnle è l'elemento di separazione delle somme integrali inferiori s(P) e delle somme integrali superiori S(P): perciò. qr.talunque sia la partizione P dell'intervallo {a. hl. risulta

,

(64.2)

s(p) so

f•

"f(x) dx SO S(P).

Scegliendo la partizione banale di [o. hl. costituita dai sol, pUrili

(64.3)

s(P) ::: m . (b - al,

S(P)

D.

b (P "" ['a. bI), otteniamo

M . (b - a),

dove m. M rappresentano rispettivamente il minimo ed il mayj';mu della funzione f(x) nell'intervallo chiuso e limitato [a.bl. certamente esistenli in-baSe al teorema di Weiersnass (paragrati 35 e 37).

212

Cap{lolo 8

Sosliluendo le (64.3) nella (64.2) llll.el1iamo

('64.4)

m . (b - a):Si:

l

, f (x)
•

e dividendo tutti i membri per la quanlilà posiliva (b - a) (che non eombia il V'erso delle disuguaglianze)

(64_'1)

mS

I

a

b

.

•

Indichiamo con Y. e Il li valore:

fp"

(64.6)

J.'

J'•

I b-,

(x)dx.

che quindi. per ha (64.5), un valore compreso fra il mininlO nl ed il massimo M di f(x) nell'intervallo (a.b). In base al secondo teorema di esistenza dci valori intermedi (paragrafo 35); esiste un punto x.. E [a.bI tale che f (x,J y.;.. ric:ordando la definizione (64.6) di Y... cib sisnirlca

f(.,,) ..

(64.7)

I

b -,

J'•

f(x)dx.

che equivale alla lesi (64.1).

y

y

y

A

.I

I 1("0) --

+..."

b

x

",

-t-"

'o o

x Figura 8.6

Con riferimento alla figura 8.6, dove il gi;dico di una runziooc f(x) 2: O in [a, b), il (secondo) teorema dena media afferma. che l'area del rettangoloide A relativo alla

213

/iut!grafj defiJtl./

funzione !Cx) nell'Intervalla [I, bI è uguale all'nrea di un retlan!olo R che ha per bnst I"inlervallu [il. b] e per ftllena un valore opportuno 1(XQ} (cioè un valore noo Sl;dto il caso, ma detenninalo in aUa panicolare lun7.ione considerata).

Appendice al capitolo 8 65. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. F\mzioni lipschitziane. Allo scopo di dimostrare una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato risulta integrabile secondo Riemann in tale insieme. duciamo in questo paragrafo il· concettq di uniforme continuità. Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I di R. Allora. per ogni Xo e I e per ogni e > Oesiste b = b(Xu. e:) > O tale che, se x E I e Ix - "01 < 6, risulta Il(x) - 1(",,)1 < ,.

Tale numero El dipende. in generale, sia da 2 Ad es.eq1pio. sill f(1l) .,. x per x e l ;:; R. IìlSSl.to dipendente &010 da f: e DOn da .Ilo, tale che

f:

:>

E

che da Xo-

0, supponiamo che 6 :> O.

(65.1)

Posto x - Xo + 11, pur di prendere Ihl < 6. si ha 'V Xo

(65.2) Ma cib

(65.3)

assurdo in quanto, per ogni h

lim

;.I-

li

R.

0, risulta

12Iloh+b2-I=+-.

È OpportunO introdurre la DEElN'lZIONE QI F'tThfZIONE UNIFORMEMENTE CONTINUA. - S; djce ck fI -+ R è wufOfmO!lblU!. contimm neJl'inJuvallo I di R se, per ogni e > O. o ;:; 6(!ò) > O ttJle c"e, per ogni x. x' E J. (65.4)

Ix-x'I
I!(x) - f(><')1 < ,.

Riprendendo l'esempio precedente, la funzione l(x) '" x2 non è uniformemente contiautt su (utto R; invece, essendo continua in R. è unilormemente contipua in ogni intervallo chiuso e limitalo [a. bi R, grazie al seguente teorema di Cantar.

214.

ClIpjJolo 8

TEOREMA DI CANfOR - Sia f una funzione continua nell'jruervaUo chiUJo e limitato [a,.b]. Allora f è uniformemente continuo in [a, b]. Dimostraziooe: plocediamo per usurdo. A tale scopo ricordiamo io simboli, per COlD(). ditA del lettore, la definiz.ione (da "nesare) di continui,. uniforme:

' O,

:>

O: '

==lo lf(x) - f(x}o

<

l.

Negare la (65.5) equivale ad aifumare che esiste Eo :> O tale che, qualunque sia 6 :> O, esistono in corrispondeoza x, x' (dipendenti da 6) COD le proprietà If(x) - f(x')1 "'o ;

Ix - x'J < 6,

(65.6) in simboli:

(65.7)

3 lo :> O: ' O, 3x, x' e (a, bJ; l'aie (65.6).

Scegliamo 6 .. l/n con n li!! N, e indichiamo·con vale la (65.6); abbiamo quindi 3 to > O:

(65.S)

x.. • x'. i corrispondenti punti di [a, b] per cui

V n e N,

Ix. - x'J

l <- . n

3 X. ' x'.

El

[a, bl:

Il(x,,) - 1(x',.)1 , ...

Per il teorema dì Boluno-Weientr'235 (puagra!o 27) esillte una SUc::ce5llonc x". convergente verso un pUntn Io E (a, bl; inolLTe, essendo

(65.9)

,

1

..

--<,(

Ilt

..

l +_ ---.. ot'

x... ' Citratla da Vk

ti

N,

per il teorema dei caeabinieri anche x'"" converge ad 'lo per t -+ + _. Dall'ipotesi di continuità di f(x) segue Jim [f(x..) - f(x',,,,)] '"

(65.10)

- C(Xo> '" O,

'-fl-

che contrasta con il tatto che

(65.11)

lf(x..,'> -

t(x' .,)1

"'o '

V k e N.

A conclusione del paragrafo introduciamo una notevole classe di funtioni unifonnemente continue.

Integrali dtfiniri

215

Si dice che f(x) una funzione lipschitz,iana nell'intervallo I di R se esiste una costante L > Oper cui

(65.12)

I/(x) - I()()I < L Ix - )(1

VX,x!eI.

Una tale funzione· anche uniformemente continua in I, in quanto, fissato e. > O e posto 6. = elL, risulta If(x) - f(x')1 < E per ogni coppia, x, x' di punti di I tali che Ix - x'l < d •.

-Ii per x e

1 "" (O) J ! uoiformemente continua in 1 per il leorema di Cantar. Essa Don! Iipsehitziana in (0,1) per il seguente risultato. La funzione f(x) =

CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DERIVABILI E LIPSCHITZIANE. - Sia f(x) una, funz,ione nell'intervallo I. Allora f(x) i. lipschitziano. in I con L. e solo se lf'(x)l L per ogni x e 1. Dirnostra:tiooc: Se Ir(x)l s: L, "Ix e I, applicando il teorema di Lagrange alla funzione f nell'intervallo di estremi x, x' E l., ,.. e I per cui (65.13)

If(x) - t(x')1 '" Ir(",,) (x - x')1

Viceversa, se f ! lipschitziana in (65.14)

r,

s: L

Ix - ::c'l.

per x e I e x' '" x + h

lf(x) - t(x + h)1 '" If(x + h) - t(x)1

dividendo ambo i membri per Ihl e passando al limite per b

li

I (con b 'P O) si ba

s: L

-J

Ibl;

O, si ottiene l({x)I

S;

L

Utilizzando la proposizione prea:dente si. ricava subito cbc la f{x) '" seo x lipschitiziana in R. in quanto lf{x)1 = Icos xl :S l, per ogni x e R. Proponiamo comunque una ulteriore dimostrazione della lipsch.itzianità di t(x) : I seD x. Utilizzando la formula di prostaferesi (65.15)

scDx-senx=2sen

x-x'

2

cos

x+x'

2

dalo che Iseo ti s; Iti per ogni t e R, OUeoiamo (65.16)

Iseo x -seo Xl s:2

Fn ;1 x

s; lx-x'!.

Per concludere osserviamo che la funzione t(x) '" Ixl lipschitziana in a, ma non verifica le ipote3i della proposizione precedente. Sussiste infatti la disuguaglianza: (65.17)

Ihd - Ix'l S Ix - x1.

216

Capilolo 8

66. Inlegrabitilà deDe funzioni continue Dimostriamo il seguente teorema di •

INTEGRABJLITA DEI FUNZIONI CONTINUE. - Sia I(x) unaii..'iu". ,concirlua in [B, bl. Al/ora f(x) è inregr(lbile (secondo Riemann) in [a, hl

Il

Dimostrazione: per il teorema 4i Cantar r(lt) è unifonnemente conlinua e percib, fisslltP > O, esiste: ::>: O tale. che

•

- 1(><')1 < b _ a •

(66.1)

per ogni coppia di punti !le, K e [a, b] tali Ix - t'I < Se r è una partizione di (a, bJ, F ::> I Ito .. Xl "'''' It" I, con K(J= a. XII = b. tale che IXk - Xt_tl < per ogni k = 1.... ,1'1, allora, posto '" =

i,l (f(.); x e["., . eJJ..

(66.2)

chI: sono rispettivamente minimo e massimo, risulra per la (66.1);

"ik=l•... ,p. e perciò

S(P) - ,(Pl (66.3)

dal teorema di

ì:• (M, -

h'

",)1" - ",.,) <

del paragrafo 62 segue l'asserto.

CAPITOLO 9 INTEGRAli INDEFINITI

67. D teorema fondamentale del calcolo integrale Ci proponiamo di mettere in evidenza una importante relazione tra integrali e derivate, che ha notevoli applicazioni in tutto il calcolo Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, hl, Per ogni x e [a, hl consideriamo definito

(67.1)

P(x) =

r

t(l) dt

•

Notiamo che abbiamo rappresentato l'integrale definito usando la variabile di integrazione t. invece che [a X, con un puro scambio di simboli. Invece abbiamo denotato con x il secondo estremo di integrazione. Pcr ogni x è determinato l'integrale definito nell'intervallo (a, xl della fUnzione f; pertanto il risultato multa una funzione di x. Ciò spiega il simbolo di funzione F(x) a primo membro della (67.1); tale funzione si chiama funzione inlegrale. Ad esempio, con il calcolo del .settore di parabola (si veda la (61.11» si e otrequ(o

i,

F(x)s

In questo esempio la fun2.ionc illtegpale vale F!x) '" xJfJ; la sua derivata, a F'(x) '" anche uguale alla funzione integranda 1(1) '" t per t '" x. Tale proprietà vale in geuerale; infatti,. risulta in generale che F(x) '" f(x), secondo il

teorema che segue.

'TEOREMA FONDAMENTALE DI'L CALCOW INTEGRALE. -S;a t una funzione COnlinl{/l nf!U'interval/o (a, p]. La fUJ1zione integrole F{x), definita in (67.1), è derivabUe e l.a derivara vale .

218'

Il

Capitolo 9

P(x) • I(x),

(67.3)

"Ix

E

[a,

bll

Oimostrnione: OCCOlTe calcolare illimile del rapporto incrementale della funzione F(x) qunndb ['incremento'tende a zero. Cominciamo con il rapporto incremcnlale

.F,,(,,,.,,":;<)_-,,F,,,(,,,,) I [(' .. h r( t) dt - J(' h ='hJ • •

-

(67.4)

""

[ [ f(t) di + [

.... r(l) dt -

f

(I)

r(

]

t)dt=

dt} =

l .. h ='hl f(t)dt.

,

Abbiamo ulilizzato la proprietà di additività delrintegrale rispello alrintervallo. Tra· sformiamo I"ultimo integrale per mezzo del teorema della media applicato all"intervallo di eltremi x e x + h: esiste un punto compreso Ira x ed x + h. che dipende quindi da h, che indichiamo con x(h). lale che (67.5)

F(x +

- F(x) ..

Dalo che x(h) e compreso tra x ed (67.6)

li:

[, "

f(l) dI .. f(x(h».

+ h, per ti

.-

-t O risulta:

Hm x(h) .. x.

La tC3i segue dalla continuitJl della funzione integranda f: infatti:

(67.7)

.

11m

F(x + h) - F(x)

h

.

= hm f(x(h» = f(x).

68. Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale DEFINIZIONE. - Una funzione F(x) è una pnmlt1.va di f(x) se F(x) è derivabile in [a. bl e se F(x) :: {(x) per ogni x E [a, hl. Ad esempio una primitiva della funzione f(x) a l( 'uozione C(x) = sco li: è F(x) "" - cos x.

F(x) =.l(2/2.. Una primitiva della

,ndermiti

219

Tenendo presente la definizione di pruruttva, possiamo enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale dicendo che: se f è una funzione coltlinua in [a. b]. allora la funzione integrale F, de{mita in (67.1), è una primitiva di f. È chiaro che, se F(x) è una primitiva di una funzione f(x), anche G(x) = F(x) + c. qualunque sia la costante c. è una primitiva di f(x). Come provato Del lemma seguente. vale anche il viceversa, cioè tutte le primitive di f si ottengono nel modo anzidetto. Ciò caratterizza l'insieme delle primitive di una data funzione. CARA'ITERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE IN" UN INTERVALLO. - Se F(x) e G(x) 30no du.e primilille di una stessa funz.ione f(x) in un i.n1ervallo [a. bl. esiste una COSlantl! c MIe che (68.1)

"Ix e [a,

G(x) '"' F(x) + c.

bJ.

Dimostrazione:: poniamo H(x) ::: Olx) - F(x); risulla (68.2)

H'Cx) _ O'{x) - F'(x) _ r(:IÌ:) - r(x) • O.

Applid)illlno il teorema di Lagrange allll runzione H(x) nell'Intervallo (a. x). çoo b); esiste ICtl E (a. xl tale che H(x) - H(o) • H'(xo)(x - a)

.=

li.

rlSSll.to in (a.

O . (x - a) = O:.

percib H(x) = H(B). per ogni x e (a. bl. Ponendo c = H(Il.). H(x) risulta costllnte. uguale n c. per ogni x li {a. b] (si noti che avremmo potuto cqulvl1lenteJ1lentc dedurre dalla (68.2) ch.c H(x) unaJrunzione costante in [e. b]. utilizzando la carntterizzazione delle runzlOni costanti. dci pllragrtlro 48). Quindi. G(x) = F(x) + H(x) .= F(lI) + c. per ogni x E {a. bi.

La fonnula che segue riconduce il calcolo degli integrali definiti alla ricerca delle primitive delle funzioni continue. FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO [NTEGRALE. IUla funt.ione continun in [a, b]. Sia O una primitiva di f. ALlora

f•

b

(68.4)

f(x) dx =

= G(b) - G(a).

Sia f

CJJpil%

220

9

Il simbo!o significa appunto 11\ differenza dei valori della rione G(x) per x = b e x = a. Per dimostrare la fQnnula fondamentale, consideriamo la funzione integrale (67.1), indicando con t la variabilro. dì integrazione. La funzione integrale F la funzione G sono entrambe primitive della funzione f. In base "la carattefizzazione esiste una costante c tale che (68.5)

G(x)

= F(x)

+ c

=c +

i

, 'Ix e [a,

1(') di,

bl.

•

Per

;lç ;=

a abbiamo

i•

o

O(a) '" c +

(68·6)

I(t)' di = c

c, sostituendo il valore tI'ovato al posto di·c nella (68.7)

La tesi segMe ponendo

G(x) = G(a) +

r•

lCO

di,

= b in (68.7).

Utilizumdo la formula fondamentale deL calcolo iQtegrale si ritrovll·immedlalamcnte il risultato (61.11): con i simboli degli definiti, l'area del settore di parabola conside· rato paragrafo 61 t dato da

• f. x' d,

(68.8)

O

Una primitiva deU. funzione x.2 è la funzione G(x) ""

(68.9)

{

o

["'J'

,(ldx= -

3 o

.ffJ. Quindi

a_. b'

3

Come ulteriore esempio consideriamo l'integrale definito ddla funrione C(x)

2

seo x

integmli indefiniti

nell'intervallo [O, It}: dalo che una primitiva della funZione sen x G(x) = - cos (68.10)

[

sen

JC

O

= - eos

J["

:11;,

221

5i ottiene

COS O = 2.

69. L'integrale Ùlde6nito Nel paragrafo precedente abbiamo ricondotto il calcolo di un integrale definito alla ricerca delle primitive della funzione integranda. È peceiò naturale porre la seguente: DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO. - Sia f una continua in un interyailo [a, bl L'insieme di tutte le primitive di f in (a; bl si chiama integrale indefinito di f e si indica con il simbolo

f

(69.1)

I(x) dL

In base alla caratterizzazione data nel paragrafo precedente, possiamo affermare cbe

f

(69.2)

{(x) dx

F(x) + c,

dove F è una primitiva di f e c è una costante arbitraria. Sottolineamo che c'è uoa sostanziale differenza tra l'integrale definito e quello indefinito, che indiélùamo rispettivamente con i simbuli

f•

f

b

(69.3)

l(x) dx,

l(x) dx:

il primo dei due integrali è un numero reale, il secondo integrale è un insieme di funzioni. n legame tra i due integrali è dato daila fonnula fondamentale (68.4). Ricordando che la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, si ottiene la proprietà corrisponden.te per gli integTali indefiniti: (69.4)

f

[l(x) + g(x») dx =

f

l(x) dx +

f

g(x) dx.

'122

Capitolo 9

Analogamente, ricordando la [ormuJa (41.7), che esprime la derivata del prodotto di una costante per una funzione, risulta

(69.5)

f

c f(x) dx

c

f

(c = coslance).

f(x) dx

Si IlOti l'analogia delle due proprietà soprll elencate per l'integrale indefUlito con le proprietà di linearit! (63.3), (63.4) per l'integrale· definito.

Riportiamo di seguito una serie di integrali indeCiniti immediati. Tali integrali, di facile verifica, sono ottenuti a partire dalle tabelle per le derivate esposte nei paragrafi 43, 45.

(69.6)

(69.7)

J

dx = 10g x + c,

f f f

senxdx=-cosx+c;

(69.12)

f

l -

(69:13)

I

(69.8)

(69.9)

(69.10)

x> O •.

e"dx==e"+c;

cosxdx=senx+c;

(69.11)

x'

dx=arcsenx+c;

l' .,----0.-"'2 dx == arclg x + c.

1 +X

A proposito dell'integrale (69.7), notiamo che risulta

/ntl!gm/i indefuliii

l

Dlogixl=-, x

(69.14)

inlatti, se I > O la relazione preced,c.nte ben oota... Invece, se derivazione:: delle funzioni composte, risulla

D log

(69.15)

Ixl '" D log(- I) '" -

1

(69.16)

I

< O. per la regola di

l

- x

La (69.14), in termini di integrali indefiniti,

(x < O).

. (- l) = -

x

equivalente a

Ji=loglxl+c.

intendendo che l'ìntegrale io (69.16) X ""

223

caosiderato in un intervallo non contenenle il punto

O.

In molte situazioni ci si riconduce ad integraJi immediati del tipo sopra indicato, utilizzando la loromla di derivazione delle funzioni composte. Cost ad esempio la formula (69.6) si generalizza nel modo seguente: si parte dalla formula di derivuionc, valida per una funzione f(x) positiva e derivabile D [f(x)t· b+1

(69.17) In (69.18)

f

l

= (f(x»)" . r(x)

(b .. -"1).

si otticne la formula di inlcgrazione indeftnita

[t(x)]" r(x) dx '"

l

b+ l

[t(x)1"·

I

+c

(b "" - 1).

Come esempio consideriamo;

(69.19)

f

tg

x dx -

f

"n x COl; ;:Il;

dx

= - log lcos

xl .. c ;

abbiamo calcolato una primitiva dopo aver riconosciuto che a numeratore della funzione intcgrand. c'è, a meno del segno, la derivata del denominatore.

70. Integrazione per decomposizione io somma In molti casi il calcolo dell'integrale indefinito di una funzione si può ricondurre al calcolo di integrali già noti, o di tipo più semplice. Un metodo particolarmente frequente l.:onsiste nel decomporre la funzione integranda nella somma di due o più funzioni, applicando poi la proprietà di linearità (69.4). Dlustriamo ciò con alcuni esempi.

224

CapiJoio 9

Calcolilllno il seguenlc integrale indefinilO

J

x dx; x + l

(70.1)

sommando e sottraendo 1 ai nunicratore della funzione inlegranda otteniamo

(702)

::-,,-X","dX.JIC+1-1 I )dX= dX =J(I- x+1 x+1 J x+l

-Jldx-J

dx

x + l

_x_loglx+ll+e.

Calcoliamo l'iDlegrllle indefihito

(703)

ftgiXdx. i

ricordllodo \11 deficiuone delill funzione tallgente. abbiamo

pet deeomposizione io somma otteniamo

(70.5)

-J

dx casl X

-JdÌl:=r&X-x+c.

Calcoliamo l'mlcgrale indefinilo

J

(70.6)

dx

50n X COI X •

anche in questo caso SQ'IVlamo il Di.uncratore della funzione integranda in modo che sia

possibile sciodere la frazione nella somma di due tnuiooi

1 scol x + r::ctI- x • = seu x cos x sen x cos x (70.7)

•::::::,:=-=... sco l X sco x COli x

cos l . X sco X cos li: = !en x C05 x cos x + sen x •

integrando entrambi i membri otteniamo

(70.8).

dX,=-= = J""X d x + · xdx= J=7 scn x coS x cos x 1Ien x .. - 108

1005 xl

... log lsen xl ... c .

lnregmli indtfiniti

225

Calooliamo l'integrale indefinito

Jsen

(70.9)

2

x

dJt ;

ricordiamo la formula (10.7) di duplicazione c:os 21 '" cas2 x-sen 2 x '" 1-2aenJ

(70.10)

da cui si deduce che sen2

I

('70.11)

(1 - C05

li: _

'I

1eQ2 X dx =-

2xV2.

li: ,

Otteniamo

(l-cos2x) dx =-x --sen 2x + c; l l

2 2 .

nell'ultimo pauaggio si è tenuto cotllO che D sen 2x a 2 CO! 2.. Se lo si preferisce, si può scrivere il riSUitlliO ulilizzando la formula di duplicazione (10.6) per la funzione seno, nel modo seguente:

I

(70.12)

DaJ risultato ottenuto

senI

(x -SCO xcos x) + c.

facile dedurre il valore dell"inlegrale

J

=x-

f

(70.13)

sell

J

(1-sen2 x) dJr: =

2

xdx=4

(x+,seo xcos x) +c.

7L Integrazione delle funzioni razionali È sempre possibile, in linea di principio, calcolare per decomposirione in somma l'integrale indefinito delle funzioni razionali, cioè delle funzioni che sono il rapporto di due polinomi f(x), g(x}: (71.1)

f(x)

llm x"' + a m_1 xm- I +

g(x)

b n x· + b n _ I

X-l

+

+ al x + ao + bi x + bo '

m, n

E

N.

Nella (71.1) è una funzione razionale ottenuta come rapporlo tra un polinomio f(x). di grado m, ed un polinomio g(x), di grado D. Se m n, cioè se il grado del numeratore è maggiore od uguale al grado del denominatore, si esegue la divisione tra i polinomi f(x) e g(x). Se lndichiamo con r(x), q(x) rispettivamente il resto ed il della sìone, possiamo scrivere la scomposizione

(71.2)

C(x) = g(x) q(x) + r(x) ;

226

Capilolo 9

cioè: moltiplicando il. quoziente q(x) per il divisore g(x), ed aggiungendo il resto, si ottiene il dividendo f(x). La stessa relazione si pnò scrivere mettendo in luce il rapporto f1g nel modo seguente:

f(x) g(x)

(71.3)

(x) + r(x) _ q g(x)

Ricordiamo che il resto è un polinomio di grado inferiore al grado n del divisore g(x). Per l'integrale della funzione razionale f(x)/g(x) si ottiene

f

(71.4)

f(x) g(x) dx =

f

q(x) dx +

f

r(x) g(x) dx -

Dato che q(x) è un polinomio, il suo integrale indefinito è immediato. Ci siamo quindi ricondotti a Calcolare l'integrale della funzione razionale r(x)/g(x), che ha la proprietà che il grado del polinomio a numeratore è inferiore al grado del polinomio a denominatore. Prima di proseguire ad integrare r(x)/g(x), ricordiamo con 1lf) esempio come si esegue la dil/isiOfle fra poliflomi. Consideriamo la funzione razionale

(71.5) procediamo nella divisione in modo analogo al modo in ·cui si effettua la divisione tra due numeri naturali, seCOndo il seguente schema: (71.6)

.

_ 3x4 +

x'

,

O·x +0·

,

x +

x+

3

x +

3

x +

3

-x' _ 3x4 + _ 3x4 +

x' +

,

x -

x'

+3x'

3i +

,

-3x +

x

2x+

3

+

3

- 3x-,

2x

3X1 +X-3

J/ltf!grufl Indefiniti

127

3 Il resto r(x) ed il quoziente q(x) valgono rispettivamente: r(x}::: 7x. q(x):::lt x - 3x1 + x - 3. In questo caso la scom(X»izione (71.3) còrrisponde a (71.7)

Ora si ottiene facibnente l'integrale indefinito

(71.8)

f

r - 3X(+X+3 r-l dx=

f

x'

Ir - 11 + c .

- "4 - r

+

x' "2 -

3x + log

(r-3XJ+x-3)d.x+

f r_l 2x

dx =

Ritorniamo al calcoLo dell'integrale della funzione razionale r(x)/g(x), dove r(x) è un polinomio di grado inferiore al grado del polinomio g(x). Per semplicità ci limitiamo a considenue il caso io cl).i g(x) sia un polinomio di secondo grado. In tali condizioni, il grado di r(x) è minore di due. Quindi ri· sulla

(71.9)

g(x)

ax' + bx + c

(a" O);

r(x) = dx + e.

Per calcoLare l'integrale indefinito di r(x)/g(x) è:opportuno distinguere i tre casi, io cui l'equazione g(x) = O abbia 2 radici reali distinte, oppure 2 radici coincidenti, oppure nessuna radice reale. Consideriamo tre esempi in cui si verificano queste situazioni. II caso bI -4ac > o si Irana come nell'esempio seguente: dopo aver trovato le radici del denominatore (XI'" - l, Xl = 2), scomponiamo la frazione

x+7 A B = + x' - x 2 x+l x-2'

(71.10)

con A, B numeri reali da determinare. Sviluppando il secondo membro otteniamo

(71.11)

A

B

x+1+ x - 2 -

Ax-2A+8x+B (A+B)x-2A+B = • (x + l)(x 2) x _ 2

r

affinchl! valga l'uguaglianza (71.10) per ogni x, delle risultare

l

A+ B=l

(71.12)

-2A+B=7

Si risolve il sistema per sostituzione, oppure sottraendo le due equazioni membro a

228

Capitolo 9

sc:omposit.ione (71.10), si calrola l'integrale definito

(71.13)

I

I-

---=-.X.:,.:7,-;;
2
;?-

=-

2 log

Ix + 11

x+1

+ 3 lbg

Ix -

I

3
21 + c .

2 Il caso b - 4ac = O si lratta com" nell'esempio seguente:

x

(71.14)

A

B

'''''.'''''''::-.:-:1 '" lC + 1 + (x + lt ;

come in precedenza si detennin.ano le costanti A. B irl modo che valga "identità (71.14) per ogni x E R (x fI:. - 1); si calrola il denominatore comune e sì trovano le conç!izioni A '" l, A + B '" O; A '" l, B '" - 1. Risulta in definitiva

(71115)

I

x r+2x ... l dx=

",I08lx+ll+ InfiDe. se b2 _ 4ac < O, nell'esempio seguente:

IdXIdX x+l- (X+l?'"

l

x.1

+e.

se l'equazione g(x) '" O non ha radici reali, Iii procede come

1-2x

(71.1,)

c",':-.",,-=.--:5 -

A,(2x+2)+B xl + 2x +

5

l'espressione (2x + 2), ebe compare nella relazione precedente, l: stilla sa::lta perchl! l: la derivata del denominatore. Si ricava immediatamente il sistema: 2A "'-2. 2A + + B = l, dal: A '" - l, B 31"3. Quindi

(71.17) "'-Io&(r+2lC+.5)+3Ir

dx ; +2x+.5

si DOti elle \Q! (r ... 2x + S) .. logJr + 2x + Si , dala che il P9lio.omio di secondo grado l:

positi...o per ogni L SComponiamo l'ultimo ioteplc nel modo lenendo CQnto che i e 2x SODO lIddendi del poJinomio (x + 1)

I 'I

dx x"J.+2x+S'"

(71.18)

;(

I

d' (X+I)2+4'"

dx 1 x+1 [(x + l)l2f + 1 = 2 arctg 2 + e .

/nregraU indefllJiti

229

Indichiamo il metodo seguito per un generico polinomio g(x), con a > O;

g(x) = (71.19)

= a

ar + bx + c a (r +: x + :) = =

bì'c [(x + 2a) + a -

[( bj

=ax+-+ 2a

ob']

4 a2 =

4ac _ b'] 4 a2

'

iiJ..fine si mette in evidenza il fattore positivo (4ac - b 2)J4a2 , Diamo ancora un esempio relativo al caso - 4ac < O:

•

•J

'" -log(xi + x + l) - 2 2

dx

(x+112)2+314

'"

(71.20) l

2..J3J 2 (2

2

'" 2" log(x + x + l) -:3'

1

= 2" log(xi + x

o

.J3 x

'"

J +'..J3

2J..J3dx

(2

•

+l

1

+ l) ... 3" an:tg i3 X + ..J3J+ c .

Il metodo descritto si applica anche a funzioni razionati che hanno a

denominatore un polinomio di grado superiore a due, purché sia possibile calcolarne esplicitamente le radici, come nell'esempio che segue. Come in precedenza, si inizia con la divisione tra polinomi: (71.21)

x'->+' f x·+x ....

poi si scompone l'ullìmo integrando

2

dx=

f

xdJ(-

Jx'+x-, dx; +x X

4

2

Capitolo 9

2JO

r+x-l

(71.22)

=--xi-·-".-t'T'-

r+x-I A B C+OX il (r + l) '" X + xl- + r + 1·;

si Uova cl1e ville l'identità se A _. C'" 1. B - - 1, D_O. Quindi

f

(71.23)

r-x+l r =-::' ' = -CÒ . , c' d,x '" 2

1

- 10g Ixl - - - arctg x + c . x

72. Integrazione per parti Mentre il metodo di integrazione per decomposizione in somma si sulla regola di derivazione della somma di due funzioni, il metodo di inte· graziane per parti, che stiamo per descrivcre, si basa sulla formula di dcri· vazione del prodotto di due funzioni. FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI - Se in un intervallo f, g sono due funzioni derivabili con derilJata continua, risulta

J

(72.1)

'(x) ,'(x)
J

r(x) ,(x)
Chiameremo f(x) il fattore finito, mcntre g'(x) è detto fattore difft!rt!nz&llt!. L'ipotesi che le derivate f(x), g'(x) siano continue assicura che gli integrali in (72.1) siano ben definiti. n iettore non confonda tale ipotesi con la condi7ione, piCt debole, che f(x), g(x) siano continue. Per dimostrare la (72.1) partiamo dalla formula di derivazione del predono [(x) g(x»)' "" r(x) g(x) + C(x) g'(x).

(72.2)

Calcoliamo gli integrali indefiniti di entrambi i membri ed utilizziamo la proprietà di linearitl (159.4) (72.3)

f

[t(x) g(lt»)' dx ""

Jf(x) g(x) dlt + f ((x) g'(x) cix •

La lei!Ii" ('n.l) si ottiene osservando che la funzione

[f .

gl'.

(" g

è

lJlla

primitiva deOa sua derivata

Consideriamo alcuni esempI. Cominciamo con l'integrale indefinito (72.4)

f

xcosxdx;

Irtlt:gfa/( imlt:fmili

231

applichiamo la formula (72.1) di integranooe per parti, cou f(x) = x e g'(x) = eos x, quindi g(x) = sen x (si noti che, ponendo g'(x) = cos X, potremmo scegliere g(x) '" e + sco x, con c costante: verifican: per esercizio che il risuJtato finale non cambia):

J

xcosxdx=xsenx-

(725)

J

senxdx2lI

_X5Cnx+C06X+c. Calcoliamo per pani, ponendo I(x) = x2, g'(x) =

f

(72.6)

CQS le,

rcosxdx=rseox-2

f

l'integnle indefinito

xsenxdx

integrando di nuovo per parti, scegliendo come Iattore finito.x e come fattore differell7.Ìale aeo. x, otteniamo

(72.1)

f

rcosxdx_rsenx+2xcosx_2

- il

J

cosxdx ..

sen x "'Zx co& x -2 sen x ... c.

Calcoliamo per parti l'integrale seguente, ponendo f(x) = log x, g'(x) = 1:

(72.8)

I

logxdx=xlogx-

=

x log x - x + c.

xd%:

Assumendo come. fattore finilo x e come fattore differenziale eX. calcoliamo per parti ('integrale (72.9)

f

xe-clx=xe--

f

Nell'integrale seguente assumiamo come fattore finito eX e CODie fattore diffesenziale ",n x

(72.10)

J

integriamo di nuovo per parti l'ultimo integrale: (72.11)

f J

e'senxdx:

232

Copirolo 9

dalla relazione precedenle si può navare il valore dell'integrale

f

(72.12)

c' senx dx ="2(sen x-cm x) + c.

Con lo stesso metodo possiamo calcolare l'integrale

f

eor x
f

(72.13)

=scn l'COLlI X +

coa x cos l'.dl' "'"scn x cos x +

f

Jsen1 x iiI:'"

(1- eor x) dx =een xcos X+:I-

f cor

x dl';

ricavando dalla relazione precedenle il valore dcU'integrale, si rilrD"" il risultato, ottenuto per altTa via in (70.13);

. J

(12.14)

1

dx

"'2 (sen

xcos x + x) +c.

Chiudiamo il paragrafo scrivendo esplicitamente la regola di inlegra· zione per parti per gli integrali definiti. Tenendo conto della relazione tra gli integrali indefiniti e gli integali definiti espressa dalla formula fondamentale (68.4), otteniamo dalla (72.1):

f•

b

(n.15)

f«) g'«) d>c = [f«) g«)

f•

b

-

r(x) g(x) d< .

73. Integrazione per sostituzione Abbjamo visto che il metodo di integrazione per decomppsizione in somma si basa sulla regola di derivazione di una somma ed il metodo di integrazione per parti si basa sulla formula di derivazione di un prodotto. Il metodo di integrazione per sostituzione, che descriviamo in questo para· grafçr, si basa sulla formula di derivazione deUe funzioni composte. FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOS'lI I UZIONE. - Sia f una funz.ione comintul e g una funz.ione derivabile con derivata continua. Risulta (73.1)

U

f(x) dX]

= ... &(11

J

f(g(l)) g'(,) dc

lrur:grnli illdr:filliri

Osserviamo che la formula di per sostituzione (73.1) 1100 richiede. per la ma validità. che g(t) sia una funzione invertibile; naturalmente il risullalo dell'integrazione indefinita espresso in funzione di t. mediante la '" g{t). con x che varia nel codominio della funzione g. Per poter esprimere il risultato in funzione di .l. OCcorre supporre che g(l) sia una funzione invertibile; in tal caso si ollìene il risulrato finale. in funzione dì x, con l'ulteriore sostituzione [ '" g-I(X). Notiamo però che, per il calcolo di un integrale definilO, può non essere necessario invertire g(l), come moslrato nella successiva formula (73.14).

Il simbolo a primo membro della (73.1) significa. indicando con F(x} uno primitiva di f(x), che

(732)

f

f(x) dx = f(x) +

[I f(x)

"" F(g(t)) + c.

dX]

• l'III

La dimOSlrazione della (73.1) consisle nell'osservare che . .

(733)

F(g(l)) + , :

I

f(g(l)) g'('1 di ;

cib è conseguenza dci teorema di derivazione delle funzioni composle. Infatti, dato che: (73A)

d

- F(g(l)) _ P(&(I)) .'(1) : '(g(l)) g'(I), dI

abbiamo vcririCato che F(g(t» è una primitivo di f(g(t»g"(t).

abbiamo verificalo la tesi

(733).

Se X = g(t),la quantità g(t) . dt (che una funzione delle due variabili t, dt) si chiama il differenziale della funzione g(t), e si indica con il simbolo cix. Perciò, il differenziale della funzione derivabile x =- g(t) è, per definizione, dato da (73.5)

dx = g'(t) dt ;

tale definizione è motivata dalla formula (73.1) di integrazione per sostituzione; infatti, in (73.1) x si trasforma in g(t), mentre il differenziale dx si trasforma secondo la (73.5). Consideriamo alcuni esempi, cominciando con l'integrale (73.6)

I {;'

x-3

d"

234

Capitolo 9

naturale pone x =

2 In base alla formula (13.I), con x ,., g(t) _ t , otteniamo, per

tl.

(73.7) =

t O!:

O

1-3

.fx-3

t-3 dI +

"" 21 + 6 log lt -

J2- ]= t-3

dl

31 +- c ;

volendo scrivere il risultato fi.cale in funzione di x, si sostituisce t =

J.;;.I

(73.8)

..JX ' ottt:ot:ndo:

dx=2.J;.+6Iogl..JX-3!+c.

,-3

2 Con la 3ostiluzione 2x -1 "" t , X= g(t) = (12 .fo 1)12, calcoliamo l'ùltecrale, per t O

(13.') =

(tI + l)fl +

t

(t2 + 1)12

t

J

t

d (_

JtJ

+ 2 + t d t· (2 2t + 1 '

llbbiamo 'Jtteouto l'integ:nlle di una funzinne razionale, che poslIiamo risolvere con il metodo indicalo nel paragrafo 71. Notiamo che il denominalore ha due radici concidenti e che, esc· pendo i couti, si ottiene la scomposizione:

01',+:...:;2,:."-,+,-;,1 8t - 4 --= =t+4+ = tI 21+1 t2-2t+l (73.10)

:ct+4+4(-'!:"'-1+ t-

1 ,);

(t-l)

2 quindi {x = (1 +- l)n): (73.11)

J

X+

O

..j2X

l

t2

ID: • -

x-.fbf.-l

4

+ 4t +- 8 log 11- 11 - +- c ; 2 t-l

facile sCrivere il risultato finale in funzione di x; lenendo presente che t _ - 1 .

Con la SOlltitU'7.ione x = sco t, calcoliamo l'integrale (ci limitiamo ai villori di t per cui COS

Integrali il/definiti

(73.12)

f " f

il

cix =

t dt ,.

J

- sen1 t cost dt =

235

(x c sent)

(t + sent C05t) + ç;

l'ultimo integrale era stato Cllk:olato in (7O.LJ) (ed anche in (n.14».

Per finire, scriviamo esplicitamente la formula di integrazione per .sostituzione per gli integrali definiti. Consideriamo l'integrale di una funzione f esteso ad un intervallo (a, bI. ed effettuiamo la sostituzione x = g(t). Supponiamo che ad x = a, x = b corrispondano tramite la funzione g i valori t = c, t = d.; cioè supponiamo che risulti: g(c) = a,

(73.13)

g(d)

b.

ID tali condizioni deduciamo immediatamente la regola di integra:cione per sostituzione per gli integrali definiti: (73.14)

i

b

t(x) dx

a

i

d

t(g(t)) g'(t) d,.

o

Ad esempio, consideriamo l'integrale definito, corrispondente aU'integra.le indefinito (73.12),

r-,

(73.'-'>

Abbiamo verificato che ! utile effettuare la sostituzione x = seoL Dato che risulta (73.16)

seo (-

;)=

-l,

SCD

2"= =

l,

applicando la Cormula (13.14) e ricordando il risultato dell'integrale indefinito (72.14), otteRlamo

, r"" cos -, -"

f (73.17)

['

= 2: (t +

1

tdt=

r"

sent cost)

=2

.

236

C"pìJolo"

74. Calcolo di aree di figure piane Abbiamo introdotto l'integrale definito con lo scopo principale di lace aree di figure piane del tipo

a

x

o y

b,

$

C(x)},

dove t(x) è una funzione continua e non negativa nell'intervallo [a, b]. In tal caso risulta b

(742)

J t(x)

area di A =

dx .

•

Pii) generalmente possiamo calcolare l'area di una regione T, come in . figura 9.1, definita per mezza di due funzioni continue f(x), g(x), dalle limitazioni seguenti (74.3)

T

{(x, Y)'

a

x

b, g(x)

y

l(x)}.

!-

Y

-

-

il

f(x)

I I

•

b-

•

Figuta 9.1

In tal caso l'area della regione T si calcola per sottrazione degli ìntegrali definiti relativi rispettivamente ad f, g: ciOè

(74.4)

area di T =

i

b

[C(x) - g(x)] dx .

•

Come applicazione. c;:alcolilmo "af'CB di un Cf:!"Chio di raggio r. TI ccrchio C di <:entro

lJlre/;nl/t tmlefinili

237

l'origine e raggio r è individuato dalle limitazioni (74.5) La situazione è quella descritta in (74.3), con g(x) '" - fonnitl con la formula (74.4), l'area del cerchio è data da

- x.2 , f(x) '"

- il . In con-

,

areo di C '"

f [N - x?- - (- .Jfl -

Xl)] d.,. '"

(74.6)

,

=2

f

N-x'dx.

Anche l'ultimo membro della relazione precedente ha un chìaro siglÙficato geometrico. Infatti, in base alla (74.2), rappresenta il doppio dell'area del semicerchio al di'sopra dell'asse delle x. Effettuiamo la sostiiuzione x == rt. Utilizzando la formula (73.14) con" '" g(t) '" rt, si ottiene

,

,

(74.7)

f

N-x'dX=

f -\

,

f

-\

e J'ulti!l\o integrale, calcolalO in (73.17), è uguale in rtI2. Riassumendo, abbiamo dimosrrato çhe l'area di un cerchio di raggio r vale (74.8)

area di

C '" 2

f

dx "" 2 .

""]t

.

IIleuore osservi che abbiamo già calcolato l'area del cerchio alla fine del paragrafo 23. Possiamo calcolare l'area della regione piana racchiusa dall'ellisse di equazione (74.9) la regioDe E di cui vogliamo Cl1lcolare l'area è quindi definita dalle limitazioni (74.10) con lo stesso procedimento usato in precedenza per il cerchio, otteniamo che l'area deWelfisse vale (74.11)

area di E '"

'f

b 2 -;

-il dx = 2 ab

f'

-I

dl = nab.

238

Capitolo 9

Appendice al capitolo 9 75. Integrali impropri Nei paragrafi precedenti abbiamo studiato l'integrale definito di UDE funzione limitata in un intervallo chiuso e limitato [a, bJ. Nelle applicazioni è utile considerare anche integrali come i seguenti:

(75.1)

f .. •- 1

l

1

I ix

o

1

dx.

,Tali integrali Don rientrano nei casi già trattati; infatti nel primo caso l'integrale è esteso. ad un intervallo illimitato; nel secondo caso la funzione integranda Don è limitata per x -+ O... Integrali come quelli in (75.1) prendono il nome di integrali impropri. Per definire il valore degli integrali impropri, consideriamo funzioni che, oltre ad essere continue all'interno dell'i.ntervallo.preso in consi.derazione, sono anche non negatiye. Consideriamo preliminarmente l'integrale improprio esteso ad un intervallo illimitato [a, + 00); diamo la seguente definjzione: • _

(75.2)

i•

l(x) dx

b

il(X) dx.

•

La definizione è ben posta, perché è possibile provare che esiste il limite a secondo membro; a tale scopo consideriamo la funzione integrale

(75.3)

F(b)

i

b

•

l(x) dx

e noliamo che, come al solito, F è funzione. dell'estremo di integrazione b. La derivata di F rispetto alla variabile b è nota in base al teorema fondamentale del calcolo integrale: F = f. Dato che f > O. ancbe F' O; perciò F. essendo una funzione crescente, ammette .limite per b + 00. È dunque lecito definire, come in (75.2)

J•

+-

(75.4)

l(x) dx

!i,;,;_ F(b).

Iluegroll indefiniri

239

L'integrale improprio è detto convergente se il limite è finito, è detto divergentI! se il limite + DO. Riprendendo il primo integrale in (75.1). risulta

(75.5)

.Iim [-!I-lim (-!+l)=l. x b .....-+_

b-4+-

PiO.. genenInu:nlC, per ogni p

f

r

l, possiamo considerare l'intcg:nle:

.,t

• - -pdx_ 1 lim

l

(75.6)

x

Il-h-

[ '-'J'

I· , -un

x4'dx_

l-p

l

1

'" lim

1>-+_

(b'-' +1) 1 P p-l'

L'integrale improprio Cooverge o diverge a semodo che "esponente p sia maggiore o minore di l; inIani:

'· 1 f

(15.7)

t

- dx. P x

("(P-l) ......

se

p;:.l

se

p
In modo analogo si defuisce l'integrale improprio di una funzione continua e non negativa in un intervallo illimitato del tipo (- DO, al, oppure (- DO,

+ -l. Ad esempio;

+-

(75.B)

J

__

J b

f(x) cix • lim

b-i_

-b

f(x) dx .

Non sempre è possibile calcolare esplicitamente una primitiva di una data funzione. In tal caso può essere utile il,seguente criterio per stabilire se un integrale improprio su un intervallo illimitato è convergente.

..

CRlTER10 DEL CONFRONTO. - Supponinm"o che hell'jl1lervallD [a, +-) risulti O S f(x) g(x). Se l'integrale improprio relativo alla fu.nzione g nell'inlervallo [a, + DCI) è convergenle, aUam anche l'integrale improprio relativo aUa funzione f in [a, + _) Ì! conv.ergMte. Se invece l'integrale relativo ad f è dillergente, anche l'integrale rt!lativo a g è divergente.

=-=---==0=_ __ =._====

240

Ctlpitolo 9 Dimostrazione: per Ili. proprietA di confronto (63.11) risul(B.

(75.9)

Calcaliame il limile per b -+ -+ -. Esiste il limite di enlrambi i membri. il limite a seconde membro! rinile, anche il limite il primo ml:mbro deve risullare finito. Se invece il Iimile del primo membro è infinilo, anche il limite del.sec:ondo membro deve essere uguale Il

.-.

Ad esempio, verifichiamo che il seguente integrale improprio è convergente:

.f.

(i5.l0)

e-"dx<-+_.

,

Naturalmente l'integrale (75.10) è oonvergentc :se 5010lnto se ! l:Oovergente l'analogo integrale esteso aO'intervallo Il, -+ -), invece che [O, + -l: infatti i due integrali differiscono fra loro dell'integrale definito su [O, 1] dali", funzione datll. Per x li [1, + _) risulta l .s; x, e quindi

v.

(75.11)

E

(l, ..

_l.

La funziooe a destra ba il vantllggio di avere una primitiva facilmente calc:olabile; risulta

.-

f.

e-z'xdx= Hm

1

(75.12)

-=

b-+_

lim

f.,

e-z'xdx= lim

l

It-t_

[ ' • 2

l

(_! e-"" +.: e- )-=..!-. l

2

2

le

l'integrale improprio relativo alt. funzione g(x) [1, .. -) è convergenIe. Per il criterio del COnfronto anche l'integrale improprio della funzione f(x) è convergenie; cioè vale la (15.10).

In modo analogo si procede per "integrale improprio, esteso ad un intervallo [a, hl, di una funzione che non continua ad un estremo di integrazione, ad esempio all'estremo a, Supponiamo che f sia una funzione continua e non negativa nell'intervallo (a, hl; definiamo:

i

b

(75.13)

'"

i

b

t(x) dx = lim.

'" +h

l(x)
Integrati imlefiJJilj

241

Come in precedenza si verifica che l'integrale definito a secondo membro è monotòno rispetto ad h. quindi esiste il limite per h ---? O" . Se il limile ;; nnBo, l'inl<::g:rale improprio (75.13) si dice conl'ergellu:. altrimenti si dice divergente. Lasciamo al lettore la cura di formulare un criterio di confronlo per questo tipo di integrali impropri. A titolo di esempio, calcoliamo per oglli p

(75.14)

i'

I -dx=lim P

o x

1.-+0"

f'

;F

l, l'integrale improprio

x-Pdx=

Il

=lim [xJ-PII=lim ( 1 _ hl-P). h-iU"

1

P

I

h-iU"

1

P

1

P

L'integrale improprio converge o diverge Cl secondo che p sia minore o maggiore di l; iofatti:

(75.15)

'i 1 {lI(' -

P

o x

p)

dx =

+ ....

se

p < l

se

p::>l

,lo particolare il secondo iotegrale dell'esempio iniziale (75.1) è convergente e si olticne dal conto precedente per p = 112: (75.16)

r' ..[xI dx = 2.

)0

76. Definizione di logaritmo, esponenziale, potenza Abbiamo introdotto le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo nel paragrafo 9 a partire dalla espressione ab, con a, b numeri reali (a> O). Ci siamo basati preliminarmente sulla idea intuitiva di elevazione ad esponente reale ed abbiamo dato un significato rigoroso alla espressione ab nel paragrafo 12 per mezzo di un lemma di densità del codominio deUa funzione esponenziale. In questa sede seguiremo un approccio diverso, basato sul concetto di integrale definito. In questo paragrafo ci proponiamo infatti di definire la funzione logaritmo per mezzo di una opportuna funzione integrate e da questa dedune le definizioni della funzione esponenziale e della funzione PO!efl'Zll. Naturalmente supponiamo validi gli assiomi dei numeri reali; in particolare sono definiti il prodotto ed il quoziente tra numeri reali e la ad

242

Capir%

9

esponente naturale a R , come prodotto del numero a per se stesso n volte Oltre a ciò, utilizziamo i risultati dimostrati senza far uso delle tre tonzion che intendiamo definire. La funzione 1/t continua e decrescente per t > O; a partire da essa consideriamo per x > O la funzione integrale

F(x) =

(76.1)

f ,

(x> O)

l dt t

In base al teorema fondamentale del calcolo integrale. F(x) è derivabile per x > O e la sua derivata vale l/x. ]0 particolare F(x) è una funzione continua. Fissati due numeri positivi Xl. x,l> calcoliamo la funzione F nel pmdottc X.X2

(76.2)

F(x,x,)

=

XI XJ dt

-t =

fI

fIi 1

dt

-t

+

IXI XI

XJ dt

- . t-

Nell'ultimo integrale effettuiamo la sostituzione t = g(s) = x.s. Risulta g'(5) = Xl' Inoltre, se S E [l, allora t E [XI> XtX2]. In base alla fonnula (73.14) di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti, otteniamo

(76.3) In definitiva, con le (76.2),

(76.4)

F(x,x,) = F(x,) + F(x,).

In particolare, per x.

(76.5)

abbiamo provato che

= X2 = X,

risulta

F(x') = nF(x),

= 2F(x)

e più generalmente

"Ix > O,

"In e N.

Dalla stessa definizione segue che F(l) = O. Verifichiamo ora che F(e) = 1, con e numero di Nepero definito ne) paragrafo 25 come risultato dcI limite

(76.6)

e=limxR

,

inregrali inde/ùliti

243

Per la proprietà (76.5) e dato che F(l) = O, abbiamo

(76.7)

F(l + 1/n) - F(l) . 110 ' nell'ultimo membro compare il rapporto incrementale della fun'7.ione F nel punto x = 1, con incremento h = 1/n. Per n -' + otteniamo 00

(76.8)

F(e) = lim F(x,,) = tim F(l + 1/n) - F(l) = F(l) ; n-H_ n-+t_ 1/n

dato che F(x) = llx, risulta V(l) = 1 e quindi

F(e) = 1.

(76.9)

La funzione F(x) ha derivata (= l/x}'positiva per ogni x > O; perciò è una funzione continua e strettamente crescente per x > O. In base. al criterio di invertibilità del paragrafo 35, F è invertibile, cioè esiste la funzione inversa di F, che indichiamo con VI e che è dermita da

(76.10)

F-'(y) = x

F(x) = y.

Fissato a > 0, scriviamo la relazione precedente COD x = a n • Dato che y = F(x) = F(a") = nF(a), abbiamn (76.11)

a" = x = F' (y) = F' (nF(.)).

La relazione precedente giustifica la seguente DEFINIZIONE. - Se a, x sono numeri reali, con a > O. definiamo l'espressione ...a elevato ad x... · nel modo seguente:

(76.12)

""

p-l (x F(a»).

In particolare, ponendo a = e, dato che F(e) = 1, abbiamo la funzione

esponenziale: (76.13)

= p-l (x).

CAPITOW 10

FORMULA DI TAYLOR

La formula di Taylor (con il resto di Peano) è stata già introdotta nel paragrafo 52 e ne sono state esaminate le prime proprietà e conseguenze, come ad esempio il criterio per stabilire se un punto è di massimo O di minjmo relativo, in base all'annullarsi, o meno, delle derivate successive alla poma. In questo capitolo riprendiamo la formula di Taylor in ipotesi generali e ne esaminarno ulteriori proprietà.

77. Resto di Peano Consideriamo un polinomio p(x) di grado n a coefficienti reali

(77.1) La funzione p(x) è indefinitamente derivabile in R e le sue derivate di ordine maggiore di n sono tutte nulle. Inoltre è facile verificare che

(77.2)

p(O) = ., •

per ogni k < o. Ricavando i valori dei coefficienti polinomio (77.1) nella forma seguente:

(77.3)

a.c. possiamo riscrivere il

'(O) '(O) ('l(O) (x) = p(O) + p x + p x' + __ + p x' _ P I! 2! . n!

In altre parole un polinomio di grado n noto una volta che siano noti il suo valore e quelli delle sue derivate nello zero. Sostituendo il ruolo dello zero con quello di un qualunque punto XI) e R si perviene analogamente ad un'espressione del polino mio p(x) in cui inter· vengonb solo il suo valore e quelli delle sùe derivate in xo:

246

Capitolo lO

p(x) - p(",) +

p'(x,,) lf

p'(xo) (x - x,,) + 21 (x - ",)' +

(77.4)

+ ... +

p"'(",) (x-Xo>n. nl

Dalla (77.4) segue in particolare che un polinomìo di grado n è univoca· mente detenninato una volta che siano notLi valori che esso e le sue prime: n derivate assumono in xo. Sia ora t(x) una funzione d.erivabile n volte in un punto Xo e cerchia.m.e di determinare un polinomio Pn(x) di grado minore o uguale a n che verifichi le uguaglianu (77.5)

P.(x,,) f(",),

p'.(",) = re",). ...•

..)

Tale polinomio deve avere, per la (77.4),l'espressione f(",) P.(x) = 1(",) + 11 (x - x,,) +

(77.6)

1"(",) , • + 2! (x - "o) + ... + nl (x - Xo) •

Le condwoni (77.5) sono verificate da p... Perciò il polinomio di grado minore od uguale ad n che verifica le uguaglianze (77.5) esiste, è unico, ed è rappresentato in (77.6); tale polinomio prende il nome di polinomio di Taylor. di ordine n e centro "o, della funzione t(x). Definiamo la funzione resto:

(77.7)

R.(x)

l(x) - P.(x).

La funzione Ra(x) (resco della formula di Taylor di f) rappresenta ['errore che si commette quando. in x si sostituisce a f(x) il suo polinomio di Taylor di centro Xo e ordine n. FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO. - Se f è derivabile n volte in Xo. il resro Rn(x) è un infinitesimo in Xo di ordine superiore a (x - xot. ossia

(77.8)

Formula di Taylor

247

La dimostrazione. che segue si differenzia da quellaproposla nel paragrafo 52 per il fatto che, in questa sede, non si suppone la continuità della derivata n-simu nel punto Jlo.

DimoSlrazione: tenendo la defini2ione (71..7 ) di Rn(ll). la tesi do dimoslrare la seguente: lim

(77.9) .

= hm

f(x) -{r(x.J + r(xn)(:< - "IJ + ... + - "II)" In!]

•-+..

(x

XD)n

Applicando n - I volte il teorema di L'HOpital (il limite (77,9) 0/0) si perviene a ,

.

1m .-+""

una forma indeterminata

fln-ll(x) _ [fln-ll(".) + rnl(x)(x - Xc)] Q I n!(x

Xli)

O.

=

(nIO)

DEFINIZIONE DI 'l
'*

(77.11)

se g(x) è una funzione infiniteslma per x (77.12)

(per x

f(x) = o(g(x»

Xu:l,

Xo e

lim f(x) "" x-+x"

g(x)

o.

Con tale definizione il resto di Peano (n;7), (TI.B) si rappresenta anche nel modo seguente: (77.13)

R.(x) = o«x - "o)")

(per x ....

"oJ ;

tenendo presenti le espressioni del resto (77.7) e del polinomio di Taylor

en.6). utilizzando (come nel

paragrafo 52) il simbolo di sommatoria. si può scrivere la formula di Tay/or con il resto di Peuno aeUa forma: (77.14)

L Il

C(x)

.t
(x - ",,)' + o«x - "")").

k'

'-o

.

Si utilizza spesso la formula di TayIQr con centro Xo:: O(ed in tal caso si chiama anche formula di Mac Laurin): (n15)

C(x) C(O) +

reo)

x+

f"(O)

2

x' + ... +

1.'"'(0) .!

.. + 0(").

Esplicitiamo tale formula per alcune funzioni elementari:

x' + ... + -.. + o ("). e" :: 1 + x + -x' + -31 x , 2. n!

(77.16)

(77.17)

x' + x' 10g(1 + x) :: X __ __ '" + (- l)n ..

(nIB)

senx :: X --. + -51 - ... + (- 1)" (

(77.19)

(77.20)

2

x'

x'""

3..

2n +

i'

cosx

3

X?

x" -

r

x5

l - ·2 + 4! -

x" + o(xn)

l _

n

1)1 +

.

;

rn ... + (- l)" (lo)! + 0(.....') ;

arctgx = x - - + - - '.. + (3 5

lt

x2n-t.l

2n+l

+ o(rn+2 ).

2 2 Ad esempio, dalla (77.18), con n" 0, si oUiCDe sen x = x + o(x ) e, ca.mbiaodo x con x , o con Xl. si ricava rispettivamente (71.21)

scn il ,. il +

..$eli

il = .r + o(x'),

esprimcndo il ratto che, per x vicino a Xo '" O. le funzioni y 7' &cn x2 e y :: sen xi hanno un 2 ceomportameuto- simile rispettivamentc alle funzì!:mi y '" x e y ::: l. Ciò è ben evidenzialo dalle figure 10.1, 10.2, escguite al computer; infatti, in figura 10.1 è rappresentato il grafico 2 della funzione sen ·i chc, per x vicino a "o'" 0, è similc alla parabola di equazione y '" x , mcntrc il grafico in f!$Ura 10.2 della funzione scn xl per x vicinQ a Xo = O, similc al grafico dclla funzione '1 '" tè. Pcr motivi analoghi. la funzione f(x) :: 1 + scu(c· - I), rappresentata in figura 10.3, ha per x vicino a Xc = O, un grafico simile al grafico della funzione y .. c·. Invece, per x.... + _la

n,; I//Idll

di Tfly[or

249

funzione f(;;:) oscilla COR O.

-

--•ci

• •

Y

;;

"

"

"

, V

Figura 10.1 -

f(x) '" sen Xl

--• --•-• o;

y

• •o

<.

, V

FigUlO

10.2 -

(x) '"

$eD

x'J

-•"-

y

:i

x

Figura 10.3 -

f(x) '" 1 .. sen(e

K -

.1)

78. Uso deUa formula ·di Taylor nel calcolo di lliniti La fQrmula di Taylor con il resto di Peano si dimostra utile nel calcolo di limiti di fonne indeterminate. come neU'esempio che segue. Si voglia calcolare il limite:

('

10m . --

(78.1)

.-+0

Xl

X

')

seo. x .

Il limite si prel5enta sotto la forma indeterminata .. _ - (+ _l. TayloT della funrione aen x centro xo = O.(si veda la (77.18) con n "" 1): (782) Sì ottiene

' lim (.-fll ,,1 (78.3) _\iro

X

' ) _Iim senx-x "'seo x .-+0 ,,1 sen x

- x3/6 + 0(x4) . xl 16 .. o(x') ,

r·

la fonnula di

Formullt Ili Tay/or

251

si uliliu.alo il rauo che ,l . ,. (si ved\ la prQP.osizione seguente): cosl pure si sarebbe poWta utilizzare la proprie[l: - ';/6 + o(x) = Dividendo numeratore e denominatore della (783) per ..3 e tenendo presente che

(78.4) come pure

o(x"n..3 - f

O per

x - f O. si

ottiene infine il limite equivalente

- 116 + O(][4)1 r = _ !. ..-+o 1 16 + 0(x6)1 XJ 6 lim

(785)

r

Ai fini del calcolo di limiti sono utili le proprietà degli aO piccoli» elencate nella seguente PROPOSIZIONE. -

Valgono le proprietà (m" n e N):

o(x") + o(x") = 0(><") ;

(78.6) · (78.7)

1 c = costante '# O;

c· o(x") = o(ex") = o(x"),

(78.8)

o(x") - o(x") = o(x") ;

(78.9)

x'" . o(x") = 0(JC"'+") ;

· (78.10)

o(x") . o(r') = 0('--) ;

· (78.11)

0(0(><"»

0(><") ;

o(x" + 0(><")) • o(r').

(78.12)

Dimoslriamo la (78.6): siano f(x) = o(]["). g(x) '" ordine superiore a x" per x - i O. cioè lali che

(78.I)

•

f(x) lim - . <>.

x"

due fum:ioni infinitC$ime di

Hm g(x) = O. ...... ,.

Ma allora anche [f(x) + g(x)]lx"..... O per x ... O. cioè t(x) + 8(X) = o(x"). come si vole'o'D dimostrare. La (78.7) afferma l'ovvia proprietà che se f(x)lx" - f O per]l -+ 0, allora anche

c . f(x)

,.

(78.14) convergono a zero per

li: - t

r(x)

O. qualunque sia III costante c

'l"

O.

252

Cl.lpiwlo lO

La (78.8) si prova COffit: la (18.6); si osservi che, in generale, non è lecito porre o(x") o{x") = 01 Infatti o(x") - o(xll ) denola la diITerenu di due funzioni f(;I;), g(x), entrambe infinitesime di ordine superiore 8 x· per x ...... O. Lt: (18.9), (78.JO) si dimostrano in modo anllogo. Dimostrilmo la (7H.II): posto l(x) '" o{o(x")), risulla per x ...... O:

(78.15) perciò f(x) '" o(x") per x --f O. Dimostrazione dell... (78.12): posto r(xl ..

0('- + o(x·», si 11/11: l(x) '" O(lIò· + o(x"» . (I + O(X.»),.., O

(71:1.16)

'II!'

x" + o( x·)

x·

per x -+.0. Perciò ((x) "" o(xn) per x -+ O. Còme ulteriore esempio calcoliamo il limite

. (l

(78.17)

Iim ....-kIx

cos x xl

se",nc:;3X:) 3x··

Ponendo 3x al posto di x nello sviluppo delll fimziOJlc seo x in (77.18) e (78.7), si ottiene

la

(78.18)

Utili:aando IUlChe lo sviluppo (77.19) della ru07.ione coseno, il limite (78.17) diviene

.3r-3xcosx+sen3x lim • .-Hl 3 x· (78.10)

_+.;;.::0-,,(''-'.') • = lim ,,"'

, x'

:; lim

3

r

+ (312)

- (912)

3

rl + o(x")

x:t

- lira

.-+0

Come ultimo esempio studiamO il limite di successione (78.20)

=.. (COI;')-"

che è riconducibile (mediante la composiUooe con la uvressione teorema del paragrafo 31) al limite di fu02.ione .

x. '" lIn e utilinando il

FUl1nTl/" di Tay!o,' 1

tim (cos X ....,

(78.21)

253

Iof_l liro e }

.....

Utilizzando gli sviluppi in fonnula di Taylor delle funzioni cos x e 10g(1 + x) e le proprietà degli 0<0 picooti», li ba:

(78.22)

Iog(cos x) - 101

(1 -

+

):0

+ o(rJ,

da cui li dedw::e immediatamente che i limiti (78.20), (78.21) valgono c 1l2

79. Resto integrale FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO INTEGRALE. - Se f è derivabile n + 1 volte in (a, bl. con derivata A+1) continu.a, il resto R.(x), tkfinito in (77.7),

r.

si rappraenta ne1kJ fonno

R,,(x) = [

(79.1)

...

(x - .)' t<'O"(I)d<. n!

"Ix

E

[a.

bl

Dimostrazione: per la definizione (17.7), e per la (n.6), il resto Rll(x) è dato da

(79.2) pertanto la. tesi consiste nel dimostrare che il secondo membro. dellEl (79: I) è. per ogni x e [a, bl, uguale al secondo nlembro della (79,2): proviamo çiò per indtUione su " '" 0'- 1. .. Pcr n • O. l'uguaglianza dei 5CCOodi Il)embri dçlJe (79.1), (79.2ft conseguenza della ronnu1.1 fondamenHl.le del calcolo integnle; infatti:

(79.3)

[

reI) di ., [f(t)];"

= f(x)

- f(xJ

= Rg(x).

"Ix e [a.-bl.

Nell'ipotesi che f(x) ammetla derivata di orQine n + 2 continua in (a, bl. assumiamo per induzione

(79.4)

=

f

(x -, I)" ,.... II(t)d[,

n.

Vxe[a,b)

25<1

CopilOlO 10

Inlegrando per parti otteniamo

(79.S)

+

( f X

Cn

-

f"_.al(l) dt.

+ 1)1

che equivale alla tesi. con n + l al postO di n:

(79.6)

';I X E [Il.

bl.

80. Resto di Lagrange Continuiamo ad indicare con RII{x) il resto nella formula di Taytor, definito in (77.7). FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI LAGRANGE. - Se f è duivabile n + 1 volte in [a, bJ, con derivala fll+l) continU4, per ogni x e [a, b] esiste un numuo XI compreso tra :co ed x, tale che

R (x) =

(BO.1)

Il

)

l (x - Jto)"+1

(0+1)!

Dimostrazione: supponiamo x >. xli (le differenze con il caso x < Xn sono soltanto formali). Indichiamo con m. M rispettivamente il minimo ed il mnssimo di rn+I)(t) nell'inter· vallo xl. certo esiSlenti essendo rn+11 conlinua. Dalle disuguaglianze m S rn+l) (t) S M. 'v't e.[JCo. xl e dall'espressione integrale (79.1) del reslo Rll(x) dedudamo che

(BO.2)

.J.

m (

x-t-

n!

) dt:S Rn(x) :S M

!'integrale è calcolabile e1emenlarmente e vale

[

(

x-t01

) dt;

Formulil di Taylor

-

lJ'

n!:<"

(x - l t di "" -

l[

n!

255

(X_t)"OI]'" " n+l , ...

-

(80.3)

Pllrcib m S Rw(x) .

(80.4)

(n + l)!

(, - 'l''' "

, s M.

Per il teorema delresistenza dei valori intermedi applicato alla funzione (tale funzione assume lutti i valori compresi tra il minimo m ed il massimo M) esiste x, e[Xll. x) tale che (NO..5)

rtn+II(X) = R (x).

,

"

(

(n + l)!

,

"l'"

.

Per n = O la fonnula di Taylor con il cresta di Lagrange non è altro che il teorema di Lagrange (paragrafo 47): esiste Xl nell'intervallo di, estremi.Xo ed X tale che

(80.6) Per n generico la fonnula di Taylor con Il reRto di Lagrange utiliiiata per la zione numerica di funzioni; è infatti alla base della stima del resto (81.2), proposta nel paragraio seguente.

Appendice· al capitolo lO 8L Tabulazione di funzioni La formula di TayJor è utile, oltre che per, il calcolo di limiti, anche per la tabulazione numerica. delle funzioni elementari: si approssima un valore di una funzione !(x) con un polinomio di Taylor di grado n, scegliendo Xo ed n in modo tale che il resto R,,(x) sia compatibile con il grado di precisione consentito dal problema. A questo scopo è necessario avere una stima del resto R B STIMA DEL RESTO. - Sia. f(x) IIna funzione derivabile n + 1 volte in un intervallo [a, bl contenente x." con derivata :t
256

Capitolo 10

(81.1)

M....l

'"

max {lt<...I)(x)1 : x e [a, b]I,

il ruto R,,(x) delllJ formula di Tuylor verifica la disuguaglianza (812)

IR. (x)1

.s M ...,

Ix - xol....J

"Ix

(n + 1)1 '

E

[a,

hl.

Oimos'razione: direlfa conseguenza della rappresen\azione del resto SCCQndo la Cormu!a di (SO.l): inCarti, fissati lt.llj, e [a. b]. se indictUamo çon xI il punto per cui "'i1le la Cormtda (BO. 1). si ouiene:

!R.(x)1 • If·· II(X.I)1 (81.3)

Ix -

Ix - Xul

U

!

- (D + 1)1

S M".,· (11"+ l)!

Diamo un'indicazione di come ,calcolare numericamente i valori di una data funzion'e usando la fonnula di Taylor. Con il metodo che espolliamo si possono costruire le logaritmi o delle funzioni tTig0C!-0metriche. Si "fissa prelimìnannente il numero di cifre decimali con cui lavorare, o più precisamente, il grado di approssimazione con cui si vuole conÒ5cere ii risultato. Si eseIDIe il calcolo usando il polinomio di Taylor \17.6), trascurando il resto R..(x), n resto, O errore che si commette, è stimato con la formula (81.2). Ad esempio, ci propqoiil.lDO di calcolare scn (lI1D) con un crrore inieriocc a 10-7. Salviamo la formula di Taylor per 1. funzionc f(x) "" seo X. con XJI_ a O ed X _ 1110. Dato che. la deri....tA è uguale. + :sen x opptm; :!: COI X. risulta 1f")(x)1 S l, c quindi

M...l

(81.4) Pe.rqb,

$e

=

mu {t&'+Il(X)1 : li

G

[O, lti]

:!O

L

O S x :!O 1/10, otten.ialllO

(8U)

si pub calcQlare (o + 1)1 . 10n + l per i primi valori di n; in parlìcolare per n + 1 _ S si trova (81.6)

l0 ('ll:!iO n-t

l _ 1 <: _,_ = 10-1 . 51 lo' 120. ICS 107 '

quindi: commettiamo un crrorc inferiorc a 10-7 se approssimiamo il yalorc del seno di x con il

Farmula di Taylor vulore (leI polinomia di Taytar.

257

'"

sco " _ x - -

(81.7)

6 '

Ponendo x "" 1110 otteniamo il valore:

1 1 l 599 scn 10 ;; 10 - 6 . IlY;; 6000 = 0.09983333....

(81.8)

L'errore commesso è inferiore a 10-1 ,., 0.0000001. Cib significa cbe Le prime sei cifre decimali trovate sono esatte. Quindi possiamo senza dubbio afferro'are che'

,

sen lO = 0.099833...

(81.9)

Volendo conoscere altre eifre decimali di sco baSta nÙIneolare n. Ad esempio, se si vuole un risuLtato con un errore inferiore a 10-1 , basta prendere n = 6. DaUa stima (81.5) si ottiene :;; 1I(7! 10 ) <: lO-lO. EsegUerido i calcoli, si trova il valore esatto fino alla ' nona cifra decimale:

1 599 1 seo 10 ;; 6000 + 120 . lOS ;; 0.099833416•..

(81.10)

Calcoliamo ora valori numerici approssimati del numero di Nepero e; utilizziamo la formula di Taylor per la funzione f(x) = eX, con centro Xo = Oe conx=1. Poiché la derivata :t
M n+1 = max (e" : x

(81.11)

Ponendo

Xo

E

[O, 1]1 = e < 3.

= O, x = l, nella stima del resto (81.2), abbiamo

1)1 R" (x "M,., --=-..:1", Cn + l)!

(81.12)

<

(n + l)!

Ad esempio per il = 10 si trova IRnex)1 < 3/11! < 10-7 • QUindi otteniamo il numero e dal polinomio di Taylor (77.16) per la fUIlZione eX con' "o = 0, x = l, n = lO: (81.13)

e

=1 + 1 +

1 1 1 2 + 3! + ... + lO! = 2.71828180114...

Il risultato è stato ottenuto a meno di un errore inferiore a 10-7 . Perciò

260

Capitolo 11

A titolo di esempio consideriamo la

seguente, deaa Hrk (li MUlgoti:

111

l

- + - + - + ... + + ... 1 . 2 2· 3 3· 4 n(o + 1)

(82.4)

La somma Sn dei primi n termini della serie data dalla formula (11.15), dimOstrala nel

para&J1lfo 11 per indurione: (8'2.5)

S_'"

per n-+

-t -.

.., -0;.-':'-'; •

L

n k(k 't- 1) .. n + 1 '

Sn converge .ad l. Quindi la &erie data è convergente e la somma vale

(82.6)

... Il.l

,

"

k( k + l ):"ro _ _ .. =1.

Consideriamo ora la serie associala alla successione a n '" (- cioè: - 1 + l - l + ... + (- 1)- +

(82.7)

n.

Per la successione sn deUe iomme parziali olteniamo: SI '"" - 1; 12" O: '3" - 1; '4 - O; ... La successione Sn non ha limite; quindi la serie è indeterotinata.

Si noti che l'esempio (82.7) di serie indetenninata è stato datO a partire dalla successione ali = (-1)- che non converge a zero; questo è un motivo per escludere a priori che la serie converga, secondo la seguente: CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SElUE. la serie

-L

all è

allora la su.ccessione. a n a zero

k.1

Dimostraziorie: indichiamO con s" la successione d!11e somme parziali e con s ., R la somma della serie. Essendo (82.8)

\t'n e: N,

5".1 "'s,,+8.... ,

risulTa

(82.9)

lim = lim 11-+II-t_

-

Iim .-t_

SII

= s"- S =

o:

Osserviamo che la condizione precedente l: necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie, come si vede dal seguente

Serif!

ESEMP10. Il termine generale ddla,

261

(82.10) è infinitesimo, ma la serie è divergente. VerifLchiamo infatti, per induzione. che la sua ridotta n-sima è data da

(82.11)

ao è immediato per n'" l. Supposta vera la (82.11) per o + 1. Sia dunque sm :.

m, verifichiamoJa per n= m

+ l - 1 , allora

(82.12)

1+

l

c:=.ij,:,,"i'

Essendo evidentemente (82.13)

l

,

dalla (82.12) segue sm+l =

+ 2,- l • cioè la tesi.

Quanto segue in questo paragrafo può essere omesso ad una pnma lettura. Dal criterio di convergenza di Cauchy per le successioni di numeri reali si ricava il

-

CRlTERIO DI CAUCHY PER LE SERIE. -

sufficiente affinché la serie v > O tale che (82.14)

L

'_I

M, L

Condizione necessaria e

a k sia convergente è che, per ogni

E

> O. esista

akl-laR+I+an+2+···+aR+pl
k=+1

per ogni n > v e per ogni p

E

N.

Dimoslrm:ionc::: indichinmo con Su In successione delle somme pimdali c ricurdiillllu, dal critclio di Clluchy per le successioni (pllrllg!nrO 2H), chc s" converge se c solo se per oglli li:> O esiste y :> li talc che per m :> v, n :> v

(H2.IS)

262

CapiwlQ JJ

Essendo per m > n. m '" n + p con p e N. si ha ..

(82.16)

s..

n

• .,.,

-S.-L,8,-Lllt"" L t .. 1

8k'

k_1

da cui la lesi.

DI l'ndle vcrifica sono Ic scguenti prop:>sizioni.

-

PROPOSIZIONE 1. -

Se le serie di termine gcnerale-alt e bit sono regolari e se

- La,.+Lb,.

(82.17)

,.,

k=l

Ju1 significato in R

Et

I

R u 1- -. +-1. alloro la serie di ter!lIine generale alt + b t P-

regolare e risulta

L

(82.18)

,•

'.1

(DJ<

+ bt) =

- ,L-..

...

I. at

+

b•.

PROPOSrzrONE 2. - Se lo di termw generale ilk è regolare, anche la serie di termine generale c . alt i regoliue per ogni c e R e si ha

-,.,

-

Lc·a,=e· Lat.

(82.1»

k='

Utilc è la 1l0'Zione di resto di una serie. Dala la serie

-

.., L

al • per ogni n E N consideriamo la serie ruro n...:simo

(8220)

B.".1 + a..2 + a".3 + ... + lI"..t + .••

ollenuta trascurando i primi n tennini ddla seric data; cioè consideriamo la serie di lemline generale b t • con

(82.21 ) Sussiste il seguente

pcr

k_l..... n

per

k>n.

b•• ( O

'.

Serie

TEOREMA DEL RESTO. - S. ,. mi, fo

Del/a R n la .sua somm.a, cioè po.sto

(8222)

i '. , ,"""'.'n" ."d<, ,. "ri,

-

I. a

R. '"

2.

n"",, '"

Mimo

t..n+l

si h(1.· inoltre

(82.23)

lim

DilnO$lrnzione: essendo. per

In ::> li,

" L. 1(",1

(82.24)

263

Il I

I! lj ,

R" '" O .

bm - llm '"

(b" - a,,) '"

L

(I

t_l

si hll

(b. - a,,)

per ogni In ::> n. Pertanto In serie di termine generule bI;.. - a" c convergente. Tale risultn allortl. in base alla l, Ilnche la serie dì Il:rmine generale bIt = (llj( - .1,,) + R". l,.a (82.2<1) può t:Mer !iscrilta come

(K2.2..'i)

per ogm m ::> n: per cui. passnndo il limite per m

-

I.

(82.26)

(a" -

hd '"

al

_. si ha

+ Il! + ... + .1. '

"cl

ed anche

-

..

l:, a" -

(g2.27)

Passando llilimite per n

83. Serie a-termini

Bilo

Diremo che una serie

R" : al + al + _ + D•.

ca in lale i"I!I.lzione, si ricuvu la (82.23).

negativi

L a" è a termini non negativi se per ogni n E '.1

N

risulta an O. Diremo che una serie è a termini positivi se a" > O per Ognl D. La successione Sn delle somme parZiali di una serie a tennini non nega-

264

Capitalo Il

tivi è crescente. Infatti, dato che a n+1 > O per ogni n, risulta anche (83.1) Quindi,. in base al teorema s·ulIe successioni monotòne (paragrafo 24), sn non può essere indetemiinata. ma ammette sicuramente limite (eventual-

mente uguale a +

-l. Abbiamo così dimostrato il seguente:

TEOREMA SULLE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI. -

Una serie a termini non nega/ivi non può essere indeterminata. È quindi convergente, oppure divergente positivamente.

Ad esempio, in base al teorema sulle serie a termini non negativi ed alla proposizione del paragrafo precedente, è possibile affennare che -

k

k=1

k + 1

(83.2)

+ -;

inlatti,"la serie data è a termini positivi, quindi può essere divergente a + <>
Evidentemente la somma di una serie a termini non negatIVI conver-

gente è maggiore o uguale di ciascuna delle sue somme parziali sn. 84. La serie geometrica Per ogni numero reale x consideriamo la serie geonletrica

(84.1)

-

1 +

X

+_ X 2 + ... +

X

n

+ ...

TI numero x si dice ragione della serie geometrica. Se x è positivo, la serie è a tennini positivi; perciò; se x :> O, la serie è convergente oppure divergente. Se x > 1. la successione aR = xn Don tende a

zero; quindi, in base alla condizione necessaria per la convergenza di una serie. la serie è divergente, cioè risulta (84.2) I.

-

'Ix > l .

Serie

Fissato x < l, calcoliamo la somma parziale (11.7), abbiamo

265

Ricordandp la fonnula

(84.3) In accordo con la relazione di \i.mjte (23.1), per n --') + =,' X"l tende a zero se x E ( - 1, 1), mentre non ha limite se x < - 1. In corrispondenza otteniamo tim

(84.4)

11---++000

1 - x"+1 = {l/(l - x)'.

1- x

non esiste,

se

- 1 < x.< 1

se

x <- 1

Riassumendo. la serie geometrica è convergente se x > l, indeterminata se.x < - 1. Risulta inoltre:

(84.5)

-L x'

,

Ixl

1

se

=:;---

1- x •

k=O

< 1, tlivergente se

-l
Per mezzo deUa serie geometrica siamo in grado di chiarire una proprietà ben nota di quei numeri reali che. in decimale, hanno un ;a1lineamento periodico. Ricordiamo che ogni allineamento decimale periodico può essere trasformato in .un numero razionale mediante la frazione generatrice. cioè quella frazione che ha a numeratore le cifre del periodo e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Ad esempio, verifichiamo che

0.13

(84.6)

0.131313...

13 99 .

L'aUine.amento decimale periodico 0.13 si scrive in modo preciso in forma di serie, la quale è poi calcolata per mezzo della formuLa (84.5):

0.13 = 0.13 + 0.0013 + 0.000013 + ...

(84.7)

0.13. (l + Hr' + 10-4 + ...) 0.13

l

l - lO-'

lo' 13 0.13 - = - . 99 99

266

Capi/olo 11 1

85. La serie armonica. La serie seguente è detta serie armonica: 1 1 1 1+-+-+ ... +-+ ...

(85.1)

2

3

n

Per stabilire il carattere di tale serie, cioè per stabilire se la serie data è convergente o divergente, osserviamo che, per ogni k E N." . 1 ·

> k· x_

(85.2)

Calcolando l'integrale definito nell'intervallo [k, k + I), otteniamo (85.3) Consideriamo l'area della regione piana al di sotto del grafico della funzione l/x, per k ,; x < k + 1, e al di sopra dell'asse delle x. Nella relazione precedente abbiamo confrontato tale area con l'area del rettangolo disegnato in figura 11.1. y

y=l x. •1

__ _

k

k+l

.x

Figura 11.1

Sommando, per k che varia da 1 ad n, otteniamo (85.4)

n Jk+l dx

"

k=l

k

n 1

-<" k;1

A" secondo membro c'è la ridotta n-sima Sn della serie armonica. Sviluppiamo la somma a primo·membro (utilizziamo la pwprielà (63.1) di additi-

Serie

267

vità dell'integrale rispetto all'intervallo):

(85.5)

s, >

Jk+l d

n

L, k=l

k

=

fn+l

X

dx

- ' = log(n + l). x.

l

.

-

La successione iog(n + 1) tende a + per n -> + quindi anche la su"cceSsione s, tende a + Cioè /o. serie armo'nica (85.1) è divergente. Dato l'importanza della divergenza della serie armonica. senza far uso del calcolo Integrale.' . A tale scopo ricordiamo. (p:aragrnro 25) che 1)'. ' a,,'=l+k: (

(85.6)

e una

successione cresç:ente. convergente al numero di Nepero e per k---J· + quindi ' (85.7)

e

(l +

=

..

l =- log e

log

(1

+

ir

= k log

abbiamo '9'k E N.

Dato che In funzione log x è crescente in (O. + <><», risulta log e?; log ak. (85.8)

<><>;.

(I

+

, per .ogni k:

E

N; cioè

V'k e N.

da cui (85.9)

1

- O< log k

(k k,+ l) -

log{k + I) -log'k,

Vk e N_

Sommando per k = 1. 2.. __.n. otteniamo ,

s="-O< Il k k",,1

(85.10)

,

l' t

" [Iog(n + l) - log n] + [log n -log(n - 1)] + .. ;'+ ' + Ilog 2' - log I]

log{n + I) - Jog l - log(n + l).

Si noti che, per allra vin, si è ottenuta di nuovo la (85.5). Dato che la successione 10g(n + l} diverge a + - per Il--+ + <><>. anche la successione Sn delle somme parziaJi diverge a +-,

Consideriamo, per ogni valore del, parametro positivo p, la seguente serie armonica f:eneralizzata:

268

Capitolo J l

1 1 1 1-+'-+-+ ... + - + ... 2 P 3P nP

(85.i1)

Procediamo analogaménte a' come fatto in precedenza. Se k < x < k + 1 risulta . '1

1

.

1

5-5(k + I)P xP kP ' .

(85.12) I

"Ix

E

[k, k + i]

..Integriamo nell'intervallo [k, k + 1] e sommiamo rispetto a l,:

L

(85.13)

k=l

(k +

i <-
1

n

+

l)P

1

dx

n

l

xP

k=1

kP

.

La son;un,a a destra è la ridotta n-sirna sn; la somma a sinistra1 amene del prinJo termine (uguale ad 1), è la ridotta (n + l)-sima. Quindi possiamc

riscrivere la ·relazione precedente nella forma .

(85.14)

n+1

Sn+1 -

1 <

i

dx

-P < x

l

Abbiamo già considerato il caso P 1. Se p < 1 otteniamo

.

So

1; distinguiamo ora i casi p < 1 e p >

(n + l)';> l-p

(85.15)

1

l-p'

dato che 1 - p > O, l'ultimo membro tende a + per n-> + quindi anche la sllccessione sI] tende a + 00. Pertanto la serie armonica generalizzata è divergente se p < l. Invece,se P'> 1, dalla (85.14) otteniamo

.

(85.16)

Sn+1

,

< 1 +

fU+I 1

. (n + l)';> p = 1 + 1 _.p dx x

.

1

1 - p'

dato che 1 - P < O, per n -> + la succession" (n + 1)1;> tende a zero. Quinòi la successieme sn+l (che·ha "limite perché la serie è a termini ·positivi) è convergente.

Sel'ie

269

Riassumendo. abbiamo dimostrato che la serie armonica-generalizzata è convergente se p > l ed è divergente se O < p < 1. Naturalmente la serie (85.11) è divergente anche se p < O, in quanto il suo termine n-simo non tende a zero.

86. Criteri di convergenza

.' Non sempre è semplice calcolare esplicitamente la somma 'di una serie (per questo spesso si ricorre a metodi numerici). È più facile ed è sempre

interessante poter stabilire a priori il caratter!;: di una serie, cioè

se

una data serie è convergente oppure no. Coosidereremo sempre in questo paragrafo serie a termini Don negativi. CRJTERlO DEL CONFRONTO. $; b n per ogni n. Si ha:

-:L

(86.1)

b, <

Siano

.., -

L-

ali;

=+

bn due successioni tali che 0.$ a n

-

a, < Lk·1

k=l

(86.2) .

ano

-

-

L-

b, =

+

,

'

• •

.·1

Diinostrozlone: indichloino con Sn. ln le ridotte f1-sime delle due serie: relative rispeuivn alle successiOni ano bn. Per le ipotesi (ane risulta Sn"S ln per ogni n. inoltre le due ridotte sn. 1n hanno limite per n-t + DO. dato che le serie date sono a tennini non Perciò, se il limite di t n è finito anche il limite di So è fjnito. cioè vale la (86. I). Analogamente, se il limite di SII è + ..... anche t n li + -, vale In (86.2.).

Osserviamo esplicitamente che, nelle ipotesi del lemema di confronto, è sufficiente assumere che a n :;;; b n per n gtande, cioè per ogni h > v, con v fissato.

CRITERIO DEGLI INFtNITESIML - Sia a n una successione a termini non negativi. Supponiamo che. fissato un numero reale P. esista il limite: (86.3) Si ha:

(86.4)

r;l: +

"

oo,

p > 1

-

270

Capitolo Il

(86.5)

f ..

I

-

O. p" 1

Dimostrazione: nella condizione

con il limi le r finilo. per la definizione di limite d

successione (con E = l). esiste un indice v tale che . (86.6)

"V'n> v

n P a,,
Per tali n risulla quindi O S; ali < (l' + l)/n P. Applichiamo il criterio di confronto (86.1) con b n =-(r+ 1)/n P. Dato che p > l, la serie armonica genenllizzata relativa a b n è conver· gcnte; quindi anche la seric. relativa ad. a n converge. Nella condizionc (86.5) con """ O. esiste un indice 'V tale che (per semplicità considerinme

re R) . nP ali >

(86.7)

'tn > v

l'(l.

Procedendo in modo analogo a come fatto in precedenza otteniamo la (86.5). A titolo di esempio, possiamo affermare che la serie (86.8)

i:

i

2k+1

,I

è convergente. Ciò segue dal criterio (86.4) con p = 4; infatti risulta

20 + l lirn n = 2.. n-+_ + 40 +,3 •

(86.9)

•

AUo modo, applicando il criterio (86.4) con p = 2, si verifica che la serie seguente è convergente: (86.10)

'.

I I

CRITERIO DEL RAPPORTO. Supponia,mo che esista il li'7Jite (86.11). 'i ;'

Sia a n una successione a termini positivi.

a.

Serie

Allora si ha:.

271

. •.1.

r< 1

(86.12)

,

;

-

r> 1

(86.13)

<+

aie

Dimostrazione: supponiamo r< I e scegliamo un numero x tale che 1'< x < l. In base alla definizione di limite di successione (con lE. = x esiste un indice v per cui (86.14)

V'n ;:::.: v.

Per semplicità supponj'lnlo che l'indice v sia uguale ,ad l. 2. " , a2x < a [x •.•.• In generale: <,

(86.15)

-

<• .-"

allora a2 <'a [x; • .-• •

<

.

"

La serie associata alla succ.essione b n = nlx" è la s.erie geometrica di ragione x·(iI rattore al. comune a tutti i termini. non inr1uenza il carattere della serie geometrica). Dato che O < x < l, la serie associata a bo è convergente. - Per i1.criterio del confronto, anche In serie associata lilla su'ccessione a u è convergente: quindi la (86.12) è provata. Se l' > l, esiste un indice v per cui Un + l

(86.16)

- > l.

'in > v.

'.

Quindi la successione an è strettamente crescente per n > v, e perciò non può coml.ergere a zero; in base alla condizione necessaria del paragrafo 82,la serie data è divergente (essendo a termini positivi). Come esempio consideriamo la serie esponenz.iale (86.17)

.

il

xo'

Xl

l+x+-+-+ 2 3! ... -+-+ . n! ...•

con x numero reale fissalo. Ponendo a o = x"/n!, se x > O si trova (86.18)

.

--=

xP+t

(n + l)!

,

a!

"- =

x·

"

.

i""

n

+ 1

.;

"

la quantità no + t/au tende a zero per ,n CIC!;' in ,base'. al criterio del, rapporto, la serie esponenziale è convergente per x > O. DimostreremQ,'nel paragrafo 89 la serle esponenziale è convergente per ogni x, e che la somma della serie vaie e 1t •

272

Capitolo 11

Talvolta è utile anche il criterio seguente, detto della radice, che si dimostra confrontando la serie data con la serie geometrica, analogamente a quanto è stato fatto per dimostrare il criterio del rapporto. CRITERIO DELLA RADICE. - Sia a n una successione a termini non negativi. Supponiamo che esista il limite (86.19)

valgono le stesse "conclusioni (86.12), (86.13) del criterio precedente.

Dimostrazione: neU'ipotesi r < 1. sia E > O .tale che l' t- E < i. Per definizione di iimite. esiste v e N tale che <: r + e per n "V, ovvero" tale che n < (f + per"!l ;;:: v. Poiché la serie gebmetrica di ragione r + E <' r converge, anche la serie di termine generale "a n converge, per il criterio del confronto. Se l'> l, sia "v E N tale che > l, qoè a n > 1 per ogni n > v. Poiché 8 n non può essere infinHesima. per la condizione necessaria del paragrafo 82 la serie non è convergente e dunque \è divergente (in quanto a termini non negativi).

'la:.

3

Et

87. Serie alternate Nei paragrafi abbiamo considerato essenzialmente serie a termini non negativi. Nel paragrafo elitniniamo tale restrizione; in particolare, consideriamo serie alternate, .cioè serie del tipo

(87.1) , con an > O. Proveremo, ad esempio, che la serie armonica alternata

(87.2)

1-

1 1 1 . + - +",+ (- 1)"-1 !. + 2 3 4 n

è convergente. Vale il seguente CRITERIO DI CONVERGENZA PER LA SERIE ALTERNATE. O una successione 'decrescente ed infinitesima. Allora la convergente. detta s la somma, sn1a ridotta n-sima. si ha

;?:

'n

Sia (87.1) è

S!:rie

273

Il (M7.=3)======ls"=sl=<=....=·,=,======,,=n=E=l'1d·l! Dimostrazione: essendo, per k = I. 2.. j .. (87.4) (87.5)· la successione 52.

54. Sl)••.•

risulta crescente. mentre in successione

si ha

SI' 53.

(87.6) (87.7)

Essendo inoltre (87.8) e a2l; + I 2 O.

si

.. l -

S11 ,: 3:!k .. l

ho .

.(87.9)

TI k

E

N.

Pertanto. la successione 51. 5:\. 95•.... è decresc'entc! e limitata inferiormenle e. grazie 01 teorema sul limite delle successioni monotòhe del paragrafo 24. è convergente.· Analogamentè si vede che la successione 52. 54. 56.... è con....ergenle. che lim 82... 1 ::::: O dalla (87.8) che tali sùccessioni hanno lo stesso limite s.:

.-.-

lim sft =

(87.10)

10__

liln

S2t.. 1

=

9. -

I<--t_

Dal citato leorema sulle successioni inonolòne seguono anche le relazioni (87.11)

S :::

+ l'

...2 S S.

per cui (87.12) (81.13)

o

-

5 S

-

521;+2

=

8210;+1 •

cioè la (87.3).

Talvolta la (87.3) viene descritta in maniera espressiva affermando che l'errore che si commette sostituendo alla somma della serie la somma dei primi n termini è maggiorato in valore assoluto, dal. primo termine trascuralo.

274. Gaifrpla 11

I La serie 8nrtonica alternata

111. 2 ·3 4

11-11-

1 - - + - - - + ... + (- 1)

(87.14)

- + ...

n

verifica le ipotesi del precedente criteno e perciò converge. Domandiamoci qUCluti tertnini dobbiamo sommare in modo che la somma parziale Su differisca dalla somma s della serie per meno' di 11100. In altre parole, vogliamo determinare n' in modo che 15 - snl :5 11100. A tale scopo. per la (87 .3), basterà determinare n in modo che an + l::; 11100, cioè 11(0 + 1) S 1/100, che è soddisfatta per n 99.

88. Convergenza assoluta Una serie (88.1)

a,+a,.+ ... +a,,+ ...

si dice assolutamente convergente se risulta convergente la serie dei valori assoluti:

I a, I + I az I +

(88.2)

... +

I a" I +

...

In generale una serie convergente non necessariamente è assolutamente convergente, come si vede pensando alla serie armonica alternata. Il viceversa sussiste, grazie al seguente. TEOREMA. -

Una serie assolutamente convergente è convergente.

Proponiamo due diverse dimostrazioni; la prima, classica, fa uso del criterio di Cauchy (paragrafo 82). . . , Dimosfrazione (primo metodo): per ipotesi la serie

-

(88.3)

è convergente. In base al criterio di Cauchy per le serie (paragrafo 82), per ogni E> O esiste v E N tale che n+I'

(88.4)

"

I.

k ..n+l

la,l

<

E

Serie

275

per ogni n > v e per ogni p E N. Per gli stessi indici. dalla disuguaglianza triangolare ottenil\mo "p

L

3t;

:=

laft+1 + aM 2 + ... + a..+p I ::;;

k"'
(88.5)

. .p

::;; lan+,l + 13n+21 + ... + laM,,1

=

L la,,1 -

k=n+l

Combinando le (88.4). (88.5) otteniamo (88.6) per ogni n > v e per ogni p e N_ Di nuovo, per il criterio di Cauçhy, la serie di termine generale 3k è convergente. _. Dimostrazione (secondo metodo): la serie

-

(88.7)

è convergente per il criterio del confronto. essendo

'Vk

(88.8) ed essendo la serie di termine generale (88.9)

la1.:l.

••

L. '. = k=1 L.

k=l

E

N.

per ipotesi, conv.ergente. Per ogni nE. N. si ha

(a, + I a. Il -

•

L.

k_l

I a. I

ed il limite per n + - del primo membro esiste finito perché esiste finito il limite dei singoli addendi del secondo membro.

Appendice al capitolo 11 89. Serie di Taylor Coosideriamo una funzione f(x) definita in un intorno di un punto "". Supponiamo che in Xo f(x) ammetta infInite derivate f(",,), r<",,), ..., f')(",,), ... Traendo spunto daUa formula di Tayior (paragrafo 52, o capitolo lO), è naturale considerare la serie

276

Capilolo 11·

. f"(x,,) f("o)(x - xo) + 2 (x - xu)' + ... + (89.1)

+

. f'°)(xo)

(x - "0)0 +

n!

La (89.1) è detta serie di Taylor della f(x) con centro nel punto "o. La funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor (con centro "o) se per ogni x in un intorno di Xo la serie (89.1) è convergente e la somma della serie vale f(x); cioè, se esiste &> O tale che

f(x) =

(89.2)

- f'k)(X O)

L

k=O

k!

.

(x - XO)k

\ix:

Ix - "o I < &.

TEOREMA. - Sia f(x) una funzione che ammeUe infinite derivate nell'intervallo [Xo - b, Xo + 6]. con 6 > O. Supponiamo che esista un numero M per cui

. (89.3)

'
'
Allora f(x) è sviluppabile irt serie di Tayior di centro xo. Dimostrazlonei per ogni x e l''-lj- b. Xli + li] indichiamo edo sn(x) la ridottà n:sirna della serie (89.1); come nel paragrafo 17, indiahinrno coii Rri(x) il resto della formula di Taylor. Con queste notazioni, la formula" di Tllylor si scrive anche nel modo seguente

(89:4)

C(x)

= s,,(x)

+ R,,(x).

(n

base alla stima (81.2) del testo Rn(x). ed in base nWijJotesi (89.3), dalo otteniamo

Ix - xnl MI

(89.5)

per ogrii x E Ixu-

o,

IR,,(x)1 S M (il + l)! S (o + l)! M.

a. Xo + li].

zero;.quindi Rn(x)

(89.6)

che Ix - xol ::;:

In accordo con la (2.6.3), per n , + oa membro a O per ogni x E [xu - b. Xu + o]. Ricavando sn(x) dalla (89.4), otteniamo ,,,(x)

C(x)

R,,(x) ... C(x).

Ciò significo che vale la ronnula (89.2), cioè r(x) è sviluppa bile in serie di Taylor di ceiltro X(J nelrintervallo [XII - X"(J + b].

Serie

11 teorema precedente si

ad esempio, aUe funzioni

277

sen x, cos x. Infatti, indicando con f(x) una di tati funzioni, si vede subito che If n) (x)1 5: per ogni n e N

i

e per ogni x E R. Quindi le funzioni seo x, cos x sono sviluppabili in serie di Taylor, ad esempio con centro in O. Ricordando la formula di Taylor (52.17), (52.18) di tali funzioni, si ottengono gli sviluppi in serie (89.7)

(89.8)

sen .

J2" • 1

x'

x'

=X

X

+ - - ... + (- 1)" + _.' 3! 5! (2n + I)!

-

-

rx

x1n

4

cosx= 1 - - + - - .. + (_1)n _ _ + _._ 2 4!· (2n)!

'

II teorema precedente applica anche alla funzione esponenziale f(x)

It"'(x)I = c'

(89.9)

c' = M,

= eX. 'Ix

E

Risulta (-

b, b].

Quindi ipotesi teorema precedente sono soddisfane anche per la esponenziale. Perciò la funzione esponenziale è sviluppabile in serie di Tayior con centro O e vale la form!Jla .

x2

(89.11)

XII

e:l=l+x+-+ ... +-+ ... 2! n!

(89.10)

significativo è il caso in cui x = l, per cui !isulta .

-

1

1 2

l 3!

1 4!

c=L;-=1 +1 +-+-+-+ ... k-o k!

altri esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Abbiamo già verificato con la (84.5) che, se x E (-l,l),la serie geometrica è convergente'e la somma vale: (89.12)

l

1

_3

n

+X-+ ... +X + ...

!'

Invitiamo il lettore a verificare per est;rcizio che, posto f(x) =1/(1- x), allora rn)(O) =n! per ogni n. Quindi la (89.12) è-Io sviluppo in serie di Taylor con centro O, della funzione 11(1 - x). È utile scrivere la formula di Taylor per la funzione precedente:

(89.13)

1 :-=---, l-x

'

L; x' + R,,(x) ;

k_O

è possibile scrivere esplicitamente il Rn(x); infatti, In base relazione (Il.?), abbiamo: , xn + l l 'Ix E (- l. 1); (89.14) R" (x) = ""x' = 7-1- x' l-x

Capitolo 11

278

con tale espressione de! resto, integrando tra O e x entrambi i membri della (89.13), olle· mlllOo

(89.lS)

l • r" x}. L. t_ lc.+l

- 10gll -

R" (t) di.

+{

o

o

La fumjone 1/(1 - t) è aescente; quindi, se t S x, risulta 1/(L - t) S 11(1 - x). Conside·

rando per semplicità

:li:

O, otteniamo OS [

(59.l6)

S[ o l

x

=[ o l -

R,;(t) dt

o

l - dl=

l-x 0+2 l_a

t

dt S

'"

l 0+2

Ricordiamo che x"'" 2 O se D -+ + _, percht x < l; quindi, per n O e x di R" tende a zero. Passando al limite nella (89.15) otteniamo (89.17)

- 10&(1 - x) '"

x

l -lo

+ _, l'integrale.tra

-

Lo

....

k+ l

Se nella formula precedente si ambia :r con - X. si ottiene lo sviluppo in serie di Taylor della funzione 10g(1 + x) (si confronti con la fannula di Taylor (52.16): .Xl

(89.18)

i

Ancora, cambiando x con (89.19)

r

klg ( 1 + x) -:;: x - - + - - ... + (- l 2 3

-

n

+ ._

nella formula (89.12), si oltiene il seguente sviluppo:

1 r = l-x?'" x4

_._

1+

+ (_1)1l.,!"- +_.

Integrando entrambi i membri, con lo stesso metodo usato in precedenza, si ottiene (59.2Jl)

XJ

xl

arctgxsx--+-- ... +(-l)" 3 5

X2l>t1

+ ... .

Porticolnnnente significativo il CBSO io cui x = l; dato cbc arctg 1 '" nl4, otteniamo

(89.21)

K

l l 3S

-=1--+--.,.+ 4

(- l r +._ 20+1

Elementi Di Analisi Matematica 1 - Marcellini Sbordone.pdf

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